x(t + ∆t) − x(t) 2t 2 + 4t∆t + 2∆t 2 − 2t 2 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

1- CINEMATICA

𝑣 = lim

 Preliminar de matemáticas. Derivadas.

2t 2 + 4t∆t + 2∆t 2 − 2t 2 4t∆t + 2∆t 2 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

𝑣 = lim

E.1 Halla la velocidad instantánea cuando la ecuación horaria viene dada por:

2t∆t + ∆t 2 ∆t(4t + 2∆t) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

𝑣 = lim x(t) = t2

a)

𝑣 = lim (4t + 2∆t) = 4𝑡 + 0 = 4𝑡

Δ𝑥 𝑥2 − 𝑥1 𝑣 = lim = lim ∆𝑡→0 Δ𝑡 ∆𝑡→0 Δ𝑡

∆𝑡→0

Finalmente, la velocidad instantánea velocidad en cualquier instante, es:

Siendo: 𝑥2 = x(t + ∆t),

𝑥1 = x(t)

𝑣 = 4𝑡 c) 𝑥(𝑡) = 3𝑡 2 + 1

𝑥2 − 𝑥1 x(t + ∆t) − x(t) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

𝑣 = lim

𝑣 = lim

∆𝑡→0

donde:

Δ𝑥 𝑥2 − 𝑥1 = lim Δ𝑡 ∆𝑡→0 Δ𝑡

x(t) = t 2 siendo: x(t + ∆t) = (t + ∆t)2 = t 2 + 2t∆t + ∆t 2

𝑥2 = x(t + ∆t),

quedando

𝑥1 = x(t)

𝑥2 − 𝑥1 x(t + ∆t) − x(t) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

𝑣 = lim x(t + ∆t) − x(t) t 2 + 2t∆t + ∆t 2 − t 2 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

𝑣 = lim

donde: x(t) = 3t 2 + 1

t 2 + 2t∆t + ∆t 2 − t 2 2t∆t + ∆t 2 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

𝑣 = lim

x(t + ∆t) = 3(t + ∆t)2 + 1 = 3(t 2 + 2t∆t + ∆t 2 ) + 1 = 3t 2 + 6t∆t + 3∆t 2 + 1

2t∆t + ∆t 2 ∆t(2t + ∆t) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

𝑣 = lim

quedando

𝑣 = lim (2t + ∆t) = 2𝑡 + 0 = 2𝑡

x(t + ∆t) − x(t) ∆𝑡→0 Δ𝑡 3t 2 + 6t∆t + 3∆t 2 + 1 − (3t 2 + 1) = lim ∆𝑡→0 Δ𝑡

∆𝑡→0

𝑣 = lim

Finalmente, la velocidad instantánea es: 𝑣 = 2𝑡

3t 2 + 6t∆t + 3∆t 2 + 1 − 3t 2 − 1) ∆𝑡→0 Δ𝑡 6t∆t + 3∆t 2 = lim ∆𝑡→0 Δ𝑡

x = 2t2

b)

𝑣 = lim Δ𝑥 𝑥2 − 𝑥1 = lim ∆𝑡→0 Δ𝑡 ∆𝑡→0 Δ𝑡

𝑣 = lim

6t∆t + 3∆t 2 ∆t(6t + 3∆t) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

Siendo:

𝑣 = lim 𝑥2 = x(t + ∆t),

𝑥1 = x(t)

𝑣 = lim (6t + 3∆t) = 6𝑡 + 0 = 6𝑡

𝑥2 − 𝑥1 x(t + ∆t) − x(t) 𝑣 = lim = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

∆𝑡→0

Finalmente, la velocidad instantánea velocidad en cualquier instante, es:

Donde: x(t) = 2t 2

𝑣 = 6𝑡 𝑚/𝑠

x(t + ∆t) = 2(t + ∆t)2 = 2(t 2 + 2t∆t + ∆t 2 ) = 2t 2 + 4t∆t + 2∆t 2

d) x(t) = 3t2 - t 𝑣 = lim

quedando

∆𝑡→0

1

Δ𝑥 𝑥2 − 𝑥1 = lim ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

E.4. La ley horaria de un movimiento viene dada por la expresión x(t) = 3t2 – 2t + 5.

siendo: 𝑥2 = x(t + ∆t),

𝑥1 = x(t)

a) Halla la velocidad en cualquier instante (velocidad instantánea). b) Halla la velocidad en los instantes t1 = 2 s y t2 = 5 s.

𝑥2 − 𝑥1 x(t + ∆t) − x(t) = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡

𝑣 = lim donde:

Resp.:

x(t) = 3t 2 − 𝑡

𝑥2 − 𝑥1 𝑑𝑥 = ∆𝑡→0 Δ𝑡 𝑑𝑡

𝑣 = lim

2

x(t + ∆t) = 3(t + ∆t) − (t + ∆t) = 3(t 2 + 2t∆t + ∆t 2 ) − (t + ∆t) = 3t 2 + 6t∆t + 3∆t 2 − 𝑡 − ∆t quedando x(t + ∆t) − x(t) 𝑣 = lim ∆𝑡→0 Δ𝑡 3t 2 + 6t∆t + 3∆t 2 − 𝑡 − ∆t − (3t 2 − 𝑡) = lim ∆𝑡→0 Δ𝑡 3t 2 + 6t∆t + 3∆t 2 − ∆t − 𝑡 − 3t 2 + 𝑡 𝑣 = lim ∆𝑡→0 Δ𝑡 6t∆t + 3∆t 2 − ∆t = lim ∆𝑡→0 Δ𝑡

a) 𝑣(𝑡) = b) 𝑣(2) =

𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝑥´ = 𝑥̇ = 6𝑡 − 2, 𝑚/𝑠 = 6 ∙ 2 − 2 = 10 𝑚/𝑠 𝑣(5) =

𝑑𝑥 = 6 ∙ 5 − 2 = 28 𝑚/𝑠 𝑑𝑡

E.5. La ley horaria de un movimiento viene dada por la expresión x(t) = 2t3 – 3t2 + t - 4 a) Halla la velocidad en cualquier instante (velocidad instantánea). b) Halla la velocidad en los instantes t1 = 0 s y t2 = 2 s.

∆t(6t + 3∆t − 1) ∆𝑡→0 Δ𝑡

𝑣 = lim

a) 𝑣(𝑡) = 𝑣 = lim (6t + 3∆t − 1) = 6𝑡 − 1

b) 𝑣(0) =

∆𝑡→0

Finalmente, la velocidad instantánea velocidad en cualquier instante, es: 𝑣 = 6𝑡 − 1 𝑚/𝑠

𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑣(2) =

= 6𝑡 2 − 6𝑡 + 1 (𝑚/𝑠) = 6 ∙ 02 − 6 ∙ 0 + 1 = 1 (𝑚/𝑠)

𝑑𝑥 = 6 ∙ 22 − 6 ∙ 2 + 1 = 13 (𝑚/𝑠) 𝑑𝑡

E.6. La ley horaria de un movimiento viene dada por la expresión x(t) = 3t5 – 2t3 + 5t + 2.

E.2. Resume en una tabla los resultados anteriores, indicando la ley horaria, x(t), y la velocidad instantánea correspondiente:

a) Halla la velocidad en cualquier instante (velocidad instantánea). b) Halla la velocidad en los instantes t1 = 0 s y t2 = 1 s. c) Halla la aceleración en cualquier instante. d) Halla la aceleración en los instantes 0 y 1 s.

x(t) (m)

x´(t) = v(t) (m/s)

x(t) = 3t

v(t)= 3∙1

x(t) = 6t - 2

v(t) = 6 + 0

a) 𝑣(𝑡) =

x(t) = t2

v(t) = 2t2-1

b) 𝑣(0) = 5 𝑚/𝑠, 𝑣(1) = 14 𝑚/𝑠

x(t) =

2t2

c) 𝑎(𝑡) =

v(t) =2∙2t=4t

x(t) = 3t2+1

v(t) = 6t

x(t) = 3t2- t

v(t) = 6t - 1

x(t) = k

v(t)= 0

x(t) = kt

v(t)= k

x(t) = tn

v(t)= ntn-1

x(t) = ktn

v(t)= kntn-1

𝑑𝑣 𝑑𝑡

= 15𝑡 4 − 6𝑡 2 + 5 𝑚/𝑠 = 60𝑡 3 − 12𝑡 + 0 𝑚/𝑠 2

E.7. La ley horaria de un movimiento viene dada por la expresión x(t) = 3t2 – 2t + 2.

“reglas de derivación” x´(t) = v(t) (m/s)

𝑑𝑡

d) 𝑎(0)0 = 0 𝑚/𝑠 2 𝑎(1) = 48 𝑚/𝑠 2

Estos resultados se generalizan en las siguientes

x(t) (m)

𝑑𝑥

a) Halla la velocidad en cualquier instante (velocidad instantánea). b) Halla la aceleración en cualquier instante. c) Qué tipo de movimiento es. a) 𝑣(𝑡) = b) 𝑎(𝑡) =

𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 6𝑡 − 2 𝑚/𝑠 = 6 𝑚/𝑠 2

c) 𝑀𝑈𝐴, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

2

E.8. Un movimiento está descrito por el vector

𝑣⃗(1) = 𝑖⃗

𝑚 , 𝑎⃗(1) = 6𝑖⃗ 𝑚/𝑠 2 𝑠

𝑟⃗ = (2𝑡 2 − 3𝑡 + 1)𝑖⃗ d) |∆𝑟⃗| = √782 = 78 𝑚 a) Halla los vectores: velocidad, aceleración en cualquier instante. 𝑣⃗ =

Movimiento plano (bidimensional)

𝑑𝑟⃗ = (4𝑡 − 3)𝑖⃗, 𝑚/𝑠 𝑑𝑡

Está descrito por el vector posición 𝑟⃗(𝑡) = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗

𝑑𝑣⃗ 𝑎⃗ = = 4𝑖⃗, 𝑚/𝑠 2 𝑑𝑡

Que define la posición de un punto en el plano OXY

Por ser la aceleración constante se trata de un MRUA.

E.10. El movimiento de un punto en el plano OXY está descrito por el vector posición:

b) Halla el vector desplazamiento entre los instantes 2 y 4 s.

𝑟⃗(𝑡) = (𝑡 2 − 𝑡 + 1)𝑖⃗ + (𝑡 + 2)𝑗⃗

∆𝑟⃗ = 𝑟⃗(4) − 𝑟⃗(2) = 21𝑖⃗ − 3𝑖⃗ = 18𝑖⃗, 𝑚

a) Escribe los vectores velocidad y aceleración instantánea:

c) = 1 s.

Halla el vector velocidad y aceleración para t

𝑣⃗(1) = 𝑖⃗, 𝑎⃗ = 4𝑖⃗,

𝑣⃗ =

𝑚/𝑠

𝑑𝑟⃗ = (2𝑡 − 1)𝑖⃗ + 𝑗⃗ 𝑚/𝑠 𝑑𝑡 𝑎⃗ =

𝑚/𝑠 2

𝑑𝑣⃗ = 2𝑖⃗ 𝑑𝑡

Se trata de un movimiento plano UA d) Halla el módulo del vector desplazamiento entre los instantes 2 y 4 s.

b) Dibuja la trayectoria que define el vector posición 𝑟⃗(𝑡) = (𝑡 2 − 𝑡 + 1)𝑖⃗ + (𝑡 + 2)𝑗⃗

∆𝑟⃗ = 𝑟⃗(4) − 𝑟⃗(2) = 18𝑖⃗, 𝑚

𝑥 = 𝑡2 − 𝑡 + 1

Módulo = 18 m

𝑦=𝑡+2

E.9. Un movimiento está descrito por el vector posición 𝑟⃗ = (2𝑡 3 − 3𝑡 2 + 𝑡 − 2)𝑖⃗ Responde a los apartados del ejercicio anterior: a) Hallamos los aceleración: 𝑣⃗ =

vectores

velocidad

y

𝑑𝑟⃗ = (6𝑡 2 − 6𝑡 + 1)𝑖⃗, 𝑚/𝑠 𝑑𝑡

𝑎⃗ =

𝑑𝑣⃗ = (12𝑡 − 6)𝑖⃗, 𝑚/𝑠 2 𝑑𝑡

c) Señala algún movimiento cuya trayectoria responda al caso anterior.

b) Halla el vector desplazamiento entre los instantes 2 y 4 s.

El movimiento de un objeto sometido a la acción del campo gravitatorio.

∆𝑟⃗ = 𝑟⃗(4) − 𝑟⃗(2) = 82𝑖⃗ − 4𝑖⃗ = 78𝑖⃗ 𝑚 c) Vector velocidad y aceleración

3

𝑦(𝑡) = 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡)

E.11. El movimiento de un punto en el plano OXY está descrito por el vector posición:

Estas ecuaciones son las “ecuaciones paramétricas del movimiento”.

2

𝑟⃗(𝑡) = 50𝑡𝑖⃗ − 5𝑡 𝑗⃗ a) Halla el vector velocidad y el vector aceleración. 𝑣⃗(𝑡) =

E.14. El movimiento de un punto en el plano OXY está descrito por el vector posición:

𝑑𝑟⃗ = 50𝑖⃗ − 10𝑡𝑗⃗ 𝑚/𝑠 𝑑𝑡

𝑎⃗(𝑡) =

𝑟⃗(𝑡) = 25𝑡𝑖⃗ + (25𝑡 − 5𝑡 2 )𝑗⃗

𝑑𝑣⃗ = −10𝑗⃗ 𝑚/𝑠 2 𝑑𝑡

Determina: a) La aceleración de dicho movimiento. b) Las componentes del vector velocidad en el instante t = 0 s. Resp.:

b) Halla el vector desplazamiento entre los instantes 1 y 3 s. ∆𝑟⃗ = 𝑟⃗(3) − 𝑟⃗(1) = (150𝑖⃗ − 45𝑗⃗) − (50𝑖⃗ − 5𝑗⃗) = 100𝑖⃗ − 40𝑗⃗ 𝑚

a)

c) Dibuja la trayectoria definida por el vector posición 𝑟⃗(𝑡).

𝑣⃗(𝑡) =

𝑟⃗(𝑡) = 50𝑡𝑖⃗ − 5𝑡 2 𝑗⃗

𝑑𝑟⃗ = 25𝑖⃗ + (25 − 10𝑡)𝑗⃗ 𝑚/𝑠 𝑑𝑡

𝑎⃗(𝑡) =

𝑥 = 50𝑡, 𝑦 = −5𝑡 2

𝑑𝑣⃗ = −10𝑗⃗ 𝑚/𝑠 2 𝑑𝑡

b) 𝑣⃗(0) = 25𝑖⃗ + 25𝑗⃗ 𝑚/𝑠

E.12. El movimiento de un punto en el plano OXY está descrito por el vector posición:

vx(0) = 25 m/s, vy(0) = 25 m/s 2

𝑟⃗(𝑡) = 50𝑡𝑖⃗ + (50𝑡 − 5𝑡 )𝑗⃗ El módulo del vector 𝑣⃗(0) Halla el vector velocidad y el vector aceleración: 𝑣⃗(𝑡) =

𝑣⃗(0) = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 = 25√2 𝑚/𝑠

𝑑𝑟⃗ = 50𝑖⃗ + (50 − 10𝑡𝑗⃗ ) 𝑚/𝑠 𝑑𝑡

𝑎⃗(𝑡) =

E.15. Escribe la ecuación vectorial del ejercicio anterior reemplazando los factores numéricos por las componentes de la velocidad inicial, v0x, v0y, y la aceleración, a,

𝑑𝑣⃗ = −10𝑗⃗ 𝑚/𝑠 2 𝑑𝑡

E.13. El movimiento de un punto en el plano OXY está descrito por el vector posición:

𝑟⃗(𝑡) = 25𝑡𝑖⃗ + (25𝑡 − 5𝑡 2 )𝑗⃗ 𝑟⃗(𝑡) = 10cos(2𝑡)𝑖⃗ + 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡)𝑗⃗ 1 𝑟⃗(𝑡) = 𝑣0𝑥 𝑡𝑖⃗ + (𝑣0𝑦 𝑡 + 𝑎𝑡 2 )𝑗⃗ 2

Dibuja la gráfica correspondiente a dicho movimiento. Resp.: Escribimos la expresión del vector posición:

Es la expresión correspondiente al tiro parabólico, cuando la aceleración en la dirección y es a y las componentes de la velocidad inicial son v0x y voy.

𝑟⃗(𝑡) = 10cos(2𝑡)𝑖⃗ + 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡)𝑗⃗ en la cual identificamos las componentes x e y:

E.16. Escribe la ecuación vectorial de un TP si el vector velocidad en el instante inicial es:

𝑥(𝑡) = 10 cos(2𝑡)

𝑣⃗(0) = 5𝑖⃗ + 10𝑗⃗ y el vector aceleración es 𝑎⃗ = −10𝑗⃗

4

Resp.: Según el enunciado

a) El alcance y la altura máxima así como los instantes correspondientes a estas dos posiciones

vx(0) = 5 m/s, vy(0) = 10 m/s, a = -10 m/s2 b) Halla el vector velocidad en los instantes señalados en el apartado anterior.

Seguidamente sustituimos esta información en la ecuación del TP

Resp.:

1 𝑟⃗(𝑡) = 𝑣0𝑥 𝑡𝑖⃗ + (𝑣0𝑦 𝑡 + 𝑎𝑡 2 )𝑗⃗ 2

a)

50𝑡 − 5𝑡 2 = 0,

𝑡1 = 0, 𝑡2 = 10 𝑠

El alcance se obtiene sustituyendo t2 en x = 100t

𝑟⃗(𝑡) = 5𝑡𝑖⃗ + (10𝑡 − 5𝑡 2 )𝑗⃗

x = 1000 metros, es el alcance E.17. Halla el alcance máximo del TP definido en el ejercicio anterior:

la altura máxima se obtiene sustituyendo semitiempo de vuelo, 5 s, en y = 50t – 5t2:

𝑟⃗(𝑡) = 5𝑡𝑖⃗ + (10𝑡 − 5𝑡 2 )𝑗⃗

el

y = 50∙5 - 5∙25 = 250 – 125 = 125 metros

Para hallar el alcance máximo obtenemos el tiempo de vuelo, el tiempo al cabo del cual el objeto toca el suelo: el tiempo de vuelo lo obtenemos anulando la componente y del vector posición:

b) Para hallar el vector velocidad, derivamos el vector posición: 𝑟⃗ = 100𝑡𝑖⃗ + (50𝑡 − 5𝑡 2 )𝑗⃗

𝑟⃗(𝑡) = 5𝑡𝑖⃗ + (10𝑡 − 5𝑡 2 )𝑗⃗

𝑣⃗ =

𝑥 = 5𝑡, 𝑦 = 10𝑡 − 5𝑡 2

𝑑𝑟⃗ = 100𝑖⃗ + (50 − 10𝑡)𝑗⃗ 𝑑𝑡

En los instantes t = 5 s y t = 10 s: 10𝑡 − 5𝑡 2 = 0 𝑣⃗(5) = 100𝑖⃗ + (50 − 10 ∙ 5)𝑗⃗ = 100𝑖⃗ + 0𝑗⃗ = 100𝑖⃗ 𝑚/𝑠 Se iguala a cero la y porque la ordenada toma este valor en los puntos extremos del movimiento: en el lugar de lanzamiento y donde el objeto toca el suelo

𝑣⃗(10) = 100𝑖⃗ + (50 − 10 ∙ 10)𝑗⃗ = 100𝑖⃗ − 50𝑗⃗ 𝑚/𝑠

10𝑡 − 5𝑡 2 = 0, 𝑡(10 − 5𝑡) = 0 𝑡1 = 0 𝑠, 𝑡2 = 2 𝑠 La primera solución corresponde al instante de lanzamiento y la segunda el tiempo de vuelo. Seguidamente sustituimos el tiempo de vuelo en la ecuación x = 5t: 𝑥 = 5 ∙ 2 = 10 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒 b) Halla la altura máxima. Conocido el tiempo de vuelo, la dividimos entre dos y este semitiempo de vuelo lo sustituimos en la ecuación de la ordenada y = 10t – 5t2, obteniéndose:

c) Indica las componentes cartesianas del vector aceleración en el instante que toca el suelo y dibuja dicho vector.

y = 5 metros E.18. Un TP está definido mediante la ecuación vectorial:

𝑣⃗(10) = 100𝑖⃗ − 50𝑗⃗ 𝑚/𝑠 𝑣𝑥 = 100

𝑟⃗ = 100𝑡𝑖⃗ + (50𝑡 − 5𝑡 2 )𝑗⃗

𝑚 , 𝑠

𝑣𝑦 = −50

𝑚 𝑠

d) Halla el módulo del vector velocidad en el instante del lanzamiento.

Halla:

5

𝑣⃗ = 100𝑖⃗ + (50 − 10𝑡)𝑗⃗

6