PreUnAB Universidad Andr´ es Bello

Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incognitas

Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incognitas Clase # 9

Universidad Andr´ es Bello

Agosto 2014

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Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incognitas

Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Inc´ognitas

Definici´on Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o m´as ecuaciones lineales con dos inc´ ognitas. Ejemplo 8y − 1 5x

= =

25 − x 16y − 2

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en calcular los valores de las inc´ognitas que satisfacen simult´aneamente a todas las ecuaciones del sistema.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Inc´ognitas

Representaci´on Gr´afica de un Sistema de Ecuaciones Un sistema de ecuaciones con 2 inc´ ognitas representa un plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones representa una recta. La soluci´on del sistema es el punto de intersecci´on de todas las rectas que representan a las ecuaciones. Si no existe ning´ un punto de intersecci´ on, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene soluci´ on.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Inc´ognitas

An´alisis de las Soluciones de un Sistema de Ecuaciones Al resolver el sistema de ecuaciones lineales con dos inc´ognitas de la forma: ax + by dx + ey

= =

c f

Pueden darse cualquiera de las siguientes situaciones: Sistema con infinitas soluciones. Sistema sin soluci´ on. Sistemas con soluci´ on u ´nica.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Inc´ognitas

Sistema con infinitas soluciones Esto sucede cuando las ecuaciones representan a la misma recta Y . Se produce cuando los coeficientes de x, de y, adem´as, los t´erminos libres son proporcionales. a b c = = d e f Si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Inc´ognitas

Sistema sin soluci´on. Ocurre cuando el sistema de ecuaciones tiene los coeficientes de x y de y proporcionales entre s´ı, pero no proporcionales a los t´erminos libres: b c a = 6= d e f Si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son paralelas no coincidentes y el sistema no tiene soluci´ on.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Inc´ognitas

Sistemas con soluci´on u ´nica. Esto acontece cuando los coeficientes de x y de y no son proporcionales: a b 6= d e Si no hay proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y, el sistema tiene soluci´on u ´nica. Es decir, existe un par (x, y) que satisface al sistema.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Inc´ognitas

Ejemplos Analice las posibles soluciones del sistema: 5x + 2y 10x + 4y

= =

−5 7

Estudiando la proporcionalidad entre los coeficientes de x e y, adem´as la de los t´erminos libres, se llega a lo siguiente: 2 −5 5 = 6= 10 4 7 Como la primera proporcionalidad se cumple, significa que el sistema NO tiene soluci´ on.

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Ejemplos Analice las posibles soluciones del sistema: 2x − 5y 10x − 25y

= =

1 5

Estudiando la proporcionalidad entre los coeficientes de x e y, adem´as la de los t´erminos libres, se llega a lo siguiente: 2 −5 1 = = 10 −25 5 Como las tres proporcionalidades se cumplen, significa que el sistema tiene infinitas soluciones.

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Ejemplos Analice las posibles soluciones del sistema: 2x + 5y 3x + 10y

= =

13 5

Estudiando la proporcionalidad entre los coeficientes de x e y, se llega a lo siguiente: 2 5 6= 3 10 Como la proporcionalidad no se cumple, significa que el sistema tiene soluci´on u ´nica. Es decir, existe un par (x, y) que satisface al sistema.

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M´etodos de Resoluci´on de un Sistema de Ecuaciones M´etodo de Sustituci´on El m´etodo de sustituci´ on consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier inc´ ognita, y a continuaci´ on, sustituirla en la otra ecuaci´on. Ejemplo Resolver: x + 5y 2x − y

= =

3 −16

En la primera ecuaci´on se despeja x: x = 3 − 5y Esta igualdad se reemplaza (o sustituye) en la segunda ecuaci´on: 2x − y = −16 Universidad Andr´ es Bello

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M´etodos de Resoluci´on de un Sistema de Ecuaciones Ejemplo 2(3 − 5y) − y = −16 Operando algebraicamente: 6 − 10y − y = −16 −11y = −16 − 6 22 =2 11 Ahora se sustituye y = 2 en alguna de las ecuaciones originales (la m´as simple): x+5·2=3 y=

x = −7 La soluci´on al sistema es (−7, 2), o bien x = −7; y = 2 Universidad Andr´ es Bello

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M´etodos de Resoluci´on de un Sistema de Ecuaciones M´etodo de Igualaci´on El m´etodo de igualaci´on se despeja la misma inc´ ognita en las dos ecuaciones y a continuaci´ on se igualan entre s´ı: Ejemplo Resolver: x + 5y 2x − y

= =

3 −16

En la primera ecuaci´on se despeja x (tambi´en podr´ıa ser y): x = 3 − 5y En la segunda ecuaci´on se despeja x: 2x − y = −16 Universidad Andr´ es Bello

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M´etodos de Resoluci´on de un Sistema de Ecuaciones Ejemplo y − 16 2 Ahora se igualan las expresiones iguales a x: x=

y − 16 = 3 − 5y 2 Resolviendo la ecuaci´on de primer grado: y − 16 = 6 − 10y 11y = 22 y=2 Ahora se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales, llegando a x = −7. Universidad Andr´ es Bello

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M´etodos de Resoluci´on de un Sistema de Ecuaciones M´etodo de Reducci´on Este m´etodo es uno de los m´as frecuentes. Consiste en operar las ecuaciones de manera que se obtengan dos ecuaciones en la que al seguir operando, una de las inc´ ognitas se anule, quedando una ecuaci´on de primer grado con una sola inc´ ognita. Ejemplo Resolver: x + 5y 2x − y

= =

3 −16

La primera ecuaci´on se multiplica por 2: 2x + 10y 2x − y Universidad Andr´ es Bello

= =

6 −16

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M´etodos de Resoluci´on de un Sistema de Ecuaciones

Ejemplo Ahora se resta la segunda de la primera, quedando: 11y = 22 De donde: y=2 Al reemplazar este valor en una de la ecuaciones originales se obtiene que x = −7.

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Ejemplo Ejemplo En el siguiente sistema, k es una constante. ¿ Qu´e valor debe tener k para que la soluci´ on del sistema sea (5, 0)? 2kx + y x−y

= =

10 5

Soluci´on En la primera ecuaci´on se reemplazar´a el punto (5, 0): 2k · 5 + 0 = 10 10k = 10 k=1 Universidad Andr´ es Bello

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Adelanto

Pr´oxima Semana: Martes 12 de Agosto, 17:30 Ecuaci´ on de la Recta. M´as Informaci´on y Ejercicios : www.preunab.cl

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