La aplicación de una percusión sobre un sólido libre conlleva: -
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percusiones aplicadas percusiones de enlace
La aparición súbita e instantánea de un campo de aceleraciones infinitas Una variación brusca y finita de su campo de velocidades Sin que varíe la posición del sólido
Por similitud con lo que sucede con las fuerzas se aceptará: -
Que el sistema de percusiones interiores es un sistema idénticamente nulo: N
N
i=1
i=1
∑ Paci = ∑ Pexi -
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Que, por mantenerse la indeformabilidad del cuerpo, las fuerzas percusionales exteriores no dan trabajo durante el intervalo percusional, δt. Que las percusiones generadas por la preexistencia de enlaces, cumplen análogas propiedades que las reacciones ordinarias producidas por esos mismos enlaces.
Se denominará enlace persistente al que existe durante y después de la percusión; enlace permanente al que existe siempre; en caso distinto a los anteriores, llamaremos enlace no persistente.
2. Ecuaciones fundamentales de la dinámica de percusiones a) Teorema del momento lineal: Durante δt: N N N dp N = ∑ Faci + ∑ Faci = ∑ Fexi + ∑ Fexi dt i=1 i=1 i=1 i=1
luego: δt
∫0
δt
∫0
N δt N δt N dp dt = ∑ ∫ Fexi dt + ∑ ∫ Fexi dt = ∑ Pexi 0 0 dt i=1 i=1 i=1
δt dp dt = ∫ dp = pd − pa = ∆p 0 dt
(donde pd es el momento lineal inmediatamente después de la percusión y pa , el momento lineal inmediatamente antes de la percusión) N
∆p = ∑ Pexi
Teorema:
i=1
N
⇒ M( VG − vG ) = ∑ Pexi i=1
(con VG y vG velocidades de G inmediatamente después y antes de la percusión) b) Teorema del momento angular: Durante δt: N N dHO + vO ∧ p = ∑ OAi ∧ Fexi + ∑ OAi ∧ Fexi dt i=1 i=1 δt
N δt N δt δt dHO dt + ∫ vO ∧ p dt = ∑ ∫ OAi ∧ Fexi dt + ∑ ∫ OAi ∧ Fexi dt 0 0 0 dt i=1 i=1
δt
N N δt δt δt dHO dt + vO ∧ ∫ p dt = ∑ OAi ∧ ∫ Fexi dt + ∑ OAi ∧ ∫ Fexi dt 0 0 0 dt i=1 i=1
TEMA 5: Dinámica de percusiones Mecánica 2 b) Teorema de la energía: N N 1 1 Td = ∑ mi Vi2 = ∑ mi Vi Vi N V + vi i=1 2 i=1 2 ∆ = T mi ( Vi − vi ) i ∑ N N 2 1 1 i=1 Ta = ∑ mi v i2 = ∑ mi vi vi i=1 2 i=1 2 N
∆T = ∑ Paci
Teorema:
i=1
(¿por qué?)
Vi + vi 2 N
Y para un sólido indeformable:
∆T = ∑ Pexti i=1
Vi + vi 2
3. Energía cinética de las velocidades perdidas Cuando un sólido sufre una percusión experimenta un cambio brusco de su campo de velocidades; pues bien, velocidad perdida de un punto material de dicho sólido, w i , es la diferencia:
w i = vi − Vi entre velocidad inmediatamente antes de la percusión,
vi , y la que tiene
inmediatamente después de la percusión, Vi . Energía cinética de las velocidades perdidas es:
Tw =
1 N 1 N mi w i2 = ∑ mi ( vi − Vi )2 ∑ 2 i=1 2 i=1
Se demuestra que ( ¡hágalo! ): Tw =
V −v ∑ i 2 i Paci = i=1 N
N
∑ i=1
Vi − vi Pexi 2
(¿por qué?)
Si el sólido fuera un sólido libre, Tw podría calcularse:
Tw =
1 1 M( vG − VG )2 + [Ix (ωx − Ω x )2 + Iy (ωy − Ω y )2 + Iz (ωz − Ω z )2 ] 2 2
donde: Ix , Iy , Iz
son
Ω = Ω xE1 + Ω yE2 + Ω zE3
los
momentos ;
principales
de
inercia
en
G
y:
ω = ωxE1 + ωyE2 + ωzE3 las componentes de la
velocidad angular del sólido antes y después de la percusión en el triedro principal de inercia en G.
Choque es el fenómeno físico que tiene lugar cuando al entrar en contacto – puntual en este caso – dos sólidos, sucede que al menos uno de ellos experimenta un cambio brusco e instantáneo en su campo de velocidades.
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Aceptaremos: -
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Que el choque es instantáneo. Que el choque no comporta desplazamiento del sistema. Que las percusiones originadas en los puntos de contacto – por el hecho de chocar y producir la modificación en los campos de velocidades – satisfacen la tercera ley de Newton; esto es, son iguales y opuestas. Que no hay rozamiento, por lo que serán perpendiculares a la superficie tangente común en los puntos de contacto.
Definición de coeficiente de restitución o coeficiente de Newton: A: punto del cuerpo 1 B: punto del cuerpo 2