Unidades de masa atómica La estructura química y las fórmulas químicas sirven para estudiar las relaciones de masa de átomos y moléculas. Estas relaci
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Semiconductores
Masa Efectiva Cualquier electrón está sujeto a fuerzas
Ftotal = Fext + Fint = ma Si expresamos la ecuación sólo en función de las fuerzas externas
Fext = m* a
El electrón se comporta como si su masa cambiara. Esta es la masa efectiva.
Masa Efectiva Consideremos la velocidad de grupo
dω 1 dε vg = = dk h dk
Tomemos su derivada dv g 1 d 2ε 1 d 2ε dk = = dt h dtdk h dk 2 dt
Masa Efectiva La masa efectiva es entonces
1 1 d ε = m* h 2 dk 2 2
Masa Efectiva El momento lineal del electrón se puede expresar como hk así que
d (hk ) = −eE dt
Entonces dv g 1 d 2ε dk 1 d 2ε d (hk ) 1 d 2ε = = = 2 2 (− eE ) dt h dk 2 dt h 2 dk 2 dt h dk
Hueco La densidad de corriente está dada por e J =− ∑ vi V i (ocupado ) Si expresamos la ecuación en función de los vacíos e e J = − ∑ vi + ∑ vi V i (total ) V i ( vacíos ) Pero esta suma es cero. e J =+ ∑ vi V i (vacíos )
1
Hueco
Distribución de electrones
Así la corriente se puede interpretar como una corriente de huecos de carga positiva J =+
e V
∑v
i
La distribución de electrones en la banda de conducción está dado por la densidad de estados en la banda de conducción por la probabilidad de que ese estado está ocupado:
i (vacíos )
n( E ) = g c ( E ) f ( E )
Concentración de Huecos La distribución de huecos en la banda de valencia está dado por la densidad de estados de la banda de valencia por la probabilidad de que ese estado no está ocupado por un electrón:
p ( E ) = g v ( E )[1 − f ( E )]
A Temperatura Cero Todos los estados de la banda de valencia van a estar ocupados y ningún estado estará ocupado en la banda de valencia. Por lo mismo ningún hueco estará presente en la banda de valencia.
A Temperatura Mayor que Cero Electrones térmicamente excitados pasan a la banda de conducción dejando en la banda de valencia una concentración de huecos
2
Concentración de Electrones El número de electrones por unidad de volumen está dado por
Aplicando la distribución de estados. ∞
no =
no = ∫ g c ( E ) f ( E )dE C
Para E > Ec entonces (Ec − E F ) >> kT y la distribución de Fermi se aproxima a la distribución de Maxwell-Boltzmann.
f (E) =
Concentración de Electrones
(E − E F ) 1 ≈ exp− ( E − EF ) kT 1 + exp kT
Ec
∞
∫α
exp(− α )dα =
1/ 2
0
Entonces
no = N c exp
(2m kT )
po =
∫
−∞
* 3/ 2 p 2 3
2π h
Concentración de Huecos
V
m* kT N c = 2 n 2 2πh
po =
(
− 2m kT
* p 2 3
2π h
α′ =
)
3/ 2
Ev − E kT
− ( E F − Ev ) 1/ 2 exp ∫∞ (α ′) exp(− α ′)dα ′ kT 0
− ( Ec − E F ) 1 / 2 ∫ α exp(− α )dα kT Ec ∞
exp
Para E < Ev entonces
− (E F − E ) dE Ev − E exp kT
3/ 2
E − Ec kT
po = ∫ g v ( E )[1 − f ( E )]dE
− ( Ec − E F ) kT
Haciendo el cambio de variable
− (E − E F ) dE kT
El número de huecos por unidad de volumen está dado por
Aplicando la distribución de estados.
(2m )
3/ 2
* n
2π 2 h 3
1 − f (E) =
(EF − Ev ) >> kT
1
(E − E ) ≈ exp 1 + exp F
así que
− (E F − E ) kT
kT
Concentración de Huecos Ev
E − Ec exp
2π h
α= no =
1 π 2
donde
* 3/ 2 n 2 3
Haciendo el cambio de variable
Concentración de Electrones Pero...
∫
(2m )
Concentración de Huecos Pero...
∞
∫α′
1/ 2
exp(− α ′)dα ′ =
0
Entonces
po = N v exp
1 π 2
− ( E F − Ev ) kT m*p kT donde N v = 2 2 2πh
3/ 2
3
np Constante
Semiconductores Intrínsicos
Si multiplicamos no y po tenemos
− ( Ec − E F ) − ( E F − Ev ) no po = N c exp N v exp kT kT − Eg − ( Ec − E v ) = N c N p exp = N c N p exp kT kT 3 − Eg kT * * 3 / 2 = 4 exp mn m p 2 2 π h kT
(
)
Sin impurezas, la concentración de electrones es igual a la concentración de huecos 2
ni pi = ni = pi
2
Así que…
kT ni = pi = 2 2 2πh
3/ 2
(m m ) * n
* 3/ 4 p
exp
− Eg 2kT
No depende de la energía de Fermi
Energía de Fermi para Semiconductores Intrínsicos
Semiconductores Extrínsecos: Donadores
Este es un semiconductor tipo n.
=
=
=
=
=
= =
=
=
=
= =
= =
= =
=
=
= = =
=
=
= = = =
P = Si =
= Si = Si = Si = Si = e= Si = Si = Si = Si = =
=
=
= = = =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= Si = Si = Si = Si =
=
=
= Si = Si = Si = Si = =
= = =
= Si = Si = Si = Si =
= Si = Si = B = Si =
=
=
= = =
=
= Si = Si = Si = Si =
= Si = Si = Si = Si =
=
=
=
= =
= Si = Si = Si = Si =
=
Ev
=
= Si = Si = Si = Si =
=
Banda de Valencia
= Si = Si =
Semiconductores Extrínsecos : Aceptores
=
Ec Ed
= Si = Si = Si = Si =
Existe un electrón adicional incrementando n.
=
Banda de Conducción
=
= = =
= Si = Si = Si = Si =
=
La energía para elevar este electrón donado es menor que la energía para elevar cualquier electrón que esté en un enlace covalente.
= Si = Si = Si = Si =
=
Semiconductores Extrínsecos : Donadores
= Si = Si = Si = Si =
=
Nota que si las masas efectivas son iguales, el nivel de energía de Fermi está a la mitad de la región prohibida.
= Si = Si = Si = Si =
=
− (Ec − E F ) − (E F − Ev ) = N v exp kT kT * m 1 3 E F = (Ec + Ev ) + kt ln *p m 2 4 n
N c exp
=
ni = pi
Existe un hueco adicional incrementando p.
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Semiconductores Extrínsecos : Aceptores La energía para ocupar esta posición es menor que la energía para elevar cualquier electrón que esté en un enlace covalente. Pero el electrón no queda en la banda de conducción. Banda de Conducción
Banda de Valencia
Ec Ea Ev
Distribución de Electrones y Huecos en Semiconductores Extrínsecos Tenemos que la concentración de electrones en la banda de conducción y la concentración de huecos en la banda de valencia están dadas por:
no = N c exp
− ( Ec − E F ) kT
po = N v exp
− ( E F − Ev ) kT
Este es un semiconductor tipo p.
Distribución de Electrones y Huecos en Semiconductores Extrínsecos Sumemos y restemos el nivel de la energía de Fermi intrínseca:
− (Ec − E Fi ) + (E F − E Fi ) kT (EF − EFi ) − (Ec − E Fi ) = N c exp exp kT kT (E − EFi ) = ni exp F kT
no = N c exp
Distribución de Electrones y Huecos en Semiconductores Extrínsecos De la misma manera obtenemos la concentración de huecos:
po = ni exp
− (E F − E Fi ) kT
De tal manera que se mantiene que
no po = ni
2
Distribución de Electrones y Huecos en Semiconductores Extrínsecos Si E F > E Fi , entonces no > ni Si E F < E Fi , entonces po > ni
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Concentración Electrónica en Función de la Concentración de Impurezas Por medio de la neutralidad del material y si asumimos ionización completa
no + N a = po + N d
Además,
no po = ni
Entonces
Concentración Electrónica en Función de la Concentración de Impurezas Resolviendo 2
no =
Nd − Na N − Na 2 + d + ni 2 2
2
n no + N a = i + N d no
De la misma manera, 2
po =
Na − Nd N − Nd 2 + a + ni 2 2
Conducción La conducción estará dada por electrones y por huecos:
J n = − nevdnc = σ n E = neµ n E J p = pevdpv = σ p E = peµ p E