Sistemas de ecuaciones Dos ecu aci ones con dos i ncógni t as f orman un si st ema, cuando l o que pr et endemos de el l as es encont rar una sol uci ón común a ambas .

La sol uci ón de un si st ema es un par de números x 1 , y 1 , tal es que r eem pl azando x por x 1 e y p or y 1 , s e sat i sf acen a l a vez am bas ecuaci o nes.

solución: x = 2, y = 3

Cri t eri os de equi val enci a de si st emas de ecuaci on es 1º Si a a mbos mi embros de una e cuación de un sis t em a se l es sum a o se l es r est a una mi sma expresi ón , el si st ema r esult ant e es equi val ent e .

x = 2, y = 3

2º Si mu l t i pl i camos o di v i di mos ambos mi embros de las e cuacion e s de un si st em a por un número di st i nt o de cero , el si st ema r esult ant e es equi val ent e .

x = 2, y = 3

3º S i s umamos o rest amos a una ec uaci ón de un s ist em a o t r a ecuació n del mi smo si st ema , el sist ema r esult ant e es equi val ent e al dado.

1

x = 2, y = 3

4º Si n en un si st ema se s ust i t u ye una ecu aci ón por ot ra que resul t e de sum a r l as dos ecuaci ones del si st ema previ ament e mul t i pli cadas o di vi di das por n úmeros no nul o s, resu l t a ot ro s i st ema equi val ent e al pri m er o.

5º Si en un sist e m a s e ca mbi a el orden d e l as ecu aci ones o el or d e n de l as i ncógni t as , r esult a ot r o si stema equi val ent e .

M ét odo de sust i tuci ón Resol uci ón de si st emas de ecuac i ones por el mét odo de sust i t uci ón

1 Se despej a una incógn it a en una de las ecuaciones. 2 Se su st it uye l a e xpr es ión de e st a incó gnit a e n la ot r a ecuac ió n, obt enien do un ecuación c on una sola incó g nit a. 3 Se r esuelve la ecuació n . 4 El valo r obt enido se sust it uye en la ecuación en l a que apar ecí a la incógn it a despej ada. 5 Los dos valor es obt enido s const it uyen la soluci ón d el sist em a. 2

1 Despe j amos una de la s incógn i t as en una de la s dos ecuacion es . Eleg im os la incóg nit a que t enga el c oef icient e m ás baj o.

2 Sust i tui mos en la ot r a ecuació n la var iable x, por el valor ant er ior :

3 Resol v emos l a ecuaci ó n obt enid a:

4 Sust i tui mos el val or obt enido en la var iable despej ada.

5 Sol uci ón

M ét odo de i gual aci ón Res ol uci ón de si st emas de ecuac i ones por el mét odo de i gual aci ón

1 Se despej a la mism a incógnit a en am bas ecuacion e s. 2 Se igu alan las expr es io nes, con lo qu e o bt enem os una ec uación c on una incó gnit a. 3 Se r esuelve la ecuació n . 4 El val o r obt enid o se sust it uye en cualqu ier a de las dos expr esiones en las que a par ecí a despej ada la ot r a incógnit a.

3

5 Los dos valor es obt enido s const it uyen la soluci ón d el sist em a.

1 Desp e j amos , por ej em plo, la in cógnit a x de l a pr im er a y segund a ecuació n :

2 I gual amos am bas expr e siones:

3 Resol v emos la ecuació n :

4 Sust i t ui mos el valor de y, en u n a de las dos expr esi ones en las qu e t enem os despej a da l a x :

5 Sol uci ón :

4

M ét odo de reduc ci ón Resol uci ón de si st emas de ecuac i ones por el mét odo de reducci ón

1 Se pr epar an las dos ecuaciones, m ult iplic ándol as por los núm er os qu e conveng a. 2 La r estam os, y desapar e ce una de las inc ógnit as. 3 Se r esuelve la ecuació n r esult ant e. 4 El v alo r obt enid o se sust it uye en una de l as ecuac iones ini ciales y se r esuelve. 5 Los dos valor es obt enido s const it uyen la soluci ón d el sist em a.

Lo m ás f ácil es s upr im ir la y, de est e m odo no t endr í am os que pr epar ar las ec ua ciones; p er o vam o s a o pt ar por supr im ir la x, par a que ve am os m ej or el pr oceso.

Rest am os y r esolvem os la ecuació n:

Sust it uim os el val or de y en la segu nda ecua ción in ici al.

Soluc ión:

5

Si st emas de ecuaci ones con den omi nadores

M ult iplic am os previa m ent e la pr im er a ecuación por el m . c.m. de t odo s los deno m inador e s, que es 2, y hacem os lo m ism o en la seg unda ecu ación en la que el m . c. m es t am bién 2. Result a pue s el sigui ent e sist em a:

Q ue or denado r esult a:

L o r es olvem o s por cualqui e r a de los m ét odos, en est e caso, sust it ución.

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Cl asi f i caci ón de si st emas de ecuaci ones Si st ema compat i bl e det ermi nado Ti ene una sol a sol uci ón.

x = 2, y = 3

G r áf i cament e l a sol uci ón es el punt o de cort e de l as dos rect as.

Si st ema compat i bl e i ndetermi nado El si st ema t i ene i nfi ni t as sol uci ones.

G r áf i cament e obt enemos dos re ct as coi nci dent es. Cual q ui er punt o de l a r ect a es soluci ón .

7

Si st ema i ncompat i bl e No t i ene sol uci ón

G r áf i cament e obt enemos dos rect as paral el as.

8

Problemas resueltos mediante sistemas de ecuaciones: Juan co mpró un ordenador y un t el evi sor por 2000 € y l os vendi ó por 2260 €. ¿Cuánt o

le

cos t ó

cada

obj et o,

sabi en do

que

en

la

vent a

del

ordenad or ganó el 10 % y en l a vent a del tel evi sor ganó el 15 %? x

pr ecio del or den ador .

y

pr ecio del t elevi sor .

pr ecio de vent a del or denad or .

pr ecio de vent a del t eleviso r .

800 € 1200 €

pr ecio del or denador . pr ecio del t elevis or .

¿Cuál es el área de un rect ángul o sabi end o que su perí met ro m i de 16 cm y que su base es el t ri pl e de su al t ura? x

base del r ect ángulo.

y

alt ur a del r ect ángulo.

2x + 2y

per í m etr o. 9

6 cm

base del r ect ángul o.

2 cm

alt u r a del r ect ángulo.

Una gra nj a t i ene pavos y cerd os, en tot al ha y 58 cabezas y 168 pat as. ¿Cuánt os cerdos y pavos ha y? x

núm er o de pavos.

y

núm er o de cer dos.

32

núm er o de pavos.

26

núm er o de cer dos.

Ant oni o di ce a Pedro: "el di nero que t engo es el dobl e del que t i enes t ú" , y P edr o cont est a: "si t ú me das sei s euros t endremos l os dos i gual cant i dad". ¿Cuánt o di nero tení a cada uno? x

diner o de Ant on io.

y

diner o de Pedr o .

10

24 €

dine r o de Ant onio.

12 €

dine r o de Pedr o.

En una empresa t rabaj an 60 p e rsonas. Usan ga f as el 1 6 % de l os hom br es y el 20 % de l as muj eres. Si el número t ot al de persona s que usan gaf as es 11. ¿Cuánt os hombres y mu j eres hay en l a empresa? x

núm er o de hom br es.

y

núm er o de m uj eres.

hom br es con gaf as.

m uj er es con gaf as.

35

núm er o de hom br es.

25

núm er o de m ujer es.

La ci f r a de l as d ecenas d e un n ú mero de dos ci f ras es el d obl e de l a ci f r a de l as uni dades, y si a di cho número l e rest amos 27 se obt i ene el núm er o que res ul t a al invert i r el orden de sus ci f ras. ¿Cuál e s es e núm er o? 11

x

cif r a de las unid ades

y

cif r a de las decenas

10x + y

núm er o

10y + x

núm er o inver t ido

y = 2x ( 10y + x) − 27 = 10x + y 10 · 2x + x − 27 = 10x + 2x 20x + x − 12x = 27 Nùm er o

x = 3

y = 6

63

12