TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange Mecánica 2

Resumen TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange 1. Principios de dinámica clásica 1.1. Leyes de Newton a) Ley de inercia: ¡enúnciela! b) 2ª ley de Newton: ¡enúnciela! c) 3ª ley de Newton: Ley de acción y reacción (enúnciela también)

1.2. Comentarios a las leyes de Newton a) Primera ley: -

Crea el ámbito lógico del movimiento: espacio homogéneo e isótropo, tiempo homogéneo Excluye variaciones espontáneas de la velocidad

b) Segunda ley: -

Concepto de masa inerte como magnitud constante, positiva y aditiva

c) Tercera ley: -

Velocidad infinita del fenómeno de interacción gravitatoria

1.3. Ley de la gravitación universal Fji Fij mi -

mj

Fij = −G

mi m j ri − rj

3

(ri − rj )

G: Constante de la gravitación universal (¿cuál es el valor de G?)

Concepto de masa pesante

- Experimento de Galileo: identificación numérica de las masas inerte y pesante.

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2. Sistema cinético a) Definición: sistema de vectores ligados obtenido al aplicar en cada punto de un sistema material un vector equipolente a m i .v i ( mi es la masa de tal punto y vi , su velocidad). b) - Resultante general: es el momento lineal - ó cantidad de movimiento -: N

p = ∑ mi vi y teniendo en cuenta las propiedades del centro de masas, G, i=1 N

N

i=1

i=1

p = ∑ mi vi = vG ∑ mi = M vG -

(1)

(M = masa total del sistema )

El momento resultante del sistema cinético respecto de un punto O, se llama momento angular - ó momento cinético - en dicho punto: N

HO = ∑ OAi ∧ mi vi ( A i punto ocupado por la masa mi ) i=1

N

-

- Energía cinética:

1 mi vi2 2 i=1

T=∑

3. Teoremas de König Teniendo en cuenta las propiedades del centro de masas se puede establecer que:

vi = vG + vri ( v ri es la velocidad de la masa mi en su movimiento relativo respecto a unos ejes con origen en G que se trasladan permanentemente). 1º Teorema:

T=

1 N 1 N 2 = m v mi ( vG + vri )2 ∑ ∑ i i 2 i=1 2 i=1

Haciendo operaciones (hágalas):

T=

1 2 N 1 2 Mv G + ∑ mi v ri2 = Mv G + Tr 2 2 i=1

2º Teorema: N

N

i=1

i=1

HG = ∑ GAi ∧ mi vi = ∑ GAi ∧ mi ( vG + vri )

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N

1 mi.v ri2 ) 2 i=1

(siendo Tr = ∑

TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange Mecánica 2 Haciendo operaciones (hágalas): N

HG = ∑ GAi ∧ mi vri , pues i=1

N

∑ GAi ∧ mivG = 0

¿por qué?

i=1

4. Sistema dinámico a) Definición: sistema de vectores ligados constituido por las fuerzas actuantes sobre sus puntos materiales. b)

- Resultante general: N

N

N

N

i=1

i=1

i=1

i=1

F = ∑ Faci = ∑ Fexti + ∑ Finti = ∑ Fexti N

(pues por la 3º Ley de Newton

∑ Fint i=1

-

i

=0)

Momento resultante en un punto O: N

N

N

N

i=1

i=1

i=1

i=1

NO = ∑ OAi ∧ Faci = ∑ OAi ∧ Fext i + ∑ OAi ∧ Fint i = ∑ OAi ∧ Fext i N

pues por la 3º Ley de Newton

∑ OAi ∧ Finti = 0

( ∀O )

i=1

- Trabajo elemental: dW =

N

∑ Fac .dri i=1

i

( dW no es una diferencial exacta)

5. Teoremas fundamentales de la dinámica

F

p Teoremas fundamentales

Ho T

Sistema cinético

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Sistema dinámico

No dW

TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange Mecánica 2 a)

dp =F dt

(demuéstrelo) o bien, teniendo en cuenta (1)

MaG = F b)

Teorema del momento lineal

dHO + vO ∧ p = NO dt dHG = NG dt

c) dT = dW

(demuéstrelo) y teniendo en cuenta (1):

Teorema del momento angular

(demuéstrelo)

Teorema de la energía

6. Principio de D’Alembert a) Definición de fuerza de inercia φ i

φ i = −miai b) Enunciado del principio: Faci + φ i = 0

∀ i = 1...N

Todo sistema material se encuentra en equilibrio cuando se añade a cada punto material su correspondiente fuerza de inercia. c) Comentarios a este principio: - es una nueva perspectiva no causal; sucesión temporal de equilibrios. - posibilidad de aplicar a ese equilibrio el teorema de los trabajos virtuales para determinar las fuerzas de inercia equilibrantes y, por tanto, el movimiento del sistema.

7. Ecuaciones de Lagrange a) Requisitos que se han de imponer a los sistemas materiales: - formados por sólidos indeformables - con enlaces (¿qué es un enlace? ¿qué tipos existen?) holónomos (¿qué son enlaces holónomos?) y perfectos (¿cuándo son perfectos los enlaces?) b) Concepto de desplazamiento virtual, elemental, δri : Lleva al sistema desde la configuración que realmente ocupa a otra infinitamente próxima que podía haber ocupado en el mismo instante:

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∂ri δq j j=1 ∂q j n

δri = ∑

(el tiempo se “congela”)

c) Notas matemáticas previas:

∂vi ∂ri = ∂q j ∂q j

(demuestre estas igualdades)

∂vi d ∂ri = ∂q j dt ∂q j

d) Faci + φ i = 0 ∀ i

luego: 0 = N

*

∑ i=1

∑ (Fac i=1

N

N

i=1

i=1

∑ Faci ⋅ δri + ∑ φ i ⋅ δri

Faci ⋅ δri =

N

∑ Fap ⋅ δri

+ φ i ) ⋅ δri = 0

(2)

i=1

i=1

(¿por qué?)

i

∑ Fap ⋅ δri = ∑ Fap i

i

N

N

i=1

N

⇒

i

N n ∂ri ∂r ⋅ (∑ δq j ) = ∑∑ Fapi ⋅ i δq j ∂q j j=1 ∂q j i=1 j=1 n

y de ahí se concluye que: N

N

n

∑ Fac ⋅ δri = ∑ Fap ⋅ δri = ∑ Q jδqj i=1

i

i=1

i

(3)

j=1

(¿Qué es Qj y cómo se obtiene en la práctica?) N n ∂ri ∂r * ∑ φ i ⋅ δri = −∑ miai ⋅ δri = −∑ miai ⋅ ( ∑ δq j ) = −∑∑ miai ⋅ i δq j = ∂q j i=1 i=1 i=1 j=1 ∂q j i=1 j=1 N

N

n

N

= −∑∑ mi j=1 i=1

N

n

dvi ∂ri ⋅ δq j dt ∂q j

Haciendo las operaciones (hágalas) se llega a: N

n

d j=1 dt

∑ φ i ⋅ δri = −∑ i=1

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n  ∂T  ∂T δq j   δq j + ∑  ∂q j  ∂ q = j 1 j  

(4)

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En definitiva, llevando (3) y (4) a (2): n d  ∂T  ∂T δ q + δq j   ∑ j    j=1 dt  ∂q j  j=1 ∂q j

n

n

0 ≡ ∑ Q jδq j − ∑ j=1

Qj =

d ∂T ∂T − dt ∂q j ∂q j

∀ j = 1, 2...n

y de aquí a que:

(¿por qué?)

que son las ecuaciones de Lagrange. d) Si, además, las fuerzas aplicadas fueran conservativas: se demuestra que Q j = −

∂V ∂q j

(demuéstrelo)

y entonces si L=T-V las ecuaciones de Lagrange toman la siguiente forma:

d ∂L ∂L − =0 dt ∂q j ∂q j

∀ j = 1, 2...n

e) En el caso general de que las fuerzas aplicadas fueran unas conservativas y otras no conservativas, las ecuaciones de Lagrange serían:

d ∂L ∂L − = Qj dt ∂q j ∂q j L=T-V

∀ j = 1, 2...n ,

(V de las fuerzas conservativas)

Q j obtenido tan sólo a partir de las fuerzas aplicadas no conservativas.

8. Momentos canónicos. Teorema de conservación a) Definición:

pj =

∂L ∂q j

es el momento canónico asociado a la coordenada q j

b) Teorema de conservación: en el caso de que se puedan establecer las ecuaciones de Lagrange y todas las fuerzas aplicadas sean conservativas, si la L = T-V no fuera función explícita de una coordenada (por ejemplo qk ), aunque si lo sea de

q k , al aplicar la ecuación de Lagrange correspondiente a ese coordenada:

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d ∂L ∂L − =0 ⇒ dt ∂q k ∂qk

d ∂L = 0 ⇒ p k = 0 ⇒ pk = cte dt ∂q k

* La coordenada qk se llama “coordenada cíclica” o “ignorable”, en consecuencia el momento canónico asociado a una coordenada cíclica se conserva constante durante el movimiento.

9. Teorema de conservación de la energía a) Condiciones que hay que imponer al sistema material: • • •

Formado por sólidos indeformables Con enlaces esclerónomos y perfectos Sometido a fuerzas aplicadas conservativas

En estas condiciones: sólidos indeformables dT = dW  → dT = dWext = dWenl + dWaplic enlaces perfectos  → dT = dWaplic

Pero si las fuerzas aplicadas son conservativas: Faplic = −grad Vi N

N

, luego:

dWaplic = ∑ −grad Vi ⋅ dri → dWaplic = ∑ −dVi = −dV enlaces esclerónomos

i=1

i=1

(V = ∑ Vi )

Finalmente:

dT = −dV ⇒ d(T + V) = 0 ⇒ T + V = E (constante) b) A idéntico resultado se hubiera llegado mediante las ecuaciones de Lagrange. En efecto, como:

d ∂T ∂T ∂V − =−  dt ∂q j ∂q j ∂q j

∀j = 1,2...n

Resultaría también que: n

n d ∂T n  ∂T ∂V  q − q = − ∑ j dt ∂q ∑ j ∂q ∑ q j ∂q j=1 j=1 j=1 j j j

O bien (¡obténgalo!): n d n  ∂T n  ∂T n  ∂T ∂V q − q − q = − q j ∑ ∑ ∑ ∑ j j j dt j=1 ∂q j j=1 ∂q j j=1 ∂q j ∂q j j=1

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N

i=1

TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange Mecánica 2 Ahora bien: n

∂T

∑ q j ∂q

= 2T

j=1

j

n

∂T

∑ (q j ∂q j=1

j

+ q j

(¿por qué?)

∂T dT )= ∂q j dt

(¡demuéstrelo!)

n

∂V  dV qj = dt j=1 j

∑ ∂q

(¿por qué?)

Luego:

d(2T) dT dV − =− dt dt dt

10.

⇒

T + V = cte

Integrales primeras del movimiento

Las integrales primeras son aquellas ecuaciones que se obtienen al aplicar los teoremas de conservación, tanto el de conservación de la energía como el asociado a la existencia de coordenadas cíclicas (conservación del momento canónico). Las ecuaciones asociadas a los teoremas de conservación son siempre ecuaciones de primer orden, por lo que podrían considerarse como procedentes de una primera integración de las ecuaciones universales de la dinámica – que son de segundo orden -. Si hubiera tantas integrales primeras como grados de libertad es posible llegar a establecer unas ecuaciones diferenciales de primer orden de una sola variable, que se conocen como “ecuaciones del movimiento unidimensional equivalente”, de las que por simples consideraciones geométricas pueden deducirse propiedades importantes del movimiento del sistema mecánico.

FIN DEL TEMA 1

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