SERIE CURSOS Y SEMINARIOS Se incluyen los res´ umenes de cada libro. M´as informaci´on sobre los mismos puede solicitarse a [email protected] 1. Nota sobre el problema de Dirichlet. El M´ etodo de Galerkin, por F.Z´o. 2. Teor´ıa de Juegos, por Ezio Marchi. 3. Identificaci´ on de Sistemas Din´ amicos, C. D’Attellis. 4. Estabilidad y bifurcaci´ on, por J. L´opez-G´omez 5. Algoritmos para grafos. Flujos y redes, por N. Aguilera. 6. Bases de Onditas, por H. Aimar, A. Bernardis e I. Hern´andez. ´ 7. Distribution theory and Fourier Transform, por L. Alvarez Alonso. 8. Una introducci´ on a la Teor´ıa Axiom´ atica de Conjuntos, por Roberto Cignoli. 9. Heights of Algebraic Numbers: The Lehmer’s Problem, por Ricardo Toledano.

´ “Notas sobre el Problema de Dirichlet y el M´etodo de FELIPE ZO: Galerkin”, 1985. E-mail: [email protected] Durante el primer semestre de 1984 fui invitado a Santa Fe a dictar un curso destinado a un grupo de integrantes del INTEC y del PEMA compuesto por ingenieros con buena preparaci´on matem´atica, trabajando con elementos finitos, y licenciados en matem´atica. En este curso se pretendi´o dar un r´apido panorama de los espacios funcionales necesarios para una formulaci´on moderna de problemas de contorno para ecuaciones diferenciales, principalmente los espacios de Sobolev. A continuaci´ on se usaron estos espacios para plantear variacionalmente el problema de Dirichlet y se demostr´o la existencia de soluciones variacionales aplicando la teor´ıa elemental de espacios de Hilbert, tambi´en desarrollada en el curso. Las Notas concluyen con una exposici´on bastante amplia del m´etodo de Galerkin para operadores diferenciales el´ıpticos con valores contornales en el sentido del problema de Dirichlet. En todo el desarrollo del curso se enfatiz´o la relaci´on entre las soluciones exactas y las soluciones aproximadas por los m´etodos de cuadrados m´ınimos o Galerkin seg´ un correspond´ıa. Pensamos que estas Notas pueden ser aprovechadas por aquellos que, antes que una buena preparaci´on matem´atica, tengan una predisposici´on a entender razonamientos abstractos. Esperamos que sean de utilidad tanto para matem´aticos como para ingenieros que quieran tener una idea de la matem´atica usada en las formulaciones modernas de ecuaciones diferenciales, ya sea que se busquen soluciones exactas o aproximadas. Por supuesto, ´este no es un estudio exhaustivo de problemas de contorno ni del m´etodo de Galerkin y se invita a los interesados en profundizar el tema a consultar algunos de los libros citados en la bibliograf´ıa. Se ha tratado que la presentaci´ on sea lo m´as autocontenida posible, pero ser´ıa u ´til que aqu´el que no haya realizado un curso formal de teor´ıa de la integraci´ on de Lebesgue, tenga a su alcance un libro sobre teor´´ ya de medida. En todos los casos, se han ido se˜ nalando los resultados usados, algunos de los cuales han sido incluidos, escritos en letra cursiva y destacados con una l´ınea en el margen, para facilitar su identificaci´on y posible omisi´on, si resultaran familiares. Al lector con menos conocimientos matem´aticos, le ser´a f´acil encontrar

EZIO MARCHI: “Teor´ıa de Juegos”, 1986. E-mail: [email protected]

La teor´ıa de juegos fundada por grandes matem´aticos en la d´ecada del veinte se ha visto desarrollada espec´ıficamente en la d´ecada del cincuenta y posteriormente. No solamente se han desarrollado nuevas t´ecnicas matem´aticas sino que tambi´en se ha dado un gran n´ umero de aplicaciones sobre todo en la econom´ıa matem´atica. En estas Notas, las cuales reflejan el contenido de lo presentado en el Segundo Seminario Latinoamericano de Matem´atica Aplicada, desarrollado en las ciudades de Santa Fe y Rosario, entre los d´ıas 18 y 23 de julio de 1983, presentamos algunos temas especiales de la teor´ıa de juegos. Sobre todo estamos interesados en los aspectos matem´aticos de la teor´ıa y sus simples aplicaciones. Nos es imposible incluir todo los temas importantes de la teor´ıa de juegos, sobre todo lo referente a la teor´ıa cooperativa. Sobre el particular, hemos considerado m´as adecuado presentar una faceta distinta y m´as elaborada por el autor sobre la descripci´on de las acciones correlacionadas o cooperativas. En el material que hemos presentado hemos volcado y considerado ciertos temas cl´asicos. En lo que hace a su tratamiento hemos seguido en varios puntos la presentaci´on hecha en la excelente presentaci´ on debido a Burger[5]. Como la teor´ıa de juegos en general no es estudiada en la carrera de matem´atica o afines, hemos considerado prudente introducir los correspondientes temas de tal manera que esta monograf´ıa resulte autocontenida. El requisito necesario para comprender, sin dificultad los temas aqu´ı expuestos, es un grado de madurez en matem´aticas. Algunas herramientas topol´ogicas que se necesitan para la presentaci´on se incluyen sin demostraci´on, como as´ı tambi´en algunos hechos b´asicos de programaci´on y convexidad. Como en el caso de toda teor´ıa matem´atica que intenta describir parte del mundo real, las definiciones fundamentales y conceptos de la teor´ıa de juegos deben estar justificadas por medio de consideraciones intuitivas. Esto hace inevitable que las definiciones rigurosas matem´aticas sean precedidas por ciertas consideraciones intuitivas m´as bien vagas, que establecen la conexi´on entre las definicioes matem´aticas y la realidad. Nosotros reduciremos a un m´ınimo tales consideraciones intuitivas y nos quedaremos con el objetivo principal del desarrollo de la teor´ıa matem´atica.

´ LOPEZ-G ´ ´ JULIAN OMEZ: “Estabilidad y Bifurcaci´on est´atica. Aplicaciones y M´etodos Num´ericos”, 1988. E-mail: Lopez− [email protected] Las presentes notas son el fruto de un curso que dict´e en la Facultad de Ingenier´ıa Qu´ımica de la Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe (Rep. Argentina) durante el segundo semestre de 1988. Todas las modelizaciones matem´aticas de sistemas del mundo f´ısico involucran par´ametros que representan magnitudes emp´ıricas: Presiones, temperaturas, velocidades, viscosidades, difusividades, tasas de crecimiento, grados de disociaci´on, concentraciones iniciales, etc. En un modelo matem´atico, peque˜ nas variaciones de los par´ametros no modifican el comportamiento cualitativo de las soluciones del modelo (estabilidad estructural). De cualquier manera, si sometemos a los par´ametros a grandes variaciones, el sistema real exhibir´a generalmente un comportamiento diferente de aquel para el que originariamente fue dise˜ nado, debi´endose este traducir en la p´erdida de la estabilidad de la soluci´on del modelo matem´atico que representa al estado original del sistema. Y rec´ıprocamente, si al variar los par´ametros en un modelo que suponemos fiable, cambia el comportamiento cualitativo de la soluci´on matem´atica que representa al estado que inicialmente exhibe el sistema, podemos predecir un cambio en el comportamiento del sistema real. A los valores de los par´ametros donde se producen estos cambios se les denomina puntos de bifurcaci´on. Su estudio es de capital importancia para la comprensi´on del modelo y, en u ´ltima instancia, para el conocimiento y predicci´on de los diferentes reg´ımenes que puede presentar el sistema real. En el cap´ıtulo 1, presentamos algunos sistemas reales con cuyo estudio adquieren precisi´on las afirmaciones efectuadas en el p´arrafo anterior. Una gran parte de los modelos matem´aticos de la Ciencia y la T´ecnica y, en particular, todos los que se pueden describir en t´erminos de ecuaciones diferenciales, admiten una formulaci´ on abstracta del tipo f (λ; u) = 0;