ÁLGEBRA 3.1 – DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomIo por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es la diferencia de los grados de los monomios que se dividen. a (axm)(bxn) = x m−n b TÉCNICA DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS ♦ En el dividendo, dejamos huecos en los términos que faltan. ♦ Dividimos el monomio de mayor grado del dividendo por el monomio de mayor grado del divisor. ♦ El producto de este monomio por el divisor, cambiado de signo, se coloca bajo el dividendo y se suma. ♦ A partir de aquí volvemos a proceder como en los apartados anteriores hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor. R (x ) ♦ Solución = D(x) : d(x) = C(x) + d(x ) DIVISIÓN ENTERA Y DIVISIÓN EXACTA A la división entre polinomios en la que, además del cociente, hay un resto, se le llama R (x ) división entera: D(x) : d(x) = C(x) + d(x ) Cuando el resto es cero, se dice que la división es exacta:

D( x ) = C( x ) d(x )

3.2 – DIVIDIR UN POLINOMIO POR x – a. REGLA DE RUFFINI 3.3.1 - REGLA DE RUFFINI La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Las operaciones (sumas y multiplicaciones por a) se realizan una a una. Se obtienen, así, los coeficientes del cociente y el resto de la división

3.3.2 - UN CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR x – a Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x – a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Por tanto, para buscar expresiones x – a que sean divisores de un polinomio, probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término independiente.

3.3.3 - VALOR DE UN POLINOMIO PARA x = a El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a). 3.3.4 - TEOREMA DEL RESTO El valor que toma un polinomio, P(x), cuando hacemos x = a, coincide con el resto de la división P(x) : (x – a). Es decir, P(a) = r

3.3 - FACTORIZACIÓN UN POLINOMIO 3.5.1 - PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Método para factorizar un polinomio: • Sacar factor común • Recordar los productos notables • Si es un polinomio de grado > 2 : Por Ruffini, probando con los divisores del término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x – a).C(x) • Si es un polinomio de grado = 2: Se resuelve la ecuación de segundo grado: 2 soluciones distintas ⇒ a.(x - x 1 ).( x - x 2 )  ax2 + bx + c = 0 ⇒ 1 solución doble ⇒ a.(x - x 1 ) 2  2  No tiene solución ⇒ ax + bx + c 3.5.2 - RAÍCES DE UN POLINOMIO Un número a se llama raíz de un polinomio P(x), si P(x) = 0 Método para calcular las raíces de un polinomio: • Se factoriza el polinomio • Se iguala cada uno de los factores a cero. 3.5.3 – INVENTAR POLINOMIOS Si una raíz es x = a ⇒ P(x) = (x – a)…..

3.4 - FRACCIONES ALGEBRAICAS 3.7.1 - DEFINICIÓN Se llama fracción algebraica al cociente de dos polinomios.

P( x ) Q( x )

3.7.2 - SIMPLIFICACIÓN Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminan los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente.

3.7.3 - REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores 3.7.4 - OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS •

Suma y resta: Para sumar o restar fracciones algebraicas, estas se reducen a común denominador y se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Después se simplifica la fracción resultante.

•

Producto : El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus numeradores partido por el producto de sus denominadores.

•

Fracción inversa de otra : La fracción inversa de

•

Cociente : El cociente de dos fracciones algebraicas es el producto de la primera por la inversa de la segunda (Producto cruzado de términos).

P( x ) Q( x ) es . Q( x ) P( x )

3.5 – RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. NÚMERO DE SOLUCIONES Una ecuación de segundo grado es de la forma ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0 Número de soluciones: Llamamos discriminante ∆ = b2 – 4ac • Si ∆ >0 ⇒ Dos soluciones distintas •

Si ∆ = 0

⇒

Una solución doble

•

Si ∆ < 0

⇒

No tiene solución

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO •

Completa:

•

Incompletas :

− b ± b 2 − 4ac 2a 2 Si b = 0 ax + c = 0 Se despeja x2 y luego se hace la raíz Si c = 0 ax2 + bx = 0 Se saca factor común la x y luego cada uno de los productos se iguala a cero y se obtienen las soluciones. ax2 + bx + c = 0 ⇒ x =

ECUACIONS BICUADRÁTICAS

ax4 + bx2 + c = 0

Se hace un cambio de variable x2 = t Se resuelve la ecuación de segundo grado en t Se calcula las x como la raíz de t

ECUACIONES CON RADICALES Si sólo hay una raíz – Se aísla la raíz en un miembro de la ecuación y se elevan ambos miembros al cuadrado. Si hay más de una raíz – Se aísla una raíz en un miembro de la ecuación y se elevan los dos miembros al cuadrado. Esto habrá que hacer tantas veces como raíces tenga. Nota : Al elevar al cuadrado se duplican las soluciones, por tanto es necesario comprobar las soluciones en la ecuación inicial. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON “x” EN EL DENOMINADOR Hacer común denominador Eliminar denominadores Resolver la ecuación lineal obtenida Comprobar las soluciones ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS Se factoriza (Utilizando sacar factor común, productos notables, ecuaciones de segundo grado, Ruffini ) y luego se iguala cada factor a cero. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO x − a = b | x –a | = b  x − a = −b ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ecuaciones exponenciales son aquellas en la que la incógnita está en el exponente. •

Si no hay sumas : • Si se pueden poner todos en función de la misma base : ax = ay ⇒ x = y • Si no se pueden poner todos en función de la misma base: Aplicar la definición de logaritmo : ax = b ⇒ x = log a b • Si hay sumas: Cambio de variable ax = t Resolver la ecuación en t Calcular la x Ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita está en una expresión afectada por un logaritmo. Utilizar las propiedades de los logaritmos: k = log a ak log ab = b.log a log a + log b = log (a.b) log a – log b = log (a/b) Comprobar las soluciones en la ecuación inicial teniendo el cuenta que el dominio de un logaritmo es [0,+∞) [ log (f(x)) ⇒ f(x) > 0 ]

3.6 – SISTEMAS DE ECUACIONES SOLUCIÓN Una solución de una ecuación con varias incógnitas es un conjunto de valores (uno para cada incógnita) que hacen cierta la igualdad. Las soluciones con más de una incógnita suelen tener infinitas soluciones

DEFINICIÓN DE UN SISTEMA Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones de las que pretendemos encontrar su solución (o soluciones) común.

RESOLVER UN SISTEMA Para resolver un sistema de ecuaciones consiste en buscar una solución común a todas ellas.

METODOS TRADICIONALES: REDUCCIÓN

SUSTITUCIÓN,

IGUALACIÓN

Y

•

Sustitución: Despejar una incógnita de una ecuación y sustituir en la otra

•

Reducción: Multiplicar las ecuaciones por los números adecuados para que al sumarlas se vaya una incógnita.

•

Igualación: Se despeja la misma incógnita de las dos ecuaciones y se igualan.

3.7 – MÉTODO DE GAUSS PARA SISTEMAS LINEALES El método de Gauss es una interesante generalización del método de reducción para sistemas lineales de más de dos ecuaciones e incógnitas. SISTEMAS ESCALONADOS Un sistema escalonado es un sistema de ecuaciones en la que en cada ecuación hay una incógnita menos: ax + by + cz = d b’y + c’z = d’ c’’z = d’’ Se resuelven de abajo arriba: Primero la última ecuación, después la penúltima,..

MÉTODO DE GAUSS Consiste en mediante operaciones elementales, sustituir una ecuación por una combinación lineal de otra, transformar un sistema en un sistema escalonado que es más sencillo de resolver. El mismo camino puede hacerse operando sólo con el “esqueleto numérico” del sistema llamado matriz del sistema

ax + by + cz = d  a b c d   a b c d  ax + by + cz = d       a ' x + b' y + c' z = d' ≈  a ' b' c' d'  ≈  0 e f g  ≈ ey + fz = g a ' ' x + b' ' y + c' ' z = d' '  a ' ' b' ' c' ' d' '   0 0 h i  hz = i       Sistema Compatible Determinado ⇒ Tiene una única solución (∃! solución) SISTEMAS INCOMPATIBLES (sin solución) Si al aplicar el método de Gauss llegamos a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k (k ≠ 0), entonces el sistema es Incompatible ⇒ No tiene solución SISTEMAS INDETERMINADOS (con infinitas soluciones) Si al aplicar el método de Gauss llegamos a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, se suprime. Si quedan menos ecuaciones que incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones. Se llama Sistema Compatible Indeterminado ⇒ Existen Infinitas soluciones

3.8 – INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA DEFINICIÓN DE INECUACIÓN Una inecuación es una desigualdad (, ≥) entre expresiones algebraicas. SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN Solución de una inecuación es un valor de x con el cual se cumple la desigualdad. RESOLVER UNA INECUACIÓN Resolver una inecuación consiste en encontrar todas sus soluciones. Habitualmente tiene infinitas, que se agrupan en intervalos de R. •

Inecuaciones lineales de primer grado: (Se resuelven como una ecuación normal teniendo en cuenta que si se multiplica o divide por un número negativo la desigualdad cambia de signo) ax + b > 0 ⇒ ax > -b : Si a > 0 Si a < 0

x > -b/a ⇒ x ∈ (-b/a, +∞) x < -b/a ⇒ x ∈ (-∞, b/a)

•

Inecuaciones lineales de grado mayor o igual que dos Se igualan a cero y se resuelve la ecuación. Estas soluciones dividen la recta real en partes. Tomando un número en cada parte se comprueba si cumplen la inecuación o no. Si la cumplen todo ese intervalo es solución. También habrá que comprobar los extremos de los intervalos.

x = x 1 ax2 + bx + c > 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0 ⇒  x = x 2

x1

x2

x ∈ ( -∞,x1) ∪ (x2, +∞) Si la desigualdad contiene el igual los puntos se pintan y se cogen los extremos. •

Inecuaciones con cocientes Se igualan a cero, por separado, numerador y denominador y se resuelve las ecuaciones. - Los puntos del numerador se incluyen si en la desigualdad está el igual. - Los puntos del denominador nunca se incluyen (no se puede dividir por cero. Estas soluciones dividen la recta real en partes. Tomando un número en cada parte se comprueba si cumplen la inecuación o no. Si la cumplen todo ese intervalo es solución.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE INECUACIONES Solución de un sistema de inecuaciones es una solución común a todas las inecuaciones que lo forman. RESOLVER UN SISTEMA DE INECUACIONES Resolver un sistema de inecuaciones consiste en encontrar todas sus soluciones. Se resuelven por separado cada inecuación del sistema y luego se haya la intersección de las soluciones, es decir, las que cumplen todas las ecuaciones a la vez.

3.9 – INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS DEFINICIÓN Una inecuación lineal con dos incógnitas adopta una de estas formas: ax + by + c < 0

ó ax + by + c > 0

En vez de los signos < o > pueden tener ≤ o ≥ En cada una de ellas, el conjunto de soluciones es el semiplano que está a uno de los lados de la recta ax + by + c = 0. Cuando en la desigualdad está incluido el “igual”, los puntos de la recta también son soluciones. RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN Para resolver gráficamente una inecuación con dos incógnitas f(x,y) ≤ g(x,y): 1. Se pasa todo a un miembro y se opera hasta obtener f(x,y) ≤ 0 2. Se representa la recta f(x,y) = 0 (Continua si la desigualdad no se estricta y discontinua si es estricta) 3. Esta recta divide al plano en dos partes 4. Se toma un punto cualquiera del plano que no esté en la recta. Si ese punto cumple la desigualdad todo este semiplano será la solución de la inecuación, si no la cumple, la solución será el otro semiplano.

3.10 – SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Varias inecuaciones forman un sistema cuando se buscan las soluciones comunes a todas ellas. Como el conjunto de soluciones de una inecuación de primer grado con dos incógnitas es un semiplano, el conjunto de soluciones de un sistemas de inecuaciones de este tipo es la intersección de varios semiplano, es un recinto poligonal o bien un recinto abierto. Es posible que los semiplanos no tengan ningún punto en común. En tal caso el sistema no tiene solución y se dice que es incompatible. Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las inecuaciones que forman el sistema. Pasos: - Se resuelve cada inecuación por separado y se representa su solución en el mismo plano. - Se toma como solución la intersección de las soluciones es decir las zonas que estén cogidas en todos los semiplanos.

ÁLGEBRA DIVISIÓN DE POLINOMIOS EJERCICIO 1 : Realiza las siguientes operaciones con polinomios: a) x 2 − 1 3 x 2 − 2 x − 2 x 2 + 1 b) 6 x 4 − 3 x + 2 : x 2 − 2 x

( c) (x

)(

2

+ 3x

) (

)

2

)

+ x 5 − 3x 2

)( ) 2 2  g)  x + 2  − (3 x 2 + 2 x − 1) 3  (

e) x 2 − 2 x + 3 x 2 − 1 − x 2 (x − 3 )

(

i) x 2 x 2 + 3

)

2

(

− 2 x 2 − 3x

Solución:

)(

(

4

− 3x 2

5

− 2x 2

3

)( ) + 2 x ) : (x + 2 ) + x − 2 ) : (2 x − 1)

2

2

2

2

h) (2x – 3x + 2):(x + 1)

(

)

) (

( d) (5 x f) (4 x

) (

)

j) 4 x 3 − 2 x 2 + 2 : 2x 2 + 1

)

a) x 2 − 1 3x 2 − 2x − 2 x 2 + 1 = 3x 4 − 2 x 3 − 3x 2 + 2x − 2x 2 − 2 = 3x 4 − 2x 3 − 5x 2 + 2x − 2

Cociente = 6x + 12x + 24 2

Resto = 45x + 2

(2x 2 + 3x ) + x5 − 3x 2 = 4x4 + 12x3 + 9x 2 + x5 − 3x 2 = x5 + 4x 4 + 12x3 + 6x 2 2

c)

Cociente = 5x − 13

Resto = 2x + 26

Cociente = 2x + x − 1

Resto = 2x − 3

)(

(

2

)

4 3 2 2 3 2 4 3 2 e) x 2 − 2 x + 3 x 2 − 1 − x 2 (x − 3 ) = x - 2x + 3x – x + 2x – 3 – x + 3x = x – 3x + 5x + 2x – 3

3

2

(

)

4 8 − 23 2 2 2  g)  x + 2  − 3x 2 + 2 x − 1 = x 2 + x + 4 − 3x 2 − 2x + 1 = x + x +5 3 9 3 9 3  

Cociente = 2x − 3

(

i) x 2 x 2 + 3

Resto = −2x +5

) − 2(x 2 − 3x ) = x(4x 4 + 12x 2 + 9)− 2x 2 + 6x = 4x 5 + 12x 3 + 9x − 2x 2 + 6x = 4x 5 + 12x 3 − 2x 2 + 15x 2

Cociente = 2x − 1

Resto = −2x + 3

TEOREMA DEL RESTO EJERCICIO 2 : Obtén el valor de k para que el polinomio P(x) = 3x + 2x + kx − 3x + 4 sea divisible entre x + 1. 5

3

2

Solución: Para que P(x) sea divisible entre x + 1, ha de ser P(−1) = 0; es decir: P(−1) = − 3 − 2 + k + 3 + 4 = k + 2 = 0 → k = −2 EJERCICIO 3 : Calcula el valor numérico de k para que la siguiente división sea exacta: 4 2 (kx − 3x + 4x −5) : (x − 2) Solución: 4 2 Llamamos P(x) = kx −3x + 4x − 5. Para que la división sea exacta, ha de ser P(2) = 0; es decir: 9 P (2) = 16k − 12 + 8 − 5 = 16k − 9 = 0 → k = 16 3 2 EJERCICIO 4 : Halla el valor de k para que el polinomio P(x) = kx − 3kx + 2x − 1 sea divisible entre x − 1. Solución: Para que P(x) sea divisible entre x − 1, ha de ser P(1) = 0; es decir: 1 P (1) = k − 3k + 2 − 1 = −2k + 1 = 0 → k = 2 EJERCICIO 5 : Consideramos el polinomio P(x) = 7x − 2x + 3x + 1. a) Halla el cociente y el resto de la división: P(x) : (x + 2) b) ¿Cuánto vale P(− −2)? 4

3

2

Solución:

3

2

Cociente: 7x – 16x + 35x – 70 b) P(-2) = 141

Resto: 141

EJERCICIO 6 : 6 4 2 a) Calcula el valor numérico de P(x) = 14x − 2x + 3x − 5x + 7 para x = 1? b) ¿Es divisible el polinomio anterior, P(x), entre x − 1? Solución: a) P(1) = 14 − 2 + 3 − 5 + 7 = 17 b) No. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P(x) : (x − 1) coincide con P(1). En este caso P(1) = 17 ≠ 0; por tanto, P(x) no es divisible entre x − 1. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS EJERCICIO 7 : Factoriza los siguientes polinomios: 4 3 2 a) x + x – 9x – 9x b) x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 3 c) x 4 + 3 x 3 − 10 x 2

d) x 4 + 3 x 3 − x 2 − 3 x

e) x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 − 8 x

f) x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12

g) x 4 − 4 x 3 − 5 x 2

h) x 3 − 3 x − 2

i) x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x

j) x 4 + x 3 − 9 x 2 − 9 x

Solución: a) Sacamos factor común: x 4 + x 3 − 9 x 2 − 9 x = x x 3 + x 2 − 9 x − 9

(

)

(

)

x x 3 + x 2 − 9 x − 9 = x (x − 3 )(x + 3 )(x + 1) b)

(

)

x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 3 = (x − 1)(x − 3 ) x 2 + 1 Raíces: x = 1, x = 3 c) Sacamos factor común: x 4 + 3 x 3 − 10 x 2 = x 2 x 2 + 3 x − 10 2 Buscamos las raíces de x + 3x − 10 resolviendo la ecuación:

(

Por tanto: x 4 + 3 x 3 − 10 x 2 = x 2 (x − 2)(x + 5 )

)

(

d) Sacamos factor común: x 4 + 3 x 3 − x 2 − 3 x = x x 3 + 3 x 2 − x − 3

x 4 + 3 x 3 − x 2 − 3 x = x (x − 1)(x + 1)(x + 3 )

(

)

e) Sacamos factor común: x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 − 8 x = x x 3 + 2 x 2 − 4 x − 8

(

)

x x 3 + 2 x 2 − 4 x − 8 = x (x − 2)(x + 2) f) 1 2 1 –2 1

3

–4 –12

2

10

12

5

6

0

–2

–6

3

0

2

x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 = (x − 2 )(x + 2 )(x + 3 )

)

(

)

g) Sacamos factor común: x 4 − 4 x 3 − 5 x 2 = x 2 x 2 − 4 x − 5 2 Buscamos las raíces de x – 4x – 5 resolviendo la ecuación:

4 ± 16 + 20 4 ± 36 4 ± 6 = = 2 2 2 Por tanto: x 4 − 4 x 3 − 5 x 2 = x 2 (x − 5 )(x + 1) h) x 2 − 4x − 5 = 0 → x =

1

0

–3

–2

2

4

2

2

1

0

–1

–1

1

0

2

1 –1 1

(x − 2)(x + 1)2

x 3 − 3x − 2 =

x =5 x = −1

(

i) Sacamos factor común: x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x = x x 3 + 2 x 2 + 3 x + 6 1

–2

2

3

6

–2

0

–6

0

3

0

1

(

x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x = x (x + 2 ) x 2 + 3 j) Sacamos factor común: 1

1

–9

–9

3

12

9

4

3

0

–3

–3

1

0

3 1 –3 1

)

(

)

x + x − 9x 2 − 9x = x x 3 + x 2 − 9x − 9 4

3

)

x 4 + x 3 − 9 x 2 − 9 x = x (x − 3 )(x + 3 )(x + 1) FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIO 8 : Simplifica: a) d) g)

j)

x 5 + 6x 4 + 9x 3 x 3 + 3x 2

x 4 − 2x 3 − 3x 2 x 4 − 9x 2 1

(x − 1)2 (x − 1)2 ⋅ 2

+

2 1 + x −1 x2 −1

1 x2 −1

−

3x

(x + 1)2

x + 1 x 2 + x  x − m)  ⋅ x  2  x −1

x 3 − x 2 − 2x

b)

x3 − x x 3 + 3x 2 + 2x

c)

e)

x 3 − 3x 2 + 3x − 1 x 3 − 2x 2 + x

2x  x 2 + x 3 f)  − ⋅  x x + 1 x − 1

 3x   x3 − x  2x − 1  h)  −  ⋅  2  x + 1 x − 1   − x − 6 x + 1 

x 3 − 3x 2 + 2x

i)

2x 3x − 1 1 + − 2 x −2 x +2 x −4

x + 4 2x 2 + 4x x − + 2 x −3 x +3 x −9

k)

2x − 1 x + 1 3x 2 + 2 + − x x + 2 x 2 + 2x

l)

n)

2x + 3 3x 2 + 3 x + 1 − 2 + x +3 x x + 3x

ñ)

1 1 1 : − 2 x + 1 2x − 1 x − 1

o)

x +1 x 2x + 2 − − x x +1 x2 + x

1  2x + 1  1 p)  : +  x + 1 x  (x + 1)2

1  (2 x − 1)2  1 r)  − ⋅ 3x  2x − 1 2x 

s)

q)

2x + 1 3x 5x 2 + − x −1 x +1 x2 −1

2x 3x + 1 5 x 2 + 7x + − x +2 x x 2 + 2x

Solución: 2 x 3 x 2 + 6x + 9 x 5 + 6x 4 + 9x 3 x 3 (x + 3 ) a) = = = x (x + 3 ) = x 2 + 3 x x 3 + 3x 2 x 2 (x + 3 ) x 2 (x + 3 )

(

)

(

)

b)

x x2 −1 x (x − 1)(x + 1) x3 − x x −1 = = = 3 2 2 x (x + 1)(x + 2) x + 2 x + 3x + 2x x x + 3x + 2

c)

x −x x 3 − 3x 2

d)

x2 x 4 − 2x 3 − 3x 2 = 4 2 x − 9x

e)

x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 (x − 1) x −1 = = 3 2 x (x − 1) x x − 2x + x

3

2

( ( − 2x = + 2 x x (x

) ) = x (x − 3)(x + 1) = x + 1 − 3 x + 2) x (x − 2 )(x − 1) x − 1 (x − 2x − 3) = x (x − 3)(x + 1) = x + 1 x (x − 9 ) x (x − 3 )(x + 3 ) x + 3

x x2 − x − 2 2

2

2

2

2

2

3

2 2 2 2 2  3 2x  x + x 3 (x + 1) − 2x x + x 3x + 3 − 2x x (x + 1) − 2x + 3x + 3 = ⋅ = f)  ⋅ ⋅ = ⋅ x (x + 1) x −1 x (x + 1) x −1 x −1  x x +1  x −1

g)

1

(x − 1)2

+

(

)

x + 1 + 2 x 2 − 1 + (x − 1) x + 1 + 2x 2 − 2 + x − 1 2x 2 + 2x − 2 2 1 1 2 1 + = + + = = = x − 1 x 2 − 1 (x − 1)2 (x − 1) (x − 1)(x + 1) (x − 1)2 (x + 1) (x − 1)2 (x + 1) (x − 1)2 (x + 1)

3 x3 − x  2x − 1 3x   x − x  (2 x − 1)(x − 1) − 3x (x + 1) − = ⋅ = ⋅  (x + 1)(x − 1)  x + 1 x − 1   − x 2 − 6x + 1  − x 2 − 6x + 1 h) 2 x 2 − 2x − x + 1 − 3x 2 − 3x x (x − 1)(x + 1) − x 2 − 6x + 1 x (x − 1)(x + 1) = ⋅ = ⋅ =x (x + 1) ⋅ (x − 1) (x + 1)(x − 1) − x 2 − 6x + 1 − x 2 − 6x + 1

i) j)

2x (x + 2 ) (3x − 1)(x − 2) 2x 3x − 1 1 1 2 x 2 + 4 x − 3x 2 + 6 x + x − 2 − 1 − x 2 + 11x − 3 + − = − − = = x − 2 x + 2 x2 −4 x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4 x2 −4 x2 −4

(x − 1)2 ⋅ 2

k) l)

1 x 2 −1

−

3x

(x + 1)2

=

(x − 1)2 − 3x 2 (x − 1)(x + 1) (x + 1)2

=

x −1 3x x 2 − 1 − 6x x 2 − 6x − 1 − = = 2 (x + 1) (x + 1)2 2 (x + 1)2 2 (x + 1)2

2x − 1 x + 1 3x 2 + 2 (2x − 1)(x + 2) x (x + 1) 3x 2 + 2 2x 2 + 4x − x − 2 + x 2 + x − 3x 2 − 2 4x − 4 + − = + − = = 2 2 2 2 2 x x + 2 x + 2x x + 2x x + 2x x + 2x x + 2x x 2 + 2x

(x + 4)(x + 3) 2x 2 + 4x x (x − 3) x 2 + 3x + 4x + 12 − 2x 2 − 4x + x 2 − 3x 12 x + 4 2x 2 + 4x x − + = − + = = x −3 x +3 x2 −9 x2 −9 x2 −9 x2 −9 x2 −9 x2 −9

(

)

x + 1  x 2 + x x 2 − (x + 1)(x − 1) x 2 + x x 2 − x 2 − 1 x (x + 1) x 2 − x 2 + 1 x (x + 1)  x − = ⋅ = ⋅ = ⋅ =  ⋅ x −1 x  2 x (x − 1) 2 x (x − 1) 2 x (x − 1) 2  m) 1 = ⋅ x (x + 1) = x (x + 1) = x + 1 = x + 1 x (x − 1) 2 2 x (x − 1) 2 (x − 1) 2x − 2 n)

2x + 3 3x 2 + 3 x + 1 2x 2 + 3x 3x 2 + 3 (x + 1)(x + 3) 2x 2 + 3x − 3x 2 − 3 + x 2 + 3x + x + 3 7x 7x 7 − + = − = + = = = 2 2 2 2 2 2 x + 3 x + 3x x x + 3x x + 3x x + 3x x + 3x x + 3x x (x + 3) x + 3

(2x − 1)(x − 1) 1 2x − 1 1 1 1 1 2x 2 − 2x − x + 1 1 2x 2 − 3x + 1 − 1 2x 2 − 3x : − = − = − = − = = x + 1 2x − 1 x 2 − 1 x + 1 x 2 − 1 x 2 −1 x 2 −1 x 2 −1 x 2 −1 x 2 −1 x 2 −1 2 2 2 2 x +1 x 2 x + 2 (x + 1) x 2x + 2 x + 2 x + 1 − x − 2 x − 2 −1 − − = 2 − − = = 2 o) x x + 1 x2 + x x + x x2 + x x2 + x x2 + x x +x ñ)

p)

1 1 2x + 1 x 2x + 1 x (x + 1) 2 x + 1 x 2 + x + 2x + 1 x 2 + 3x + 1 : + = + = + = = x + 1 x (x + 1)2 x + 1 (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2

q)

(2x + 1)(x + 1) 3x (x − 1) 5x 2 2x 2 + 2x + x + 1 + 3x 2 − 3x − 5x 2 2 x + 1 3x 5x 2 1 + − = + − = = 2 2 2 2 2 2 x −1 x + 1 x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 x −1

2 1  (2x − 1)2 2 x − (2x − 1) (2 x − 1)2 2x − 2x + 1 (2 x − 1)2 1  1 r)  − ⋅ ⋅ ⋅ (2x − 1) = 2x −21 = = = ⋅ 3x (2x − 1) ⋅ 2x 3x 2x (2x − 1) 3x 2x (2x − 1) 3x  2x − 1 2 x  6x

s)

(3x + 1)(x + 2) 5x 2 + 7x 2x 2 + 3x 2 + 6x + x + 2 − 5x 2 − 7x 2x 3x + 1 5 x 2 + 7 x 2x 2 2 + − = + − = = 2 2 2 2 2 2 x+2 x x + 2x x + 2x x + 2x x + 2x x + 2x x + 2x

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EJERCICIO 9 : Resuelve las siguientes ecuaciones:

1)

4x 2 − 4x 3x + 4 − x = x2 − 3 3

5) x (x + 4 ) − 5 =

4) x 4 − 21x 2 − 100 = 0 3 x + 16 = 2 x − 1

7)

3 2 11 + = x x +4 6 2x − 1 4 11 13) + = x x −1 2 10)

16) x 4 + x 3 − 4 x 2 − 4 x = 0 1 7 19) 2 x −1 + 2 x + = 2x 2

5 4x 2

−

x ( x − 1) 3

15 3 x 2 − x + 3 = +3 4 4

6) x 4 − 48 x 2 − 49 = 0 x 4x 14 + = x +2 x −2 3

8)

x +5 − x = 3

9)

11)

2 x −2 5 + = x −1 x +1 4

12) x + 4 =

4 x + 12

14) x 4 + x 3 − 9 x 2 − 9 x = 0

15) x 3 − 2 x 2 − 11x + 12 = 0

17) x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 = 0

18) x 3 + 4 x 2 − x − 4 = 0

20) log (x − 3 )2 + log 4 = log x 21) x 4 − 37 x 2 + 36 = 0

22) 2ln ( x + 1) − ln ( 2 x ) = ln 2 25)

3) x 2 +

2) x 4 − 11x 2 + 28 = 0

23)

24) 3 2 x − 3 x +1 +

5x + 4 = 2x + 1

8 =0 9

26) log (x + 1) − log (3 x − 2 ) = 1 27) 3 x − 1 + 11 = 2 x

1 3 = 3 6x 2

2 3 x − x +1

28) 2 x −1 + 2 x +1 − 3 ⋅ 2 x + 4 = 0

x 16 x + 1 29) − = x +1 6 x

30)

31) 2 1−x + 2 x − 3 = 0

32) 1 − x = 7 − 3 x

33) 2 x +2 + 2 x − 5 = 0

3 x +1

=

1 3

Solución:

1)

4x 2 − 4 x 3x + 4 4x 2 − 4x 3x 3x 2 3x + 4 − x = x2 − ; − = − ; 4 x 2 − 4x − 3x = 3x 2 − 3x − 4 3 3 3 3 3 3

x 2 − 4x + 4 = 0 ; x =

4±

2) x 4 − 11x 2 + 28 = 0

z=

11 ± 121 − 112 2

16 − 16 2

=

4 = 2 ; Solución: x = 2 2

Cambio : x 2 = z →

=

11 ± 2

9

=

Cuatro soluciones : x1 = − 7 ,

11 ± 3 2 x2 =

→ 7,

z 2 − 11z + 28 = 0

x4 = z2

z = 7   z = 4  x 3 = −2,

→

x=± 7

→

x = ±2

x4 = 2

15 3x 2 − x + 3 4 x 2 15 3 x 2 − x + 3 12 = +3; + = + ; 4 x 2 + 15 = 3 x 2 − x + 3 + 12 4 4 4 4 4 4 x = 0  x 2 + x = 0 ; x (x + 1) = 0 →   x + 1 = 0 → x = −1

3) x 2 +

4) x 4 − 21x 2 − 100 = 0

Cambio: x 2 = z

→

x 4 = z2

z 2 − 21z − 100 = 0

z=

21 ±

441 + 400

=

2

21 ± 2

2x 2 + 13x − 15 = 0 ; x = 6) x 4 − 48x 2 − 49 = 0

48 ±

→

z = 25 → x = ±5   z = −4 (no vale)

Dos soluciones: x1 = −5, x2 = 5

x (x − 1) x2 − x ; x 2 + 4x − 5 = ; 3 x 2 + 12 x − 15 = x 2 − x 3 3

5) x (x + 4) − 5 =

z=

21 ± 29 = 2

841

− 13 ± 169 + 120 4

Cambio: x 2 = z

2 304 + 196

=

2

48 ±

2 500 2

→ =

− 13 ±

=

289

4

x 4 = z2

=

x = 1 − 13 ± 17  →  − 30 − 15 4  x = 4 = 2

z 2 − 48 z − 49 = 0

z = 49 → x = ±7 48 ± 50  →  Dos soluciones: x1 = −7, x2 = 7 2 z = −1 (no vale)

3x + 16 = 2x − 1 ; 3 x + 16 = ( 2 x − 1)2 ; 3 x + 16 = 4 x 2 + 1 − 4 x ; 0 = 4 x 2 − 7 x − 15

7)

x=

7±

49 + 240 7 ± 289 7 ± 17 = = 8 8 8

→

 x = 3  x = − 10 = − 5  8 4

Comprobación:

x =3

→

25 = 5

→

−5 49 7 − 7 → = ≠ 4 4 2 2 Hay una solución: x = 3 x=

x+5 −x = 3;

8)

x=

−5±

x = 3 sí vale. →

x=

x + 5 = 3 + x ; x + 5 = 9 + x 2 + 6x ; 0 = x 2 + 5x + 4

25 − 16

2 Comprobación:

−5±

=

9

2

=

−5±3 2

x = −1 →

4 +1= 2 +1= 3

x = −4

1 + 4 = 1+ 4 = 5 ≠ 3

→

−5 no vale. 4

→

→

 x = −1   x = −4

x = −1 sí vale →

x = −4 no vale

Hay una solución: x = −1 14(x + 2)(x − 2) 4x x 14 12 x (x − 2) 3 x (x + 2) 9) + + = ; = x + 2 x − 2 3 3(x + 2)(x − 2) 3(x + 2)(x − 2) 3(x + 2)(x − 2)

(

)

12 x 2 − 24 x + 3 x 2 + 6 x = 14 x 2 − 4 ; 15 x 2 − 18 x = 14 x 2 − 56 ; x 2 − 18 x + 56 = 0 x=

10)

18 ±

324 − 224

=

2

18 ± 100 2

=

18 ± 10 2

→

 x = 14  x = 4

3 2 11 18(x + 4 ) 12 x 11x (x + 4 ) + = ; + = ; 18 x + 72 + 12 x = 11x 2 + 44 x ; 0 = 11x 2 + 14 x − 72 x x + 4 6 6 x (x + 4 ) 6 x (x + 4 ) 6 x (x + 4 )

 x = 2  x = − 72 = − 36 22 22  22 11 4(x − 1)(x − 2 ) 5(x − 1)(x + 1) 2 x−2 5 8(x + 1) 11) + = ; + = ; 8x + 8 + 4 x 2 − 3x + 2 = 5 x 2 − 1 x − 1 x + 1 4 4(x − 1)(x + 1) 4(x − 1)(x + 1) 4(x − 1)(x + 1) x=

− 14 ± 196 + 3168

=

− 14 ±

3364

=

− 14 ± 58 22

→

(

8 x + 8 + 4 x 2 − 12 x + 8 = 5 x 2 − 5 ; 0 = x 2 + 4 x − 21 ;

12) x + 4 = x=

−4±

− 4 ± 16 + 84 2

=

− 4 ± 100 2

=

− 4 ± 10 2

4x + 12 ; (x + 4 )2 = 4 x + 12 ; x 2 + 16 + 8 x = 4 x + 12 ; x 2 + 4 x + 4 = 0 ; 16 − 16 2

=

−4 = −2 2

Comprobación: x = −2

13)

x=

) (

→

2=

4

→

sí es válida

2x − 1 4 11 2( 2 x − 1)(x − 1) 8x 11x (x − 1) + = ; + = ; 2 2 x 2 − 3 x + 1 + 8 x = 11x 2 − 11x 2 x (x − 1) 2 x (x − 1) 2 x (x − 1) x x −1 2

(

)

) →

x = 3    x = −7

4 x 2 − 6 x + 2 + 8 x = 11x 2 − 11x ; 0 = 7 x 2 − 13 x − 2 ; x =

13 ± 169 + 56 14

(

=

13 ±

225

14

)

14) Sacamos factor común: x 4 + x 3 − 9 x 2 − 9 x = x x 3 + x 2 − 9 x − 9 = 0

Factorizamos x 3 + x 2 − 9x − 9 :

x –9=0⇒x=±3 x = 0   x + 1 = 0 → x = −1 x 4 + x 3 − 9 x 2 − 9 x = x (x + 1)(x − 3 )(x + 3 ) = 0 →  x − 3 = 0 → x = 3  x + 3 = 0 → x = −3 2

Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x1 = 0, 15) Factorizamos:

x 3 − 2 x 2 − 11x + 12 = (x − 1)(x − 4 )(x + 3 ) = 0

x 2 = −1,

x 3 = 3,

x 4 = −3

x − 1 = 0 → x = 1  x − 4 = 0 → x = 4  x + 3 = 0 → x = −3 

→

Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x1 = 1,

(

x 2 = 4,

x 3 = −3

)

16) Sacamos factor común: x + x − 4 x − 4 x = x x + x − 4 x − 4 = 0 4

3

2

3

2

Factorizam os x + x − 4 x − 4 : 3

2

x = 0  x + 1 = 0 4 3 2 ( )( )( ) x + x − 4x − 4x = x x + 1 x − 2 x + 2 = 0 →  x − 2 = 0  x + 2 = 0 Por tanto las soluciones de la ecuación son: x1 = 0, x 2 = −1, 17) Factorizamos:

x − 2 x − 5 x + 6 = (x − 1)(x − 3 )(x + 2 ) = 0 3

2

→

→ x = −1 → x =2 → x = −2 x 3 = 2, x 4 = −2

x − 1 = 0 → x = 1  x − 3 = 0 → x = 3  x + 2 = 0 → x = −2 

Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x1 = 1, x 2 = 3, x 3 = −2 18) Factorizamos:

=

13 ± 15 14

→

 x = 2 x = − 2 = − 1  14 7

x + 4 x − x − 4 = (x − 1)(x + 1)(x + 4 ) = 0 3

→

2

x − 1 = 0 → x = 1   x + 1 = 0 → x = −1  x + 4 = 0 → x = −4 

Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x1 = 1,

19) 2 x −1 + 2 x +

1 2x

=

y 1 7 +y+ = ; 2 y 2

x

7±

49 − 24 6

7±

=

→

2x = 2

1 3

→

2x =

•y =

25 6

•y =2

x 3 = −4

2x 1 7 + 2x + x = 2 2 2

7 ; 2

Hacemos el cambio de variable: 2 = y :

y=

x 2 = −1,

→

1 3

=

7±5 6

y 2 + 2y 2 + 2 = 7y

→

3y 2 − 7y + 2 = 0

y = 2  y = 2 = 1  6 3

→

x =1

→

x = log 2

log 3 1 = − log 2 3 = − = −1, 58 3 log 2

Hay dos soluciones: x = 1; x2 = −1,58 2 2 20) log (x − 3)2 + log 4 = log x ; log [4(x − 3)2 ] = log x ; 4(x − 3) = x → 4(x − 6x + 9) = x 4x − 24x + 36 = x 2

→

2

Hay dos soluciones: x1 = 4; x 2 = 2 1) x 4 − 37 x 2 + 36 = 0

z=

→

; Cambio: x 2 = z

z =1 →

x 2 = 36

→

x2 = 1 →

x = ± 36

x=± 1

→

→

→

x = ±6

x = ±1

2

2 3)

→

8

x 2 + 2x + 1 = 4 x

1 ± 1 + 48 1 ± 49 1 ± 7 = = 8 8 8 9 = 3 = 2 +1 →

→

(x + 1)2 2x

x 2 − 2x + 1 = 0 ; x =

= ln 2 2±

→

4−4 2

→

 x = 1 x = − 6 = − 3  8 4

Es válida

−3 1 1 −3 −1 → = ≠ +1= → No es válida 4 4 2 2 2 Hay una solución: x = 1 2 8 8 2 4) 3 2 x − 3 x +1 + = 0 ; 3 x − 3 x ⋅ 3 + = 0 9 9 8 Hacemos el cambio 3 x = y : y 2 − 3y + = 0 → 9 y 2 − 27 y + 8 = 0 9 x=

( )

8

49

=

25 ± 7 8

→

Hay cuatro soluciones: x1 = −6, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 6

Comprobación:

x =1 →

25 ±

z = 36  z = 1

=

(x + 1)2 2x

=2

2 = 1 ; Hay una única sol: x = 1 2

5x + 4 = 2x + 1 ⇒ 5x + 4 = ( 2 x + 1)2 ⇒ 5x + 4 = 4x 2 + 4x + 1 ⇒ 0 = 4 x 2 − x − 3

x=

=

→ x 4 = z 2 ⇒ z 2 − 37z + 36 = 0

2 2) 2 ln (x + 1) − ln ( 2x ) = ln 2 ; ln (x + 1) − ln (2 x ) = ln 2 ; ln

(x + 1)2 = 4 x

625 − 576

9 4

37 ± 1369 − 144 37 ± 1225 37 ± 35 = = 2 2 2

z = 36

25 ±

x=

4x − 25 x 6 + 36 = 0 ;

x = 4   x = 18 = 9  8 4

48 8  y= =  18 3 = →  y= 18 18 y = 6 = 1  18 3 8 8 8 log 8 •y = → 3x = → x = log 3 = log 3 8 − 1 = − 1 = 0, 89 3 3 3 log 3 1 1 •y = → 3x = → x = −1 3 3 Hay dos soluciones: x1 = −1; x2 = 0,89 27 ±

729 − 288

27 ±

441

27 ± 21 = 18

1 3 15 4x 2 6 = ⇒ − = ⇒ 15 − 4x 2 = 6 ⇒ 15 − 6 = 4x 2 ⇒ 9 = 4 x 2 2 2 2 2 2 3 4x 6x 12x 12x 12x 3  x = 2 9 9 −3 3 x2 = → x=± →  Hay dos soluciones : x1 = ; x2 = −3 4 4 2 2 x = 2  x +1 x +1 2 6) log (x + 1) − log (3x − 2 ) = 1 ; log =1 → = 10 → x + 1 = 10(3 x − 2 ) 3x − 2 3x − 2 21 x + 1 = 30 x − 20 → 21 = 29 x → x = 29 2 5)

5

−

27) 3 x − 1 + 11 = 2 x ⇒ 3 x − 1 = 2x − 11

(

3 x − 1 = 2 x − 11 ⇒ 3 x − 1

)2 = ( 2x − 11)2 ⇒ 9 ( x − 1) = 4x 2 − 44x + 121

9 x − 9 = 4x 2 − 44x + 121 ⇒ 0 = 4 x 2 − 53x + 130

x=

53 ± 2 809 − 2 080 53 ± 729 53 ± 27 = = 8 8 8

 x = 10  x = 26 = 13  8 4

→

Comprobación:

x = 10

→

3 9 + 11 = 9 + 11 = 20 = 2 ⋅ 10

→ Es válida

13 9 9 31 13 13 → 3 + 11 = + 11 = ≠ 2⋅ = → No es válida 4 4 2 2 4 2 Hay una solución: x = 10 2x x 2 8) 2 x −1 + 2 x +1 − 3 ⋅ 2 x + 4 = 0 ; + 2x ⋅ 2 − 3 ⋅ 2x + 4 = 0 ; Hacemos el cambio: 2 = y 2 y + 2y − 3 y + 4 = 0 ; y + 4 y − 6 y + 8 = 0 → − y + 8 = 0 → y = 8 ; 2 x = 8 → x = 3 2 x=

29)

(

)

16x ( x + 1) 6 ( x + 1)2 x 16 x + 1 6x 2 − = ⇒ − = ⇒ 6x 2 − 16x 2 − 16x = 6 x 2 + 2x + 1 x +1 6 x 6x ( x + 1) 6x ( x + 1) 6 x ( x + 1)

6x 2 − 16x 2 − 16x = 6 x 2 + 12x + 6 ⇒ − 16x 2 − 28x − 6 = 0 ⇒ 16x 2 + 28x + 6 = 0 → 8x 2 + 14x + 3 = 0

− 14 ± 196 − 96 − 14 ± 100 − 14 ± 10 x= = = 16 16 16 Hay dos soluciones: x1 = 30)

2 3 x − x +1

3 x +1

=

1 3

→

− 4 −1   x = 16 = 4  − 24 − 3 x = = 16 2 

−1 −3 ; x2 = 4 2

2 → 3 x − x +1−(x +1) = 3 −1 ; x 2 − x + 1 − x − 1 = −1→

x 2 − 2x + 1 = 0 : x =

2±

4−4 2

=

2 =1 2

Hay una única solución: x = 1

31)

21 2x

+ 2 x − 3 = 0 ⇒ Cambio: 2 x = z. Así,

3 ± 9 − 8 3 ± 1 z = 2 z= =  2 2 z = 1 

2 +z−3 = 0 z

→

2x = 2

→

x =1

→

2x = 1 →

x=0

32) (1 − x )2 = 7 − 3x → 1 + x 2 − 2 x = 7 − 3x

→

2 + z 2 − 3z = 0

x2 + x −6 = 0

→

x=

z 2 − 3z + 2 = 0

− 1 ± 1 + 24 x = 2 (no vale)  2  x = −3

33)

2 x ⋅ 22 + 2x − 5 = 0 ⇒ 4 ⋅ 2x + 2x − 5 = 0 ⇒ 5 ⋅ 2x − 5 = 0 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 0

SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIO 10 : Halla la solución de los siguientes sistemas, analítica y gráficamente: x y  x −1 y + = 3  y − 4 x − 2 = 0 + = 2 y = x 2 − 3 x   y = x 2 − 2 x  3 2 c) d) e) a) 3 2  b)     x y y − 2 x + 6 = 0 y = x 2 + 3 x  y + x − 6 = 0 3 x + y = 7  + = 4  2 2 Solución: a)

x y  2 x 3 y 18  2 x + 3 y = 18 + = 3 + =  6  3 2 6 6  • Resolvemos el sistema analíticamente:  y =8−x   x y x y 8   x+y =8 + = 4 + =  2 2  2 2 2  2x +3(8−x) = 18; 2x + 24 −3x = 18; −x = −6 ; x = 6 → y = 8 − 6 = 2 ; Solución: x = 6; y = 2

−2 x y 18 − 2 x 2  + =3 → y = =6− x = x + 6  3 2 3 3 3 • Interpretación gráfica:  x y  + = 4 → y =8−x  2 2 Estas dos rectas se cortan en el punto (6, 2).

b)

y − 4x − 2 = 0  y = x 2 + 3x  x 1± 1+ 8 1± 9 1± 3  x= = = →  2 2 2 x 

• Lo resolvemos analíticamente:

• Interpretación gráfica:

y = 4x + 2 4 x + 2 = x 2 + 3x ; 0 = x 2 − x − 2 =2

→

y = 10 Solución :

= −1 → y = −2

x1 = 2  x 2 = −1   y  y1 = 10 y 2 = − 2

y = 4x + 2   La recta y la parábola se cortan en los puntos (2, 10) y ( −1, − 2). y = x 2 + 3x 

c) • Resolvemos analíticamente el sistema:

x=

1±

1 + 24 2

1±

=

• Interpretación gráfica:

1± 5 = 2

25 2

y = x 2 − 2x

y = x 2 − 2x   y + x − 6 = 0

x 2 − 2 x + x − 6 = 0;

x = 3 → y = 3    x = −2 → y = 8 

→

x2 − x − 6 = 0

Solución :

x 1 = 3 x 2 = − 2  y  y 1 = 3 y2 =8 

y = x 2 − 2x   La parábola y la recta se cortan en los puntos (3, 3) y ( −2, 8). y = 6−x 

d)

x −1 y  + = 2 • Resolvemos analíticamente el sistema: 3 2  3 x + y = 7 

2 x + 3 y = 14 3 x + y = 7 

y = 7 − 3 x;

2 x + 21 − 9 x = 14 ;

2 x − 2 3 y 12  + =  6 6 6  3x + y = 7 

2 x − 2 + 3 y = 12  3x + y = 7 

2 x + 3 ( 7 − 3 x ) = 14

2 x − 9 x = 14 − 21;

− 7 x = −7 ;

x = 1;

y = 7 − 3 ⋅1 = 7 − 3 = 4

Solución: x = 1; y = 4 • Interpretación gráfica:

2 x + 3 y = 14

→

3x + y = 7

→

14 − 2 x   3  Estas dos rectas se cortan en el punto (1, 4). y = 7 − 3 x  y=

e) • Lo resolvemos analíticamente:

x=

5±

25 − 24 2

• Interpretación gráfica:

=

5± 2

y = x 2 − 3x   y − 2 x + 6 = 0

1

5 ±1 = 2

→

y = x 2 − 3x x 2 − 3 x − 2 x + 6 = 0; x = 3   x = 2 

→

x 2 − 5x + 6 = 0

y =0 Solución :

→

y = −2

x1 = 3  x 2 = 2   y  y 1 = 0 y 2 = − 2

y = x 2 − 3x   La parábola y la recta se cortan en los puntos ( 3, 0) y ( 2, − 2) y = 2x − 6 

EJERCICIO 11 : Halla las soluciones de estos sistemas:

  x + y + 4 = y − x 

a)

1 2 =  x+y 5  e)  1 1 5 + = x y 2  i)

f)

  log (x + y ) = 1 y2 − x = 2

j)

2log x + log y = 1   log x − 2log y = −2 2 x +1 + 2 y = 8

  log y − log x = log 2

1 1 1 − =  n) x y 6  2 x − y = 1 

3 x + 1 = y − 2  m)   3 x + y = −1

g)

2 x + y = 32 ln x + ln y = ln

k)

x −y =9   log x − log y = 1

  6

2 x + y = 6   x − y = −3

d)

h)

2log x − log y = 0   2 y +2 x = 8

l)

y 2 − x 2 = −3  xy = −2  x − 2 y = −1  1 1 5  + = x y 6 

o)

x − 2 y = 0  ñ) x  2 + 2 y = 6

  x = y 2 − 2 y + 1

q) y = 5 − x

x 2 + y 2 = 13    xy = 6

p)

2 3  + = 3 c) x y  x + y = 4 

3 x  − = 0 b) x y  2 x − y = 3

y = 3x + 1

Solución:

y = 3x + 1

  x + y + 4 = y − x 

a)

4 x + 5 = 4 x + 1 + 4 x; 2

y = 3x + 1 x + 3x + 1 + 4 = 3x + 1 − x

4 = 4x ;

x = 1; x = ± 1

2

Hay una solución: x = 1;

2

4 x + 5 = 2 x + 1;

→

 x = −1 →   x = 1 → 

Solución: x = 3; y = 3 2 3  2 3  + = 3 x + 4 − x = 3  c) x y    x + y = 4  y = 4 − x 

d)

11 ±

121 − 96 6

2 x + y = 6   x − y = −3 

=

2

no válida y =4

y=4

2 2 3 x  3y − x = 0 y = x  − = 0 3 x y   b) 0 = x 2 − 6 x + 9; x2 2 x − y = 3 2 x − y = 3  2 x − = 3; 6 x − x 2 = 9  3

x=

4 x + 5 = ( 2 x + 1)

11 ±

25 6

y = 6 − 2 x   x + 3 = y 

x=

6±

36 − 36 2

=

2( 4 − x ) 3x( 4 − x ) 3x ; 8 − 2 x + 3 x = 12 x − 3 x 2 ; + = x( 4 − x ) x( 4 − x ) x( 4 − x )

=

11 ± 5 6

6 − 2x =

→

→

y =3

3 x 2 − 11x + 8 = 0

16 8 4  8 x = 6 = 3 → y = 3 x1 =  x = 1   3 y 2 Hay dos soluciones :    4 y 2 = 3 x = 1 → y = 3 y1 =  3  

x +3

3 − 2x = x

6 =3 2

( 3 − 2x )2

=

( x) ; 2

9 + 4 x 2 − 12 x = x;

4 x 2 − 13 x + 9 = 0

18 9   x = 8 = 4 → no válida 13 ± 169 − 144 13 ± 25 13 ± 5  x= = = →  8 8 8 x = 1 → y = 4      La solución x = 9 no es válida, puesto que 3 − 2 ⋅ 9 = − 3 ≠ 9 = 3  La única solución del sistema es x = 1, y = 4.  4 4 2 4 2  

1 2 =  x+y 5 e) 1 1 5  + = x y 2 

5 = 2x +

2 ; x

5 = 2(x + y )    2y + 2 x = 5 xy 

5 = 2 x + 2y 5 = 5 xy

→

1 = xy

0 = 2x 2 − 5 x + 2 x =

5 x = 2 x 2 + 2;

→y =

5±

25 − 16 4

1 x

=

5±

9

4

5±3 4

=

→

 x = 2 →    2 1 x = = 4 2 

y= →

1  x1 = 2  x2 =  2 Hay dos soluciones : y 1 y1 =  y 2 = 2 2  4 log x + 2 log y = 2

2 ( 2log x + log y ) = 2 log x − 2log y = −2 

2log x + log y = 1  f) log x − 2log y = 2

log x − 2 log y = −2 = 0

5 log x

→

Sustituyendo en la primera ecuación este valor, queda: 2 log x + log y = 1 →

log x = 0 → x = 1 log y = 1 →

y = 10

Por tanto, la solución es x = 1, y = 10. g)

2 x + y = 32 ln x + ln y = ln

5x − x = 6

→

2

2 x +y = 25 ln (xy ) = ln

  6

0 = x − 5x + 6

  6

→ x=

2

y =5−x

x + y = 5 xy = 6  5±

x (5 − x ) = 6

25 − 24

=

2

5± 1 2

5 ±1 = 2

→

x = 3 → y = 5 − 3 = 2   x = 2 → y = 5 − 2 = 3 

Hay dos soluciones: x1 = 3, y1 = 2 ; x2 = 2, y2 = 3 h)

2log x − log y = 0   2 y +2 x = 8 

x=

i)

−2±

4 + 12 2

=

•y =3

→

− 2 ± 16 2

=

−2±4 2

 2 2  x = 3 − 2x → x + 2 x − 3 = 0 y = 3 − 2 x  x = 1 → y = 1  Hay una única solución: x = 1, y = 1   x = −3 (no válida)

 x2 = y  y + 2 x = 3

→

x2 = y

y2 −2 = x

 y2 − x = 2  log (x + y ) = 1

y 2 + y − 12 = 0

log x 2 = log y   2 y +2 x = 2 3 

(

)

log y 2 − 2 + y = 1 → →

y=

− 1 ± 1 + 48 2

=

y 2 − 2 + y = 10 1±

49 2

=

− 1± 7 2

x =9−2 =7

• y = −4 →

x = 16 − 2 = 14

Hay dos soluciones: x1 = 7, y1 = 3 ; x2 = 14, y2 = −4 x +1 + 2 y = 8 2 x +1 + 2 y = 8  2   2 x +1 + 2 y = 8 j)   y  y log y − log x = log 2 log = log 2  =2  x  x 

2 x +1 + 2 2 x = 8

z=

−2±

•z=2

→

4 + 32 2 →

y = 3   y = −4

→

=

2x = 2

( )

2x ⋅ 2 + 2x

−2± 2 →

36

=

2

= 8 ; Cambio: 2 x = z

−2±6 2

→

z = 2   z = −4

x =1 → y = 2

• z = −4 → 2 = −4 → No vale El sistema tiene una única solución: x = 1, y = 2 x

y = 2x

→

2z + z 2 = 8

→ z 2 + 2z − 8 = 0

1 2 y =2

x−y =9  x =9+y    k)  log x = 1  log x − log y = 1 y Hay una solución: x = 10; y = 1

x = 9 + y  x = 10   y

y 2 − x 2 = −3  −2  y= x 

y 2 − x 2 = −3  l)  xy = −2 

Cambio: x = z

→

2

 m) 3 x + 1 = y − 2 3 x + y = −1 

3 x + 1 = −3 x − 3 x + 1 = (− x − 1)2

z − 3z − 4 = 0 z =

9 = 9y

→

y =1 →

x = 10

3±

9 + 16 2

=

3±

25 2

→

3±5 = 2

4 − x 4 = −3 x 2

→

→

0 = x 4 − 3x 2 − 4

z = 4 → x 2 = 4 →   z = −1 → no vale 

x = ± 4 = ±2

Hay dos soluciones: x1 = 2; y 1 = −1 x 2 = −2; y 2 = 1 3 x + 1 = y − 2  y = −1 − 3 x 

→ →

→

2

4  −2 2   − x = −3 ; 2 − x 2 = −3 x  x 

2

• x = 2 → y = −1 • x = −2 → y = 1

x = 9 + y   9 + y = 10 y x = 10 y 

x +1 =

3 x + 1 = −1 − 3 x − 2

−3 x − 3 3

→

x + 1 = x 2 + 2x + 1 →

x + 1 = −x − 1 0 = x 2 + x ⇒ x (x + 1) = 0

→

 x = 0 → no válida    x = −1 → y = 2

Hay una única solución: x = −1; y = 2 1 1 1 − =  6 y − 6 x = xy  2 n) x y 6   6(2 x − 1) − 6 x = x (2 x − 1) ⇒ 12 x − 6 − 6 x = 2 x − x 2 x − 1 = y  2 x − y = 1 

→ 0 = 2x 2 − 7 x + 6

x = 2 → y = 3  x = 6 = 3 → y = 2 4 4  4 2 3 Hay dos soluciones: x1 = 2; y1 = 3 ; x 2 = ; y 2 = 2 2 x − 2y = 0  x = 2y  2 y y + 2 y = 6 Hacemos el cambio: 2 = z ñ) x   2 2 + 2 y = 6 2 2 y + 2 y = 6  z = 2 − 1 ± 1 + 24 − 1 ± 25 − 1 ± 5  z2 + z − 6 = 0 → z = = = →  2 2 2 z = −3

x=

7±

49 − 48

=

7± 1

=

7 ±1 4

→

( )

•z=2

→

2y = 2

→

y =1 →

x =2

• z = −3 → 2 = −3 → no válida Hay una solución: x = 2; y = 1 1 1 5 + = ⇒ 6( y + x ) = 5 xy x y 6 o) x = −1 + 2 y ⇒ 6 y + 6 x = 5 xy ⇒ 6 y + 6( − 1 + 2 y ) = 5( − 1 + 2y )y y

6 y − 6 + 12 y = −5 y + 10 y 2

⇒ 10 y 2 − 23 y + 6 = 0

y = 2 → x = 3 23 ± 529 − 240 23 ± 17  = 6 3 −2  = → x= 20 20 y = 20 10 5  6 36 p) y = → x2 + = 13 → x 4 + 36 = 13x 2 → x 4 − 13x 2 + 36 = 0 Cambio : x 2 = z. Así : z 2 − 13z + 36 = 0 ⇒ 2 x x y =

z=

13 ± 169 − 144 13 ± 25 13 ± 5 z = 9 = =  2 2 2 z = 4

 x = −3 Soluciones:  1  y 1 = −2

(

q) x = 5 − x

x 2 = 3 y = 2  2

 x 3 = −2 y = −3  3

→

x = ±3

→

x = ±2

x 4 = 2 y = 3  4

)2 − 2( 5 − x )+ 1 ⇒ x = 25 + x − 10

x − 10 + 2 x + 1 ⇒ 8 x = 16

⇒

x =2

⇒

x = 4,

y =3

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS EJERCICIO 12 : Obtén, mediante el método de Gauss, la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: 3 x + y − 2z = −6 3 x + 2 y + z = 7 − 2 x − y + z = − 4    a) 2 x − 2 y − z = 8 b) 2 x − y + 3z = −8 c) 3 x + y − 2z = 6 x + y − z = 4 2 x + y + z = 6  x + 5 y + z = −2  2 x − y + 2 z = 2  x + 2 y − 2z = 6 x + y − z = 2    e)  x − 3 y + z = −7 d)  x + 2 y − z = 3 f) 2 x − 2 y + 3 z = 1 2 x − y + 3 z = 1 2 x − y + z = −3  x + 2 y − z = 4

 x − 2y + z = 6  g) 3 x + y − z = 7  x − y + 2z = 6

 x − y + 2z = 7  h)  x + y − 3z = −5 2 x − y + 2z = 9

 x + y + 2z = 6  i)  x − 3 y − z = 1  x − y − z = −1

Solución:

x = 3  x =3  − 9 + 2x  2ª + 1ª → → y= = −1 → y = −1 3  3ª − 1ª z=0  z = 7 − 3 x − 2 y = 0 3x + y − 2 z = 6 3x + y − 2 z = 6  3x + y − 2z = 6 x = 0  1ª  1ª       b) 2 x − y + 3z = −8 2 ª + 1ª → 5 x + z = −2  2 ª → 5 x + z = −2  → → z = −2 − 5x = −2  3ª − 1ª  3ª − 2 ª       x + y − z = 4 − 2x + z = −2 − 7 x = 0 y = 6 − 3x + 2z = 2 − 2 x − y + z = −4  − 2 x + − y + z = −4  z = 1  1ª      → c) 3x + y − 2z = 6 2 ª +1ª x − z = 2 x = 2 + z = 3 Solución : x = 3 , y = −1 , z = 1  3ª +1ª      2 x + y + z = 6 2z = 2 y = −2x + z + 4 = −1 2 x − y + 2z = 2 x + 2 y − z = 3 x + 2 y − z = 2  2ª  1ª  1ª    d) x + 2 y − z = 3 1ª → 2x − y + 2z = 2 2ª − 2 ⋅1ª → − 5y + 4z = −4 2ª − 3ª →  3ª  3ª − 2 ⋅1ª  3ª : ( −5)    2x − y + 3z = 1 2x − y + 3z = 1 − 5y + 5z = −5 3 x + 2 y + z = 7   a) 2 x − 2y − z = 8  x + 5 y + z = −2

3 x + 2y + z = 7   5 x = 15   − 2 x + 3 y = −9

1ª

x + 2 y − z = 3 z = −1   x=2   → − z = 1 → y = 1 + z = 0 y = 0   z = −1   y − z = 1 x = 3 − 2 y + z = 2 x + 2y − 2z = 6  1ª x + 2y − 2z = 6     e) x − 3 y + z = −7 2ª − 1ª → − 5 y + 3z = −13    2 x − y + z = −3 3ª − 2 ⋅ 1ª − 5 y + 5z = −15 

→

x + 2 y − 2z = 6    − 2z = 2   y − z = 3 

1ª 2ª − 3ª

→

3ª : (− 5 )

2  = −1 −2   y = 3 + z = 3 − 1= 2   x = 6 − 2y + 2z = 6 − 4 − 2 = 0    z=

→

Solución : x = 0 , y = 2 , z = −1

x=0 y=2 z = −2

x + y − z = 2   f) 2 x − 2y + 3z = 1  x + 2 y − z = 4 

1ª 2ª − 2 ⋅ 1ª

→

3ª − 1ª

y =2

x + y − z = 2   − 4 y + 5z = −3  y = 2 

→

− 3 + 4y − 3 + 8 = =1 5 5

z=

x = 2 − y + z = 2 − 2 +1= 1

Solución : x = 1 , y = 2 , z = 1 x − 2y + z = 6   g) 3 x + y − z = 7   x − y + 2z = 6

2ª − 3 ⋅ 1ª

1ª 2ª − 1ª 3ª − 2 ⋅ 1ª

x − y + 2z = 7    − z = −2   y − 2z = −5 

x + y + 2z = 6    i) x − 3 y − z = 1   x − y − z = −1 

→

3ª − 1ª

x − y + 2z = 7    h) x + y − 3z = −5  2 x − y + 2z = 9 

→

x − 2y + z = 6    7 y − 4z = −11  y + z = 0

1ª

→

→

1ª 2ª − 7 ⋅ 3ª

x − y + 2z = 7    2y − 5z = −12   y − 2z = −5 

z = 2   y = −5 + 2z = −5 + 4 = −1   x = 7 + y − 2z = 7 − 1 − 4 = 2

→

3ª 1ª 2ª − 2 ⋅ 3ª

→

3ª

Solución : x = 2 , y = −1 , z = 2

x + y + 2z = 6 1ª   2ª − 1ª → − 4 y − 3z = −5  2ª − 2 ⋅ 3ª →  3ª − 1ª − 2 y − 3z = −7  3ª 9  z= =3  3 x + y + 2z = 6    − 7 + 3z − 7 + 9   → 3z = 9  → y = = = −1  Solución : x = 1 , y = −1 , z = 3 − 2 − 2    − 2y − 3z = −7  x = 6 − y − 2z = 6 + 1 − 6 = 1   INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA 1ª

EJERCICIO 13 : Resuelve: 2x − 1 x +1 a) −2 < x − 3 2

d) x 2 + 3 x ≤ 0 g) 2 x + 5 ≤ x 2 − 2 x − 16

Solución: a) 2( 2x − 1) − 12 < 6x − 3( x + 1) ⇒

x −1 3−x ≥ 2+ 3 6 2( x − 3 ) x + 1 e) − > x −2 3 3 x +2 h) ≤0 x2 b)

i) x 2 + 3 x − 6 > 8 − 2 x

4 x − 2 − 12 < 6 x − 3 x − 3 ⇒ x < 11 → intervalo

b) 2( x − 1) ≥ 12 + 3 − x ⇒ 2x − 2 ≥ 12 + 3 − x ⇒ 3x ≥ 17 ⇒ x ≥

17 3

2

-3

0

( − ∞, 11)

17  → Intervalo  , + ∞  3 

c) 3( x − 4) − 2( x + 1) ≤ 1 ⇒ 3 x − 12 − 2 x − 2 ≤ 1 ⇒ x ≤ 15 → Intervalo d) x + 3x = 0 ⇒ x(x + 3 ) = 0 ⇒ x = 0 ; x = -3

Solución: x ∈ (-∞,-3] U [0,+∞)

x − 4 x +1 1 − ≤ 2 3 6 x +7 Resuelvef) ≥ 0. 3− x c)

(−∞, 15] .

e) 2( x − 3) − ( x + 1) > 3( x − 2) ⇒ 2 x − 6 − x − 1 > 3x − 6 ⇒ − 1 > 2 x ⇒ x <

−1 −1   → Intervalo  − ∞,  2 2  

f) Igualamos por separado numerador y denominador a cero x + 7 = 0 ⇒ x = -7 (pintado) 3 – x = 0 ⇒ x = 3 (sin pintar)

-7 3 Solución: x ∈ [−7, 3). g) Reducimos a una ecuación de segundo grado y calculamos sus soluciones: 0 ≤ x 2 − 2 x − 16 − 2 x − 5 → x 2 − 4 x − 21 ≥ 0

x − 4 x − 21 = 0 2

→

4 ± 16 + 84 4 ± 100 4 ± 10 ƒ x= = = ‚ 2 2 2

7

- 3

Luego la solución a la La inecuación solución es es ( −∞ , − 3] U [7, + ∞ ) . -3 7 h) Se igualan, por separado, numerador y denominador a cero: x + 2 = 0 ⇒ x = -2 (pintado) 2 x = 0 ⇒ x = 0 (sin pintar)

Por tanto, la solución es -2 2 i) x + 3 x − 6 > 8 − 2 x →

( - ∞ , - 2] .

0 2 x + 5 x − 14 > 0

−5 ± 25 + 56 −5 ± 9 ƒ = Resolvemos la ecuación x + 5 x − 14 = 0: x = ‚ 2 2

2

2

−7

Solución: x ∈ (-∞,-7) U (2,+∞) -7

2

EJERCICIO 14 : Resuelve e interpreta gráficamente: 2 a) 2x – 3 < 5 b) x 2 − 4 ≤ 0 c) −3 x + 1 > −5 d) x + x − 6 ≤ 0 e) − 2x + 4 ≤ − 2 f) 2x + 1 > −5 Solución: a) • Resolvemos la inecuación: 2 x − 3 < 5

2 x < 8 → x < 4 ⇒ Soluciones: { x / x < 4 } = ( − ∞, 4 ) • La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 4, la recta y = 2x − 3 queda por debajo de la recta y = 5; es decir, 2x − 3 < 5: →

 x = −2  x = 2 2 La parábola y = x − 4 corta al eje X en x = −2 y en x = 2.

b) x 2 − 4 = 0

→

x2 = 4

→

x=± 4

→

En el intervalo [−2, 2] toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [−2, 2]:

c) • Resolvemos la inecuación: −3 x + 1 > −5

Soluciones : { x / x < 2 } = ( − ∞ , 2 )

→

− 3 x > −6

→

3x < 6

→

x−5:

d) x + x − 6 = 0

→

2

x=

− 1±

1 + 24 2

=

− 1± 2

25

− 1± 5 = 2

→

x = 2    x = −3 

La parábola y = x + x − 6 corta al eje X en −3 y en 2. En el intervalo [−3, 2], toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [−3, 2]. 2

e) • Resolvemos la inecuación:− 2x + 4 ≤ − 2 → − 2x ≤ − 6 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3 Soluciones: { x / x ≥ 3 } = [3, + ∞) La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x mayores o iguales que 3, la recta y = −2x + 4 va por debajo (coincide) con la recta y = −2. Es decir, −2x + 4 ≤ −2

f) • Resolvemos la inecuación: 2x + 1 > −5 → 2x > −6 → x > −3⇒ Soluciones: {x / x > −3} = (−3, +∞) • Interpretación gráfica: para valores de x mayores que −3, la recta y = 2x + 1 va por encima de la recta y = −5. Es decir, 2x + 1> −5.

SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA EJERCICIO 15 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 4(x + 1) − 2 ≤ 0 3x − 2 < 4 1 − ( 2 x − 1) < 0   a) b) c)    2x + 4 ≥ 6 2 x + 6 > x − 1 3( x + 1) − 9 ≤ 0  

d)

3( x − 2 ) + 7 ≤ 4   2( x − 1) < 4 

Solución:

− 2 −1  x≤  4 2 x ≥ 1  x ≥1 Como no hay ninguna solución común a las dos inecuaciones, el sistema no tiene solución. a)

b)

4(x + 1) − 2 ≤ 0  2x + 4 ≥ 6 

3x − 2 < 4

  2 x + 6 > x − 1

4 x + 4 − 2 ≤ 0  2x + 4 ≥ 6 

3 x < 6  x > −7

4 x ≤ −2   2x ≥ 2 

x≤

x −7

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: {x < 2 y x > −7} = {x / −7 < x < 2} = (−7, 2) 1 − ( 2 x − 1) < 0  1 − 2 x + 1 < 0 − 2 x < −2 x > 1 c) 3( x + 1) − 9 ≤ 0  3 x + 3 − 9 ≤ 0 3 x ≤ 6  x ≤ 2

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: {x > 1 y x ≤ 2} = {x / 1 < x ≤ 2} = (1, 2] 3( x − 2 ) + 7 ≤ 4  3 x − 6 + 7 ≤ 4  3 x ≤ 3  x ≤ 1 d)  2x − 2 < 4  2 x < 6 2( x − 1) < 4  x −5

e) x

g) 3x −1 ≤ 4x

h) x2 − 3x > −2

j)

2(x − 1) > x −1 3

m) 2 − 3x < 2(x + 1) o) r) •

x +3 x2 − x

>0

x 3 − 4x ≥ 0

2

c) 2x + 1 > −5 f) 2 x − 3 < 5 x −1 i) ≤ 2x + 1 3

k) x 2 − 4 ≥ 0

l) 3(x−1)+1≤ 2(x+1)

n) − x 2 + 4 x − 4 ≤ 0

ñ)

x2 + 2 p) ≤0 x −3

q)

s) x3 +3x2 – x – 3 < 0

t) 3x2 – 6x > 0

x−2 >0 3− x x2 + x − 6 x 2 − 2x + 1

≥0

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

EJERCICIO 18 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

3x + 8 ≤ x + 14  a)  3 2x > 2 x − 1 •

x − 3x − 4 > 0 2 x − 3 < 0 2

b) 

 x  2 x − 3 2 + 1 ≥ x − 8   c)  x 1 x + − + 2 > 2x − 5 3 2 6 

Inecuaciones con dos incógnitas

EJERCICIO 19 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: a) 2x – 3y < 6 b) x + 2y ≥ 0 c) 3x - 2y ≤ 0 •

10 − 3x − x 2 < 0 3x + 5 > −16

d) 

d) 4x + y > 3

Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas

EJERCICIO 20 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

2 x − y > 0 a)  x < 1 − y •

2 x − y ≤ 4 b)   x ≥ −2 y

x − y > 0  c)  y > 0 x + y + 1 > 0 

y ≤ 2  d)  y ≥ −1 x < y 

Problemas algebraicos

EJERCICIO 21 : Un número de tres cifras es tal que la suma de sus cifras es 9. Si el orden de las cifras se invierte, el número disminuye en 99 unidades y la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Hallar dicho número. EJERCICIO 22 : El área de un trapecio isósceles es 7 m2 y su base menor mide 2,5 m. Calcular la base mayor y la altura, sabiendo que ésta es las dos terceras partes de la base mayor.

EJERCICIO 23 : Un número de dos cifras elevado al cuadrado se diferencia del cuadrado del número que resulta al intercambiar sus cifras en 297. La cifra de las unidades es la mitad de la de las decenas. Hallar el número. EJERCICIO 24 : El área de un triángulo isósceles es 60 m2 y cada uno de los lados iguales mide 13 m. Hallar la base y la altura del triángulo. EJERCICIO 25 : Dos hermanos se diferencian en cuatro años de edad. Dentro de ocho años, las edades de ambos sumarán 40 años. ¿Cuáles son sus edades actuales? EJERCICIO 26 : De un rectángulo sabemos que su área es 192 cm2 y sus diagonales miden 20 cm. Calcula la longitud de sus lados. EJERCICIO 27 : Por dos bolígrafos, un lápiz y un rotulador he pagado 6 euros. Por cuatro bolígrafos y dos rotuladores ha pagado 10 euros. Y por cinco lápices y tres rotuladores he pagado 11 euros. ¿Cuál es el precio de cada artículo? EJERCICIO 28 : Halla cuatro números enteros consecutivos que sumen 366. EJERCICIO 29 : Halla dos números sabiendo que suman 7 y sus inversos, 7/12. EJERCICIO 30 : Halla la medida de los lados de un rectángulo si sabemos que su perímetro es 20 cm y la diagonal

58 cm.

EJERCICIO 31 : Si aumentamos en 2 dm cada arista de un recipiente cúbico, su capacidad aumenta en 98 litros. Averigua la capacidad inicial del depósito. EJERCICIO 32 : En un aula estudian 28 alumnos. De ellos, hay tantos alumnos con ojos verdes como alumnos con ojos azules, y el resto tiene ojos castaños. Si el número de alumnos con ojos castaños es igual que los alumnos que tienen ojos verdes y azules juntos. ¿cuántos alumnos hay con cada color de ojos? EJERCICIO 33 : Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, siendo un total de 20 personas entre hombres, mujeres y niños. Contando a los hombres y las mujeres juntos, su número es el triple que el número de niños. Además, si hubiera ido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. Calcula cuántos hombres, mujeres y niños han ido a la excursión. EJERCICIO 34 : Ana se dispone a invertir 100.000 euros. En el banco le ofrecen dos productos: Fondo Tipo A, al 4 % de interés anual, y Fondo Riesgo B, al 6 % de interés anual. Invierte una parte en cada tipo de fondo y al cabo del año obtiene 4.500 euros de intereses. ¿Cuánto adquirió de cada producto? EJERCICIO 35 : Los lados de un rectángulo se diferencian en 2 m. Si aumentáramos 2 m cada lado, el área se incrementaría en 40 m2. Halla las dimensiones del polígono. EJERCICIO 36 : El alquiler de una tienda de campaña cuesta 90 euros al día. Inés está preparando una excursión con sus amigos y hace la siguiente reflexión “Si fuéramos tres amigos más, tendríamos que pagar 6 euros cada uno”. ¿Cuántos amigos van de excursión? EJERCICIO 37 : Dos vacas y tres terneros valen lo mismo que dieciséis ovejas. Una vaca y cuatro ovejas valen igual que tres terneros. Tres terneros y ocho ovejas cuestan lo mismo que cuatro vacas. Averigua el precio de cada animal. EJERCICIO 38 : En la actualidad la edad de un padre es el triple de la de su hijo, y dentro de 15 años la edad del padre será el doble de la de su hijo. ¿Cuántos años tienen en este momento el padre y el hijo? EJERCICIO 39 : Si Juan sube de tres en tres los escalones de una torre, tiene que dar 30 pasos menos que si los sube de dos en dos. ¿Cuántos escalones tiene la torre?