(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

FUNCIONES DEFINIDAS EN VARIOS INTERVALOS En problemas de ingeniería es común trabajar con fenómenos que se modelan con funciones que consideran más de una regla de correspondencia, esto es, fenómenos que en un intervalo de su dominio presentan un comportamiento que cambia en otros intervalos. Ejemplo. Función valor absoluto: ⎧− x f ( x) = x = ⎨ ⎩ x

si si

x 0

⎧ cos θ = 1 ⎨ ⎩ senθ = 0 x

⎧cos θ = −1 ⎨ ⎩ senθ = 0 ⎧cos θ < 0 ⎨ ⎩ senθ < 0

III cuadrante

⎧cos θ > 0 ⎨ ⎩ senθ < 0 ⎧ cos θ = 0 ⎨ ⎩ senθ = −1

IV cuadrante

Las funciones seno y cos eno son periódicas con periodo ρ = 2π , luego: sen (θ + 2π ) = senθ y cos (θ + 2π ) = cos θ senθ tanθ = cos θ cos θ 1 1 1 cot θ = ; secθ = ; cscθ = = senθ tanθ cos θ senθ Identidades Trigonométricas más importantes: sen2θ + cos2 θ = 1 sec2 θ − tan2 θ = 1 cos (θ ± ϕ ) = cos θ cos ϕ ∓ senθ senϕ sen (θ ± ϕ ) = senθ cos ϕ ± senϕ cos θ cos 2θ = cos2 θ − sen2θ sen 2θ = 2 senθ cos θ 1 1 cos2 θ = + cos 2θ 2 2 1 1 sen2θ = − cos 2θ 2 2 ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Para graficar estas funciones trigonométricas y determinar su dominio y recorrido, es conveniente construir la siguiente tabla en la que se obtienen los valores de estas funciones correspondientes a valores de θ comprendidos entre 0

y

f

2π , cada 0

Sen

0

Cos

1

Tan

0

Cot

∞

Sec

1

Csc

∞

π

0

( 30 ) : 6

π

π

π

2π

5π

6

3

2

3

6

1

3

3

1

2

2

3

1

2

2

3

3

3

3

3

3

2 3

2

3

2 3

2

3

1

1

0

−

∞

− 3

0

−

−

2

−

3 3

−

2 3

−2π

3

−1

3

11π

6

3

2

3

6

1 2

3

−

−

3

2 3

2

− −π

−2

3

−

2

3

2

2

0

−

−

3

3 3

− 3

3

2 3

2

−

1

1

− 3

−1

3

−

2

∞

∞

2 3

3

3

2 3

−2

3

2π

0

1

0

∞

1

∞

Rf = ⎡⎣−1,1⎤⎦ 3π

π

π

2

2

2

π

2

y

f ( x ) = cos x

−2 π

2

Df =

−π

3π

0

3

−2

∞

1

3

3

−

−1

2

−

2

1

−

3

−

3

∞

2 3

5π

3

0

3

3π

y

3π 2

3

2

f ( x ) = senx −

2

4π

−

−1

− 3

−2

1

3

7π

−

0

2

2

∞

π

Df =

π

π

2

2 1

5

4

3

2π

6

x

Rf = ⎡⎣−1,1⎤⎦ 3π

π 2

3

2π

2 4

5

6

x

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

15 y

f ( x ) = tan x

−

−2π

⎧ Df = ⎨θ θ ∈ ⎩

3π 2

−

−π

;θ ≠

π

π

2

2

−2π

π

1

2

⎫ + nπ , n ∈ ⎬ 2 ⎭

;

π

f ( x ) = cot x

−

3π 2π

2 4

3

5

Rf =

6

x

ρ =π

;

y

3π 2

− −π

π

π

2

2

; θ ≠ nπ , n ∈

}

π 2

1

Df = {θ θ ∈

3π

;

3

Rf =

2

2π

5

4

;

6

x

ρ =π

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

16 y

f ( x ) = sec x

−

−2 π

3π

−

−π

2

π

3π

π

1

2

π

2

2 1

2

3

2π

x

6

5

4

−1

⎧ Df = ⎨θ θ ∈ ⎩

;θ ≠

π

⎫ + nπ , n ∈ ⎬ 2 ⎭

f ( x ) = csc x

−2π

−

− −π

π

π

2

2 1

Df = {θ θ ∈

;

ρ = 2π

y

3π 2

Rf = ( −∞, −1⎤⎦ ∪ ⎡⎣1, ∞ )

;

; θ ≠ nπ , n ∈

}

;

3π 2

π 2

3

4

2π 5

Rf = ( −∞, −1⎤⎦ ∪ ⎡⎣1, ∞ )

6

;

x

ρ = 2π

Funciones Explícitas Definición. Es aquella en la que la variable dependiente se encuentra despejada, y = f ( x) ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Ejemplo. Las siguientes son algunas funciones explícitas: 2 i) f ( x ) = 2 x 3 − x 2 − 7 x + 6 5 ii) y = − 4 − x 2 ⎧ sen x si − π ≤ x < 0 iii) f ( x ) = ⎨ si 0≤x≤5 ⎩x Funciones Implícitas Definición. Es aquella que se encuentra dentro de una ecuación f ( x, y ) = 0 que la involucra a ella y a otras funciones, y en la que, como se observa, la variable dependiente no se encuentra despejada. Ejemplo. Las siguientes son algunas funciones implícitas: i) x 2 − 3 y + 1 = 0 ii) xy = 1 ; x ≠ 0 iii) 4 x 2 − y 2 − 8 x + 2y − 1 = 0 ; y > 0 iv) y = + x − y

v) y = x 2 ( x + y ) vi) y 3 = x − 2 vii) y 3 = x 2 x2 y 2 + = 1, obtener dos Ejemplo. Dada la ecuación 9 4 funciones explícitas de ella, dar sus dominios y recorridos y hacer un trazo aproximado de sus gráficas.

Solución.

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Función Par Definición. Una función es par si se cumple que f ( x ) = f ( − x ) ∀ x ∈ Df lo que implica que su gráfica es simétrica con respecto al eje "y". Ejemplo. f ( x ) = x 2

y

f ( x ) = cos x

y

y f ( x ) = x2

f ( x ) = cos x

x x f (1.5 ) = 2.25 = f ( −1.5 ) Df =

;

Rf = ⎡⎣0, ∞ )

⎛π ⎞ ⎛ π⎞ f⎜ ⎟ = 0 = f⎜− ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ Df = ; Rf = ⎡⎣−1,1⎤⎦ ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Función Non Definición. Una función es non o impar si se cumple que: f ( − x ) = −f ( x ) ∀ x ∈ Df lo que implica que su gráfica es simétrica con respecto al origen. Ejemplo. f ( x ) = x 3 y

y

f ( x ) = sen x

y f ( x ) = x3

f ( x ) = sen x

x

f ( −1.5 ) = −3.375 = −f (1.5 )

Df =

;

Rf =

x

⎛ π⎞ ⎛π ⎞ f ⎜ − ⎟ = −1 = −f ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ Df = ; Rf = ⎡⎣−1,1⎤⎦

Funciones expresadas en forma paramétrica Existe una forma de representar a una función en la que tanto la variable dependiente "y" como la variable independiente " x " , se expresan en términos de una tercera variable conocida como parámetro de la función. De esta y = f ( x) queda representada forma, una función paramétricamente como: ⎧⎪ x = g ( t ) f:⎨ ⎪⎩ y = h ( t )

; t : parámetro

Ejemplo. Dadas las ecuaciones paramétricas siguientes, obtener el dominio, el recorrido, hacer un trazo aproximado ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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de la gráfica, de la función que representan y obtener sus ecuaciones cartesianas: ⎧⎪ x = t 2 − 1 ⎧ x = 5cos θ ; t ≥ 0 ; ii) f : ⎨ ; π ≤ θ ≤ 2π i) f : ⎨ 4 2 ⎩ y = 3 senθ ⎪⎩y = + t + 2t Solución. ⎧⎪ x = t 2 − 1 i) f : ⎨ 4 2 ⎪⎩ y = + t + 2t

; t≥0

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⎧ x = 5cos θ ii) f : ⎨ ⎩ y = 3 senθ

; π ≤ θ ≤ 2π

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Ejemplo. El mecanismo que acciona los “blancos” en un campo deportivo consta de una corredera horizontal sobre la cual se mueve una rueda con una aguja situada en su periferia. La rueda gira sobre la corredera sin deslizarse. Cada vez que la aguja toca a la corredera, acciona un mecanismo que levanta al “blanco”. En la figura se muestra la trayectoria que describe la aguja al moverse. y

a

t

2a a

2π a

x

La forma más sencilla de describir matemáticamente este movimiento es a partir de ecuaciones paramétricas. En este caso las ecuaciones son: ⎧⎪ x = a ( t − sent ) ⎨ ⎪⎩ y = a (1− cos t ) −1 ≤ cos t ≤ 1; de esta forma, cuando Como se sabe, cos t = −1, y = 2a y cuando cos t = 1 , y = 0 . Luego, el recorrido y el dominio de la función son, respectivamente: Rf = {y 0 ≤ y ≤ 2a ; y ∈ } ; Df = Matemáticamente, el dominio son todos los reales, pero físicamente es imposible. Si el campo de tiro debe contar con 10 blancos, entonces la longitud de la corredera debe ser un poco mayor de x = 9 ( 2π a) = 18π a metros . Si se desea obtener la ecuación cartesiana de esta curva conocida como Cicloide, se hace lo siguiente:

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y = a (1− cos t ) ⇒

cos t =

y = a − a cos t ⇒

t = ang cos

a−y a

a2 − ( a − y ) = 2ay − y 2 2

t a−y ⇒

⇒

a−y a

a

x = a ( t − sent )

23

x = at − asent

⇒

⎛ 2ay − y 2 x = at − a ⎜ ⎜ a ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

a−y − 2ay − y 2 y que es la función, en forma implícita, cuya representación gráfica es la Cicloide. ∴ x = aang cos

OPERACIONES CON FUNCIONES Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales si tienen la misma regla de correspondencia y están definidas en el mismo dominio con mapeo en el mismo contradominio. Adición, sustracción, multiplicación y división de funciones Definición. Sean las funciones f1 y f2 con sus respectivos dominios Df1 y Df2 . Entonces se definen las siguientes funciones:

i) y = f1 ( x ) + f2 ( x )

ii) y = f1 ( x ) − f2 ( x )

iii) y = f1 ( x ) ⋅ f2 ( x )

iv) y =

f1 ( x )

f2 ( x )

;

;

Df1+ f2 = Df1 ∩ Df2

;

Df1− f2 = Df1 ∩ Df2

;

Df1⋅f2 = Df1 ∩ Df2

D f1 = Df1 ∩ Df2

;

f2 ( x ) ≠ 0

f2

Ejemplo. Sean las funciones: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

f = {(1,3 ) , ( 2,5 ) , ( 3,7 ) , ( 4,11) , ( 5,13 ) , ( 6,17 )}

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g = {( −2, −5 ) , ( 0,4 ) , ( 2,3 ) , ( 4,2 ) , ( 6,1)}

Obtener las funciones suma, resta, producto y cociente y dar su dominio. Solución.

Ejemplo. Considérense las funciones: f ( x ) = x2 + 1 y g( x) = + x − 3 Obtener la función suma y dar su dominio. Solución.

Ejemplo. Para las funciones dadas por: 3 x2 + x f ( x) = y g ( x ) = x2 + x3 x−2 Obtener la función resta y dar su dominio. Solución.

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Ejemplo. Sean las funciones: f ( x) = + x −1

y

g ( x ) = + 9 − x2

Obtener la función producto y dar su dominio. Solución.

Ejemplo. Dadas las funciones: f ( x) = +

( x + 2)

3

y

g( x) = +

( x + 3 )( 5 − x )

Obtener la función cociente y dar su dominio.

Si se efectúan las operaciones que a continuación se citan, con funciones pares y nones, se pueden demostrar, lo que se deja al lector, los siguientes resultados: i) función non + función non = función non ii) función non − función non = función non iii) función par × función par = función par iv) función non × función non = función par v) función non ÷ función non = función par ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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vi) función par ÷ función par = función par

Composición de funciones Definición. Dadas las funciones f y g con dominios Df y Dg respectivamente, se define como la composición de la función f con la función g a la función denotada con f g tal que:

⎡⎣f g⎤⎦( x ) = f ( g ( x ) )

f g se lee " f composición g" y se trata de una función cuyo dominio está formado por todos los elementos " x " que " g " , para los cuales g( x) pertenecen al dominio de

pertenece al dominio de " f " , lo que se expresa como: Df g = { x x ∈ Dg ; g ( x ) ∈ Df } f g

f ( g ( x))

x A

C

f

g( x)

g

B y = + x2 + 1 Ejemplo. La función definida por interpretarse a través de: y = + u donde u = x 2 + 1

Esto es, si:

y = f (u ) = + u

y

puede

u = g ( x ) = x2 + 1

entonces: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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y = f ( g ( x ) ) = ⎡⎣f g⎤⎦( x )

luego: y = f g = + x2 + 1 ;

D=

Ejemplo. Considérense las funciones: y = f (u ) = u4

u = g( x) =

y

entonces:

x −1 x +1

4

⎛ x − 1⎞ y = ⎡⎣f g⎤⎦( x ) = ⎜ ⎟ ; Df g = − {−1} x + 1 ⎝ ⎠ Estas mismas funciones pueden escribirse como: x − 1⎫ ⎧ f = (u, y ) y = u4 y g = ⎨( x,u ) u = ⎬ x + 1⎭ ⎩ de donde: 4 ⎧⎪ ⎛ x − 1⎞ ⎫⎪ f g = ⎨( x, y ) y = ⎜ ⎟ ⎬ ; Df g = − {−1} 1 x + ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩

{

}

Ejemplo. Sean las funciones siguientes, dadas como conjuntos de parejas ordenadas ( x, y ) : f = {(1,3 ) , ( 2,4 ) , ( 3,5 ) , ( 4,6 )}

Entonces: f g = {( 3,4 ) , ( 4,3 )}

y

y

Aquí se ve con claridad que: Df g = { x x ∈ Dg ∀ g ( x ) ∈ Df } y

g = {( 0, −3 ) , ( 3,2 ) , ( 4,1)}

g f = {(1,2 ) , ( 2,1)} Dg f = { x x ∈ Df ∀ f ( x ) ∈ Dg }

Ejemplo. Dadas las funciones siguientes, obtener f g y g f y determinar sus respectivos dominios. x 2 f ( x) = y g( x) = 3x + 2 x Solución.

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29

Ejemplo. Sean las funciones: 2 f ( x) = g( x) = x −1 ; x −1 Obtener f g y g f y dar sus respectivos dominios. Solución.

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