SEMEJANZA Al igual que una serie de numeros pueden estar en proporci6n, tambien los segmentos y otras figuras geometric as pueden relacionarse de una forma similar. Si se considera que los valores numericos 4, 8 y 16, por ejemplo, se encuentran en una cierta proporci6n, resulta 16gico mantener que tres segmentos de longitudes 4 cm, 8 cm y 16 cm tambien guardan la misma relaci6n proporcional. Desde este punto de vista, es po sible afirmar que la proporcionalidad de segmentos no es sino un caso particular de la proporcionalidad de magnitudes. Para trabajar con proporcionalidades entre segmentos, se deben conocer las longitudes de al menos tres de enos, a partir de las cuales es factible determinar la de un cuarto. Para que unos segmentos dados sean proporcionales, 10deben ser sus medidas a, b, c y d:

La igualdad entre estas fracciones indica que el cociente de cada par de segmentos correspondientes es siempre el mismo: a este numero se Ie conoce como razon de proporcionalidad y, en general, se representa por la letra k. Resulta muy frecuente encontrar fotograffas, mapas y otros elementos gnificos que reproducen figuras de la misma forma, pero con distintas dimensiones. Observense los siguientes dibujos:

Aunque se tiene constancia de los conocimientos sobre geometrfa de civilizaciones muy antiguas, como la mesopotamica y la egipcia, fue gracias a la sistematizaci6n y al rigor metodol6gico de los antiguos griegos que esta rama de las mate mati cas se mantuvo durante siglos como el mas logrado modelo del saber cientifico. Tales de Mileto fue, ademas de fil6sofo, ffsico y astr6nomo, el primer verdadero ge6metra de la Grecia c1asica. Se cree que pudo aprender matematicas en Egipto, durante sus viajes de negocios como come reiante, y que por ello estuvo en contacto con los calculistas de ese pais. Se sabe que los egipcios establecieron una serie de resultados geometricos de orden practico, necesarios para la agrimensura, ya que las marcas limftrofes de sus tierras de labranza eran peri6dicamente borradas por las crecidas del Nilo. Tales de Mileto esta considerado como el primer fil6sofo de la historia y el mayor de los grandes Siete Sabios de Grecia. Sus conocimientos de astronomia Ie permitieron predecir un eclipse que se produjo en 585 a.c., logro que Ie proporcion6 gran celebridad. En ffsica, reconoci6 la actividad magnetica que algunos minerales mostraban sobre el hierro. Sin embargo, sus principales aportaciones pertenecen al ambito de la geometria: se Ie debe la resoluci6n del problema de c6mo inscribir un triangulo en un cfrculo y el descubrimiento de algunas de las relaciones entre los angulos y los lados de los triangulos. La tradici6n cuenta que el famoso teorema que lIeva su nombre fue el resultado de abstraer !1 y generalizar una idea ~ : ~ puesta en practica -! ~ ~ :z:: por el mismo Tales E/\N-INIKH tlHMOKPATIA 90 durante uno de sus viajes por Egipto: calcul6 la altura de las piramides midiendo la sombra que proyectaban y comparando su longitud con la de la sombra de un bast6n vertical sobre el suelo, calculo que implica el conocimiento de la proporcionalidad entre los lados de triangulos con angulos iguales. Mas alia de sus descubrimientos concretos, el merito de Tales reside en la presentaci6n de las demostraciones que fundamentan la validez de los teoremas. Por esta circunstancia, se Ie considera el fundador de la matematica deductiva.

Es muy sencillo caer en la cuenta de que entre ellos hay figuras que tienen la misma forma pero no el mismo tamafio: tales figuras se Haman semejantes. Las principales caracterfsticas de las figuras semejantes es que los angulos correspondientes de ambas son iguales y que los segmentos correspondientes son proporcionales, segun una raz6n de proporcionalidad a la cual se denomina razon de semejanza.

Si los segmentos AB y BC son iguales, entonces los segmentos A' B' YB' C' son tambien iguales, es decir, AB

= BC

= B'C'

~ A'B'

Se puede examinar a continuaci6n este otro conjunto de lfneas:

En resumen, dos figuras son semejantes si sus angulos correspondientes son iguales y sus segmentos correspondientes son proporcionales.

29.1

TEOREMA DE TALES EN EL TRIANGULO Y SU REclPROCO. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS

La semejanza entre triangulos tiene una especial importancia, ya que gran numero de otras figuras geometricas pueden ser descompuestas en triangulos. El fundamento para abordar la semejanza entre triangulos es el teorema conocido como teorema de Tales. Considerese la siguiente figura:

Si el segmento AB es el doble de BC, entonces A' B' es el doble de B' C', relaci6n que se expresa de la siguiente manera:

De forma reciproca, s~ una figura como la anterior los segmentos AB y BC son proporcionales a A' B' YB' C', entonces las rectas a, bye son paralelas. Imagfnese que se tienen dos triangulos como los del dibujo siguiente:

El teorema de Tales afirma que si las rectas a, bye son paralelas y cortan a otras dos, r y s, los segmentos que deterrninan son proporcionales, es decir: AB

A'B'

BC

B'C'

Sea ahora el siguiente conjunto de rectas, dispuestas segun las condiciones del teorema de Tales:

Para averiguar si son semejantes 0 no, basta con comprobar dos condiciones: en primer lugar, se averigua si los lados son proporcionales, es decir, si se cumple la relaci6n: a

be,

a'

b'

- = - = - = razon c'

de semejanza

En segundo lugar, se comprueba si los angulos correspondientes son iguales, es decir, si se cumplen las igualdades siguientes:

A=A',B=B'YC=C'

Observese ahora la siguiente figura: B

Aplicando el teorema de Tales a la primera figura, se tiene que:

Se traza por C' una paralela a AB, y al aplicar de nuevo el teorema de Tales, se obtiene que: Los triangulos ABC y AB' C' tienen un angulo en comun, A, de forma que el triangulo menor forma parte del mayor. Ademas, los lados opuestos a A son paralelos. Se dice que estos triangulos estan en posicion de Tales, y se puede afirmar que son semejantes. Para demostrar que esta propiedad se cumple, se debe comprobar que, si dos triangulos estan en posicion de Tales, sus angulos respectivos son iguales y sus lados, proporcionales. Para verificar estas condiciones, se estudia la siguiente figura:

a a'

b

b'

De esta manera, se ha llegado a demostrar la proporcionalidad de los lados, puesto que se pueden disponer los resultados parciales anteriores de tal manera que formen precisamente la condicion de prop orcionalidad de los lados:

Si se toma un triangulo cualquiera, l,como se puede dibujar otro semejante a el? La forma mas sencilla de conseguirlo es prolongar dos de sus lados y trazar una paralela al tercero:

Primero, se comprueba que sus angulos son iguales: el angulo A es comun a los dos triangulos; ademas, B = I} y C = C', ya que son angulos correspondientes de dos paralelas cortadas por una secante. Para verificar que sus lados son proporcionales, se considera el siguiente esquema:

iCuanto medira en apariencia dicho angulo? Soludon al final del capitulo

El resultado es un triangulo mayor, que se encuentra en posicion de Tales respecto del men or. Para asegurar que dos triangulos son semejantes, si no estan en posicion de Tales, basta que se cumplan algunas de las siguientes condiciones, conocidas como criterios de semejanza de triangulos: Primer criterio: se dice que dos triangulos son semejantes si tienen dos pares de angulos respectivamente iguales:

Es decir, ABC es semejante aA' B' C' si, por ejemplo: A = A' y iJ = J}. En este caso, tambien C = C:', Y los dos triangulos se pueden disponer en posicion de Tales.

En este caso, tambien se pueden disponer en posicion de Tales sobre el vertice A. En particular, se afirma que dos triangulos rectangulos son semejantes si tienen igual uno de sus angulos agudos. Esta situacion coincide con el primer criterio de semejanza, ya que con un angulo agudo igual y considerando el angulo recto, ya son dos los angulos iguales y, en consecuencia, tambien sera igual el tercero:

Por ultimo, se toman en consideracion los dos triangulos dados, con razon de semejanza 2:

Segundo criterio: dos triangulos son semejantes si sus lados son proporcionales: ~ ~

b

- = As!, ABC es semejante a A' B' C' si

!!.- =

!!....

a'

b'

=

b'

.!:..-

2~ b

=

2b'

y

~ = h'

2~ h

=

2h'

c'

En este caso, los triangulos se pueden poner en posicion de Tales sobre cualquiera de los vertices. Tercer criterio: dos triangulos son semejantes si tienen un angulo igual y los lados que 10 forman son proporcionales:

A b . h/2 2b' ·2h' 4· b' . h' - - -- -------4 A' - b' . h/2 - b'· h' - b'· h' La generalizacion de este resultado es que si la razon de semejanza de dos triangulos es k, la razon entre sus areas es k2.

29.2

APLICACIONES AL CALCULO DE DISTANCIAS Y AL ESTUDIO DE LAS HOMOTECIAS

Al igual que con los triangulos, se puede establecer la semejanza entre otras figuras. El resto de polfgonos

se comporta de una forma muy similar a los triangulos, como consecuencia de la posibilidad de descomponerlos en triangulos:

Sobre la linea OA, se lleva la distancia medida, multiplicada por el factor de proporcionalidad requerido, para obtener la posicion de A'. A continuacion, desde A' y desde los puntos que se vayan obteniendo, se trazan paralelas a los lados de la figura original. De esta manera, se deterrninan B', C' YD', que formaran la figura semejante de la razon deseada.

La forma de construir poligonos semejantes es algo compleja, y se sirve de 10 que se conoce como homotecia. Considerese el siguiente esquema:

Dados un punto fijo 0 y un numero k "* 0, se denomina homotecia de centro 0 y razon k a una transformacion H que convierte cada punto P en otro punto P' de forma que: P' esta alineado con 0 y P. P'O =

Ikl· PO.

P YP' estan en la misma semirrecta de origen 0, si k > 0, Y se encuentran en distintas semirrectas de origen 0, si k < 0.

Observese que cada par de lados a y a', b y b', C Y c', d y d' son paralelos entre sf. Si se miden y se realizan los cocientes a

bed

a"

b"

c' Y d'

se puede comprobar que el resultado de cada uno de ellos es siempre el mismo. Lo mismo ocurre con los cocientes: OA OA"

OB OB"

OC OC'

OD Y

OD'

Este tipo de construccion se conoce como homotecia, y las dos figuras con forma de fiecha formadas se denominan figuras homoteticas. Al punto 0 se llama centro de la homotecia. El esquema anterior facilita la comprension del procedimiento para realizar una homotecia de la figuraABCD:

Se toma un punto 0 cualquiera, que no pertenezca a la figura. Sera el centro de la homotecia. Se trazan desde 0 lineas que pasen por los vertices de la figura. En el ejemplo son las lineas OA, OB, OCy OD.

Se mide una de las distancias desde 0 hasta uno de los vertices, por ejemplo, el vertice A.

Una de las propiedades de las homotecias es que transforman las distancias entre los vertices de las figuras, ya que las multiplica por el valor absoluto de la razon de la homotecia. Es decir, si H(P) = P' Y H(Q) = Q', entonces P'Q' = Ikl· PQ. Aplicando una homotecia se pueden construir figuras semejantes, de angulos correspondientes iguales y lados proporcionales. Si se consideran dos figuras semejantes, se llaman angulos homologos 0 correspondientes a los respectivamente iguales; vertices homologos son los correspondientes a angulos hom6logos; lados hom6logos son los que unen vertices hom6logos, y la razon de semejanza de poligonos semejantes es el cociente constante k entre cada dos lados hom6logos. A menudo, a la raz6n de semejanza se la denomina escala. Por ultimo, se observa que entre dos figuras semejantes hay elementos que permanecen iguales y otros que varian: los angulos (A, B y C) se mantienen fijos, los lados hom6logos (a, a', b, b' y c, c') mantienen la raz6n de proporcionalidad, k, los perimetros guardan la misma proporcion k que los lados, y las areas estan en proporcion k2:

1 Los numeros y las magnitudes pueden estar en proporcionalidad. ;,Sucede 10 mismo en el caso de los segmentos?

7 Modificar una de estas figuras para que sean semejantes las dos:

Sf, por cuanto se puede considerar que la proporcionalidad de segmentos constituye un caso particular de la proporcionalidad de magnitudes, puesto que los segmentos se representan conforme a su longitud, que es una magnitud. 2 ;,Que es la razon de proporcionalidad? Es el valor constante del cociente entre cada par de segmentos correspondientes, denotado por k. 3 ;,Cmlndo dos figuras son semejantes? Cuando los angulos correspondientes son iguales y sus lados respectivos, proporcionales. 4 ;,Que relacion establece la razon de proporcionalidad entre figuras semejantes? Permite relacionar figuras semejantes mediante la relaci6n entre sus lados. Los lados de una de las figuras semejantes seran todos eHos iguales a la longitud de los lados de la otra, multiplicados por la raz6n de proporcionalidad.

5 l,C6mo se Haman las figuras que tienen la misma

forma pero no el rnismo tamafio?

TEOREMA DE TALES EN EL TRIANGULO Y SU REciPROCO: CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS

8 Enunciar el teorema de Tales y representar gnlficamente la figura requerida Se tiene el siguiente conjunto de lineas:

/ /

"'-

I"-

/ "" ./

,;' .•......

..••..

1/

'"

Si las rectas a, bye son paralelas, y cortan a otras dos, r y s, los segmentos que determjnan son proporcionales, es decir:

9 Enunciar el teorema de Tales reciproeo. Si los segmentos AB y BC, determinados en tres Ifneas a, bye, par el corte de otras dos, son proparcionales a A' B' Y B' C', entonces a, bye son paralelas.

Por consiguiente, el teorema de Tales permite establecer la relaci6n: AB

AB'

BC

B'C'

Se sustituyen los valores conocidos, de forma que se pasa a la ecuaci6n:

Si AB = 2,3 em, BC = 1,5 em y B' C' = 2,4 em, ;,se puede averiguar la longitud del segmento A'B'?

2,5

4

1,5

B'C'

12 Calcular la longitud del segmento NP en el siguiente dibujo:

Ya que las rectas a, bye son paralelas, el teorema de Tales afirma que 10s segmentos determinados por r y s son proporcionales. Por tanto: AB

A'B'

BC

B'C'

2,3 1,5

11 ;,Se puede apliear el teorema de Tales en la figura abajo representada para ealcular B' C'?

Se utiliza el teorema de Tales, ya que la figura dada cumple las condiciones necesarias para ello. Par tanto, se afirma la relaci6n: MN

NP Se sustituyen las medidas conocidas y queda la siguiente ecuaci6n:

Para aplicar el teorema de Tales hacen falla, al menos, tres rectas paralelas. Las rectas bye 10son; la tercera seria la que corta las rectas r y s en A.

1,5

1

NP

1,5

13 Dividir el segmento representado a eontinuacion en tres partes iguales:

15 Trazar una paralela al lado AC del triangulo rectangulo ABC que pase por el punto m. A

Para dividir el segmento AB en tres partes iguales, se debe trazar una sernirrecta cualquiera con origen en A, que forme con el segmento AB un angulo menor que 180°, como se muestra:

B

;,Cuanto miden los angulos del triangulo ABC? ;,Y cuanto los angulos del triangulo que se origina? ;,Como son los triangulos que se han obtenido? Se elige un segmento arbitrario y se lleva sobre la semirrecta adicional tres veces. El punto P, correspondiente al extremo final de la ultima divisi6n, se une con el punto B:

Si se traza la paralela allado AC por el punto m, se obtiene la siguiente figura:

B

Finalmente se trazan paralelas a PB por los puntos de divisi6n M y N, Yse obtienen los dos puntos M' y N', que dividen el segmento AB en tres partes iguales:

Como el triangulo ABC es rectangulo, el angulo C mide 90°. Con el uso de un transportador, se rnide uno de los otros dos angulos que tiene el triangulo: si es B, se determina que tiene una abertura de 56°. Para conocer cuanto rnide A, se restan los angulos ya conocidos a los 180° que suman los angulos de un triangulo: A es igual a 34°. Se puede comprobar que los angulos del tricingulo originado al trazar una paralela allado AC por el punto m son iguales a los del tricingulo ABC.

Como 10ssegmentos AM, MN YNP son iguales, tambien 10sercinlos segmentos AM' , M' N' YN' B, por 10 que cada uno de ellos medira una tercera parte del segmento AB.

Los dos triangulos obtenidos son semejantes, puesto que tienen angulos iguales y lados proporcionales. De hecho, los dos triangulos se encuentran en posici6n de Tales.

14 ;,Como se puede saber si dos triangulos son semejantes, con procedimientos matematicos?

y ACB? Calcular el valor de x.

Comprobando si los angulos correspondientes son iguales y los lados, proporcionales. Si los angulos del primer triangulo son A, Bye, y sus lados, a, bye, y los cingulos del segundo triangulo son At, /3' y C', y sus lados, a', b' y c', se debe verificar que se cumple la relaci6n:

16 ;,Por que son semejantes los triangulos APQ

Los dos triangulos indicados son semejantes porque estan en posicion de Tales. Para calcular x, se aplica el teorema de Tales, por el cual se establece que: AQ

AP

QB

PC

Se sustituyen en la expresion las longitudes de los segmentos conocidos: 5

x

=

AP

7

Se ha obtenido una ecuacion con dos incognitas, que no se puede resolver min. Por tanto, se debe averiguar la medida del segmento AP para que solo quede como incognita x.

x = 15·6 = 90 = 10

9

9

18 ;,Dos triangulos son semejantes si tienen dos angulos iguales? Razonar la respuesta. Sf. Puesto que la suma de los angulos de un triangu10 es de 180° en todos los casos, el tercer angulo de ambos siempre sera igual a dicha medida menos los dos angulos ya conocidos como iguales. Por tanto, al tener los tres angulos iguaIes seran semejantes. 19 Averiguar si los dos triangulos siguientes son semejantes. ;,Que razon de semejanza tienen?

Se observa que el triangulo APQ es rectangulo, con un cateto de 3 cm y una hipotenusa de 5 cm. Aplicando el teorema de Pitagoras, se calcula el cateto AP de este triangulo: Son semejantes, ya que las medidas de sus lados son proporcionales, pues se cumple la relacion: Tras despejar AP, se deterrnina que su medida es de 4 cm. Este valor se sustituye en la ecuacion con dos incognitas pendiente: 5

4

x

7

10,5 6 7,5 -=-=-=15

7

4

5

'

20 Discutir si los siguientes triangulos son semejantes, y por que.

Una vez efectuados los calculos pertinentes, se obtiene que x = 8,75 cm. 17 Sabiendo que el siguiente trhingulo esbi en posicion de Tales, hallar la medida del segmento de color azul. Son semejantes porque tienen un angulo igual y los lados que 10 forman proporcionales, ya que: 10,5 6 -=-=15

7

4

'

21 Dos trhingulos, ABC y A'B'C', son semejantes. Sabiendo que A = 60° y que iJ = 70°, determinar At, ii', C'.

15 x

9 6

Si son semejantes es porque sus angulos correspondientes tambien 10 son. Por tanto, A = A' y B = S', par 10 que At = 60° y S' = 70°. Solo falta calcular el angulo C', pero como la suma de los angulos de un triangulo es de 180°, se deduce que C' = 50°.

22 Hallar los lados del triangulo A'B'C' semejante al triangulo ABC de la figura, sabiendo que ellado B' C' mide 30 em.

e

x

12

12

9

Una vez efectuadas las operaciones se tiene que x = 16.

correspondientes,

Se puede observar que la aplicacion del teorema de Tales equivale al uso del teorema de la altura: h2 = = m· n, donde h denota la altura, men el caso particular de este problema corresponde a x, y n corresponde a 9.

25 Eneontrar la razon de las areas de los dos triangulos semejantes dados: Como ambos triangulos han de ser semejantes, sus lados han de ser proporcionales. Se conocen los lados del triangulo ABC y uno de los lados del triangulo A' B' C'. La razon de semejanza se puede deducir de la proporcion entre los lados BC y B' C': 30 = 6

C

~t:s;, C'

E

"

00

A

5 Si se multiplican los otros lados del triangulo ABC por la razon encontrada, se conoceran los lados del triangulo A' B' C': ellado A' C' valdra 6 . AC = 6 . 3 = = 18 cm; y A'B' = 6· AB = 6·4 = 24cm. As! pues, el triangulo A' B' C' tiene lados de 30, 18 Y 24 cm.

B

6cm

6·8

A = -2

Se trata de dos triangulos rectangulos unidos por uno de los catetos. Tienen un angul0 agudo igual, el correspondiente al lado comun a ambos triangulos. Por tanto, son semejantes por el primer criterio de semejanza de triangulos, ya que tienen iguales dos angulos: el agudo descrito y el angulo recto propio de los triangulos rectangulos.

24 Dado el siguiente triangulo reetangulo, ealcular el valor de x. B

/I\

A

x

9

C

Cuando se tiene un triangul0 rectangulo ABC y se traza la altura desde un vertice a la base, esta divide el triangulo en dos nuevos triangulos rectangulos semejantes. Sabido esto, aplicando el teorema de Tales se cumple que:

3·4

2

= 24cm

24

23 ;,Por que son semejantes dos triangulos que tienen un lado eomun, perpendicular a la base?

A'

-

6

A' = -2

3cm

B'

= 6cm2

= 4 = 22

La razon de las areas es 4, es decir, el cuadrado de la razon de semejanza de los lados, que vale 2. Se comprueba esta afirmacion al dividir los lados correspondientes de ambos triangulos y observar que sus cocientes resultan la razon de semejanza:

8 10 453

-=-=-=2

6

26 Si dos triangulos semejantes, ABC y A' B' C', de los euales el primero es el mayor, tienen una razon de semejanza 2, ;,eual sera el area del triangulo A' B' C', si la del ABC es de 128 em2? La razon de las areas de dos triangulos semejantes es igual al cuadrado de su razon de semejanza, es decir, si de denota por A y por A' las areas de dichos triangulos se tiene que: ~

A'

= k2

donde k es la razon de semejanza. En el caso que se trata, se conocen el area de un triangulo y la razon de semejanza:

128 = 22 A' AI despejar la incognita de la anterior ecuacion se tiene que A' = 32 cm2• 27 Considerense los siguientes triangulos:

Si se suman los lados del primer triangulo se conocera su perimetro: P = 24 + 28 + 34 = 86 m. Se sabe que el perimetro del segundo triangulo es de 129 m; como la razon de los perimetros de triangulos semejantes equivale a la razon de semejanza, se tiene que esta ultima es de:

C

129 86 = 1,5 Al multiplicar cada lado del primer triangulo por la razon de semejanza, se deterrnina la medida del lado correspondiente del segundo triangulo, es decir, 36m,42my51m.

Calcular el perimetro de cada triangulo y la razon entre ellos. Los lados de los triangulos dados son proporcionales:

30 ;,Que diferencia existe entre triangulos semejantes y triangulos equivalentes? Los triangulos semejantes tienen igual forma pero distinto tamafio, por 10 cual sus areas son proporcionales. En cambio, los triangulos equivalentes tienen siempre areas iguales.

Asi pues, los triangulos ABC y A' B' C' son semejantes, con una razon de semejanza de 2. El perimetro del triangulo ABC es P = 8 + 6 + 10 = = 24 cm, en tanto que el del triangulo A' B' C' es P' = = 4 + 3 + 5 = 12 cm.

31 Si OR = 2,5 cm, RS = 5 cm y OR' = 1,5 cm, averiguar la longitud de R'S' .

P 24 -=-=2 P' 12

28 Se tienen dos triangulos con razon de semejanza 4. Si el perimetro del mayor es 36 unidades de medida, calcular el perimetro del otro. La razon de los perimetros P y P' de dos triangulos semejantes es igual a su razon de semejanza: P - =k

P'

En este caso se conoce un perimetro y la razon:

32 Observar el dibujo y contestar a la pregunta siguiente: sabiendo que AB = BC, (,cuanto rnide A' B', si B' C' rnide 2 cm?

I

36 = 4

P' Al resolver el valor de p', resulta que es de 9 unidades de medida. 29 Dos trhingulos, ABC y A' B' C', son semejantes. Si los tres lados del primero miden 24 m, 28 m y 34 m, calcular la longitud de los lados del segundo, sabiendo que su perimetro es de 129 m.

A

\

A'

dades, y el segmento OC, 12 unidades, (,que medida tendni el segmento OD? 33 Aplicar el teorema de Tales para calcular la medida del segmento x.

37 Dibujar un segmento de 8 em y dividirlo en tres partes iguales.

35 Sabiendo que una razon es un cociente, y que una proporcion es la igualdad de dos razones, se puede asegurar que 10s segmentos determinados en dos rectas cualesquiera al ser cortadas por rectas paralelas son proporcionales. (,Como se expresa esta afirmacion en terminos matematicos, siguiendo la notacion del siguiente dibujo?

38 Dado un segmento de 4 em, dividirlo en cinco partes iguales.

39 Consicterense 10s siguientes pares de figuras, que representan un par de triangulos iguales y otro de triangulos semejantes:

AB

Solucion: = BC

AC = A'B' = ==

B'C'

A'C'

36 Las rectas paralelas r y s del dibujo siguiente son cortadas par dos secantes. Sabiendo que el segmen to OA mide 8 unidades, el segmento OB, 3 uni-

(,Como son 10slados y 10sangulos de 10siguales? (,Y 10sde 10ssemejantes?

Solucion: Los trhingulos iguales a) tienen angulos y lados iguales; los semejantes b), angulos iguales y lados proporcionales 40 Dibujar dos triangulos en posicion de Tales. iComo son entre sf?

43 En la figura, el segmento AB es paralelo a CD. iPor que son semejantes los dos triangulos?

no semejantes

semejantes A

A

BG

c

A

MGN

.6

c

A

M~

N

Solucion: Los angulos determinados en el vertice 0 de cada uno de ellos son iguales, pues se trata de angulos opuestos por el vertice. En consecuencia, se pueden poner en posicion de Tales 44 iEs cierto que dos triangulos son semejantes si tienen un angulo igual y los lados correspondientes proporcionales?

45 i Como son los angulos de los triangulos semejantes? Razonar la respuesta.

Solucion: Son iguales porque a lados proporcionales les correspond en angulos iguales Copiar los triangulos dados en un papel y recortar el triangulo AMN de cada par; situarlo sobre el triangulo ABC correspondiente, haciendo coincidir el vertice A y sus lados. iQue diferencia se puede observar entre los triangulos semejantes y los que no 10 son? Solucion: Los semejantes tienen los lados proporcionales y los no semejantes, no 42 En la figura representada, MN es paralelo a BC. -Calcular AM y MN.

46 Dado un triangulo equilatero de 1 cm de lado, dibujar otro semejante, con una razon de semejanza de 2 respecto del primero.

47 (,Son los dos triangulos siguientes semejantes? En caso afirmativo, indicar el criterio utilizado.

52 Se tienen dos triangulos semejantes, y el area del mayor es de 50 cm2. La razon entre las areas es 2. (,Cual es el area del otro triangulo?

53 Dibujar un triangulo rectangulo cuyos catetos midan 6 y 8 cm. A continuacion, dibujar otro semejante cuya razon de semejanza sea 2. (,En que prop orcion habra aumentado su area? Solucion: Si, ya que cumplen el primer criterio: tienen dos angulos iguales 48 Hallar la longitud de la altura del triangulo que se representa en la figura: B

C

]~ A~

2,1

7,8

C

A

8 em

B

Su area habra aumentado 4 veces

49 Encontrar el valor del segmento x del siguiente triangulo rectangulo:

54 Si los lados de un triangulo se triplican, (,que Ie sucede a su area?

APLICACIONES Al CAlCUlO DE DISTANCIAS Y Al ESTUDIO DE LAS HOMOTECIAS

50 Si dos triangulos, ABC y A' B' C', son semejantes y la razon de semejanza del primero al segundo es 0,75, (,cual sera la razon entre las areas?

51 La razon de las areas de dos triangulos semejan16, , tes es 25. (,Cual es la razon de los lados?

Solucion:

4

"5

55 La teoria de semejanza, ;,s610 es aplicable a triangulos? No, se puede aplicar a cualquier figura, pero se estudia en especial en los triangulos, por la razon de que cualquier polfgono se puede dividir en varias figuras de tres lados. 56 Dada una figura, enumerar los pasos que se deb en seguir en una homotecia. En primer lugar, se toma un punto cualquiera 0, que no pertenezca a la figura, el cual sera el centro de la homotecia. A continuacion, se traza desde 0 una serie de lfneas que pasen por los vertices de la figura que se ha dado.

El siguiente paso consiste en tomar la distancia desde o hasta uno de los vertices, por ejemplo, A. Sobre la lfnea que une ambos puntos, se l1evala distancia medida multiplicada por el factor de proporcionalidad que se requiera. Se obtiene as! el vertice A'. Desde dicho punto, y desde los que se vayan obteniendo, se trazan paralelas a los lados originales. La figura resultante, siempre que se haya aplicado de forma correcta este procedimiento, ha de ser semejante a la figura original propuesta.

Se procede de igual modo para obtener los restantes vertices, cada uno segun su distancia hasta 0:

59 i.. Como se define la razon de semejanza de dos figuras semejantes u homologas? La razon de semejanza de poligonos semejantes es el cociente constante k de cada dos lados homologos. Con frecuencia, ala razon de semejanza se Ie da tambien la denominacion de escala. 60 Dada la siguiente figura, hacer una homotecia de centro 0 y razon de semejanza 4:

Finalmente, se unen los vertices encontrados, mediante trazos paralelos a los lados de la figura original, y se obtiene un cuadrado semejante al anterior, con la razon de semejanza 4 pedida:

El primer paso consiste en trazar rectas que pasen por o y por los vertices de la figura dada:

61 La figura ABDE ha sido transformada a parA continuacion, se mide una de las distancias de 0 a uno de los vertices, por ejemplo, A. Sobre la misma linea anterior, se lleva la distancia medida, multiplicada por el factor de proporcionalidad, en este caso 4. As! se obtendni A', como se muestra:

tir de dos homotecias de centro 0 y razon ~ y -~, respectivamente.

i.. Como han sido transformadas las distancias a 0 en cada caso?

En ambos casos, las distancias a 0 han sido reducidas, aunque en distinta proporcion. Ademas, cuando la razon es positiva, la figura resultante queda en el mismo lado de 0 que la figura inicial, mientras que en la homotecia de razon negativa, el homologo a cada punto se encuentra situado en la otra semirrecta con origen en O. 62 Se tiene una homotecia, denotada por H, tal que transforma el punto P en P', Y Q en Q'. Es decir, H (P) = P' y H (Q) = Q'. La razon de la homotecia es 2 y la longitud del segmento PQ es 4. ;,Que longitud tiene el segmento P'Q'? Como una homotecia transforma distancias, multiplicandolas por el valor absoluto de su razon, si H(P) = P' YH(Q) = Q', entonces P'Q' = Ikl . PQ, por 10 que, en este caso, se tiene que:

transforma el punto P en su homologo P' y a Q en Q': P'Q' =

Ikl· PQ.

La incognita en este problema es la longitud del segmento P' Q', de manera que para poderla hallar es necesario conocer la longitud de PQ y la razon k. Se conoce PQ; k, en cambio, no. Sin embargo, puede deducirse: se observa que son dos triangulos en posicion de Tales, cuyos lados PQ y P' Q' son paralelos, por 10 que se puede aplicar el teorema segun el cual los lados son proporcionales segun la razon de semejanza, es decir, se cumple que: OP'

OQ'

OP

OQ

4, I 2,7

4,5 3

-=-=15

puesto que el valor absoluto de un numero positivo es el mismo. 63 La razon de una homotecia es -3 y el segmento P' Q' resultante mide 2 em. ;,Cminto mide el segmento PQ, sabiendo que P' y Q' son los puntos homologos de P y Q, respectivamente? Ya que una homotecia cumple la igualdad P' Q' =J!:L. PQ, en el caso que se trata se tiene que 2 =

2

=

As!, la razon es 1,5 Y ya se pueden sustituir todos los datos en la expresion: P' Q' = Ikl . PQ, de forma que se determina que P' Q' = 1, 5 . 2 = 3 cm.

65 "Como se llama la forma utilizada para construir figuras semejantes?

1-31· PQ.

Puesto que el valor absoluto de -3 es 3, la igualdad ~escribe 2 = 3 . PQ. Resulta sencillo calcular que PQ mide:

3"

'

0,66 cm

64 Calcular emil es la medida del segmento P' Q' de la figura dada, si se sabe que el segmento PQ mide 2 em:

66 Cuando se utiliza una homotecia para construir dos figuras cualesquiera semejantes, "que nombre reciben estas?

67 Si se consideran figuras semejantes creadas mediante una homotecia, "como se llaman los angulos, los vertices y los lados iguales? Solucion: A.ngulos, vertices y lados homologos, respectivamente 68 Mediante una homotecia, hallar la figura semejante a la dada, con razon de semejanza 3:

Para calcular la medida del segmento P'Q', se utiliza la formula que cumple cualquier homotecia que

()

71

Realizar un dibujo semejante , ., 3 este en proporclOn 2

69 Dibujar una figura homotetica de razon 2:

al siguiente,

que

a la representada,

) 72 Transformar la figura ABDE a traves de dos ho. d d moteclas e centro 0 y e razones

70 Trazar una figura homotetica razon 0,5. l,Que se observa?

21 y -:31

a la siguiente, con

) 0

"E"

A" B" ~

73 Dibujar la circunferencia 2 respecto a la dada:

homotetica

con razon

o 76 Se ha hecho una homotecia sobre un polfgono de area 4 cmz. Sabiendo que la razon de la homotecia es 0,5, deterrninar el area que tendra el polfgono homotetico. 74 Calcular la razon de la homotecia de centro 0 que transforma la circunferencia C en la segunda circunferencia, C':

77 Haciendo una homotecia se han obtenido dos figuras semejantes, la dada, que tiene un area de 8 cmz, y la otra, cuya area es de 32 cmz. Calcular cual es la razon de la homotecia.

78 Si la razon de una homotecia es de 5, l,que relacion tendran los perimetros de las figuras semejantes obtenidas? Solucion: El perimetro de la figura homotetica sera cinco veces mayor

75 Dadas dos circunferencias exteriores de centros C1 y Cz y radios rl Y rz , formar una homotecia que transforme la una en la otra:

79 El perfmetro de una figura es 18 em, y la razon de la homotecia utilizada para dibujar una figura semejante a la anterior es 6. Calcular el perimetro de la figura homotetica.

VISTa CON LUPA (pag. 573): EI angulo seguira pareeiendo de 15°. Es eierto que el area que mide el angulo aparente aumenta, pero su radio tambien 10 haee en la misma proporcion. AI eontemplar un triangulo, por ejemplo, se observa un triangulo semejante al original.