Matemática

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Unidad N° 2

OBJETIVOS GENERALES


Convertir las frases del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico y viceversa
Identificar a las expresiones algebraicas según sean racionales o irracionales, enteras o fraccionarias.
Adquirir habilidad en la operatoria con polinomios
Adquirir habilidad en el proceso de factorización de polinomios
Simplificar y operar con expresiones algebraicas fraccionarias
Modelar situaciones ones problemáticas con expresiones algebraicas

CONCEPTOS PREVIOS
Números Reales: Operaciones y Propiedades.
Lógica Proposicional: Conectivos y cuantificadores lógicos

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INTRODUCCIÓN

Desde sus remotos orígenes arraigados en Egipto, Arabia y la India veinte siglos antes de nuestra era, el álgebra ha sido considerada un método de expresión mediante fórmulas que permiten simplificar los cálculos numéricos. En ese entonces los problemas algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera verbal. Los polinomios, se han aplicado recientemente en la transmisión de la información. Durante los últimos años, el tráfico de datos por medio de las “carreteras” de la información han crecido enormemente. Se pretende aumentar las velocidades de transmisión y conservar al mismo tiempo la integridad de los datos. Un método desarrollado para tal fin es el PET (Transmisión Codificada con Prioridades). Con él la información se distribuye en diferentes paquetes. Esta distribución se determina con base en polinomios.

EXPRESION ALGEBRAICA Llamamos Expresión Algebraica Real a toda combinación de letras y/o números reales vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación de exponente racional. Ejemplos a) 3 y 3 − y 2 + 2 y − 1 c)

2− a 5+a

b) 2 x 3 y + x −1 − 5 y

1  d)  x + y + 2 

 z 

3

A los números intervinientes les llamamos coeficientes y a las letras variables. Clasificación de las Expresiones Algebraicas Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en

  Enteras    Racionales  Expresiones Algebraicas   Fraccionarias    Irracionales 

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Las Expresiones Algebraicas Racionales Enteras, también llamadas Polinomios, son aquellas donde las variables están afectadas por las operaciones de suma, resta, producto y potencia de exponente entero no negativo. Ejemplos:

a) 2 x +

1 3

b) - y3 +

4 a y + 2a 5

3 - 4z

c)

Las Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos una variable esta afectada a un exponente entero negativo o figura en el denominador. Ejemplos:

a) x + x – 2 + 1

b)

1 + y x3 – 2 x–1 x

c)

2xa - 3 4x + 5a

Las Expresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable está afectada a un exponente fraccionario o figura bajo un signo de radicación. Ejemplos:

a)

x - 3x +

1 2

b) a

1

2

+ 5b – a2

TEORIA DE POLINOMIOS Monomio Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma y resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término.

Grado de un Monomio Es la suma de los exponentes de las letras( o variables) que contiene. Ejemplos: Monomios

Grado

6a

1

1 - xy2 z 3 3

6

2 mn 2

3

Monomios Semejantes Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplos:

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a) -2m3 n2 y

6 3 2 m n 5

b) 2 x

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y

-3x

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Polinomio Un polinomio es la suma de dos o más monomios. El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado que participa en él. Casos particulares Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios Ejemplos: Binomio

Clasificación

Grado 1

x− 2

x2 − 4

Binomios

2

− yx 2 + 2 y

3

a2 + 2 + b

2

− x 3 + 2x − 1

Trinomios

3

a 2 + 2 ab + b 2

2

2 x 2 + y + xy 3 − 1

4

x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Cuatrinomios

3

Polinomio Homogéneo Un polinomio se dice homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado. Ejemplos: 4 x2 – 2 x y + y2

polinomio homogéneo de 2° grado

7 u3 v + 1/2 p 2 q z - z4

polinomio homogéneo de 4° grado

Polinomios en una variable Si el polinomio es en la variable x se representa simbólicamente como: P( x ) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0 Donde n ∈ Ζ, n ≥ 0

se llama grado del polinomio P y se escribe n = grP(x)

ai ∈ ℜ

se denominan coeficientes del polinomio

an ≠ 0

se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término independiente

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Ejemplos

3 , 5 , 0 , -7 , 4

Coeficiente principal 3

Término independiente 4

- 2 ,0 8

- 2 8

0

Polinomio

Grado

Coeficientes

P(x) = 3x4 + 5x3-7x+4

4

Q(x) =- 2 x R(x) = 8

1 0

8

Valor Numérico de un polinomio P( x ) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0

Sea

Entonces

y

sea

x=c

P(c) = an.cn + an-1.cn-1 + …+a1.c + a0 valor que se obtiene al reemplazar x por c, lo llamaremos valor numérico de P(x) para x = c

Ejemplos: P(x) = 3x4 + 5x3 - 7x + 4, entonces,

a) Si

P(0) = 4 y P(1) = 3.14 + 5.13 - 7.1 + 4 = 5 Q(x) = - 2 x, entonces,

b) Si

Q( 2 ) = - 2 . 2 = - 2

Q(0) = 0 y c) Si

R(x) = 8, entonces, R(0) = 8 y

R(c) = 8

Cero de un Polinomio Sea P(x) . Se dice que b es cero de P ( x )

⇔

P( b ) = 0

Ejemplos: a)

2 2 es cero de P( x ) = 2x − 4

b) 0 es cero de Q(x) = - 3x 3 + 2x 2

( )2 − 4 = 2.2 − 4 = 0

pues

P( 2 ) = 2 2

pues

Q(0) = - 3.03 + 2.02 = 0

Polinomio Ordenado Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos de modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el último. Ejemplos a) 1 - 2y3 + 3y5 + 5y7 esta ordenado en forma creciente b) a3 + 2a2 + 3a

esta ordenado en forma decreciente

Polinomio Completo FRT - UTN

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Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la variable menores al grado del polinomio. Ejemplos: a) 3 x2 – x + 2 x4 – 9 + 5 x3

1 3

b) y 3

1 2 1 y + 2y+ 4 2

Si un polinomio esta incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la variable que faltan con coeficiente cero. Ejemplo:

1 1 m + 3m 3 − 2 + m 5 = m5 + 0m4 + 3m3 + 0m2 + m 2 2 2 Polinomio Nulo Llamamos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero. Se escribe:

P(x) = 0

y se dice de él que no posee grado.

Polinomio Opuesto Dado P( x) = an x n + an −1x n−1 + ... + a1x + a0 se llama polinomio opuesto de P(x) a : − P( x) = − an x n − an −1x n−1 − ... − a1x − a0 dado que:

P ( x) + [− P ( x ) ] = 0

Esto es, la suma de un polinomio con su opuesto, es el polinomio Nulo. Ejemplo:

1 2 6 3 4 Si P( z ) = z − 3z + z + 3 , entonces 2 8

1 3 − P(z) = − z2 + 3z6 − z4 − 3 2 8

Igualdad entre Polinomios Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos semejantes son iguales. En símbolos Sean

P( x) = an x n + an −1x n −1 + ... + a1x + a0

y

Q( x) = bn x n + bn−1x n−1 + ... + b1x + b0

diremos que: P( x ) = Q( x )

⇒

gr P( x ) = gr Q( x ) y ai = bi con i = 0,1,…,n

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Ejemplo: Hallar los valores de a, b, c y d para que P( x ) = Q( x ), donde P( x ) = -3 x4 + 2 x2 + 5 x –2

Q( x ) = - a x4 + b x3 - c x2 - d x -2

y

Respuesta Se observa que gr P(x) = 4 = gr Q(x) Además debe cumplirse que -3 = -a, 0 = b, 2 = - c, 5 = - d y -2 = -2 Entonces se concluye que los valores de a, b, c y d para que estas condiciones se cumplan son: a = 3, b = 0, c= – 2

y d = -5

Operaciones con polinomios La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones entre reales. Suma de Polinomios Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los términos semejantes y se obtiene un polinomio de grado menor o igual al grado del polinomio de mayor grado. Resta de Polinomios Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo. Producto de polinomios Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de la potenciación de potencias de igual base, se obtiene un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios intervinientes.

Ejemplos: 1) Calcular: a) (2 xy − 4 x 2 y) + (1 − x 2 y + xy − x) − ( x + 3xy − 5) b) ( x − y 2 ) ( x + y 2 ) + (x + y )2

2) Sean

P(x) = x 4 + 2 x 3 − 3x 2 + 8 a) 2P(x) – x Q(x)

Respuestas

y

Q(x) = 2 x 2 −1 , calcular c) [P(x) + Q(x)] . Q(x)

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1) a) (2 xy − 4 x 2 y ) + (1 − x 2 y + xy − x) − ( x + 3xy − 5) = 2 xy − 4 x 2 y + 1 − x 2 y + xy − x − x − 3xy + 5 = − 5x2 y − 2x + 6

( )

2 b) ( x − y 2 ) ( x + y 2 ) + ( x + y) 2 = x 2 − y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = − y 4 + 2 x 2 + 2 xy + y 2

2) a) 2P(x) – x Q(x) = 2 ( x 4 + 2 x3 − 3x 2 + 8) − x (2 x 2 − 1) = (2 x 4 + 4 x3 − 6 x 2 + 16) + (−2 x3 + x)

= 2x 4 + 2x 3 − 6x 2 + x + 16 [ P(x) + Q(x) ] . Q(x) = ( x 4 + 2 x 3 − x 2 + 7 ).( 2 x 2 − 1 )

b)

= 2 x 6 + 4 x 5 − 2 x 4 + 14 x 2 − x 4 − 2 x 3 + x 2 − 7 = 2 x 6 + 4 x 5 − 3 x 4 − 2 x 3 + 15 x 2 − 7

División de Polinomios en una variable División de monomios entre si El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados y la parte literal es el resultado de aplicar la propiedad de cocientes de potencias de la misma base. El resultado no siempre es un monomio Ejemplos:

12 x 5 1)

3x

= −4 x 4

8x 5

2)

− 2x

4

= −2 x

3)

2x 4x

3

=

1 2 x 2

División de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado no siempre es un polinomio Ejemplo:

(− 3x 5 + 2x3 − 6x 2 ): (− 2x 2 ) = 32 x 3 − 2x + 3

División de Polinomios entre si Sean P (x ) y Q ( x ) dos polinomios con Q ( x ) ≠ 0, tal que

gr P (x ) ≥ gr Q ( x )

Entonces existen dos polinomios únicos C(x) y R(x) tales que: P ( x ) = Q ( x ).C ( x ) + R ( x )

con gr R (x ) < gr Q ( x ) .

Llamaremos a P (x) dividendo, a Q (x ) divisor, a C (x ) cociente y a R (x ) resto. FRT - UTN

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P ( x) R( x) = C ( x) + Q ( x) Q ( x)

También puede expresarse:

Cuando R (x ) = 0, la división es exacta. Entonces, P ( x ) = Q ( x ).C ( x )

y se dice que Q (x ) es un factor de P (x ) o que P (x ) es divisible por Q (x ) . De ese modo se tendrá que:

P ( x) = C ( x) Q( x)

Algoritmo de la división grP(x) ≥ grQ(x).

Sean P(x) y Q(x) tal que,

Para realizar la división P(x)/Q(x) se procede del siguiente modo 1) Ordenar en forma decreciente a ambos. Completar al dividendo 2) Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de mayor grado de P(x) por el término de mayor grado del divisor 3) Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del divisor y se coloca el resultado abajo de los términos de P(x) que le sean semejantes. Luego se resta y se considera este resultado, un resto parcial, como el próximo dividendo 4) Se repiten los paso 2 y 3 5) Detener el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. Ejemplo Sean P(x) = 2 x3 + 0 x2 + x – 1 y Q(x) = x2 – x + 2 . Calcular el cociente y el resto que se obtiene al dividir P(x) en Q(x) Respuesta 2 x3 + 0 x2 + x – 1 2 x3 - 2x2 + 4x

x2 – x + 2 2x + 2

2x2 – 3x - 1 2x2 – 2x + 4 - x - 5

Entonces C(x) = 2 x +2 Se puede escribir O también

x −x+2 Caso particular

R(x) = - x – 5

2 x3 + x – 1 = (x2 – x +2).(2 x + 2) +(- x – 5)

2x 3 + x −1 2

y

= 2x + 2 +

− x −5 2

x −x+2

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Si gr Q(x) = 1, entonces R = constante (polinomio de grado cero). En particular si Q(x) es de la forma Q(x) = x – b, se puede aplicar un algoritmo más sencillo que se conoce con el nombre de Regla de Ruffini. Regla de Ruffini Sean

P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ....+ a1 x + a0

y

Q(x) = x - b

C(x) = cn-1xn-1 + cn-2xn-2 +....c1x + c0

un cociente, La división de P(x) : Q(x) producirá y un resto R

que se obtienen con el siguiente algoritmo: 1º paso: En el primer renglón se colocan los coeficientes de P(x) ordenado y completo 2º paso: En el segundo renglón se coloca el valor “b” a la izquierda de los demás números ya colocados 3º paso: En el tercer renglón se colocarán los coeficientes del cociente y el resto del siguiente modo: i) cn-1 = an ii) cn-2 = cn-1 . b + an-1 iii) cn-3 = cn-2 . b + an-2 iv) ........y así hasta que v) R = c0 .b + a0 Ejemplo Sean

P(x) = x5 + 12 x2 – x 3 + 8 ; Q(x) = x + 2.

Calcular el cociente y el resto que resulta al dividir

P(x) : Q(x)

1 -2 1

0

-1

12

0

8

-2

4

-6

-12

24

-2

3

6

-12

32

El cociente es C( x ) = x4 –2 x3 + 3 x2 + 6 x – 12 y R = 32

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Teorema del Resto Al dividir P(x) en (x – b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x) particularizado para x = b. Esto es: R = P (b) Ejemplos 1) Calcular el resto en la división de P(x) = -x2 + 2x – 1 en Q(x) = x 2) Determinar si las siguientes divisiones son exactas a) ( x2 + 2x + 1 ) : ( x – 1 ) c) ( -x3 + 2x2 – 2) : ( x + ½)

b) (x3 + 1):( x + 1) d) (x5

- 32) : ( x – 2 )

3) Calcular k para que P(x) = kx3 + 2x2 - 1 sea divisible por Q(x) = x + 1

Respuestas: 1) R = P( 2 ) = - ( 2 )2 + 2 2 – 1 = 2 2 - 3 2) a) R = 12 + 2.1 + 1 = 4 , no es una división exacta b) R = (-1)3 +1 = -1 + 1 = 0 , si es una división exacta c) R = - (-1/2)3 + 2.(-1/2)2 – 2 = -(-1/8) + 1/2 - 2 =

11 no es exacta 8

d) R = 25 – 32 = 0 es una división exacta 3) Se debe cumplir que R = 0, entonces R = P(-1) = k(-1)3 +2(-1)2-1 = 0 Entonces –k +2 – 1 = 0. Por lo tanto k = 1

Teorema del Factor Sea P(x) un polinomios de grado n y b una constante. Se dice que b es un cero de P(x) Esto es equivalente a afirmar que b es un cero de P(x)

⇔ (x-b) es un factor de P(x) ⇔

P(x) es divisible por (x – b )

Observación Si (x-b) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x) tal que P(x) = (x – b) . C(x)

2

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Ejemplo Como

2 es cero de P(x ) = 2x 2 − 4 , entonces P(x ) = 2x 2 − 4 es divisible por ( x − 2 )

Por la Regla de Ruffini tenemos que 2

2 2

(

)(

Entonces P( x ) = 2x 2 − 4 = x − 2 2x + 2 2

0

-4

2 2

4

2 2

0

)

Teorema Fundamental del Álgebra Todo polinomio P( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n −2 + .... + a 0

de grado n tiene al menos un cero

complejo. Si el polinomio tiene un cero complejo, entonces, el conjugado de éste también es cero dicho polinomio. Teorema sobre el número de ceros Todo polinomio P ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + .... + a 0 de grado n tiene exactamente n ceros complejos, x1 , x 2 , x3 ,...., x n Y puede escribirse en la forma P ( x) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ..... ( x − xn )

Ejemplo:

(

)(

(

)(

)

De P( x ) = 2 x 2 4 = x - 2 2 x + 2 2 sacamos factor común 2 y tenemos P( x ) = 2 x 2 4 = 2 x - 2 x + 2

)

De allí se deduce que P( x ) = 2 x 2 4 tiene dos ceros:

2 y - 2

Extensión de la Regla de Ruffini División del tipo P(x) : (ax + b) Al dividir P(x) en el binomio ax +b se tendrá un cociente C(x), polinomio de un grado menor que P(x) y un resto R, constante. Sabemos que se debe cumplir que P(x) = (ax + b)C(x) + R.

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Sacando factor común “a” del binomio se puede escribir P(x) = a (x + b/a) C(x) + R, lo cual es equivalente a P(x) = (x + b/a).a.C(x) + R Esto indica que si aplicamos la Regla de Ruffini dividiendo P(x) en (x + b/a), obtendremos el cociente, a.C(x), que será múltiplo del cociente que buscamos, y para encontrar C(x) tendremos que dividir el resultado encontrado por el valor “a”, mientras que el resto es el mismo. Extensión del Teorema del Resto El resto de la división de P(x) en el binomio (ax + b) es R = P(-b/a). Ejemplos: Efectuar las siguientes divisiones: a)

2x 4 + x 2 - 1 2x − 1

b)

x 3 + 27 3x + 9

Respuesta a) Vamos a considerar la división en x – ½ 2 ½ 2

0

1

0

-1

1

½

¾

3/8

1

3/2

3/4

-5/8

3 2

3 2 Entonces el cociente buscado es el obtenido, 2x + x + x +

C(x) = x3 +

3 , dividido en 2. Esto es: 4

5 x2 3 3 y el resto es el mismo, R = − + x+ 8 2 4 8

 3 x2 3 3 + x+ Se puede verificar que 2x 4 + x 2 - 1 =  x + 2 4 8 

 5  (2x - 1) 8 

b) Vamos a considerar la división en x + 3 1 -3 1

0

0

27

-3

9

-27

-3

9

0

Entonces el cociente buscado es el obtenido, x 2 - 3x + 9

C(x) =

x2 -x+3 3

y el resto es el mismo, R = 0

 x2  Se puede verificar que x 3 + 27 =  - x + 3  (3x + 9)  3 

dividido en 3. Esto es:

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FACTOREO DE POLINOMIOS Factorear un polinomio es expresarlo como producto de polinomios primos. Caso particular Sea P( x ) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0 , con an ≠ 0 y sean x1 , x2 , x3 ,...,xn sus ceros. Entonces p(x) puede ser factoreado en la forma P( x ) = an ( x – x1 ).( x – x2 )…( x – xn ) Donde cada binomio de la forma ( x – xi) es un factor primo Ver adjunto: “Expresiones algebraicas primas y compuestas”

Las estrategias de factoreo más usadas son las siguientes: Factor común Una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando aparece multiplicando en cada uno de esos términos. Ejemplos 1) En la expresión 8 x5 z2 – 4 x3 z + 12 x2 w z5, el factor común es 4 x2 z. Entonces 8 x5 z2 – 4 x3 z + 12 x2 w z5 = 4 x2 z ( 2 x3 z – x + 3 w z4 ) por la propiedad distributiva, en sentido recíproco 2) A veces es necesario sacar factor común (-1)

(

)

− 2x 2 + 4x − 1 = − 2x 2 − 4x + 1 Factor Común en Grupo

Una expresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los términos sino factores comunes distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar convenientemente se puede extraer un único factor común habremos factoreado. Ejemplos: a) 15 m x + 6 m + x y – 2 x – 5 x2 – 3 my = (15 m x + 6 m – 3 my) + ( x y – 2 x – 5 x2 ) = 3m (5 x + 2 – y ) – x (5 x + 2 – y) = (5 x + 2 – y) ( 3 m – x ) b)

2x3 + x2 + 6x + 3 = ( 2x3 + x2 ) + (6x + 3) = x2( 2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x+1).(x2+3)

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Diferencia de Cuadrados Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia de las bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas, es decir: a2 – b2 = ( a – b ) ( a + b )

Ejemplos:

1 1 1 y4 = ( 0.1a2b − y2).( 0.1 a2b + y2) 4 2 2

a)

0.01a4b2 −

b)

x2 – 3 = x2 –

( 3 ) = (x + 2

3 )(x- 3 )

Trinomio Cuadrado Perfecto Vimos que:

( a + b ) 2 = a2 + 2 a b + b 2

y que

( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b2

Entonces los trinomios de la forma a2 ± 2 a b + b2 se pueden factorear como cuadrados de binomios. Observaciones: (-a - b ) 2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 ( b – a )2 = [-(a - b)] 2 = (a - b)2 = a2 - 2 a b + b2 Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: i) Se busca a los cuadrados y se determina a sus bases ii) Se comprueba que el otro término sea el duplo de las bases de dichos cuadrados iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al cuadrado de una diferencia Ejemplos: a) 4x2 + 4x + 1 es un trinomio cuadrado perfecto pues 4x2 y 1 son cuadrados de bases 2x y 1 respectivamente. Además el duplo de las bases es 2.2x.1 = 4x coincide con el 2do término. Entonces 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 b) 25x4y2 + 4p4 – 20x2yp2 es un trinomio cuadrado perfecto pues 25x4y2 y 4p4 son cuadrados de bases 5x2y y 2p2 respectivamente. Además el duplo de estas bases es 2. 5x2y. 2p2 que es el tercer término de la expresión. Como este término es negativo se tiene que 25x4y2 – 20x2yp2 + 4p4 = ( 5 x2 y – 2 p2 )2

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Cuatrinomio Cubo Perfecto Vimos que:

(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3ab2 + b3

y que:

(a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3ab2 - b3

Entonces los cuatrinomios de la forma

a3 ± 3 a2b + 3ab2 ±b3

se pueden factorear como cubos de

binomios. Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: i) Se busca a los cubos y se determina a sus bases ii) Se comprueba que los otros términos sean el triple del cuadrado de una base por la otra base alternativamente iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cubo de una suma o al cubo de una diferencia

Ejemplos a) x3 – 6x2 + 12x – 8 es un cuatrinomio cubo perfecto pues x3 y 8 son cubos cuyas bases son x y 2 respectivamente Además 3.x2.2 = 6x2 y 3.x.22 = 12x que son los otros términos Entonces

x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x – 2)3

b) -1 – 3x – 3x2 – x3 no tiene los signos adecuados pero sacando factor común (-1) se tiene - (1 + 3x + 3x2 + x3) La expresión entre paréntesis tiene dos cubos 1 y x3 cuyas bases son 1 y x. 3.x2.1 = 3x2 y 3.x.12 = 3x que son los otros términos Entonces: -1 – 3x – 3x2 – x3 = - (1 + 3x + 3x2 + x3) = - (1 +x )3

Matemática

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Unidad N° 2

Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado Son polinomios de la forma:

x n + an o x n – a n

Estos polinomios se factorean usando la suma o diferencia de las bases según sea n. Todas las posibilidades se resumen en la siguiente tabla: xn + an es divisible por x + a y por lo tanto Si n es impar

xn + an = (x + a)C(x) donde C(x) es el cociente de la división Ejemplos: x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2) x5 + a5 = (x + a)(x4 - ax3 + a2x2 - a3x + a4) xn + an no es divisible por x + a ni por x – a pues el resto de la división

xn + a n

es R ≠ 0 en ambos casos Si n es par

Excepción : Si n no es potencia exacta de 2, se le puede considerar como múltiplo de un impar en cuyo caso se le puede factorear como suma de potencias de grado impar Ejemplo: x6 + a6 = (x2)3 + (a2)3 = (x2 + a2)(x4 - a2x2 + a4) xn - an es divisible por x - a y por lo tanto

Si n es impar

xn - an = (x - a) C(x) donde C(x) es el cociente de la división Ejemplos: x3 - a3 = (x - a)(x2 + ax + a2) x5 - a5 = (x - a)(x4 + ax3 + a2x2 + a3x + a4) xn - an es divisible por x + a y por x- a

xn – a n

xn - an = (x + a) . C1(x) xn - an = (x - a). C2(x) Si n es par

X4 – a4 = (x - a) C1 (x) = (x + a) C2(x)

Ejemplo:

Observe que en este caso es más conveniente factorear como diferencia de cuadrados x4 – a4 = (x2 + a2)(x2 - a2) = (x2 + a2)(x + a)(x - a)

Ejemplo x3 – 27 = ( x - 3) (x2 + 3x + 9) 1 3 1

0

0

-27

3

9

27

3

9

0

Matemática

Unidad N° 2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Ejemplos de casos combinados a) a 3 a 2 a + 1 = (a3 - a 2 ) - (a - 1) = a 2 (a − 1) − (a − 1) = (a − 1) (a 2 − 1) = (a − 1) (a − 1) (a + 1) b) x 4 1 y 2 + y 2 x 2 = ( x 4 1) + ( y 2 + y 2 x 2 ) = ( x 2 1)(x 2 + 1) + y 2 ( 1+ x 2 ) = = ( x 2 − 1) ( x 2 + 1) + y 2 ( x 2 − 1) = ( x − 1) ( x + 1) ( x 2 + 1) + y 2 ( x − 1) ( x + 1) = ( x − 1) ( x + 1) ( x 2 + y 2 + 1)

c) 2ax3 + 6bx3 − 2a − 6b = 2a ( x3 − 1) + 6b ( x3 − 1) = 2 ( x3 − 1) (a + 3b) = 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 1) (a + 3b)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS Se llama expresión algebraica fraccionaria al cociente indicado entre dos polinomios, siempre que el denominador no sean ni el polinomio nulo ni polinomios constantes. Ejemplos

1 ; 3y x

2

;

2x − 3x 2 ; 2 ; ( 2 + y ) (3 − x ) x+5 x + 2x

2

Valor Numérico de una Expresión Algebraica Fraccionaria Se llama Valor Numérico de una expresión algebraica fraccionaria al número real que se obtiene al sustituir la variable por determinados valores. Ejemplo El valor numérico de

x2 x−2

para x = 0 es 0

y

para

x=1

es -1

Pero la expresión no está definida para x = 2, dado que la división por cero no existe. Dominio de una expresión algebraica Se llama Dominio (Dom) de una expresión algebraica real al conjunto de valores reales que le podemos asignar a las variables de modo que las operaciones en las que intervienen sean posibles en el conjunto de los Números Reales. Ejemplos  x2   = (−∞, 2) U (2, ∞) a) Dom   x−2  

 1   = {( x, y) / x ≠ y } c) Dom  x-y

  b) Dom  x + x 2  = (−∞, 0) U (0, ∞) 1





Matemática

Unidad N° 2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresiones algebraicas equivalentes Dos expresiones algebraicas se dicen iguales o equivalentes cuando tienen iguales valores numéricos para cualquier sistema de valores asignados a sus letras

Simplificación Simplificar una expresión algebraica racional fraccionaria significa dividir su numerador y denominador por un mismo factor. Cuando por sucesivas simplificaciones resultan el numerador y el denominador primos entre si, la expresión fraccionaria se dice reducida a su mínima expresión. Para facilitar el proceso de simplificación se deben factorear numerador y denominador. Entonces las expresiones serán equivalentes cuando una expresión se ha obtenido de otra tras un proceso de simplificación y esto será válido en el dominio de la expresión de partida. Ejemplo

x 2 - 36 (x - 6) (x + 6) x + 6 = = 2 3x (x - 6) 3x 3x - 18x Operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias Se procede del mismo modo que entre números fraccionarios. Suma algebraica 1º paso: Factorear todos los denominadores e indicar el dominio de la expresión 2º paso: Calcular el mcm entre los denominadores 3º paso: Aplicar el mismo algoritmo que la suma entre números fraccionarios Ejemplo: Sea la expresión

2 3 4 + − 2 x − 1 2x + 2 x − 1

Pasos auxiliares

x −1= x −1 2 x + 2 = 2 ( x + 1)

x 2 − 1 = ( x + 1) ( x − 1) mcm = 2 ( x − 1)( x + 1) Siguiendo el algoritmo de la suma de fracciones resulta: 2 3 4 4(x +1) + 3(x −1) − 8 4x + 4 + 3x − 3 − 8 7x − 7 7(x −1) 7 + − = = = = x −1 2(x +1) (x −1)(x +1) 2(x +1) (x −1) 2(x +1) (x −1) 2(x +1) (x −1) 2(x +1) (x −1) 2(x +1)

Matemática

Unidad N° 2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Producto de expresiones algebraicas fraccionarias 1° paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresión. 2° paso: Aplicar el mismo algoritmo que entre números fraccionarios, simplificando si es posible.

Ejemplo: Sea la expresión

1 x 2 − 6x + 9 6 . . 3 2x − 6 3 x − 27 Pasos auxiliares

Respuesta: 1 x2 − 6x + 9 6 1 ( x − 3) 2 6 . . 3 = . . 2 2x − 6 3 3 x − 27 2 ( x − 3) ( x − 3) ( x + 3 x + 9)

2 x − 6 = 2 ( x − 3)

x 2 − 6x + 9 = ( x − 3)2 x3 − 27 = ( x − 3) ( x 2 + 3x + 9)

=

1 x + 3x + 9 2

División de expresiones algebraicas fraccionarias 1° paso: considerar al cociente como el producto del dividendo por el inverso del divisor. 2° paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresión 3° paso: Aplicar el algoritmo del producto entre números fraccionarios, simplificando si es posible Ejemplo:

Simplificar las siguiente expresión

x 2 + xy + y 2 x − y − x+ y x2 − y2 2 3 6x y x2 − y2

Pasos auxiliares Respuesta: x 2 + xy + y 2 x − y 3 xy − 2 2 x+ y ( x − y) ( x + y) x −y = 2 3 6x y 6x2 y3 ( x − y) ( x + y) x2 − y2

=

3xy ( x − y ) ( x + y) 1 = 2 3 ( x − y) ( x + y) 6x y 2 xy 2

x2 + xy + y 2 x − y = − x+ y x2 − y 2

x2 + xy + y 2 x − y − = ( x − y)( x + y) x + y ( x 2 + xy + y 2 ) − ( x − y) 2 = ( x − y)( x + y) x2 + xy + y 2 − x2 + 2 xy − y 2 = ( x − y)( x + y) =

3xy ( x − y)( x + y)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Matemática

Unidad N° 2

Expresiones algebraicas enteras primas y compuestas

Una expresión algebraica se dice prima cuando sólo es divisible por si misma y la unidad. Es decir no puede factorearse en el conjunto de las expresiones algebraicas con coeficientes reales. En cambio una expresión algebraica que admite otros divisores distintos de la unidad y de si misma se llama compuesta Ejemplos:

Todos los binomios de 1° grado del tipo x ± a son primos ;

x+2

Ejemplos:

1 2

;

x+ 2

Todos los binomios de 2º grado del tipo x 2 + a 2 son primos.

x2 + 1

Ejemplos:

x-

x2 + 3

;

;

x2 +

9 4

Todos los binomios de 2° grado del tipo x 2 ± ax + a 2 son primos

x 2 + 3x + 9

x2 + x + 1

;

;

x 2 - 2x + 4

El máximo común divisor (mcd) de dos o más expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Se denota con mcd [A, B], donde A y B son las expresiones algebraicas consideradas.

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplo: Sean las expresiones A = a 3 + a 2 b - ab2 - b3

y B = 5a 2 x + 10 abx + 5b 2 x Pasos auxiliares

mcd[A , B ] = ( a + b ) 2 2

mcm[A, B] = 5x ( a + b ) (a - b)

801734 = 25.3. 5 .172 =138720

a 3 + a 2 b - ab 2 - b 3 = (a + b) 2 (a - b) 5a 2 x + 10 abx + 5b 2 x = 5x (a + b) 2