RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS

BLOQUE

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Saberes

» Conocimientos

• Identifica formas distintas de representación de números positivos. • Identifica números decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes). • Jerarquiza operaciones numéricas al ejecutarlas. • Identifica y reconoce números reales y variables algebraicas. • Identifica formas distintas de representación de números reales. • Calcula el valor numérico de una expresión algebraica.

Construye e interpreta modelos

aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números positivos y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales, para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.or escrito

la definición de filosofía, ciencias sociales y cinecias experimentales con ejemplos de su campo de acción en el contexto en que vive.

» Habilidades

• Realiza operaciones aritméticas, siguiendo una jerarquía en el orden de ejecución. • Utiliza números decimales en forma de enteros, fracciones y porcentajes. • Emplea expresiones numéricas para representar relaciones. • Utiliza la calculadora como herramienta de exploración de resultados. • Emplea expresiones algebraicas, usando literales, para representar relaciones entre las magnitudes. • Establece significados y propiedades de las diferentes representaciones de los números y variables algebraicas. • Construye hipótesis, diseña y aplica modelos aritméticos sencillos. • Utiliza los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos relacionados con los números y las variables. • Describe expresiones verbales mediante formas algebraicas, y viceversa.

»

SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

UNIDAD DE COMPETENCIA

»

• Opera diferentes representaciones de números reales positivos. • Usa la calculadora como herramienta de apoyo en su trabajo. • Utiliza expresiones numéricas y algebraicas para representar relaciones y regularidades entre magnitudes constantes y variables. • Asigna significados a las expresiones planteadas en función de las situaciones aritméticas o algebraicas que representan. • Resuelve problemas aritméticos y algebraicos de su entorno.

» Actitudes y valores

• Aprecia la utilidad de los números positivos y las literales para modelar y/o solucionar problemas. • Muestra disposición para utilizar el cálculo numérico al resolver problemas cotidianos. • Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas al reflexionar sus procesos de aprendizaje.

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 INTRODUCCIÓN A lo largo de tu formación, tanto en las actividades escolares como en las extraescolares, has tenido la necesidad de trabajar con diversos tipos de números que aparecen en diversos contextos: al pagar el boleto de autobús, al comprar el pantalón o los zapatos tenis que tanto te gustan o al esforzarte por obtener buenas calificaciones, entre muchos otros. En este bloque analizaremos los números positivos y sus representaciones, y recordaremos las operaciones básicas que se realizan con ellos.

Evaluación diagnóstica Resuelve los siguientes problemas; explica cómo los resuelves. 1.. Juan tiene 35 tazos, Ramiro 82 y Carlos 125, ¿cuántos tazos tienen entre los tres?, ¿cuántos tazos más tiene Carlos que Juan? 2. Miguel va a pintar una pared que mide 5.6 m de largo por 2.4 m de alto. Si con un litro de pintura cubre 2.5 m2 de pared, ¿cuántos botes de pintura tiene que comprar como mínimo? 3. En un grupo de 600 alumnos, 450 usan lentes, ¿qué porcentaje de alumnos no usa lentes? 4. Un nuevo centro comercial se va a construir en un terreno como el mostrado en la siguiente figura.

a) ¿Cuál es la superficie del terreno? b) Si el metro de malla ciclónica cuesta $250, ¿cuánto costará cercarlo?

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FORMAS DISTINTAS DE NUMEROS POSITIVOS

Actividad introductoria 1. Lee con cuidado la siguiente situación, quizá te sea familiar. Viernes por la tarde…

¡Uff, qué semana!, el maestro de Matemáticas nos dejó 50 ejercicios de tarea para el lunes y dijo que había que entregar por lo menos 4/5 de ellos para que contara la tarea –expresó Roberto. –A mí -dijo Laura–, la maestra de Taller nos encargó un resumen sobre el terremoto de 7.5 grados que ocurrió en Mexicali. –Pues a mí me encargaron una investigación sobre el número π– replicó Fernando. –Pues déjense de lamentaciones y apurémonos para llegar al centro comercial y aprovechar las rebajas del 30% y 50% en toda la ropa, que vi un pantalón que está súper– finalizó Marta. Responde brevemente las siguientes preguntas. a) ¿Qué tipo de número es 50? _____________________________________________ b) ¿Qué tipo de número es 4/5? _____________________________________________ c) ¿Qué tipo de número es 7.5? _____________________________________________ d) ¿Qué tipo de número es π? ______________________________________________ e) ¿De qué otra forma se puede representar 4/5? _______________________________ f) ¿De qué otra forma se puede representar 7.7? _______________________________ g) ¿De qué otra forma se puede representar 30%? ______________________________

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 2. La siguiente figura representa un recibo telefónico. Obsérvalo detenidamente e identifica los rubros o campos donde hay números y responde lo que se te pide.

a) ¿En qué rubros aparecen números naturales? b) ¿En qué rubros aparecen números decimales? c) ¿En qué rubros aparecen números negativos? d) ¿En qué rubros aparecen porcentajes? e) ¿Cuánto pagará el Sr. Alberto si en su próximo recibo telefónico por haber hablado 256 minutos a Estados Unidos y 30 minutos a su hermano que vive en España?

En las actividades anteriores identificaste diferentes tipos de números; por ejemplo, el número de factura del recibo telefónico, el número de minutos incluidos o el número de ejercicios que le encargaron a Roberto son números naturales; el costo por minuto adicional o la intensidad del temblor son números decimales; los 4/5 del número de ejercicios de Roberto es un número 10

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racional; el pago o el crédito por redondeo es un número negativo; π es un número irracional; los descuentos o los impuestos se expresan en porcentajes, y todas estas representaciones son números reales. A continuación analizaremos las propiedades aritméticas de los números positivos, el recordar que La aritmética es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras numéricas elementales y sus propiedades, así como las propiedades de las operaciones que se realizan entre ellos. Las operaciones aritméticas fundamentales son suma (+),resta (-),multiplicación o producto (×,•), división (/,÷,⌐), potenciación (an), radicación ( ) y logaritmación. El primer conjunto de números que vamos a analizar es el de los números naturales. Estos números son los más antiguos que el ser humano utiliza, pues aparecieron en la prehistoria ante la necesidad de contabilizar o enumerar sus pertenencias. En la actualidad tienen la misma función, pues los utilizamos, por ejemplo, para contar la edad, las materias en la escuela, los hijos por familia o los habitantes en una ciudad. Una de las características más importantes es que todo número natural distinto de 0 y 1 puede clasificarse como número primo o número compuesto. Un número primo (p), es aquel que sólo admite exactamente dos divisores distintos, la unidad (1) y él mismo (p), por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 31, 51, 83 entre otros, son números primos. Mientras que un número compuesto es aquel que puede representarse como el producto de dos o más primos, como la potencia de un número primo o como el producto de potencias de dos o más números primos; por ejemplo:

Los números naturales tienen las siguientes propiedades: El 1 es el primer número natural. Todo número natural (n) tiene un sucesor (n + 1). Todo número natural (n), excepto el 0 tiene un antecesor (n – 1) El conjunto de números naturales es infinito.

210 = 2×3×5×7 (producto de números primos distintos) 32 = (2)5 (potencia de un número primo) 144 = (2)4(3)2 (producto de potencias de números primos) Lo anterior es lo que establece el

Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo entero no primo distinto de 1 se puede representar de forma única como producto de factores primos, salvo por el orden de los factores.

¿Cómo se puede mostrar que el conjunto de números naturales es infinito? El número 1, ¿por qué no es primo?

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B1

 Factorización Factorizar un número es expresarlo como el producto de todos sus factores primos en relación con el Teorema Fundamental de la Aritmética. Antes de realizar la factorización de un número es conveniente identificar cuáles números primos lo divide pues esto simplifica trabajo; para ello, es necesario recordar algunos de los criterios de divisibilidad más frecuentes. Tabla 1. Criterios de Divisibilidad Divisible por:

Criterio

Ejemplo

2

Un número es divisible por 2 si el dígito de las unidades es múltiplo de 2, es decir, si es 0 o un número par

436, 784, 530, 348, 132 El dígito de la unidades es 0 múltiplo de 2

3

Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores numéricos de los dígitos que lo forman es múltiplo de 3

471, 4 + 7 + 1 = 12 12 es múltiplo de 3

5

Un número es divisible por 5 si el dígito de las unidades es 0 o 5.

425, 780, 345, 1000

7

Un número es divisible por 7 si 147, 14 – (2)(7) = 14 – 14 = 0 la diferencia entre el número 651, 65 – (2)(1) = 65 – 2 = 63 sin el dígito de las unidades y el La diferencia es 0 o múltiplo de 7 doble del dígito de las unidades es 0 o múltiplo de 7.

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lugares impares Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma 2 3 1 2+1-3=0 de los dígitos que ocupan los lugares pares y la suma de los dígitos que ocupan los impares, lugares pares es 0 o múltiplo de 11 lugares impares 6 1 8 2

(6 +8)-(1+2)=11 - 3 = 0

lugares pares

Para factorizar un número como producto de primos se realiza el siguiente procedimiento: se coloca el número sobre una raya horizontal y se traza una raya vertical a la derecha del mismo.

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210

Utilizando la tabla de los criterios de divisibilidad observamos que es divisible por 2 (termina en 0), por 3, (la suma de sus dígitos es múltiplo de 3), por 5 (termina en 0) y por 7 (21 – 2 x 0 = 21, múltiplo de 7). Se coloca a la derecha de la raya vertical el primer primo que divida al número (en este ejemplo el 2) y se realiza la división. El resultado (105) se coloca a la izquierda de la raya vertical abajo del número. 210 2 105

Se continúa la división entre los siguientes números primos hasta que el último resultado sea 1. 210 2

210 2

210 2

105 3

105 3

105 3

35

35 5 7

35

5

7

7

1 Si un factor primo divide más de una vez a un número, se pasa al siguiente número primo hasta que ya no se pueda dividir por el anterior. 360 2 180 2 90 3 45 3 15 3 5 5 1 A continuación analizaremos algunos ejemplos de la aplicación de la factorización de números. 13

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 Ejemplo 5 1. Rocío corre los lunes, miércoles y viernes. La semana pasada corrió el miércoles un kilómetro más que el lunes y el viernes uno más que el miércoles. Si se sabe que el producto de los kilómetros que corrió Rocío es 990, ¿cuántos kilómetros corrió Rocío? Solución: Necesitamos tres número consecutivos cuyo producto sea 990; al factorizarlo tenemos: 990

2

495

3

165

3

55

5

11

11

Si observamos la factorización vemos que los dos factores tres nos originan el factor 9, el factor 2 y el factor 5 origina el factor 10 y tenemos el factor 11; por lo que los números buscados son 9, 10 y 11. Por lo tanto, la semana pasada Rocío corrió 30 km.

1 2. Roberto le lleva un año a su novia Leticia . Si el producto de sus edades es 600, ¿cuáles son sus edades?

600 2 300 2 150 2 75

3

25

5

5

5

Solución: Se requieren dos números consecutivos cuyo producto sea 600; y al factorizarlo tenemos: Observando la factorización vemos que (23)(3) = 24 y 52 = 25; esto es, los números buscados. Por lo tanto, las edades de Roberto y Leticia son 25 y 24 respectivamente.

1 La factorización como producto de números primos es básica para el cálculo del Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor, que a su vez se utilizan en las operaciones con fracciones comunes y fracciones algebraicas o en la simplificacion de fracciones y la factorización de expresiones algebraicas. Además, se utiliza en la simplificación de operaciones con radicales como veremos posteriomente.

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Actividad Factoriza los siguientes números: 1. 720

6. 1512

2. 840

7. 7425

3. 256

8. 3780

4. 496

9. 9072

5. 484

10. 4290

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Una de las aplicaciones de la factorizacion en números primos es para el cálculo del Mínimo Común Múltiplo y del Máximo Común Divisor Dados dos o más números naturales, se define su Mínimo Común Múltiplo (MCM) como el menor de los múltiplos comunes a ellos, y el Máximo Común Divisor (MCD) como el mayor de los divisores comunes. Para calcular el MCM de dos o más números, factorizamos simultáneamente dichos números como producto de primos. Si en el proceso, alguno de los números no es divisible por el número primo que sí divide a los otros números, éste se baja y se divide hasta que el siguiente número primo lo divida. Se ilustra mejor con el siguiente ejemplo: Ejemplos 3. Calcular el MCM de 720 y 484. Solución: Aplicando los criterios de divisibilidad observamos que 720 es divisible por 2, 3 y 5 mientras que 484 lo es por 2, 3 y 11. 15

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 Al realizar la factorización simultánea tenemos:

720

484 2

360

242 2

180

121 2

90

121 2

45

121 3

15

121 3

5

121 5

1

121 11

1

11

1

1

Como 121 no es divisible por 2 ni por 3 ni por 5 se baja hasta que fue dividido por 11. El proceso termina cuando el último resultado es 1. El proceso termina cuando el último resultado en ambas factorizaciones es 1. El MCM es el producto de todos los factores primos que aparecen en la descomposición; decir, el MCM de 720 y 484 es (2)4(3)2(5)(11)2 =(16)(9)(5)(121) = 87,120

11

4. Hallar el MCD de 660 y 480. Solución: Aplicando los criterios de divisibilidad tenemos que 660 es divisible por 2, 3, 5 y 11, mientras que 480 lo es por 2, 3 y 5. Entonces los factores comunes son 2, 3 y 5.

600

480 2

330

240 2

165

120 3

55

40

11

8

5

El proceso para calcular el MCD consiste en empezar a dividir cada número por el factor primo más pequeño tantas veces como sea posible, y continuar con el siguiente hasta agotar los divisores comunes. El MCD es el producto de los factores que aparecen en la factorización, en este caso (22)(3)(5) = 60.

En el proceso de calcular el MCD es importante observar el último resultado que aparece en la factorización deambos números, el cual llamaremos factor restante, pues al multiplicar el MCD por el factor restante obtenemos el número original, es decir, 60(11) = 660 y 60(8) = 480. Este resultado es importante cuando se tienen que simplificar fracciones simples o algebraicas. 5. Hallar el MCM y el MCD de 80, 120 y 160.

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80

120

160

2*

40

60

80

2*

20

30

40

2*

10

15

20

2

5

15

20

2

5

15

10

2

5

15

5

80

120

160

2*

40

60

80

2*

20

30

40

2*

10

15

20

2

5

15

20

2

5

15

10

2

5

15

5

3

5

5

5

5*

1

1

1

Se divide cada uno de los números entre el número primo más pequeño que divida a alguno de ellos y se continua hasta que ninguno se pueda dividir Si algún número no se puede dividir se baja. Si todos son divisibles se marca el factor primo.

Se continúa con el siguiente primo hasta que la última fila de resultados sea 1. El MCM es el producto de todos los números primos que aparezcan en la factorización mientras que el MCD es el producto de los factores primos marcados. Así pues, el MCD es 26 x3 x 5 = 960, y el MCD es 23 x 5=40

6. Hallar el MCD y el MCM de 252, 360 y 882.

252 360

882 2 

126 180

441 2

63

90

441 2

63

45

441 3 

21

15

147 3 

7

5

49

5

7

1

49

7

1

1

7

7

1

1

1

El MCD es (2)(3)2= 2(9) =18 El MCD es (2)3(3)2(5)(7)2 = (8)(9)(5)(49) = 17,640

Resolveremos ahora algunos problemas que se resuelven con el cálculo del MCM o el MCD. 7. La maestra de Matemáticas tiene 3 alarmas; la primera suena cada 60 minutos para indicarle la hora de entrar o salir de clase; la segunda suena cada 150 minutos 17

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 para recordarle hablar a su casa para saber sobre la situación de su madre enferma; y la tercera cada 360 minutos para recordarle tomar su medicina. ¿Cada cuánto tiempo suenan las tres alarmas simultáneamente?. Si sonaron a las 9:50 am, ¿a qué hora volverán a sonar juntas otra vez?

60

150

360

2

30

75

180

2

15

75

90

2

15

75

45

3

5

25

15

3

5

25

5

5

1

5

1

5

1

1

1

El MCM es (2)3(3)2(5)2= (8)(9)(25) = 1800 Las alarmas sonaran simultáneamente cada 1800 minutos, es decir cada 30 horas. Las alarmas volverán a sonar simultáneamente a las 15:50 del día siguiente.

8. Un carpintero va elaborar mesabancos de paleta cuadrada para una escuela. Para ello dispone de varias láminas de madera triplay de 768 cm de largo por 288 cm de ancho; ¿cuál es la longitud de los cuadrados que puede recortar de cada lámina de tal manera que no desperdicie madera?, ¿cuántas paletas puede recortar?

18

768

288 2 

384

144 2 

192

72

2

96

36

2

48

18

2

24

9

2

12

9

2

6

9

2

3

9

3

1

3

3

1

1

El MCM es de 768 y 288 es (2)5(3) = (32)(3) = 96 Entonces el lado del cuadrado que debe recortar es de 96 cm Al dividir 768/96 = 8 y 288/96 = 3 tenemos que pude recortar (8)(3) = 24 cuadrados.

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Actividad I. Calcula el MCD y el MCM de: 1. 90 y 72

4. 180 y 69

2. 18 y 24

5. 50 y 60

3. 216 y 212

6. 50, 60 y 40

II. Resuelve los siguientes problemas: 1. Se quiere reemplazar el piso de una cocina de 1620 cm de largo por 980 cm de ancho con azulejos cuadrados lo más grandes posibles y enteros. ¿Cuál será la longitud del lado de cada azulejo? 2. Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6:30 de una tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. 3. Un viajero va a la ciudad de Veracruz cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos ahí. ¿Dentro de cuántos días volverán a estar los dos a la vez en esa ciudad? 4. Una sirena toca cada 450 segundos, otra cada 250 segundos y una tercera cada 600 segundos. Si a las 4 a.m. han coincidido tocando las tres, ¿a qué hora volverán a tocar otra vez juntas? 5. Un trozo de cartulina mide 1 m por 45 cm y quiero dibujar en ella una cuadrícula del mayor tamaño posible cada cuadrado. ¿Cuál será el lado del mayor cuadrado posible? 6. Vanessa está construyendo una maqueta y dispone de 3 listones de 180, 250 y 300 cm de largo, respectivamente. Para hacer la base de una casa desea cortar los tres listones en trozos de igual tamaño, sin que sobre nada. a) ¿Cuál debe ser la longitud de cada trocito para que el número de cortes sea el menor posible? b) ¿Cuántos trozos de ese tamaño saldrán de cada listón? 7. ¿Cuánto pesa, como mínimo, un paquete que puede ser pesado exactamente utilizando sólo pesas de uno de estos tres tipos: 20 cg, 125 cg y 1 cg; es decir, sólo utilizará pesas de 20 cg, de 125 cg o de 1 cg? 8. Tres coches salen al mismo tiempo de una población para hacer el servicio de tres 19

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 líneas distintas. El primero tarda 7 horas en volver al punto de partida y se detiene en éste 1 hora; el segundo tarda 10 horas y se detiene 2; el tercero tarda 12 horas y se detiene 3. ¿Cada cuánto tiempo saldrán a la vez los tres coches de dicha población? 9. Elvira tiene dos tablones de madera y decide construir una estantería para colocar sus casetes de música. Uno de los tablones mide 48 cm y el otro 24 cm. Quiere cortarlos en trozos que midan lo mismo y sean lo más largos posible; no debe sobrar nada. a) ¿Cuánto medirá cada parte? b) ¿Cuántos trozos obtiene de cada tablón? 10. Luis quiere cercar una parcela rectangular de 52 m de largo por 40 m de ancho, y cuyas estacas se encuentran a igual distancia una de otra. a) ¿Cuál será la mayor distancia, en metros, entre las estacas? b) ¿Cuántas tendrá que poner? 11. En una ciudad hay tres líneas de autobuses: A1, A2 y A3, que tienen una parada común en la Plaza. El autobús A1 pasa por la plaza cada 6 minutos, el A2 cada 3 y el A3 cada 8. Si salen a las 7:00 de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidir? 12. En el colegio hay dos actividades complementarias: un grupo de teatro que se reúne cada 4 días para ensayar, y un equipo que elabora una revista y se reúne cada 5 días. a) ¿Cada cuántos días coinciden los dos grupos? b) Si el día 30 de octubre coincidieron, ¿cuándo lo volverán a hacer? 13. Un obrero de GAS S.A. debe abrir una zanja de longitud inferior a 50 m, para hacer una instalación del gas. Si abre cada día 4 m, le queda 1 m para el último. Si cada día hace 7 m le quedan 3 m, y si abre 5 m cada día, hace todos los días el mismo trabajo. a) ¿Cuál es la longitud de la zanja? b) ¿Cuántos días tarda en hacer el trabajo si abre 5 m todos los días? 14. Marta tiene una caja de bombones y le dice a su tío que se la regala si averigua cuántos hay. Para ayudarle le dice: la caja tiene menos de 60 bombones; si los cuento de 9 en 9 no sobra ninguno, y al contarlos de 11 en 11 sobra 1. ¿Cuántos bombones hay en la caja? 15. Juan tiene una colección de cromos que puede agrupar de 5 en 5, de 4 en 4 o de 3 en 3, sin que le sobre ni le falte ninguno. ¿Cuál es el menor número de cromos que puede tener? 16. Un coche, una moto y una bicicleta dan vueltas en un circuito automovilístico; todos parten de la meta al mismo tiempo. El coche tarda en recorrer el circuito 5 minutos, la moto 2 y la bici 20. a) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que vuelvan a coincidir en la meta los tres vehículos? 20

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b) ¿Y para que lo hagan la moto y la bici?

17. Para hacer unas prácticas en el laboratorio de Física hay que distribuir a los alumnos en grupos. La profesora se da cuenta de que si los coloca de 2 en 2, de 3 en 3 o de 4 en 4, sobra 1 alumno en todos los casos. Entonces hace grupos de 5 en 5 y observa que no sobra ninguno. ¿Cuántos alumnos hay en clase? 18. Tres hermanos tienen unos trozos de cuerda que miden 74 cm, 32 cm y 53 cm, respectivamente. Quieren cortarlos en el menor número de trozos posibles, de modo que a cada uno le sobren 4 cm. a)¿Qué dimensión tiene cada trozo? b) ¿Cuántos trozos de cuerda obtiene cada uno? 19. En un árbol de Navidad hay bombillas rojas, azules y blancas. Las rojas se encienden cada 15 segundos, las azules cada 18 y las blancas cada 110 segundos. a)¿Cada cuántos segundos coinciden las tres bombillas encendidas?. b) Durante una hora, ¿cuántas veces se encienden a la vez? 20. Para ir al cine, dos niños no se ponen de acuerdo. Uno va cada 5 días y el otro cada 6. Si coincidieron el día 24 de diciembre, a)¿cuándo volverán a coincidir? b)¿cuántas veces habrá ido cada uno sin coincidir? 21. Un alumno quiere cambiar con un amigo cuadernos de 3.6 euros por rotuladores de 4.8 euros. a) ¿Cuál es el menor número de cada clase que pueden cambiar sin que ninguno de los dos pierda? b) ¿Cuál es el valor de lo que cada uno aporta? 22. Una pequeña fabrica de bombillas necesita colocar 250 bombillas blancas y 75 de bajo consumo de energía en cajas, de forma que no sobre ninguna y sin mezclar ambos tipos en una misma caja. a) ¿Cuántas unidades irán en cada caja? b) ¿Cuántas cajas de cada tipo de bombilla harán falta? 23. Tres hijos residentes en diferentes puntos del país tienen por costumbre reunirse con sus padres, el mayor cada 15 días, el mediano cada 10 y el menor cada 12 días. Si en Navidad se reúnen todos, a) ¿Cuántos días pasarán antes de reunirse otra vez? b) ¿Qué día volverá a coincidir toda la familia? 24. Un individuo se dedica a hacer una marca en un libro cada 125 páginas mientras que otro lo hace cada 80. a) Si el libro tiene 2500 páginas, ¿en qué página coincidirán las 2 marcas? b)¿Y si el libro tiene 1500 páginas? 25. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da como resto 9? 21

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 NÚMEROS RACIONALES

Otro tipo de números que identificaste en las actividades anteriores son las fracciones simples, como el 4/5 de los ejercicios de tarea que le dejaron a Roberto. Las fracciones representan números racionales.

a Un número racional es un número de la forma b , con b ≠ 0, en donde a se llama numerador y b denominador. El denominador indica en cuantas partes se va a dividir una unidad entera y el numerador cuantas partes se tomarán de ellas. Así, 4/5 indica que un entero va a dividirse en cinco partes iguales, de las cuales se tomarán cuatro. Fraccionar se puede referir a dividir una unidad o una cantidad; por ejemplo 4/5 de 50 significa que 50 se va a dividir en 5 partes iguales (10 unidades cada parte) de las cuales se toman 4 de ellas, es decir 4(10) = 40, por lo que de los 50 ejercicios que le dejaron a Roberto, tiene que entregar 40 como mínimo. Las fracciones se clasifican de acuerdo con la siguiente tabla. Fracción

Ejemplos

Propia

a , b ≠ 0, a < b b

1 6 7 27 , , , ,etc 4 11 9 53

Impropia

a , b ≠ 0, a > b b

5 8 6 12 45 , , , , ,etc 3 5 4 7 13

Aparente

a = c , b ≠ 0, b

6 8 18 = 2, = 1, =9 3 8 2

Decimal

22

Forma

c entero

a , b potencia de 10 b

5 125 9 , , 10 100 1000

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Simplificación de fracciones Las fracciones propias, impropias o decimales son simples si su numerador y su denominador no tienen factores iguales, es decir, si su máximo común divisor es 1. Para simplificar una fracción se expresan ambos, numerador y denominador, en el producto de su MCD y el factor restante, y se cancela dicho MCD en ambos (operación equivalente a dividir numerador y denominador entre su MCD). Ejemplos 1. Simplificar

24 60

Solución: Al calcular el MCD de 24 y 60 obtenemos 12 y al expresarlos como producto de éste y el otro factor, tenemos

24 (12)(2) 2 = = 60 (12)(5) 5 256 2. Simplificar 178 Solución:

256 (8 )(32) 32 = = = 1 121 178 (8 )(21) 21

Las fracciones impropias pueden expresarse de manera mixta como la suma de un número entero y una fracción propia al dividir el numerador entre el denominador, donde el cociente es el número entero y el residuo el numerador de la fracción propia; por ejemplo, 1 fracción 35 puede representarse como 11

35 = 32 11 11 pues al dividir tenemos 3 11 35 2 Donde el cociente (3) es el número entero y el residuo (2) es el numerador de la fracción propia. 23

B1

 Por otra parte, podemos expresar una fracción mixta como una fracción común al multiplicar el número entero por el denominador de la fracción propia y sumando el numerador

32 = 5

3 × 5 + 2 15 + 2 17 = = 5 5 5

Actividad Realiza lo que se te pide. I. Simplifica las siguientes fracciones.

1.

36 15

5. 56 144

2. 18 24

6.

25 125

3. 45 60

7.

12 84

4. 78 26

8. 24 72

II. Expresa en forma mixta las siguientes fracciones impropias.

1.

37 15

5.

2.

58 24

725 6. 125

3. 85 60

7. 93 84

77 26

8. 124 75

4.

156 144

III. Convierte a fracción simple las siguientes fracciones mixtas.

1. 3 24

1 8

2. 5 6 17

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

3. 8

4.

7

7 15

6. 4 13

5 9

7. 115 19

16

2 5. 11 3

8. 10 6 17

Representación decimal de las fracciones Las fracciones comunes tienen un representación decimal, la cual se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, es decir a →b a b el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. Por ejemplo, la representación decimal de 2/5 es 0.4 0.4 5

2.0 0

La representación decimal de 5/16 es 0.3125 0.3125 16

5.0000 20 40 80 0

Como puedes observar, la representación decimal de un número racional puede ser finita o infinita. La parte decimal infinita es periódica, es decir, ciertos decimales se repiten infinitamente. El periodo se escribe con una raya sobre ella: La representación decimal de 2/3 es 0.6 25

B1

 0.66 3

2.00 20 2

Así como es posible convertir una fracción común en un número decimal, también es posible convertir un número decimal en una fracción común, según la estructura del número decimal. Si tenemos un número decimal finito, por ejemplo 3.75 (tres enteros, setenta y cinco centésimos) se escribe de la siguiente forma. En el numerador colocamos dicho número sin el punto decimal; en el denominador el número que da nombre a la parte decimal (en este caso 100), es decir, un “1” seguido de tantos ”0” como dígitos decimales tenga la parte decimal, y se simplifica la fracción resultante: 375 100 Al simplificar tenemos: 375 25(15) 15 = = 100 25( 4 ) 4 Si hay un decimal periódico puro, por ejemplo 1.6 , se procede de la siguiente forma: En el numerador se escribe la diferencia entre el número escrito sin el punto y la parte entera; en el denominador tantos “9” como dígitos tenga el periodo, y se simplifica: 16 − 1 15 3(5) 15 = = = 9 9 3(3) 4 Si tenemos número decimal de periodo mixto, por ejemplo 6.416 , procedemos de la siguiente manera: En el numerador escribimos la diferencia entre el número escrito sin el punto decimal menos el número sin la parte periódica; en el denominador colocamos tantos “9” como tiene el periodo seguido de tantos “0” como cifras no periódicas tenga, y se simplifica si es posible: 6416 − 641 5775 75(77) 77 = = = 900 900 75(12) 12 26

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

Actividad

I. Convierte a número decimal las siguientes fracciones simples: 1. 36 15

5.

2. 18 24

6. 25 125

3. 45 60

7.

4.

78 26

56 144

12 84

8. 24 72

II. Convierte a fracción simple los siguientes números decimales.

1. 0.25

5. 0.63

2. 1.125

6. 1.571428

3. 1.35

7. 1.5

4. 1.727

8. 1.453

Orden de los números racionales

Actividad

Con fracciones resuelve los siguientes ejercicios: 1. Durante una fiesta, Laura repartió pizza a sus invitados. A Luis le dio 1/8, a Mariana 1/6, a Pablo 2/9 y a Oscar 3/16. ¿Quién comió más pizza? 2. En la construcción, las varillas se clasifican según su espesor. ¿Qué varilla es más gruesa, una de 3/8 o una de ½? 3. Gilberto, Martín y Jesús compraron un lote de discos compactos. Gilberto puso 1/3 27

B1

 del costo, Martín 3/8 y Jesús el resto. a) ¿Quién puso más? b) Si el lote costó $ 720, ¿cuánto puso Martín?

Existen diversas formas de resolver los problemas anteriores; sin embargo, la forma más simple y directa es comparar dos fracciones directamente de la siguiente manera: Se multiplica de manera cruzada los numeradores y los denominadores y el orden que guarden los productos, es el orden que guarden las fracciones.

Puesto que 1/8 es menor que 1/6, concluimos que Mariana comió más que Luis. Al comparar las otras fracciones tenemos:

Después de realizar las comparaciones, concluimos que 2/9 es la fracción mayor, por lo que Pablo es quien comió más pizza. Verifica los otros ejercicios de la actividad utilizando este método de comparación. Algunas sugerencias para comparar dos fracciones son las siguientes: a) De dos fracciones con igual numerador, es mayor la de menor denominador: 3 3 > 5 8 28

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

b) De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor denominador: 7 4 > 16 16 Si al comparar dos fracciones los productos son iguales, entonces ambas fracciones representan al mismo número racional y decimos entonces que dichas fracciones son equivalentes: 36 3 = pues 36×4 = 48×3 = 144 48 4

“El valor de un hombre es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que él es, en tanto que el denominador es lo que cree ser. Cuánto más grande es el denominador, más pequeña es la fracción.” León Tolstoi (1828 - 1910) Novelista ruso

Actividad I. Ordena en forma descendente las siguientes fracciones: 1. 3/8, 4/9, 9/16, 11/25 2. 5/8, 11/24, 7/8, 8/9 II. Ordena en forma ascendente las siguientes fracciones: 1. 6/7, 4/3, 8/9, 5/8, 9/16 2. 6/7, 8/16, 9/15, 4/7

Porcentajes Un caso particular de las fracciones decimales es cuando el denominador es 100, pues nos permiten calcular el porcentaje de una cantidad; es decir, cuando una cantidad se divide en 100 partes y se toma de ellas lo que indica el numerador: 45 = 0.45 = 45% 100 8 = 0.08 = 8% 100 Entonces, calcular el tanto por ciento de una cantidad consiste en multiplicar el porcentaje en su forma decimal por la cantidad de la cual se quiere calcular dicho porcentaje. Así, el 80% de 50 es 0.8(50) = 40 29

B1

 Actividad Porcentajes 1. Observa cuidadosamente las imágenes e identifica los diferentes contextos en donde se utiliza el concepto de porcentaje.

30

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

II. Utiliza la información de las imágenes para resolver los siguientes problemas. 1. Si el dije que tiene 40% de descuento tiene un costo de $ 1250 ¿cuánto se pagará por él? 2. De acuerdo con la información de la tarjeta Master Card, la tasa de interés anual por incumplimiento es de 23.99%, ¿cuál es la tasa de interés mensual? 31

B1

 3. El Sr. Carmona quiere comprar el televisor RCA de la publicidad. a) Calcula el costo del televisor si tiene 20% de descuento. b) ¿Cuál es el costo del televisor si se compra a 12 meses? c) ¿Cuál es el interés por la compra a crédito? d) Si se paga con una tarjeta Master Card y se atrasa en tres pagos, ¿cuánto más pagará el Sr. Carmona con respecto al precio a crédito? e) ¿y con respecto al precio de lista? 4. De acuerdo con el Anexo estadístico del INEGI, a) ¿cuántas mujeres vivían en Estados unidos en 2000?, b) ¿cuántos hombres en Japón? c) ¿cuántas mujeres en África? d) ¿qué porcentaje del total de la población vivía en Canadá Se tratará el tema del porcentaje con más detalle en el siguiente bloque.

NÚMEROS IRRACIONALES

Consideremos un segmento de la recta numérica y dibujemos un triángulo rectángulo de lado una unidad con un vértice en el número 0 y un cateto1 sobre dicho segmento. Ahora, con centro en 0 y radio en la hipotenusa del triángulo, trazamos un arco hasta el segmento de recta y marcamos el punto de corte; ¿cuál es la longitud desde 0 a este punto? Al aplicar el teorema de Pitágoras a este triángulo tenemos que

1 Recuerda que en un triángulo rectángulo el lado mayor recibe el nombre de hipotenusa y los lados menores catetos.

32

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

2

OP = 12 + 12 = 2 donde la longitud es un número tal que elevado al cuadrado su resultado sea 2, es decir OP = 2 Éste es un número irracional, pues no puede representarse como un número racional, pues no existe ninguna fracción simple cuya expresión decimal sea igual a 2 . Todos estos números junto con los enteros negativos que analizaremos más adelante forman el conjunto de los números reales.

Actividad Problemas Aritméticos y jerarquía de operaciones. 1. En la clase de Matemáticas, el maestro preguntó: “-¿Cuánto es la mitad de dos más uno? Es 1.5 -respondió Caro. -No- respondió Rosa, -el resultado es 2. ¿Quién tiene razón?. Justifica tu respuesta. 2. El señor Suárez compró un terreno trapezoidal como el que se muestra en la figura y lo quiere cercar y empastar para trazar ahí un campo de futbol. Si el metro lineal de malla para cercarlo cuesta $ 60 y la semilla de pasto para cubrir un metro cuadrado cuesta $1.5, ¿cuánto tendrá que pagar el Sr. Suárez?

3. Luisa aprovecha las ofertas de fin de temporada de una boutique y compra una blusa que cuesta $ 250 pero que tiene 25% de descuento; un pantalón de $ 475 con 30% de descuento y unos zapatos tenis de $1250 que tienen 60% de descuento. a) ¿Cuánto pagó Luisa por su compra? 33

B1

 b)¿Cuanto dinero ahorró? 4. Realiza las operaciones necesarias y simplifica el resultado 5. Observa la siguiente gráfica que representa la distancia recorrida por un automovilista que fue de compras a un pueblo vecino, con relación al tiempo.



(2)3 (5) −

6 64 (3)4 3 27 + = (3)( 4 ) 9

a)¿Qué distancia recorrió durante la primera hora?, b) ¿y durante la segunda? c) ¿A qué distancia de su casa estaba el lugar donde realizó sus compras? d) ¿Cuánto tiempo empleó para hacerlo? e) ¿Qué hizo el automovilista durante la última hora y media? f) ¿Cuál fue su rapidez durante la primera hora?, ¿y durante la segunda?, g) ¿con qué rapidez volvió a su casa?

JERARQUÍA DE OPERACIONES

Las operaciones aritméticas las utilizamos para resolver un cierto tipo de problemas relacionados con los números, es decir problemas aritméticos. Un problema aritmético es una situación real o imaginaria planteada en forma verbal o escrita que se resuelve mediante la realización de algunas de las operaciones básicas.

En la resolución de problemas aritméticos es indispensable comprender la 34

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

situación planteada y así establecer el orden en que se realicen las operaciones. Analicemos el problema 1 de la actividad anterior. ¿Cuánto es la mitad de dos más uno? Las respuestas dadas por Caro y Rosa tienen cierta lógica. Caro la entendió así: (2 + 1) = 1.5 2 pero Rosa lo entendió así:

2 + 1= 2 2 De acuerdo con la jerarquía de operaciones, Rosa está en lo correcto pues la división tiene prioridad sobre la suma. En general, el orden de las operaciones es el siguiente: Si aparecen operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación, el orden en que deben realizarse es: • Potenciación y radicación, en el orden que aparezcan • Multiplicación y división, en el orden que aparezcan • Al final, las sumas y las restas. En muchas ocasiones es necesario colocar las operaciones dentro de símbolos de agrupación: ( ), [ ], o { }. Si aparecen símbolos de agrupación anidados (uno dentro de otro), primero se realizan las operaciones dentro de éstos respetando el orden indicado y empezando por el símbolo más interno. Así, el costo del cercado y del empastado del problema 2 es  (200 + 150 )(75)   (350 )(75)  = 60(520 ) + 1.5  60(150 + 90 + 200 + 80 ) + 1.5    2 2     = 31, 200 + 1.5(13125) = 31, 200 + 19687.5 = 50,887.50 (primero las operaciones dentro de los paréntesis, después las operaciones dentro de los corchetes, y al final, la suma). La solución del problema 4 es: (primero las potencias y las raíces) (2)3 (5) −

6 64 (3)4 3 27 6(8 ) (81)(3) + = (8 )(5) − + (3)( 4 ) 9 (3)( 4 ) 9 35

B1

 (después las multiplicaciones y las divisiones) = 40 −

48 243 + = 40 − 4 + 27 12 9

(al final, las sumas y las restas.) 40 − 4 + 27 = 43 Ejemplo Resuelve las operaciones indicadas. 8 + 2{16 – 4[18 – 3(2 + 3)]} 8 + 2{16 – 4[18 – 3(2 + 3)]} = 8 + 2{16 – 4[18 – 3(5)]} = 8 + 2{16 – 4[18 – 15]} = 8 + 2{16 – 4[3]} = 8 + 2{16 – 12} = 8 + 2{4} =8+8 = 16

Actividad

36

{

}

1. 5 + 3 (12 − 8 ) =

5. 25 − 3 2 + 2 5 − 2 ( 5 − 3 )  =

2. 18 − 3 ( 4 − 2 ) =

6. 12 + 5 3 + 4 18 − 3 (12 − 7 )  =  

3. 6 + 5 20 − 2 ( 3 + 4 )  =

7.

4. 65 − 2  8 + 3 (12 − 5 )  =

8. 6 26 − 4 15 − 3 (12 − 9 ) − 3 40 − 3 16 − 2 (15 − 8 )    

{

}

{9 + 3 18 − 2(10 − 6 )} + 5{20 − 3 12 − 2(10 − 8 )} = {

} {

}

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y MODELOS MATEMÁTICOS

Un modelo matemático es la representación de un fenómeno o suceso mediante un esquema, una ecuación o fórmula, una expresión algebraica o un diagrama.

La fórmula que utilizas para calcular el perímetro de un cuadrado (P = 4l), la superficie de un círculo (A) la superficie de un círculo (A = πr2) o un trapecio ( A = (B + b )h ), o el volumen de un cilindro (V = πr2h), así como la fórmula para 2 d calcular la rapidez constante o promedio de un móvil ( v = ) son ejemplo de t modelos matemáticos. El esquema para resolver el problema 2 de la actividad  (200 + 150 )(75)  anterior, 60(150 + 90 + 200 + 80 ) + 1.5   , también representa 2   un modelo matemático. Otro tipo de modelo matemático importante es el de las gráficas; por ejemplo, la gráfica del problema 5 de la segunda actividad nos permite describir lo que hizo un automovilista durante 6 horas. En la primera hora recorrió 50 km y en la segunda, 150; de tal manera que el conductor se alejó 200 km del punto de partida. Estuvo detenido (realizó sus compras) durante 2 12 h y después regresó al punto de partida. Desde que salió hasta que se detuvo condujo con una rapidez media de 100 km/hy regresó a su casa 1 con una rapidez media de 133 3 km/h.

37

B1

 1.7 LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico es el lenguaje que utiliza letras, números y signos para expresar situaciones del lenguaje común en lenguaje matemático. En el lenguaje algebraico, las literales representan valores numéricos y por lo tanto se operan como tales y tienen todas las propiedades que tienen los números. Las fórmulas que se utilizan en Geometría o Física son ejemplos de lenguaje algebraico, una especie de traducción de lenguaje común a lenguaje matemático. Así pues, en la fórmula del perímetro de un cuadrado P = 4L, entendemos: “el perímetro de un cuadrado es el cuádruple de su lado”; o en el caso del área de un triángulo, A=

hxh 2

entendemos: “el área de un triángulo es la mitad del producto de su base y su altura”. El lenguaje algebraico se basa en la represtación de expresiones comunes por medio de expresiones algebraicas.

Una expresión algebraica2 es la combinación de números y letras relacionadas mediante las operaciones aritméticas básicas.

Las literales que aparecen en ellas se llaman variables y representan números reales en general. En el planteamiento de modelos para la resolución de problemas algebraicos es necesario conocer la equivalencia entre el lenguaje verbal cotidiano y el lenguaje algebraico. Para esto, considera el siguiente listado de palabras con su respectivo significado algebraico, el cual es indispensable aprender para 2 Más adelante se hará un análisis más profundo de las características generales de las expresiones algebraicas.

38

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

su posterior aplicación, especialmente en el planteamiento de problemas verbales. Operación

Operador +

Suma, más, adición, agregar, aumentar, añadir Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar

-

Múltiplo de, del, veces, producto, por, factor

• /÷

Dividir, cociente, razón, es a Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a

Enunciado

=

Expresión algebraica

Un número cualquiera

x

Antecesor de un número cualquiera

x-1

Sucesor de un número cualquiera

x+1

Cuadrado de un número cualquiera

x2

Cubo de un número cualquiera

x3

Doble de un número, duplo, dos veces, número par, múltiplo de 2

2x

Triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de 3

3x

Cuádruplo de un número

4x

Quíntuplo

5x

Mitad de un número, un medio de

1 x 2

o

x 2

Tercera parte de un número, un tercio de

1 x 3

o

x 3

Número impar cualquiera

2x+1 ó 2x - 1

Semi-suma de dos números

x+y 2

Semi-diferencia de dos números

x−y 2

39

B1

 Números consecutivos cualesquiera Números pares consecutivos Números impares consecutivos

x, x+1, x+2,..... 2x, 2x+2, 2x+4,.... 2x+1, 2x+3, 2x+5, …

Número cualquiera de dos dígitos

10x + y

Simétrico de un número cualquiera

-x

Inverso multiplicativo (recíproco) de un número diferente de cero cualquiera

1 , x≠0 x

La suma de dos números es igual al doble de su diferencia

x + y = 2(x - y)

Es importante resaltar que en la expresión algebraica x, el coeficiente y el exponente son 1, por lo cual no se ponen; es decir, x=1x1

Actividad 1. Completa la siguiente tabla al colocar la expresión algebraica que corresponda al enunciado

Un número aumentado en 5 unidades Un número disminuido en 10 unidades La suma de dos números consecutivos El producto de 3 números cualquiera La suma de los cuadrados de dos números cualquiera La semidiferencia de dos números cualquiera El cuadrado del doble de un número El cociente del cuadrado de un número La mitad de triple de un número El cuadrado de la suma de dos números cualquiera La raíz cuadrada del cociente de dos números El semiproducto del triple de un número y su cuadrado La semisuma de los cuadrados de tres número consecutivos La quinta parte del cuadrados de un número 40

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

2. Expresa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas

5a x+9 (x + y)3 a+b 1 xy 3 1 (a + b) 4 x+y x−y 2x – 5

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ‘ALGEBRAICA

Las fórmulas mencionadas anteriormente, además de representar modelos matemáticos, forman un caso particular de ecuaciones donde la variable a calcular aparece explícitamente en función de una expresión algebraica que, a su vez, depende de las demás variables relacionadas. Es decir, en la fórmula del perímetro de un cuadrado. P = 4L la fórmula indica que el valor del perímetro depende del valor de la longitud de su lado, o bien, la fórmula de la velocidad, d t indica que ésta depende de la distancia recorrida (d) y del tiempo utilizado para ello. v=

41

B1

 Cuando asignamos valores particulares a las variables de una expresión algebraica, obtenemos su valor numérico: Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al reemplazar o sustituir en ellas las variables presentes por valores numéricos previamente determinados.

Ejemplo Completa la siguiente tabla determinando el valor numérico de las expresiones indicadas. Expresión

Valor de las variables

Sustituciones y operaciones

Resultado

2(a + b)

a = 2, b = 6

2(2+6) = 2(8) = 16

16

3a + 2b c

a = 3, b = 3, c=5

3(3) + 2(3) 9 + 6 15 = = =3 5 5 5

3

5 x + 3 y − 2z a−b

a =5, b = 2, x= 2, y = -2 z=-3

5(2) + 3(−2) − 2(−3) 10 − 6 + 6 10 1 = = =3 3 5−2 3 3

3 13

a = 4, b = -12,

−b + b2 − 4ac c = -16 2a

=

vt +

at 2 2

v = 20, a = -4 t=5

4

−( −12) + ( −12)2 − 4( 4 )( −16) 12 + 144 + 256 = 2( 4 ) 8 12 + 400 12 + 20 32 = = =4 8 8 8

20(5) +

( −4 )(5)2 ( −4 )(25 = 100 + = 100 − 50 = 50 2 2

50

Actividad

Completa las siguientes tablas con los valores de la expresión algebraica dada. 1. Verónica fue de vacaciones al rancho de su tío, quien va a parcelar parte de su terreno para el cultivo de diversas hortalizas y quiere saber cuántos metros de tela ciclónica debe comprar. Norma hizo la siguiente tabla para ayudar a su tío a calcular la longitud de la tela. Completa la tabla y responde lo que se te pide.

42

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

Hortaliza

a

b

Lechuga

25

30

Pepino

30

40

Zanahoria

25

25

Cilantro

40

30

Perejil

40

20

Tomate

50

40

Chile

55

45

Perímetro P = 2a + 2b (m)

Área A = ab (m2)

2(25) + 2(30) = 50 + 60 = 110

(25)(30) = 750

a) ¿Cuánta tela debe comprar?______________________________________________ b) ¿Para cuál hortaliza utilizará más tela?_____________________________________ c) ¿Cuál hortaliza ocupará mayor superficie?___________________________________ 2. Calcula el perímetro y el área de los trapecios cuyas medidas son las indicadas. Área

Perímetro a+b+c+d

Trapecio

a

b

c

d

h

1

8

12

6

6

4 8 + 12 + 6 + 6 + 4 = 26

2

6

8

5

7

5

3

10

7

4

6

3

4

8

16

7

7

4

5

11

5

6

6

4

6

6

7

3

8

3

7

15

10

6

7

5

8

10

2

5

5

3

9

20

10

8

8

5

10

10

4

5

5

4

a+b h 2

8 + 12 10 4= 4 = 5( 4 ) = 20 2 2

3. Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las variables indicados.

1

y

z

4

3

8 2(4) + 3(3) = 8+9 =17

2

3

4

8

3

8

3

4

4

3

8

4

5

8

4

3

6

4

8

3

 2x + z   y 5  

x2 + y2 z

2x+3y

x

2 2 4 +3 8

=

16 + 9 8

=

25 8

 2 ( 4 ) + 8   8 + 8  16  5 = 5 = 5    

(x+y+z)2 (4 – 3 + 8)2 = (9)2 = 81

43

B1

 7

5

3

2

8

3

2

5

9

5

8

1

10 5

0

3

Actividad 1. El número 195 se ha obtenido al multiplicar dos números impares consecutivos. ¿Qué par de números se han multiplicado? 2. La suma de los cuadrados de los 5 primeros enteros positivos es 55. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los 4 primeros enteros positivos? 3. La suma de los cuadrados de los 20 primeros enteros positivos es 2.870. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los 19 primeros enteros positivos? 4. ¿Cuál será el cociente de dividir el número que resulta del producto 27 x 31 x 35 x 39 x 43 entre el que resulta del producto 43 x 39 x 35 x 31 x 3? 5. A Dani le dijeron que multiplicara un número por 5 y, por error, lo que hizo fue dividirlo por 5. La respuesta que dio fue 5. ¿Qué respuesta debería haber dado si hubiera hecho lo que le dijeron? 6. Al repartir cierta cantidad de caramelos entre 18 niños, a cada uno le tocaron 12. Si hubiera habido 6 niños menos, ¿cuántos caramelos habría recibido cada uno? 7. ¿Cuál es el mayor número que, siendo menor de 2468, es divisor de 2468? 8. En un test de 50 cuestiones, se puntúa 5 puntos por cada respuesta correcta, 2 puntos por cada respuesta en blanco y 0 puntos por cada respuesta errónea. Si Eva contestó 40 cuestiones de las que 18 eran correctas, ¿cuál fue su puntuación? 9. Si multiplicáramos los 9 primeros números naturales, ¿cuál sería la última cifra del resultado? 10. Si multiplicáramos todos los números enteros desde el 23211 al 23219, ¿cuál sería la última cifra del resultado?

44

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

Autoevaluación 1. Es un número primo a) 21

b) 33

c) 43

d) 65

e) 77

c) 79

d) 77

e) 21

c) 369

d) 174

e) 255

c) 458

d) 784

e) 146

d) 3×52×7

e) 2×3×5×11

d) 12

e) 36

d) 1200

e) 36580

e) 1.44

d) 1.694

d) 2

e) ½

2. No es un número primo a) 17

b) 23

3. Es un número no divisible por 3 a) 122

b) 123

4. Es un número divisible por 3 a) 132

b) 321

5. Representa la factorización de 210 a) 2×3×5×7

b) 22×3×5

c) 32×5×7

6. El máximo común divisor de 36, 80 y 120 es a) 8

b) 9

c) 4

7. El mínimo común múltiplo de 45, 120 y 150 es a) 1800

b) 3600

c) 1500

8. La representación decimal de a) 0.785

b) 1.44

25 es 36 c) 0.694

9. La fracción simple equivalente a es a) 1/6

b) ¼

c) 4

10. Es la fracción mixta de

a) 1011 25

b) 9 9

25

125 11 c

c) 12 7

11

d) 4 7

11

e) 114

11

11. Una fracción mayor a es a) ½

b) 1/4

c) 9/12

d) 12/13

e) 16/22

c) 720

d) 480

e) 1800

12. El 24% de 4000 es a) 1200

b) 960

45

B1

 13. Una camisa tiene un precio de venta de $ 240 pero por fin de temporada tiene un 25% de descuento. El precio que se paga es a) 300

c) 200

b)

d) 180

e) 120

d) 1

e) 64

d) 57

e) 56

d) 552

e) 60

14. Representa a un número irracional a) 13

b) 36

c)

15. El resultado de es 3(24 ) + a) 60

9

5 64 (33 )(23 ) − 4 ( 4 + 2)3 c) 58

b) 59

{

}

16. El resultado de es 12 + 2 4 16 − 3 ( 8 − 5 )  a) 48

b) 68

c) 212

17. La expresión algebraica determinada por el enunciado “el cociente de la suma de dos números y su diferencia” es a) (a + b )(a − b ) b) a − b a+b

c) a + b a−b

d) ab a−b

e) a + b ab

d) El triple de la suma de un número aumentado en cinco unidades

e) Ninguna de las anteriores

18. El significado de la expresión 3x2 +5 es a) El triple del cuadrado de un número aumentado en 5 unidades

b) El cuadrado del triple de un número aumentado en 5 unidades

c) El triple de la suma del cuadrado de un número aumentado en 5 unidades

2 19. El valor numérico de la expresión b + b − 4 ac cuando a = 3, b = 10 y c = 3 es 2a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

20.

El valor numérico de la expresión cuando v = 20, g = 10, t = 8 es

a) 160

b) 480

c) 320

d) 240

e) 640

Evaluación formativa Rubén, un estudiante mexicano, que vive en Singapur, se estaba preparando para viajar al mundial de Sudáfrica y permanecer ahí durante tres meses como participante en un intercambio estudiantil. Necesitó cambiar dólares de Singapur (SGD) a rands de Sudáfrica (ZAR). 46

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

a) Rubén encontró que el tipo de cambio entre los dólares de Singapur y los rands de Sudáfrica era: 1 SGD = 4.2 ZAR. Rubén cambió 3,000 dólares de Singapur a rands sudafricanos a este tipo de cambio. ¿Cuánto dinero en rands sudafricanos recibió Rubén?

Respuesta:................................................... b) Al regresar a Singapur después de 3 meses, Rubén tenía 3,900 ZAR. Los cambió de nuevo a dólares de Singapur y se dio cuenta de que había un nuevo tipo de cambio: 1 SGD = 4.0 ZAR ¿Cuánto dinero en dólares de Singapur recibió Rubén?

Respuesta:................................................... c) Durante estos 3 meses, el tipo de cambio pasó de 4.2 a 4.0 ZAR por SGD. ¿Resultó a favor de Rubén que el tipo de cambio actual fuera de 4.0 ZAR en lugar de 4.2 ZAR cuando cambió sus rands sudafricanos a dólares de Singapur? Explica tu respuesta.

________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ _________________________________________________ ________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________

47

B1

 Escala de Rango Nombre del alumno: Escala de valoración: 0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio Aspectos observables

Sí

No

Estimación

Comprendió la situación Resolvió las operaciones necesarias del problema a) Resolvió las operaciones necesarias del problema b) Resolvió las operaciones necesarias del problema c) Explicó la respuesta del problema c) Presentación de las soluciones TOTAL:

Observaciones: Nombre de quien revisó:

48

Cal =

Total ×100 18