EXPRESIONES ALGEBRAICAS ECUACIONES I.

Expresiones Algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de números y letras, o sólo de

letras, unidos por los signos de las operaciones aritméticas.

x+2 Ejemplo:

Expresión algebraica

2+2

x es un número desconocidoy

Expresión numérica

puede ser cualquier número.

Las expresiones algebraicas nos van a ayudar a resolver muchos problemas. Vamos a comenzar con algunos ejemplos sencillos: 

Una urna tiene un número de bolas que no conocemos, y sacamos 5. ¿Cuántas bolas tiene la urna? ¿Cuántas quedan? Solución: Si llamamos x al número desconocido total de bolas, las que quedan son (x – 5), pues a las x que había le restamos 5.



La hermana de Juan tiene 3 años más que él. ¿Cuántos años tiene? Solución: Si digo que Juan tiene x años (no sé cuántos) su hermana tiene x + 3.

1



Jaime tiene una cantidad de lápices desconocida y su amigo Luis otra cantidad de lápices desconocida. ¿Cuántos tienen entre los 2? Solución: Jaime tiene x y Luis tiene y. Entre los 2 tienen x + y.



Isabel tiene el doble de lápices que Jaime y Luis juntos. ¿Cuántos tiene? Solución: 2 ∙ (x + y). Isabel tiene (x + y) multiplicado por 2.



¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de lado x? Solución: 4 ∙ x. Recordemos que el perímetro es la suma de todos los lados.



¿Cómo podemos expresar 3 números consecutivos? Solución: si llamamos x al primero, el segundo será x + 1, y el tercero x + 2.

II.

Ecuaciones

2+2=4

x+2=4

Igualdad numérica

Igualdad algebraica o ecuación x es un número desconocido (aunque vemos que va a ser 2).

Ejemplo: 

Si a un número le sumo 2, el resultado es 4. ¿Cuál es ese número? Solución: x + 2 = 4. Primer miembro

x+2= 4 Segundo miembro

En el problema anterior, x es la incógnita, y la solución es 2. Vamos a ver cómo calcularla.

2

1. Ecuaciones Equivalentes x+2=4

y

x + 5 = 7 son ecuaciones equivalentes porque tienen la

misma solución: 3. 

Suma/Resta. Si sumamos un mismo número en los 2 miembros de la ecuación, obtenemos una ecuación equivalente, con la misma solución. Lo mismo ocurre para la resta.



x+2=4

⟹

x+2+3=4+3

x+2=4

⟹

x+2−2=4−2

⟹

x+5=7

⟹

x =2

Multiplicación/División. Si multiplicamos o dividimos por un mismo número en los 2 miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente. 5 ∙ (x + 2) = 5 ∙ 4

x + 2 = 4⟹

5 ∙ x = 15

⟹

5∙𝑥 5

=

15 5

⟹ 5 ∙ x + 10 = 20

⟹

x=3

2. Resolución de Ecuaciones Para resolver una ecuación, tenemos que dejar sola la incógnita en un miembro (la despejamos), y en el otro miembro quedará la solución. 

Ejemplo 1: Resolver x + 2 = 4 Para que x + 2 se convierta en x tenemos que restar 2 a la ecuación. x+2–2=4–2 x=4–2=2 Solución: x = 2.



Ejemplo 2: Resolver 5 ∙ x = 15 Para que 5 ∙ x se convierta en x tenemos que dividir por 5 la ecuación. 5 ∙ 𝑥 15 = 5 5 3

x=

15 5

=3

Solución: x = 3. 

Ejemplo 3: Resolver 5 ∙ (x + 2 ) = 25 1. Efectuamos las operaciones: 5 ∙ x + 10 = 25. 2. Ahora dejamos sola a x. Tenemos que restar 10 a la ecuación (a los 2 miembros) y dividirla por 5 (dividimos todos los números y letras de los 2 miembros). Se puede hacer en cualquier orden, pero siempre lo hacemos de la forma más fácil, que es:

Restamos 10: 5 ∙ x + 10 – 10 = 25 – 10⟹5 ∙ x = 15 Dividimos por 5: 5∙x 5

=

15 5

⟹

x=3

Solución: x = 3

Nota: Dividir primero y restar luego da la misma solución, pero hay que hacer más operaciones (más divisiones). Observa: 5 ∙𝑥 5

+

10 5

=

25 5

⟹x + 2 = 5⟹

x+2–2=5–2

⟹

x=3

Reglas para resolver ecuaciones: Cuando adquirimos práctica operamos directamente con las siguientes reglas. Pasamos los números de un miembro a otro con la operación contraria:

Suma

x+2

= 4

x

Pasa como suma al otro miembro

x

=4–2 Resta

= 0

Pasa como resta al otro miembro

x– 2 =0+2

4

Multiplicación

5 ∙ x

Pasa como división al otro miembro

x=

15

= 15

5 𝒙

División

𝟓

=

Pasa

como

multiplicación

x= 3∙5

𝟑

Ejemplos adicionales. 𝑥

𝑥

𝑥



Ejemplo 4.



Ejemplo 5. ¡Con incógnita en los 2 miembros!

3

− 4 = 2⟹3 = 2 + 4⟹3 = 6⟹ x = 6 ∙ 3 ⟹ x = 18

5∙(x–5) = x+15 ⟹ 5∙ x–25 = x+15 ⟹

⟹

5∙ x– x = 25+15

⟹

4∙x= 40

x=10

3. Resolución de Problemas con Ecuaciones Pasos: 1. Identificamos los datos que tenemos y los que nos faltan (estos son las incógnitas). 2. Planteamos la ecuación. 3. La resolvemos.

Lo mejor es verlo con ejemplos. Trabajaremos con ecuaciones con 1 incógnita (x). 

Problema 1: A un cierto número desconocido lo multiplico por 4 y después le sumo 2. El resultado es el mismo que si a ese número desconocido lo multiplico por 3 y le resto 3. ¿Qué número es? -

Paso 1. La incógnita es el número desconocido x. Las operaciones que realizamos con él son:

x∙4+2

y

x∙ 3 – 3 -

Paso 2.Planteamos la ecuación. 4∙ x + 2 = 3∙ x – 3 -

Paso 3. La resolvemos 4∙ x – 3∙ x = – 3 – 2 ⟹ x = – 5 5



Problema 2: Dentro de 6 años, Juan tendrá el doble de la edad que tenía hace 3 años. ¿Qué edad tiene Juan ahora? -

Paso 1. Edad hace 3 años

Edad actual

x–3

x

Edad dentro de 6 años x+6

-

Paso 2. Ecuación.

x + 6 = 2 ∙ (x – 3)

-

Paso 3. La resolvemos. x = 12.

6

TEST 1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene por solución x = 4? a. 2 ∙ x = 10 b. 5 – x = 7 – 2 ∙ (x – 1) c.

8 – 3 ∙x = 4 – 4 ∙ x

d. 5 ∙ x + 4 = 7 ∙ x 2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene por solución x = 3? a. 2 ∙ x + 4 = 10 b. 5 ∙x + 2 = 7 ∙x + 4 c. 4 ∙ x – 1 = 2 d. 5 ∙ x – 5 = 0 𝑥

3. ¿Cuál es la solución de 4 + 2 = 10? a. 8 b. 2 c. 32 d. - 22 4. ¿Qué ecuación plantearías para resolver este problema: para obtener 21, al triple de un número le restamos 12? a. 13∙ x – 12 = 21 b. 3∙ x – 21 = 12 c. x + 3 – 12 = 21 d. 3∙ x – 12 = 21 5. Ana tiene x cromos, María tiene 3 cromos más que Ana, y Pedro tiene el doble de cromos que Ana. ¿Cuántos tienen entre los 3? a. 4∙ x + 3. b. 3∙ x + 3. c. 2∙ x + 5. d. 5∙ x + 2. 6. La suma de las edades de los padres de Javi es 66 años. El padre de Javi tiene 2 años más que su madre. ¿Qué ecuación plantearías y qué edad tiene cada uno?

7

a. 2x – 2 = 66. Su madre 34 y su padre 36. b. 2x = 66. Los dos tienen 33 años. c. 2x + 2 = 66. Su madre 32 y su padre 34. d. (x + 2) + x = 66. Su padre 33 y su madre 35. 7. Jaime quiere ir al cine en 3D con sus amigos. Si compra 3 entradas le sobran 3 €, pero para comprar 4 entradas le faltan 6 €. ¿Qué ecuación plantearías, cuánto cuesta cada entrada y cuánto dinero tiene Jaime? a. x+3 = 4∙x −6. La entrada cuesta 6 € y Jaime tiene 18 €. b. x–6 = 3∙x + 3. La entrada cuesta 9 € y Jaime tiene 30 €. c. 3∙x + 3= 4∙x – 6. La entrada cuesta 6 € y Jaime tiene 18 €. d. 3∙x + 3= 4∙x – 6. La entrada cuesta 9 € y Jaime tiene 30 €. 8. El perímetro de un terreno rectangular es 160 metros. Si mide el doble de largo que de ancho, ¿cuánto tiene de ancho y largo? a. 30 metros de ancho y 60 metros de largo. b. 20 metros de ancho y 40 metros de largo. c. 40 metros de ancho y 40 metros de largo. d. 30 metros de ancho y 60 metros de largo. 9. En un triángulo isósceles el lado desigual mide la mitad que cada uno de los lados iguales. Si el perímetro del triángulo es 30 metros, ¿qué ecuación plantearías y cuánto mide cada lado? a.

𝑥

𝑥

𝑥

+ 2∙ 3 +2∙ 3 = 30. 10 metros cada lado igual y 5 metros el lado desigual. 3

b. 5∙x = 30. 6 metros el lado desigual y 12 metros cada lado igual. 𝑥

c. 2∙x + 2 = 30. 12 metros cada lado igual y 6 metros el lado desigual. d. b y c son correctas. 10. Luis tiene 20 años, Inés 14 años y Alejandro 12 años. ¿Cuántos años hace que la edad de Inés más la de Alejandro era igual a la de Luis? ¿Qué ecuación plantearías? a. 4 años. (14 – x) + (12 – x) = 20. b. 8 años. 14 + 12 – x = 20. c. 6 años. (14 – x) + (12 – x) = 20 – x. d. 3 años. 12 + x + 14 + x = 20.

8

Respuestas 1(b), 2(a), 3(c), 4(d), 5(a), 6(c), 7(d), 8 (b), 9(d), 10 (c)

9