DISTRIBUCIONES EL´IPTICAS MULTIVARIADAS SINGULARES Y NO SINGULARES: TEOR´IA Y APLICACIONES

V´ıctor Leiva S´anchez Departamento de Estad´ıstica Universidad de Valpara´ıso CHILE

Y

Jos´e A. D´ıaz Garc´ıa Departamento de Estad´ıstica y C´alculo Universidad Aut´onoma Agraria Antonio Narro ´ MEXICO

Pr´ ologo La distribuci´on Normal multivariada ha servido durante mucho tiempo como modelo est´andar para observaciones provenientes de diferentes ´areas, siendo ´esta el objetivo central del an´alisis multivariante cl´asico. Sin embargo, a trav´es de los a˜ nos los estad´ısticos han tratado de extender la teor´ıa de este an´alisis a casos m´as generales y, por lo tanto, con mayor cobertura. ´ Ultimamente se ha planteado una clase de distribuciones cuyos contornos de sus densidades tienen la misma forma el´ıptica de la Normal, pero adem´as contienen distribuciones de colas m´as y menos pesadas que las de ´esta. Esta clase de distribuciones sim´etricas se denomina distribuciones Contornos El´ıpticos o simplemente distribuciones El´ıpticas. En el an´alisis multivariante, la familia de distribuciones El´ıpticas proporciona una alternativa y una generalizaci´on de la distribuci´on Normal, ya que ´esta u ´ltima es un caso particular de tal familia, por lo que da origen a lo que hoy se denomina An´alisis Multivariado Generalizado. La utilizaci´on de distribuciones El´ıpticas en problemas que s´olo han sido resueltos con la distribuci´on Normal, permite generalizar la teor´ıa hasta ahora planteada. Algunos de estos problemas ya han sido resueltos para las distribuciones El´ıpticas no singulares, aunque no as´ı para el caso singular. Espec´ıficamente, cuando se muestrea desde una poblaci´on El´ıptica, el problema de las distribuciones de muestreo tradicionalmente usadas, esto es, las distribuciones chi-cuadrado, t y F, que bajo distribuciones El´ıpticas se denominan distribuciones chi-cuadrado,t y F, ha sido parcialmente resuelto. Quedando abierto el problema desde la perspectiva de las distribuciones El´ıpticas singulares y para las distribuciones t y F doble no centradas generalizadas. Por otra parte, el inter´es puede radicar en la estimaci´on e inferencia 1

2 de los par´ametros de dispersi´on de la poblaci´on en estudio. Bien se sabe que las medidas de dispersi´on se utilizan para evaluar la variabilidad de un conjunto de datos, siendo la desviaci´on est´andar la m´as utilizada; sin embargo, ´esta entrega poca informaci´on del conjunto si es interpretada en forma aislada, s´olo cuando se la relaciona con la media su interpretaci´on tiene mayor sentido. Por esta raz´on el coeficiente de variaci´on, que relaciona a ambas medidas, es sumamente u ´til. Este coeficiente mide la dispersi´on u homogeneidad de un conjunto de datos asociados a una variable aleatoria y es una medida de variabilidad relativa, es decir, es adimensional, pues representa a la desviaci´on est´andar por una unidad de media y resulta de particular inter´es cuando se desea comparar la variabilidad entre grupos cuyas medias y varianzas difieren. Sus aplicaciones son diversas y se lo ha empleado con mucho ´exito en la medici´on de la variabilidad relativa. Por ejemplo, se lo ha utilizado ampliamente para comparar m´etodos de medici´on; en Finanzas, se lo ha usado para medir el riesgo relativo de rentas variables; en Teor´ıa de Inventarios para comparar la variabilidad de dos niveles de almacenamiento y tambi´en se ha aplicado el coeficiente de variaci´on en Ciencias F´ısicas, Biol´ogicas y M´edicas. Dentro del contexto de la Estad´ıstica se pueden encontrar tambi´en aplicaciones del coeficiente de variaci´on en un problema de muestreo, espec´ıficamente en la determinaci´on del tama˜ no de la muestra, al emplear una prueba de hip´otesis para el coeficiente de variaci´on para evaluar la no normalidad de una variable aleatoria positiva, en Modelos Lineales y en Confiabilidad, entre otras. Existen en la actualidad excelentes libros y art´ıculos que recogen las investigaciones hechas hasta la fecha acerca de la distribuciones El´ıpticas, como lo son los libros [1], [32], [31], [39] y [70], y diversas publicaciones, entre las que se encuentran los trabajos [50], [16], [18], [49], [15], [12] y [83], y los trabajos recientes [5] y [54], entre otros. Aunque a partir de 1970 estas distribuciones comenzaron su auge, se registran estudios anteriores, como lo son [72] y [56]. Asimismo, las distribuciones de formas cuadr´aticas y distribuciones asociadas al muestreo, obtenidas a partir de distribuciones El´ıpticas, fueron estudiadas y publicadas en [11], [34], [4] y [78], entre otros.

3 Por otra parte, los primeros resultados distribucionales del CV de una poblaci´on Normal se remontan a los estudios realizados en [59], los cuales son corroborados en [66]. Luego de casi cuatro d´ecadas, en [44] se retoma el tema comparando aproximaciones de percentiles del CV muestral con los resultados hasta ah´ı propuestos. Posteriormente en [6] se plantea un contraste aproximado para probar la homogeneidad de coeficientes de variaci´on. En [7] se encuentra un test basado en el estad´ıstico de raz´on de verosimilitud para contrastar estas mismas hip´otesis. Luego en [63] se propone un nuevo contraste para la igualdad de dos coeficientes de variaci´on, en [30] se generaliza a k muestras, y en [77] se presentan estudios de simulaci´on de estos contrates. Por su parte, en [43] se realiza inferencia para el CV de una distribuci´on Inversa Gaussiana. En [62], y posteriormente en [35], se presentan pruebas de hip´otesis asint´oticas para el coeficiente de variaci´on de una, dos y k muestras, junto con estudios de simulaci´on. En [40] se entregan diversos resultados que permiten probar la igualdad de coeficientes de variaci´on de k muestras provenientes de poblaciones normales basados en la revisi´on de contrastes ya conocidos, como lo son las pruebas de Bennet, de raz´on de verosimilitud, de la t no centrada, de Wald -la que extienden a k muestras y para distintos tama˜ nos de ´estas- y adem´as presentan un nuevo contraste basado en la prueba de Score. En [64] se hace inferencia asint´otica para el CV de una poblaci´on Normal presentando f´ormulas para estad´ısticos de prueba, a trav´es de los cuales es posible evaluar la potencia de los contrastes planteados. Finalmente, algunos de los resultados planteados para el CV de una poblaci´on Normal son extendidos en [54] al caso de una poblaci´on El´ıptica. A partir de esto el queda abierta la aplicaci´on de las distribuciones El´ıpticas singulares sobre: las distribuciones chi-cuadrado, t y F generalizadas centradas y no centradas, las distribuciones t y F generalizadas doble no centradas, y sobre la inferencia para el coeficiente de variaci´on de una poblaci´on El´ıptica. Se estudia en este trabajo el problema de singularidad de una distribuci´on El´ıptica, pues la densidad multivariada no existe en todo IRn , tal como se menciona en [32] y [69]; sin embargo, dicha densidad s´ı existe en un subespacio de IRn , tal como se presenta en este trabajo. Se

4 tratan tambi´en aqu´ı problemas asociados con distribuciones empleadas en el muestreo, como lo son la distribuci´on chi-cuadrado generalizada centrada y no centrada, la distribuci´on t generalizada centrada y no centrada y la distribuci´on F generalizada centrada, no centrada y doble no centrada, bajo singularidad y no singularidad de la ley El´ıptica asociada. Finalmente, a trav´es de las distribuciones El´ıpticas, de la distribuci´on t generalizada no centrada y del caso de muestras grandes, se estudia el aspecto distribucional e inferencial del coeficiente de variaci´on poblacional, tanto para el caso de una poblaci´on El´ıptica con estructura dependiente e independiente. Las aportaciones espec´ıficas que se hacen en este trabajo, son: (1) Hallar la densidad de una vector aleatorio El´ıptico singular siguiendo el argumento propuesto en [69, p. 527] y se hallan las distribuciones χ2 , t y F generalizadas asociadas a este vector aleatorio, en cuyo caso, y tal como se demuestra, la singularidad de la distribuci´on El´ıptica afecta los grados de libertad de tales distribuciones. Posteriormente, se utilizan dos distribuciones El´ıpticas singulares espec´ıficas, como lo son la Pearson tipo VII y la de tipo Kotz, hallando as´ı expl´ıcitamente las densidades de estas distribuciones. Finalmente, se tratan dos aplicaciones de la distribuci´on El´ıptica singular. La primera de ellas relacionada con la distribuci´on de los residuos de un modelo lineal El´ıptico y la segunda relacionada con el estad´ıstico t generalizado, basado en una muestra obtenida desde una poblaci´on El´ıptica. (2) Presentar las distribuciones t y F generalizadas, tanto para el caso centrado, no centrado y doble no centrado, y bajo singularidad y no singularidad de la distribuci´on El´ıptica asociada, en cuyo caso la singularidad de la distribuci´on afecta los grados de libertad de las distribuciones t y F generalizadas (vea [25]). Para las distribuciones t y F generalizadas centradas, se usa la invarianza de tales distribuciones bajo leyes El´ıpticas con par´ametro de posici´on igual a cero, coincidiendo con las del caso Normal. Para las distribuciones F generalizadas no centrada y doble no centrada, se presentan sus densidades tanto en t´erminos de integrales como de las derivadas de la funci´on generadora de densidades asociada a cada distribuci´on El´ıptica, y por ende de cada distribuci´on F generalizada. En el caso de la distribuciones t generalizadas no

5 centrada y doble no centrada no es posible obtener esta representaci´on, por lo que su densidad s´olo se expresa a trav´es de integrales. Finalmente se ilustran todos estos resultados para dos subfamilias de distribuciones El´ıpticas, como lo son la distribuci´on de Pearson tipo VII y la distribuci´on de tipo Kotz, subfamilias que a su vez contienen como casos particulares a las distribuciones El´ıpticas t y Normal multivarian-tes, respectivamente. En esta ilustraci´on y para el caso de la distribuci´on F generalizada, se observa la evidente simplificaci´on que se produce al usar la densidad en t´erminos de la derivada de la gene-radora de densidades en lugar de la expresi´on integral. Sin embargo, se debe tener presente que la aplicaci´on de este resultado es s´olo posible cuando la generadora de densidades, asociada a la particular distribuci´on El´ıptica que se haya considerado, sea expandible en serie de Taylor, lo cual ocurre cuando existen los momentos de dicha distribuci´on. Como no todas las distribuciones El´ıpticas disponen de momentos, como por ejemplo la distribuci´on de Cauchy, esto motiva entonces la existencia de las dos expresiones para la densidad. (3) Proponer un coeficiente de variaci´on generalizado, como una medida de varia-bilidad relativa, v´alido para poblaciones cuya distribuci´on carece de primer y segundo momento (los momentos de una distribuci´on El´ıptica pueden verse en [32][p. 67])). Esta medida se puede entender como una generalizaci´on del CV y se define como la ra´ız cuadrada del par´ametro de escala dividido por el par´ametro de posici´on. Se analizan aspectos distribucionales e inferenciales de este CV generalizado bajo dos modelos El´ıpticos, como lo son el modelo dependiente (el vector aleatorio tiene una estructura dependiente con distribuci´on El´ıptica multivariada) y el modelo independiente (cada variable aleatoria del vector es independiente e id´enticamente distribuida El´ıptica univariada). Espec´ıficamente, para ambos modelos (dependiente e independiente) se encuentra el estimador de verosimilitud m´axima (EVM) y, en forma alternativa, se plantea un estimador tipo momentos (EM) para el CV. El EVM queda expresado en t´erminos de las funciones f y φ asocia-das a cada ley El´ıptica, por lo cual en esta secci´on s´olo es posible hallar una expresi´on general para este estimador. Posteriormente se presenta la distribuci´on exacta del inverso del EVM del CV para el modelo dependiente y la distribuci´on asint´otica del EVM y del EM del CV bajo el modelo independiente. A partir de estas distribu-

6 ciones se obtienen intervalos de confianza y pruebas de hip´otesis para el CV. Los resultados obtenidos bajo el modelo dependiente son ilustrados a trav´es de dos subfamilias de distribuciones El´ıpticas, como lo son la distribuci´on de Pearson Tipo VII y la distribuci´on de Tipo Kotz, permitiendo encontrar as´ı expresiones expl´ıcitas para los resultados planteados; particularmente se estudian las distribuciones t-multivariada y de Cauchy (esta u ´ltima distribuci´on carece de momentos), como casos particulares de la subfamilia El´ıptica de Pearson Tipo VII, y la distribuci´on Normal, como caso particular de la subfamilia de Tipo Kotz. Los resultados encontrados bajo el modelo independiente se particularizan para la distribuciones univariadas t con s grados de libertad y Normal, incluyendo adem´as la eficiencia relativa asint´otica (ERA) de los estimadores hallados. Finalmente se entrega una detallada lista de aplicaciones del CV. Este trabajo ha sido estructurado en dos partes y seis cap´ıtulos. La primera parte presenta aspectos introductorios de la distribuciones El´ıpticas y del ´algebra matricia, la cual est´a estructurada en 3 cap´ıtulos. En el primero de ellos se proporcionan los aspectos preliminares, requeridos para solucionar algunos problemas que se resuelven en los cap´ıtulos subsiguientes. En el segundo cap´ıtulo se introducen las distribuciones El´ıpticas y Esf´ericas, en ´el se presentan resultados conocidos de estas distribuciones y sus relaciones con la distribuci´on Normal. En el cap´ıtulo tercero se tratan las distribuciones empleadas habitualmente en el muestreo, en este caso de una poblaci´on El´ıptica, como lo son las distribuciones chi-cuadrado, t y F generalizadas, para los casos centrados y no centrados, basados en resultados ya conocidos. En la segunda parte se presentan los resultados de las 3 aportaciones originales propuestas en este trabajo, sol´o planteadas hasta ahora en art´ıculos. la cual est´a compuesta por los Cap´ıtulos cuatro, cinco y seis de este trabajo. En el cap´ıtulo cuatro se trata la distribuci´on El´ıptica singular, se encuentra su densidad y se presentan dos aplicaciones de ´esta. En el cap´ıtulo cinco se presentan las distribuiciones t y F generalizadas doble no centradas, se halla su densidad bajo singularidad y no singularidad de la ley El´ıptica asociada. En el cap´ıtulo seis se presentan todos los aspectos relacionados con la inferencia del coeficiente de variaci´on de una poblaci´on El´ıptica con estructura dependiente e independiente, as´ı como los aspectos distribucionales de los estimadores del coeficiente de variaci´on planteados. Finalmente, se acompa˜ na a una

7 extensa bibliograf´ıa del tema que fue revisada por el autor.

8

Notaci´ on y Abreviaturas IRn

: Espacio real n-dimensional.

A ∈ IRn×p

: Matriz real de dimension n × p.

A, B, C, . . .

: Matrices constantes.

a, b, c, . . .

: Constantes reales.

X, Y, Z, . . .

: Vectores aleatorios.

X, Y, Z, . . .

: Variables aleatorias.

aij

: El ij-´esimo elemento de la matriz A.

AT

: La transpuesta de A.

In

: Matriz identidad de orden n.

eni

: Vector unitario de orden n.

aj

: j-´esima columna de la matriz A.

a(i)

: i-´esima fila de la matriz A.

|A|

: Determinante de A.

A−1

: Inversa de A.

A−

: Inversa generalizada de A.

Ac

: Inversa condicional de A. 9

10 rk A

: Rango de A.

tr A

: Traza de A.

diag A

: Matriz diagonal.

UT

: Conjunto de matrices triangulares superiores.

LT

: Conjunto de matrices triangulares inferiores.

f (·)

: Funci´on real valorada f .

f 0 (·)

: Derivada de la funci´on f .

f (2k) (·)

: Derivada 2k-´esima de la funci´on f .

A>0

: Matriz definida positiva.

A≥0

: Matriz semi-definida positiva.

A⊗B

: Producto Kronecker de las matrices A y B.

O(p)

: Conjunto de matrices ortogonales ∈ IRp×p .

Vn,n−p

: Variedad de Stiefel ∈ IRn×(n−p) .

Im A

: Imagen de A.

t.c.e.g.

: Transformaci´on de coordenadas esf´ericas generalizadas.

J(X → Y)

: Jacobiano de la transformaci´on de X a Y.

IE(X)

: Valor esperado de X.

V ar(X)

: Varianza de X.

11 ψX (t)

: Funci´on caracter´ıstica de X.

f.c.

: Funci´on Caracter´ıstica. d

X=Y

: X e Y tienen la misma distribuci´on.

Nn (·, ·)

: Distribuci´on Normal multivariada.

ECn (·, ·; ·)

: Distribuci´on El´ıptica en IRn .

Sn (·)

: Distribuci´on Esf´erica en IRn .

Beta(·, ·)

: Distribuci´on Beta.

PnV II (·)

: Distribuci´on de Pearson tipo VII multivariada.

PnII (·)

: Distribuci´on de Pearson tipo II multivariada.

U ni{EkXk = 1} : Distribuci´on Uniforme en la esfera unitaria. tn (·, ·)

: Distribuci´on t-multivariada.

Kn (·, ·)

: Distribuci´on de tipo Kotz en IRn .

Gχ2

: Distribuci´on chi-cuadrado generalizada.

Gt

: Distribuci´on t generalizada.

GF

: Distribuci´on F generalizada.

GF 00

: Distribuci´on F generalizada doble no centrada.

EMV(θ)

: Estimador M´aximo Veros´ımil de θ.

CV

: Coeficiente de Variaci´on.

TRV

: Test de Raz´on de Verosimilitud.

12

Contents I

ASPECTOS INTRODUCTORIOS

17

1 Preliminares

19

1.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2

Aspectos de Teor´ıa Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.1

Matrices Ortogonales y Semi-ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.2

Determinante de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.3

Inversi´on de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.4

Partici´on de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.5

Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2.6

Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.7

Formas Cuadr´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.2.8

Matrices Definidas y Semi-definidas Positivas . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.2.9

Proyecciones Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.2.10 Factorizaciones de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.2.11 Inversa Generalizada de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.2.12 Producto Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Evaluaci´on del Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.3.1

34

1.3

La Transformaci´on de Coordenadas Esf´ericas Generalizadas

. . . . . .

2 Distribuciones de Contornos El´ıpticos 2.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

37 37

14

CONTENTS 2.2

Distribuci´on El´ıptica No Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.1

Distribuciones El´ıpticas y Esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.2

Representaci´on Estoc´astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.3

Distribuciones Marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.2.4

Distribuciones Condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.2.5

Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.2.6

Caracterizaciones de Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.7

Distribuci´on Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2.8

Distribuciones El´ıpticas Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3 Distribuci´ on de Formas Cuadr´ aticas 3.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2

Distribuci´on Chi-cuadrado Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.2.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.2.2

Distribuci´on Chi-cuadrado Generalizada Centrada y No Centrada . . .

50

Distribuci´on t Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.3.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.3.2

Distribuci´on t Generalizada Centrada y No Centrada . . . . . . . . . .

57

Distribuci´on F Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.4.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.4.2

Distribuci´on F Generalizada Centrada y No Centrada . . . . . . . . . .

63

3.3

3.4

II

49

RESULTADOS

4 Distribuci´ on El´ıptica Singular

69 71

4.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.2

Densidad de una distribuci´on El´ıptica Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.3

Distribuciones χ2 , t y F Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Distribuci´on χ2 Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

4.3.1

CONTENTS

4.4

15

4.3.2

Distribuci´on t Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

4.3.3

Distribuci´on F Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.4.1

Distribuci´on de los Residuos de un Modelo Lineal El´ıptico . . . . . . .

85

4.4.2

Distribuci´on del Estad´ıstico t Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5 Distribuciones Gt y GF Doble No Centrada

91

5.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.2

Distribuci´on Gt Doble No centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.2.1

Distribuci´on Gt No Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.2.2

Distribuci´on Gt bajo una Ley de Pearson Tipo VII Singular . . . . . .

95

5.2.3

Distribuci´on Gt bajo una Ley de Tipo Kotz Singular . . . . . . . . . .

97

5.2.4

Distribuci´on Gt Doble No Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

5.3

Distribuci´on GF Doble No Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.3.1

Distribuci´on GF No Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.2

Distribuci´on GF bajo una Ley de Pearson Tipo VII Singular . . . . . . 103

5.3.3

Distribuci´on GF bajo una Ley de Tipo Kotz . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3.4

Distribuci´on GF Doble No Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 Inferencias para el CV bajo una Ley El´ıptica

113

6.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2

Especificaci´on de los Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3

6.4

6.2.1

Modelo El´ıptico con Estructura Dependiente . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.2.2

Modelo El´ıptico con Estructura Independiente . . . . . . . . . . . . . . 117

Estimadores del CV de una Poblaci´on El´ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.3.1

Estimadores del CV bajo el Modelo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3.2

Estimadores del CV bajo el Modelo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Distribuciones Asociadas al Estimador del CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.4.1

Distribuci´on del EVM del CV bajo el Modelo D . . . . . . . . . . . . . 121

16

CONTENTS 6.4.2 6.5

6.6

6.7

Distribuci´on Asint´otica del CV bajo el Modelo I . . . . . . . . . . . . . 121

Intervalos de Confianza para el CV de una poblaci´on El´ıptica . . . . . . . . . . 124 6.5.1

Intervalo de Confianza para el CV bajo el Modelo D . . . . . . . . . . . 124

6.5.2

Intervalo de Confianza para el CV bajo el Modelo I . . . . . . . . . . . 125

Pruebas de Hip´otesis para el CV de una Poblaci´on El´ıptica . . . . . . . . . . . 126 6.6.1

Prueba de Hip´otesis para el CV bajo el Modelo D . . . . . . . . . . . . 126

6.6.2

Prueba de Hip´otesis para el CV bajo el Modelo I . . . . . . . . . . . . 126

Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Part I ASPECTOS INTRODUCTORIOS

17

Chapter 1 Preliminares 1.1

Introducci´ on

Este cap´ıtulo presenta los aspectos preliminares de este trabajo y est´a compuesto por dos secciones; en la primera de ellas se encuentran definiciones y resultados conocidos del ´algebra matricial, como lo son los de: matrices ortogonales y semi-ortogonales, determinante y rango de una matriz, inversi´on y partici´on de matrices, valores y vectores propios de una matriz, formas cuadr´aticas, matrices definidas y semidefinidas positivas, proyecciones ortogonales, factorizaci´on de matrices e inversas generalizadas de un matriz; cada uno de los cuales se hace necesario para el mejor entendimiento de este trabajo, ya se que emplean con bastante frecuencia durante el desarrollo de ´este, pudiendo encontrar mayores detalles de esta ´ secci´on en cualquier libro de Algebra Lineal, como por ejemplo en citeg:76, entre otros. En la segunda secci´on se presenta la evaluaci´on de jacobianos de transformaciones, enfatizando particularmente en la transformaci´on de coordenadas esf´ericas generalizadas, ya que dicha transformaci´on es utilizada ampliamente a lo largo de este trabajo, mayores detalles de esta secci´on pueden hallarse en [32], as´ı como en otros libros de la bibliograf´ıa. Otros aspectos matem´aticos as´ı como de teor´ıa estad´ıstica, utilizados en este trabajo, fueron omitidos en estos preliminares, pudiendo de cualquier forma revisarse en [69] o [65], as´ı como en los antes mencionados y en otros que aparecen en la bibliograf´ıa. 19

20

CHAPTER 1. PRELIMINARES

1.2

Aspectos de Teor´ıa Matricial

Se presentan a continuaci´on los elementos del ´algebra matricial m´as utilizados durante este trabajo, ya descritos anteriormente y que juegan un importante papel en algunas secciones de ´este. Una matriz A ∈ IRn×p es un arreglo rectangular de elementos aij , tal que 

  a11  .  .. A=  

. . . a1p . .. . ..

an1 . . . anp

   .  

(1.1)

Tambi´en se puede escribir A = (aij ), aij ∈ IR. Para la definici´on anterior considere que 1. si n = p, entonces se dice que A es cuadrada de orden p. 2. AT es la transpuesta de A y tiene orden p × n. 3. si AT = A, se dice que A es sim´etrica. 4. si A es cuadrada y todos los elementos que est´an fuera de la diagonal son ceros, entonces A se dice que es una matriz diagonal y se denota por A = diag(aii ). Si para A = (aij ), aij = 0, ∀ j < i, entonces A se dice matriz triangular superior y se denota por A ∈ UT(p); si aij = 0, ∀ j > i, entonces A se dice matriz triangular inferior y se denota por A ∈ LT(p). 5. si todos los elementos de A son ceros, entonces A se denomina matriz nula y se denota por A = 0.

1.2.1

Matrices Ortogonales y Semi-ortogonales

[Conjunto de Matrices Ortogonales] El conjunto de matrices ortogonales, denotado por O(p), es aqu´el que contiene a todas las matrices H ∈ IRp×p , tal que H T H = Ip , esto es, O(p) = {H ∈ IRp×p | H T H = Ip }.

1.2. ASPECTOS DE TEOR´IA MATRICIAL

21

[Matriz Ortogonal] Sea A ∈ IRp×p . Entonces, si A ∈ O(p) se dice que es una matriz ortogonal. [Conjunto de Matrices Semi-ortogonales] El conjunto de matrices semi-ortogonales, tambi´en llamado Variedad de Stiefel y denotado por Vn,p , es aqu´el que contiene a todas las matrices H ∈ IRn×p , tal que H T H = Ip , esto es, Vn,p = {H ∈ IRn×p | H T H = Ip }, es decir, las columnas de H son ortonormales. [Matriz Semi-ortogonal] Sea A ∈ IRn×p . Entonces, si A ∈ Vn,p , se dice que A es una matriz semi-ortogonal.

1.2.2

Determinante de una Matriz

[Determinante] Sea A ∈ IRp×p . Entonces, el determinante de A, denotado por |A|, viene dado por |A| = donde

X

²π a1j1 a2j2 ... apjp ,

(1.2)

π

P π

denota la suma sobre todas las p! permutaciones π = (j1 , ..., jp ) de (1, ..., p) y ²π = 1

´o −1, dependiendo si la permutaci´on es par o impar. Sea A ∈ IRp×p , tal que 1. si ai = 0 ´o a(j) = 0, para alg´ un i o j, entonces |A| = 0. 2. |A| = |AT |. 3. |(a1 . . . ai−1 α · ai ai+1 . . . ap )| = α |A|, α ∈ IR. 4. |α A| = αp |A|, α ∈ IR.. 5. |AB| = |A| · |B|, B ∈ IRp×p . 6. |A1 · . . . · An | = |A1 | · . . . · |An |, Ai ∈ IRp×p , i = 1, ..., n.

22

CHAPTER 1. PRELIMINARES 7. |AAT | = |AT A| ≥ 0. 



 A C 

8. 



=

0 B



 A

0 

D B

 = |A| · |B|, donde B ∈ IR

q×q

, C ∈ IRp×q y D ∈ IRq×p .

9. |Ip + BC| = |Iq + CB|, donde B ∈ IRp×q y C ∈ IRq×p . 10. |T | =

p Y

tii , si T = (tij ) ∈ UT(p).

i=1

11. |H| = ±1, si H ∈ O(p).

1.2.3

Inversi´ on de Matrices

[Matriz Inversa] Sea A ∈ IRp×p y |A| 6= 0. Entonces, existe una u ´nica matriz B ∈ IRp×p tal que AB = Ip y B es llamada la inversa de A y se denota por A−1 . Una matriz cuyo determinante es distinto de cero se denomina no singular. . Sea A ∈ IRp×p , tal que 1. AA−1 = A−1 A = Ip . 2. (A−1 )T = (AT )−1 . 3. (AB)−1 = B −1 A−1 , si A y B son matrices no singulares. 4. |A−1 | = |A|−1 . 5. A−1 = AT , si A ∈ O(p). 6. Si A = diag(aii ), con aii 6= 0, ∀ i = 1, ..., p, entonces A−1 = diag(a−1 ii ), ∀ i = 1, ..., p. 7. Si A ∈ UT(p), entonces A−1 ∈ UT(p) y sus elementos en la diagonal son a−1 ii , ∀ i = 1, ..., p.

1.2. ASPECTOS DE TEOR´IA MATRICIAL

1.2.4

23

Partici´ on de Matrices

Una matriz no singular A ∈ IRp×p se dice que est´a particionada en submatrices si, para i, j = 1, 2, A puede escribirse de la forma 



A11 A12  A=  , A21 A22

(1.3)

donde A11 ∈ IRm×q , A12 ∈ IRm×(p−q) , A21 ∈ IR(n−m)×q y A22 ∈ IR(n−m)×p−q . Sean A, B y C matrices de ´ordenes adecuados y particionadas apropiadamente. Entonces, 



 A11 + B11

1. A + B = 

A12 + B12 

A21 + B21 A22 + B22

 y





 A11 C11 + A12 C21 A11 C12 + A12 C22

2. AC = 

A21 C11 + A22 C21 A21 C12 + A22 + C22

 .

3. Sea A ∈ IRp×p una matriz no singular, tal que B = A−1 . Particione A y B de manera similar y de la misma forma que antes, esto es, 



 A11

A=

A12 

A21 A22







 B11

y B=

B12 

B21 B22

,

donde A11 , B11 ∈ IRq×q y A22 , B22 ∈ IR(p−q)×(p−q) , con A11 y A22 no singulares. Denote ahora A11.2 = A11 − A12 A−1 22 A21

y A22.1 = A22 − A21 A−1 11 A12 .

Entonces, B11 = A−1 11.2

−1 , B12 = −A−1 11 A12 A22.1 ,

−1 B21 = −A−1 22 A21 A11.2

, B12 = A−1 22.1 ,

−1 −1 −1 , B12 = −A11.2 A12 A−1 B11 = A−1 22 , 11 + A11 A12 A22.1 A21 A11 −1 B21 = −A−1 22.1 A21 A11

−1 −1 −1 y B22 = A−1 22 + A22 A21 A11.2 A12 A22 .

(1.4)

24

CHAPTER 1. PRELIMINARES 4. Sea A ∈ IRp×p particionada como en (2.3) y A11.2 y A22.1 como en (2.4). As´ı, (a) si |A22 | 6= 0, entonces |A| = |A22 | |A11.2 |. (b) si |A11 | 6= 0, entonces |A| = |A11 | |A22.1 |. (c) si |A11 | 6= 0, entonces |A11 | |A22.1 | = |A22 | |A11.2 |. 5. Sean A ∈ IRp×p y B ∈ IRq×q matrices no singulares, C ∈ IRp×q y D ∈ IRq×p . As´ı, (A + CBD)−1 = A−1 − A−1 CB(B + BDA−1 CB)−1 BDA−1 .

(1.5)

6. Si X ∈ IRn×p , entonces     X X=   T

1.2.5



XT1 X1 . . . XT1 Xp .. .. ... . . XTp X1

... XTp Xp

 n  X  = X(i) XT(i) .  i=1 

(1.6)

Rango de una Matriz

[Rango de una Matriz] Sea A ∈ IRn×p una matriz distinta de la matriz nula. Entonces, si r de las columnas o filas de A son linealmente independientes, A tiene rango r ≤ min(p, n), denot´andolo por rk A = r. Sea A ∈ IRn×p , tal que 1. rk 0 = 0 2. rk A = p, si A es una matriz cuadrada y no singular. 3. rk A = rk AT = rk AAT = rk AT A. 4. rk(AB) ≤ min(rk A, rk B), B ∈ IRp×m . 5. rk(A + C) ≤ (rk A + rk C), C ∈ IRn×p . 6. rk(ABC) = rk B, si A y C son matrices cuadradas no singulares de ´ordenes adecuados. 7. si AB = 0, con B ∈ IRp×m , entonces rk B ≤ (p − rk A).

1.2. ASPECTOS DE TEOR´IA MATRICIAL

1.2.6

25

Valores y Vectores Propios

[Valor Propio] Sea A ∈ IRp×p . Entonces, los valores propios de A est´an dados por las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica en λ, asociados al polinomio caracter´ıstico |A − λI|, dadas por |A − λI| = 0.

(1.7)

Para el polinomio caracter´ıstico considere que 1. Dado que ´este es de orden p, entonces tiene exactamente p ra´ıces. 2. Las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico no son necesariamente distintas, es decir, pueden tener una multiplicidad mayor que 1. 3. Las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico pueden ser reales, complejas o ambas. 4. Si λ1 es una ra´ız del polinomio caracter´ıstico, entonces |A−λ1 Ip | = 0, es decir, (A−λ1 Ip ) es singular y λ1 es un valor propio de A. [Vector Propio] Sean A ∈ IRp×p y X ∈ IRp . Entonces, los vectores propios de A est´an dados por la soluci´on del sistema de ecuaciones en X, dado por (A − λI) X = 0,

(1.8)

al reemplazar cada valor propio λ en dicho sistema, es decir, para cada valor propio λ existe un vector propio X. Sea A ∈ IRp×p , tal que 1. si A tiene valores propios λ de multiplicidad r, entonces existen r vectores propios ortogonales correspondientes a λ. 2. si A = AT , entonces todos sus valores propios son reales, digamos λ1 , λ2 , ..., λp , con λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λp . Entonces, los valores propios de A est´an en la diagonal de una matriz D, esto es, D = diag(λi ), i = 1, ..., p.

26

CHAPTER 1. PRELIMINARES 3. los vectores propios, correspondientes a distintos valores propios de una matriz sim´etrica, son ortogonales. 4. si B = P AP −1 , donde A, B y P son matrices cuadradas y P es no singular, entonces A y B tienen los mismos valores propios. 5. los valores propios de A y de AT son los mismos. 6. los valores propios no nulos de AB y de BA son los mismos. En particular, los valores propios no nulos de AAT y AT A son los mismos. 7. si A = diag(aii ), i = 1, ..., p, entonces a11 , ..., app son los valores propios de A y los vectores eT1 , eT2 , ..., eTp son, respectivamente, sus vectores propios asociados, donde eTi ∈ IRp es un vector que tiene s´olo un uno en la posici´on i-´esima y el resto son ceros, esto es, eTi = (0 . . . 0 1 0 . . . 0). 8. si los valores propios de A son λ1 , λ2 ,..., λp , entonces los valores propios de A−1 son λ−1 1 , λ2−1 ,..., λ−1 p . 9. si A ∈ O(p), entonces todos los valores propios tienen valor absoluto igual a 1.

10. si A ∈ UT(p) (o LT(p)), entonces los valores propios de A son a11 , ..., app (los elementos de la diagonal). 11. si A tiene valores propios λ1 , λ2 ,..., λp , entonces (A − k Ip ) tiene valores propios λ1 − k, λ2 − k, ... , λp − k.

1.2.7

Formas Cuadr´ aticas

[Forma Cuadr´atica] Sea X ∈ IRp , tal que f (x1 , ..., xp ) = f (X) es una funci´on real valorada, esto es, xi ∈ IR, ∀ i = 1, ..., p. Entonces, se dice que f (X) es una forma cuadr´atica si f (x1 , ..., xp ) =

p X n X

aij xi xj = XT A X,

i=1 j=1

1.2. ASPECTOS DE TEOR´IA MATRICIAL

27

donde A ∈ IRp×p es llamada la matriz de la forma cuadr´atica. La matriz de una forma cuadr´atica siempre se puede escoger sim´etrica. Sean X, Y ∈ IRp y A, B y C ∈ IRp×p . Entonces, cuando es necesario hacer un cambio de variables de xi a yi , i = 1, ..., p, a trav´es del conjunto de ecuaciones lineales Y = C −1 X, donde C es una matriz no singular, la forma cuadr´atica XT A X se puede expresar como XT A X = YT C T A C Y = YT (C T AC) Y = YT B Y, donde B =T A C, de modo que A y B son congruentes.

1.2.8

Matrices Definidas y Semi-definidas Positivas

[Matriz Definida Positiva] Sea A ∈ IRp×p . Entonces, A se dice definida positiva si 1. A = AT y 2. XT AX > 0, ∀ X ∈ IRn y X 6= 0. [Matriz Semidefinida Positiva] Sea A ∈ IRp×p . Entonces, A se dice semidefinida positiva si 1. A = AT , 2. XT AX ≥ 0, ∀ X ∈ IRn y 3. XT AX = 0, para al menos un X ∈ IRn y X 6= 0. [Matriz Definida No Negativa] Una matriz se dice definida no negativa si y s´olo si, es definida positiva o semi-definida positiva.

1.2.9

Proyecciones Ortogonales

[Matriz Idempotente] Una matriz A se dice idempotente si A2 = A. [Traza] Sea A ∈ IRp×p . Entonces, la traza de A se define como la suma de los elementos de la diagonal, esto es, tr A =

p X i=1

aii .

28

CHAPTER 1. PRELIMINARES

[Matriz de una Proyecci´on Ortogonal] Una matriz A se dice que es la matriz de una proyecci´on ortogonal si 1. A = AT y 2. A2 = A, esto es, si es sim´etrica e idempotente. En lo posterior, para referirse a la matriz de una proyecci´on ortogonal se dir´a simplemente proyecci´on ortogonal, pues la proyecci´on ortogonal es la aplicaci´on lineal de dicha matriz y su relaci´on es biun´ıvoca. Sea A una proyecci´on ortogonal. Entonces, 1. (Ip − A) es tambi´en una proyecci´on ortogonal. 2. tr A = rk A. 3. sus valores propios son 0 ´o 1.

1.2.10

Factorizaciones de Matrices

Sea A ∈ IRp×p . As´ı, 1. si A tiene valores propios reales, entonces A = H T HT ,

(1.9)

donde H ∈ O(p) y T ∈ UT(p), cuyos elementos de la diagonal son los valores propios de A. 2. si A = AT , con valores propios λ1 , λ2 ,..., λp , entonces A = H T D H,

(1.10)

1.2. ASPECTOS DE TEOR´IA MATRICIAL

29

donde H ∈ O(p) y D = diag(λi ), i = 1, 2, ..., p. Si H T = (h1 ... hp ), entonces hi es un vector propio de A asociado al valor propio λi , i = 1, 2, ..., p. Frecuentemente, se asume que λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λp . Adem´as, si λ1 , λ2 , ..., λp son distintos, la representaci´on (2.10) es u ´nica, salvo cambios de signo en cada elemento de la primera fila de H. As´ı, se puede reescribir (2.10) de la forma A=

p X

λi hi hTi ,

(1.11)

i=1

la cual es llamada ”descomposici´on espectral” de A. 1

1

1

1

3. si A > 0 (≥ 0), entonces existe A 2 > 0 (≥ 0), tal que A = A 2 A 2 . As´ı, A 2 puede descomponerse de la forma A1/2 = H T D1/2 H,

(1.12)

donde A1/2 es llamada ”ra´ız cuadrada sim´etrica”, H y D est´an definidas como en (2.10) ³√ ´ 1 y D 2 = diag λi . 4. si A ∈ IRp×p y el rk A = r ≤ p, entonces (a) existe una matrix B ∈ IRp×r de rango r, tal que A = B BT .

(1.13)

(b) existe una matriz no singular C ∈ IRp×p , tal que 



Ir 0  T A=C    C . 0 0

(1.14)

(c) existe una matriz T ∈ UT(p), tal que A = T T T.

(1.15)

Cuando los elementos de la diagonal de T son no negativos, la descomposici´on (2.15) se denomina ”descomposici´on de Cholesky”. Dicha descomposici´on es u ´nica si A > 0.

30

CHAPTER 1. PRELIMINARES 5. si A ∈ IRn×p (n ≥ p), entonces A puede descomponerse de la forma A = U B,

(1.16)

donde U ∈ Vn,p y B ∈ IRp×p y B ≥ 0. Si el rk B = p, entonces B > 0. Otra forma de representar A es





 Ip 

A=U 

0

 B,

(1.17)

donde ahora U ∈ O(p) y B est´a definida como en (2.16). 6. si A ∈ IRn×p y B ∈ IRn×q , tal que p ≤ q, entonces AT A = B T B si y s´olo si, existe una matriz H ∈ Vp,q , tal que A H = B. 7. Si A ∈ IRn×p (n ≥ p), entonces A = U D V,

(1.18)

donde U ∈ Vn,p , V ∈ O(p), D = diag(λi ), i = 1, ..., p y λ21 , ..., λ2p , son los valores propios de AT A. Otra representaci´on de A ser´ıa A = H (D 0)T V,

(1.19)

donde H ∈ O(n), V y D son las mismas que en (2.18) y 0T ∈ IR(n−p)×p . La descomposici´on dada en (2.18) o en (2.19) es llamada ”descomposici´on en valores singulares”. 8. Si A1 , ..., Ak son matrices sim´etricas tal que, Ai Aj = 0, para i 6= j, i, j = 1, ..., k, entonces existe H ∈ O(p) tal que, H T Ai H = Di , siendo Di una matriz diagonal, i = 1, ..., k. 9. Si A, B ∈ IRn×n , con A > 0 y B = B T , entonces existe una matriz no singular H ∈ IRn×n tal que, A = H HT

y B = H D HT ,

(1.20)

donde D = diag(λi ) y λ1 ,...,λn son los valores propios de A−1 B. Si B > 0 y λ1 ,...,λn son todos distintos, H es u ´nica, salvo cambios de signo en cada elemento de la primera fila de H.

1.2. ASPECTOS DE TEOR´IA MATRICIAL

1.2.11

31

Inversa Generalizada de una Matriz

[Matriz Inversa Generalizada] Sea A ∈ IRn×p . Entonces, existe una matriz B ∈ IRp×n que cumple con 1. ABA = A, 2. BAB = B, 3. (AB)T = AB y 4. (BA)T = BA, tal que B es llamada la matriz inversa generalizada (o de Moore-Penrose) de A, se denota por −

B = A y se usa la terminolog´ıa g-inversa para referirse a ella. . Sea A ∈ IRn×p . As´ı, −

1. toda matriz A tiene asociada una u ´nica matriz A

que satisface las condiciones de la

Definici´on 2.28, esto es, cada matriz tiene asociada una u ´nica g-inversa. −

2. si rk A = n, entonces A = AT (AT A)−1 . −

3. si rk A = p, entonces A = (AT A)−1 A. −

4. si rk A = n = p, entonces A = A−1 . −

−

−

−

−

5. si rk A = r, entonces, rk A = rk A = rk A A = rk AA = rk AA A = rk AAA . − −

6. (A ) = A. −

7. si A es sim´etrica, entonces A tambi´en lo es. −

−

−

8. A = (AT A) AT = AT (AAT ) . −

−

−

9. (AT A) = A (A )T . −

−

10. (AT ) = (A )T .

32

CHAPTER 1. PRELIMINARES −

11. si A = P QT , con P ∈ IRn×r , Q ∈ IRr×m y rk A = rk P = rk Q = r, entonces A −

=

−

(Q )T P . −

12. si A es una proyecci´on ortogonal, entonces A = A. 13. si AT = A, entonces A = H T DH (como en (2.10)), donde H ∈ O(p) y D = diag(λi ), i = 1, ..., n. Sea −

   λ−1

; si λ 6= 0

0

; si λ = 0

λ =  −

.

−

Entonces, A = H T diag(λi )H. −

−

14. AA y A A son proyecciones ortogonales. [Matriz Inversa Condicional] Sea A ∈ IRn×p . Entonces, existe una matriz B ∈ IRp×n que cumple con ABA = A,

(1.21)

tal que, B se denomina matriz inversa condicional de A o c-inversa de A y se denota por c

B=A . Sea A ∈ IRn×p . As´ı, c

1. toda matriz A tiene asociada una matriz A , pero no es u ´nica. c

2. rk A ≥ rk A = r. c

c

3. AA y A A son matrices idempotentes. c

c

4. si rk A = r, entonces rk A A = rk A A = r c

5. A A = Ip si y s´olo si, el rango de A es p, esto es, el rango de A es igual al n´ umero de sus columnas. c

6. A A = In si y s´olo si, el rango de A es n, esto es, el rango de A es igual al n´ umero de sus filas. c

c

7. (AT ) = (A )T .

´ DEL JACOBIANO 1.3. EVALUACION

1.2.12

33

Producto Kronecker

[Producto Kronecker] Considere las matrices A = (aij ) ∈ IRn×p y B ∈ IRm×q . El producto Kronecker de dos matrices, es la matriz de orden (nm × pq) definida por 



 a11 B    a21 B AB =   ..  .  

a12 B · · · a1p B   a22 B · · · a2p B    = (aij B). .. ..  ... . .   

an1 B an2 B · · · anp B Sean A, B, C y D matrices de ´ordenes adecuados y sean α, β ∈ IR. Tal que, 1. ABC = (AB)C = A(BC). 2. (A + B)(C + D) = AC + BC + AD + BD. 3. (AB)(CD) = ACBD. 4. αA = α A = A α = Aα. 5. (AB)T = AT B T . 6. (AB)−1 = A−1 B −1 . −

−

−

7. (AB) = A B . 8. si A ∈ IRn×n , con valores propios λ1 , . . . , λn y B ∈ IRm×m , con valores propios δ1 , . . . , δm , entonces los nm valores propios de (AB) est´an dados por λi δj , i = 1, ...n, j = 1, ..., m.

1.3

Evaluaci´ on del Jacobiano

Para calcular la funci´on de distribuci´on multivariante de algunos estad´ısticos, en muchas ocasiones se hace necesario hacer cambios de variables con integraci´on m´ ultiple; en este caso se usa con frecuencia el jacobiano de la transformaci´on.

34

CHAPTER 1. PRELIMINARES

Considere la integral m´ ultiple sobre un conjunto C ∈ IRn Z

g(x1 , ..., xn ) dx1 · · · dxn .

(1.1)

C

Sea entonces XT = (x1 . . . xn ) una transformaci´on uno-a-uno a nuevas variables YT = (y1 . . . yn ) a trav´es de la relaci´on yi =fi (x1 , ..., xn ); i = 1, ..., n, donde las {fi }’s son continuamente diferenciables. Esta relaci´on se denota por Y = f (X) y X = f −1 (Y). El determi∂XT nante de , se denota por ∂YT ¯ ¯ ¯ ∂(x . . . x ) ¯ 1 n ¯ ¯ J = J(X → Y) = ¯ ¯ ¯ ∂(y1 . . . yn ) ¯ y se denomina Jacobiano de la transformaci´ on de X a Y y |J| es su valor absoluto. Ahora (3.1) puede expresarse como Z

g(f −1 (Y)) |J(X → Y)| dY,

(1.2)

T

donde T ≡ {Y | Y = f (X), X ∈ C}. Sea J(·) el jacobiano de una transformaci´on. As´ı, 1. J(X → Y) = (J(Y → X))−1 . 2. si Y = f (X) y z = g(Y), entonces J(X → z) = J(X → Y) · J(Y → z)

(1.3)

3. Si dX = A dY, entonces J(X → Y) es |A| y |J| es el valor absoluto.

1.3.1

La Transformaci´ on de Coordenadas Esf´ ericas Generalizadas

Sean



xj

= r

xn−1 = r xn

= r

j−i Y

k=1 Ãn−2 Y k=1 Ãn−2 Y k=1



sen φk  cos φj ; 1 ≤ j ≤ n − 2, !

sen φk

cos θ

; 0 ≤ φk ≤ π, 1 ≤ k ≤ n − 2,

sen θ

; 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r < ∞.

!

sen φk

´ DEL JACOBIANO 1.3. EVALUACION

35

Entonces, el Jacobiano de la transformaci´on de XT = (x1 ... xn ) a YT = (r, φ1 , ..., φn−2 , θ) viene dado por J(x1 , ..., xn → r, φ1 , ..., φn−2 , θ) = r

n−1

Ãn−2 Y

!

sen

n−k−1

φk .

(1.4)

k=1

Demostraci´ on. Sea x2n

=r

2

Ãn−2 Y

! 2

sen2 θ,

sen φk

(1.5)

k=1

de modo que x2n+1

+

x2n

=r

2

Ãn−2 Y

! 2

sen φk

2

cos θ + r

k=1

2

Ãn−2 Y

! 2

2

sen φk

sen θ = r

2

Ãn−2 Y

k=1

! 2

sen φk .

(1.6)

k=1

Haga ahora n = 3 y luego por inducci´on se generaliza para n. As´ı, x22 + ... + x2n = x2 + x3 = r2

à 1 Y

!

sen2 φk = r2 sen2 φ1 ,

(1.7)

k=1

con lo cual

n X i=1

x2i =

n X

x2i + x21 = r2 sen2 φ1 + r2 cos2 φ1 = r2 .

(1.8)

i=2

De esta manera J(x1 , ..., xn → r, φ1 , ..., φn−2 , θ) = J(xn → θ) · J(xn−1 → φn−2 ) · . . . · J(x2 → φ1 ) · J(x1 → r). Entonces, derivando parcialmente (3.5), (3.6), (3.7) y (3.8), se tiene que ∂xn 1 2 = r ∂θ xn

Ãn−2 Y

!

sen2 φk

sen θ cos θ,

k=1

Ã

n−2 Y ∂xn−1 1 = r2 sen2 φk ∂φn−2 xn−1 k=1 .. . 1 2 ∂x2 = r sen φ1 cos φ1 , ∂φ1 x2 ∂x1 r = . ∂r x1

!

cos φn−2 , sen φn−2

36

CHAPTER 1. PRELIMINARES

De modo que, si X0 = (x1 . . . xn ) e Y0 = (r φ1 . . . φn−2 θ), entonces J(X → Y) = r2 xn

Ãn−2 Y

! 2

sen φk

k=1

r2 sen θ cos θ · xn−1

Ãn−2 Y

! 2

sen φk

k=1

cos φn−2 r2 r · sen φ1 cos φ1 · . sen φn−2 x2 x1

As´ı, finalmente, J (x1 . . . xn ) → (r φ1 . . . φn−2 θ)) = r

n−1

Ãn−2 Y

!

sen

n−k−1

φk .

k=1

Los cos φk se cancelan en forma sucesiva con un t´ermino igual que le precede en el numerador. El exponente (n − k − 1) se observa como se va generalizando ya en el segundo t´ermino del producto.

Chapter 2 Distribuciones de Contornos El´ıpticos 2.1

Introducci´ on

En el u ´ltimo tiempo se ha planteado una clase de distribuciones cuyos contornos de sus densidades tienen la misma forma el´ıptica de la distribuci´on Normal, pero adem´as contienen distribuciones de colas m´as y menos pesadas que las de ´esta. Dicha clase de distribuciones se denomina de Contornos El´ıpticos o simplemente distribuciones El´ıpticas. Las distribuciones El´ıpticas han sido estudiada por diversos autores, entre los que se encuentran los trabajos [50], [18], [49] y [12], y los m´as recientes [5] y [54], entre otros. Aunque a partir de 1970 estas distribuciones comenzaron su auge, se registran estudios anteriores, como lo son [72] y [56]. La mayor´ıa de estos trabajos, salvo los m´as recientes, son recopilados en los libros [1], [32], [31], [39] y [70], quienes entregan un adecuado tratamiento del tema. A pesar de los diversos trabajos que se han presentado hasta ahora, a´ un no se encuentran tratados diversos problemas que hasta ahora s´olo han sido abordados con la distribuci´on Normal, entre ellos la densidad de una distribuci´on El´ıptica singular, la distribuci´on F Generalizada doble no centrada y la inferencia para el coeficiente de variaci´on, entre otros. 37

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE CONTORNOS EL´IPTICOS

38

2.2 2.2.1

Distribuci´ on El´ıptica No Singular Distribuciones El´ıpticas y Esf´ ericas

Para fijar ideas, considere un vector aleatorio n-dimensional X. Ahora bien, si X ∈ IRn es un vector aleatorio con par´ametro de posici´on µ ∈ IRn , matriz de escala Σ ∈ IRn×n y con rk Σ = r ≤ n, entonces la distribuci´on de X se dice singular o no singular, dependiendo si r < n o si r = n, respectivamente. [Distribuci´on El´ıptica] Sea X ∈ IRn . Entonces, X pertenece a la familia de distribuciones El´ıpticas de par´ametros µ, Σ y φ si y s´olo si su funci´on caracter´ıstica es ψX (t) = exp(itT µ) φ(tT Σt)

(2.1)

y se denota por X ∼ ECn (µ, Σ; φ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n y φ : IRn → IR. Observe que la funci´on caracter´ıstica existe aun cuando Σ sea semidefinida positiva, es decir, cuando rk Σ = r < n, en cuyo caso la distribuci´on El´ıptica obtenida es llamada distribuci´on El´ıptica singular, la cual se tratar´a con detalle m´as adelante. Sea X ∼ ECn (µ, Σ; φ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, la densidad de X es 1

gX (X) = |Σ|− 2 f [(X − µ)T Σ−1 (X − µ)],

(2.2)

siendo f (u), con u ≥ 0, una funci´on real y que se denomina generadora de densidades. En este caso, se usa la notaci´on X ∼ ECn (µ, Σ; f ). As´ı, la condici´on necesaria para que la densidad de X exista con respecto a la medida de Lebesgue en IRn es que rk Σ = r = n, esto es, que Σ > 0, con lo cual la distribuci´on de X es no singular. Sea X ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, X puede representarse de la forma X = µ + AT Y, de modo que Y = (AT )−1 (X − µ),

´ EL´IPTICA NO SINGULAR 2.2. DISTRIBUCION

39

con Σ = AT A, A ∈ IRn×n . [Distribuci´on Esf´erica] Sea X ∼ ECn (µ, Σ; φ) con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n . Entonces, si µ = 0 y Σ = In , se dice que X se distribuye Esf´erica y se denota por X ∼ Sn (φ), esto es, Sn (φ) ≡ ECn (0, In ; φ) o Sn (f ) ≡ ECn (0, In ; f ). Sea X ∼ Sn (φ). Entonces, d

1. X = H X, ∀ H ∈ O(n). 2. ψX (t) = φ(tT t) = φ(ktk2 ), φ(u), u ≥ 0, dado como en (5.1). 3. la densidad de X puede expresarse como gX (X) = f (XT X), f (u), u ≥ 0, dado como (5.2). d

4. para XT = (X1 X2 . . . Xn ) ∼ Sn (φ), aT X = X1 ; ∀ a ∈ IRn y kak = 1. En una distribuci´on Esf´erica, para n = 1 se tienen todas las distribuciones sim´etricas en IR.

2.2.2

Representaci´ on Estoc´ astica

Sea U (n) un vector aleatorio uniformemente distribuido en la esfera unitaria en IRn , esto es, U (n) ∼ Un {X ∈ IRn kXk = 1} y que se denota por U (n) ∼ Un {EkXk=1 }, U (n) se distribuye de acuerdo a una ley Esf´erica. Sea X ∼ Sn (f ). Entonces, X admite la representaci´on estoc´astica d

X = R U (n) ,

(2.3)

donde R ≥ 0 tiene funci´on de distribuci´on GR (·) y es independiente de U (n) ∼ Un {EkXk=1 }. La distribuci´on de R es algunas veces llamada distribuci´on Radial. d

Sea X = R U (n) ∼ Sn (f ) y IP (X = 0) = 0. Entonces, d

kXk = R y

X d (n) =U , kXk

(2.4)

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE CONTORNOS EL´IPTICOS

40 de modo que

X = R U (n) = kXk ·

X . kXk

donde R ∼ GR (·) y U (n) ∼ Un {EkXk=1 } son independientes. Sea U (n) ∼ Un {EkXk=1 }. Entonces, IE(U (n) ) = 0 y Var(U(n) ) =

1 In . n

(2.5)

Sean U (n) ∼ Un {EkXk=1 } y R ∼ GR (·) independientes. Entonces, si IE(R) < ∞, IE(X) = IE(R) · IE(U (n) ) = 0.

(2.6)

Sean U (n) ∼ Un {EkXk=1 } y R ∼ GR (·), independientes. Entonces, si IE(R2 ) < ∞, V ar(X) = IE(R2 ) · V ar(U (n) ) = IE(R2 ) ·

1 In . n

(2.7)

Sea X ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, X admite la representaci´on estoc´astica d

X = µ + R AT U (n) ,

(2.8)

donde la variable aleatoria R ≥ 0 es independiente de U (n) y A ∈ IRn×n es tal que Σ = AT A. d

Sea X = µ + R AT U (n) ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n , Σ > 0, R ≥ 0 independiente de U (n) , A ∈ IRn×n y Σ = AT A. Entonces, d

Q(X) = (X − µ)T Σ−1 (X − µ) = R2 ,

(2.9)

donde R est´a dad en (5.3). Sea X no degenerada. As´ı, 1. si X ∼ ECn (µ, Σ; f ) y X ∼ ECn (µ0 , Σ0 ; f0 ), con µ, µ0 ∈ IRn y Σ, Σ0 ∈ IRn×n , entonces existe una constante real c0 > 0, tal que µ = µ0 ,

c0 Σ = Σ 0

y f0 (·) = f (c−1 0 ).

(2.10)

´ EL´IPTICA NO SINGULAR 2.2. DISTRIBUCION d

41

d

2. si X = µ + R AT U (r) = µ0 + R0 AT U (r0 ) , donde r ≥ r0 , entonces existe una constante c0 > 0, tal que µ = µ0 ,

d

−1/2

c0 AT A = AT A y R0 = c0

R br0 /2,(r−r0 )/2 ,

(2.11)

donde br0 /2,(r−r0 )/2 ≥ 0 es independiente de R y b2r0 /2,(r−r0 )/2 ∼ Beta(r0 /2, (r − r0 )/2), si r > r0 y br0 /2,(r−r0 )/2 ≡ 1 si r = r0 . En lo posterior se usar´a indistintamente la notaci´on X ∼ ECn (µ, Σ; f ) o X ∼ ECn (µ, Σ; φ), seg´ un convenga, lo mismo ocurrir´a con las distribuciones Esf´ericas.

2.2.3

Distribuciones Marginales

Sea X ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n , Σ > 0, B ∈ IRn×m y γ ∈ IRm . Entonces, Z = γ + BT X ∼ ECn (BT µ + γ, BT Σ B; f ).

(2.12)

Sea X ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn ,Σ ∈ IRn×n , Σ > 0 y considere la partici´on de X, µ y Σ dada por













X1   µ1   Σ11 Σ12  X=  , µ =  , Σ =   X2 µ2 Σ21 Σ22

(2.13)

donde X1 , µ1 ∈ IRm y Σ11 ∈ IRm×m . Entonces, X1 ∼ ECm (µ1 , Σ11 ; f ) y X2 ∼ EC(n−m) (µ2 , Σ22 ; f ).

2.2.4

Distribuciones Condicionales ³

Sea X = XT1 XT2

´T

, donde X ∈ IRn , X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn−m . Se est´a interesado en la

distribuci´on condicional de X1 dado X2 = x0 . d

Sea X = R U (n) ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, la distribuci´on condicional de X1 dado X2 = x0 viene dada por (X1 / X2 = x0 ) ∼ ECm (0, I; fm ),

(2.14)

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE CONTORNOS EL´IPTICOS

42

cuya representaci´on estoc´astica es d

³

(X1 / X2 = x0 ) = R kx0 k2

´

U (m) ,

(2.15)

donde R(·) y U (m) son independientes y ´

³

d

³

´

1

R kx0 k2 = (R2 − kx0 k)2 ) 2 / X2 = x0 .

(2.16)

d

Sea X = µ + RAT U (n) ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n , Σ > 0 y considere la misma partici´on de X, µ y Σ dada en (5.13). Entonces, d

(X1 / X2 = x0 ) = µ1.2 + Rq(x0 ) AT11.2 U (n) ∼ ECm (µ1.2 , Σ11.2 , f ),

(2.17)

donde µ1.2 = µ1 + Σ12 Σ−1 22 (x0 − µ2 ), Σ11.2 = Σ11 − Σ12 Σ−1 22 Σ21 , q(x0 ) = (x0 − µ2 )T Σ−1 22 (x0 − µ2 ) y Σ11.2 = AT11.2 A11.2 . Adem´as, para todo a ≥ 0, Ra2 es independiente de U (m) y admite la representaci´on estoc´astica d

³

1

´

Rq(x0 ) = (R2 − q(x0 )) 2 / X2 = x0 .

2.2.5

(2.18)

Momentos

Si X ∼ Nn (µ, Σ), con µ ∈ IRn y Σ ∈ IRn×n , se sabe que IE(X) = µ y V ar(X) = Σ. En el caso de las distribuciones El´ıpticas no siempre existen estos momentos (por ejemplo la distribuci´on de Cauchy). d

Sea X = R U (n) ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n , Σ > 0 y R independiente de U (n) . Entonces, si IE(R) < ∞ y IE(R2 ) < ∞, el primer y segundo momento de X existen.

´ EL´IPTICA NO SINGULAR 2.2. DISTRIBUCION

43

d

Sea X = R U (n) ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n , Σ > 0 y R independiente de U (n) , IE(R) y IE(R2 ) < ∞. Entonces, IE(R2 ) IE(X) = µ y V ar(X) = · Σ. rk Σ

Como se vio en el Teorema 5.62, en una distribuci´on El´ıptica la matriz de covarianzas, Σ0 , es proporcional al par´ametro Σ de su distribuci´on y en general no es igual a ´este. Sean X ∼ ECn (µ, Σ; φ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n y Σ > 0, una distribuci´on no degenerada y Mk el k-´esimo momento de X. Entonces, 1. M1 (X) = µ. 2. M2 (X) = µµT − 2φ0 (0)Σ

y

V ar(X) = −2φ0 (0)Σ.

3. M3 (X) = µµT µ − 2φ0 (0)[µΣ + Σµ + vec(Σ)µT ], si ellos existen, donde es el producto Kronecker de dos matrices definido anteriormente. Cuando la matriz de covarianzas Σ0 de X ∼ ECn (µ, Σ; φ) existe, al considerar Σ como Σ0 s´olo se tiene un caso particular; la igualdad se cumple si se elige φ de manera que −2φ(0) = 1, esto es, cuando X ∼ Nn (µ, Σ).

2.2.6

Caracterizaciones de Normalidad

La distribuci´on Normal pertenece a la clase de distribuciones El´ıpticas. A continuaci´on se presentan ciertas propiedades de esta distribuci´on, las que no pueden extenderse a otras distribuciones El´ıpticas, caracterizando as´ı a la distribuci´on Normal. Sea X ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, X tiene una distribuci´on Normal si y s´olo si Q(X) = (X − µ)T Σ−1 (X − µ) ∼ χ2 (n). El resultado anterior de debe a que la relaci´on entre f y F es uno-a-uno. Sea X ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn y Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, cualquier distribuci´on marginal es Normal si y s´olo si, X se distribuye normalmente.

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE CONTORNOS EL´IPTICOS

44

Sea X ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n y Σ = diag(σii ), i = 1, ..., n. Entonces, las siguientes proposiciones son equivalentes 1. X se distribuye normalmente. 2. las componentes de X son independientes. 3. Xi y Xj (1 ≤ i < j ≤ n) son independientes. Sea X = (XT1 XT2 )T ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n , Σ > 0 y X1 ∈ IRm . Entonces, X1 / X2 = x0 se distribuye normalmente con probabilidad 1 si y s´olo si X se distribuye normalmente.

2.2.7

Distribuci´ on Invariante

Un aspecto importante de las distribuciones Esf´ericas es el siguiente. Cuando se est´a interesados en hallar sus distribuciones t o F asociadas, se observa que ´estas son invariantes bajo cualquiera de ellas. As´ı, haciendo uso de la representaci´on estoc´astica que admiten las distribuciones Esf´ericas, se muestra que las distribuciones de los estad´ısticos T y F son independientes de la variable aleatoria R, lo cual las hace invariantes. As´ı, si X = (X1 · · · Xn )T , con X ∈ IRn , entonces n X ¯ = 1 Xi = 1 1T X, X n i=1 n

y S=

n X

¯ 2 = XT DX, (Xi − X)

(2.19)

i=1

de modo que 2 Sn−1 =

donde D = In −

S n−1

S , n

y Sn2 =

(2.20)

1 T 11 y 1 = (1 . . . 1)T ∈ IRn . n

Algunos estad´ısticos muy u ´tiles en an´alisis univariado son T =

√

n

¯ X Sn−1

←→

T =

√

n−1

¯ X Sn

(2.21)

y F =

k XC1 X , r XC2 X

(2.22)

´ EL´IPTICA NO SINGULAR 2.2. DISTRIBUCION

45

donde C1 y C2 con proyecciones ortogonales, tales que rk C1 = r y rk C2 = k y C1 C2 = 0. Por otro lado, se sabe que T ∼ t(n − 1) y F ∼ F (r, k), cuando X ∼ Nn (0, In ). Se desea demostrar que este resultado es invariante cuando X ∼ Sn (f ). En efecto, considere la funci´on real-valorada h(·) definida por h(X) =

√

n

µ

1 T 1 X n

¶1

1 XT DX n−1

.

2

Entonces, d

T = h(X) = h(R U (n) ) =

√

n

µ

1 T 1 R U (n) n 1 R2 U T n−1

(n) D

¶1

U (n)

=

2

√

n

µ

1 T (n) 1 U n 1 UT n−1

(n) D

¶1

U (n)

,

2

(2.23)

cuya distribuci´on es independiente de R, de modo que lo anterior es v´alido para toda la clase de distribuciones Esf´ericas, es decir, la distribuci´on t centrada generalizada es invariante bajo distribuciones Esf´ericas, coincidiendo por tanto con la distribuci´on t centrada tradicional. An´alogamente, F ∼ F (r, k) para toda distribuci´on Esf´erica, con lo cual la distribuci´on F centrada generalizada es tambi´en invariante bajo leyes Esf´ericas. En general entonces, se puede plantear el siguiente teorema. Sea X ∼ Sn (f ). Entonces, la distribuci´on del estad´ıstico t(X) es invariante bajo leyes Esf´ericas si t(αX) = t(X), ∀ α > 0.

2.2.8

Distribuciones El´ıpticas Particulares

A continuaci´on se dan ejemplos de algunas distribuciones El´ıpticas y Esf´ericas.

(2.24)

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE CONTORNOS EL´IPTICOS

46

[Distribuci´on t-multivariada] Una distribuci´on Esf´erica particular es la distribuci´on tmultivariada. As´ı, si X ∼ tn (0, In ; ν), entonces su densidad viene dada por Γ

gX (X) =

Γ

³

ν+n 2

³ ´ n 2

´

à n

(πν) 2

XT X 1+ ν

!− ν+p 2

,

esto es, dicha densidad puede expresarse como gX (x) = f (XT X), donde T

f (X X) =

³

Γ

Γ

³ ´ n 2

es decir,

ν+n 2

´

Ã

(π ν)

n 2

µ

u f (u) = 1 + ν

XT X 1+ ν

!− ν+p 2

,

¶− ν+p 2

,

con lo cual se observa que la distribuci´on t-multivariada pertenece a la clase Esf´erica de distribuciones. [Distribuci´on de tipo Kotz] Para r, s > 0 y 2m + n > 2, la densidad de X es gX (u) = f (u) = s π

−n 2

r

2m+n−2 2s

Γ

³

³ ´

n 2 ´ tm−1 2m+n−2 2s

Γ

exp(−r us ),

(2.25)

la que pertenece a la familia de distribuciones. Particularmente, la distribuci´on Normal multivariada es un caso especial cuando m = 1, s = 1 y r = 1/2. [Distribuci´on de Pearson tipo VII] Si X ∼ PnV III (m, s), con m > n/2 y s > 0, entonces su densidad es −n 2

gX (u) = f (u) = (s π)

µ

Γ(m)

³

Γ m−

n 2

´

u 1+ s

¶m

,

m>

n , s > 0, 2

(2.26)

la que forma parte de distribuciones El´ıpticas. A su vez, esta familia incluye a la distribuci´on t-multivariada. Recuerde que si X ∼ Nn (0, Σ), Σ > 0 e Y ∼ χ2 (m), X e Y independientes. √ Entonces, la distribuci´on de T = ( m X)/Y se denomina distribuci´on t-multivariada (Johnson and Kotz [47]) y es un caso especial de (5.25) cuando m = (n + s)/2. Cuando m = 1, la correspondiente distribuci´on se llama distribuci´on de Cauchy multivariada.

´ EL´IPTICA NO SINGULAR 2.2. DISTRIBUCION

47

[Distribuci´on Uniforme en la Esfera Unitaria en IRn ] Sea X ∼ Un {EkXk=1 }. Considere la densidad ³ ´   Γ n2     n    π2

n X

; si

i=1

pX (X) =        

0

x2i ≤ 1 .

; en otro caso

d

Se sabe que HX = X, ∀ H ∈ O(n) y que la distribuci´on Uniforme en la esfera unitaria pertenece a la clase de distribuciones El´ıpticas en IRn . Entonces, X puede representarse d

estoc´asticamente como X = R U (n) . As´ı, la densidad de R = kXk es

gR (r) =

´ ³  n n+2 2Γ  2π  2   ³ ´ n r n−1 = n r n−1   n   Γ 2 π2        

; si 0 ≤ r ≤ 1 .

0

; en otro caso

[Distribuci´on de Laplace o Bessel generalizada] Si X tiene una distribuci´on de Laplace generalizada, entonces tiene densidad n 2

µ

gX (u) = f (u) = 2a+n−1 π β n Γ a +

n 2

¶

 

1 2

a



1 2



u  u Ka   , β β

n a > − , β > 0, 2

(2.27)

donde Ka (·) denota a la funci´on de Bessel modificada de tercer tipo, es decir Ka (z) = e Ia (z) =

π (I−a (z) − Ia (z)) , 2 sen(aπ)

∞ X

1 k=0 k! Γ(k + a + 1)

| arg z| < π, a = 0, ±1, ±2, ...

µ ¶a+2k

z 2

,

|z| < ∞, | arg z| < π,

la cual pertenece a la familia de distribuciones El´ıpticas. [Distribuciones El´ıpticas n-variantes] Tabla 1 Densidades o funciones caracter´ısticas de las distribuciones El´ıpticas que se mencionan.

CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE CONTORNOS EL´IPTICOS

48 Ley El´ıptica

f (u), con u = XT X o φ(v), con v = tT t

Kotz

f (u) = c um−1 exp(−rus ); r, s > 0, 2m + n > 2.

Normal multivariada

f (u) = c exp(− 12 u).

Pearson tipo VII (P V II )

f (u) = c 1 +

t-multivariada

f (u) = c 1 +

Cauchy

f (u) = c 1 +

Pearson tipo II (P II )

f (u) = c (1 − u)−m , m > 0.

Log´ıstica

f (u) = c exp(−u) (1 − exp(−u))−2 .

³

´−m

, s > 0, m > n2 .

h

³ ´i− ν+n

h

³ ´i− ν+1

Z∞

Mezcla de Normales

u s

f (u) = c 0

u s

2

u s

2

µ

u v exp − 2v n 2

, s, ν > 0. , s, ν > 0.

¶

dF (v), F = F D.

α

Leyes Estables

φ(u) = exp(r u 2 ), 0 < α ≤ 2, r < 0.

Uniforme multivariada

φ(u) =

0 F1

³

n ; − u4 2

´

.

Donde c > 0 es una constante de normalizaci´on que var´ıa dependiendo de cada distribuci´on, algunas de las cuales ya se han planteado expl´ıcitamente en los ejemplos anteriores. d

[Distribuci´on de R2 ] Sea X ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n , Σ > 0 y X = R U (n) , d

donde R = kXk y es independiente de U (n) ∼ Un {EkXk=1 }. Entonces, haciendo uso del Corolario 5.53 se tiene que 1. si R2 ∼ χ2 (n), esto es equivalente a decir que X ∼ Nn (0, In ). 2. si R2 ∼ n−1 Fν,n , esto es equivalente a decir que X ∼ tn (0, In ; ν). 3. si R2 ∼ Beta( n2 , ν + 1), esto es equivalente a decir que X ∼ PnII (0, In ; ν).

Chapter 3 Distribuci´ on de Formas Cuadr´ aticas

3.1

Introducci´ on

La distribuci´on de formas cuadr´aticas y lineales, y expresiones relacionas, obtenidas a partir de distribuciones El´ıpticas, fueron estudiadas y publicadas en [11], [34] y [4], entre otros, y posteriormente presentadas en los libros de [1] y [39], entre otros. Estas distribuciones corresponden a las distribuciones χ2 , t y F obtenidas bajo distribuciones El´ıpticas. Las distribuciones t y F obtenidas a partir de distribuciones El´ıpticas se denominan distribuciones t y F generalizadas. Sin embargo, si el par´ametro de posici´on ν de la ley El´ıptica es igual a cero, entonces las distribuciones t y F generalizadas coinciden con las distribuciones t y F obtenidas bajo normalidad, esto es, estas distribuciones son invariantes bajo leyes El´ıpticas cuando ν = 0 (vea [32, p.67]). Por otro lado, las distribuciones t y F generalizadas no centradas dependen de la ley El´ıptica particular bajo la cual fueron obtenidas. Asimismo, las distribuciones t y F generalizadas doble no centradas, an´alogas a las del caso Normal, dependen tambi´en de la ley El´ıptica asociada. 49

´ DE FORMAS CUADRATICAS ´ CHAPTER 3. DISTRIBUCION

50

3.2 3.2.1

Distribuci´ on Chi-cuadrado Generalizada Introducci´ on

Recuerde que si X ∼ Nn (0, In ), entonces U = XT X ∼ χ2 (n) y tiene densidad gU (u) =

1 n 2

2 Γ

1 2

n

³ ´ u 2 −1 exp(− u); n 2

u ≥ 0.

(3.1)

An´alogamente, si X ∼ Nn (µ, In ), con µ ∈ IRn , µ 6= 0, entonces U = XT X ∼ χ2 (n, δ), con δ = (1/2)µT µ, cuya densidad es 1

n

+k−1 ∞ k exp(− u) X δ exp(−δ) u 2 2´ ; ³ gU (u) = n k=0

k!

2 2 +k Γ

n 2

+k

u > 0,

(3.2)

es decir, una suma ponderada infinita de densidades χ2 (n + 2k) centradas, cuyos factores de ponderaci´on vienen dados por una ley de Poisson de par´ametro δ = (1/2)µT µ. Esta u ´ltima llamada distribuci´on chi-cuadrado no centrada con par´ametro de no centralidad dado por δ = (1/2)µT µ. De la misma forma, si X ∼ Nn (µ, Σ), con µ ∈ IRn , µ 6= 0, Σ ∈ IRn×n y Σ > 0, entonces U = XT Σ−1 X ∼ χ2 (n, δ), con δ = (1/2)µT Σ−1 µ, cuya densidad es la misma que en el caso anterior haciendo la correspondiente adaptaci´on en el par´ametro de no centralidad.

3.2.2

Distribuci´ on Chi-cuadrado Generalizada Centrada y No Centrada

A continuaci´on se presenta la distribuci´on chi-cuadrado generalizada no centrada antes que su distribuci´on centrada equivalente, ya que esta u ´ltima es s´olo un caso particular de la no centrada, obteniendo ambas distribuciones bajo no singularidad de la ley El´ıptica asociada. [Distribuci´on Gχ2 no centrada] Sea X ∼ ECn (µ, In ; f ), con µ ∈ IRn y µ 6= 0. Entonces, U = XT X ∼ Gχ2 (n, δ; f ), con δ = (1/2)µT µ y tiene densidad dada por gU (u) =

π Γ

³

n−1 2

n−1 2

n

Zπ

´ u 2 −1

f (u − 2γ u(1/2) cos φ + γ 2 ) senn−2 φ1 dφ1 ; 0

u > 0,

(3.3)

´ CHI-CUADRADO GENERALIZADA 3.2. DISTRIBUCION

51

donde γ 2 = µT µ = 2δ. Demostraci´ on. Sean X ∼ ECn (µ, In ; f ), con µ ∈ IRn , µ 6= 0 e Y = H X ∼ ECn (ν, In ; f ), con H ∈ O(n); ν = (kµk 0 . . . 0)T y kµk =

q

(µT µ) =

qP n

i=1

µ2i . Note que

kYk = kH Xk = (XT H T HX)(1/2) = (XT X)(1/2) = kXk. De esta manera, como gY (Y) = f ((Y − ν)T (Y − ν)) donde

T 



 y1 − kµk      y   2 T   (Y − ν) (Y − ν) =  .    ..



 y1 − |µk        y2 ,    .   ..  

   

 

yn

yn se obtiene que (Y − ν)T (Y − ν) = (y1 − kµk)2 +

n X

yi2

i=2

= y12 − 2y1 kµk + kµk2 +

n X

yi2

i=2

=

n X

yi2 + kµk2 − 2y1 kµk.

i=1

As´ı, gY (Y) = f

à n X

!

yi2

2

+ kµk − 2y1 kµk .

i=1

Considere la t.c.e.g. y el cambio de variables Y1

= r cos φ1 

= r

Yj Yn−1 Yn ∞ X k=0

= r = r

j−i Y

k=1 Ãn−2 Y k=1 Ãn−2 Y



sen φk  cos φj ; 1 ≤ j ≤ n − 2 !

sen φk

cos θ

; 0 ≤ φk ≤ π, 1 ≤ k ≤ n − 2

sen θ

; 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r < ∞

!

sen φk

k=1

Yi2 = kY k2 = r2 = U

,

´ DE FORMAS CUADRATICAS ´ CHAPTER 3. DISTRIBUCION

52

de modo que el Jacobiano de la transformaci´on de Y = (Y1 . . . Yn )T a Z = (r φ1 . . . φn−2 θ)T viene dado por J = J ((Y1 . . . Yn ) → (r φ1 . . . φn−2 θ)) = r

Ãn−2 Y

n−1

! n−k−1

sen

φk .

k=1

De este modo gZ (r, φ1 , . . . , φn−2 , θ) = gY (z) · |J| ³

2

´

2

= f r + kµk − 2r cos φ1 kµk r

n−1

Ãn−2 Y

!

sen

n−k−1

φk .

k=1

Obtenga ahora la densidad de r = kXk = kYk Zπ

gr (r) =

Zπ Z2π

···

gZ (r, φ1 , . . . , φn−2 , θ) dθ dφ1 · · · dφn−2

0

0

0

rn−1 2π π

=

³

Γ

n−1 2

2 rn−1 π

=

Γ

³

n−1 −1 2

n−1 2

´

f r2 + kµk2 − 2r kµk cos φ1

´

senn−2 φ1 dφ1

0

n−1 2

´

Zπ ³

Zπ ³

f r2 + γ 2 − 2r γ cos φ1

´

senn−2 φ1 dφ1 ,

0

donde γ 2 = kµk2 . Considere ahora el cambio de variables u = r2 −→ r =

√

u,

cuyo jacobiano es J=

dr 1 = √ , du 2 u

de modo que √ gU (u) = gr ( u) |J| √ 1 = gr ( u) √ 2 u = =

2 (u(1/2) )n−1 π Γ π Γ

³

n−1 2

n−1 2

³

n−1 2 n

´

n−1 2

Zπ

´ u 2 −1

µ

³

1 2 u(1/2)

¶ Zπ

³

´

f u − 2 γ u(1/2) cos φ1 + γ 2 senn−2 φ1 dφ1 0

´

f u − 2 γ u(1/2) cos φ1 + γ 2 senn−2 φ1 dφ1 ; 0

u > 0,

´ CHI-CUADRADO GENERALIZADA 3.2. DISTRIBUCION

53

con γ 2 = µT µ = kµk2 = 2δ. Por tanto U = XT X = kXk2 = r2 ∼ Gχ2 (n, δ), donde δ = (1/2)µT µ = kµk2 es el par´ametro de no centralidad de la distribuci´on. [Distribuci´on Gχ2 centrada] Sea X ∼ Sn (f ). Entonces, U = XT X ∼ Gχ2 (n; f ) y su densidad es

n

π2

gU (u) =

Γ

n

³ ´ u 2 −1 f (u);

u > 0.

n 2

(3.4)

Demostraci´ on. Considere el Teorema 2.79 y reemplace en la expresi´on (3.2.3) γ = kµk = 0, de modo que µ = 0 (caso centrado). Entonces, gU (u) = = =

π

³

Γ

π

³

Γ

π Γ

³

n−1 2

n−1 2 n−1 2

n−1 2 n−1 2

´ u

n −1 2

Zπ

f (u) senn−2 φ1 dφ1 0

´ u

n −1 2

Zπ

senn−2 φ dφ

f (u) 0

n

n−1 2

´ u 2 −1 f (u) In .

La integral In es v´alida para toda distribuci´on El´ıptica y en particular para la distribuci´on Normal y en ese caso

µ

¶

u 1 − , f (u) = n exp 2 (2π) 2 obteniendo gU (u) = =

π Γ

³

n−1 2

n−1 2

´ u

1 n

1

22 π2 Γ

³

n −1 2

n−1 2

Ahora bien, como gU (u) es densidad entonces Z∞

1 =

gU (u) du 0

µ

u 1 − n exp 2 (2π) 2

´ u

n −1 2

µ

u exp − 2

¶

In ¶

In .

´ DE FORMAS CUADRATICAS ´ CHAPTER 3. DISTRIBUCION

54

Z∞

=

1 n

0

1

22 π2 Γ n

1

n−1 2

µ ¶ n u ´ u 2 −1 exp − In du

2

Z∞

1

= In

³

22 π2 Γ

³

n−1 2

u

´

n −1 2

0

µ

u exp − 2

¶

du.

Usando ahora la funci´on Gamma se tiene Z∞

u

n −1 2

0

µ

u exp − 2

¶

du =

y por tanto 1

In =

³

Γ

³ ´

1 n ( )2 2

n−1 2 ³ ´ n Γ 2

π2 Γ

n 2

n 2

=2 Γ

µ ¶

n 2

´

As´ı, finalmente n

gU (u) =

π2 Γ

³ ´ u n 2

n−1 2

f (u);

u>0

y U = YT Y ∼ Gχ2 (n).

Note que la densidad dada en el Teorema 2.79 est´a expresada en t´erminos de una integral. En Teng, Fang y Deng [80] puede verse como esta densidad es expresada en t´erminos de las derivadas de la funci´on f , usando expansi´on en serie de Taylor de dicha funci´on. A continuci´on se da la demostraci´on de ese resultado. [Densidad Gχ2 no centrada en funci´on de las derivadas de f ] Sea U ∼ Gχ2 (n, δ; f ), 1 δ = µT µ y f expandible en serie de Taylor en IR. Entonces, una forma alternativa de 2 expresar la densidad de U es gU (u) =

n

∞ X

γ 2k π 2

k=0

n 2

k! Γ

³

+k

n

´ u 2 +k−1 f (2k) (u + γ 2 );

donde γ 2 = 2δ = µ0 µ y f (2k) (·) es la 2k-´esima derivada de f (·).

u > 0,

(3.5)

´ CHI-CUADRADO GENERALIZADA 3.2. DISTRIBUCION

55

Demostraci´ on. Sea U ∼ Gχ2 (n, δ; f ), con δ = (1/2)µT µ. Entonces su densidad viene dada por gU (u) =

π Γ

³

n−1 2

n−1 2

´ u

Zπ

n −1 2

f (u + γ 2 − 2u(1/2) γ cos φ) senn−2 φ dφ. 0

Considere el cambio de variable y = u(1/2) −→ u = y 2 , cuyo jacobiano es dy = 2y, du

J= tal que gU (y) = =

2π Γ

³

n−1 2

2π Γ

³

Zπ

n−1 2

´ y n−1

f (y 2 + γ 2 − 2 y γ cos φ) senn−2 φ dφ 0

n−1 2

n−1 2

´ y n−1 In ;

u > 0, γ 2 = 2δ.

Considere el desarrollo en serie de Taylor en IR dado por f (v) =

∞ X al l=0

l!

vl ,

procediendo an´alogamente a Anderson y Fang [1, p´ag. 85], se obtiene Zπ

f (y 2 + γ 2 − 2y γ cos φ) senn−2 φ dφ

In = 0

=

Zπ "X ∞ al 0

=

l=0

π ∞ X al Z l=0

√

=

l!

l!

# 2

l

(y + γ − 2y γ cos φ)

senn−2 φ dφ

(y 2 + γ 2 − 2y γ cos φ)l senn−2 φ dφ

0

µ

2

π n−1 Γ 2 2

¶ X ∞ k=0

γ 2k

³

k! Γ k +

n 2

´ y 2k f (2k) (y 2 + γ 2 )

(3.6)

´ DE FORMAS CUADRATICAS ´ CHAPTER 3. DISTRIBUCION

56 con lo cual gU (y) = = =

2π Γ

³

n−1 2

2π Γ

³

∞ X k=0

n−1 2

´ y n−1 In √

n−1 2

n−1 2

´ y n−1

γ

2k

³

π

n 2

k! Γ k +

µ

π n−1  Γ 2 2 n 2

¶ X ∞ k=0



γ 2k

³

k! Γ k +

´ y n+2k−1 f (2k) (y 2 + γ 2 ),

n 2

´ y 2k f (2k) (y 2 + γ 2 )

u > 0,

donde γ 2 = µT µ = 2δ y f (2k) (·) es la 2k-´esima derivada de f (·) respecto de u. La expresi´on (2.17) s´olo es posible cuando la funci´on generadora de densidades, f , es expandible en serie de Taylor, lo cual ocurre cuando existen los momentos de dicha distribuci´on. Por tanto, este uso est´a limitado para aquellas distribuiones El´ıpticas que posean momentos (por ejemplo, esta representaci´on no es posible para la distribuci´on de Cauchy). Este hecho justifica la existencia de las dos expresiones para la densidad.

3.3 3.3.1

Distribuci´ on t Generalizada Introducci´ on

La distribuci´on t generalizada (Gt) juega un papel similar a la distribuci´on t bajo la teor´ıa de inferencia Normal. Como se ha mencionado, la distribuci´on Gt es la distribuci´on de T =s

X1 XT2 X2 n

=

√

X1 nq , XT2 X2

cuando X = (X1 XT2 )T tiene una distribuci´on El´ıptica. La notaci´on ECn+1 (µ, Σ; f ) sigue siendo v´alida, tanto bajo singularidad como no singularidad de la distribuci´on, tal como se menciona anteriormente. Recuerde que si X = (X1 XT2 )T ∼ Nn+1 (0, In+1 ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn , entonces T =

√

X1

nq

XT2 X2

∼ t(n)

´ T GENERALIZADA 3.3. DISTRIBUCION y tiene densidad n

gT (t) =

³

57

´

n+1 2 ³ ´ π (1/2) Γ n2

n2 Γ

(n + t2 )−

n+1 2

;

t ∈ IR.

(3.7)

An´alogamente, si X = (X1 XT2 )T ∼ Nn+1 (µ, In+1 ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; µT = [µ1 0], µ1 ∈ IR y µ1 6= 0, entonces T =

√

X1

nq

XT2 X2

con δ = µ1 y su densidad es gT (t) =

Γ

³ ´ n 2

n

Ã

n 2

(n + t2 )

³ ´ k ! ∞ n+k+1 Γ δ k 2 2 tk X δ 2 2

exp −

n+1 2

∼ t(n, δ),

2

k

k=0

k!(n + t2 ) 2

;

t ∈ IR.

(3.8)

Esta u ´ltima llamada distribuci´on t no centrada con par´ametro de no centralidad dado por δ = µ1 . De la misma forma, si X = (X1 XT2 )T ∼ Nn+1 (µ, Σ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; µ = [µ1 0]T , µ1 ∈ IR y µ1 6= 0; Σ ∈ IRn×n y dada por



Σ= 



σ12 0

0  , Σn

Σn ∈ IRn×n y Σn > 0, entonces T =

√

X1 nq ∼ t(n, δ), XT2 Σ−1 X2

con δ = µ1 /σ1 .

3.3.2

Distribuci´ on t Generalizada Centrada y No Centrada

Haciendo uso de la invarianza de la distribuci´on Gt bajo leyes Esf´ericas se presenta el siguiente resultado, a continuaci´on de ´el se plantea la distribuci´on t generalizada no centrada bajo no singularidad de la ley El´ıptica. [Distribuci´on Gt centrada] Sea X = (X1 XT2 )T ∼ Sn+1 (f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn . Entonces, T =

√

X1

nq

XT2 X2

∼ Gt(n; f ),

´ DE FORMAS CUADRATICAS ´ CHAPTER 3. DISTRIBUCION

58

la cual coincide con la del caso de una distribuci´on Normal, esto es, Gt(n; f ) ≡ t(n), ∀f . [Distribuci´on Gt no centrada] Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1 (µ, In+1 ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRn+1 , µ = [µ1 0]T , µ1 ∈ IR y µ1 6= 0. Entonces, T =

√

X1

nq

∼ Gt(n, δ; f ),

XT2 X2

con δ = µ1 y su funci´on de densidad viene dada por n

gT (t) =

2(nπ) 2 Γ

2 − n+1 2

Z∞

f (y 2 − 2δ1 y + δ 2 ) y n dy;

³ ´ (n + t ) n 2

t ∈ IR

(3.9)

0

donde δ es par´ametro de no centralidad y δ1 =

tδ . (n + t2 )(1/2)

Demostraci´ on. Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1 (µ, In+1 ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRn+1 , µ = [µ1 0]T , µ1 ∈ IR y µ1 6= 0. Entonces su densidad es gX (X) = f ((X − µ)T (X − µ)) donde



T 

 x 1 − µ1         x    2 T    (X − µ) (X − µ) =  .    ..    

   

xn+1 As´ı, gX (X) = f

Ãn+1 X



x 1 − µ1    n+1 X x2   = (x1 − µ1 )2 + x2i ,  ..  i=2 .  

xn+1 !

x2i + (x1 − µ1 )2 = h

i=2

Ãn+1 X

!

x2i = h(u),

i=2

esto es, la densidad anterior es funci´on de

n+1 X

x2i , de modo que es posible aplicar el Lema

i=2

2.4.5 (vea [32], p´ag. 53) que para nuestro caso particular se reduce a lo siguiente y teniendo q

presente que kX2 k =

XT2 X2 = R y U = R2 , tal que dU = 2R dR.

I(n) =

Z∞ Ãn+1 X

h

0

i=2

!

x2i

n Y

dxk

k=1

´ T GENERALIZADA 3.3. DISTRIBUCION Z∞

n

π2

=

Γ

n 2

Γ Γ

n 2

Γ

n

f (u + (x1 − µ1 )2 ) u 2 −1 du 0

Z∞

n 2

n 2

n

f (r2 + (x1 − µ1 )2 ) r2( 2 −1) (2r dr)

³ ´

2π

=

0

Z∞

n 2

³ ´

π

=

n

h(u) u 2 −1 du

³ ´

π

=

59

0

Z∞

n 2

f (r2 + (x1 − µ1 )2 ) rn−1 dr

³ ´ n 2

0

Sea l(·) Borel medible tal que, IE(l(X1 , R)) < ∞ y recuerde que T =

√

X1 R

n

−→

R=

√

n

X1 , T

cuyo jacobiano es J=

dX1 √ 1 = n . dT R

Entonces IE(T ) = IE(l(X1 , R)) Z∞ Z∞

n

= = =

2π 2 Γ

n 2

2π Γ

−∞ 0 Z∞ Z∞

n 2

Ã√

³ ´ n 2

2π Γ

l(x1 , r) rn−1 f (r2 + (x1 − µ1 )2 ) dr dx1

³ ´

−∞ 0 Z∞ Z∞

n 2

tr

³ ´

= √ = √ = √

n 2

2π nΓ 2π nΓ 2π nΓ

n 2

n 2

−∞ 0 Z∞ Z∞

tr f r + − µ1 n(1/2) "

µ

2

−∞ 0 Z∞ Z∞

Ã

dr

r √ dt n

dr dt

tr f

!

2

Ã

!

¶2 #

t2 r 2 2t r tr f r + − (1/2) µ1 + µ21 n n n

−∞ 0

¶2 #

Ã

n

³ ´ n 2

µ

2

tr − µ1 tr f r + n(1/2)

³ ´ n 2

rn−1 f (r2 + (x1 − µ1 )2 ) dr dx1

n

³ ´

n 2

!

"

n−1

−∞ 0 Z∞ Z∞ n 2

n x1 r

(t2 + n) r2 2t r µ1 − (1/2) + µ21 n n

dr dt

!

dr dt

´ DE FORMAS CUADRATICAS ´ CHAPTER 3. DISTRIBUCION

60

As´ı, al hacer el cambio de variable Ã

y=

t2 + n n

cuyo jacobiano es dr J= = dy

Ã

!(1/2)

r,

t2 + n n

!−(1/2)

y reemplazando adecuadamente lo anterior y δ = µ1 , δ1 = (tδ)/(n + t2 )(1/2) en (3.3), se obtiene finalmente que gT (t) = √ = √

nΓ 2π nΓ

Ã

Z∞

n

2π 2

n

r f

³ ´ n 2

n 2

0

Ã

³ ´ n 2

!− n Z∞ 2

t2 + n n

=

Γ

2

y f y − 2δ1 y + δ

2 − n+1 2

dr 2

´

Ã  !−(1/2) 2 t + n  dy 

n

Z∞

f (y 2 − 2δ1 y + δ 2 ) y n dy;

³ ´ (n + t ) n 2

³

n

!

0

n

2(nπ) 2

(t2 + n) r2 2t r δ − (1/2) + δ 2 n n

t ∈ IR

0

donde δ = µ1 el par´ametro de no centralidad de la distribuci´on Gt no centrada con (n − 1) g.l. y δ1 = (tδ)/(n + t2 )(1/2) . Sea T ∼ Gt(n, δ; f ). Entonces, si δ = 0 la densidad de una distribuci´on t generalizada no centrada coincide con la densidad de una distribuci´on t centrada. Demostraci´ on Sea T ∼ Gt(n, δ; f ). Entonces, su densidad es n

gT (t) =

2(nπ) 2 Γ

2 − n+1 2

Z∞

f (y 2 − 2δ1 y + δ 2 ) y n dy,

³ ´ (n + t ) n 2

0

si δ = 0 (caso centrado), se obtiene n

gT (t) = =

2(nπ) 2 Γ

Z∞

f (y 2 ) y n dy

³ ´ (n + t ) n 2

2(nπ) Γ

2 − n+1 2

(3.10)

0 n 2

³ ´ (n + t2 )− n 2

n+1 2

I(n).

(3.11)

La integral I(n) es v´alida para toda distribuci´on El´ıptica y en particular para la distribuci´on Normal, en cuyo caso f (u) =

µ

1 (2π)

n+1 2

exp −

u 2

¶

´ T GENERALIZADA 3.3. DISTRIBUCION

61

y as´ı se tiene Z∞

I(n) =

y 0

n

Ã

1 (2π)

n+1 2

!

y2 exp − 2

dy =

(2π)

Ã

Z∞

1

y

n+1 2

n

0

y2 exp − 2

Considere ahora el cambio de variable x = y 2 −→ y =

√

x,

cuyo jacobiano es J=

dy 1 =− √ dx 2 x

1 √ , 2 x

y |J| =

con lo cual I(n) = = = =

(2π)

y

n+1 2

y2 exp − 2

n

0

Z∞

1 (2π)

Ã

Z∞

1

x

n+1 2

µ

x exp − 2

n 2

0

Z∞

1

x

n+1 2

2 (2π) 1

0

n+1 +1 2

n+1 2

2³ ´π n+1 Γ 2 = n+1 . 2π 2

n+1 −1 2

µ

!

dy

¶

1 √ dx 2 x

µ

¶

x exp − dx 2

n+1 Γ 2

¶

2

n+1 2

Finalmente gT (t) =

2(n π) Γ n

=

n 2

³ ´ n 2

³

(n + t2 ) ´

n+1 2 ³ ´ (1/2) π Γ n2

n2 Γ

− n+1 2

(n + t2 )−

Γ

³

2π n+1 2

´

n+1 2 n 1 +2 2

!

dy,

´ DE FORMAS CUADRATICAS ´ CHAPTER 3. DISTRIBUCION

62

3.4 3.4.1

Distribuci´ on F Generalizada Introducci´ on

La distribuci´on F generalizada (GF), al igual que la distribuci´on Gt, juega un papel similar a la distribuci´on F bajo la teor´ıa de Normal. Como ya se mencion´o, la distribuci´on GF es la distribuci´on de

XT1 X1 n XT1 X1 V = Tm = , X2 X2 m XT2 X2 n cuando X = (XT1 XT2 )T tiene una distribuci´on El´ıptica. La notaci´on ECm+n (µ, Σ; f ) sigue siendo v´alida, tanto bajo singularidad como no singularidad de la distribuci´on. Recuerde que si X = (XT1 XT2 )T ∼ Nm+n (0, Im+n ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn , entonces V = y su densidad es gV (v) =

Γ

Γ

³

n XT1 X1 ∼ F (m, n) m XT2 X2

m+n 2

³ ´ m 2

Γ

´

m

n

m

m 2 n 2 v 2 −1

³ ´ n 2

(m + nv)

m+n 2

;

v > 0.

(3.12)

An´alogamente, si X = (XT1 XT2 )T ∼ Nm+n (µ, Im+n ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRm+n , µ = [µ1 0]T , µ1 ∈ IRm y µ1 6= 0, entonces n XT1 X1 ∼ F (m, n; δ), V = m XT2 X2 con δ = (1/2)µT1 µ1 y cuya densidad viene dada por ³ ´ m n m m+n+2k ∞ m 2 +k n 2 v 2 +k−1 X exp(−δ) δ k Γ 2 ³ ´ ³ ´ gV (v) = m+n+2k ; k=0

k!

Γ

m 2

+k Γ

n 2

(n + mv)

v > 0,

(3.13)

2

es decir, una suma ponderada infinita (cuyos factores de ponderaci´on vienen dados por una ley de Poisson de par´ametro δ = (1/2)µT1 µ1 ) de densidades F (m + 2k, n) centradas. Esta distribuci´on es llamada F no centrada con m g.l. en el numerador, n g.l. en el denominador y par´ametro de no centralidad δ = (1/2)µT1 µ1 .

´ F GENERALIZADA 3.4. DISTRIBUCION

63

Asimismo, si X = (XT1 XT2 )T ∼ Nm+n (µ, Im+n ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRm+n , µ = [µ1 µ2 ]T , µ1 ∈ IRn y µ1 6= 0, µ2 ∈ IRm y µ2 6= 0, entonces V =

n XT1 X1 ∼ F (m, n; δ1 , δ2 ), m XT2 X2

con δ1 = (1/2)µT1 µ1 y δ2 = (1/2)µT2 µ2 y tiene densidad ³ ´ m n m m+n ∞ X ∞ Γ + k + k m 2 +k1 n 2 +k2 v 2 +k1 −1 X 1 2 exp(−δ1 − δ2 ) δ1 δ2 2 ´ ³ ´ ³ gV (v) = m+n+2k1 +2k2 ; v > 0. k1 =0 k2 =0

k1 !k2 !

Γ

m 2

+ k1 Γ

n 2

+ k2 (mv + n)

2

Esta u ´ltima es llamada la distribuci´on F doble no centrada con m g.l. en el numerador, n g.l. en el denominador y par´ametros de doble no centralidad δ1 = (1/2)µT1 µ1 y δ2 = (1/2)µT2 µ2 . Por u ´ltimo, se tiene una mayor generalizaci´on si X = (XT1 XT2 )T ∼ Nm+n (µ, Σ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRm+n , µ = [µ1 µ2 ]T , µ1 ∈ IRn y µ1 6= 0, µ2 ∈ IRm y µ2 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n) , dada por





 Σ11

Σ=

0

0  Σ22

,

con Σ11 ∈ IRm , Σ11 > 0, Σ22 ∈ IRm , Σ22 > 0, entonces n XT1 Σ−1 11 X1 V = ∼ F (m, n; δ1 , δ2 ), T m X2 Σ−1 22 X2 −1 T donde δ1 = (1/2)µT1 Σ−1 11 µ1 y δ2 = (1/2)µ2 Σ22 µ2 .

3.4.2

Distribuci´ on F Generalizada Centrada y No Centrada

De la misma forma que en el caso de la distribuci´on Gt, se usa la invarianza de la distribuci´on GF bajo leyes Esf´ericas para obtener el siguiente resultado. Posteriormente se plantea la distribuci´on GF no centrada bajo no singularidad de la ley El´ıptica. [Distribuci´on GF centrada] Sea X = (XT1 XT2 )T ∼ Sm+n (f ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn . Entonces, V =

n XT1 X1 ∼ GF(m, n; f ), m XT2 X2

´ DE FORMAS CUADRATICAS ´ CHAPTER 3. DISTRIBUCION

64

la cual coincide con la del caso de una distribuci´on Normal, esto es, GF(n, m; f ) ≡ F (m, n), ∀f .

Se presenta ahora la distribuci´on GF no centrada como caso particular de la distribuci´on GF doble no centrada, la que se presenta m´as adelante. [Distribuci´on GF no centrada] Sea XT = (X1 X2 ) ∼ ECm+n (µ, Im+n ; f ), con X1 ∈ IRm h

i

V =

n XT1 X1 ∼ GF(m, m; δ; f ), m XT2 X2

y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRm+n , µT = µT1 0 , µ1 ∈ IRm y µ1 6= 0. Entonces,

con δ = (1/2)µT1 µ1 y su funci´on de densidad viene dada por 2π

µ

n+m−1 2

m m ³ ´ ³ ´ gV (v) = v m−1 n n n Γ Γ 2 π ∞ Z Z

¶ m−2 µ

m 1+ v n

2

2

¶− m+n 2

senm−2 θ y m+n−1 f (y 2 − 2γ ∗ y cos θ + γ 2 ) dθ dy, v > 0, 0

0

(3.14) µ

donde γ ∗ =

mv n + mv

¶(1/2)

γ y γ 2 = 2δ.

Demostraci´ on. Considere la densidad de una distribuci´on F generalizada doble no centrada gV (v) =

³

2π

µ

n+m −1 2

Γ m−1 2 Zπ Zπ Z∞

´

Γ

³

n−1 2

´

m m v n n

¶ m−2 µ

m v 1+ n

2

¶− m+n 2

senm−2 θ senn−2 φ y m+n−1 f (y 2 − 2y γ1∗ cos θ + γ12 0 0

0

−2 y γ2∗ cos θ + γ22 ) dy dθ dφ µ

donde γ1∗ =

mv n + mv

¶(1/2)

µ

γ y γ2∗ =

n mv

¶(1/2) µ

1+

n mv

¶−(1/2)

.

Haciendo γ2 = 0, se obtiene gV (v) =

³

2π

n+m −1 2

m−1 2 Zπ Zπ Z∞

Γ

´

Γ

³

n−1 2

µ

´

m m v n n

¶ m−2 µ 2

1+

m v n

¶− m+n 2

senm−2 θ senn−2 φ y m+n−1 f (y 2 − 2y γ ∗ cos θ + γ 2 ) dy dθ dφ 0 0

0

´ F GENERALIZADA 3.4. DISTRIBUCION µ

n+m −1 2

m m ³ ´ ³ ´ v = m−1 n−1 n n Γ Γ 2π 2

65

¶ m−2 µ

m 1+ v n

2

2

¶− m+n 2

  π Z n−2  sen φ dφ 0

Zπ Z∞

senm−2 θ y m+n−1 f (y 2 − 2y γ ∗ cos θ + γ 2 ) dy dθ 0

2π

0

µ

n+m −1 2

m m ´ ³ ´ ³ = v Γ m−1 Γ n−1 n n 2

¶ m−2 µ

m 1+ v n

2

2

³ ´ ¶− m+n π (1/2) Γ n−1 2 2 ³ ´

Γ

n 2

Zπ Z∞

senm−2 θ y m+n−1 f (y 2 − 2y γ ∗ cos θ + γ 2 ) dy dθ 0

=

Γ

³

2π

m−1 2

´

Γ

0

µ

n+m−1 2

m m v n n

³ ´ n 2

¶ m−2 µ 2

m 1+ v n

¶− m+n 2

Zπ Z∞

senm−2 θ y m+n−1 f (y 2 − 2y γ ∗ cos θ + γ 2 ) dy dθ 0

µ

0

¶

m v (1/2) donde γ = γ. n + mv Sea V ∼ GF(m, n, δ; f ). Entonces, si δ = 0 la densidad de una distribuci´on F generalizada ∗

no centrada coincide con la densidad de una distribuci´on F centrada. Demostraci´ on Considere la densidad de una distribuci´on F generalizada no centrada gV (v) =

³

2π

m−1 2 Zπ Z∞

Γ

µ

n+m−1 2

´

Γ

³ ´ n 2

m m v n n

¶ m−2 µ 2

m v n

1+

¶− m+n 2

senm−2 θ y m+n−1 f (y 2 − 2γ ∗ y cos θ + γ 2 ) dθ dy, v > 0, 0

µ

donde γ ∗ =

mv n + mv

0

¶(1/2)

γ y γ 2 = 2δ.

Haciendo δ = 0 (caso centrado) se obtiene gV (v) =

Γ

³

2π

µ

n+m−1 2

m−1 2

´

Γ

³ ´ n 2

m m v n n

¶ m−2 µ 2

1+

m v n

¶− m+n 2

(3.15)

Zπ Z∞

senm−2 θy m+n−1 f (y 2 ) dθ dy (3.16) 0

=

Γ

³

2π

µ

n+m−1 2

m−1 2

´

Γ

³ ´ n 2

m m v n n

¶ m−2 µ 2

1+

m v n

0

¶− m+n 2

(3.17)

´ DE FORMAS CUADRATICAS ´ CHAPTER 3. DISTRIBUCION

66

 ∞   π Z Z m−2 m+n−1 2  sen θ dθ  y f (y ) dy (3.18) 0

2π

µ

n+m−1 2

m m ³ ´ ³ ´ = v Γ m−1 Γ n n n 2

Γ

³

m+n 2

=

Γ

Γ

³

µ

³ ´ m 2

Γ

m 1+ v n

¶ m−2 µ

m 1+ v n

2

2

m+n 2

µ

2

´

m m ³ ´ ³ ´ = v m n n n Γ Γ 2

¶

m−2 2

´

m

n

n 2

π

1 2

³

0

Γ m−1 2 ³ ´ m Γ 2

´

Γ

³

m+n 2

2π

´

(3.19)

m+n 2

¶− m+n 2

(3.20)

m

m 2 n 2 v 2 −1

³ ´

¶

− m+n 2

(m + nv)

m+n 2

;

v > 0.

(3.21)

Note que la densidad dada en el Teorema 4.88 est´a expresada a trav´es de una integral, en [33] se puede ver como esta densidad es expresada, usando desarrollo en serie de Taylor, en t´erminos de las derivadas de la funci´on f . A continuaci´on de da expl´ıcitamente la demostraci´on. [Densidad GF no centrada en funci´on de las derivadas de f ] Sea V ∼ GF (n, m, δ; f ), 1 con δ = µT1 µ1 y f expandible en serie de Taylor en IR. Entonces una forma alternativa de 2 expresar la densidad de V viene dada por m+n 2

m gV (v) = ³ n ´ n Γ 2π

2

µ

m v n

¶ m−2 µ 2

m 1+ v n

¶− m+n

∞ X

2

Z∞

γ 2k

k! Γ

k=0

³

n 2

y m+n+k−1 f (2k) (y + γ 2 ) dy,

´

+k

0

(3.22)

donde δ = (1/2)γ 2 = (1/2)µT µ y f (2k) (·) es la 2k-´esima derivada de f (·). Demostraci´ on. Sea V ∼ GF(m, n, δ; f ). Entonces su densidad es 2π

µ

n+m −1 2

m m ³ ´ ³ ´ gV (v) = v m−1 n n n Γ Γ 2 π ∞ Z Z

¶ m−2 µ 2

2

m 1+ v n

¶−(1/2)(m+n)

senm−2 θ y m+n−1 f (y 2 − 2γ1 y cos θ + γ 2 ) dθ dy,

= 0

0

µ

donde δ = (1/2)γ 2 = (1/2)µT µ y γ 1 =

mv n + mv

¶(1/2)

γ.

v > 0,

v > 0,

´ F GENERALIZADA 3.4. DISTRIBUCION

67 Z∞

y m+n−1 T (y) dy,

gV (v) = c(m, n; v) 0

donde 2π

µ

n+m −1 2

m m c(m, n; v) = ³ m−1 ´ ³ n ´ v n n Γ Γ 2

de modo que

¶ m−2 µ

m v 1+ n

2

2

¶−(1/2)(m+n)

,

Zπ

senm−2 θ f (y 2 − 2γ1 y cos θ + γ 2 ) dθ,

T (y) = 0

puede expresarse tal como en el Teorema 3.3 de la forma µ

T (y) = π (1/2) Γ

m−1 2

¶ X ∞ k=0

γ 2k

³

k! Γ k +

n 2

´ y k f (2k) (u + γ 2 ).

As´ı, finalmente, gV (u) =

Γ

³

2π

m+n 1 −2 2

m−1 2

´

Γ

³ ´ n 2

m n

µ

m v n

¶ m−2 µ

y

m+n−1

π

(1/2)

0

=

2π Γ

n 2

³ ´

m n

m 1+ v n

µ

Z∞

m+n 2

2

µ

m v n

m−1 Γ 2

¶ m−2 µ

∞ X k=0

2

1+

m v n

k! Γ k +

¶ X ∞ k=0

2

(3.23) γ 2k

³

k! Γ k +

n 2

´ y k f (2k) (u + γ 2 ) (3.24) dy

¶− m+n 2

(3.25)

Z∞

γ 2k

³

¶− m+n

n 2

y m+n+k−1 f (2k) (y + γ 2 ) dy;

´ 0

donde δ = (1/2)γ 2 = (1/2)µT µ y f (2k) (·) es la 2k-´esima derivada de f (·).

u > 0,(3.26)

68

´ DE FORMAS CUADRATICAS ´ CHAPTER 3. DISTRIBUCION

Part II RESULTADOS

69

Chapter 4 Distribuci´ on El´ıptica Singular 4.1

Introducci´ on

En este cap´ıtulo se encuentra la densidad de una vector aleatorio El´ıptico singular siguiendo el argumento propuesto en Rao [69, p. 527] y se hallan las distribuciones χ2 , t y F generalizadas asociadas a este vector aleatorio, en cuyo caso, y tal como se demuestra, la singularidad de la distribuci´on El´ıptica afecta los grados de libertad de tales distribuciones. Posteriormente, se utilizan dos distribuciones El´ıpticas singulares espec´ıficas, como lo son la Pearson tipo VII y la de tipo Kotz, hallando as´ı expl´ıcitamente las densidades de estas distribuciones. Finalmente, se tratan dos aplicaciones de la distribuci´on El´ıptica singular. La primera de ellas relacionada con la distribuci´on de los residuos de un modelo lineal El´ıptico y la segunda relacionada con el estad´ıstico t generalizado, basado en una muestra obtenida desde una poblaci´on El´ıptica.

4.2

Densidad de una distribuci´ on El´ıptica Singular

Tal como se mencion´o anteriormente, si X ∼ ECn (µ, Σ; φ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n y Σ ≥ 0, es decir, rk Σ = r < n, entonces X tiene una distribuci´on El´ıptica singular. A continuaci´on se halla expl´ıcitamente la densidad de X de forma an´aloga al caso de una distribuci´on Normal singular, tal como en [69, p. 527] y [25]. 71

´ EL´IPTICA SINGULAR CHAPTER 4. DISTRIBUCION

72

Sea X ∼ ECn (µ, Σ; φ), con µ ∈ IRn , Σ ∈ IRn×n , Σ ≥ 0 y rk Σ = r < n. Entonces, la funci´on de densidad de X viene dada por à r ! Y −1 2

λi

−

f [(X − µ)T Σ (X − µ)]

(4.1)

i=1

y N T X = N T µ,

con probabilidad 1,

(4.2)

−

r

lo cual se denotar´a por X ∼ ECn (µ, Σ; f ), donde Σ es un inverso generalizado sim´etrico de Σ, los λi son los valores propios no nulos de Σ y N ∈ Vn,(n−r) ≡ {N ∈ IRn×(n−r) /N T N = I(n−r) }, la variedad de Stiefel, tal que N T Σ = 0. Demostraci´ on: Dado que Σ = ΣT , entonces existe Q ∈ O(n), tal que 



Dr 0  0 Σ = Q  Q . 0 0

(4.3)

Considere ahora la partici´on Q = (B N ), con B ∈ IRn×r y N ∈ IRn×(n−r) y observe que 







T  B 

T T  B ΣB B Σ N 

NT

N T ΣB N T Σ N

QT Σ Q = 

 Σ (B N ) = 





 Dr 0 

=

0

y sea la transformaci´on 











T T  W   B   B X  Y= = X =  , Z NT N X

de modo que, por Fang y Zhang [32, p. 66], E(Z) = E(N T X) = N T µ y Cov(Z) = N T Cov(X) N = N T c0 Σ N = c0 N T Σ N = 0, donde c0 = −2φ(0), esto es, 0 Z ∼ EC(n−r) (N T µ, 0; f ),

0



(4.4)

´ EL´IPTICA SINGULAR 4.2. DENSIDAD DE UNA DISTRIBUCION

73

es decir, N T (X − µ) = 0,

con probabilidad 1.

(4.5)

Adem´as, nuevamente por Fang y Zhang [32, p. 66] E(W) = B T µ y V ar(W) = c0 B T Σ B, esto es, W ∼ ECr (B T µ, B T Σ B; f ), donde f (·) es la densidad restringida s´olo al rango de Σ, con lo cual la densidad de W es ¯ ¯−1/2 ¯ T ¯ ¯B Σ B ¯ f [(B T X − B T µ)T (B T ΣB)−1 (B T X − B T µ)].

(4.6)

As´ı, la funci´on de densidad conjunta de (W, Z) o la de X, est´a definida por (7) y (8). Alternativamente, observe que 1. |B T Σ B| = |Dr | =

r Y

λi , donde Dr es una matriz diagonal, cuyos elementos de su

i=1

diagonal son los λi , los valores propios no nulos de Σ. 2. Como





 Dr 0 

Σ = Q

0

0

T Q ,

entonces  −

Σ



= Q



Dr−1 0



0  0

 T  Q = (B N ) 



Dr−1 0



0  B

T

0

T



N

 −1 T  = B Dr B .

De esta manera, por (2.6) −

Σ = B (B T Σ B)−1 B T ,

(4.7)

con lo cual se obtiene que (B T X − B T µ)T (B T Σ B)−1 (B T X − B T µ) = (X − µ)T B (B T Σ B)−1 B T (X − µ) −

= (X − µ)T Σ (X − µ).

´ EL´IPTICA SINGULAR CHAPTER 4. DISTRIBUCION

74

As´ı, finalmente, la densidad de X est´a dada por à r ! Y −1/2

λi

−

f [(X − µ)T Σ (X − µ)]

(4.8)

i=1

y N (XT − µ) = 0, con probabilidad 1.

(4.9)

lo cual se interpreta como la densidad (2.8) sobre el hiperplano (2.9). Formalmente, la densidad de X existe con respecto a la medida de Hausdorff. As´ı, utilizando la notaci´on de Billingsley [8], W tiene densidad con respecto a la medida de Lebesgue definida sobre el conjunto A, digamos λr (A), donde A est´a definido por (2.9) y Z tiene densidad con respecto a la medida de conteo C{Z}, en donde el soporte s´olo contiene al punto Z = N 0 µ. Lo observadoanteriormente se de forma m´as clara en el siguiente ejemplo.   ilustrar´  a    X1    1   1 2   Sea X =   ∼ EC21 µ =  , Σ =   ; f  , donde rk Σ = 1; de modo que X2 1 2 4 X tiene una distribuci´on El´ıptica singular. Los valores propios de Σ son λ1 = 5 y λ2 = 0 y sus vectores propios asociados son de la forma (b 2b)T y (−2a a)T , respectivamente, con a, b ∈ IR. Luego, como los vectores propios no son u ´nicos, la densidad singular que se halla tampoco lo es. As´ı, si se consideran los vectores propios normalizados de B y N , se obtiene que √  √  1/ 5 2/ 5  T Q = (B N ) =  √ √  es ortogonal. Finalmente, la densidad de X = (X1 X2 ) viene 2/ 5 4/ 5 √ dada por (1/ 5 f [(1/25)(x21 − 6x1 + 4x1 x2 − 12x2 + 9)] y −2x1 + x2 + 1 = 0, con probabilidad 1; lo que se interpreta como la densidad de X con dominio en la recta L : −2x1 + x2 + 1 = 0. A continuaci´on se presentan 5 gr´aficos, dos de los cuales permiten ilustrar m´as claramente el ejemplo antes planteado (Gr´aficos 1 y 2), as´ı como el caso de degenerancia (Gr´aficos 3 y 4) y el no singular (Gr´afico 5). 1. En los Gr´aficos 1 y 2 se representan las densidades de una distribuci´on El´ıptica singular en IR2 de rango 1. Se ve c´omo dicha densidad, aunque no existe en todo el espacio, s´ı existe enuno de dimensi´on menor. Se muestran dos densidades particulares sobre sus

´ EL´IPTICA SINGULAR 4.2. DENSIDAD DE UNA DISTRIBUCION

75

respectivos planos; sin embargo, lo importante de este resultado es que, aun cuando la densidad no es u ´nica, la probabilidad de un evento se calcula a partir de cualquier representaci´on de esta densidad y coincide cualquiera sea ella. 15cm6cmd:/aapoyovl/seminary/eliptica/graf1y2.bmp 2. En los Gr´aficos 3 y 4 se representan las densidades de una distribuci´on El´ıptica singular en IR2 de rango 0. Se ve c´omo dicha densidad, aunque no existe en todo el espacio, en este caso est´a acumulada en un u ´nico punto, que es la intersecci´on de los planos, cuya representaci´on, de manera an´aloga al caso anterior, tampoco es u ´nica. 3. En el Gr´afico 5 se representa la densidad de una distribuci´on El´ıptica no singular en IR2 . Se ve c´omo dicha densidad ocupa todo el espacio.

´ EL´IPTICA SINGULAR CHAPTER 4. DISTRIBUCION

76

15cm6cmd:/aapoyovl/seminary/eliptica/graf3y4.bmp 10cm6cmd:/aapoyovl/seminary/eliptica/gra

Dos distribuciones El´ıpticas espec´ıficas son la distribuci´on de Pearson tipo VII y la de tipo Kotz, las que a su vez contienen a las distribuciones t-multivariada, cuando m = (r + s)/2, y Normal multivariada, cuando m = 1, s = 1/2 y t = 1, respectivamente. As´ı, por Gupta y Varga [39] y el Teorema 2.91, se presentan a continuaci´on ambas distribuciones para el caso de un distribuci´on El´ıptica singular. Sea X ∼ ECnr (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , µ 6= 0; Σ ∈ IRn×n , Σ ≥ 0 y rk Σ = r < n. As´ı, si su densidad viene dada por à r ! Y −1 2

λi

i=1



−

−m

(X − µ)T Σ (X − µ)  ´ 1 + ³ r s (πs) 2 Γ m − 2r Γ(m)

y N T (X − µ) = 0,

con probabilidad 1,

entonces X tiene una distribuci´on de Pearson tipo VII singular de rango r con par´ametros −

m > r/2 y s > 0, donde Σ es un inverso generalizado sim´etrico de Σ, los λi son los valores propios no nulos de Σ y N ∈ Vn,(n−r) , tal que N T Σ = 0. Sea X ∼ ECnr (µ,Σ; f ), con µ ∈ IRn , µ 6= 0; Σ ∈ IRn×n , Σ ≥ 0 y rk Σ = r < n. As´ı, si su densidad viene dada por ³ ´ " 2m+r−2 Ã r ! µ ¸t ! Γ 2r Y −1/2 t s 2t − − m−1 ³ ´ (X − µ)T Σ [(X − µ)] λi exp −s (X − µ)T Σ (X − µ) r i=1

π2 Γ

2m+r−2 2t

y N T (X − µ) = 0,

con probabilidad 1,

entonces X tiene una distribuci´on de Tipo Kotz singular de rango r y par´ametros m, t y s, −

con 2m + r > 2, t > 0, s > 0, donde Σ es un inverso generalizado sim´etrico de Σ, los λi son los valores propios no nulos de Σ y N ∈ Vn,(n−r) , tal que N T Σ = 0.

4.3. DISTRIBUCIONES χ2 , T Y F GENERALIZADAS

4.3

77

Distribuciones χ2, t y F Generalizadas

Las distribuciones χ2 , t y F generalizadas, centradas y no centradas, han sido ampliamente estudiadas para el caso de una distribuci´on El´ıptica no singular, incluyendo casos de El´ıpticas particulares, en los libros [1] y [32]. A pesar de ello, el uso de la densidad de una distribuci´on El´ıptica singular no ha sido a´ un estudiado. Esta singularidad de la ley El´ıptica afecta los grados de libertad de la distribuci´on. Particularmente, si el rango de Σ es r < n, entonces la distribuci´on χ2 asociada tiene r grados de libertad, una situaci´on an´aloga ocurre con las distribuciones t y F generalizadas.

4.3.1

Distribuci´ on χ2 Generalizada

Sea X ∼ ECn (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , µ 6= 0, Σ ∈ IRn×n , Σ > 0 y rk Σ = r = n. Entonces, U = XT Σ−1 X tiene una distribuci´on Gχ2 no centrada, denotado por U ∼ Gχ2 (n, δ; f ) cuya densidad es gU (u) =

π Γ

³

n−1 2

n−1 2

´ u

n −1 2

Zπ

1

f (u − 2γ u 2 cos φ + γ 2 ) senn−2 φ1 dφ1 ;

u > 0,

(4.10)

0

donde γ 2 = µT Σ−1 µ = 2δ (vea [32, p. 82]). Una forma alternativa de expresar la densidad de U , si f es expandible en serie de Taylor en IR, es gU (u) =

n

∞ X

γ 2k π 2

k=0

n 2

k! Γ

³

n

+k

´ u 2 +k−1 f (2k) (u + γ 2 );

u > 0,

(4.11)

donde γ 2 = 2δ = µT µ y f (2k) (·) es la 2k-´esima derivada de f (·) (vea [80]). As´ı, bajo singularidad de la distribuci´on El´ıptica, obtenemos el siguiente resultado. Sea X ∼ ECnr (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , µ 6= 0; Σ ∈ IRn×n , Σ ≥ 0 y rk Σ = r < n. Entonces, −

U = XT Σ X ∼ Gχ2 (r, δ; f ), −

con δ = (1/2)µT Σ µ.

´ EL´IPTICA SINGULAR CHAPTER 4. DISTRIBUCION

78

Demostraci´ on. Sean X ∼ ECnr (µ, Σ; f ), con µ ∈ IRn , µ 6= 0; Σ ∈ IRn×n , rk Σ = r < n, −

Σ = QT Q y Q ∈ IRr×n una factorizaci´on de rango completo e Y = Q X. Entonces, −

Y ∼ ECr (ν, Ir ; f ), con ν = Q µ; luego kYk2 ∼ Gχ2 (r, δ; f ), con −

−

−

δ = (1/2)µT Q Q µ = (1/2)µT Σ µ. −

El resultado es inmediato, ya que kYk2 = XT Σ X. . Sea X con distribuci´on de Pearson tipo VII singular de rango r. Entonces, U = −

XT Σ X ∼ Gχ2 (r, δ; f ) tiene densidad gU (u) =

r ∞ sm− 2 Γ(m) X

³

Γ m−

r 2

(m)2k

´

k! Γ

k=0

³

r 2

r

+k

´ γ 2k u 2 +k−1 (s + u + γ 2 )−2k−m ;

u > 0,

(4.12)

−

donde γ 2 = 2δ = µT Σ µ. Demostraci´ on. Usando la densidad de una distribuci´on Gχ2 expresada en t´erminos de las −

derivadas de la funci´on f , dada anteriormente, obtenemos que si U = XT Σ X ∼ Gχ2 (r, δ; f ), entonces gU (u) =

r

∞ X

γ 2k π 2

k=0

r 2

k! Γ

³

r

+k

´ u 2 +k−1 f (2k) (u + γ 2 );

u > 0,

−

donde γ 2 = 2δ = µT Σ µ y f (2k) es la 2k-´esima derivada de f . En nuestro caso particular ·

Γ(m)

u ³ ´ 1+ f (u) = r r s (π s) 2 Γ m − 2

¸−m

y por tanto f (2k) (u) =

Γ(m) ³

r 2

π Γ m−

r 2

´ sm−r/2 (m)2k (s + u)−m−2k ,

donde (m)2k = m(m − 1)(m − 2) · . . . · (m − 2k + 1). As´ı, r

gU (u) =

r

∞ sm− 2 Γ(m) X (m)2k γ 2k u 2 +k−1 (s + u + γ 2 )−m−2k

³

Γ m−

r 2

´

k=0

k! Γ

³

r 2

+k

´

4.3. DISTRIBUCIONES χ2 , T Y F GENERALIZADAS

79 −

. Sea X con distribuci´on de tipo Kotz singular de rango r. Entonces, U = XT Σ X ∼ Gχ2 (r, δ; f ) tiene densidad ts

gU (u) =

2m+r−2 2t

Γ

³

³ ´ r 2

2m+r−2 2t ∞ X ∞ 2k X

Γ

´

r

(−s)2(k+1) (t(z + 2k) + q − 1)2k u 2 +k−1 (u + γ 2 )t(z+2k)+m−1−2k

γ

k! (k + 2k)! Γ

k=0 z=0

³

r 2

+k

´

,

(4.13) −

donde u > 0 y γ 2 = 2δ = µT Σ µ. Demostraci´ on. De manera an´aloga al Corolario 3.97, si X tiene distribuci´on de tipo Kotz singular de rango r, entonces f (u) =

ts

2m+r−2 2t

³ ´

r 2 ³ ´ Γ 2m+r−2 2t

r

π2

Γ

³

´

um−1 exp −s ut ;

2m > r − 2, t, s > 0.

El resultado se sigue observando que f (u) =

ts

2m+r−2 2t

r

π2 Γ

³

³ ´

r ∞ X 2 ´ 2m+r−2 l=0 2t

Γ

(−r)l utl+m−1 , l!

con lo cual la derivada 2k-´esima de f es f

(2k)

ts

(u) =

r

π2

2m+r−2 2t

³ ´

r ∞ X (−s)2(k+1) 2 ³ ´ Γ 2m+r−2 z=l−2k=0 2t

Γ

(t(z + 2k) + q − 1)2k ut(z+2k)+m−1−2k . (k + 2k)!

As´ı, finalmente, gU (u) =

ts

2m+r−2 2t

³

Γ

³ ´ r 2

2m+r−2 2t ∞ ∞ X X 2k

Γ

γ

´

r

(−s)2(k+1) (t(z + 2k) + q − 1)2k u 2 +k−1 (u + γ 2 )t(z+2k)+m−1−2k k! (k + 2k)! Γ

k=0 z=0 −

con u > 0 y γ 2 = 2δ = µT Σ µ.

³

r 2

+k

´

,

´ EL´IPTICA SINGULAR CHAPTER 4. DISTRIBUCION

80

4.3.2

Distribuci´ on t Generalizada

Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1 (µ, In+1 ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRn+1 , µ = [µ1 0 ]T , q

µ1 ∈ IR y µ1 6= 0. Entonces, T = (X1 / (XT2 X2 )/n tiene una distribuci´on t generalizada no centrada, denotado por T ∼ Gt(n, δ; f ), con δ = µ1 y su funci´on de densidad es n

gT (t) =

2(nπ) 2 Γ

2 − n+1 2

Z∞

f (y 2 − 2δ1 y + δ 2 ) y n dy;

³ ´ (n + t ) n 2

t ∈ IR,

(4.14)

0 1

donde δ es el par´ametro de no centralidad y δ1 = (tδ)/((n + t2 ) 2 ) (vea [32, p. 85]). Sea T ∼ Gt(n, δ; f ). Entonces, si δ = 0, la distribuci´on t generalizada no centrada coincide con la distribuci´on t centrada cl´asica (vea [32, p. 63]). Se presenta ahora la distribuci´on Gt no centrada bajo singularidad de la distribuci´on El´ıptica asociada, esto es, cuando X ∼ ECnr (µ, Σ; f ), donde r < n es el rango de Σ. Esta singularidad de la ley El´ıptica afecta los grados de libertad de la distribuci´on de T , de forma similar al caso de la distribuci´on Gχ2 dada anteriormente. (r+1)

Sea X = (X1 XT2 )T ∼ EC(n+1) (µ, Σ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRn+1 , µ = [µ1 0]T 



2 0   σ1 (n+1)×(n+1) y µ1 ∈ IR, µ1 6= 0; Σ =  , Σn ∈ IRn×n y rk Σn = r < n. Entonces,  ∈ IR 0 Σn

T =

√

X1

rq

−

XT2 Σ X2

∼ Gt(r, δ; f ),

con δ = µ1 /σ1 . (r+1)

Demostraci´ on. Sea X = (X1 XT2 ) ∼ EC(n+1) (µ, Σ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRn , 

T

µ = [µ1 0]

   y µ1 ∈ IR, µ1 = 6 0; Σ =   



σ12 0

0  Σn

  (n+1)×(n+1)  ∈ IR .  

Factorice Σn = Q QT , tal que Q ∈ IRn×r , con rk Q = r < n, de modo que 



Y= 

σ1−1 0





σ1−1 −





X1   Y1  0   . = − ·X =  Y2 Q X2 Q

4.3. DISTRIBUCIONES χ2 , T Y F GENERALIZADAS

81

Entonces, X = (Y1 Y2T )T ∼ EC(r+1) (ν, Ir+1 ; f ), con Y1 ∈ IR y Y2 ∈ IRr ; ν ∈ IRr+1 ,  

ν=



σ1−1

σ1−1

0 

0

Q

−



 



 ·µ=

0





0   µ1   µ1 /σ1  = ; − · 0 0 Q

luego T =

√

Y1

rq

Y2T Y2

=

√

√ X1 X1 q ∼ Gt(r, δ; f ), rq − = r − T − T (Q X2 ) (Q X2 ) X2 Σn X2

con δ = µ1 /σ1 . Sea X = (X1 XT2 ) con distribuci´on de Pearson tipo VII singular de rango (r+1). Entonces, T =

√

X1

rq

−

XT2 Σ X2

∼ Gt(r, δ; f ),

tiene densidad r

gT (t) =

r 2 Γ(m)

r 2

s Γ

³ ´ r 2

³

Γ m−

r 2

´ (r + t2 )−

r+1 2

∞ (−m) (−2 δ )k (s + δ 2 ) X k 1

r−2m−k+1 2

)Γ

³

r+k+1 2

´

Γ

³

2m+k−r−1 2

k! sk Γ (m + k)

k=0

´

,

(4.15)

donde δ = µ1 y δ1 = (tδ)/(r + t2 )1/2 . Demostraci´ on. Sea X con distribuci´on de Pearson tipo VII singular de rango (r + 1) de par´ametros m > (r + 1)/2 y s > 0. Entonces ·

Γ(m)

f (u) =

r

³

(πs) 2 Γ m −

r 2

´

u 1+ s

¸−m

.

As´ı, si T ∼ Gt(r, δ; f ) r

gT (t) =

2 r 2 Γ(m) r 2

³

s Γ m−

r 2

´

Γ

2 − r+1 2

Z∞ "

³ ´ (r + t ) r 2

0

y 2 − 2δ1 y + δ 2 1+ s

#−m

y r dy,

con δ = µ1 y δ1 = (tδ)/(r + t2 )1/2 . Entonces, usando el desarrollo en serie dado en [1, p. 85], se tiene que "

y 2 − 2δ1 y + δ 2 1+ s

#−m

=

∞ X (−m)k k=0

k!

Ã

−2 δ1 y s

!k Ã

y2 + δ2 1+ s

!−k−m

,

´ EL´IPTICA SINGULAR CHAPTER 4. DISTRIBUCION

82 con lo cual r

2 r 2 Γ(m)

gT (t) =

³

r 2

s Γ m−

r 2

´

Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

r+1 2

∞ X (−m)k (−2 δ1 )k

k!

k=0

Z∞ Ã 0

sk

y2 1+ s + δ2

(s + δ 2 )

!−k−m Ã

r−k −m 2

y2 s + δ2

! r+k 2

dy.

Considere ahora el cambio de variable q

y2 u= s + δ2 cuyo jacobiano es

=⇒

y=

u (s + δ 2 ),

¯ ¯ ¯ dy ¯ (s + δ 2 )1/2 ¯ ¯ J = ¯¯ ¯¯ = , du 2 u1/2

de donde, finalmente r

r 2 Γ(m)

gT (t) =

³

r 2

s Γ m−

r 2

´

Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

r+1 2

∞ (−m) (−2 δ )k (s + δ 2 ) X k 1

r−k+1 −m 2

Γ

³

r+k+1 2

´

Γ

³

2m−r+k−1 2

´

k! sk Γ(k + m)

k=0

. Sea X = (X1 XT2 ) con distribuci´on de tipo Kotz singular de rango r, con m = 2 y s = 1. Entonces, T =

√

X1 rq ∼ Gt(r, δ; f ) − XT2 Σ X2

tiene densidad gT (t) =

r

r

(r +

r+1 t2 )− 2

4r 2 −1 s 2 +1

Γ

³ ´

∞ X k=0

r 2

exp(−s δ 2 ) "

#

r + 2k + 1 −sk (r + 2k) Γ(r + 2k) (r + 2k + 2)(r + 2k + 1) − 2δ + δ2 , 1 r+2k+1 2 k! (2s δ1 ) (2s δ1 ) 2s δ1 (4.16)

donde δ = µ1 y δ1 = (tδ)/(r + t2 )1/2 .

4.3. DISTRIBUCIONES χ2 , T Y F GENERALIZADAS

83

Demostraci´ on. Sea X con distribuci´on de Tipo Kotz Singular de rango r de par´ametros m, t y s, y 2m + r > 2, t > 0, s > 0. Entonces f (u) =

ts

2m+r−2 2t

r

π2 Γ

³

³ ´

r 2 ´ 2m+r−2 2t

Γ

´

³

um−1 exp −s ut ;

2m > r − 2, t, s > 0.

r

r

Considere el caso en que m = 2 y t = 1, con lo cual f (u) = ((2 s 2 +1 )/r) π 2 u exp(−s u), lo que conduce a r

2(rπ) 2

gT (t) =

Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

Z∞ 0

r+1 2

r

2 s 2 +1 2 (y − 2δ1 y + δ 2 ) exp(−s (y 2 − 2δ1 y + δ 2 )) y r dy. r r π2

Usando ahora desarrollo en serie y la funci´on Gamma, se obtiene finalmente que r

gT (t) =

r

4r 2 −1 s 2 +1

Γ

³ ´ r 2

(r + t2 )

r+1 2

exp(−s δ 2 ) "

∞ X −sk (r + 2k) Γ(r + 2k) k=0

k! (2s δ1 )r+2k+1

#

(r + 2k + 2)(r + 2k + 1) r + 2k + 1 − 2δ + δ2 , 1 (2s δ1 )2 2 s δ1

con δ = µ1 y δ1 = (tδ)/((r + t2 )1/2 ).

4.3.3

Distribuci´ on F Generalizada

Sea X = (XT1 XT2 ) ∼ EC(m+n) (µ, Im+n ; f ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRm+n , µ = [µ1 0]T , µ1 ∈ IRm y µ1 6= 0. Entonces, V = (n/m)((XT1 X1 )/(XT2 X2 )) tiene una distribuci´on F generalizada no centrada, denotado por F ∼ GF(m, n, δ; f ), cuya densidad es m+n−1 2

m gV (v) = ³ m−1 ´ ³ n ´ n Γ Γ 2π 2

2

µ

m v n

¶ m−2 µ 2

m 1+ v n

¶− m+n 2

Zπ Zπ

senm−2 θ y m+n−1 f (y 2 − 2δ1 y cos θ + δ 2 ) dθ dy; 0

0

donde δ 2 = µT µ y δ1 = (m v/(n + mv))2 δ, tal como en [32, p. 86].

u > 0, (4.17)

´ EL´IPTICA SINGULAR CHAPTER 4. DISTRIBUCION

84

Una forma alternativa de expresar la densidad de V , si f es expandible en serie de Taylor en IR, es en t´erminos de las derivadas de la funci´on f , quedando representada de la siguiente manera: 2π

m+n−1 2

m gV (v) = ³ m−1 ´ ³ n ´ n Γ Γ 2

µ

2

m v n

¶ m−2 µ

m 1+ v n

2

∞ X k=0

¶− m+n

Z∞

γ 2k

k! Γ

³

n 2

2

+k

y m+n+k−1 f (2k) (y + γ 2 ) dy,

´

v > 0,

0

(4.18)

donde δ = (1/2)γ 2 = (1/2)µT µ y f (2k) (·) es la 2k-´esima derivada de f (·), tal como puede verse en [33]. (r +r )

1 2 Sea X = (XT1 XT2 )T ∼ EC(m+n) (µ, Σ; f ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn ; µ ∈ IRm+n ,



h



iT

Σ11 0  (m+n)×(m+n) µ = µT1 0 , µ1 ∈ IRm , µ1 6= 0; Σ =  , Σ11 ∈ IRm×m y   ∈ IR 0 Σ22 n×n rk Σ11 = r1 < m, Σ22 ∈ IR y rk Σ22 = r2 < n. Entonces, −

r2 XT1 Σ11 X1 ∼ GF(r1 , r2 ; δ; f ), V = r1 XT Σ− X2 2 22 −

con δ = (1/2)µT1 Σ11 µ1 . (r +r )

1 2 Demostraci´ on. Sea X = (XT1 XT2 ) ∼ EC(m+n) (µ, Σ; f ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn ;



h

iT



 Σ11

µ = µT1 0 , µ1 ∈ IRm y µ1 6= 0; Σ =  rk Σ11 = r1 < m, Σ22 ∈ IR

n×n

y rk Σ22 −

Q1 Y=hX=  0





0

∈ IR(m+n)×(m+n) , Σ11 ∈ IRm×m y

Σ22 = r2 < n. Considere, adem´as, la descomposici´on

Σ11 = Q1 QT1 y Σ22 = Q2 QT2 , de modo que 

0 





−







0   X1   Q1 X1   Y1  . = = − −  Y2 Q2 X2 Q2 X2 h

iT

Entonces, Y = (Y1T Y2T ) ∼ EC(r1 +r2 ) (ν, Ir1 +r2 ; f ), con Y1 ∈ IRr1 y Y2 ∈ IRr2 ; ν = ν1T 0 , −

ν1 ∈ IRr1 y ν1 = Q1 µ1 6= 0; luego −

r2 Y1 Y1 r2 XT1 Σ11 X1 V = = ∼ GF(r1 , r2 ; δ; f ), r1 Y2T Y2 r1 XT Σ− X2 2 22

4.4. APLICACIONES

85 −

−

con δ = (1/2)(ν1T ν1 ) = (1/2)(µT1 Σ11 µ1 ) y Σii , i = 1, 2 es un inverso generalizado sim´etrico. Sea V ∼ GF(m, n; δ; f ). Entonces, si δ = 0, V tiene una distribuci´on F generalizada centrada, la cual coincide con distribuci´on F centrada cl´asica (vea [32, p. 63]). La distribuci´on GF no centrada, obtenida bajo singularidad de la distribuci´on El´ıptica asociada, esto es, cuando X ∼ ECnr (µ, Σ; f ), es afectada en los grados de libertad de la distribuci´on de V , al igual que en el caso de las distribuciones χ2 y t, dadas anteriormente. Cuando

−

r2 XT1 Σ11 X1 ∼ GF(r1 , r2 ; δ; f ), V = r1 XT Σ− X2 2 22 −

con δ = (1/2)(µT1 Σ11 µ1 ), y X tiene una distribuci´on de Pearson tipo VII singular de rango (r1 + r2 ) o una distribuci´on de tipo Kotz singular de rango (r1 + r2 ), la forma expl´ıcita de la densidad de X se encuentra desarrollada en [33].

4.4

Aplicaciones

En esta secci´on se aplica la distribuci´on El´ıptica singular a la distribuci´on de los residuos de un modelo lineal El´ıptico y a la distribuci´on del estad´ıstico t generalizado, basado en un muestra obtenida desde una poblaci´on El´ıptica, .

4.4.1

Distribuci´ on de los Residuos de un Modelo Lineal El´ıptico

Considere el modelo lineal de rango completo Y = Xβ + ², donde ², Y ∈ IRn , X ∈ IRn×p , β ∈ IRp e Y ∼ ECn (Xβ, σ 2 In ; f ), cuyos residuos est´an dados por −

ˆ = (I − XX )Y. e=Y−X

´ EL´IPTICA SINGULAR CHAPTER 4. DISTRIBUCION

86

De esta manera, e tiene una distribui´on El´ıptica singular, m´as a´ un, −

e ∼ ECn(n−p) (0, σ 2 (I − XX ); f ), donde σ02 = c0 σ 2 , c0 = −2φ0 (0), φ(·) est´a dado en (2.2.1) y σ 2 es el par´ametro de escala de la distribuci´on de e. Lo anterior debido a que −

−

rk(distribuci´on) = rk(Cov(e)) = rk(Cov((I − XX )Y)) = rk(σ02 (I − XX )) = n − p, Asimismo, − −

− − 1 1 1 (I − XX ) e = 2 YT (I − XX )Y = 2 ||(I − XX )Y||2 = 2 (YT Y − βˆT XYT ) = eT e, e 2 σ σ σ σ T

donde eT e ∼ Gχ2 (n − p; f ). σ2 De la expresi´on anterior, ahora note que la suma de cuadrados debido al modelo, YT Xβˆ es tal que −

−

−

−

YT Xβˆ = YT XX Y = YT (XX )T (XX )Y = ||XX Y||2 , con −

−

XX Y ∼ ECnp (Xβ, σ 2 XX ; f ), pues −

−

E(XX Y) = XX Xβ = Xβ, −

−

−

Cov(XX Y) = XX σ02 I(XX )T = σ02 XX

−

y −

−

rk[Cov(XX Y)] = rk(XX ) = rk(X) = p, por lo tanto

− − (XX )(XX ) YT Xβˆ (Y XX ) Y = ∼ Gχ2 (p, δ; f ), 2 2 σ σ T

−

4.4. APLICACIONES

87

donde δ es el par´ametro de no centralidad de la distribuci´on Gχ2 y viene dado por δ = ||Xβ||2 /(2σ 2 ). Observe que la expresi´on para U dada en (11) es una acntidad pivotal para σ 2 , esto es, el par´ametro de escala de la distribuci´on del vector de residuos. De etsa forma, es posible establecer una expresi´on expl´ıcita para el intervalo de confianza de par´ametro antes mencionado a partir de la cantidad pivotal y de los Corolarios ? y ? al reemplazar el par´ametro de no centralidad δ por cero. Los resultados obtenidos se presentan en la Tabla 2. Tabla 2 Formas expl´ıcitas de los Intervalos de Confianza del 100(1 − α)% el par´ametro de escala de la distribuci´on del vector de residuos para las distribuciones El´ıpticas que se especifican. Ley El´ıptica

Distribuci´ on de U =

Pearson VII

s(n − p) U= Y 2m − n + p

eT e σ2

IC100(1−α)% (σ 2 )  

Tipo Kotz

U = Y 1/t Y ∼ Γ(s, 2m+n−p−2 ) 2t

Normal

Ã

U = (n − p)Y Y ∼ F(n − p, s)

U ∼ χ2 (n − p)

eT e/(n − p) eT e/(n − p) , F1− α2 (n − p, s) F α2 (n − p, s)



!

 



eT e

eT e

 , (Γ1− α2 (s, 2m+n−p−2 ))1/t (Γ α2 (s, 2m+n−p−2 ))1/t 2t 2t 



eT e eT e   , χ21− α (n − p) χ2α (n − p) 2

4.4.2

2m−n+p T s(n−p) e e

eT e

 , F1− α2 (n − p, 2m − n + p) F α2 (n − p, 2m − n + p)

Y ∼ F(n − p, 2m − n + p) t-multivariada

2m−n+p s(n−p)

2

Distribuci´ on del Estad´ıstico t Generalizado

A continuaci´on se hallar´a la distribuci´on del estad´ıstico t generalizado, basado en una muestra obtenida desde una poblaci´on El´ıptica, la que involucra a la distribuci´on El´ıptica singular, Fang y Zhang [32, p. 63]. Sea X ∼ ECn (ν, σ 2 In ; f ), con ν = µ 1n , ν ∈ IRn , µ ∈ IR, 1n ∈ IRn , σ02 = c0 σ 2 ,

´ EL´IPTICA SINGULAR CHAPTER 4. DISTRIBUCION

88

c0 = −2φ0 (0) y φ dado en (2.2.1). Entonces, T = ¯= donde X

n X

Xi /n y S 2 =

i=1

¯ √ X n ∼ Gt(n − 1, δ; f ), S

(4.19)

n X

¯ 2 /(n − 1) y δ = µ/σ es el par´ametro de no centralidad (Xi − X)

i=1

de la distribuci´on Gt no centrada con (n − 1) g.l. Demostraci´ on. Para aplicar el Teorema 3.99 defina   Y=AX=  

1 1n T nσ 1 D σ





     X=  

1 1n T X nσ 1 DX σ



     Y1  = , 

Y2

con D = (In − (1/n)1n 1n T ) = D2 = DT , de modo que 













Y1   µ/σ   1 0   n Y=   ∼ EC(n+1)  ,   ; f , Y2 0 0 D esto es, Y tiene una distribuci´on El´ıptica singular; para ver esto observe que   E(Y) = E(A X) = A µ 1n =   

1 1n T nσ 1 D σ







µ/σ      µ 1n =    µ σ

D 1n

  . 

Adem´as, rk(D) = tr(In − (1/n)1n 1n T ) = n − tr((1/n)1n 1n T ) = n − 1. Entonces, observando que D1n = 0, se tiene que E(Y) = (µ/σ 0). Por otro lado, el par´ametro Σ de X, digamos ΣY , es ΣY = A ΣX AT = σ 2 A AT . Ahora, como 

A AT

se obtiene que





ΣY =  



2 0  1/σ  =  , 0 (1/σ 2 ) D

1/n 0





0   1 0  = . 0 D ΣY2

4.4. APLICACIONES

89 −

−

Finalmente, observe que ΣY = D = D, As´ı, T se puede escribir como 2

T =

√

nv u

Y1

u T − u Y2 ΣY Y2 2 t

(n − 1)

=

√

nv uµ

1 1n T X nσ

¶T ¶ µ u 1 − 1 u D X ΣY DX u 2 σ t σ

=

√

1 T 1n X ¯ √ X n nv = n , u T S uX D X t (n − 1)

(n − 1)

con lo cual, por el Teorema 3.99, se obtiene queT =

√

¯ n X/S ∼ Gt(n−1, δ; f ), donde δ = µ/σ.

90

´ EL´IPTICA SINGULAR CHAPTER 4. DISTRIBUCION

Chapter 5 Distribuciones Gt y GF Doble No Centrada 5.1

Introducci´ on

Las distribuciones t y F obtenidas a partir de distribuciones El´ıpticas se denominan distribuciones t y F generalizadas. Sin embargo, si el par´ametro de posici´on ν de la ley El´ıptica es igual a cero, entonces las distribuciones t y F generalizadas coinciden con las distribuciones t y F obtenidas bajo normalidad, esto es, estas distribuciones son invariantes bajo leyes El´ıpticas cuando ν = 0 (vea [32, p.67]). Por otro lado, las distribuciones t y F generalizadas no centradas dependen de la ley El´ıptica particular bajo la cual fueron obtenidas. Asimismo, las distribuciones t y F generalizadas doble no centradas, an´alogas a las del caso Normal, dependen tambi´en de la ley El´ıptica asociada. La distribuci´on t doble no centrada bajo una distribuci´on Normal ha sido estudiada en [9], mientras que la distribuci´on F doble no centrada ha sido estudiada en [81]. Esta u ´ltima distribuci´on ha sido utilizada para calcular la potencia de la prueba de interacci´on de efectos en el modelo de an´alisis de varianza a dos criterios de clasificaci´on con una observaci´on por celda (vea [10]). Del mismo modo, la distribuci´on F doble no centrada se ha utilizado para 91

92

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA

calcular la probabilidad del error de se˜ nales binarias de recepci´on multicanal adaptiva (vea [67]). Por otra parte, estas distribuciones doble no centradas han sido tambi´en aplicadas a problemas de comunicaci´on, en se˜ nales capturadas a trav´es de radar, y en patrones de reconocimiento, donde se involucran operaciones con formas cuadr´aticas basadas en datos normales (vea [82], [48], [75] y [87]).

En este cap´ıtulo se presentan las distribuciones t y F generalizadas, tanto para el caso centrado, no centrado y doble no centrado, y bajo singularidad y no singularidad de la distribuci´on El´ıptica asociada, en cuyo caso la singularidad de la distribuci´on afecta los grados de libertad de las distribuciones t y F generalizadas (vea [25]). Para las distribuciones t y F generalizadas centradas, se usa la invarianza de tales distribuciones bajo leyes El´ıpticas con par´ametro de posici´on igual a cero, coincidiendo con las del caso Normal. Para las distribuciones F generalizadas no centrada y doble no centrada, se presentan sus densidades tanto en t´erminos de integrales como de las derivadas de la funci´on generadora de densidades asociada a cada distribuci´on El´ıptica, y por ende de cada distribuci´on GF. En el caso de la distribuciones t generalizadas no centrada y doble no centrada no es posible obtener esta representaci´on, por lo que su densidad s´olo se expresa a trav´es de integrales. Finalmente se ilustran todos estos resultados para dos subfamilias de distribuciones El´ıpticas, como lo son la distribuci´on de Pearson tipo VII y la distribuci´on de tipo Kotz, subfamilias que a su vez contienen como casos particulares a las distribuciones El´ıpticas t y Normal multivarian-tes, respectivamente. En esta ilustraci´on y para el caso de la distribuci´on GF, se observa la evidente simplificaci´on que se produce al usar la densidad en t´erminos de la derivada de la gene-radora de densidades en lugar de la expresi´on integral. Sin embargo, se debe tener presente que la aplicaci´on de este resultado es s´olo posible cuando la generadora de densidades, asociada a la particular distribuci´on El´ıptica que se haya considerado, sea expandible en serie de Taylor, lo cual ocurre cuando existen los momentos de dicha distribuci´on. Como no todas las distribuciones El´ıpticas disponen de momentos, como por ejemplo la distribuci´on de Cauchy, esto motiva entonces la existencia de las dos expresiones para la densidad.

´ GT DOBLE NO CENTRADA 5.2. DISTRIBUCION

5.2

93

Distribuci´ on Gt Doble No centrada

Tal como se mencion´o, la distribuci´on Gt es la distribuci´on t obtenida bajo una ley El´ıptica. En esta secci´on se presentan las distribuciones Gt centrada, no centrada y doble no centrada, obtenidas bajo una distribuci´on El´ıptica singular y no singular. La distribuci´on Gt juega un papel similar al de la distribuci´on t bajo la teor´ıa de inferencia Normal, y corresponde a la distribuci´on de X1

T =q

(XT2 X2 )/n

√

=

X1 , nq XT2 X2

(5.1)

cuando X = (X1 XT2 )T ∈ IRn+1 sigue una distribuci´on El´ıptica, con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn . As´ı, haciendo uso de la invarianza de la distribuci´on Gt bajo leyes El´ıpticas con par´ametro de posici´on igual a cero (vea [32, p. 67]), esto es, X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1 (0, Σ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn , Σ ∈ IRn , Σ > 0, se obtiene que T =

√

X1

nq

XT2 Σ−1 X2

∼ Gt(n; f ),

(5.2)

la cual coincide con la del caso Normal, esto es, Gt(n; f ) ≡ t(n), ∀f .

5.2.1

Distribuci´ on Gt No Centrada

A continuaci´on se presenta la distribuci´on Gt no centrada bajo singularidad y no singularidad de la distribuci´on El´ıptica asociada. h

iT

Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1 (ν, Σ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; ν ∈ IRn , ν = µ 0T , 



µ ∈ IR y µ 6= 0; Σ ∈ IR(n+1)×(n+1) , Σ =  

T =

√

σ

2

0

0  n×n y rk Σn = n. Entonces,  , Σn ∈ IR Σn

X1 ∼ Gt(n, δ; f ), nq X XT2 Σ−1 2 n

con par´ametro de no centralidad δ = µ/σ.

(5.3)

94

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA h

iT

Demostraci´ on. Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1 (ν, Σ; f ), con ν ∈ IRn , ν = µ 0T , µ ∈ IR 



2

σ 0  (n+1)×(n+1) y µ 6= 0, Σ =  y rk Σn = n. Considere la descomposici´on Σn =   ∈ IR 0 Σn Q QT , de modo que 



 σ

Y=

−1





0  −1

0

Q





−1

X1   Y1   σ  X =  −1 = . Q

X2

Y2

Entonces, Y = (Y1 Y2T )T ∼ ECn+1 (η, In+1 ; f ), con Y1 ∈ IR y Y2 ∈ IRn ; η ∈ IRn+1 , 

η= 



σ

−1



 

0   σ  ν = −1 Q 0

0

−1







0   µ   µ/σ    = . −1 Q 0 0

Finalmente, T =

√

Y1

nq

Y2T Y2

=

√

√ X1 X1 µ n q −1 = nq ∼ Gt(n, δ; f ), δ = . −1 −1 σ (Q X2 )T (Q X2 ) XT2 Σn X2

De [32] se sabe que si T ∼ Gt(n, δ; f ), entonces la funci´on de densidad de T es n

gT (t) =

2(nπ) 2 Γ

2 − n+1 2

Z∞

f (y 2 − 2δ1 y + δ 2 ) y n dy;

³ ´ (n + t ) n 2

t ∈ IR,

(5.4)

0

donde δ es el par´ametro de no centralidad y δ1 = (tδ)/(n + t2 )1/2 . De forma an´aloga al caso no singular (Σ > 0), tambi´en es posible obtener la distribuci´on Gt no centrada bajo una distribuci´on El´ıptica singular, esto es, cuando X ∼ ECnr (ν, Σ; f ), donde r < n es el rango de Σ (Σ ≥ 0). Esta singularidad afecta los g.l. de la distribuci´on Gt, tal como se ver´a a continuaci´on.

h

r+1 (ν, Σ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; ν ∈ IRn , ν = µ 0T Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1





2  σ

µ ∈ IR, µ 6= 0; Σ ∈ IR(n+1)×(n+1) , Σ = 

T =

√

0

0  Σn

 , Σn ∈ IR

X1

nq

− XT2 Σn X2

n×n

∼ Gt(r, δ; f ),

iT

y

y rk Σn = r < n. Entonces,

(5.5)

´ GT DOBLE NO CENTRADA 5.2. DISTRIBUCION

95

−

con par´ametro de no centralidad δ = µ/σ y Σ es un inverso generalizado sim´etrico de Σ. Demostraci´ on. Es an´aloga a la del Teorema 1, reemplazando Q −

−

−1

−

−

por Q , donde Q es un

−

inverso generalizado sim´etrico de Q, con lo cual Σn = Q Q y con rk Σn = r < n. De este modo, la distribuci´on Gt no centrada tiene r g.l. y el mismo par´ametro de no centralidad dado en (6).

5.2.2

Distribuci´ on Gt bajo una Ley de Pearson Tipo VII Singular

A continuaci´on se estudia la distribuci´on Gt bajo una distribuci´on de Pearson tipo VII singular. [Gt bajo una ley de Pearson tipo VII] Sea X = (X1 XT2 )T con distribuci´on de Pearson tipo VII singular de rango r + 1. Entonces, T =

√

X1

nq

−

XT2 Σ X2

∼ Gt(r, δ; f ),

tiene densidad r

gT (t) =

r 2 Γ(m)

r 2

s Γ

³ ´ r 2

³

Γ m−

r 2

´ (r + t2 )−

r+1 2

∞ (−m) (−2 δ )k (s + δ 2 ) X k 1

r−2m−k−1 2

)Γ

³

r+k+1 2

´

k! sk Γ (m + k)

k=0

Γ

³

2m+k−r−1 2

´

,

(5.6) donde δ = µ1 y δ1 = (tδ)/(r + t2 )1/2 . Demostraci´ on. Sea X con distribuci´on de Pearson singular de rango r + 1 de par´ametros r+1 m> y s > 0. Entonces 2 f (u) =

·

Γ(m) r

³

(πs) 2 Γ m −

r 2

´

1+

u s

¸−m

.

As´ı, como r

gT (t) =

2(rπ) 2 Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

r+1 2

Z∞

f (y 2 − 2δ1 y + δ 2 ) y r dy; 0

t ∈ IR,

96

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA tδ

con δ = µ1 y δ1 =

1

, entonces

(r + t2 ) 2

Z∞

r

gT (t) = =

2(rπ) 2 Γ

2 − r+1 2

³ ´ (r + t ) r 2

2 r Γ(m) ³

r 2

(πs)

0 r 2

s Γ m−

r 2

´

Γ

"

Γ(m) r+k 2

³

Γ m−

2 − r+1 2

Z∞ "

³ ´ (r + t ) r 2

0

r 2

´

y 2 − 2δ1 y + δ 2 1+ s

y 2 − 2δ1 y + δ 2 1+ s

#−m

y r dy

#−m

y r dy,

usando el desarrollo en serie dado en Anderson y Fang [1, p´ag. 85], se tiene "

y 2 − 2δ1 y + δ 2 1+ s

#−m

=

∞ X (−m)k

Ã

k!

k=0

−2 δ1 y s

!k Ã

y2 + δ2 1+ s

!−k−m

,

tal que r

gT (t) =

2 r 2 Γ(m) r 2

³

s Γ m−

r 2

´

Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2 Z∞ X ∞ 0

k=0

r+1 2

(−m)k k!

Ã

−2 δ1 y s

!k Ã

y2 + δ2 1+ s

!−k−m

y r dy

r

=

2 r 2 Γ(m) r 2

³

s Γ m−

r 2

´

Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

!−k−m ∞ Ã ∞ X (−m)k (−2 δ1 )k Z (s + δ 2 ) + y 2

k! sk

k=0

=

r 2

2 r Γ(m) r

³

s2 Γ m −

r 2

r+1 2

´

Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

(s + δ 2 )−(k+m) 0

0

r+1 2

y2 1+ s + δ2

r

=

2 r 2 Γ(m) r 2

³

s Γ m−

r 2

´

Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

r+1 2

k! sk

!−k−m Ã

y2 s + δ2

k! sk

k=0

0

y2 1+ s + δ2

q

−→

y=

2

u (s + δ 2 ),

(s + δ 2 )

(s + δ 2 )

!−k−m Ã

Considere ahora el cambio de variable y2 s + δ2

! r+k

∞ X (−m)k (−2 δ1 )k

Z∞ Ã

u=

y r dy

∞ X (−m)k (−2 δ1 )k k=0

Ã

Z∞

s

r+k 2

dy

r−k −m 2

y2 s + δ2

! r+k 2

dy.

´ GT DOBLE NO CENTRADA 5.2. DISTRIBUCION cuyo jacobiano es

97

1

dy (s + δ 2 ) 2 = , J= 1 du 2 2u con lo cual r

gT (t) =

2 r 2 Γ(m) ³

r 2

s Γ m−

r 2

´

Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

r+1 2

∞ X (−m)k (−2 δ1 )k

k!

k=0

sk

(s + δ 2 )



Z∞

(1 + u)−k−m u

r+k 2

=

r Γ(m)

³

r 2

s Γ m−

r 2

´

Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

r+1 2

1 δ2) 2

 (s +  1



du 

2 u2

0 r 2

r−k −m 2

∞ X (−m)k (−2 δ1 )k

k!

k=0

Z∞

u

sk

r+k+1 −1 2

(s + δ 2 )

(1 + u)−

r−k+1 −m 2

r+k+1 2m−r+k−1 − 2 2

du

0

=

r 2

r Γ(m)

³

r 2

s Γ m−

r 2

´

Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

r+1 2

∞ (−m) (−2 δ )k (s + δ 2 ) X k 1

Γ

³

n+k+1 2

´

Γ

³

2m−r+k−1 2

´

k! sk Γ(k + m)

k=0

5.2.3

r−k+1 −m 2

Distribuci´ on Gt bajo una Ley de Tipo Kotz Singular

A continuaci´on se estudia la distribuci´on Gt bajo una distribuci´on de tipo Kotz singular. [Gt bajo una ley de tipo Kotz] Sea X = (X1 XT2 )T con distribuci´on de tipo Kotz singular de rango r, con m = 2 y s = 1. Entonces, T =

√

X1

nq

−

XT2 Σ X2

∼ Gt(r, δ; f ),

tiene densidad r

gT (t) =

r

4r 2 −1 s 2 +1

Γ

³ ´ r 2

(r + t2 )−

r+1 2

exp(−s δ 2 )

∞ X −sk (r + 2k) Γ(r + 2k) k=0

k! (2s δ1 )r+2k+1

"

#

r + 2k + 1 (r + 2k + 2)(r + 2k + 1) − 2δ + δ2 , 1 (2s δ1 )2 2s δ1

98

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA (5.7)

donde δ = µ1 y δ1 = (tδ)/(r + t2 )1/2 . Demostraci´ on. Sea X con distribuci´on de Tipo Kotz Singular de rango r de par´ametros m, t y s, y 2m + r > 2, t > 0, s > 0. Entonces ts

f (u) =

2m+r−2 2t

r 2

π Γ

³

³ ´

r 2 ´ 2m+r−2 2t

Γ

³

´

um−1 exp −s ut ;

2m > r − 2, t, s > 0.

Considere el caso en que m = 2 y t = 1, con lo cual r

2 s 2 +1 f (u) = u exp(−s u). r r π2 lo que conduce a r

gT (t) =

2(rπ) 2 Γ

³ ´ (r + t2 )− r 2

Z∞ 0

=

4r

r −1 2

Γ

s

r +1 2

³ ´ r 2

r+1 2

r

2 s 2 +1 2 (y − 2δ1 y + δ 2 ) exp(−s (y 2 − 2δ1 y + δ 2 )) y r dy r r π2

(r + t2 )−

r+1 2

exp(−s δ 2 )

 ∞ Z  y r+2 exp(−s y 2 ) exp(2s δ1 y) dy 0

Z∞

y r+1 exp(−s y 2 ) exp(−2δ1 y) dy

−2δ1 0



Z∞

+δ 2

y r+1 exp(−s y r ) exp(−2s δ1 y) dy  . 0

Usando ahora el desarrollo en serie exp(−s y 2 ) =

∞ X (−s y 2 )k k=0

k!

y la funci´on Gamma Z∞

Z∞

y 0

r+2k

y (r+2k+1)−1 exp(2s δ1 y) dy =

exp(2s δ1 y) dy = 0

Γ(r + 2k + 1) , (2 s δ1 y)r+2k+1

´ GT DOBLE NO CENTRADA 5.2. DISTRIBUCION

99

se obtiene finalmente gT (t) =

r

r

(r +

r+1 t2 )− 2

4r 2 −1 s 2 +1

Γ

³ ´ r 2

exp(−s δ 2 )

∞ X −sk (r + 2k) Γ(r + 2k)

"

k! (2s δ1 )r+2k+1

k=0

tδ

con δ = µ1 y δ1 =

1

#

(r + 2k + 2)(r + 2k + 1) r + 2k + 1 − 2δ1 + δ2 , 2 (2s δ1 ) 2 s δ1

.

(r + t2 ) 2

5.2.4

Distribuci´ on Gt Doble No Centrada

A continuaci´on se presenta la distribuci´on Gt doble no centrada bajo singularidad y no singularidad de la distribuci´on El´ıptica asociada y su respectiva densidad.

h

Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1 (ν, Σ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; ν ∈ IRn , ν = µ µTn 



2  σ

µ ∈ IR, µ 6= 0, µn ∈ IRn y µn 6= 0; Σ ∈ IR(n+1)×(n+1) , Σ = 

iT

0 

0

Σn

 , Σn ∈ IR

n×n

,

y

rk Σn = n. Entonces, T =

√

nq

X1 XT2 Σ−1 n X2

∼ Gt(n, δ, γ; f ),

(5.8) −1

con par´ametros de doble no centralidad δ = µ/σ y γ = (1/2) µnT Σn µn . h

Demostraci´ on. Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1 (ν, Σ; f ), con ν ∈ IRn , ν = µ µTn 

y µ 6= 0, µn ∈ IR

n



2  σ y µn = 6 0; Σ = 

0 

0 Σn T descomposici´on Σn = Q Q , de modo que 

iT



 ∈ IR

(n+1)×(n+1)





y rk Σn = n. Considere la





−1 −1 0  X1   Y1   σ  σ Y= · X = . =   −1 −1 Y2 0 Q Q X2

Entonces, Y = (Y1 Y2T )T ∼ ECn+1 (η, In+1 ; f ), con Y1 ∈ IR y Y2 ∈ IRn ; η ∈ IRn+1 , 

η= 



σ 0

−1



0   σ ·ν = −1 Q 0

  −1



, µ ∈ IR





0   µ   µ/σ  .  =  −1 · −1 Q µn Q µn

100

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA

Finalmente, T =

√

nq

Y1 Y2T Y2

=

√

√ X1 X1 n q −1 = nq ∼ Gt(n, δ, γ; f ), −1 (Q X2 )T (Q X2 ) XT2 Σ−1 X 2 n −1

donde δ = µ/σ y γ = (1/2) µTn Σn µn . De manera similar al caso no singular, es posible obtener la distribuci´on Gt doble no centrada bajo una distribuci´on El´ıptica singular. Esta singularidad afecta los g.l. de la distribuci´on de T , tal como en el caso de las distribuci´on Gχ2 , tal como se ver´a a continuaci´on.

h

Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1 (ν, Σ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; ν ∈ IRn , ν = µ µTn 



2  σ

µ ∈ IR, µ 6= 0, µn ∈ IRn y µn 6= 0; Σ ∈ IR(n+1)×(n+1) , Σ = 

iT

0

0  Σn

 , Σn ∈ IR

n×n

,

y

rk Σn = r < n. Entonces, T =

√

X1

nq

−

XT2 Σn X2

∼ Gt(r, δ, γ; f ),

(5.9) −

con par´ametros de doble no centralidad δ = µ/σ y γ = (1/2) µTn Σn µn . −1

−

Demostraci´ on. Es an´aloga a la del Teorema 2.113, reemplazando Σn por Σn y considerando que rk Σn = r < n, con lo cual la distribuci´on Gt doble no centrada tiene r g.l. y par´ametros −

de doble no centralidad δ = µ/σ y γ = (1/2) µTn Σn µn .

5.3

Distribuci´ on GF Doble No Centrada

Tal como se mencion´o, la distribuci´on GF es la distribuci´on F obtenida bajo una ley El´ıptica. En esta secci´on se presentan las distribuciones GF centrada, no centrada y doble no centrada, obtenidas bajo una distribuci´on El´ıptica singular y no singular. La distribuci´on GF, al igual que la distribuci´on Gt, juega un papel similar a la distribuci´on F bajo la teor´ıa de inferencia Normal, y corresponde a la distribuci´on de Ã

V =

XT1 X1 m

! ,Ã

XT2 X2 n

!

=

n XT1 X1 , m XT2 X2

(5.10)

´ GF DOBLE NO CENTRADA 5.3. DISTRIBUCION

101

cuando X = (XT1 XT2 )T ∈ IRm+n , con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn , sigue una distribuci´on El´ıptica. De la misma forma que en el caso de la distribuci´on Gt, se usa la invarianza de la distribuci´on GF bajo leyes El´ıpticas con par´ametros de posici´on igual a cero y de escala igual a la identidad (vea [32, p. 67]), se obtiene que si X = (X1 XT2 )T ∼ ECm+n (0, In+1 ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn , entonces V =

n XT1 X1 ∼ GF(m, n; f ), m XT2 X2

(5.11)

la cual coincide con la del caso de una distribuci´on Normal, esto es, GF(m, s; f ) ≡ F (m, n), ∀f .

5.3.1

Distribuci´ on GF No Centrada

A continuaci´on se presenta la densidad de una distribuci´on GF no centrada bajo singularidad y no singularidad de la distribuci´on El´ıptica asociada. m Sea XT = (X1 X2 ) ∼ ECm+n (ν, Σm+n ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈IRn ; ν ∈ IRm+n ,  h iT Σm 0  m×m ν = µT 0T , µ ∈ IRm y µ 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n) , Σ =  y   , Σm ∈ IR 0 Σn rk Σm = m, Σn ∈ IRn×n y rk Σn = n. Entonces,

V =

n XT1 Σ−1 m X1 ∼ GF(m, n; δ; f ), T m X2 Σ−1 n X2

(5.12)

con par´ametro de no centralidad δ = (1/2) µT Σ−1 m µ. h

iT

Demostraci´ on. Sea XT = (X1 X2 ) ∼ ECm+n (ν, Σ; f ), con ν ∈ IRm+n , ν = µT 0T , 



 Σm

µ ∈ IRm y µ 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n) , Σ = 

0 

 , rk Σm = m, Σn ∈ IR

0 Σn T rk Σn = n. Considere la descomposici´on Σm = P P y Σn = Q QT , de modo que   P

Y=HX=

−1

0





0   X1  Q

−1



X2



−1



 P X1 

=

−1

Q X2

n×n

y





 Y1 

=

Y2

.

h

iT

Entonces, Y = (Y1T Y2T )T ∼ ECm+n (η, Im+n ; f ), con Y1 ∈ IRm y Y2 ∈ IRn ; η = ζ T 0T , −1

ζ ∈ IRm y ζ = P µ 6= 0.

102

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA

Finalmente, −1

n Y1T Y1 n XT1 Σm X1 V = = ∼ GF(m, n; δ; f ), m Y2T Y2 m XT2 Σ−1 n X2 −1

con δ = (1/2) ζ T ζ = (1/2) µT Σm µ. De [32, p. 87] se sabe que si V ∼ GF(m, n; δ; f ), entonces su funci´on de densidad es gV (v) =

Γ

³

2π

µ

n+m−1 2

m−1 2

´

Γ

³ ´ n 2

m m v n n

¶ m−2 µ 2

1+

m v n

¶− m+n 2

Zπ Z∞

senm−2 θ y m+n−1 f (y 2 − 2ηy cos θ + γ 2 ) dθ dy, v > 0, 0

0

(5.13) donde δ es el par´ametro de no centralidad, η = ((m v)/(n + mv))1/2 γ y γ 2 = 2δ. Sea V ∼ GF(m, n; δ; f ) y f expandible en serie de Taylor en IR. Entonces, una forma alternativa de expresar la densidad de V es gV (v) =

2π Γ

m+n 2

³ ´ n 2

m n

µ

m v n

¶ m−2 µ 2

m v 1+ n

¶− m+n

∞ X

2

Z∞

γ 2k

k=0

k! Γ

³

n 2

+k

y m+n+k−1 f (2k) (y + γ 2 ) dy,

´

v > 0,

0

(5.14) donde δ es el par´ametro de no centralidad, 2δ = γ 2 y f (2k) (·) es la 2k-´esima derivada de f . Demostraci´ on. Si V ∼ GF(m, n, δ; f ), entonces su densidad est´a dada por (12). Considere ahora 2π

µ

n+m −1 2

m m gV (v) = ³ m−1 ´ ³ n ´ v n n Γ Γ 2

¶ m−2 µ 2

2

m 1+ v n

¶−1/2(m+n) Z∞

y m+n−1 T (y) dy,

0

Zπ

senm−2 θ f (y 2 − 2ηy cos θγ 2 ) dθ puede expresarse de la forma

de modo que T (y) = 0

µ

T (y) = π

1/2

m−1 Γ 2

¶ X ∞ k=0

γ 2k

³

k! Γ k +

n 2

´ y k f (2k) (u + γ 2 ).

´ GF DOBLE NO CENTRADA 5.3. DISTRIBUCION

103

As´ı, finalmente, gV (u) =

m+n 2

m ³ ´ n n Γ

2π

2

µ

m v n

¶ m−2 µ 2

∞ X k=0

m 1+ v n

k! Γ k +

2

Z∞

γ 2k

³

¶− m+n

n 2

y m+n+k−1 f (2k) (y + γ 2 ) dy;

´

u > 0,

0

donde 2γ = δ y f (2k) (·) es la 2k-´esima derivada de f . De forma an´aloga al caso no singular, tambi´en es posible obtener la distribuci´on GF no centrada bajo una distribuci´on El´ıptica singular. Esta singularidad afecta los g.l. de la distribuci´on de V , tal como en el caso de las distribuciones Gχ2 y Gt, tal como se ver´a a continuaci´on. m Sea X = (XT1 XT2 )T ∼ ECm+n (ν, Σm+n ; f ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn ; ν ∈ IRm+n ,  h iT Σm 0  m×m ν = µT 0T , µ ∈ IRm y µ 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n) , Σ =  y   , Σm ∈ IR 0 Σn rk Σm = r < m, Σn ∈ IRn×n y rk Σn = s < n. Entonces, −

n XT1 Σm X1 ∼ GF(r, s; δ; f ), V = m XT2 Σ− X 2 n

(5.15)

−

con par´ametro de no centralidad δ = (1/2) µT Σm µ. −

−1

−1

−

Demostraci´ on. Es an´aloga a la del Teorema 3.116 reemplazando Σm por Σm y Σn por Σn ; considerando adem´as que rk Σm = r < m y rk Σn = s < n, con lo cual la distribuci´on GF no −

centrada tiene r y s g.l. y par´ametro de no centralidad δ = (1/2) µT Σm µ.

5.3.2

Distribuci´ on GF bajo una Ley de Pearson Tipo VII Singular

A continuaci´on se presenta la distribuci´on GF no centrada bajo singularidad y no singularidad de la distribuci´on El´ıptica asociada. [GF bajo una ley de Pearson tipo VII] Sea X = (XT1 XT2 ) con distribuci´on de Pearson tipo VII singular de rango r1 + r2 . Entonces −

r2 XT1 Σ11 X1 V = ∼ GF(r1 , r2 ; δ; f ), r1 XT Σ− X2 2 22

104

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA

tiene densidad 2 Γ(m) sm−

µ

r1 +r2 2

r1 ´ ³ ´ gV (v) = ³ 2 Γ r22 r2 Γ m − r1 +r 2

r1 v r2

¶ r1 −2 µ

r1 1+ v r2

2

¶− r1 +r2 2

∞ X (m)2k γ 2k Γ(r1 + r2 + k) Γ(m + k − r1 − r2 ) ³ ´ (s + γ 2 )r1 +r2 −m−k ;

k! Γ

k=0

r2 2

+k

Γ(m + 2k)

v>0 (5.16)

−

donde γ 2 = 2δ = µT1 Σ11 µ1 . Demostraci´ on. Sea X con distribuci´on de Pearson tipo VII singular de rango r1 + r2 y r1 + r2 par´ametros m > y s > 0. Entonces 2 f (u) =

·

Γ(m) (πs)

³

r1 +r2 2

Γ m−

r1 +r2 2

u 1+ s

´

¸−m

y f (2k) (u) =

Γ(m) (π s)

r1 +r2 2

³

Γ m−

Ahora, como

r1 +r2 2

´ sm (m)2k (s + u)−m−2k .

−

r2 XT1 Σ11 X1 V = ∼ GF(r1 , r2 ; δ; f ), r1 XT Σ− X2 2 22 −

con δ = (1/2) µT1 Σ11 µ1 , se puede expresar su densidad como gV (v) =

2π Γ

r1 +r2 2

³

r2 2

´

r1 r2

µ

r1 v r2

¶ r1 −2 µ 2

r1 1+ v r2 ∞ X

¶− r1 +r2 2

γ 2k

³

r2 2

Z∞

y r1 +r2 +k−1 f (2k) (y + γ 2 ) dy,

´

k! Γ +k 0 2 T (2k) donde γ = 2δ = µ µ y f (·) es la 2k-´esima derivada de f (·). k=0

v > 0,

En nuestro caso particular 2π

r1 +r2 2

r1 ³ ´ gV (v) = r2 Γ r2 2

µ

r1 v r2

¶ r1 −2 µ 2

r1 1+ v r2

¶− r1 +r2 X ∞ 2

Z∞

y r1 +r2 +k−1 0

k=0

γ 2k

k! Γ

³

r2 2

+k

´

Γ(m) sm (m)2k (π s)

r1 +r2 2

³

Γ m−

r1 +r2 2

´ (s + y + γ 2 )−m−2k dy;

´ GF DOBLE NO CENTRADA 5.3. DISTRIBUCION

=

2π (π s)

r1 +r2 2

r1 +r2 2

Γ(m)

r1 ³ ´ ³ ´ 2 Γ m − r1 +r Γ r22 r2 2

µ

r1 v r2

105

¶ r1 −2 µ 2

r1 1+ v r2

¶− r1 +r2 X ∞ 2 γ 2k sm (m)2k ´ ³ k=0

k! Γ

r2 2

+k

Z∞

y r1 +r2 +k−1 (s + y + γ 2 )−m−2k dy 0

=

2π (π s)

r1 +r2 2

r1 ³ ´ ³ ´ 2 Γ m − r1 +r Γ r22 r2 2

Z∞ Ã 0

=

r1 +r2 2

Γ(m)

y s + γ2

2π (π s)

r1 +r2 2

r1 +r2 2

µ

r1 v r2

¶ r1 −2 µ 2

r1 1+ v r2

¶− r1 +r2 X ∞ 2 γ 2k sm (m)2k ³ ´ k=0

!r1 +r2 +k−1

à 2 r1 +r2 +k−1

(s + γ )

r1 ³ ´ ³ ´ 2 Γ m − r1 +r Γ r22 r2 2 Γ(m)

Z∞ Ã 2 r1 +r2 −m−k

(s + γ )

0

k! Γ

µ

y s + γ2

r1 v r2

2 −m−2k

(s + γ )

¶ r1 −2 µ 2

r1 1+ v r2

!r1 +r2 +k−1 Ã

y 1+ s + γ2

r2 2

+k

!−m−2k

dy

¶− r1 +r2 X ∞ 2 γ 2k sm (m)2k ³ ´

y 1+ s + γ2

k=0

k! Γ

r2 2

+k

!−(m+2k)

(s + γ 2 )−1 dy,

con v > 0. Considere el cambio de variable u = y/(s + γ 2 )

−→

y = u/(s + γ 2 )−1 , cuyo jacobiano es

J = (s + γ 2 )−1 , con lo cual Z∞ Ã 0

y s + γ2

!r1 +r2 +k−1 Ã

y 1+ s + γ2

!−m−2k

(s + γ 2 )−1 dy = Z∞

u(r1 +r2 +k)−1 (1 + u)−(r1 +r2 +k)−(m+k−r1 −r2 du 0

y de esta manera Z∞ Ã 0

y s + γ2

!r1 +r2 +k−1 Ã

y 1+ s + γ2

!−m−2k

(s + γ 2 )−1 dy = Γ(r1 + r2 + k) Γ(m + k − r1 − r2 ) Γ(m + 2k)

y as´ı finalmente

106

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA

gV (v) =

(π s)

r1 +r2 2

r1 +r2 2

r1 ³ ´ ³ ´ r1 +r2 r2 Γ m− 2 Γ 2 r2

2π

Γ(m)

µ

r1 v r2

¶ r1 −2 µ

r1 1+ v r2

2

¶− r1 +r2 2

∞ X Γ(r1 + r2 + k) Γ(m + k − r1 − r2 ) γ 2k sm (m)2k ³ ´ (s + γ 2 )r1 +r2 −m−k ,

2 Γ(m) sm−

r2 2

k! Γ

k=0

µ

r1 +r2 2

r1 ´ ³ ´ = ³ r1 +r2 r2 Γ m− 2 Γ 2 r2

Γ(m + 2k)

+k

r1 v r2

¶ r1 −2 µ

r1 1+ v r2

2

¶− r1 +r2 2

∞ X (m)2k γ 2k Γ(r1 + r2 + k) Γ(m + k − r1 − r2 ) ³ ´ (s + γ 2 )r1 +r2 −m−k ,

k! Γ

k=0

con v > 0.

5.3.3

r2 2

+k

Γ(m + 2k)

Distribuci´ on GF bajo una Ley de Tipo Kotz

A continuaci´on se estudia la distribuci´on GF bajo una distribuci´on de tipo Kotz singular. [GF bajo una ley de tipo Kotz] Sea X con distribuci´on de tipo Kotz singular de rango r1 + r2 . Entonces

−

r2 XT1 Σ11 X1 V = ∼ GF(r1 , r2 ; δ; f ), r1 XT Σ− X2 2

22

tiene densidad gV (v)

2m+r−2 2t

³

´

r1 +r2 2 ³ ´ ³ ´ = r2 2m+r1 +r2 −2 Γ 2 Γ 2t ∞ ∞ X X

2ts

Γ

r1 r2

µ

r1 v r2

¶ r1 −2 µ 2

r1 1+ v r2

¶− r1 +r2 2

(t(z + 2k) + m − 1)2k γ 2(r1 +r2 +t(z+2k)+m−1) (−s)2(k+1) ³

´

k! (z + 2k)! Γ r22 + k Γ(r1 + r2 + k) Γ(k + 1 − r1 − r2 − m − t(z + 2k)) ; Γ(2k + 1 − m − t(z + 2k))

k=0 z=l−2k=0

v > 0, (5.17)

−

donde γ 2 = 2δ = µT1 Σ11 µ1 . Demostraci´ on. Sea X con distribuci´on de tipo Kotz singular de rango r1 + r2 y par´ametros m, t y s, con 2m + r1 + r2 > 2, t > 0, s > 0. Entonces f (u) =

ts r 2

2m+r−2 2t

π Γ

³

³ ´

r 2 ´ 2m+r−2 2t

Γ

³

´

um−1 exp −s ut ;

2m > r − 2, t, s > 0

´ GF DOBLE NO CENTRADA 5.3. DISTRIBUCION

107

y f (2k) (u) =

ts

2m+r−2 2t

r1 +r2 2

π

Γ

³

Γ

³

r1 +r2 2

´ ´

2m+r1 +r2 −2 2t

∞ X

(t(z + 2k) + m − 1)2k ut(z+2k)+m−1−2k . (−s)−2(k+1) (z + 2k)! z=l−2k=0

Ahora, como −

r2 XT1 Σ11 X1 V = ∼ GF(r1 , r2 ; δ; f ), r1 XT Σ− X2 2 22 −

con δ = (1/2) µT1 Σ11 µ1 , se puede expresar su densidad como 2π

r1 +r2 2

r1 ³ ´ gV (v) = r2 r2 Γ

µ

2

r1 v r2

¶ r1 −2 µ 2

r1 v 1+ r2

¶− r1 +r2

∞ X

2

Z∞

γ 2k

k! Γ

k=0

³

r2 2

+k

y r1 +r2 +k−1 f (2k) (y + γ 2 ) dy,

´

v > 0,

0

donde γ 2 = 2δ = µt µ y f (2k) (·) es la 2k-´esima derivada de f (·). En nuestro caso particular 2π

r1 +r2 2

r1 ³ ´ gV (v) = r2 Γ r2

µ

2

r1 v r2

¶ r1 −2 µ 2

r1 1+ v r2

¶− r1 +r2 X ∞ 2

γ 2k

k! Γ

k=0

Z∞

y r1 +r2 +k−1 0

ts π

³

r2 2

+k

2m+r−2 2t

r1 +r2 2

Γ

³

Γ

´

³

r1 +r2 2

´

2m+r1 +r2 −2 2t

´

∞ X

(t(z + 2k) + m − 1)2k (y + γ 2 )t(z+2k)+m−1−2k dy; (−s)−2(k+1) (z + 2k)! z=l−2k=0

=

2m+r−2 2t

³

´

r1 +r2 2 ³ ´ ³ ´ 2m+r1 +r2 −2 r2 Γ 2 Γ 2t

2ts

Γ

∞ X

r1 r2

∞ X

µ

r1 v r2

¶ r1 −2 µ 2

r1 1+ v r2

¶− r1 +r2 2

(t(z + 2k) + m − 1)2k γ 2k (−s)2(k+1) k! (z + 2k)! Γ

k=0 z=l−2k=0

³

´

r2 +k 2 Z∞ r1 +r2 +k−1

y

2m+r−2 2t

=

³

0

´

2 2ts Γ r1 +r 2 ³ ´ ³ ´ Γ r22 Γ 2m+r12t+r2 −2

r1 r2

µ

r1 v r2

¶ r1 −2 µ 2

r1 1+ v r2

¶− r1 +r2 2

(y + γ 2 )t(z+2k)+m−1−2k dy.

108

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA ∞ X

∞ X

(t(z + 2k) + m − 1)2k γ 2k (−s)2(k+1) k! (z + 2k)! Γ

k=0 z=l−2k=0

Z∞ Ã 0

=

2m+r−2 2t

y γ2

³

!r1 +r2 +k−1

∞ X

∞ X

Γ

r2 2

+k

´

γ 2(r1 +r2 +k−1) γ 2(t(z+2k)+m−1−2k) (1 + y)t(z+2k)+m−1−2k dy ´

r1 +r2 2 ³ ´ ³ ´ r2 2m+r1 +r2 −2 Γ 2 Γ 2t

2ts

³

r1 r2

µ

r1 v r2

¶ r1 −2 µ

r1 1+ v r2

2

¶− r1 +r2 2

(t(z + 2k) + m − 1)2k γ 2k (−s)2(k+1) k! (z + 2k)! Γ

k=0 z=l−2k=0

³

r2 2

+k

Z∞ Ã

γ

2(r1 +r2 +t(z+2k)+m−1−k) 0

Considere el cambio de variable u = y/γ 2

´

y γ2

!r1 +r2 +k−1 Ã

y 1+ 2 γ

!t(z+2k)+m−1−2k

γ −2 dy.

y = u γ 2 , cuyo jacobiano es J = γ −2 , con

−→

lo cual Z∞ Ã 0

y γ2

!r1 +r2 +k−1 Ã

y 1+ 2 γ

!t(z+2k)+m−1−2k

γ −2 dy = Z∞

u(r1 +r2 +k)−1 (1 + u)−(r1 +r2 +k)−(k+1−r1 −r2 −m−t(z+2k)) du. 0

Aplicando ahora la funci´on Beta, se tienes Z∞ Ã 0

y γ2

!r1 +r2 +k−1 Ã

y 1+ 2 γ

!t(z+2k)+m−1−2k

γ −2 dy = Γ(r1 + r2 + k) Γ(k + 1 − r1 − r2 − m − t(z + 2k)) . Γ(2k + 1 − m − t(z + 2k))

As´ı, finalmente se obtiene que gV (v)

2m+r−2 2t

³

´

r1 +r2 2 = ³ r ´ ³ 2m+r +r −2 ´ 2 1 2 Γ 2 Γ 2t ∞ ∞ X X

2ts

Γ

r1 r2

µ

r1 v r2

¶ r1 −2 µ 2

r1 1+ v r2

¶− r1 +r2 2

(t(z + 2k) + m − 1)2k γ 2(r1 +r2 +t(z+2k)+m−1) (−s)2(k+1)

k=0 z=l−2k=0

k! (z + 2k)! Γ

³

r2 2

+k

´

Γ(r1 + r2 + k) Γ(k + 1 − r1 − r2 − m − t(z + 2k)) . Γ(2k + 1 − m − t(z + 2k))

´ GF DOBLE NO CENTRADA 5.3. DISTRIBUCION

5.3.4

109

Distribuci´ on GF Doble No Centrada

A continuaci´on se presenta la distribuci´on GF doble no centrada bajo singularidad y no singularidad de la distribuci´on El´ıptica asociada y su respectiva densidad. Sea X = (XT1 XT2 )T ∼ ECm+n (ν, Σ; f ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn ; ν ∈ IRm+n , ν = h iT Σm 0  T νm νnT , νm ∈ IRm , νm 6= 0, νn ∈ IRn y νn 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n) , Σ =   , 0 Σn Σm ∈ IRm×m y rk Σm = m, Σn ∈ IRn×n y rk Σn = n. Entonces, −1

n XT1 Σm X1 ∼ GF(m, n; δ, γ; f ), V = m XT2 Σ−1 n X2

(5.18)

−1

−1

T con par´ametros de doble no centralidad δ = (1/2) νm Σm νm y γ = (1/2) νnT Σn νn .

h

T T Demostraci´ on. Sea X = (X1 X2 )T ∼ ECm+n (ν, Σ; f ), con ν ∈ IRm+n , ν = νm νn



iT



,

Σm 0  νm ∈ IRm , νm 6= 0, νn ∈ IRn y νn 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n) , Σ =    , rk Σm = m, 0 Σn Σn ∈ IRn×n y rk Σn = n. Considere la descomposici´on Σm = P PT y Σn = Q QT , de modo que

  P

Y=HX=



−1

0



0   X1  Q

−1



X2



−1



 P X1 

=

−1

Q X2





 Y1 

=

Y2

. h

Entonces, Y = (Y1T Y2T )T ∼ ECm+n (µ, Im+n ; f ), con Y1 ∈ IRm y Y2 ∈ IRn ; µ = µTm µTn −1

iT

,

−1

µm ∈ IRm , µm = P νm 6= 0, µn ∈ IRn y µn = Q νn 6= 0. Finalmente,

−1

n Y1T Y1 n XT1 Σm X1 V = = ∼ GF(m, n; δ, γ; f ), m Y2T Y2 m XT2 Σ−1 n X2 −1

−1

T Σm νm y γ = (1/2) µTn µn = (1/2) νnT Σn νn . con δ = (1/2) µTm µm = (1/2) νm

Sea V ∼ GF(m, n; δ, γ; f ). Entonces, la densidad de V es 2π

µ

n+m −1 2

m m gV (v) = ³ m−1 ´ ³ n−1 ´ v n n Γ Γ Zπ Zπ Z∞

2

2

¶ m−2 µ 2

m 1+ v n

¶− m+n 2

(5.19)

senm−2 θ senn−2 φ y m+n−1 f (y 2 − 2y η∗ cos θ + η 2 − 2 y ζ∗ cos θ + ζ 2 ) dy dθ dφ, 0 0

0

110

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA

con par´ametros de doble no centralidad δ y γ, donde µ

2

mv η∗ = n + mv

2

η = 2 δ,

ζ = 2 γ,

¶1/2

µ

η

n y ζ∗ = mv

¶1/2 µ

n 1+ mv

¶−1/2

ζ.

Demostraci´ on. Sea X = (XT1 XT2 )T ∼ ECm+n (ν, Im+n ; f ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn ; h

T ν = νm νnT

iT

, νm ∈ IRm , νn ∈ IRn y νm , νn 6= 0. Considere ahora la transformaci´on Y = H X,

con H ∈ O(m + n), de modo que 

Y=HX= 



H1 0



 











0   H1 0   X1   H1 X1   Y1   X=    =  = , H2 0 H2 X2 H2 X2 Y2

esto es, Y1 = H1 X1 , H1 ∈ O(m), tal que kY1 k = kH1 X1 k = (XT1 (HT1 H1 ) X1 )1/2 = kX1 k y Y2 = H2 X2 , H2 ∈ O(n), con kY2 k = kH2 X2 k = (XT2 (HT2 H2 ) X2 )1/2 = kX2 k, de h

manera que Y = (Y1T Y2T )T ∼ ECm+n (µ, Im+n ; f ), con Y1 ∈ IRm y Y2 ∈ IRn ; µ = µTm µTn

iT

,

µm ∈ IRm , µm = [kνm k 0T ]T , µn ∈ IRn y µn = [kνn k 0T ]T . As´ı   m n+m X X gY (Y) = f ((Y−µ)T (Y−µ)) = f  yi2 + kνm k2 − 2kνm k y1 + yi2 + kνn k2 − 2kνn k ym+1  . i=1

i=m+1

Considere la transformaci´on de coordenadas esf´ericas generalizadas dada por (Y1 . . . Ym ) −→ (r θ1 . . . θm−1 ) = (r θ) y (Ym+1 . . . Ym+n ) −→ (s φ1 . . . φm−1 ) = (r φ), de manera que gr,θ;s,φ ((r θ); (s φ)) = gY (Y) · |J| = f (r12 + δ 2 − 2δ r1 cos θ + r22 + γ 2 − 2γ r cos φ1 )  1  2 m−2 Y

r1m−1 r2n−1 

j=1

senm−j−1 θj 

Ãn−2 Y

!

senn−k−1 φk ,

k=1

donde δ = kνm k, γ = kνn k y |J| es le valor absoluto del jacobiano de la transformaci´on. As´ı la densidad de (r1 , r2 ) es gr1 ,r2 (r1 , r2 ) =

Γ

³

4π m−1 2

m+n −1 2

´

Γ

³

n−1 2

´ r1m−1 r2n−1

´ GF DOBLE NO CENTRADA 5.3. DISTRIBUCION

111

Zπ Zπ

f (r12 + δ 2 − 2δ r1 cos θ1 + r12 + γ 2 − 2γ r2 cos φ1 ) senm−2 θ1 senn−2 φ1 dθ1 d φ1 ;

r1 , r2 > 0.

0 0

Aplicando el cambio de variables w = r y v = se obtiene que gV,W (v, w) =

2π

³

m−1 2 Zπ Zπ Ã

Γ

µ

m+n −1 2

´

Γ

³

n−1 2

´

n m+n−1 n w m mv

f w 0 0

¶ n+2 2

¶

µ 2

n r12 , de modo que |J| = (1/2) (n/m)1/2 w v −3/2 , m r22

µ

n n 1+ − 2 w δ cos θ + δ 2 − 2 mv mv

!

¶1/2

w γ cos θ + γ

2

senm−2 θ1 senn−2 φ1 dθ1 dφ1 ; con w, v > 0. De este modo, la densidad de V = µ

n+m −1 2

m n ´ ³ ´ ³ gV (v) = Γ m−1 Γ n−1 n m v 2π 2

Ã

µ

f w2

2

n r12 es m r22

¶ n+2 Zπ Zπ Z∞ 2

senm−2 θ senn−2 φ wm+n−1 0 0

¶

0

µ

n n 1+ − 2 w δ cos θ + δ 2 − 2 mv mv

¶1/2

!

w γ cos θ + γ 2

dw dθ dφ,

donde γi2 = kνi k, i = 1, 2.. Usando ahora el cambio de variables µ

n y =w 1+ mv

¶1/2

µ

−→

n w = 1+ mv

¶−1/2

y cuyo jacobiano es J = (dw/dy) = (1 + n/(m v))1/2 , se obtiene finalmente gV (v) =

³

2π

n+m −1 2

m−1 2 Zπ Zπ Z∞

Γ

´

Γ

³

n−1 2

µ

´

m m v n n

¶ m−2 µ 2

m 1+ v n

¶− m+n 2

senm−2 θ senn−2 φ y m+n−1 f (y 2 − 2y δ∗ cos θ + δ 2 0 0

0

−2 y γ∗ cos θ + γ 2 ) dy dθ dφ µ

donde δ∗ =

mv n + mv

¶1/2

µ

δ y γ∗ =

n mv

¶1/2 µ

1+

n mv

¶−1/2

γ.

Similarmente, se puede obtener la distribuci´on GF doble no centrada bajo una distribuci´on El´ıptica singular, cuya singularidad afecta los g.l. de la distribuci´on de V , tal como en los casos anteriores.

112

CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA

Sea XT = (X1 X2 ) ∼ ECm+n (ν, Σ; f ), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn ; ν ∈ IRm+n , ν T = h i Σm 0  T νnT νm , νm ∈ IRm , νm 6= 0, νn ∈ IRn y νn 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n) , Σ =   , 0 Σn Σm ∈ IRm×m y rk Σm = r < m, Σn ∈ IRn×n y rk Σn = s < n. Entonces, −

s XT1 Σm X1 ∼ GF(r, s; δ, γ; f ), V = r XT2 Σ− X 2 n

(5.20)

−

−

T con par´ametros de doble no centralidad δ = (1/2) νm Σm νm y γ = (1/2) νnT Σn νn . −1

−

−

−1

Demostraci´ on. Es an´aloga a la del Teorema 9, reemplazando Σm por Σm y Σn por Σn ; considerando adem´as que rk Σm = r < m y rk Σn = s < n, con lo cual la distribuci´on −

GF no centrada tiene r y s g.l. y par´ametros de no centralidad δ = (1/2) µTm Σm µm y −

γ = (1/2) µTn Σn µn .

Chapter 6 Inferencias para el CV bajo una Ley El´ıptica 6.1

Introducci´ on

Se sabe que las medidas de dispersi´on se utilizan para evaluar la variabilidad de un conjunto de datos, siendo la desviaci´on est´andar la m´as utilizada. Sin embargo, ´esta entrega poca informaci´on de la variabilidad del conjunto si es interpretada en forma aislada, s´olo cuando se la relaciona con la media su interpretaci´on tiene mayor sentido. Por esta raz´on el coeficiente de variaci´on (CV), que relaciona ambas medidas, se emplea habitualmente. Considere una poblaci´on de media µ y desviaci´on est´andar σ. Entonces el CV se define como el cociente entre la desviaci´on est´andar y la media de esta poblaci´on, es decir, γ = σ/µ, con µ 6= 0. El CV mide la dispersi´on u homogeneidad de un conjunto de datos asociados a una variable aleatoria y es una medida de variabilidad relativa, es decir, es adimensional, pues representa a la desviaci´on est´andar por una unidad de media y resulta de particular inter´es cuando se desea comparar la variabilidad entre grupos cuyas medias y varianzas difieren. El CV ha sido utilizado frecuentemente para medir la variabilidad relativa en diversas ´areas y 113

114

CHAPTER 6. INFERENCIAS PARA EL CV BAJO UNA LEY EL´IPTICA

situaciones. A continuaci´on se presenta una detallada lista de aplicaciones. En experimentos qu´ımicos el CV se ha empleado para evaluar la precisi´on de las mediciones realizadas y para comparar dos m´etodos de medici´on (vea [64]). En Finanzas el CV se usa para medir el riesgo relativo de rentas variables, ya que a inversi´on (vea [63]). En Teor´ıa de Inventarios se ha utilizado el CV para comparar la variabilidad de dos niveles de almacenamiento, evaluando as´ı el riesgo de quedar desabastecidos y por ende incurrir en un costo de oportunidad (vea [64]). El CV tambi´en se ha usado en Ciencias F´ısicas, Biol´ogicas y M´edicas (vea [40]). Espec´ıficamente, en el ´area Biom´edica se ha ocupado el CV en la evaluaci´on de la homogeneidad de muestras ´oseas realizadas por un m´etodo espec´ıfico, ya que para evaluar la efectividad de un tratamiento sobre las propiedades del hueso es deseable obtener muestras que sean homog´eneas (vea [42]). En telecomunicaciones el CV es utilizado para evaluar el ruido de se˜ nales y el inverso del CV es denominado ”raz´on se˜ nal a ruido” (vea [60, p. 78]). Dentro del contexto de la Estad´ıstica se pueden encontrar tambi´en aplicaciones del CV. Concretamente, en un problema de muestreo cuando se desea estimar la media de una poblaci´on, es posible expresar el c´alculo del tama˜ no de la muestra por n = ((Z(1−α/2) γ)/q)2 , donde q(100)% es el porcentaje que se espera que difiera la media de su estimador; note que la expresi´on para calcular n queda en funci´on del CV, γ (vea [68, p. 254]). As´ı, si se asume que la variable es positiva y tiene distribuci´on Normal, entonces la media es aproximadamente igual a tres desviaciones est´andar, con lo cual se puede suponer que γ ≈ 1/3. Otra alternativa es asumir que la desviaci´on est´andar es tan grande como la media y as´ı γ = 1; aunque en estricto rigor se sabe que num´ericamente la desviaci´on est´andar puede ser mayor que la media, una situaci´on as´ı es algo inusual; de hecho en distribuciones de gran variabilidad como la de Poisson, por ejemplo, el CV es igual 1. En este u ´ltimo caso se estar´ıa considerando una situaci´on muy similar al criterio de m´axima varianza que se presenta en el caso de la estimaci´on de una proporci´on, es decir, cuando se desconoce cualquier informaci´on a priori respecto de la variabilidad de la poblaci´on. Por otro lado, en Modelos Lineales y An´alisis de Varianza el CV se emplea habitualmente para evaluar la bondad del ajuste de los datos al modelo. En An´alisis de Confiabilidad se han planteado tambi´en diversos usos del CV, como por ejemplo. En [14] se muestra que si la vida de una

´ 6.1. INTRODUCCION

115

m´aquina tiene distribuci´on Inversa Gaussiana, entonces dado que la m´aquina ha sobrevivido a un tiempo t, la vida media residual exceder´a la vida media original si el CV de esta poblaci´on √ es mayor a 1/ 2. En [13] se demuestra que si la distribuci´on de vida pertenece a la clase-l, entonces el CV es menor o igual a 1, siendo exactamente 1 cuando la funci´on de distribuci´on es exponencial. Asimismo, a pesar del limitado uso de la distribuci´on Normal en Confiabilidad, ´esta ha demostrado ser u ´til modelar datos de vida si µ > 0 y el CV γ = σ/µ es peque˜ no, con particular ´exito en modelaci´on de la vida de filamentos el´ectricos (por ejemplo de ampolletas) y resistencia de nudos de alambres de circuitos integrados (vea [60, pp. 81-82]). De igual forma, el gr´afico del coeficiente de curtosis versus el CV se emplea para detectar la bondad de ajuste de distribuciones de vida (vea [60, p.110]), entre otras aplicaciones. Los primeros resultados distribucionales del CV de una poblaci´on Normal se remontan a los estudios realizados en [59], los cuales son corroborados en [66]. Luego de casi cuatro d´ecadas, en [44] se retoma el tema comparando aproximaciones de percentiles del CV muestral con los resultados hasta ah´ı propuestos. Posteriormente en [6] se plantea un contraste aproximado para probar la homogeneidad de coeficientes de variaci´on. En [7] se encuentra un test basado en el estad´ıstico de raz´on de verosimilitud para contrastar estas mismas hip´otesis. Luego en [63] se propone un nuevo contraste para la igualdad de dos coeficientes de variaci´on, en [30] se generaliza a k muestras, y en [77] se presentan estudios de simulaci´on de estos contrates. Por su parte, en [43] se realiza inferencia para el CV de una distribuci´on Inversa Gaussiana. En [62], y posteriormente en [35], se presentan pruebas de hip´otesis asint´oticas para el coeficiente de variaci´on de una, dos y k muestras, junto con estudios de simulaci´on. En [40] se entregan diversos resultados que permiten probar la igualdad de coeficientes de variaci´on de k muestras provenientes de poblaciones normales basados en la revisi´on de contrastes ya conocidos, como lo son las pruebas de Bennet, de raz´on de verosimilitud, de la t no centrada, de Wald -la que extienden a k muestras y para distintos tama˜ nos de ´estas- y adem´as presentan un nuevo contraste basado en la prueba de Score. En [64] se hace inferencia asint´otica para el CV de una poblaci´on Normal presentando f´ormulas para estad´ısticos de prueba, a trav´es de los cuales es posible evaluar la potencia de los contrastes planteados. Finalmente, algunos de los

116

CHAPTER 6. INFERENCIAS PARA EL CV BAJO UNA LEY EL´IPTICA

resultados planteados para el CV de una poblaci´on Normal son extendidos en [54] al caso de una poblaci´on El´ıptica.

En este cap´ıtulo se propone un coeficiente de variaci´on generalizado, como una medida de varia-bilidad relativa, v´alido para poblaciones cuya distribuci´on carece de primer y segundo momento (los momentos de una distribuci´on El´ıptica pueden verse en [32][p. 67])). Esta medida se puede entender como una generalizaci´on del CV y se define como la ra´ız cuadrada del par´ametro de escala dividido por el par´ametro de posici´on. Se analizan aspectos distribucionales e inferenciales de este CV generalizado bajo dos modelos El´ıpticos, como lo son el modelo dependiente (el vector aleatorio tiene una estructura dependiente con distribuci´on El´ıptica multivariada) y el modelo independiente (cada variable aleatoria del vector es independiente e id´enticamente distribuida El´ıptica univariada). Espec´ıficamente, para ambos modelos (dependiente e independiente) se encuentra el estimador de verosimilitud m´axima (EVM) y, en forma alternativa, se plantea un estimador tipo momentos (EM) para el CV. El EVM queda expresado en t´erminos de las funciones f y φ asociadas a cada ley El´ıptica, por lo cual en esta secci´on s´olo es posible hallar una expresi´on general para este estimador. Posteriormente se presenta la distribuci´on exacta del inverso del EVM del CV para el modelo dependiente y la distribuci´on asint´otica del EVM y del EM del CV bajo el modelo independiente. A partir de estas distribuciones se obtienen intervalos de confianza y pruebas de hip´otesis para el CV. Los resultados obtenidos bajo el modelo dependiente son ilustrados a trav´es de dos subfamilias de distribuciones El´ıpticas, como lo son la distribuci´on de Pearson Tipo VII y la distribuci´on de Tipo Kotz, permitiendo encontrar as´ı expresiones expl´ıcitas para los resultados planteados; particularmente se estudian las distribuciones t-multivariada y de Cauchy (esta u ´ltima distribuci´on carece de momentos), como casos particulares de la subfamilia El´ıptica de Pearson Tipo VII, y la distribuci´on Normal, como caso particular de la subfamilia de Tipo Kotz. Los resultados encontrados bajo el modelo independiente se particularizan para la distribuciones univariadas t con s grados de libertad (g.l.) y Normal, incluyendo adem´as la eficiencia relativa asint´otica (ERA) de los estimadores hallados.

´ DE LOS MODELOS 6.2. ESPECIFICACION

6.2

117

Especificaci´ on de los Modelos

En la inferencia para el CV de una poblaci´on El´ıptica se analizar´an los modelos El´ıpticos con estructura dependiente e independiente, los que se presentan a continuaci´on.

6.2.1

Modelo El´ıptico con Estructura Dependiente

Denominaremos modelo el´ıptico con estructura dependiente (Modelo D) a un vector aleatorio conjuntamente dependiente con distribuci´on El´ıptica multivariada. Espec´ıficamente, sea X = (X1 X2 . . . Xn )T una muestra de tama˜ no n de una poblaci´on El´ıptica bajo el Modelo D, esto es, X ∼ ECn (ν, Σ; f ). Entonces X tendr´a: 1. Par´ametro de posici´on ν = µ 1n , con ν ∈ IRn , µ ∈ IR y 1n ∈ IRn , donde 1n = (1 1 . . . 1)T . El par´ametro de posici´on coincidir´a con la media cuando exista el primer momento del modelo. 2. Par´ametro de escala Σ = σ 2 In , con Σ ∈ IRn×n y σ 2 > 0. 3. Matriz de covarianzas (si existe) Σ0 , proporcional al par´ametro de escala, definida por Σ0 = c0 Σ = c0 σ 2 In ,

con c0 = −2 φ0 (0), φ dada en (2.2.1) y φ0 es su derivada. (6.1)

6.2.2

Modelo El´ıptico con Estructura Independiente

Denominaremos modelo el´ıptico con estructura independiente (Modelo I) a un vector aleatorio compuesto por variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas El´ıptica univariada. Concretamente, sea X = (X1 X2 . . . Xn )T una muestra aleatoria de tama˜ no n de una i.i.d.

poblaci´on El´ıptica bajo el Modelo I, esto es, Xi ∼ EC1 (µ, σ 2 ; f ), con i=1,2,...,n. Entonces Xi tendr´a: 1. Par´ametro de posici´on µ ∈ IR y coincidir´a con la media al existir el primer momento del modelo.

CHAPTER 6. INFERENCIAS PARA EL CV BAJO UNA LEY EL´IPTICA

118

2. Par´ametro de escala σ 2 > 0. 3. Varianza (si existe) σ02 , proporcional a σ 2 y definida por σ02 = c0 σ 2 , con c0 dado en (6.2.1). Para los dos modelos planteados (D e I), la poblaci´on tendr´a coeficiente de variaci´on generalizado definido por γ = σ/µ, esto es, la ra´ız cuadrada del par´ametro de escala sobre el par´ametro de posici´on. De este modo, siempre es posible construir una medida adimensional de variabilidad relativa, existan o no los dos primeros momentos del modelo subyacente. As´ı, en adelante, se trate del CV o de su versi´on generalizada, simplemente se referir´a a ´el como ”coeficiente de variaci´on” (CV), denot´andolo por γ. En lo posterior tambi´en considere lo siguiente. Sean à n ! µ ¶ n √ 1X 1 T 1 X 1 1 2 2 2 Xi − nX = XT I − 1n 1n T X y S = S 2 . X= Xi = X 1n , S = n i=1 n n i=1 n n (6.2)

Adem´as asuma que µ > 0 y que IP (X < 0) es muy peque˜ na (vea [40, Secci´on 2]).

6.3

Estimadores del CV de una Poblaci´ on El´ıptica

En esta secci´on se presentan dos estimadores para el CV basados en una muestra de una poblaci´on El´ıptica bajos los Modelos D e I, restringiendo el an´alisis a la estimaci´on puntual.

6.3.1

Estimadores del CV bajo el Modelo D

Para obtener el EVM del CV de una poblaci´on El´ıptica bajo el Modelo D, se procede de manera an´aloga al caso Normal (vea [36]), s´olo que en este caso se obtiene una expresi´on general que depende de las funciones f y φ asociadas a toda ley El´ıptica, que al especificarse permiten encontrar una expresi´on expl´ıcita para el estimador del CV. Sea X = (X1 X2 . . . Xn )T ∼ ECn (µ 1n , σ 2 In ; f ) una muestra de tama˜ no n y γ el CV.

´ EL´IPTICA 6.3. ESTIMADORES DEL CV DE UNA POBLACION

119

Entonces el EVM de γ bajo el Modelo D es q

γcD =

n λ(f ) S/X,

(6.3)

donde λ(f ) es el m´aximo de la funci´on f ∗ (λ) = λ−n/2 f (1/λ) y que corresponde a una constante que depende de cada ley El´ıptica, f est´a dada en (2.2.2). Demostraci´ on. La funci´on de verosimilitud de una muestra proveniente de una poblaci´on El´ıptica bajo el Modelo D puede expresarse por Ã

L(µ, γ, X) =

!n/2

1 2 µ γ2

Ã

f

!

n (S 2 + (X − µ)2 ) . 2 µ γ2

(6.4)

Al ser f una funci´on mon´otona, entonces L(µ, γ, X) como funci´on de µ alcanza un m´aximo en µ = X (vea [32, p. 129]), con lo cual la verosimilitud se reduce a µ

1 L(X, γ, X) = n S2 ³

¶n/2 Ã

n S2

!n/2

f

2

X γ2 ´

2

Ã

n S2

!

2

X γ2

µ

1 = n S2

Ã

¶n/2

h

n S2

!

2

X γ2

,

esto es, L(X, γ, X) ∝ h (nS 2 )/(X γ 2 ) , donde h(x) = xn/2 f (x), con x = (n S 2 )/(X γ)2 y x ≥ 0. Como f es no decreciente y continua, entonces haciendo uso del Lema 4.1.2 en [32, p. 129] el EVM de γ viene dado por la soluci´on de f 0 (x) + f (x)(n/2x) = 0, y ´esta es q

γcD =

n λ(f ) S/X,

donde λ(f ) es el m´aximo de f ∗ (λ) = λ−n/2 f (1/λ), f est´a dada en (2.2.2) y f 0 es su derivada.

Alternativamente el Teorema 3.124 puede demostrarse haciendo uso de la propiedad de invarianza de los estimadores de verosimilitud m´axima. Para ello considere los EVM de µ y σ (vea [32, pp. 129 y 132]), dados por EVM(µ) = µb = X

y EVM(σ 2 ) = σc2 = n λ(f ) S 2 ,

donde λ(f ) es el m´aximo de f ∗ (λ) = λ−n/2 f (1/λ), con f dada en (2). Entonces el EVM de γ es b =T γcD = Td (θ) = T (θ)

µh

iT ¶ S σb q c 2 = = n λ(f ) . µb σ µb X

Como un estimador alternativo al de verosimilitud m´axima (γcD ) se puede proponer uno de ”tipo momentos” (EM) dado por γfD = S/X, con X y S dados en (4).

120

6.3.2

CHAPTER 6. INFERENCIAS PARA EL CV BAJO UNA LEY EL´IPTICA

Estimadores del CV bajo el Modelo I

Para obtener el EVM del CV de una poblaci´on El´ıptica bajo el Modelo I, se procede de la misma manera que en el Modelo D, s´olo que en este caso la expresi´on general que se obtiene debe resolverse num´ericamente, tal como se ver´a a continuaci´on. i.i.d.

Sea X = (X1 X2 . . . Xn )T una muestra aleatoria de tama˜ no n, con Xi ∼ EC1 (µ, σ 2 ; f ) (i=1,2,...,n), y γ el CV. Entonces el EVM de γ bajo el Modelo I es b γcI = σb /µ,

(6.5)

donde µb y σb son los estimadores de verosimilitud m´axima de µ y σ, respectivamente, dados por n 1 X b 2 σc2 = wi (Xi − µ)

n

i=1

Pn

y µb =

wi Xi , i=1 wi

i=1

(6.6)

Pn

b σ b )2 , con wi = −2Wf (Ui ), Wf (Ui ) = f 0 (Ui )/f (Ui ) y Ui = ((Xi − µ)/

i = 1, 2, ..., n, (6.7)

f dada en (2.2.2) y f 0 es su derivada. Demostraci´ on.Es directa al aplicar [2, Secci´on 5.1] y la propiedad de invarianza de los estimadores de verosimilitud m´axima. La expresi´on (6.3.3) no puede resolverse de forma expl´ıcita, pero la soluci´on se puede aproximar num´ericamente. Similarmente al Modelo D, un estimador alternativo al de verosimilitud m´axima bajo el Modelo I es γfI = S/X, con X y S dados en (4).

6.4

Distribuciones Asociadas al Estimador del CV

En esta secci´on se presentan algunos resultados distribucionales asociados a los estimadores propuestos para el CV (γ) de una poblaci´on El´ıptica bajo los Modelos D e I antes planteados.

6.4. DISTRIBUCIONES ASOCIADAS AL ESTIMADOR DEL CV

6.4.1

121

Distribuci´ on del EVM del CV bajo el Modelo D

A continuaci´on se presenta la distribuci´on exacta del inverso del EVM del CV de una poblaci´on El´ıptica bajo el Modelo D, la que est´a relacionada con la distribuci´on t generalizada no centrada. Este resultado es an´alogo al planteado en [40, Secci´on 2.3] para el caso Normal. Sea X = (X1 X2 . . . Xn )T ∼ ECn (µ 1n , σ 2 In ; f ) una muestra de tama˜ no n, η = 1/γ y ηcD el EVM de η bajo el Modelo D. Entonces T =

√

q

n (X/S) = n

con λ(f ) dada en (6.3.1) y δ =

√

λ(f ) ηcD ∼ Gt(n − 1, δ; f ),

(6.8)

n η es el par´ametro de no centralidad de la distribuci´on t

generalizada (Gt) no centrada con (n − 1) g.l. Demostraci´ on. Para X = (X1 X2 . . . Xn )T ∼ ECn (µ 1n , σ 2 In ; f ) considere la transformaci´on 

        √ √ T (1/ n σ) 1 n µ/σ 1 0 X Y n       1   n Y = AX =   ,   ; f =  ∼ EC(n+1)  0 0 D (1/σ) DX Y2 (6.9)

donde A ∈ IR(n+1)×n y D = (In − (1/n)1n 1Tn ) = D2 = DT , con D ∈ IRn×n . Note que Y tiene −

una distribuci´on El´ıptica singular (vea [25]) y ΣY es un inverso generalizado de ΣY2 . As´ı, en 2

base a las representaciones matriciales de X y S dadas en (5.2.2), se obtiene que T =q

Y1 1 n−1

Y2T Σ−Y Y2

=r 1 n−1

2

con lo cual, finalmente T =

√

³

1 σ

√ 1 1T n σ n

X

DX

D

´T

³

1 σ

DX

´ =

√

nq

1 T 1 n n 1 n−1

X

XT D X

=

¯ √ X n , S

q

(6.10)

√ ¯ n (X/S) ∼ Gt(n − 1, δ; f ), donde δ = n µ/σ = µ/ σ 2 /n.

Para los detalles de esta demostraci´on vea [25].

6.4.2

Distribuci´ on Asint´ otica del CV bajo el Modelo I

Otro resultado distribucional interesante tiene relaci´on con el problema de muestras grandes. A continuaci´on se presenta la distribuci´on asint´otica del EVM y del EM del CV de una

CHAPTER 6. INFERENCIAS PARA EL CV BAJO UNA LEY EL´IPTICA

122

poblaci´on El´ıptica bajo el Modelo I. Este resultado es an´alogo al planteado en [64, Secci´on 2] para una poblaci´on Normal. Note que ahora se requiere de la existencia de los cuatro primeros momentos de la distribuci´on, pues la ley El´ıptica incide sobre esta distribuci´on asint´otica a trav´es del par´ametro de curtosis(κ). i.i.d.

Sea X = (X1 X2 . . . Xn )T una muestra aleatoria de tama˜ no n, con Xi ∼ EC1 (µ, σ 2 ; f ) (i=1,2,...,n), γ el CV y γcI el EVM de γ bajo el Modelo I. Entonces si n → ∞ √ n (γcI − γ) d Z=v ! −→ N (0, 1), u à 2 u γ 1 tγ 2 + 4 a(f ) 4 b(f ) − 1 donde a(f ) = IE(U Wf2 (U )) y b(f ) = IE(U 2 Wf2 (U )),

U 1/2 ∼ EC1 (0, 1; f ),

(6.11)

(6.12)

d

con U y Wf (U ) dados en (5.3.5), γcI en (5.3.3) y ” −→ ” denota la convergencia en distribuci´on. Demostraci´ on. De [61, Secci´on 3], y como se sabe, 

√

µ

n

¶

X − µS 2 − σ 2



      d  0  −→ N2   ,      



σ2

  4 a(f )  

0

0

    0    ≡ N2 (0, F−1 ) ,  4 σ4  4 b(f ) − 1 

con a(f ) y b(f ) dadas en (5.4.4). Ahora note que γ = T (θ) = T (µ, σ 2 ) = σ/µ es funci´on de µ y de σ 2 . An´alogamente el EVM de γ, γcI , es funci´on de µb y de σc2 , tal como puede verse en (7). Entonces √

b − T (θ)) = n (T (θ)

√

c2 ) − T (µ, σ 2 )) = b σ n (T (µ,

√

n (σb /µb − σ/µ) =

√

n (γb − γ).

A partir de esto y aplicando el m´etodo-delta (vea [69, pp. 387-388]), se tiene que √

donde

Ã



Ã

!

Ã

∂ T (θ) ∂ T (θ) n (γcI − γ) −→ N 0, F−1 ∂θ ∂θ d

!

Ã

∂ T (θ) ∂ T (θ) F−1 ∂θ ∂θ

Ã

!T

=γ

2

!T  ,

!

γ2 1 + . 4 a(f ) 4 b(f ) − 1

6.4. DISTRIBUCIONES ASOCIADAS AL ESTIMADOR DEL CV Finalmente,

√ Z=v u

u tγ 2

Ã

n (γcI − γ)

123

d

γ2 1 + 4 a(f ) 4 b(f ) − 1

! −→ N (0, 1).

i.i.d.

Sea X = (X1 X2 . . . Xn )T una muestra aleatoria de tama˜ no n, con Xi ∼ EC1 (µ, σ 2 ; f ) (i=1,2,...,n), γ el CV y γe el EM de γ bajo el Modelo I. Entonces si n → ∞ √ n (γfI − γ) d Z=v à ! −→ N (0, 1), u 2 u tc γ 2 4c0 γ + 3κ + 2 0 4

(6.13)

con γfI dada en la Observaci´on 3.129, κ = φ00 (0)/φ0 (0))2 − 1 = k0 /c20 − 1

(6.14)

es el par´ametro de curtosis de X, k0 = 4φ00 (0), φ est´a dada en (2.2.1) y φ00 es su segunda derivada. Demostraci´ on. De [2, Secci´on 4.2], y como se sabe, √

µ

n



¶

X − µS 2 − σ02



 0 

d

−→ N2 

0

,





2  σ0



0

0 (3κ + 2) σ04

  ≡ N2 (0, V) .

Ahora note que γ = T (θ) = T (µ, σ 2 ) = σ/µ es funci´on de µ y de σ 2 . An´alogamente, el EM de γ, γfI , es funci´on de µe = X y de σf2 = S 2 , tal como puede verse en la Observaci´on 5, con X y S dados en (4). Entonces √

e − T (θ)) = n ((T (θ)

√

n (T (X, S 2 ) − T (µ, σ 2 )) =

√

n (S/X − σ/µ) =

√

n (γfI − γ).

A partir de esto y aplicando el m´etodo-delta (vea [69, pp. 387-388]), se tiene que √



Ã

!

Ã

∂ T (θ) ∂ T (θ) d n (γe − γ) −→ N 0, V ∂θ ∂θ

!T  ,

donde Ã

!

Ã

∂ T (µ, σ 2 ) ∂ T (µ, σ 2 ) ∂ T (µ, σ 2 ) ∂ T (µ, σ 2 ) V ∂µ ∂ σ2 ∂µ ∂ σ2

Ã

!T

= c0 γ

2

!

4c0 γ 2 + 3κ + 2 . 4

CHAPTER 6. INFERENCIAS PARA EL CV BAJO UNA LEY EL´IPTICA

124 Finalmente,

√ Z=q

n (γfI − γ)

c0 γ 2 ((4c0 γ 2 + 3κ + 2)/4)

d

−→ N (0, 1).

El par´ametro de curtosis κ, dado en (5.4.7), puede estimarse por el m´etodo de los momentos basado en el resultado dado en [58] (en [2, Secci´on 4.5]) y est´a dado por: P

n n (Xi − X)4 e = Pn i=1 κ − 1. 3( i=1 (Xi − X)2 )2

6.5

(6.15)

Intervalos de Confianza para el CV de una poblaci´ on El´ıptica

En esta secci´on se plantean intervalos de confianza del 100(1 − α)% para el CV (γ) de una poblaci´on El´ıptica bajo los modelos D e I antes planteados.

6.5.1

Intervalo de Confianza para el CV bajo el Modelo D

Basados en la distribuci´on del inverso del EVM del CV de una poblaci´on El´ıptica bajo el Modelo D y el estad´ıstico t generado a partir de (11), se presenta a continuaci´on un intervalo de confianza (IC) del 100(1 − α)% para el CV. Sea X = (X1 X2 . . . Xn )T ∼ ECn (µ 1n , σ 2 In ; f ) una muestra de tama˜ no n y γcD el EVM de γ bajo el Modelo D. Entonces un IC aproximado del 100(1 − α)% para γ es   )−1 +  (γc D

t%

n

q

λ(f )

−1  

; (γcD )−1 −

t%

n

q

λ(f )

−1    ,

(6.16)

con λ(f ) dada en (6.3.2) y t% es el percentil (1 − α/2) de la distribuci´on t con (n − 1) g.l. Demostraci´ on. A partir de la expresi´on dada en (5.4.6) y usando la invarianza del estad´ıstico t bajo leyes ECn (0, In ; f ) (vea [32, p. 63]) se obtiene que √ √ √ Y1 − (µ/σ) n n X/σ − n (µ/σ) √ X − µ = t= q 1 = n ∼ t(n − 1). 0 Σ− Y S/σ S Y 2 2 n−1 Y 2

(6.17)

´ EL´IPTICA125 6.5. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA EL CV DE UNA POBLACION Ahora observe que t es una cantidad pivotal para γ = σ/µ, con lo cual, al aplicar el m´etodo de la cantidad pivotal, se obtiene que Ã

IP

σ

√ ) t% , donde t% es el percentil (1 − α/2) de la distribuci´on t con (n − 1) g.l.

6.6.2

Prueba de Hip´ otesis para el CV bajo el Modelo I

A partir de la distribuci´on asint´otica del EM del CV de una poblaci´on El´ıptica bajo el Modelo I se plantea a continuaci´on una prueba de hip´otesis para el CV. Este resultado es an´alogo al obtenido en [64, Secci´on 2] para una poblaci´on Normal.

6.7. EJEMPLOS

127 i.i.d.

Sea X = (X1 X2 . . . Xn )T una muestra aleatoria de tama˜ no n, con Xi ∼ EC1 (µ, σ 2 ; f ) (i = 1, 2, ..., n), y γe el EM de γ bajo el Modelo D. Entonces a trav´es del estad´ıstico √

n (γfI − γ) d Z=v ! −→ N (0, 1), Ã u 2 u tc γ 2 4c0 γ + 3κ + 2 0 4

(6.22)

con c0 en (5.2.1), se puede contrastar las hip´otesis dadas en (6.6.1) mediante la siguiente regla de decisi´on: Rechace H0 si |Z| > Z% , donde Z% es el percentil (1 − α/2) de la distribuci´on N (0, 1).

6.7

Ejemplos

A continuaci´on se aplican los resultados obtenidos para el CV bajo el Modelo D a dos subfamilias El´ıpticas, como lo son familia de Tipo Kotz, que contiene a la distribuci´on Normal multivariada, y la familia de Pearson Tipo VII, que contiene a la distribuciones t-multivariada y de Cauchy (para esta u ´ltima distribuci´on no existen sus momentos), permitiendo encontrar ahora expresiones expl´ıcitas. Los resultados obtenidos bajo el Modelo I son ilustrados bas´andose en las distribuciones univariadas Normal y t con s g.l., para s = 5, 30 y 100. Estos resultados se resumen en la Tabla 2 para el Modelo D, y en las Tablas 4 y 5 para el Modelo I.

Tabla 3 Constante λ(f ), EVM(γ), IC(γ) y estad´ıstico t para contrastar las hip´otesis H0 : γ = γ0 versus H1 : γ 6= γ0 , para las distribuciones especificadas bajo el Modelo D.

CHAPTER 6. INFERENCIAS PARA EL CV BAJO UNA LEY EL´IPTICA

128

∗

donde t% es el percentil (1 − α/2) de la distribuci´on t con (n − 1) g.l.

Similarmente, para el Modelo I se entregan algunos de los resultados obtenidos, adem´as de la eficiencia relativa asint´otica, para γ = 1, de los estimadores de verosimilitud m´axima y de ”tipo momentos” para el CV para las distribuciones univariadas Normal y t con s g.l.

Tabla 4 Constantes κ, c0 , k0 , a(f ), b(f ) y w = −2Wf (u), con Wf (u) dado en (?), para las distribuciones univariadas Normal y t con s g.l. bajo el Modelo I.

Distribuci´on

λ(f )

Pearson VII

2m − n ns

EVM(γ) = γc D

r

2m − n S s X

t(s) − n-variada

1 n

S X

Cauchy

1 n

S X

IC(γ)

· γc ± D

·

t

t% p λ(f )−1 n

X t% ±√ S n

¸−1

µ √

¸−1

n

p X − n λ(f ) γ0−1 S

√

µ n

X − γ0−1 S

¶

∗

µ Tipo Kotz

Normal

2st n + 2m − 2

1 n

¶1/t

p

nλ(f )

S X

·

S X

X t% ±√ S n

· γc D ±

·

¸−1

t% p λ(f )−1 n

t% X ±√ S n

√

¸−1

µ n

µ n

X − γ0−1 S

¶

X p − λ(f ) γ0−1 S

¸−1

µ n

γ −1 X − √0 S n

¶

¶

¶

6.7. EJEMPLOS

129

Distribuci´on

κ

c0

k0

a(f )

b(f )

w

t(s)

2 s−4

s s−2

s2 (s − 2)(s − 4)

s+1 4(s + 3)

3(s + 1) 4(s + 3)

s+1 s+u

Normal

0

1

1

1/4

3/4

1

CHAPTER 6. INFERENCIAS PARA EL CV BAJO UNA LEY EL´IPTICA

130

Tabla 5 EM(γ) = γfI , ERA(γ = 1), IC(γ) y estad´ıstico Z para contrastar las hip´otesis H0 : γ = γ0 versus H1 : γ 6= γ0 para las distribuciones univariadas Normal y t con s g.l. bajo el Modelo I. Distribuci´on

EM(γ)

ERA

t(s)

S X

Var(γbI ) Var(γeI )

t(5)

S X

t(30)

S X

t(100)

S X

Normal

S X

IC100(1−α)% (γ)

"

s S ± Z% X

 0.3491

µ

s

µ 0.598 + 1.148

s

Z% S S ± √ nX X

√

S X

S X

µ 0.526 + 1.041

 1.0000

¶#

3.333 + 2.778

Z% S S ± √ nX X

 0.9796

Var

S X

s

Z% S S ± √ nX X

 0.9255

µ

Z

 S ± Z% S n X X

s 0.5 +

µ

S X

S X

¶2

 

¶2

 

¶2

√ p

γ02

 

¶2

γ02

 

γ02

n (S/X − γ0 )

(0.598 + 1.148 γ02 )

√ p

n (S/X − γ0 )

(3.333 + 2.778 γ02 )

√ p

n (S/X − γ0 ) p Var(γeI )

n (S/X − γ0 )

(0.526 + 1.041 γ02 )

√ n (S/X − γ0 ) p γ02 (0.5 + γ02 )

donde Z% es el percentil (1 − α/2) de la distribuci´on Normal est´andar y las varianzas asint´oticas del EVM y del EM de γ para la distribuci´on t con s g.l. son, respectivamente, µ 2 ¶ µ ¶ γ 1 s s s−1 2 2 2 Var(γbI ) = γ (s + 3) + y Var(γeI ) = γ γ + . s+1 2 s s−2 s−2 2(s − 4)

Para obtener expresiones para el EVM de γ bajo el Modelo I, se debe hacer uso de m´etodos num´ericos.

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140

BIBLIOGRAPHY

ANEXO Densidad de la distribuci´ on Gt doble No Centrada Teorema. Sea T ∼ Gt(n, δ, γ; f ), con par´ametros de doble no centralidad δ y γ. Entonces, la densidad de T es n−1

(6.23)

2π 2 gT (t) = 1/2 n−2 n Γ( 2 ) Z∞



Zπ Ã

 vn 0

f 0

Ã

1 + t2 2 δ v −2 + γ cos φ1 n n1/2

!



!

v + δ2 + γ 2)

senn−2 φ1 dφ1  dv,

con v > 0, donde δ y γ son los par´ametros de doble no centralidad. Demostraci´on. Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1 (ν, In+1 ; f ), con X1 ∈ IR, X2 ∈ IRn , ν = (µ µTn )T , q

ν ∈ IRn+1 , µ ∈ IR, µ 6= 0, µn ∈ IRn , µn 6= 0 y defina T = X1 / ||X2 ||2 /n. Adem´as, sea 



1 0  Q ∈ O(n + 1), Q =  , P ∈ O(n), tal que QX = Y = (Y1 Y2T )T = (X1 Y2T )T 0 P y Q ν = (µ ||µn || 0T )T , esto es, Y = (Y1 Y2T )T ∼ ECn+1 (η, In+1 ; f ), con Y1 ∈ IR, Y2 = (Y2 ... Yn+1 )T ∈ IRn y η = (µ ||µn || 0T )T . Note que ||Y|| = ||X|| y ||Y2 || = ||X2 ||, con lo q

cual T = Y1 / ||Y2 ||2 /n. As´ı,

gY (Y) = f ((Y − η)T (Y − η)) = f

Ãn+1 X

!

yi2 + kµn k2 + µ2 − 2µ Y1 − 2kµn k Y2 .

i=1

Considere la transformaci´on de coordenadas esf´ericas generalizadas dada por (Y2 . . . Yn+1 ) −→ 141

142

BIBLIOGRAPHY 

(r φ1 . . . φn−2 θ) = (r φ θ), cuyo jacobiano es rn−1 

n−2 Y



senn−j−1 φj , de manera que

j=1

³



´

gy1 ,r,θ (Y1 , r φ θ) = f y12 + r2 + kµn k2 + µ2 − 2µ Y1 − 2kµn k cos φ1 rn−1 

n−2 Y



senn−j−1 φj  .

j=1

Entonces, la densidad de (Y1 r) es 2rn−1 π

gy1 ,r (Y1 , r) =

Γ

³

n−2 2

n−2 2

´

Zπ ³

f y12 + r2 + δ 2 + γ 2 − 2γ r cos φ1 − 2δ y1

´

senn−2 φ1 d φ1 ,

0

con r > 0, δ = µ y γ = kµn k. q

Aplicando el cambio de variables v = r y T = Y1 / r2 /n, de modo que |J| = v/n1/2 , se obtiene que gT,V (t, v) =

2v n−1 π Γ

³

n−2 2

n−2 2

´

Zπ " Ã 2 2 v t

f

0

con v > 0.

!

#

tv v − 2δ 1/2 + δ 2 + γ 2 − 2 v γ cos φ1 + v 2 senn−2 φ1 dφ1 1/2 ; n n n

Finalmente, la densidad de T es n−1

2π 2 gT (t) = 1/2 n−2 n Γ( 2 ) Z∞

Zπ Ã

Ã

1 + t2 2 δ  vn f v −2 + γ cos φ1 1/2 n n 0 0 con v > 0, δ = µ y γ = kµn k.

!

!

v + δ2 + γ 2)



senn−2 φ1 dφ1  dv,