Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

1

Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación. Ampliación de Matemáticas. Lección 2.

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. Curso 2010-11

1

Teoría general de los sistemas lineales

Consideremos el circuito de la figura

L = 1H

~ e = 12sen(100t )V

i1 (t )

C = 0.25 F

R = 4Ω

i2 (t )

R = 6Ω

Aplicando las leyes de Kirchoff obtenemos que la ecuación que gobierna la intensidad de corriente i1 (t) que circula por el circuito de la izquierda es i01 (t) + 4(i1 (t) − i2 (t)) = 12sen (100t) y que la ecuación que gobierna la intensidad de corriente i2 (t) que circula por el circuito de la derecha es Z t 1 6i2 (t) + 4(i2 (t) − i1 (t)) + i2 (τ ) dτ = 0. 0.25 0 Derivando esta última ecuación y sustituyendo en ella la expresión de i01 (t) dada en la primera, nos queda un sistema de ecuaciones diferenciales

i01 (t) = −4i1 (t) + 4i2 (t) + 12sen (100t) i02 (t) = −1.6i1 (t) + 1.2i2 (t) + 4.8sen (100t)

2

Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

que podemos escribir de forma matricial como ¸∙ ¸ ∙ 0 ¸ ∙ ¸ ∙ i1 (t) i1 (t) −4 4 12sen (100t) . = + −1.6 1.2 4.8sen (100t) i02 (t) i2 (t) Este es un ejemplo típico de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de dimensión dos con coeficientes constantes. Sus incógnitas son i¸1 (t) e i2 (t). Si consideramos la función vectorial ¸ ∙ ¸ ∙ ∙ 12sen (100t) −4 4 i1 (t) , entonces el y el vector f (t) = , la matriz A = i(t) = 4.8sen (100t) −1.6 1.2 i2 (t) sistema se escribe abreviadamente como i0 (t) = Ai(t) + f(t). Veamos otro ejemplo. Si en la ecuación lineal de segundo orden y 00 (t) + p(t)y 0 (t) + q(t)y(t) = r(t) ponemos y1 (t) = y(t) e y2 (t) = y 0 (t), entonces y10 (t) = y2 (t) y resolver la ecuación es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones diferenciales y10 (t) = y2 (t) y20 (t) = −q(t)y1 (t) − p(t)y2 (t) + r(t) cuya forma matricial es ∙

y10 (t) y20 (t)

¸

=

∙

0 1 −q(t) −p(t)

¸∙

y1 (t) y2 (t)

¸

+

∙

0 r(t)

¸

.

Observemos que, en este caso, la matriz de los coeficientes no es constante. En esta lección estudiaremos en primer lugar la teoría de los sistemas lineales con coeficientes constantes, completándola con los métodos para resolver sistemas no homogéneos. Después estudiaremos una breve introducción a la teoría cualitativa de sistemas no lineales. Definiciones. Un sistema lineal de orden n con coeficientes constantes es un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma y10 = a11 y1 + a12 y2 + · · · + a1n yn + f1 (t) y20 = a21 y1 + a22 y2 + · · · + a2n yn + f2 (t) .. . yn0 = an1 y1 + an2 y2 + · · · + ann yn + fn (t) en el que A = [aij ] es una matriz de números reales cuadrada de orden n que se llama matriz de los coeficientes y fi : [a, b] → R (i = 1, 2, . . . , n) son funciones continuas dadas. Se dice que el sistema es homogéneo cuando todas las funciones fi son iguales a la función cero. Una solución de dicho sistema es una colección y1 , y2 , . . . , yn de funciones de clase C 1 ([a, b]) tales que para cada t ∈ [a, b] se verifica y10 (t) = a11 y1 (t) + a12 y2 (t) + · · · + a1n yn (t) + f1 (t) y20 (t) = a21 y1 (t) + a22 y2 (t) + · · · + a2n yn (t) + f2 (t) .. . yn0 (t) = an1 y1 (t) + an2 y2 (t) + · · · + ann yn (t) + fn (t).

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

3

Si introducimos las funciones vectoriales y, f : [a, b] → Rn dadas por ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ f1 (t) y1 (t) ⎢ f2 (t) ⎥ ⎢y2 (t) ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ y f (t) = ⎢ .. ⎥ , y(t) = ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ yn (t) fn (t)

entonces el sistema se escribe de forma abreviada como y 0 (t) = Ay(t) + f (t), cuya estructura es la misma que la de una ecuación lineal de primer orden. De hecho, la teoría de los sistemas lineales es, como cabe esperar, una extensión de las teorías de las ecuaciones lineales de primer y segundo orden. Esto se pone de manifiesto en los siguientes resultados. Teorema de existencia y unicidad. Sean A = [aij ] una matriz cuadrada de orden n y f : [a, b] → Rn (i = 1, 2, . . . , n) una función vectorial continua. Dados un punto t0 ∈ [a, b] y un vector y0 ∈ Rn , entonces el problema de valor inicial y 0 (t) = Ay(t) + f(t)

con y(t0 ) = y0

tiene solución única en [a, b]. Este teorema nos dice, por ejemplo, que la solución general de un sistema lineal de orden n dependerá de n constantes que pueden determinarse fijando el valor de cada una de las componentes de la función vectorial y(t) en un punto dado t0 . Estructura de las soluciones. Sea A = [aij ] una matriz cuadrada de orden n. Sea f : [a, b] → Rn (i = 1, 2, . . . , n) una función vectorial continua y consideremos el sistema lineal y 0 (t) = Ay(t) + f (t). Entonces se verifican: (1) Las soluciones del sistema homogéneo y 0 (t) = Ay(t) asociado forman un espacio vectorial de dimensión n. En particular, si {y (1) (t), y (2) (t), . . . , y (n) (t)} es una base de soluciones del sistema homogéneo, entonces se dice que la función matricial formada columna a columna por estas soluciones £ ¤ Y (t) = y (1) (t), y (2) (t), . . . , y (n) (t)

es una matriz fundamental de soluciones del sistema y 0 = Ay. En este caso, la solución general del sistema homogéneo es y(t) = Y (t)c, donde c ∈ Rn es un vector de constantes arbitrarias.

(2) Si y (p) (t) es una solución particular del sistema completo y 0 (t) = Ay(t) + f(t), entonces la solución general del sistema completo es y(t) = y (p) (t) + Y (t)c = y (p) (t) + c1 y (1) (t) + c2 y (2) (t) + · · · + cn y (n) (t), siendo Y (t) una matriz fundamental de soluciones del sistema homogéneo asociado y c ∈ Rn un vector de constantes arbitrarias.

2

Sistemas con coeficientes constantes

De acuerdo con lo que acabamos de ver, para resolver un sistema lineal y 0 (t) = Ay(t) + f (t), debemos hallar una matriz fundamental de soluciones del sistema homogéneo asociado y una

4

Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

solución particular del sistema completo. Empezaremos recordando cómo se pueden calcular soluciones de un sistema homogéneo y 0 = Ay, técnicas que debes conocer de la asignatura de “Álgebra” del curso pasado. Posteriormente veremos métodos para resolver el sistema completo. La clave de la resolución de los sistemas homogéneos nos la da el siguiente resultado. Proposición 1. (1) Si u es un autovector real de A con autovalor λ (también real), entonces y(t) = eλt u es una solución del sistema y 0 = Ay. (2) Si u = v +jw es un autovector complejo de A con autovalor complejo λ = α+jβ, entonces y (1) (t) = Re(eλt u) = eαt [v cos(βt) − wsen (βt)]

y (2) (t) = Im(eλt u) = eαt [vsen (βt) + w cos(βt)] son soluciones linealmente independientes del sistema y 0 = Ay.

Matriz de los coeficientes diagonalizable. Si la matriz de los coeficientes es diagonalizable, entonces es que existe una base de Cn formada por autovectores y podemos obtener una base de soluciones del sistema homogéneo usando el resultado anterior con cada pareja autovalorautovector de la base. Teorema 1. Si la matriz A es diagonalizable, entonces existe una base de soluciones reales del sistema y 0 = Ay formada de la siguiente manera: (1) Si λ es un autovalor real de multiplicidad m y u1 , u2 , . . . , um son autovectores suyos linealmente independientes, entonces λ proporciona m soluciones, que son eλt u1 , eλt u2 , . . . , eλt um . (2) Si λ = α±jβ es una pareja de autovalores complejos conjugados de multiplicidad m y u1 = v1 ± jw1 , u2 = v2 ± jw2 , . . . , um = vm ± jwm son autovectores suyos linealmente independientes, entonces la pareja proporciona 2m soluciones, que son eαt [v1 cos(βt) − w1 sen (βt)], eαt [v2 cos(βt) − w2 sen (βt)], . . . , eαt [vm cos(βt) − wm sen (βt)], eαt [v1 sen (βt) + w1 cos(βt)], eαt [v2 sen (βt) + w2 cos(βt)], . . . , eαt [vm sen (βt) + wm cos(βt)].

Matriz de los coeficientes no diagonalizable. Si la matriz de los coeficientes no es diagonalizable, entonces es que tiene autovalores defectivos, o sea, autovalores que no proporcionan tantos autovectores linealmente independientes como indica su multiplicidad como raíz del polinomio característico; en otras palabras, la multiplicidad algebraica de esos autovalores es estrictamente mayor que su multiplicidad geométrica. En este caso, se trabaja con los autovectores generalizados; veamos cómo se hace esto. Supongamos que λ es un autovalor defectivo cuya multiplicidad algebraica es m; usando este autovalor, debemos ser capaces de encontrar m soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo y 0 = Ay. Se sabe del curso pasado que la dimensión del núcleo de (A − λI)m coincide con la multiplicidad algebraica m y que los elementos del núcleo de (A − λI)m se llaman autovectores generalizados. Proposición 2. (1) Si u es un autovector generalizado real de un autovalor real λ de multiplicidad m, entonces la función vectorial ∙ ¸ (A − λI)2 t2 (A − λI)m−1 tm−1 λt y(t) = e I + (A − λI)t + + ··· + u 2 (m − 1)!

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

5

es una solución del sistema homogéneo y 0 = Ay. (2) Si u es un autovector generalizado complejo de un autovalor complejo λ de multiplicidad m, entonces las partes real e imaginaria de la función vectorial ∙ ¸ (A − λI)2 t2 (A − λI)m−1 tm−1 λt y(t) = e I + (A − λI)t + +···+ u 2 (m − 1)! son soluciones reales e independientes del sistema homogéneo y 0 = Ay. Ahora, si {u1 , u2 , . . . , um } es una base de autovectores generalizados de un autovalor defectivo, entonces, en el caso real la Proposición 2 anterior nos proporciona un método para encontrar m soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo y 0 = Ay. Por otro lado, en el caso complejo, nos proporciona 2m soluciones (las m con las que debe contribuir λ y las m de su conjugado). En la práctica la base de autovectores generalizados se va construyendo paso a paso. Primero se toman los autovectores linealmente independientes, que formarán una base del núcleo de A − λI. Después se añaden vectores linealmente independientes del núcleo de (A − λI)2 y así, sucesivamente, hasta completar la base de m vectores que necesitamos. Este procedimiento tiene una ventaja a la hora de hacer los cálculos. Así, si u1 es un autovector, entonces en el cálculo de ∙ ¸ (A − λI)2 t2 (A − λI)m−1 tm−1 (1) λt + ··· + u1 y (t) = e I + (A − λI)t + 2 (m − 1)! todos los sumandos se anulan menos el primero; y (1) (t) = eλt u1 . Si, por ejemplo, u4 lo hemos añadido tomándolo del núcleo de (A − λI)2 , entonces en el cálculo de ∙ ¸ (A − λI)2 t2 (A − λI)m−1 tm−1 (4) λt + ··· + u4 y (t) = e I + (A − λI)t + 2 (m − 1)! todos los sumandos se anulan menos los dos primeros; y (4) (t) = eλt [I + (A − λI)t]u4 , aunque m sea mayor que 2. El método de variación de los parámetros. El método de variación de los parámetros que hemos visto para ecuaciones lineales de primer y segundo orden se traslada a los sistemas y 0 (t) = Ay(t) + f (t) sin mucha dificultad. Supongamos que Y (t) es una matriz fundamental de soluciones del sistema homogéneo y 0 = Ay. Entonces la solución general del sistema homogéneo es y(t) = Y (t)c, donde c ∈ Rn es un vector cualquiera de escalares. La idea es buscar una solución particular del sistema completo de la forma y (p) (t) = Y (t)v(t), donde v(t) es una función vectorial que debemos determinar. Puesto que (y (p) )0 (t) = Y 0 (t)v(t) + Y (t)v 0 (t), sustituyendo en la ecuación completa nos queda Y 0 (t)v(t) + Y (t)v0 (t) = AY (t)v(t) + f (t). Ahora bien, como Y 0 (t) = AY (t), entonces queda Y (t)v0 (t) = f (t) y, por tanto, v 0 (t) = [Y (t)]−1 f(t)

6

Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

con lo que v(t) = En resumen, la función vectorial

Z

[Y (t)]−1 f (t) dt.

(p)

y (t) = Y (t)

Z

[Y (t)]−1 f (t) dt

es una solución particular de la ecuación completa y 0 (t) = Ay(t) + f (t) cuya solución general es, entonces, µZ ¶ −1 y(t) = Y (t) [Y (t)] f (t) dt + c donde c ∈ Rn es un vector cualquiera de escalares.

El método de los coeficientes indeterminados. El método de los coeficientes indeterminados que hemos visto para ecuaciones lineales de primer y segundo orden también se traslada a los sistemas y 0 (t) = Ay(t) + f (t) de forma automática. Por ejemplo, si las funciones componentes de f(t) son todas polinomios de orden tres, entonces se busca una solución particular y (p) (t) cuyas funciones componentes sean también polinomios de orden tres cuyos coeficientes debemos determinar. Imponiendo que esta y (p) (t) sea una solución del sistema completo, nos queda un sistema de ecuaciones lineales escalares cuyas incógnitas son los oceficientes que buscamos. Ejemplo. Queremos resolver el problema de valor inicial ¸ ∙ ¸ ¸ ∙ ∙ 0 t 1 −1 0 . , y(0) = y+ y = 7 3−t −1 1 Para ello, empezaremos resolviendo el sistema homogéneo asociado ∙ ¸ 1 −1 0 y = y. −1 1 Lo primero es determinar los autovalores y autovectores de la matriz A de los coeficientes. Puesto que ¯ ¯ ¯ 1 − λ −1 ¯ 2 ¯ ¯ ¯ −1 1 − λ ¯ = (1 − λ) − 1 = λ(λ − 2),

los autovalores son λ = 0 y μ = 2. Calcularemos ahora los autovectores. Para λ = 0 ∙ ¸ 1 −1 A − λI = −1 1 y está claro que los autovectores asociados son u = lado, para μ = 2 A − μI =

∙

∙

1 1

−1 −1 −1 −1

¸

¸

y sus múltiplos no nulos. Por otro

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

7

¸ 1 y sus múltiplos no nulos. En y está claro que los autovectores asociados son v = −1 consecuencia, la solución general del sistema homogéneo asociado es ¸ ∙ ¸ ∙ 1 1 (h) λt μt y (t) = c1 ue + c2 ve = c1 + c2 e2t . 1 −1 ∙

Para hallar la solución ¸ del sistema completo basta con calcular una solución particu∙ general t sólo contiene polinomios de primer grado, usamos el método de lar. Como el término 3−t los coeficientes indeterminados y buscamos una solución de la forma ¸ ∙ a + bt (p) y (t) = . c + dt Esta función debe verificar el sistema de ecuaciones, así que ¸ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸∙ ∙ ¸ ∙ a + bt − c − dt + t t a + bt 1 −1 b (p) 0 . = + = (y ) (t) = −a − bt + c + dt + 3 − t 3−t c + dt −1 1 d Identificando componente a componente los polinomios de los dos miembros nos queda el sistema a−b−c b−d −a + c − d −b + d

= = = =

0, −1, −3, 1

que es compatible indeterminado. Sumando las ecuaciones primera y tercera nos queda −b − d = −3 que sumada a la cuarta −b + d = 1, nos da b = 1 y d = 2. Con estos valores, la ecuación para a y c es a − c = 1 y, como sólo necesitamos una solución particular, podemos tomar a = 1 y c = 0. En consecuencia, la solución particular obtenida es ∙ ¸ 1+t (p) y (t) = 2t y, por tanto, la solución general de la ecuación es ¸ ¸ ∙ ¸ ∙ ∙ 1 1 1+t (h) (p) 2t + c2 e + . y(t) = y (t) + y (t) = c1 1 −1 2t Finalmente, imponemos la condición inicial ∙ ¸ ¸ ∙ ¸ ∙ ∙ ¸ ∙ ¸ c1 + c2 + 1 0 1 1 1 = y(0) = c1 = + c2 + 7 0 1 −1 c1 − c2 de donde, sumando ambas componentes, obtenemos 7 = 2c1 + 1, con lo cual c1 = 3 y c2 = −4. La solución del problema es, entonces, ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ 1 1 1+t 4 + t − 4e2t (h) (p) 2t . y(t) = y (t) + y (t) = 3 −4 e + = 1 −1 2t 3 + 2t + 4e2t

8

Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Otra forma de proceder es, una vez resuelto el sistema homogéneo asociado, aplicar directamente la fórmula del método de variación de los parámetros que nos dice que la solución general de un sistema y 0 (t) = Ay(t) + f (t) es ¶ µZ −1 y(t) = Y (t) [Y (t)] f (t) dt + c donde c es un vector de escalares e Y (t) es una matriz fundamental de soluciones; es decir, una matriz cuyas columnas forman una base del espacio vectorial de las soluciones del sistema homogéneo asociado. En nuestro caso tenemos ¸ ¸ ∙ ∙ t 1 e2t . y f(t) = Y (t) = 3−t 1 −e2t Entonces, el vector x(t) = [Y (t)]−1 f(t) es la solución del sistema de ecuaciones ¸ ¸ ∙ ¸∙ ∙ t x1 (t) 1 e2t = 3−t x2 (t) 1 −e2t que, aplicando la regla de Cramer o bien el método de eliminación de Gauss, es ∙ ¸ 3/2 x(t) = −3e−2t /2 + te−2t Sustituyendo esto en la fórmula e integrando tenemos ∙ ¸ µZ ∙ ¸ ∙ ¸¶ 1 e2t 3/2 c1 y(t) = dt + (t − 3/2)e2t 1 −e2t c2 ¸ µ∙ ¸¶ ∙ ¸ ∙ 3t/2 1 e2t c1 = + 2t 2t e (1 − t)/2 1 −e c2 ¸ ∙ 2t t + 1/2 + c1 + c2 e . = 2t − 1/2 + c1 − c2 e2t Finalmente, imponemos las condiciones iniciales ¸ ∙ ¸ ∙ 0 1/2 + c1 + c2 = y(0) = 7 −1/2 + c1 − c2 de donde obtenemos c1 = 7/2 y c2 = −4 y, por tanto, la solución ∙ ¸ 4 + t − 4e2t y(t) = . 3 + 2t + 4e2t

3

El método de Euler

En esta sección vamos a estudiar cómo se puede adaptar el método de Euler para obtener soluciones aproximadas de sistemas de ecuaciones diferenciales cualesquiera.

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

9

Planteamiento del problema y notación. Queremos resolver el problema de valor inicial y 0 = f(t, y)

con y(t0 ) = y0

para los valores de t en un intervalo [t0 , tF ] en el que t0 representa el instante inicial de la situación descrita por la ecuación y tF el instante final hasta el que deseamos llegar. Ahora y es una función vectorial y : [t0 , tF ] → Rn y f : Rn × [t0 , tF ] → Rn es un campo vectorial continuo y con derivadas parciales continuas, con lo cual puede probarse que el problema de valor inicial tiene solución única en el intervalo de trabajo [t0 , tF ]. Como en el caso de las ecuaciones, fijamos n + 1 nodos igualmente espaciados en el intervalo de trabajo ti = t0 + ih, i = 0, 1, . . . , n donde h = (tF − t0 )/n es el tamaño de paso. Una vez encontradas estas aproximaciones en los nodos, interpolaremos para generar aproximaciones en los demás puntos del intervalo de trabajo [t0 , tF ]. Llamaremos wi a la aproximación del valor exacto y(ti ) que vamos a ir obteniendo en cada nodo y(ti ) ≈ wi , i = 0, 1, . . . , n; ahora cada wi es un vector de dimensión n. El método de Euler. La idea del método sigue siendo truncar el desarrollo de Taylor de y para quedarnos con su parte lineal. De acuerdo con el teorema de Taylor, y(ti+1 ) ≈ y(ti ) + (ti+1 − ti )y 0 (ti ). Usando que y satisface la ecuación diferencial y 0 = f(t, y) y escribiendo h en vez de ti+1 − ti nos queda y(ti+1 ) ≈ y(ti ) + hf (ti , y(ti )). Si disponemos ya de una aproximación wi ≈ y(ti ), la fórmula anterior nos proporciona una aproximación de y(ti+1 ): y(ti+1 ) ≈ wi+1 := wi + hf(ti , wi ). Puesto que y(t0 ) = y0 , podemos ir calculando los valores wi de forma iterativa: w0 = y0 , wi+1 = wi + hf(ti , wi ),

i = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Interpolación. Una vez que tenemos las aproximaciones (ti , wi ) para todos los nodos, si queremos hallar una aproximación del valor y(t) de la solución en un punto t comprendido entre dos nodos ti < t < ti+1 , entonces la aproximación viene dada por y(t) ≈ wi +

wi+1 − wi (t − ti ), h

que no es más que una interpolación lineal a trozos hecha coordenada a coordenada.

10

Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo. Si aplicamos el método de Euler para resolver el sistema y10 (t) = ty1 (t) + (y2 (t))2 , y20 (t) = t − y1 (t)y2 (t) ¸ ∙ 1 , obtenemos los siguientes resultados en el intervalo [0, 1] con valores iniciales y(0) = −1 ti 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0000

4

y1 (ti ) 1.0000 1.1000 1.1920 1.2784 1.3626 1.4484 1.5406 1.6439 1.7637 1.9061 2.0777

y2 (ti ) −1.0000 −0.9000 −0.7910 −0.6767 −0.5602 −0.4439 −0.3296 −0.2188 −0.1128 −0.0129 0.0795

Introducción a la teoría cualitativa de los sistemas autónomos

A finales del Siglo XIX aparece la teoría cualitativa, o geométrica, de las ecuaciones diferenciales, motivada por cuestiones planteadas en el dominio de la mecánica celeste, donde precisamente los métodos cuantitativos habían alcanzado sus logros más espectaculares, por ejemplo en la predicción de los eclipses y de las posiciones de los planetas. En esa época se hizo evidente que las técnicas de investigación cuantitativas –cálculo de soluciones exactas, resolución mediante desarrollos en serie y métodos aproximados– no eran capaces de dar respuesta a cuestiones planteadas en mecánica celeste como la estabilidad del sistema solar o el problema de los tres cuerpos. Para la resolución de estos problemas, H. Poincaré (1854-1912) introduce en su famosa memoria de 1881 Sur les courbes definies par une équation différentielle, el punto de vista cualitativo, ideando métodos matemáticos completamente nuevos que han sido, y siguen siendo, fuente de continuos desarrollos de gran importancia en la historia reciente de las matemáticas. Salvo en muy pocos casos, es imposible resolver explícitamente un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, que son los modelos matemáticos de muchos fenómenos de evolución temporal. En consecuencia, a falta de soluciones explícitas, se plantean otras preguntas, que hacen referencia a la existencia de conductas constantes o equilibrios, conductas periódicas y recurrentes, y conductas a largo plazo o comportamientos asintóticos, junto con problemas de estabilidad local y global; estos problemas constituyen el campo de investigación de la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos. Brevemente, el análisis cualitativo consiste en deducir propiedades de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales sin necesidad de calcularlas explícitamente.

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

11

Ejemplos. (1) El problema de los tres cuerpos. Supongamos que tres cuerpos de masas m1 , m2 y m3 se mueven sometidos a las interacciones gravitatorias entre ellos. Si representamos por vi (t) = [xi (t), yi (t), zi (t)] (para i = 1, 2, 3) sus posiciones en un instante t, entonces, de acuerdo con la Ley de Gravitación de Newton, estos vectores deben verificar el sistema de 9 ecuaciones diferenciales con 9 incóngitas vi00 (t) = G

X mi mk (vk − vi ) k6=i

i = 1, 2, 3.

kvk − vi k3

Este sistema no es lineal y no se puede resolver explícitamente. Sin embargo, Poincaré probó que existen soluciones periódicas del mismo. Ésta es una de las cuestiones de interés en la teoría cualitativa: saber si existen soluciones periódicas de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal. (2) El péndulo simple. Si llamamos φ(t) al ángulo que mide el desplazamiento de un péndulo simple ideal de longitud desde su posición de equilibrio, entonces la función φ(t) verifica la ecuación diferencial

φ (t )

φ00 (t) + g sen (φ(t)) = 0.

De nuevo, no es posible obtener una solución explícita mediante una fórmula que involucre las funciones elementales o una serie de potencias. Sin embargo, si las oscilaciones φ(t) son pequeñas, entonces sen (φ(t)) ≈ φ(t) y podemos pensar que el movimiento del péndulo debe parecerse mucho al descrito por la ecuación diferencial lineal g φ00 (t) + φ(t) = 0, cuya solución general sí sabemos calcular: p g/ . p Esta solución corresponde a un movimiento oscilatorio de período 2π /g y nuestra experiencia nos dice que, efectivamente, para oscilaciones pendulares pequeñas, la solución oscilante de la ecuación aproximada refleja bastante bien el comportamiento real. Éste es uno de los problemas que se plantea la teoría cualitativa: saber si al cambiar ligeramente un sistema de ecuaciones diferenciales para pasar a un sistema que sabemos resolver, por ejemplo lineal, entonces la solución del sistema modificado se parece a la solución del sistema original. φ(t) = c1 cos(ωt) + c2 sen (ωt),

siendo ω =

Otra observación pertinente aquí es la siguiente. El péndulo ideal presenta dos posiciones de equilibrio; es decir, dos posiciones en las que permanece sin moverse a menos que se le perturbe.

12

Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Una es cuando está boca abajo, es decir φ(t) = 0, y otra cuando está boca arriba, es decir φ(t) = π. Pero hay una diferencia grande entre las dos. Si el péndulo se aparta ligeramente de su equilibrio φ(t) = 0 entonces oscila ligeramente alrededor de éste, por lo que φ(t) = 0 se llama equilibrio estable. Sin embargo, si se aparta ligeramente de su equilibrio φ(t) = π entonces cae y no vuelve a pasar por éste, por lo que φ(t) = π se llama equilibrio inestable. Otro de los problemas centrales de la teoría cualitativa es el análisis de la estabilidad de los equilibrios de un sistema. (3) El oscilador de van der Pol es un circuito LC conectado en paralelo con un dispositivo no lineal que actúa como una resistencia variable de manera que la ecuación que verifica el voltaje e(t) es 1 Ce00 (t) + (3Ae2 (t) − B)e0 (t) + e(t) = 0, L donde C es la capacidad, L la inductancia y A y B son dos constantes que dependen del dispositivo. Esta ecuación no es lineal y no puede resolverse explícitamente. Fue el ingeniero holandés B. van der Pol (1899—1959) quien construyó este circuito en los años 20 observando que, independientemente de las condiciones iniciales, el circuito evolucionaba hasta presentar un movimiento oscilatorio aparentemente periódico. Los métodos cualitativos permiten probar que, efectivamente, dicha ecuación –y otras parecidas– posee una solución periódica que es atractiva, en el sentido de que cualquier otra solución tiende a largo plazo a coincidir con la solución periódica. (4) El sistema predador-presa de Volterra. Un problema de mucho interés en la ecología es el análisis de las fluctuaciones en las poblaciones de predadores y presas que conviven en un cierto hábitat. La primera persona que formuló un modelo para estudiar un problema de este tipo fue el matemático italiano V. Volterra (1860—1940). Volterra postuló que, si x(t) representa la población de presas e y(t) la de predadores, entonces x0 (t) = ax(t) − bx(t)y(t), y 0 (t) = −cy(t) + dx(t)y(t) donde a, b, c y d son constantes positivas. Como en el caso anterior, este sistema es no lineal y no puede resolverse explícitamente. Sin embargo, Volterra probó que las soluciones de este sistema son periódicas, explicando así las fluctuaciones observadas en la evolución de las poblaciones. (5) Si tenemos un circuito LRC sin fuente de voltaje, la carga q(t) presenta conducta oscilatoria si R2 < 4L/C. Es decir, hay un cambio de conducta cualitativa –oscilar o no oscilar– cuando el parámetro λ = CR2 /L pasa de ser menor que 4 a ser mayor que 4. Esto es lo que se conoce como una bifurcación y es otro de los problemas que aborda de la teoría cualitativa: el cambio de conducta de las soluciones (de oscilar a no oscilar, de estable a inestable, de periódica a no periódica, etc.) en función de los valores de los parámetros de los que depende el sistema en cuestión. En esta sección presentamos únicamente las ideas básicas sobre la estabilidad de sistemas autónomos, desarrollada primeramente para el caso lineal, es decir, para sistemas de coeficientes constantes y 0 (t) = Ay(t) y después para sistemas no lineales. Empezamos definiendo los principales elementos que aparecen en la teoría cualitativa.

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

13

Definiciones. Un sistema autónomo de dimensión n es un sistema de n ecuaciones diferenciales y 0 (t) = f (y(t)) donde f (y) es un campo vectorial de dimensión n con derivadas parciales continuas en una región del espacio Rn . El sistema se llama autónomo, o invariante en el tiempo, porque el campo f(y) no depende explícitamente de la variable temporal t. Puede probarse que si fijamos una condición inicial y(0) = y0 , entonces este sistema tiene solución única. Si lo que tenemos es, por ejemplo, una ecuación de segundo orden autónoma (como en los casos del péndulo y del oscilador de van der Pol) x00 (t) = g(x(t), x0 (t)), la podemos convertir en un sistema autónomo tomando y1 (t) = x(t) e y2 (t) = x0 (t), con lo que nos queda el sistema y10 (t) = y2 (t) y20 (t) = g(y1 (t), y2 (t)). Si y0 ∈ Rn es un punto tal que f (y0 ) = 0, entonces la solución del problema de valor inicial y 0 (t) = f (y(t))

y(0) = y0

es constante: y(t) = y0 para todo t ∈ R; o sea, las variables no se mueven del punto inicial. Se dice entonces que y0 es un punto o solución de equilibrio del sistema. Estabilidad. Se dice que la solución del problema de valor inicial y 0 (t) = f (y(t))

y(0) = y0

es estable si al tomar un punto cercano a y0 como valor inicial, la solución correspondiente se mantiene cerca de la solución de partida. Si, además, las soluciones que empiezan cerca no sólo se mantienen cerca, sino que tienden a la solución dada, entonces se dice que es asintóticamente estable. Se dice que la solución es inestable cuando no es estable; es decir, cuando hay soluciones que empiezan tan cerca como queramos pero que se alejan cuando el tiempo avanza. Clasificación de los puntos de equilibrio. Nosotros nos centraremos en la estabilidad de las soluciones de equilibrio que son puntos aislados; o sea, suficientemente cerca de ellos no hay ningún otro punto de equilibrio. Para los puntos de equilibrio es fácil cuantificar las definiciones anteriores. Si y0 es un punto de equilibrio, entonces (1) El punto y0 es estable si dado p > 0 existe r > 0 tal que si y(t) es una solución para la cual ky(0) − y0 k ≤ r, entonces ky(t) − y0 k ≤ p para todo t ≥ 0. (2) El punto y0 es asintóticamente estable si existe r > 0 tal que si y(t) es una solución para la cual ky(0) − y0 k ≤ r, entonces limt→∞ y(t) = y0 . (3) El punto y0 es inestable si no es estable; en particular, si para cada r > 0 existe una solución y(t) tal que ky(0) − y0 k ≤ r, pero limt→∞ y(t) = ∞.

14

Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

En esta introducción a la teoría cualitativa, estudiaremos cómo clasificar los puntos de equilibrio de un sistema autónomo en estables, asintóticamente estables o inestables; primero para sistemas lineales y luego para sistemas no lineales. La existencia de soluciones periódicas y el análisis de las bifurcaciones se escapan de los objetivos de este curso y se abordarán en la asignatura optativa de quinto curso. Como hemos dicho, empezaremos estudiando de manera detallada la estabilidad del origen de coordenadas como punto de equilibrio de un sistema lineal con coeficientes constantes. La razón es que, según veremos, el procedimiento de linealización de un sistema no lineal permite, en muchos casos, reducir el estudio de la estabilidad de los puntos de equilibrio de un sistema no lineal al de la estabilidad del origen en el caso lineal. Estabilidad de los sistemas lineales autónomos. Es obvio que el origen de coordenadas es siempre un punto de equilibrio de un sistema lineal autónomo y 0 (t) = Ay(t). Si, además, el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, entonces el origen es el único punto de equilibrio del sistema. Si dicho determinante es igual a cero, entonces aparece un subespacio, el núcleo de A, de puntos de equilibrio; este caso no es de interés en las aplicaciones, así que no lo estudiaremos. Supondremos, entonces, que la matriz de los coeficientes A es no singular o, equivalentemente, que sus autovalores son distintos de cero. Pues bien, la estabilidad depende del signo de la parte real de los autovalores, pudiéndose distinguir los siguientes casos. 1. Si todos los autovalores tienen parte real estrictamente negativa, entonces el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable. 2. Si todos los autovalores tienen parte real negativa o cero y los que tienen parte real cero son no defectivos, entonces el origen es un punto de equilibrio estable pero no asintóticamente estable. 3. Si algún autovalor tiene parte real estrictamente positiva o algún autovalor defectivo tiene parte real cero, entonces el origen es un punto de equilibrio inestable. Estabilidad de los puntos de equilibrio de sistemas no lineales autónomos. Sea ahora y0 un punto de equilibrio de un sistema no lineal y 0 (t) = f(y(t)). Si aplicamos el Teorema de Taylor, obtenemos que para y ≈ y0 se verifica f (y) ≈ Df(y0 )(y − y0 ) donde Df (y0 ) es la matriz jacobiana del campo f en el punto y0 , es decir, la matriz de las derivadas parciales de las componentes de f evaluadas en el punto y0 . Cabe pensar, entonces, que el comportamiento del sistema no lineal cerca del punto de equilibrio sea parecido al del sistema lineal y 0 (t) = Df(y0 )(y(t) − y0 ). Si hacemos una traslación en las variables dependientes, x(t) = y(t) − y0 , entonces este sistema queda x0 (t) = Df(y0 )x(t). Este procedimiento de sustituir el sistema no lineal por su parte lineal cerca de un punto de equilibrio se llama linealización y funciona muy bien en muchos casos como pone de manifiesto el siguiente teorema (en el que se usa la notación recién introducida). Teorema de Linealización de Liapunov y Poincaré. (1) El punto y0 es un punto de equilibrio asintóticamente estable de un sistema no lineal autónomo plano si todos los autovalores de la matriz de jacobiana Df(y0 ) tienen parte real estrictamente negativa.

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

15

(2) El punto y0 es un punto de equilibrio inestable de un sistema no lineal autónomo plano si algún autovalor de la matriz jacobiana Df(y0 ) tiene parte real estrictamente positiva. Sin embargo, el procedimiento de linealización no funciona si hay autovalores con parte real cero y los demás tienen parte real negativa.

5

Ejercicios

Ejercicio 1 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ 0 1 4 1 0 . y+ , y(0) = y = t −2e 0 −2 1 Ejercicio 2 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ¸ ¸ ∙ ¸ ∙ ∙ 15 4 2 1 0 −2t te , y = y− . y(0) = 4 3 −1 −1 Ejercicio 3 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ¸ ∙ t ¸ ∙ 4e cos(t) 4 5 0 y+ y = , −2 −2 0

y(0) =

∙

0 0

¸

.

Ejercicio 4 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ¸ ∙ ¸ ∙ ∙ ¸ 2 −1 −1 2 0 t y = e, y+ . y(0) = 2 −4 3 2 Ejercicio 5 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ −3 1 2 1 0 −2t y = y+ e , y(0) = . −1 −1 2 0 Ejercicio 6 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ⎡ ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ ⎤ −1 −1 0 t 6 y 0 = ⎣ 0 −1 −1 ⎦ y + ⎣ 2t ⎦ , y(0) = ⎣ −2 ⎦ . 0 0 −1 t 1 Ejercicio 7 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 0 1 1 1 0 2t y(0) = ⎣ 1 ⎦ . y = ⎣ 0 2 0 ⎦y + ⎣ 0 ⎦e , 0 1 3 1 1

16

Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Ejercicio 8 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ t ⎤ 0 1 1 1 e y0 = ⎣ 1 0 1 ⎦ y + ⎣ 0 ⎦ , y(0) = ⎣ −1 ⎦ . 0 1 1 0 0 Ejercicio 9 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 1 −1 1 1 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3 y+ t , y = −3 −3 y(0) = 0 ⎦ . −2 −2 2 0 1 Ejercicio 10 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ −t ⎤ −2 3 3 0 e 0 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ 0 0 −3 1 y+ , y(0) = 0 ⎦ . y = 0 0 1 −3 1 Ejercicio 11 Aproxima la solución del problema de valor inicial x0 = y(1 + x + y 2 ), y 0 = xy(1 + x2 + 2y 2 ),

x(0) = 1, y(0) = 2

en el intervalo [0, 1] usando el método de Euler con h = 0.2. Ejercicio 12 Aproxima la solución del problema de valor inicial x0 = y(1 − x − 2y 2 ), y 0 = x(1 − x + y),

x(0) = −1, y(0) = 0

en el intervalo [0, 1] usando el método de Euler con h = 0.1. Ejercicio 13 Aproxima la solución del problema de valor inicial y 00 + ty 0 − t2 y = 1 + t,

y(0) = 1,

y 0 (0) = −2

en el intervalo [0, 1]. Para ello, transforma la ecuación en un sistema y usa el método de Euler con h = 0.1. Ejercicio 14 Aproxima la solución del problema de valor inicial correspondiente al movimiento de un péndulo de longitud unidad y 00 + 10sen (y) = 0

con y(0) = π/6,

y 0 (0) = 0

en el intervalo [0, 1]. Para ello, transforma la ecuación en un sistema y usa el método de Euler con h = 0.1. Compara los resultados con lo que se obtiene linealizando la ecuación. Ejercicio 15 Aproxima la solución del problema de valor inicial y 00 + t2 y 0 − 3ty =

1 1 + t2

con y(0) = −1,

y 0 (0) = 0

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

17

en el intervalo [0, 1]. Para ello, transforma la ecuación en un sistema y usa el método de Euler con h = 0.1. Ejercicio 16 Determina la estabilidad del origen como punto de equilibrio de los siguientes sistemas: x0 = −y y 0 = 8x − 6y x0 = 4x − 2y (4) 0 y = 5x + 2y (1)

x0 = 4x − y y 0 = −2x + 5y x0 = 2y (5) 0 y = −2x − y

x0 = x − 4y y 0 = −8x + 4y x0 = −5x + y (6) 0 y = x − 5y.

(2)

(3)

Ejercicio 17 Determina la estabilidad de los puntos de equilibrio de los siguientes sistemas: 1. x0 = (2 − x − 2y)x, 2. x0 = y 2 − 3x + 2, 3. x0 = 4 − 4x2 − y 2 , 4. x0 = (1 + x)(1 − y),

y 0 = (2 − 2x − y)y, y 0 = x2 − y 2 , y 0 = 3xy, y 0 = x(y 2 − 4).

Ejercicios y cuestiones de exámenes de cursos anteriores. Ejercicio 18 Resuelve el problema de valor inicial ¸ ¸ ∙ ∙ 0 −2 2 0 . y, y(0) = y = −3 −2 3 Ejercicio 19 Resuelve el problema de valor inicial ∙ ¸ ∙ ¸ 0 −1 1 0 y = y, y(0) = . 1 2 2 Ejercicio 20 Resuelve el problema de valor inicial ¸ ∙ 2 −1 0 y, y = −2 1

y(0) =

Ejercicio 21 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ¸ ¸ ∙ ∙ 0 0 −1 0 y = , y+ 3sen (t) − cos(t) 2 −3 Ejercicio 22 Resuelve el problema de valor inicial ∙ ¸ ∙ ¸ 1 −1 t 0 y = y+ , −1 1 3−t

∙

1 0

¸

.

y(0) =

∙

∙

¸

y(0) =

0 7

2 4

.

¸

.

18

Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Ejercicio 23 Resuelve el problema de valor inicial ∙ ¸ ∙ t ¸ 2 1 2e 0 y = y+ , 0 2 0

y(0) =

Ejercicio 24 Resuelve el problema de valor inicial ¸ ∙ ¸ ∙ 2 1 (1 − t)et 0 , y+ y = 1 2 −tet

∙

y(0) =

Ejercicio 25 Resuelve el problema de valor inicial ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 3 0 1 −3et y 0 = ⎣ 2 −1 3 ⎦ y + ⎣ −5et ⎦ , −3et −1 0 5 Ejercicio 26 Considera la ecuación diferencial

1 2

¸

∙

3 1

.

¸

.

⎡

⎤ 2 y(0) = ⎣ 2 ⎦ . 2

y 00 + ty 0 + ty = 1 − t. Transfórmala en un sistema de ecuaciones diferenciales y da dos pasos del método de Euler para resolver el problema de valor inicial correspondiente a y(0) = 1 e y 0 (0) = 1 con tamaño de paso h = 0.2. Ejercicio 27 Considera el sistema de ecuaciones diferenciales x0 = xy + x + y − 3, y 0 = −x + y. (1) Da dos pasos del método de Euler para resolver el problema de valor inicial correspondiente a x(0) = 1 e y(0) = 4 con tamaño de paso h = 0.1. (2) Determina y clasifica sus puntos de equilibrio. Ejercicio 28 Determina y, si es posible, clasifica los puntos de equilibrio del sistema x0 = x − y 2 , y 0 = x − y − 2. Si no es posbile clasificar alguno, indica por qué. Ejercicio 29 (1) Enuncia el teorema de linealización de Liapunov y Poincaré. (2) Determina y clasifica los puntos de equilibrio del sistema no lineal x0 = x2 − y 2 , y 0 = (x − 1)(y + 3x + 4). Ejercicio 30 (1) Enuncia el teorema de linealización de Liapunov y Poincaré. (2) Determina y clasifica los puntos de equilibrio del sistema no lineal x0 = (x − 1)(y + 1), y 0 = x2 y + 4x + 2y + 2.

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

6

19

Bibliografía

Para desarrollar esta lección pueden consultarse los siguientes textos, en especial el de Braun. El de James incluye varias aplicaciones a la ingeniería. El de Simmons tiene muchos ejemplos pero el tratamiento teórico no se ajusta al nuestro porque no se basa en las técnicas y los resultados del álgebra lineal. [517,9/2-BRA] M. Braun, Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, Capítulos 3 y 4. [51:62/ADV] G. James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Capítulo 6. [517.9/2-SIM] G.F. Simmons, Ecuaciones diferenciales, Capítulos 10 y 11.