EL NÚMERO DE ORO El número áureo recibe muchos y misteriosos nombres que despiertan una curiosa fascinación en el oyente: sección áurea, divina proporción, número de oro, razón áurea, media de oro, proporción de oro,… Matemáticamente recibe el prosaico nombre de phi (se pronuncia FI), que es la letra griega equivalente a nuestra F, la letra φ. Se le llama así en honor del escultor griego Fidias, quien utilizó mucho esta proporción en su obra. El número áureo es un número irracional; es decir, un número con infinitos decimales (como el número PI, que no hay que confundir con phi), que se encuentra por todas partes en la Naturaleza y en ciertas proporciones. Las creaciones artísticas que hacen uso de este número nos resultan a los humanos, según algunos, especialmente armoniosas. Desde la antigüedad obras arquitectónicas, pintura, y música han aplicado la proporción áurea como base de la distribución y composición de las mismas. El pintor Alberto Durero se ocupó de ella en 1525 en su obra Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde aparece por primera vez la llamada “espiral de Durero” que el artista diseñara mediante regla y compás basándose en la proporción áurea. Hay quien afirma que el Hombre de Vitrubio, el rostro de la Gioconda y la Última Cena están diseñados utilizando la proporción áurea; e incluso que el propio Partenón fue creado en base al número de oro. Se dice también que se emplea en marketing para hacer más agradables a la vista determinados productos, como las cajas de cigarrillos. EL NÚMERO DE ORO EN EL PENTAGRAMA Aparece en muchas figuras geométricas; por ejemplo en el pentáculo o estrella de cinco puntas; una figura que nos fascina, desde la más remota antigüedad, por su armonía interna, armonía que se debe a la presencia en él del número phi. Da igual lo grande o pequeño que sea el pentáculo:

Ármate de regla, mide las longitudes de las líneas de color y haz las siguientes operaciones.

1. Divide la línea amarilla entre la punteada verde 2. Divide la línea roja entre la azul 3. Divide la línea azul entre la violeta Todas estas operaciones dan el mismo resultado… ¡el número phi! Si la línea violeta midiera 1, cualquier lado de la estrella, como la línea azul, mediría phi; cada lado de la estrella mediría phi al cubo (el producto de phi por phi por phi); y la suma de un lado de la estrella y de un lado del pentágono del que parten las puntas (línea violeta más línea amarilla), es phi al cuadrado (phi por phi). Se cumple además que AC/AB da como resultado lo mismo que AB/BC. O lo que es lo mismo. Si llamamos “a” a la longitud de AB; y “b” a la d de BC; resulta que (a+b)/a es igual a a/b; o sea, phi. Si despejamos a obtenemos una ecuación de segundo grado, que nos permite calcular que el número phi es (√5+1)/2 El resultado es un número de infinitas cifras decimales (irracional). Una aproximación es: 1.618033988749895 PROPIEDADES CURIOSAS DE PHI Al inverso de este número (1/phi), se le suele representar como Phi (con la p en mayúsculas), o mediante la letra griega Phi en mayúsculas: Φ. Y se da otra curiosa propiedad de este sorprendente número: phi = Phi + 1 O lo que es lo mismo: phi = 1 + 1/phi Expresado con las letras griegas: φ=Φ+1 φ = 1+1/φ Además es el único número real que cumple que al multiplicarse por si mismo es igual a él mismo más 1. En otras palabra, phi al cuadrado es igual a phi más 1 Es posible relacionar phi y otro número famoso, Pi, empleando funciones trigonométricas: phi=2cos(PI/5) Una curiosidad, el seno del número de la bestia es la mitad de phi con signo negativo: sen(666)=-phi/2. LA SECUENCIA DE FIBONACCI El número phi está profundamente relacionado con la secuencia de Fibonacci. Fibonacci (Leonardo de Pisa), fue un matemático italiano del siglo XIII que describió una

secuencia de números, conocida ya por matemáticos hindúes, mediante los cuales se llegaba a phi. Dicha secuencia es ésta: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . Para obtenerla partimos de 0 y 1 y vamos colocando a la derecha el resultado de sumar los dos últimos números de la serie: 0+1=1 1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 … ¿Qué tiene qué ver esto con phi? Si dividimos un número de la serie de Fibonacci por el anterior obtenemos un número que cada vez se aproxima más a phi. De hecho cuanto más grande es el número que tomemos de la secuencia, al dividirlo por el anterior, más nos acercamos a phi. Así en el infinito de la serie, al dividirlo por su anterior obtendríamos phi. La serie de Fibonacci se emplea muchísimo en Matemáticas y ciencia de la computación, y aparece en la descripción de muchos fenómenos físicos.

Por ejemplo, los brazos de las galaxias, o el dibujo de las conchas de caracol, la distribución de pétalos de flores, pipas en un girasol, piñones en una piña, etc. Muchas espirales de la naturaleza se inscriben en cuadrados cuyos lados siguen las medidas de la serie de Fibonacci. La concha de un Nautilus, el famoso fósil viviente, se inscribe así en cuadrados cuyos lados tienen de longitud los números de la serie:

PHI Y EL RECTÁNGULO ÁUREO El conocido matemático griego Euclides, que vivió en el siglo IV a.C. describió en su obra “Elementos” como crear un rectángulo áureo. Dibujamos un cuadrado de dos unidades de lado. Tomamos un compás y lo situamos en la mitad de uno de ellos (en la figura marcado como G), y trazamos un arco de circunferencia de radio GC (la línea punteada):

Obtenemos así el segmento BE a parir del cual podemos dibujar el rectángulo BEFC, un rectángulo áureo. Se le llama así porque su lado mayor dividido por su lado menor es exactamente el número phi. Por otra parte el rectángulo AEFD es otro rectángulo áureo. Esta proporción habría sido empleada en el arte y en marketing hasta la saciedad: tarjetas de crédito, cajetillas de cigarrillos, monitores y pantallas panorámicas, etc responderían a la divina proporción. En cualquier caso suele ser un tópico en cualquier asignatura dedicada a la composición y el diseño. VERDADES Y MENTIRAS SOBRE EL NÚMERO DE ORO El Código Da Vinci, de Don Brown ha popularizado el número de oro, φ. No obstante este famoso best seller contiene una importante cantidad de errores que han contribuido a oscurecer más que a aclarar muchos de los variopintos temas tratados en la obra. Veamos algunos en relación con la sección áurea y la serie de Fibonacci: En el libro se afirma que Fibonacci fue el creador de la serie que lleva su nombre. Cualquier aficionado a las matemáticas sabe que eso no es cierto. Fibonacci conoció la

serie gracias a los matemáticos árabes, los cuales a su vez la conocían gracias a matemáticos hindúes. Brown además afirma que el cociente entre abejas macho y abejas hembra "en cualquier panal del mundo" es phi. Es una afirmación absurda. Esta proporción varía continuamente, pero nunca es phi. En otoño los zánganos, que ya cumplieron su cometido, son expulsados de la colmena y mueren. en primavera y verano vuelven nacen más zánganos, pero la proporción nunca es la razón áurea. Por una reina suele haber entre 300 y 1000 zánganos; y entre 45000 a 55000 hembras, las abejas obreras. Es evidente que ninguna de estas cantidades permite descubrir la proporción áurea. Desde mucho antes que Brown diferentes investigadores han buscado la proporción áurea en todo tipo de construcciones, esculturas, pintura, música, etc; incluidas las pirámides de Egipto, los cuadros de Leonardo, la catedral de Chartres, el Partenon de Atenas, etc. Hay una abundante bibliografía acerca de la "Geometría Sagrada". En algunos casos se ha recurrido a "encajar" de modo muy rebuscado dichas obras en patrones asociados a la proporción; y es este un terreno abonado para la especulación. No cabe duda, sin embargo, de que muchas obras de arte lo aplican, consciente o inconscientemente como ya apuntamos. Es muy posible que muchos artistas, aún sin saberlo, lo hayan aplicado sencillemante llevados por su singularidad estética.