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Semivida de una pelota INTRODUCCIÓN

Esta investigación plantea la pregunta de si la altura de los rebotes de una pelota presenta una disminución exponencial y, si es así, ¿cuál es la semivida de la altura? La variable independiente es el número del rebote. La “vida” de una pelota se mide por el número del rebote 1º, 2º, 3º, etc. Éste es un número puro, por lo tanto, sin unidades ni incertidumbres. La variable dependiente es la altura del rebote, A, la altura alcanzada entre rebotes. Para medir A, se mide el tiempo ∆T entre rebotes consecutivos y se calcula A por medio de A =

t=

1 2 gt , donde 2

1 1 procede del hecho de que ∆T es el tiempo hasta la altura del rebote más el ∆T . El 2 2

tiempo de caída desde la altura del rebote. Es mucho más exacto medir el intervalo de tiempo, y a continuación calcular la altura, que intentar medir la altura del rebote de una pelota estando en movimiento. No hay una incertidumbre significativa en la altura calculada porque se basa en un mecanismo muy preciso de cronometraje con el computador y la interfase. Las variables controladas incluyen el uso de la misma superficie y la misma pelota. La altura inicial de caída no es pertinente porque la primera altura de rebote se calcula con el intervalo entre el primer impacto y el segundo. Si la pelota se desplaza de la vertical en su rebote, entonces se rechaza el dato. Por tanto, una variable controlada es que el rebote permanece más o menos sobre la vertical.

DATOS OBTENIDOS

El tiempo ∆T se determina registrando el impacto sonoro del rebote de la pelota. Los intervalos de tiempo se leen a partir de una gráfica de presión sonora en relación con el tiempo. Se hizo una serie de pruebas y se observó que el sonido que el computador registraba con más claridad

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(menos ruido) era el de una pelota de ping-pong. Se hicieron algunas pruebas desde varias alturas iniciales de caída y se vio que la mejor altura de caída era de alrededor de 60 cm. El micrófono se conectó a la interfase de Lab Pro de Vernier y éste, a su vez, al computador. El software LoggerPro 3.4.1 de Vernier detectó automáticamente el micrófono y dibujó los ejes de la gráfica del nivel de sonido en relación con el tiempo. El dispositivo estaba preconfigurado. La figura 1 contiene una muestra de datos brutos de la intensidad sonora (en unidades arbitrarias) y mediciones de tiempo (en segundos). Figura 1: Datos brutos: presión sonora (unidades) y tiempo (s) Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

(s) 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013

Presión sonora (arbitraria) 2,684 2,684 2,684 2,684 2,684 2,684 2,684 2,684 2,684 2,684 2,684 2,684 2,684 2,684

Presión compensada (arbitraria) 0,000 0,000 0,000 −0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 −0,001 −0,001 0,000 0,000 0,001

Seguidamente, estos datos se representan gráficamente de manera automática.



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Figura 2: Gráfica de la presión sonora (unidades) en relación con el tiempo (s)

Presión compensada (arbitraria)

0,3

0,1

-0,1

-0,3

-0,5 Tiempo (s)

El computador calcula los tiempos consecutivos para los primeros picos de cada rebote y lo utiliza para calcular la altura del rebote A y el logaritmo neperiano de la altura A. Se utiliza el valor g = 9,81 m s−2, pero como es una constante a lo largo de todo el experimento, podría haber sido normalizado, o sea g = 1. Véase la tabla de datos siguiente, Figura 3, y los detalles de algunos cálculos.

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Figura 3: Datos procesados N

Datos Delta Tiempo (s)

1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo total (s) 0,213 0,518 0,799 1,061 1,303 1,529 1,741

Altura (m)

Ln (Altura)

A(n+1) / A(n)

0,305 0,281 0,262 0,242 0,226 0,212

0,114 0,097 0,084 0,072 0,063 0,055

-2,173 -2,337 -2,477 -2,636 -2,773 -2,900

0,851 0,866 0,857 0,875 0,873

8

7

1,938

0,197

0,047

-3,047

0,855

9 10 11

8 9 10

2,124 2,292 2,452

0,186 0,168 0,160

0,042 0,035 0,031

-3,162 -3,366 -3,463

0,894 0,833 0,886

12 13 14 15 16 17

11 12 13 14 15 16

2,599 2,735 2,861 2,981 3,092 3,195

0,147 0,136 0,126 0,120 0,111 0,103

0,026 0,023 0,019 0,018 0,015 0,013

-3,633 -3,788 -3,941 -4,039 -4,195 -4,344

0,837 0,885 0,826

18 19

17 18

3,294 3,384

0,099 0,090

0,012 0,010

-4,423 -4,614

20

Cálculo de Delta Tiempo:

Delta Tiempo = Tiempo TotalN+1 − Tiempo TotalN → ∆TN a N+1 = TN+1 − TN Por ejemplo, el intervalo entre N =3 y N =4: ∆T3 →4 = 1,303s − 1,061s = 0,242s Cálculo de la altura de rebote: 2

1 1 § ∆T · g ∆T 2 (9,81ms −2 )∆T = Altura de rebote = A = gt2 = A = g ¨ = ¸ 8 8 2 2 © 2 ¹

= 1,22625 × ∆T2

Por ejemplo, A para el intervalo N = 3 → N= 4: A = 1,22625 ( ∆T3→4 ) = 1,22625 (0,242s)2 = 0,071814 m ≈ 0,072m 2



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Cálculo del logaritmo neperiano de la altura:

Ln a3→4 = ln(0,071814) ≈ −2,477

ANÁLISIS DE LOS DATOS

A se representa gráficamente en relación con el tiempo total (véase Figura 4). No se han incluido

las barras de error porque, como se dijo más arriba, la incertidumbre en el cálculo de A es insignificante. Figura 4. Altura con respecto al tiempo total

Altura (m)

0,10

0,05

0,00

Tiempo total (s)

Claramente, no hay un decrecimiento exponencial ya que el tiempo que tardan los valores consecutivos de A en reducirse a 0,5A, no es constante. Para determinar la relación entre A y T, se representa una gráfica del logaritmo neperiano de A en relación con el tiempo total.

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Figura 5.

ln (Altura)

Logaritmo neperiano de la altura con respecto al tiempo total

Ajuste automático para: Conjunto de datos:ln (Altura) y = A*exp(-CT)+B A: -0,879 +/- 0,0851 C: -0,405 +/- 0,0204 B: -1,12 +/- 0,106 Error cuadrático medio: 0,0233

Tiempo total (s)

La gráfica muestra que no hay una relación de potencia entre A y T. Fue en esta etapa que se percibió que la pregunta de investigación que se había planteado estaba equivocada. Puesto que los intervalos de tiempo entre rebotes no eran iguales, la pregunta de investigación debería ser “¿La altura A de los rebotes consecutivos de la pelota decae exponencialmente con el número de rebotes?” Por lo tanto, se trazó una gráfica de A con respecto al número de rebotes, como se muestra más abajo.



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Figura 6. Altura con respecto al número de rebotes

Altura (m)

0,10

Ajuste automático para: Conjunto de datos: Altura y = A*exp(-CN)+B A: 0,130 +/- 0,000740 C: 0,148 +/- 0,00288 B: 0,00108 +/- 0,000793 Error cuadrático medio: 0,000737

0,05

0,00 Número de rebotes

A se reduce de 0,10 m a 0,05 m en aproximadamente 5 rebotes (4,9) y después de 0,05 a 0,025 en

otros 5 rebotes, lo que indica una “disminución exponencial”. Se supone que A = A0e − λ n , donde λ es la constante de decrecimiento y n el número del rebote, de modo que una representación del logaritmo neperiano de A con respecto a n debería dar como gráfica una línea recta cuyo gradiente es = λ . La gráfica está trazada más abajo.

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Figura 7. Logaritmo neperiano de la altura con respecto al número de rebotes

ln (Altura)

Ajuste lineal para: Conjunto de datos:ln (Altura) y = mN+b m(Pendiente): -0,143 b(Intersección Y): -2,05 Correlación: -1,00

Número de rebotes

ANÁLISIS DE LA SEMIVIDA

El gradiente de la gráfica calculado por el computador es m = λ = −0,143. La “semivida” se determina a partir de t 1 = 2

ln 2

λ

= 4,85 rebotes. Esto concuerda con la representación de A con

respecto al número de rebotes (véase más arriba). CONCLUSIÓN Y EVALUACIÓN Resultados: Los resultados muestran que, para esta pelota concreta y para esta superficie, la altura de los rebotes consecutivos decae exponencialmente con el número de rebotes. Sin embargo, debe recordarse que la disminución en la altura viene dada por una función. Como tal, el decaimiento sería cierto únicamente si hubiera un número muy grande de rebotes y después de cada rebote hubiera una disminución muy pequeña en la altura.

Limitaciones: La única limitación en este experimento es que no había suficiente tiempo para tomar más datos. Más datos habrían ayudado a probar la validez y/o las limitaciones de la ley exponencial en esta situación así como su validez para pelotas de diferente material que rebotan sobre superficies diferentes. Mejoras: La pelota podría haberse soltado desde mayor altura para aumentar el número de puntos en la grafica y soltada desde menor altura para disminuir el número de puntos . Esto podría haberse repetido para diferentes pelotas soltadas sobre superficies diferentes desde alturas diferentes.



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