Sistema de ecuaciones algebraicas

´ ´ Curso: Metodos Numericos en Ingenier´ıa ´ Profesor: Dr. Jose´ A. Otero Hernandez Correo: [email protected] web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidad: ITESM CEM

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´ Introduccion

´ matricial Notacion

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

´ Topicos 1

´ Introduccion Ecuaciones algebraicas lineales ´ Antecedentes matematicos

2

´ matricial Notacion ´ de una matriz Representacion Operaciones con matrices ´ matricial de un sistema de ecuaciones Representacion algebraicas

3

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3) ´ ´ Metodo grafico Regla de Cramer ´ de incognitas ´ La eliminacion

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´ Introduccion

´ matricial Notacion

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

´ Topicos 1

´ Introduccion Ecuaciones algebraicas lineales ´ Antecedentes matematicos

2

´ matricial Notacion ´ de una matriz Representacion Operaciones con matrices ´ matricial de un sistema de ecuaciones Representacion algebraicas

3

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3) ´ ´ Metodo grafico Regla de Cramer ´ de incognitas ´ La eliminacion

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´ Introduccion

´ matricial Notacion

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

Ecuaciones algebraicas lineales

Forma General a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. .. . . . an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn donde a son los coeficientes constantes, b son constantes, n es el numero de ecuaciones, ´ ´ x son las incognitas.

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´ Introduccion

´ matricial Notacion

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

Ecuaciones algebraicas lineales

´ ´ sin computadora Metodo de solucion Si son pocas ecuaciones (n ≤ 3), las ecuaciones lineales ´ pueden resolverse con rapidez mediante tecnicas simples, ´ ecuaciones, la solucion ´ se vuelve laboriosa y Con 4 o mas debe usarse una computadora, El surgimiento de las computadoras hizo posible resolver grandes sistemas de ecuaciones algebraicas.

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´ Introduccion

´ matricial Notacion

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

´ Antecedentes matematicos

´ ´ matricial son muy utiles, En esta parte, el algebra y la notacion ´ ya que proporcionan una forma concisa de representar y manejar ecuaciones algebraicas lineales. ´ en esta clase estudiaremos las matrices y sus Por esta razon, operaciones.

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´ matricial Notacion

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

´ Topicos 1

´ Introduccion Ecuaciones algebraicas lineales ´ Antecedentes matematicos

2

´ matricial Notacion ´ de una matriz Representacion Operaciones con matrices ´ matricial de un sistema de ecuaciones Representacion algebraicas

3

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3) ´ ´ Metodo grafico Regla de Cramer ´ de incognitas ´ La eliminacion

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´ matricial Notacion

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

´ de una matriz Representacion

Matriz Una matriz consiste en un arreglo rectangular de elementos representado por un solo s´ımbolo. Por ejemplo, una matriz A la podemos representar como:   a11 a12 a13 · · · a1m  a21 a22 a23 · · · a2m    A= . .. .. ..  ..  .. . . . .  an1 an2 an3 · · ·

anm

donde aij designa un elemento individual, El conjunto horizontal de elementos se llama fila, El conjunto vertical de elementos se llama columna, El elemento a23 esta´ en la fila 2 y la columna 3, ´ n×m Se dice que la matriz A tiene dimension

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´ matricial Notacion

´ de una matriz Representacion

Vector fila: n = 1 B=



b1 b2 b3 · · ·

bm



Vector columna: m = 1     C=  

c1 c2 c3 .. .

      

cn

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´ de una matriz Representacion

Matriz cuadrada: n = m Ejemplo de matriz cuadrada de 4 × 4  a11 a12 a13  a21 a22 a23 A=  a31 a32 a33 a41 a42 a43

 a14 a24   a34  a44

La diagonal que contiene los elementos: a11 , a22 , a33 y a44 se le llama diagonal principal. Matriz cuadrada Las matrices cuadradas resultan particularmente importantes cuando se resuelven sistemas de ecuaciones algebraicas, El numero de ecuaciones corresponden a las filas, ´ ´ El numero de incognitas corresponden a las columnas. ´

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Operaciones con matrices

Matrices iguales La matriz Anm es igual a la matriz Bnm si y solo si, cada elemento de la matriz Anm es igual a cada elemento de la matriz Bnm , es decir aij = bij para todo i y j.

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Operaciones con matrices

Suma y resta de dos matrices ´ Cnm = Anm + Bnm , se obtiene al sumar los terminos correspondientes a cada matriz, es decir: cij = aij + bij , para i = 1, 2, · · · , n y j = 1, 2, · · · , m ´ Cnm = Anm − Bnm , se obtiene al restar los terminos correspondientes a cada matriz, es decir: cij = aij − bij , para i = 1, 2, · · · , n y j = 1, 2, · · · , m, ´ pueden realizarse entre matrices La suma y la resta solo que tengas las mismas dimensiones. Propiedades de la suma y resta de matrices La suma es conmutativa: Anm + Bnm = Bnm + Anm , La resta no es conmutativa: Anm − Bnm 6= Bnm − Anm , La suma es asociativa: (Anm + Bnm ) + Cnm = Anm + (Bnm + Cnm ), La resta no es asociativa:

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Operaciones con matrices

´ de una matriz (A) por un escalar (α) Multiplicacion  α a11 α a12 α a13 · · · α a1m  α a21 α a22 α a23 · · · α a2m  D = αA =  . .. .. .. ..  .. . . . . α an1 α an2 α an3 · · ·

    

α anm

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Operaciones con matrices

´ de matrices Multiplicacion Cn×l = An×m Bm×l ´ de matrices Multiplicacion cij =

n X

aik bkj

k=1

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Operaciones con matrices

´ Propiedades de la multiplicacion ´ matricial es asociativa: (A B) C = A (B C), La multiplicacion ´ matricial es distributiva: La multiplicacion A(B + C) = A B + A C, ´ matricial no es conmutativa: A B 6= B A La multiplicacion

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Operaciones con matrices

Matriz inversa A A−1 = A−1 A = I Matriz inversa de A2×2 A−1 2×2

1 = a11 a22 − a12 a21



a22 −a12 −a21 a11



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Operaciones con matrices

Matriz transpuesta A4×4  A4×4

At4×4

a11  a21 =  a31 a41  a11  a12 =  a13 a14

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

 a14 a24   a34  a44  a41 a42   a43  a44

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´ matricial de un sistema de ecuaciones algebraicas Representacion

Sistema de ecuaciones algebraicas AX = B donde

   A= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .



a1n a2n .. .

   

an1 an2 an3 ann   B t = b1 b2 · · · bn Xt =



x1 x2 · · ·

xn



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´ Topicos 1

´ Introduccion Ecuaciones algebraicas lineales ´ Antecedentes matematicos

2

´ matricial Notacion ´ de una matriz Representacion Operaciones con matrices ´ matricial de un sistema de ecuaciones Representacion algebraicas

3

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3) ´ ´ Metodo grafico Regla de Cramer ´ de incognitas ´ La eliminacion

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´ Introduccion

´ matricial Notacion

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

´ ´ Metodo grafico

Dada las ecuaciones: a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2 Despejando en las dos ecuaciones x2 , tenemos:   1 11 x2 = − aa12 x1 + ab12   2 x2 = − aa21 x1 + ab22 22 ´ ´ Metodo grafico ´ al graficar las dos funciones Se puede obtener la solucion lineales en coordenadas cartesianas con un eje que corresponde a x1 y el otro a x2 , y se busca el punto de ´ interseccion.

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´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

´ matricial Notacion

´ ´ Metodo grafico

´ ´ Ejemplo: Metodo grafico 3 x1 + 2 x2 = 18 − x1 + 2 x2 = 2 Despejando en las dos ecuaciones x2 , tenemos: x2 = − 23 x1 + 9 x2 =

1 2

x1 + 1

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´ ´ Metodo grafico

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Regla de Cramer

Determinante Dado el sistema de ecuaciones: AX = B donde A es la matriz de los coeficientes:   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 El determinante del sistema (de la matriz A) es: a11 a12 a13 D = Det(A) = a21 a22 a23 a31 a32 a33

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Regla de Cramer

Determinante

a D = a11 22 a32 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

a11 D = a21 a31 a23 − a12 a33

a12 a13 a22 a23 a32 a33



a a21 a23 a + a13 21 22 a31 a33 a31 a32

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33





a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33



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Regla de Cramer

Determinante a a D = a11 22 23 a32 a33

− a12 a21 a23 a31 a33

+ a13 a21 a22 a31 a32



D = a11 (a22 a33 −a23 a32 )−a12 (a21 a33 −a23 a31 )+a13 (a21 a32 −a22 a31 )

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Regla de Cramer

Regla de Cramer b1 a12 b2 a22 b3 a32 x1 = D a11 b1 a21 b2 a31 b3 x2 = D a11 a12 a21 a22 a31 a32 x3 = D

a13 a23 a33



a13 a23 a33



b1 b2 b3



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Regla de Cramer

´ de la regla de Cramer Ejemplo: Aplicacion 0.3 x1 + 0.52 x2 + x3 = −0.01 0.5 x1 + x2 + 1.9 x3 = 0.67 0.1 x1 + 0.3 x2 + 0.5 x3 = −0.44 En forma matricial: A X = B, donde



 0.3 0.52 1 1 1.9  , A =  0.5 0.1 0.3 0.5   B t = −0.01 0.67 −0.44 ,   X t = x1 x2 x3 .

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Regla de Cramer

´ ejemplo: Aplicacion ´ de la regla de Cramer Solucion Determinante: a a D = a11 22 23 a32 a33

− a12 a21 a23 a31 a33

+ a13 a21 a22 a31 a32

1 1.9 − 0.52 0.5 1.9 D = 0.3 0.1 0.5 0.3 0.5

1 + 1 0.5 0.1 0.3



D = 0.3(−0.07) − 0.52(0.06) + 1(0.05) = −0.0022

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´ matricial Notacion

´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

Regla de Cramer

´ ejemplo: Aplicacion ´ de la regla de Cramer Solucion −0.01 0.52 1 0.67 1 1.9 −0.44 0.3 0.5 0.03278 x1 = = = −14.9 −0.0022 −0.0022 0.3 −0.01 1 0.5 0.67 1.9 0.1 −0.44 0.5 0.0649 x2 = = = −29.5 −0.0022 −0.0022 0.3 0.52 −0.01 0.5 1 0.67 0.1 0.3 −0.44 −0.04356 x3 = = = 19.8 −0.0022 −0.0022

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´ de sistemas de ecuaciones pequenos ˜ Solucion (n ≤ 3)

´ de incognitas ´ La eliminacion

´ de incognitas ´ Eliminacion para un sistema de 2 × 2 a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2 ´ por a21 Multiplicando la primera ecuacion ´ por a11 Multiplicando la segunda ecuacion a11 a21 x1 + a12 a21 x2 = b1 a21 a21 a11 x1 + a22 a11 x2 = b2 a11

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´ de incognitas ´ La eliminacion

´ de incognitas ´ Eliminacion para un sistema de 2 × 2 Restando y despejando x2 : x2 =

a11 b2 − a21 b1 a11 a22 − a12 a21

´ de x2 en la primera Finalmente, sustituyendo la solucion ´ tenemos: ecuacion, x1 =

a22 b1 − a12 b2 a11 a22 − a12 a21

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´ de incognitas ´ La eliminacion

´ de incognitas ´ Eliminacion para un sistema de 2 × 2 ´ dada Observe que esta respuesta es equivalente a la solucion por Regla de Cramer b1 a12 b2 a22 a b − a12 b2 = 22 1 x1 = a11 a12 a11 a22 − a12 a21 a21 a22 a11 a21 x2 = a11 a21

b1 b2 a b − a21 b1 = 11 2 a11 a22 − a12 a21 a12 a22

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´ de incognitas ´ La eliminacion

Ejemplo: Sistema de 2 × 2 3 x1 + 2 x2 = 18 − x1 + 2 x2 = 2 ´ Solucion: x1 =

(2)(18) − (2)(2) =4 (3)(2) − (2)(−1)

x2 =

(3)(2) − (−1)(18) =3 (3)(2) − (2)(−1)

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