Semana 10

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Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado

Esta semana veremos que cuando la expresión polinómica de grado dos se iguala a cero, se obtiene un tipo especial de ecuación que recibe el nombre de ecuaciones de segundo grado o cuadrática. El propósito de esta sesión es que adquieras la habilidad de resolverlas, empleando el método más idóneo, y que también puedas reconocer de antemano si tienen solución en el conjunto de los números reales. Las ecuaciones de este tipo permiten resolver una variedad de problemas de la física y de nuestro entorno, y muy probablemente nos ayudarán en la solución de la situación planteada en el PPT.

Iniciemos con un problema: Wilmer es muy laborioso; él tiene una finca en un pueblo del estado Táchira, donde se siembra caña, zapotes y otros cultivos para el consumo familiar. La finca es rectangular y su área es de 12852m2. Además, un lado es el doble de largo que el otro, menos 15m. Con estos datos, ¿serías capaz de saber cuáles son las dimensiones de la finca?

Ecuación de segundo grado Retomemos el ejemplo anterior, ¿ya organizaste la información?, ¿cómo lo hiciste? Recuerda que en la semana 2 se mencionaron los métodos para resolver problemas. Primero ¿qué trato de encontrar?, ¿cuáles son los datos?, ¿cuáles son los métodos para resolver este problema? x 12852m2 2x - 15

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Lo primero que podemos hacer es una representación de la finca. Como no se conocen las medidas de los lados del terreno, debemos empezar por asignarle una incógnita a uno de los lados; por lo general se utiliza la letra x. Si el lado L1 = x el lado L2 de acuerdo a las condiciones será L2 = 2x-15. Debemos expresar los lados en función

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de algún valor conocido, por ejemplo, el área. Sabemos que el área de un rectángulo es base (ancho) por altura (largo); así tenemos A = L2 · L1. Sustituyendo las igualdades anteriores, en esta última obtenemos: A= L2 · L1

x · (2x - 15) = 12852

2x2-15x =12852

2x2-15x -12852 = 0

En el primer paso aplicamos la propiedad distributiva o multiplicación de polinomios, luego restamos 12852 en ambos miembros, obteniendo: 2x2-15x -12852 = 0 Esta expresión es una ecuación de segundo grado. En general, una ecuación de segundo grado se expresa como: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son números reales, con a ≠ 0 Las soluciones o raíces de la ecuación son los valores de x que, al ser sustituidos, hacen que la igualdad se cumpla, es decir, aquellos valores para los cuales la expresión ax2 + bx + c sea igual a cero. Las soluciones de las ecuaciones cuadráticas se pueden hallar a través de métodos distintos. Esta semana sólo mencionaremos dos. Puede emplearse el método de factorización, el cual es apropiado para resolver con gran facilidad ecuaciones del tipo x2 + bx + c, es decir, a = 1 A continuación, estudiaremos otro caso de factorización, diferente a los estudiados en la sesión anterior.

Factorización de trinomios de la forma x2+ax+b Para factorizar esta clase de trinomios utilizamos: x2+(a+b)x+a·b=(x+a)(x+b) Reconocemos un trinomio de esta forma, así:

x2

Cuadrado perfecto del término común

+

(a+b)x

Suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el término común

+

ab

Producto de los términos no comunes

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Ejemplo: factorizar x2-7x+12. En la columna izquierda se muestran los pasos a seguir. Se deben buscar dos números que multipli (a) · (b)=12 y (a) + (b)= -7 cados den el término constante 12 y sumados den el coeficiente de x, -7

Estos deben tener el mismo signo; para que su producto sea positivo y su suma sea -7 los (-4) · (-3)=12 y (-4)+(-3)= -7 dos números debe ser negativos.

Se sustituyen los coeficientes uno por una suma, y el otro por un producto.

x2 -7x +12= x2 + (-3-4)x +(-3)·(-4)

2 Se aplica la fórmula mostrada al inicio x + (-3-4)x + (-3) · (-4)= (x-3).(x-4)

Pero existe una fórmula, llamada fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado, que es aplicable a todas las ecuaciones cuadráticas ax2 + bx + c Esta fórmula es muy útil, sobre todo cuando otros métodos resultan complicados. Veamos: -b + b2 - 4ac X1 = 2a



X2 =

-b -

b2 - 4ac 2a

Las dos representan solución de la ecuación cuadrática.

Podemos escribir las dos fórmulas anteriores en una sola: X =

-b )±

b2 - 4ac ± 2a

Luego, para saber las dimensiones de la finca, debemos resolver la ecuación: 2x2 - 15x - 12852 = 0. Aplicar factorización no es idóneo en este caso ¿por qué? Usemos la formula general de ecuación cuadrática. Fíjate que en ésta debes sustituir los coeficientes a = 2, b = −15, c = −12852 y realizar las operaciones indicadas. Sustituyendo estos coeficientes en la fórmula que acabamos de ver, tenemos:

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- (-15)± (-15)2 - 4·2·(-12852) 15± 225+102816 15± 103041 15±321 -76,5 x = = = = 4 84 2·2 4 4

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Por tanto, x = 84, x = −76,5 son las dos soluciones a la ecuación de segundo grado. Comprueba que al sustituir los valores de x en la ecuación, se cumple la igualdad. Dado que x representa una longitud, ésta no puede ser un número negativo. ¿Tendría sentido decir: mide -76,5? Así que las dimensiones de la finca son: x= 84m y 2x-15=2·(84)-15=168-15=153m. Analicemos otro ejemplo: Diego plantea la siguiente interrogante a su compañero de clase: “el área de un terreno cuadrado tiene 5 unidades menos que el perímetro. Encuentra la longitud del lado”. Asignemos la letra x a la medida del lado. Por las condiciones, tenemos que A=P-5. Sabemos que tanto el área como el perímetro están en función de la longitud del lado, P=4x y A=x2; sustituyendo ambas fórmulas en la ecuación inicial se obtiene: X2=4X-5, o lo que es igual, X2- 4X+5=0, una ecuación de segundo grado. Es conveniente hacer uso del determinante, que viene dado por la expresión b24.a.c y se encuentra “dentro del radical” de la fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado. Sustituimos en la expresión anterior los coeficientes de la ecuación de segundo grado, (-4)2 - 4 · 1 · 5 = 16-20 = -4 ¿Es posible hallar la raíz cuadrada de un número negativo? Esto indica que esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, por tanto no hace falta utilizar la fórmula general, ya que no hay soluciones que calcular. El resultado de que la ecuación cuadrática tenga solución depende del valor que se encuentre “dentro del radical”; a la expresión b2 - 4ac, se llama discriminante, y se puede utilizar para determinar cuántas soluciones reales tiene una ecuación cuadrática. La tabla 4 ilustra por medio de ejemplos los tres posibles casos. Tabla 4 Discriminante b2 - 4ac Caso 2

Caso 1 3x2 - 2x - 1 = 0

0 = x2 + 4x + 4

(-2)2 - 4(3)(-1) = 16

Caso 3 0 = x2 + x + 5 12 - 4(1)(5) = -19

42 - 4(1)(4) = 0 Si b2 - 4ac0, es decir positivo, se tienen dos so- Si b2 - 4ac =0, se tiene una negativo, no tiene solucioúnica solución real. luciones reales. nes reales. Solución 2 3x - 2x - 1 = 0 0 = x2 + 4x + 4 x=

2 ± 16 6

x=1óx=-

x= 1 3

-4 ± 0 2

x = -2

No hace falta resolverla, ya que no tiene solución.

Hasta ahora nos hemos limitado al estudio de ecuaciones completas ax2+bx+c=0; pero también podemos encontrarnos con ecuaciones de segundo grado incompletas. Veamos en la tabla 5 ejemplos de cómo se resuelve este tipo de ecuaciones.

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Ecuaciones de segundo grado Tabla 5

ECUACIÓN INCOMPLETA (b = 0)

ECUACIÓN INCOMPLETA (c = 0) Queremos resolver la ecuación:

Queremos resolver la ecuación:

3x2 − 21x = 0

10x2 − 160 = 0 Sumamos 160 a los dos miembros:

3x(x − 7) = 0

10x2 = 160 Dividimos entre 10 los dos miembros: x2 = 16 Calculamos la raíz cuadrada de 16:

Sacamos factor común a la x:

Para que se cumpla esta ecuación, uno de los dos factores (3x ó x − 7) debe ser igual a cero. Por tanto, igualando por separado cada factor a cero:

x = 16 = ± 4

          3x=0           x−7=0 

Las dos soluciones o raíces son:

Las dos soluciones o raíces son:

x = 4    x = −4

x=7

x = 0     x = 7

Saber más Visualiza algunos ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado en la siguiente dirección web: http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/ div/raizcuad.html

1. Halla el discriminante en cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas, e indica, según el mismo, la cantidad de raíces que tiene la ecuación; posteriormente resuélvelas (de ser posible) por el método más conveniente. a) 3x2+3x+3=0

b) -9x2-6x=1

c) -2x2+5x=0 d) 2x2-3x+1=0 e) 48+2x-x2=0 f ) x(x+1)=5x -4

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g) (x-13)2=0

h) 5x2-13x+1=0

i) (x-5)2=0

j) x2+5x=-8

2. En un conjunto residencial se quiere construir un estacionamiento rectangular para el resguardo de los vehículos. Al realizar el censo de la cantidad de vehículos y tomar en cuenta el espacio disponible, han establecido que el área máxima (aquella que permite almacenar el mayor número de vehículos) es de 312,5 m2. Si para el cercado van emplear 50m de reja, ¿cuáles son las medidas de largo y ancho? Considera que uno de los lados es un muro y no necesita cerca (ver figura 56).

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Figura 56 3. Bárbara es bibliotecóloga. Ella se preocupa por brindar lo mejor a sus alumnos; está muy contenta porque ha recibido un donativo de una empresa para ampliar el espacio físico de la biblioteca del liceo. La forma de ésta es cuadrada; si aumentan en 4m dos paredes paralelas obtenemos un rectángulo; la nueva área de ésta es de 77m2. ¿Con estos datos serías capaz de saber cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la biblioteca? 4. Uno de los requisitos para concursar en una exposición de arte, aparte del talento, son las medidas que deben tener los cuadros. Si el marco de una pintura mide 120cm por 84cm y la pintura ocupa 5760cm2, encuentra el ancho del marco, el cual tiene un valor constante. 5. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 6cm. Un cateto mide 1cm más que el otro. Encuentra la longitud de los catetos.

Bhaskara, el instruido Darío Durán (2008) La resolución de la ecuación cuadrática Ax2+Bx+C=0 tiene una larga historia. Hace unos cuatro mil años, los babilonios resolvían ecuaciones cuadráticas con métodos parecidos a los actuales. Pero fue a partir del XVI que se utilizaron símbolos para representar incógnitas, operaciones y potencias. Antes, las ecuaciones se expresaban en prosa. Por ejemplo, se decía: “El duplo del cuadrado de la cantidad buscada es igual a cuatro veces esa cantidad más seis”, para expresar que 2x2=4x+6 y para resolver las ecuaciones se aplicaban las reglas expresadas en el mismo estilo. Precisamente en el siglo XII vivió el matemático hindú Bhaskara, llamado “El instruido”. Algunos estudiosos lo consideran creador de la técnica para resolver ecuaciones cuadráticas. Bhaskara dirigió el observatorio Ujjain, que era el centro astronómico y matemático de la India; escribió algunos libros, uno de los cuales fue el Lilavati (“La hermosa”) considerado uno de los más populares de todos los tiempos. Un centro de rehabilitación integral cuenta, entre otros espacios, con una ¡piscina terapéutica!; el empleo de ésta es un método muy útil en el tratamiento de enfermedades, ya que se consiguen efectos como: fortalecer la musculatura debilitada, incre-

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mentando la fuerza y resistencia, disminuyendo el dolor y el espasmo muscular, entre otros beneficios. La piscina es rectangular de 5x3 metros, con un camino alrededor de ésta, como muestra la figura 57.

5m 3m Figura 57

La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno. Llama x a la anchura constante del camino. ¿Cuál será el área A del camino? Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla. Dibuja unos ejes y ubica los puntos (x, A). Si el área del camino ha de ser de 30m2, utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino. ¿Para qué valor de x es A = 100?

Hemos aprendido a volar como los pájaros, a nadar como los peces; pero no hemos aprendido el sencillo arte de vivir como hermanos. Martin Luther King

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