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EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS ¾ Una expresión algebraica es aquella en la que se operan números conocidos y números desconocidos representados por las letras a, b, c, x, y, z, ..., que se denominan indeterminadas o variables. Cada sumando es un término de la expresión. 3x 2 y 3 + 2 xy + 3 es una expresión algebraica de tres términos y dos variables. Términos: 3x 2 y 3 ,2 xy ,3
Variables: x,y
¾ El valor numérico de una expresión algebraica es el que resulta al sustituir las letras por números y calcular la expresión que se obtiene. El valor numérico de 3xy + 4x para x = 2 e y = 3 es 26, ya que: 3·2·3 + 4·2 = 18 + 8 = 26
1) Completa la siguiente tabla: Expresiones 3xy + 5xyz 2xyz 2(m+3) - 3(n-4) + 5
Términos
Variables
2) Completa con expresiones algebraicas las siguientes frases: a) Antonio tiene tres años más que Juan. Si Juan tiene x años, Antonio tendrá..................... b) Pedro pesa tres veces más que su hermana. Si la hermana de Pedro pesa z kilos, Pedro pesará................... c) Hace 12 años, la edad del padre de Paco duplicaba a la de su hijo. Como el padre de Paco tiene ahora x años, hace 12 años Paco tenía................... años y ahora tendrá........................ años. 3) Halla el valor numérico de las siguientes expresiones: a) 3mn + 1, para m = 2 y n = 3. b) 4x3 – 2x + 3, para x = 2. c) 5 ·(a – b)2 – 3 · (a2 – b2), para a = 3 y b = 2. 4) Realiza las siguientes operaciones: a) 2x + 3x = b) 4x + 2x + 3x = c) 9y – 4y = d) 12x + 3x - 7x = e) 9b –3b + 2b = f) 11ba –10ba + 9ba – 8ba =
g) 3 ·2ab = h) 5 · (4x2y) = i) (-2) · (-5ab2) = j) 4 · (-2) · 3mn = k) –2 · (-3) · (5m2n2) = l) (-1) · (-1) · 4 · (3abc) =
1
5) Rodea con un círculo las operaciones incorrectas y escribe al lado los desarrollos correctos. Expresiones Desarrollos correctos a) 5 + 4 · 5x = 9 · 5x = 45x 5 + 4 · 5x = b) 3 · (x + y) = 3x + y 3 · (x + y) = c) 5 · 3xy – 2xy = 5 · (3xy – 2xy) = 5xy 5 · 3xy – 2xy = 6) Reduce las siguientes expresiones algebraicas:
a ) 4 x 2 + 3x − 2 x 2 + 5x = b) 4 ⋅ ( 3x ) + 7 x = c)30 xy − 7 ⋅ (− 3xy ) =
d )3 ⋅ (4 xyz ) − 2 ⋅ (− 2 xyz) = e) 3 ⋅ ( x + x ) − 2 ⋅ ( x + x ) = f )5z 2 − 3z + 8z − 2 z 2 = 7) Efectúa las siguientes operaciones:
a )5a + 2b − 3a + 6b = b)5b − 2ab + 8ab − 3b =
c)3x 2 − 3xy + x 2 + 9 xy = 8) Realiza los siguientes productos:
a ) 2 x 2 ⋅ 3x = b)2a ⋅ ( − 4b) = 2 c) − 3 x 2 ⋅ x 3 = 5 5 d ) a ⋅ 4ab = 3 9) Relaciona cada operación con su resultado.
2x3 + 4x3 5x 2 − 2 x 2 3x ⋅ 4 x 2 x + 4x x ⋅ 4x
5x 3x 2 6x 3 4x2 12 x 3
10) Aplica la propiedad distributiva a los siguientes productos:
a )3 ⋅ ( x + y ) =
b) 4 ⋅ ( 2 x + 5 y ) =
c) 7 ⋅ ( 2 − 3 x + y ) = d ) 2a ⋅ ( a + b) = e)ab ⋅ ( 2a − 4b) =
2
11) Escribe en lenguaje algebraico: a) La suma de dos números b) La mitad de un número, menos dos. c) El triple del cuadrado de un número. 12) Completa la siguiente tabla: EXPRESIÓN ALGEBRAICA y 3xy2z
COEFICIENTE
PARTE LITERAL
6a 3b 2
2 xy 3 13) Completa la siguiente tabla: EXPRESIÓN ALGEBRAICA 5y 3xy2z 3
6a b 2 xy 3
2
VALORES
RESULTADO
y=2 x=1, y=2, z=-1 a=1, b=-1 x=3, y=2
14) Reduce a términos semejantes: a) 10x – 6x + 9y – 2y c) ab 2
⋅a
b)
a ⋅ 3a 2
3
3
POLINOMIOS. DIVISIÓN ENTERA. FACTORIZACIÓN 1. Polinomios 1.1. Monomios A las expresiones algebraicas de la forma 4x2y; -3xyz; 8x2yz2 se les llama monomio. A los números 4, -3, 8 se les llama “coeficientes”. A las letras x2y; xyz; x2yz2 se les llama “parte literal”. Se llama “grado” de un monomio a la suma de los exponentes de sus letras. Se llaman “monomios semejantes” a los que tienen la misma parte literal. Para sumar dos monomios semejantes, se suman algebraicamente sus coeficientes y se deja la misma parte literal. Ejm: − 3 x 2 y 3 + 5 x 2 y 3 + x 2 y 3 = (− 3 + 5 + 1) ⋅ x 2 y 3 = 3 x 2 y 3
3
1.2. Polinomios Un polinomio es la suma indicada de monomios. Si tiene dos monomios se llama binomio: 4x2y – 3xy2. Si tiene tres monomios se llama trinomio: 4x2y –xy2 + 4xy Se llama “grado” de un polinomio al grado del monomio que tenga mayor grado. Generalmente se utilizan polinomios de una sola variable (letra) llamada indeterminada. Por ejemplo:
P ( x) = 3x 2 − x + 5 Q( x) = 8 x 5 − 2 x 2 − 3 R ( x) = x 6 − 3 x 2 + 5 x Al número 5 y -3 se le llama “término independiente”.
15) Indica el grado de los siguientes polinomios: a) P(x) = 8x9 + x3 – 12x2 b) Q(x) = 2x4 + 7x7 – 23 + x5 – 10x c) R(x) = xzy4 + 3xy – 4z d) S(x) = 3ab - 2ca3 + 7ac3b2 16) Señala el término de mayor grado y el término independiente en los siguientes polinomios: a) P(x) = 8x9 + x3 – 12x2 b) Q(x) = 2x4 + 7x7 – 23 + x5 – 10x c) R(x) = 9x7 + x5 – 2x2 + 11x d) S(x) = x5 - 3x4 – x + 2
1.3. Valor numérico de un polinomio Dado un polinomio P(x) y un número “a”, se llama valor numérico de P(x) para x = a, al número que se obtiene al sustituir “x” por “a” y efectuar las operaciones. Calcula el valor numérico de P(x) = 2x3 – 5x2 + 2x – 1 para x = – 1. P(-1) = 2 · (-1)3 – 5 · (-1)2 + 2 · (-1) – 1 = 2 ·(-1) – 5 · 1 + 2 · (-1) – 1 = = -2 – 5 – 2 – 1 = -10
17) Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se indican: a) P(x) = 8x9 + x3 – 12x2 para x = – 1. b) Q(x) = 2x4 + 7x7 – 23 + x5 – 10x para x = 1. c) R(x) = 9x7 + x5 – 2x2 + 11x para x = 0. d) S(x) = x5 – 3x4 – x + 2 para x = – 2. 18) Halla el valor numérico del polinomio: P(x) = a) x = -1
1 4 23 x + 7x7 + − x 5 + 10 x , para: 2 4
b) x = 2
4
19) ¿Cuál es el valor numérico de un polinomio cualquiera P(x), si damos el valor x = 0? Pon algún ejemplo.
2. Suma y resta de polinomios Para sumar dos polinomios P(x) y Q(x) se suman los coeficientes de los términos semejantes (en nuestro caso, del mismo grado). Por ejemplo:
P ( x) = x + 6 x + 2 x − 5 x 5
4
Q( x) =
3
2x − 7 x 4
+3
2
- 4x + 5
3
P + Q = x + 8x − 5x − 5x − 4x + 8 5
4
3
2
Dados los polinomios P(x) y Q(x) se define la diferencia P – Q como la suma P + (– Q). Por ejemplo:
P ( x) = x − 3 x + 1 y Q(x) = -4x + x − 5 2
2
P( x) = x − 3x + 1 2
− Q( x) = 4 x − x + 5 2
P − Q = 5x − 4 x + 6 2
20) Realiza las operaciones que se indican con los polinomios: P(x) = x4 – 5x2 + 3 Q(x) = x4 + 20x3 + 3x + 15 4 3 2 R(x) = 6x – 2x + 3x – 1 S(x) = x2 + 7x – 2 a) P(x) + Q(x) + R(x) + S(x) b) P(x) – Q(x) c) P(x) – R(x) d) P(x) + Q(x) – R(x) 21) Dados los siguientes polinomios: P(x) = 3x4 + 5x3 – 6x + 2 Q(x) = 2x4 + 15x3 – 8 5 4 R(x) = 2x – 2x – x + 1 S(x) = – 3x5 + 4x4 + 5x3 – 8x + 2 a) P(x) + Q(x) + R(x) + S(x) b) P(x) - Q(x) + R(x) + S(x) c) P(x) + Q(x) – R(x) + S(x) d) P(x) + Q(x) – R(x) – S(x)
3. Producto de polinomios 3.1. Producto de monomios El producto de dos monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y de parte literal el producto de las partes literales de los factores. Por ejemplo:
2 x 3 ⋅ (− 3 x 4 ) = 2 ⋅ (− 3) ⋅ x 3 ⋅ x 4 = −6 x 3+ 4 = −6 x 7 5
Producto de un polinomio por un monomio Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada término del polinomio por el monomio. Por ejemplo:
(− 3x + 6 x + 4 x − 2)⋅ (− 5 x ) = )⋅ (− 5 x ) + (6 x )⋅ (− 5x ) + (4 x ) ⋅ (− 5 x ) + (− 2) ⋅ (− 5x ) = 3
(− 3x
3
2
2
15 x 4 − 30 x 3 − 20 x 2 + 10 x
Producto de polinomios El producto de dos polinomios se obtiene multiplicando cada término de un polinomio por todos los del otro. Por ejemplo:
3x
− 4x + 5 3x + 2
2
2
9x
3
6x - 12x
2
- 8x + 10 + 15x
9 x − 6 x + 7 x + 10 3
2
22) Efectúa los siguientes productos: a) 2x3 · (3x4 + 5x3 – 6x + 2) b) (x5 + 4x3 – 2x + 1) · (-x5) c) x · (x6 + 2x5 – 2x4 – x +1) d) (5a3 – 8a + 2) · 7ª 23) Multiplica los siguientes polinomios: a) P(x) = x3 – 6x + 2 y Q(x) = 5x2 + 15x – 8 b) P(x) = x5 + 5x3 – 2x + 1 y Q(x) = 9x2 – 1 c) P(x) = x6 + 2x5 – 2x4- x + 1 y Q(x) = 5x3 - 8x + 2 24) Indica, sin operar, el grado del polinomio producto en los siguientes casos: a) (5x5 – 6x + 2) · (2x5 + x4 – 3) b) (x3 + x2 + 3x + 5) · (15x2 – 20x) c) (6y3 + 2y – 3y2) · (6y2 + 10y – 2y9 – 4y2) 25) Saca factor común a los siguientes polinomios: a) 15x2y – 20x2z b) xy3 + 8xy2 – 6xy c) 6x3 – 3xy + 2x2y - 3y2 d) 6z2 + 10yz – 2z + 2z2 - 4y2z
6
4. Potencias de polinomios 4.1. Potencias de un monomio Para elevar un monomio a una potencia se eleva el coeficiente a dicha potencia y los exponentes de los factores de la parte literal se multiplican por el exponente de la potencia. Por ejemplo:
(− 5x ) = (− 5) ⋅ ( x ) = 25x = 25x 3
2
2
3
2
3⋅2
6
4.2. Cuadrado de un binomio Por ejemplo:
Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de una diferencia: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Suma por diferencia: (a + b) · (a – b) = a2 - b2
(2 x + 3)2 = (2 x )2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ 3 + 32 = 4 x 2 + 12x + 9 (x − 5)2 = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 5 + 52 = x 2 − 10x + 25
(2 − x )⋅ (2 + x ) = 2 − (x ) 3
3
3 2
2
= 4 − x6
26) Desarrolla los cuadrados de los siguientes binomios: a) (x + 2) d) (x – 2) b) (4 + y) e) (4 – y) c) (2x + 3) f) (2x – 3) 27) Eleva al cuadrado los siguientes binomios: a) (2x + 3y) c) (3x + 2) b) (2x + 1) d) (2x + 2) 28) Realiza los siguientes productos: a) (x + 1) · (x – 1) b) (2x – 3) · (2x + 3)
e) (2x – y) f) (2x – 5)
c) (5x + 1) · (5x – 1) d) (4x – 2) · (4x + 2)
29) Escribe en forma de potencias o producto de binomios las siguientes expresiones: a) 4x2 – 9 c) 25x2 + 40xy +16y2 b) 1 – 8x + 16x2 d) 49x4+ 28x2 + 4
5. Cociente de polinomios 5.1. Cociente de dos monomios Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes y se dividen las partes literales de ambos monomios. Por ejemplo:
(− 12 x y ) : (3xy ) = [(− 12) : 3]⋅ [x 3
4
2
3
][
]
: x ⋅ y 4 : y 2 = −4 x 3−1 y 4− 2 = −4 x 2 y 2
7
Cociente de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio. Por ejemplo:
(4 x − 6 x − 8x − 4 x ) : (2 x ) = (4 x ) : (2 x ) + (− 6 x ) : (2 x ) + (− 8 x ) : (2 x ) + (− 4 x ) : (2 x ) = 5
5
2
4
4
3
2
2
2
3
2
2
2
2 x 5 − 2 − 3 x 4 − 2 − 4 x 3− 2 − 2 x 2 − 2 = 2 x 3 − 3 x 2 − 4 x − 2 30) Realiza las siguientes divisiones: a) − 3 x 5 + 9 x 4 − 12 x 3 + 6 x 2 : 3 x 2 = b) c) d)
( )( ) (x + 9 x − 12 x + 6 x ) : (x ) = (x − 4 x + 12 x − 8x ) : (4 x ) = (− 10 x − 5x − 15 x + 30 x ) : (5 x ) = 6
4
2
6
5
4
8
2
3
7
3
6
4
4
31) Efectúa: a) − 6 x 5 + 12 x 4 : 6 x 2 − 2 x 5 + 6 x 3 : 2 x 2 = b) c) d)
( )( ) ( )( ) (− 6 x + 12 x ) : (2 x ) + (3x − 6 x ) : (3x ) = (5x − 15x + 10 x ) : (5 x ) − (8x − 4 x ) : (2 x ) = (− 8x − 4 x + 12 x ) : (4 x ) + (12 x − 6 x ) : (6 x ) = 4
3
5
6
8
5
4
7
3
4
4
3
4
3
3
6
3
3
División de polinomios Dados los polinomios A(x) y B(x), se pueden encontrar mediante la división otros dos polinomios C(x) cociente y r(x) resto, que verifican estas dos condiciones:
A(x) = B(x) · C(x) + R(x) grado R(x) < grado B(x)
Si R(x) = 0 se dice que la división es exacta. Por ejemplo:
2x
+ − 2x +
− 9x
3
3
+ 4x − 5x + 5x
2
2
2
2
+ 15 x + 3
x − 2x + 1
− 2x + 13x + 3
2x − 5
2
− 10 x + 5 3x +8
32) Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones: a) (x4 – 4x3 + 3x2 + 5x – 2) : (x2 + 3) b) (x4 – 5x2 – 2x) : (x2 – x) c) (x5 – 7x3 + 35x) : (x2 + 5) d) (2x5 + 4x4 + 5x + 25) : (x2 – 2x + 1)
8
33) Dados los polinomios P(x) = x3 – 11x2 + 35x – 25 y Q(x) = x – 1: a) Haz la división P(x) : Q(x). b) ¿Cuánto vale el polinomio cociente? c) ¿Hay algún polinomio que sea divisor de otro? d) ¿cuánto vale el resto? En ese caso, ¿cómo decimos que es la división? 34) Si P(x) = x3 – 11x2 + 35x – 25: a) Divídelo entre x2 – 10x + 25. ¿Cuál es su cociente? b) Multiplica el cociente obtenido en la actividad anterior por el cociente obtenido en el aparatado a) de esta actividad. ¿Qué polinomio obtienes? ¿Por qué?
División de un polinomio por el binomio x – a. Regla de Ruffini El caso más importante de división de polinomios es aquel en el que el divisor es el binomio x – a. Estas divisiones se pueden hacer de la forma habitual, pero es más sencillo y rápido usar la “regla de Ruffini” que utiliza solo coeficientes. Por ejemplo:
(x
4
− 8 x 2 + 2 x − 5) : ( x − 2 ) =
1 0 −8 2
2
−5
2 4 −8 − 12 1 2 − 4 − 6 − 17 = Re sto
En definitiva, el cociente de la división es el que viene dado por los coeficientes que he obtenido, comenzando por un grado inferior al dividendo; esto es, C(x) = x3 + 2x2 – 4x – 6 y el resto –17.
35) Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones mediante la regla de Ruffini. a) (x3 - 4x2 + 3x – 2) : (x + 3) b) (x4 – 5x2 – 2x) : (x – 2) c) (x5 – 7x3 – 35x + 10) : (x + 5) d) (x3 + 5x + 25) : (x – 1) 36) Dados los polinomios P(x) = x3 – 2x2 - 5x + 6 y Q(x) = x – 1: a) Haz la división P(x) : Q(x) mediante la regla de Ruffini. b) ¿Cuánto vale el polinomio cociente? c) ¿Cuánto vale el resto? En ese caso, ¿de qué tipo es la división? d) ¿Hay algún polinomio que sea divisor de otro? 37) Dado el polinomio P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 y aplicando la regla de Ruffini: a) Divídelo por x + 2. ¿Qué cociente obtienes? ¿Qué resto? b) Divide el polinomio cociente que has obtenido entre x – 1. ¿Qué cociente y qué resto obtienes?
9
38) Dado el polinomio P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6: a) Divídelo por (x – 3). ¿Qué cociente y qué resto obtienes? b) Divide el polinomio cociente que has obtenido entre x + 2. ¿Qué cociente y qué resto obtienes? 39) Multiplica (x – 1) · (x + 2) · (x – 3). ¿Qué polinomio resulta? ¿Cómo explicarías esto teniendo en cuenta la información obtenida en las tres actividades anteriores? 40) Realiza las siguientes operaciones: a) (x5 + x2 – 3) · (x – 2) + (3x - 3)2 b) (x – 3)2 – x · (x – 5) · (x + 5) c) (x3 - 2x2 – 5x + 6) : [(x – 1) · (x – 3)]
6. Raíces de un polinomio Dado un polinomio P(x) y un número “a” sabemos que el valor numérico de P(x) en “x = a” es el número obtenido al sustituir “x” por “a” y hacer las operaciones. Por ejemplo: Calcula el valor numérico de P(x) = x3 – 4x2 + x + 6 para x = 2 P(2) = 23 – 4 · 22 + 2 + 6 = 8 – 4 · 4 + 2 + 6 = 8 -16 + 8 = 0 Calcula el valor numérico de Q(x) = 2x4 – 3x2 + x – 4 para x = 1 Q(1) = 2 · 14 – 3 · 12 + 1 – 4 = 2 · 1 – 3 · 1 + 1 – 4 = 2 – 3 + 1 – 4 = – 3 Cuando al sustituir ese valor nos da su valor numérico cero, se dice que “a” es una raíz del polinomio. Se demuestra que las raíces de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Por ejemplo: Según hemos visto en el ejemplo anterior, 2 es raíz del polinomio P(x) cuyo término independiente es 6, claramente 2 es divisor de 6. Si a es raíz de P(x), entonces el polinomio P(x) es divisible por x – a y se puede poner como P(x) = (x – a) · C(x). Veámoslo con un ejemplo:
(x 2
3
)
− 4 x 2 + x + 6 : (x − 2) 1 −4 1 6 2 −4 −6 1 −2 −3 0 = R
polinomio cociente C ( x) = x 2 − 2 x − 3
(
)
x 3 − 4 x 2 + x + 6 = (x − 2) ⋅ x 2 − 2 x − 3 7. Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Veamos en la práctica, cómo factorizar P ( x) = x 4 + 2 x 3 − 7 x 2 − 8 x + 12
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Primer paso: intentaremos localizar sus raíces enteras entre los divisores del término independiente.
div(12) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}
Segundo paso: Para ello, utilizaremos reiteradamente la regla de Ruffini: Probamos con x = 1 y vemos que sí es raíz:
1 2 −7
−8
12
1 3 − 4 − 12 1 3 − 4 − 12 0 = R P ( x) = ( x − 1) ⋅ x 3 + 3x 2 − 4 x − 12 Ahora buscamos las raíces del polinomio cociente x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 . 1
(
)
Probamos con x = 1 y con x = –1, y comprobamos que no son raíces:
3
−4
− 12
1
4
0
1
4
0
− 12 = R
1
3
−4
− 12
1
−1 2
−2 −6
6 −6 = R
1 1
−1 Probamos con x = 2 y veamos que sí es raíz:
1
3
−4
− 12
2
2 10 12 1 5 6 0=R 3 2 2 x + 3x − 4 x − 12 = ( x − 2) ⋅ (x + 5 x + 6) 2 El polinomio cociente x + 5 x + 6 es de segundo grado cuyas raíces son –2 y –3 (que se obtienen resolviendo la ecuación x 2 + 5 x + 6 = 0 ). Entonces, x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 ) ⋅ ( x + 3) Uniendo todos los pasos, tenemos:
P ( x) = ( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x + 3)
41) Factoriza los siguientes polinomios: a) x 4 − 4 x 3 + 7 x 2 − 12 x − 12 b) x 4 + x 3 − 27 x 2 − 25 x + 50 c) x 3 + x 2 − 32 x − 60 d) x 4 − 81
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42) Razona por qué x – 1, x + 1, x + 5, x – 5 son, en principio, posibles divisores del polinomio x 3 − x 2 − 25 x + 25 . a) Razona por qué x – 3 no puede serlo. b) Descompón en factores dicho polinomio. 43) Factoriza los siguientes polinomios: a) x 3 + 8 x 2 + 21x + 18 b) x 4 + 3 x 3 − 5 x 2 − 3 x − 4 c) x 3 + 4 x 2 + 3 x d) x 5 − 7 x 4 + 16 x 3 − 12 x 2
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