Sapiens. Revista Universitaria de Investigación ISSN: 1317-5815 [email protected] Universidad Pedagógica Experimental Libertador Venezuela

Ortiz Buitrago, José Incorporación de la calculadora gráfica en el aula de matemática. Una discusión actual hacia la transformación de la práctica. Sapiens. Revista Universitaria de Investigación, vol. 7, núm. 2, diciembre, 2006, pp. 139-157 Universidad Pedagógica Experimental Libertador Caracas, Venezuela

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Incorporación de la calculadora gráfica en el aula de matemática...

Incorporación de la calculadora gráfica en el aula de matemática. Una discusión actual hacia la transformación de la práctica.* José Ortiz Buitrago

Universidad de Carabobo

Resumen Se hace una presentación de las nuevas tecnologías, específicamente la calculadora gráfica, y sus usos didácticos; así como los resultados de algunas investigaciones efectuadas en distintos contextos hasta llegar a nuestras propias reflexiones. Se mencionan algunas experiencias realizadas y otras en ejecución, las cuales ponen de manifiesto que la enseñanza de la matemática con el apoyo de nuevos recursos tecnológicos, como la calculadora gráfica, contribuye a fortalecer un proceso natural de comprensión del conocimiento matemático y sus aplicaciones. Se parte de la consideración que el uso adecuado de esas nuevas tecnologías  contribuirá a que el profesor de matemática incremente sus competencias didácticas, para hacer más significativos los logros de sus alumnos, cuando diseña y gestiona actividades didácticas que incorporan la calculadora gráfica como uno de sus organizadores. Se recomienda incrementar la investigación como vía  para avanzar hacia la incorporación adecuada de la calculadora gráfica u otros recursos didácticos  en el aula. Palabras clave: Nuevas tecnologías, enseñanza de la matemática, formación de profesores de matemáticas, calculadoras gráficas, investigación en educación matemática.

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Recibido: febrero 2006. Aceptado: septiembre 2006.

Sapiens. Revista Universitaria de Investigación, Año 7, No. 2, diciembre 2006 139

José Ortiz Buitrago



Abstract Inclusion of the Graphic Calculator in the Teaching of Mathematics. A discussion for the transformation of its practice. It is a presentation on the didactical use of new technologies, specifically the graphic calculator, as well as the results of some researches in different contexts up until our own reflections. Mention in made of some implemented projects and others in progress, which show that mathematics education with the support of new technological resources, like the graphic calculator, contribute to fortify a natural process of understanding of the mathematical knowledge and its applications. Starting from the consideration that an adequate use of these new technologies will contribute to an increase of the Mathematics teacher didactical skills that will make the student´s achievements more meaningful when he designs and manager didactical activities that involve the graphic calculador as one of its organizers. It is recommended to increase research, advance towards a suitable incorporation of the graphic calculator or other didactic resources in the classroom. Key words: New Technologies, Mathematics Teaching, Mathematics Teachers Training, Graphic Calculator, Research in Mathematics Education.

Introducción La idea de sociedad global ha significado un acercamiento a las nuevas tecnologías y cambios a distintos ámbitos de la sociedad. En particular, en la Educación, las nuevas tecnologías se han ido incorporando como un recurso al cual, cada vez más, recurren los docentes. A estos cambios no ha estado ajena la didáctica de la matemática, donde el uso de nuevos recursos en la enseñanza y aprendizaje ocupa el interés de educadores e investigadores en diferentes países. Un campo particular de atención ha sido la formación del profesor de matemáticas para el desempeño en el ambiente de las nuevas tecnologías, así como la conformación de una infraestructura dentro de ese nuevo contexto.  Lo planteado en el párrafo anterior ya ha sido considerado por sociedades de profesores y por diversos organismos internacionales. Por ejemplo, The National Council of Teachers of Mathematics recomienda el uso extensivo de calculadoras y computadoras en todos los niveles educativos (NCTM, 2000). Asimismo, la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) recomienda a los gobiernos su uso, argumentando que las nuevas tecnologías brindan una posibilidad sin precedentes y que aportan grandes ventajas en el plano pedagógico (Delors, 1996).   En el contexto de la Educación Matemática tiene particular interés el estudio del aprendizaje y la enseñanza de conceptos matemáticos y sus relaciones, a manera de lograr que cada individuo pueda comprender mejor 140 Sapiens. Revista Universitaria de Investigación, Año 7, No. 2, diciembre 2006

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su mundo fenomenológico y alcanzar los niveles de conocimiento necesarios para desenvolverse en la sociedad presente y futura. La aparición del computador ha permitido avanzar, en distintas esferas de la vida del hombre, hasta límites insospechados hace algunos años. Se ha ido pasando del cálculo numérico al cálculo simbólico, lo cual ha dado como resultado un cambio del abordaje de los problemas matemáticos pues, ahora por ejemplo, se puede hacer más hincapié en el aprendizaje de conceptos y comprensión de los problemas, debido a la rapidez de ejecución de cálculos complejos, que restaban tiempo a la comprensión de conceptos e ideas involucradas en la resolución de problemas. Por otra parte, la forma de adquirir los conocimientos también ha cambiado con la interacción estudiante-tecnología; es decir, el alumno introduce expresiones simbólicas en lenguaje matemático y sus respuestas son dadas siguiendo los mismos códigos y de acuerdo a lo esperado, también escrito de la misma manera simbólica que lo propuesto.  Es muy importante reconocer que el uso y manejo de las tecnologías conlleva ciertas responsabilidades tanto éticas como del conocimiento de su utilización y funcionamiento. En cuanto a lo ético las tecnologías por si solas no son ni buenas ni malas, depende de la manera como el hombre les dé uso racional y productivo. Tampoco son la panacea, ni la antítesis del espíritu humano, son una herramienta para contribuir a la comprensión del mundo y a la indagación y profundidad de las cosas, elementos o situaciones. La potencia de la tecnología puede ayudar a los estudiantes a desarrollar comprensión y aplicación de conceptos matemáticos.   Son muchos los autores que sostienen que el uso de la tecnología en la clase de matemáticas es uno de los tópicos que ha generado más atención entre los educadores matemáticos de diferentes niveles educativos. También hay quienes consideran que los profesores de matemáticas pueden cambiar su papel de “poseedores” del conocimiento a motivadores del aprendizaje, con lo cual contribuyen a proporcionar a los alumnos la base necesaria para comprender y relacionar los nuevos conocimientos con los ya adquiridos (Novak y Gowin, 1988). Sin embargo, a pesar del avance tecnológico y la aparición de nuevas tecnologías con alta potencialidad didáctica, encontramos que los profesores son formados, en la mayoría de las universidades, con metodologías basadas en la explicación mediante clases magistrales.   La reflexión sobre la enseñanza de las matemáticas no debe estar ajena a las implicaciones y uso de las nuevas tecnologías en la formación de los profesores de matemática, desde su acercamiento necesario como usuarios hasta la utilización  como recurso didáctico. En relación a la función didáctica, se debe tener presente que las nuevas tecnologías no sustituyen al profesor en el proceso de enseñanza, sino que le plantea nuevos retos y le exige nuevas competencias.  Sapiens. Revista Universitaria de Investigación, Año 7, No. 2, diciembre 2006 141

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De ahí el énfasis en el conocimiento profesional del profesor de matemáticas, que le aporte opciones para utilizar y valorar un mayor número de materiales y recursos, determinar y establecer las secuencias metodológicas a incorporar en el aula y reforzar los conceptos y procedimientos matemáticos que le sugieran nuevas formas de evaluar e interactuar con los alumnos. En Venezuela la poca atención a la formación didáctica específica del profesor de matemáticas, lo induce a recurrir en su campo profesional al ensayo y error como el principal instrumento para aprender a enseñar (Marcelo, 1992). Una manera de contribuir a superar esta limitación sería el acercamiento de los profesores en formación a las nuevas tecnologías, lo cual podría inducir cambios en  el desempeño de su futura actividad profesional con la incorporación de nuevos dominios de enseñanza que harían mucho más fecundo el proceso de aprendizaje de las matemáticas.  La incorporación de las nuevas tecnologías en educación es objeto de interés en diferentes ámbitos. Desde la educación matemática se han realizado esfuerzos para su inclusión en el currículo de una manera sistemática y congruente con las necesidades escolares actuales, de tal manera que se avance en el logro de un aprendizaje significativo de las matemáticas. Esta idea es compartida por Kaput (1992) y Galbraith & Haines (1998, 2001) para quienes las nuevas tecnologías informáticas tienen un impacto potencial sobre la comprensión de las matemáticas por parte de los alumnos. Sin embargo, la utilización de las nuevas tecnologías en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas es objeto de controversia, desde los que sostienen que su empleo únicamente trivializa los procesos de enseñanza y aprendizaje hasta los que argumentan, por el contrario, que introduce una complejidad exacerbada en la actividad del docente y del alumno. Para autores como Trouche (2000, 2005) la introducción de la tecnología no simplifica el trabajo del profesor ni del estudiante, sino que requiere la construcción de una enseñanza compleja y un ambiente de aprendizaje adecuado. Asimismo, este autor agrega que el ambiente con las calculadoras necesita ser construido por los profesores, de manera que potencien en sus alumnos actitudes favorables y una mejor relación con el conocimiento matemático. Si dichos recursos no son utilizados adecuadamente pueden llegar a ocultar más que iluminar las matemáticas en las situaciones del mundo real (Blum y Niss, 1991). Uno de los proyectos en marcha, dirigidos a la inclusión de las nuevas tecnologías en los currículos, es el reportado por Usiskin (2000), director del University of Chicago School Mathematics Project (UCSMP), donde afirma que si se evita la incorporación de la tecnología, condenamos a los alumnos al desconocimiento de gran parte de las matemáticas. Por este motivo, en el UCSMP se contempla la utilización de computadores y calculadoras, 142 Sapiens. Revista Universitaria de Investigación, Año 7, No. 2, diciembre 2006

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admitiendo que éstos no solo condicionan la aproximación al estudio del contenido matemático, sino también al contenido en sí mismo. En el UCSMP, los profesores y alumnos consideran variaciones de enfoques en los problemas, prueban conjeturas, procesan grandes masas de datos, dibujan figuras geométricas precisas y representan los conceptos de maneras diferentes.  En general, son muchos los retos y las expectativas que se abren con la incorporación de las nuevas tecnologías en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, uno de ellos está en la formación de docentes con el dominio didáctico que les permita el aprovechamiento de las nuevas tecnologías como recursos, tanto en la planificación como en la gestión de las actividades didácticas a desarrollar con sus alumnos, con un sentido innovador y crítico.

Calculadoras gráficas en el aula  El auge de las calculadoras en educación matemática ha ido perfilándose en diferentes direcciones. La calculadora, desde su aparición, ha generado inquietudes tanto en el ámbito docente como de investigación. Según Dick (1992) si se utiliza la calculadora gráfica en la escuela, ocurrirá un redireccionamiento del currículo hacia una disminución del cálculo numérico y simbólico, lo cual favorecerá la profundización en el aprendizaje conceptual. En ese mismo sentido, Dunham y Dick (1994) afirman que la disponibilidad de calculadoras gráficas ha motivado a reexaminar el cómo enseñar matemáticas. Es decir, para los autores, las calculadoras gráficas pueden facilitar cambios en los roles de los alumnos y de los profesores en el aula, resultando unos ambientes de aprendizaje con mayor interactividad y exploración. En ese sentido, la calculadora gráfica puede ser un catalizador y no un obstáculo en el aprendizaje de las matemáticas.  Dunham y Dick (1994), se preguntan si la calculadora gráfica es sólo para confirmar resultados obtenidos con papel y lápiz, o, para incentivar la exploración y la investigación. Agregan que la sola presencia de la calculadora gráfica no determina su uso, por ejemplo, para relacionar gráficos con sus ecuaciones, interrelacionar sistemas de representación, entre otras acciones de índole cognitiva. Para estos autores la resolución de problemas se puede mejorar porque: 1) las calculadoras gráficas dan más tiempo para la instrucción mediante la reducción de atención a la manipulación algebraica, 2) las calculadoras gráficas suministran más herramientas para la resolución de problemas, especialmente para estudiantes con poca fortaleza en habilidades algebraicas, y 3) los alumnos perciben la resolución de problemas de una manera distinta, concentrándose en la comprensión del problema y en el análisis de la solución. Sapiens. Revista Universitaria de Investigación, Año 7, No. 2, diciembre 2006 143

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En cuanto a las necesidades futuras, Dunham y Dick  se preguntan acerca de cuáles son las habilidades con papel y lápiz que siguen siendo importantes con la incorporación de la calculadora gráfica. Sobre este último aspecto, Herget, Heugl, Kutzler y Lehmann (2000), se preguntan ¿qué habilidades manuales de cálculo con papel y lápiz necesitan los alumnos cuando utilizan calculadoras gráficas?. Estos autores parten del hecho que los sistemas de cálculo simbólico1 (CAS), en particular las calculadoras gráficas, llegarán a ser una herramienta estándar para enseñar y aprender matemáticas. En su artículo, consideran que más importante es la distinción entre las metas del “resolver una operación” (que puede ser relegado a una calculadora) y “elegir una estrategia” (que no puede ser hecho por un calculador). Los autores presentan una lista de hechos para los cuales indican cuando se requiere usar tecnología y cuando no es necesario. Asimismo, muestran situaciones donde tienen duda para decidir entre el uso o no de tecnología. Al respecto, en el cuadro 1, a manera de ejemplo, Herget et al (2000) proponen algunos hechos relativos a los temas de ecuaciones e inecuaciones. Del cuadro 1 se podría deducir que las ecuaciones de la forma ax+b=c donde a, b y c son parámetros fijos, los alumnos deberían realizarlas sin acudir a la tecnología, mientras que se debería acudir a la tecnología para resolver las ecuaciones de la forma ax+b=cx+d, donde a, b, c, d son parámetros fijos. No se presentan casos de situaciones de duda para utilizar o no la tecnología. Respecto a la resolución de la ecuación x+1=x+1 se espera que los alumnos la desarrollen sin tecnología. Por otra parte, se presenta duda entre usar o no la tecnología con el caso de la ecuación 2(x+1)=2x+2. No se presentan casos de esta naturaleza para ser resueltos con el empleo de la tecnología.

Cuadro 1. Desarrollar sin tecnología

Duda entre usar o no la tecnología

Resolver 5x-6=2x+15

Resolver 5x-6=15 Resolver x+1=x+1

Resolver 2(x+1)=2x+2

Para cuáles x es: x-2