ROBÓTICA I Cinemática Directa

M. C. Jorge Luis Barahona Avalos 11 de abril de 2011 Universidad Tecnológica de la Mixteca Instituto de Electrónica y Mecatrónica

ROBÓTICA I N

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Índice General

1

Cinemática Directa

2

Cadena Cinemática Abierta

3

Convención de Denavit-Hartenberg

4

Cinemática de estructuras típicas de manipuladores

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Cinemática Directa

Introducción

1

Un manipulador consiste de una serie de cuerpos rígidos (eslabones– links) conectados por medio de pares cinemáticos o articulaciones (joints).

2

Las articulaciones pueden ser esencialmente de dos tipos: giratorias o prismáticas.

3

La estructura completa forma una cadena cinemática.

4

Un extremo de la cadena está restringido a una base. Un efector–final (pinza, herramienta, etc.) está conectado al otro extremo permitiendo la manipulación de objetos en el espacio.

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Cinemática Directa

Tipos de articulaciones

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Cinemática Directa

Cinemática Directa 1

Desde un punto de vista topológico, la cadena cinemática se denomina abierta, cuando sólo existe una secuencia de eslabones conectando los extremos de la cadena. Por el contrario, una manipulador contiene una cadena cinemática cerrada cuando una secuencia de eslabones forman una trayectoria cerrada.

2

La estructura mecánica de un manipulador se caracteriza por un número de grados de libertad (GDL) o en inglés DOF (Degree Of Freedom), los cuales determinan en forma única su “postura”.

Observación: El término “posture” de una cadena cinemática, denota la “pose” de todos los cuerpos rígidos que componen la cadena. Siempre que la cadena cinemática se reduzca a un sólo cuerpo rígido, entonces la “posture” coincide con la “pose” del cuerpo. ROBÓTICA I N

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Cinemática Directa

Posición y orientación del efector final

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Cinemática Directa

Cinemática Directa 1

Cada GDL se asocia típicamente a una articulación, constituyéndose así en una variable articular.

2

El objetivo de la CINEMÁTICA DIRECTA, es calcular la “pose” del efector final como una función de las variables articulares.

3

Se mostró previamente, que la “pose” de un cuerpo rígido respecto a un sistema coordenado de referencia se describe mediante el vector de posición del origen y de los vectores unitarios del sistema de referencia asignados al cuerpo.

4

Así, respecto al sistema de referencia Ob − xb yb zb la matriz de transformación homogénea está dada por:  b  ne (q) sbe (q) aeb (q) pbe (q) Tbe (q) = 0 0 0 1 ROBÓTICA I N

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Cinemática Directa

Cinemática Directa

1

donde q ∈ Rn , es el vector de variables articulares, y ne , se y ae , son los vectores unitarios del sistema de referencia asignado al efector final, y pe es el vector de posición de dicho sistema de referencia respecto al origen de Ob − xb yb zb . Obsérvese que ne , se , ae y pe son funciones de q.

2

El sistema Ob − xb yb zb se denomina sistema de referencia base. El sistema de referencia asignado al efecgtor final, se denomina sistema de referencia del efector final.

3

El sistema de referencia del efector final se elige de acuerdo a la geometría de la tarea particular..

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Cinemática Directa

Cinemática Directa 1

Si el efector final es una pinza, por ejemplo, el origen del sistema de referencia del efector final se localiza en el centro de la pinza, ae se elije en la dirección aproximada del objeto, se se elije normal a ae en el plano de deslizamiento de las mordazas y ne se elije normal a los otros dos de modo tal que el sistema de referencia (ne , se , ae ) se rige por la regla de la mano derecha.

2

Una primera aproximación para calcular la cinemática directa, la ofrece un análisis geométrico de la estructura del manipulador

Ejemplo 1: Coinsidérese el robot planar de 2 GDL de dos eslabones de la siguiente figura.

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Cinemática Directa

Ejemplo 1: Robot planar de 2 eslabones

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Cinemática Directa

Cinemática Directa

1

Por geometría simple, por la elección de las variables articulares, por la elección del sistema de referencia base y por la elección del sistema de referencia del efector final, se obtiene:  b  ne (q) sbe (q) aeb (q) pbe (q) b Te (q) = 0 0 0 1 

0  0 =  1 0

S12 −C12 0 0

C12 S12 0 0

 a1 C1 + a2 C12 a1 S1 + a2 S12    0 1

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Cinemática Directa

Cinemática directa

1

No es difícil inferir que la efectividad de la aproximación geométrica al problema cinemático directo está basado, primero, en una selección conveniente de las cantidades relevantes y luego en la capacidad e intuición geométrica de quien resuelve el problema.

2

Siempre que la estructura del manipulador es compleja y el número de articulaciones se incrementa, es preferible adoptar una solución menos directa que esté basada en un procedimiento sistemático general.

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Cadena Cinemática Abierta

Cadena Abierta 1

Considérese un manipulador de cadena abierta constituido por n + 1 eslabones conectados por n articulaciones, donde el eslabón 0 está convencionalmente fijado a tierra.

2

Se supone que cada articulación proporciona la estructura mecánica con un sólo GDL correspondiente a la variable articular.

3

La construcción de un procedimiento operativo para el cálculo de la cinemática directa se deriva naturalmente de la típica cadena cinemática abierta de la estructura del manipulador.

4

De hecho, ya que cada articulación conecta dos eslabones consecutivos, es razonable considerar primeramente la descripción de la relación cinemática entre eslabones consecutivos y entonces obtener la descripción total de la cinemática del manipulador en una forma recursiva. ROBÓTICA I N

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Cadena Cinemática Abierta

Transformaciones de coordenadas: Cadena cinemática abierta

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Cadena Cinemática Abierta

Cadena Abierta 1

Para este propósito, vale la pena definir un sistema coordenado asignado a cada eslabón, desde el eslabón 0 hasta el eslabón n. Entonces, la transformación de coordenadas que describe la posición y la orientación del sistema coordenado n con respecto al sistema coordenado 0 está dada por: T0n (q) = A01 (q1 )A21 (q2 ) . . . An−1 (qn ) n

2

Entonces, como ya se dijo, el cálculo de la función cinemática directa es recursiva y se obtiene en una forma sistemática por productos simples de las matrices de transformación homogénea Ai−1 (qi ), i = i 1, 2, . . . , n, cada una de las cuales es función de una sola variable articular.

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Cadena Cinemática Abierta

Cadena Abierta

1

2

Con respecto a la cinemática directa del dispositivo del ejemplo anterior, la transformación de coordenadas real, que describe la posición y la orientación del efector final con respecto al sistema base, se puede obtener como: Tbe (q) = Tb0 T0n (q)Tne donde Tb0 y Tne son dos transformaciones homogéneas constantes que describen la posición y orientación del sistema 0 con respecto a la base y del efector final respecto al sistema n, respectivamente.

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención de Denavit-Hartenberg 1

Para calcular la ecuación de cinemática directa de un manipulador de cadena abierta de acuerdo a la expresión recursiva vista con anterioridad, se tiene un método sistemático general para definir la posición y orientación relativa de dos eslabones consecutivos.

2

El problema es aquél de determinar dos sistemas coordenados asignados a los dos eslabones y calcular las transformaciones de coordenadas entre ellos.

3

En general, los sistemas coordenados pueden elegirse arbitrariamente siempre y cuando estén asignados al eslabón al cual son referidos.

4

Con referencia a la figura de la siguiente página, sea el “eje i” el eje de la articulación que conecta a los eslabones i − 1 e i; se adpta la así llamada Convención de Denavit-Hartenberg (DH) para definir el sistema de referencia i. ROBÓTICA I N

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Convención de Denavit-Hartenberg

Parámetros cinemáticos DH

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH Elíjase el eje zi a lo largo del eje de la articulación i + 1 Localizar el origen Oi en la intersección del eje zi con la normal común a los ejes zi−1 y zi . También localizar Oi 0 en la intersección de la normal común con el eje zi−1

Nota: La normal común entre dos líneas es la línea que contiene el segmento de distancia mínima entre las dos líneas Seleccionar el eje xi a lo largo de la normal común a los ejes zi−1 y zi con dirección de la articulación i a la aticulación i + 1. Elegir el eje yi de modo tal que se complete un sistema coordenado regido por la regla de la mano derecha.

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH La convención DH proporciona una definición no-única del sistema de referencia del eslabón en los siguientes casos: Para el sistema 0, sólo se especifica la dirección del eje z0 . Entonces O0 y x0 se pueden elegir arbitrariamente. Para el sistema n, ya que no existe una articulación n + 1, zn no está definido en forma única mientras que xn tiene que ser normal al eje zn−1 . Típicamente, la articulación n es giratoria, y así zn está alineada con la dirección de zn−1 . Cuando dos ejes consecutivos son paralelos, la normal común entre ellos no está definida de manera única. Cuando dos ejes consecutivos se intersectan, la dirección del eje xi es arbitraria. Cuando la articulación i es prismática, la dirección de zi−1 es arbitraria. ROBÓTICA I N

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH 1

En los casos anteriores, se puede explotar la indeterminación para simplificar el procedimiento; por ejemplo, los ejes de sistemas consecutivos pueden hacerse paralelos.

2

Una vez que los sistemas de referencia de los eslabones se han establecido, la posición y orientación del Sistema i respecto al sistema i − 1 está completamente definida por los siguientes parámetros: ai , la distancia entre Oi y Oi 0 di , la coordenada de Oi 0 a lo largo de zi−1 αi , el ángulo entre los ejes zi−1 y zi alrededor del eje xi , positivo cuando la rotación es CCW. ϑi entre los ejes xi−1 y xi alrededor del eje zi−1 , positivo cuando la rotación es CCW.

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH

1

Dos de los cuatro parámetros (ai y αi ) son siempre constantes y dependen únicamente de la geometría de la conexión entre articulaciones consecutivas establecidas por el eslabón i.

2

De los dos restantes parámetros, sólo uno es variable dependiendo del tipo de articualación que conecta a los eslabones i − 1 e i. En particular: Si la articulación i es giratoria la variable es ϑi . Si la articulaciÃşn i es prismática, entonces la variables es di .

3

En éste punto, es posible expresar la transformación de coordenadas entre el sistema i y el sistema i − 1 de acuerdo a los siguientes pasos:

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH Elegir un sistema coordenado alineado con el sistema i − 1. Trasladar el sistema seleccionado por di a lo largo del eje zi−1 y rotarlo por ϑi alrededor del eje zi−1 ; esta secuencia alinea el sistema actual con el sistema i 0 y es descrito por la matriz de transformación homogénea siguiente:   Cϑi −Sϑi 0 0  Sϑi Cϑi 0 0    Ai−1 i 0 (q) =  0 0 1 di  0 0 0 1 Trasladar el sistema alineado con el sistema i 0 por ai a lo largo del eje xi 0 y rotarlo por αi alrededor del eje xi ; esta secuencia alinea el sistema actual con el sistema i y es descrito por la matriz de transformación homogénea de la siguiente diapositiva. ROBÓTICA I N

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH La matriz de transformación correspondiente está dada por:  1 0 0  0 0 C −S αi αi Aii (q) =   0 Sαi Cαi 0 0 0

a lo comentado antes  ai 0   0  1

La transformación de coordenadas resultante se obtiene mediante pos–multiplicación de las transformaciones sencillas como sigue:   Cϑi −Sϑi Cαi Sϑi Sαi ai Cϑi  Cϑi Cαi −Cϑi Sαi ai Sϑi  i 0  Sϑi  Ai−1 (qi ) = Ai−1 i i 0 Ai  0 Sα i Cαi di  0 0 0 1 ROBÓTICA I N

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH 1

Obsérvese que la matriz de transformación del sistema i al sistema i − 1 es una función únicamente de la variable articular qi , la cual es ϑi para una articulación giratoria o di para el caso de una articulación prismática.

2

En resumen, la convención Denavit–Hartenberg permite la construcción de la cinemática directa mediante la composición de transformaciones individuales de coordenadas como las de la diapositiva 24, en una transformación de homogénea dada en la diapositiva 15.

3

El procedimiento de puede aplicar a cualquier cadena cinemática abierta y puede ser reescrita en una forma operativamente fácil como sigue.

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH Paso 1: Encontrar y numerar consecutivamente los ejes articulares; establecer las direcciones de los ejes z0 , . . . , zn−1 . Paso 2: Elegir el sistema 0 localizando el origen en el eje z0 ; los ejes x0 y y0 de modo tal que se obtenga un sistema dado por la regla de la mano derecha. De ser posible, vale la pena elegir el sistema 0 para que coincida con el sistema base. Nota: Ejecutar los pasos 3 al 5 para i = 1, . . . , n − 1:

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH Paso 3: Localizar el origen Oi en la intersección de zi con la normal común a los ejes zi−1 y zi . Si los ejes zi−1 y zi son paralelos y la articulación i es giratoria, entonces localizar Oi de modo tal que di = 0; si la articulación i es prismática, localizar Oi en una posición de referencia para el rango de la articulación, por ejemplo, un límite mecánico. Paso 4: Elegir el eje xi a lo largo de la normal común a los ejes zi−1 y zi con dirección de la articulación i a la articulación i + 1. Paso 5: Elegir el eje yi de modo tal que se obtenga un sistema regido por la regla de la mano derecha. ROBÓTICA I N

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH Nota: Para terminar: Paso 6: Elegir el sistema n; si la articulación es giratoria, entonces alinear zn con zn−1 , si es prismática, entonces elegir zn en forma arbitraria. El eje xn se establece de acuerdo al paso 4. Paso 7: Para i = 1, . . . , n, construya la tabla de parámetros ai , di , αi , ϑi . Paso 8: Con base a los parámetros obtenidos en el paso 7, calcule las matrices de transformación homogéneas Ai−1 i (qi ), para i = 1, . . . , n. ROBÓTICA I N

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Convención de Denavit-Hartenberg

Convención DH Paso 9: Calcular la transformación homogénea T0n (q) = 0 2 n−1 A1 (q1 )A1 (q2 ) . . . An (qn ), la cual produce la posición y orientación del sistema n con respecto al sistema 0. Paso 10: Dadas Tb0 y Tne , calcular la función de cinemática directa como Tbe (q) = Tb0 T0n Tne , la cual produce la posición y orientación del sistema de referencia del sistema del efector final con respecto al sistema de referencia del sistema base.

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Cinemática de estructuras típicas de manipuladores

Cinemática de estructuras típicas de manipuladores 1

Esta sección contiene varios ejemplos del cálculo de la función de cinemática directa para estructuras típicas de manipuladores que son encontradas con frecuencia en robots industriales.

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Con referencia a la representación esquemática de la cadena cinemática , los manipuladores son ilustrados generalmente, en “postures” donde las variables articulares, definidas de acuerdo a la convención DH, son diferentes de cero; tales valores pueden diferir de las referencias nulas empleadas para la programación de robots manipuladores.

3

Por lo anterior, será necesario sumar contribuciones constantes (offset) a los valores de las variables articulares medidas por el sistema de sensores del robot, a fin de coincidir con las referencias.

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Cinemática de estructuras típicas de manipuladores

Robot planar de 3 eslabones Ejemplo 1: Robot planar de 3 eslabones

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Cinemática de estructuras típicas de manipuladores

Robot planar de 3 eslabones 1

Como todos los ejes giratorios son paralelos, la selección más simple se hace para todos los ejes xi a lo largo de la dirección de los eslabones relativos (la dirección de x0 es arbitraria) y todo yaciendo en el plano (x0 , y0 ).

2

De esta manera, todos los parámetros di son nulos y los ángulos entre los ejes xi proporcionan directamente las variables articulares.

3

En la siguiente tabla se muestran los parámetros textbfDH correspondientes.

Parámetros DH para el robot planat de tres eslabones Eslabón

ai

αi

di

ϑi

1 2 3

a1 a2 a3

0 0 0

0 0 0

ϑ1 ϑ2 ϑ3 ROBÓTICA I N

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Cinemática de estructuras típicas de manipuladores

Continuación del ejemplo 1

Ya que todas las articulaciones son giratorias, la matriz de transformación definida en la diapositiva 24, tiene la misma estructura para cada articulación, es decir:   Ci −Si 0 ai Ci  Si Ci 0 ai Si   Ai−1 (ϑi ) =  i  0 0 1 0  0 0 0 1 donde i = 1, 2, 3

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Cinemática de estructuras típicas de manipuladores

Continuación del ejemplo 1

El cÃąlculo de la función de cinemática directa como aquella dada en la diapositiva 15, está dada por:   C123 −S123 0 a1 C1 + a2 C12 + a3 C123  S123 C123 0 a1 S1 + a2 S12 + a3 S123   T03 (q) = A01 A12 A23   0  0 1 0 0 0 0 1

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