Asociación Española de Ingeniería Mecánica

XVIII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

Sistema de bajo coste para la medida de formas en tres dimensiones L. Felipe-Sesé, E. López-Alba, F.A. Díaz, R. Dorado Departamento de Ingeniería Mecánica y Minera, Campus las Lagunillas, Edif. A-3, 23071, Jaén [email protected]

Resumen En los últimos años se han desarrollado diferentes métodos y técnicas ópticas, más o menos complejas, para la medida de formas y cambios geométricos inducidos por la deformación de un sólido. Algunos de estos sistemas se encuentran disponibles comercialmente (sistemas estereoscópicos, scanner 3D, videogrametría, etc.), con un coste que en algunos casos puede ser considerable. Con el presente trabajo se pretende mostrar un procedimiento sencillo y simple para reconstruir digitalmente la geometría de un sólido y cuantificar los cambios inducidos por una deformación empleando métodos ópticos y técnicas de procesado de imágenes aplicadas a la ingeniería. El método propuesto cosiste en un sistema de bajo coste basado en la proyección de franjas (Moiré por proyección) [1,2]. El equipo empleado está constituido por un proyector de LCD y una cámara digital conectada a un PC. Los resultados obtenidos son altamente prometedores.

INTRODUCCIÓN En la actualidad existe una clara tendencia a la medida y análisis de elementos mecánicos mediante técnicas ópticas que posibilitan ensayos no destructivos con gran nivel de detalle y en algunos casos de forma más rápida y barata que otros ensayos. El desarrollo de los computadores permite montajes prácticos que implementan estas técnicas hasta hace poco relegadas a ejemplos teóricos. Las técnicas ópticas permiten medir con gran precisión sin contacto con el elemento o estudiar su forma y/o deformaciones al someterse a un ensayo, pudiendo realizar un modelo en tres dimensiones en algunos casos con tan solo una cámara. Entre otras, existen técnicas que, empleando un laser, permiten la medida de distancias, formas y variaciones de ésta. Otra técnica es la correlación digital de imágenes con la que se pueden reconocer geometrías y deformaciones estudiando la variación de las geometrías de una secuencia de imágenes, pudiendo adquirir el comportamiento y propiedades del elemento. La fotoelasticidad es también una herramienta muy útil para el estudio de la distribución de tensiones, en ella, un modelo de material fotoelástico es iluminado y fotografiado de manera controlada para poder estudiar las franjas que aparecen cuando el elemento se somete a carga. La técnica de Moiré consiste en la proyección o incorporación de unas franjas a un elemento y comparar la imagen en estado de reposo y en estado de deformación. Al realizar esto aparecen unos patrones o franjas llamados Moiré fringes que dan información del estado de deformación en el sólido, pudiéndose utilizar también para el modelado en tres dimensiones del elemento. La técnica de Moiré puede implementarse con un montaje de bajo coste, básicamente una cámara CCD, un proyector LCD, un trípode y un soporte para la pieza a ensayar, pudiendo emplearse software libre [3-4]. En este trabajo se mostrará inicialmente los fundamentos de la técnica de Moiré, para continuar exponiendo el algoritmo utilizado para el procesado de las imágenes. A continuación se expondrá el montaje experimental y los ensayos realizados, a lo que le siguen los resultados y discusión. Finalmente se hará una reflexión sobre la técnica y la experiencia en la conclusión.

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FUNDAMENTOS DE LA TÉCNICA DE MOIRÉ Existen diversas técnicas que utilizan el fenómeno de Moiré, en función de si se pretende estudiar movimientos en el plano o fuera de este, o dependiendo del tipo de elemento a estudiar o a qué cargas se somete entre otros factores. Así, existe el Moiré geométrico, Moiré interferométrico, Moiré por reflexión, Moiré por sombra y Moiré por proyección.

Fig. 1. Esquema técnica Moiré por sombra El “Shadow Moiré” o Moiré por sombra (Fig.1), es utilizado para el estudio de desplazamientos fuera de plano, esta técnica se basa en la superposición de la rejilla y su propia sombra. Existe una relación entre el orden de franja y la separación del espécimen a la rejilla. En la Fig.1. se puede observar que un ciclo completo de franja de Moiré se produce cuando, en este caso, la sombra de siete líneas sombreadas se extiende sobre el espacio de ocho líneas de la rejilla original. En general, las sombras de m líneas de rejilla, se extenderán sobre un espacio m±1. Siendo w el desfase entre la rejilla y el espécimen sobre la misma extensión, para un ciclo de franja Moiré, tendremos que: (1) Que de una manera más útil es: (2) Si existen N franjas entre dos puntos específicos en la imagen adquirida vistos a lo largo de la normal, la profundidad del desplazamiento entre dos puntos es: .

(3)

Y teniendo en cuenta el ángulo de incidencia de la proyección α y el ángulo de visión β. (4) Para la utilidad que se pretende en este artículo, la más adecuada es la técnica de Moiré por proyección, que se puede considerar un avance sobre Moiré por sombra. Con Moiré por proyección se puede conseguir el mapa de contorno de una imagen. A primera vista parece muy parecido al procedimiento de Moiré por sombra, pero es

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funcionalmente diferente y muestra ventajas para determinadas aplicaciones. El procedimiento de Moiré por proyección consiste en la proyección de una rejilla sobre una superficie de referencia usando un proyector. Seguidamente se coloca el objeto a medir sobre la referencia, o bien se mueve o se somete a un ensayo, y se toma una nueva fotografía que reflejará una proyección. Se puede volver a exponer la misma foto o realizar otra y seguidamente se superpone la imagen de referencia con la que muestra el estado final del objeto a estudio. Al superponer las imágenes, se observarán las franjas de Moiré o patrón de Moiré. Se puede ver que la principal diferencia con Moiré por sombra, es que este procedimiento nos ofrece el mapa de contorno y la diferencia de elevación de determinados puntos de un cuerpo directamente, en cambio, al utilizar Moiré por sombra podremos obtener tan solo la diferencia de distancia entre el objeto y la rejilla patrón.

Fig. 2. Esquema técnica Moiré por proyección Por lo tanto, para la determinación de cambios de forma en cuerpos sobre los que se realiza un ensayo será este método mucho más útil y será el estudiado en este trabajo. En la Fig. 2. se puede estudiar el desplazamiento horizontal mediante Moiré proyectado. La superficie S es el estado inicial del espécimen. Una rejilla de espaciado p, representada por las franjas oscuras, es proyectada en la superficie. La fotografía de la rejilla es paralela al eje horizontal, lo que implica que se utiliza el campo adecuado de la lente. Seguidamente a la toma de la fotografía, se deforma la superficie. El espécimen ha sido modificado a un segundo estado representado por la superficie S’, y la segunda imagen es guardada en el mismo negativo de la anterior o es guardada informáticamente y superpuesta a la anterior mediante tratamiento de imágenes. La interpretación de las franjas de Moiré requiere el análisis de la relación entre el movimiento horizontal del espécimen y el orden de franja de Moiré. Considerar el caso donde un punto A en la superficie S se mueve axialmente a la localización A’. Considerando el triangulo sombreado de vertices A y A’, se puede calcular d como la Ec(5) d=w sin‫ן‬.

(5)

En esta situación, el punto A se ha desplazado desde una franja en S a otra en S’. Tras lo estudiado anteriormente, para cualquier punto en el campo, el orden de franja es N=d/p, combinando las relaciones dadas, el desplazamiento w en términos de orden de franja será Ec. (6):

w

Np sin 

(6)

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ALGORITMO PARA EL PROCESADO DE IMÁGENES El algoritmo empleado se basa en el trabajo desarrollado por Heredia et al [2], esta implementado en el programa Joshua® desarrollado por M. Heredia Ortiz et al [3]. Dicho software es libre y se puede descargar de Internet. Para su funcionamiento, se requiere el equipo de la Fig. (3). Mediante este equipo se está proyectando una rejilla sobre una superficie plana. Seguidamente, esta superficie se fotografía de forma perpendicular a ésta. A continuación se soporta el objeto a analizar sobre ese plano y, sin modificar el sistema óptico de proyección y fotografía se vuelve a capturar una imagen esta vez con la rejilla proyectada sobre el objeto y las partes de la superficie plana que existan. Estas dos imágenes son seguidamente procesadas digitalmente para extraer la información relativa a la fase θ.

Fig. 3. Set up para programa Joshua Lo primero a realizar es un algoritmo de cálculo de la fase o phase-stepping para hallar el mapa de fase modulado que está directamente relacionado con la distorsión de los patrones de Moiré que se crean al unir las dos imágenes tomadas. La distribución de la intensidad de la imagen de los patrones de Moiré puede ser descrita mediante:

I (i, j )  A(i, j ) (1   (i, j ) cos (2f 0   (i, j )))

(7)

Donde A es la iluminación de fondo, γ es la modulación, f0 es la frecuencia relacionada con el ancho de la rejilla proyectada P y la fase modulada es Φ que es la que guarda la información sobre la altura de la superficie por lo que será lo primero que se daba extraer. Para la extracción de la información de la fase este procedimiento recurre al algoritmo de phase-stepping que permite extraer la fase combinando varias imágenes del objeto. Este método está basado en el movimiento en cinco pasos auto calibrados, desplazando los pixeles se busca un punto de su alrededor que tenga una intensidad similar, siendo:

 2( I 2  I 4 )    2I3  I5  I 1 

  arctan

(8)

Para conseguir estos movimientos de imagen se desplazara la original una distancia P/2 en las dos direcciones i, j siendo: I1(i, j) = I (i, j - P/2), I2(i, j) =I(i, j - P/4) . . . . . I5(i, j) = I(i, j + P/2)4.

(9)

A partir de esto tendremos que la diferencia de fase entre la imagen de referencia y el objeto es obtenida de la siguiente manera:

*  *0  *0

(10)

La ecuación (8) es una función arco engente definida entre [-π,π]. Por lo tanto es necesario desenvolver (unwrap) esta información recurriendo a un algoritmo de unwrapping para desmodular esta fase.

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Este proceso de desenvolver es muy sensible a la presencia de ruidos en la imagen por lo que se recurre a un estudio de la calidad de los píxeles de ésta. El algoritmo comenzará de los pixeles de mayor calidad a los de menos. Con esto se consigue que se acumulen la menor cantidad de errores de un pixel a otro. La calidad viene dada por la expresión:

Q(i, j )   R (i, j ) *  0 (i, j ) .

(11)

Siendo γ la modulación de sistema de cinco movimientos, es decir:



3

4( I 4  I 2 ) 2  ( I1  I 5  2 I 3 ) 2 2( I1  I 2  2 I 3  I 4  I 5 )

(12)

Con I1(i, j) = I (i, j - P/2), I2(i, j) =I(i, j - P/4) . . . . . I5(i, j) = I(i, j + P/2).

(13)

Mediante el procedimiento previamente descrito se obtienen las diferencias de altura mediante:

Z  K

(14)

Donde K(mm rad-1) es una función del interlineado de la rejilla proyectada P y del ángulo entre el proyector y la cámara θ, quedando:

Z 

P 2 tan

(15)

MONTAJE EXPERIMENTAL El montaje utilizado consta de:  Ordenador portátil (Fig 4.1).  Proyector LCD (modelo NEC VT460) (Fig. 4.2).  Cámara CCD (modelo Pike, 640x480) (Fig 4. 3).  Lentes ( de 16mm/F1.4 y10x zoom F/5.6 a F32)  .Bancada con área de pruebas intercambiable de 600x600mm.  Y la disposición es la de la Fig. (5) 2. Proyector

3. Cámara CCD

1. Ordenador portátil

Fig 4. Set up del sistema.

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1. Bancada

2. Cámara CCD

Fig.5. Bancada de pruebas en proceso de calibración. DESCRIPCION DE LOS ENSAYOS PARA LA TOMA DE DATOS Sobre la superficie de referencia se proyectara una rejilla generada mediante Matlab. Para el procesado con Moiré debe de partirse de una rejilla con intensidad variable senoidalmente, esto se puede conseguir mediante software o desenfocando proyector. Esta necesidad de que la distribución de intensidad sea senoidal se debe a la mejor capacidad del programa para determinar el centro de las franjas de Moiré. Si no fuera así, se perdería mucha resolución en los resultados dado el grosor de las franjas. La rejilla senoidal generada mediante Matlab es correcta en el monitor del ordenador pero en el momento de la proyección se pierde resolución, debido a que el proyector no es capaz de alcanzar la resolución de la rejilla, produciéndose una rejilla de intensidad no uniforme, generando muy malos resultados. Por este motivo se opta por realizar una rejilla totalmente binaria, blanca y negra, y desenfocar la lente del proyector consiguiendo así una variación de la intensidad senoidal. Además, así se hace desaparecer la rejilla propia del LCD del proyector que se hacía patente en la imagen proyectada e inducia un falseado de franjas. Con esto la proyección de la rejilla obtiene buenos resultados. A continuación se ajusta la cámara mediante las variables de enfoque y ajuste de diafragma de iluminación. El enfoque de esta cámara es de tipo manual. El ajuste del diafragma debe de ser meticuloso, las imágenes no deben ser muy oscuras ni con sobreexposiciones ya que pueden inducir al error del algoritmo. Con la aplicación del fabricante es posible ajustar algunos de estos factores Fig. (6).

Fig. 6. Software de toma de imágenes

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RESULTADOS Y DISCUSIÓN El programa para el procesado requiere de una calibración mediante un cono de dimensiones conocidas, el cual se comprueba que se ha medido adecuadamente antes de seguir con ensayo. El cono utilizado tiene unas medidas de 96 mm de diámetro y 29 mm de altura, seguidamente se pueden observar las imágenes de la rejilla de referencia y del cono. Seguidamente se ejecuta la calibración del sistema y el resultado es el de la Fig (8).

Fig. 7. Imágenes de referencia y de cono de calibración

Fig. 8. Resultado de la calibración Se pueden comprobar que la solución es aceptable, se consigue una altura de 29mm y un diámetro de 96mm. Se pueden apreciar algo de ruido en la señal, esto se puede deber a la resolución de la imagen y al filtrado de la señal. A continuación se procede a realizar pruebas con diferentes elementos, entre ellos una máscara de tamaño real. Obteniendo unos resultados bastante aproximados a la realidad, Fig. (9). Por otro lado se puede apreciar, que las discontinuidades del objeto hacen que este algoritmo no encuentre la solución correcta por lo que pueden aparecer formas bruscas en esas zonas. Esto se puede ver en los bordes de la máscara, en la que existe un salto muy grande.

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A)

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B)

C)

Fig.9. A) Imagen de máscara B) Resultados en 3 dimensiones C) Resultados de medidas No obstante se puede apreciar que la forma en la parte frontal de la máscara es bastante acertada, así como sus medidas, consultar la Tabla (1). Tabla 1. Comparativa medidas reales y experimentales.

Longitud de la cara Anchura de cara Altura a nivel de nariz Altura a nivel de frente

Medida real (mm) 230 139 67 48

Medida conseguida por Moiré (mm) 235 140 65 45

La longitud vertical de la cara son 230 mm reales y se ha detectado 235 mm. La altura a nivel de la nariz es de unos 65 mm siendo la real de 67 mm, a nivel de la frente se muestra que son 45 mm frente a los 48 mm reales. CONCLUSIÓN Anteriormente se ha mostrado cómo simplemente a partir de una rejilla proyectada, una cámara y un software libre se puede conseguir unos resultados adecuados de un cuerpo en tres dimensiones mediante la técnica de Moiré por proyección. Se ha observado que esta técnica es bastante básica pero también bastante funcional. Si se dan las condiciones apropiadas se consiguen muy buenos resultados. De todas formas, es bastante mejorable. Existen nuevas tendencias para el estudio de franjas de Moiré con base la teoría de ondas. Estas técnicas prometen mejores

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resultados y más rápidos. Además se puede considerar también, el empleo de diferentes colores, para hacer sistemas redundantes y conseguir mejores resultados además de poder ser utilizados junto con otras técnicas fotomecánicas como la correlación de imágenes. También se pueden utilizar cámaras de alta velocidad para estudio de impactos y vibraciones. Todo lo expuesto anteriormente da una idea de que esta técnica tiene bastante futuro. Destaca por su bajo coste en comparación con el resto de técnicas similares de detección de desplazamientos fuera de plano, y esa es su principal ventaja. Las aplicaciones que se pueden conseguir se encuentran desde las bellas artes, con la copia de elementos en tres dimensiones; hasta el estudio mecánico de elementos sometidos a cargas, impactos o vibraciones. REFERENCIAS [1] M. Heredia-Ortiz and E. A. Patterson, "On the Industrial Applications of Moiré and Fringe Projection Techniques” Strain 39, (2003), pp. 95–100. [2] E. A. Patterson, “Low cost snap-shot shape and deformation measurement”, XIth International SEM Congress and Exposition on Experimental Mechanics, June 2-5, 2008, Orlando, Florida USA. [3] M. Heredia-Ortiz and E. A. Patterson, ‘Location and shape measurement using a portable fringe projection system’, Experimental Mechanics, 45(3), 2005, pp. 197-204. [4] www.experimentalstress.com [5] G. Cloud, “Optical Methods of Engineering Analysis” Cambridge University Press 1998.