ALGEBRA LINEAL Sergio Solano Sabie´ Sistemas de ecuaciones lineales y matrices ´ Introduccion

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

Dos ecuaciones lineales con dos ´ incognitas

m ecuaciones con ´ n incognitas

Sergio Stive Solano Sabie´ 1

Sistemas ´ homogeneos de ecuaciones

Febrero de 2015

1

Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com

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Sistemas ´ homogeneos de ecuaciones

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Problema 1 ´ fue de $3000 El precio de la boleta para asistir a una funcion para estudiantes y de $4500 para el publico en general. Se ´ vendieron 450 boletas y el dinero recaudado fue de ´ $1555500, ¿cuantas boletas de cada clase se vendieron? Problema 2 Un examen realizado en clase consta de 16 preguntas. El profesor suma 5 puntos por cada respuesta correcta y resta 3 puntos por cada pregunta no contestada o mal contestada. Si un alumno ha obtenido 32 puntos en el ´ examen, ¿cuantas preguntas ha contestado correctamente?

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Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales ´ con dos incognitas x y y:

a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2 donde a11 , a12 , a21 , a22 , b1 y b2 son numeros dados. ´ ´ del sistema es una par de numeros Una solucion (x, y) que ´ satisfacen las ecuaciones. Las preguntas que surgen en forma natural son: ´ ¿tiene este sistema varias soluciones y, de ser as´ı, cuantas?

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Ejemplo 1.1 Considere los sistemas. 1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

´ unica. Sistema con una solucion ´ x−y =7 x+y =5

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2

Sistema con un numero ´ infinito de soluciones.

Sistemas ´ homogeneos de ecuaciones

x−y =7 2x − 2y = 14 3

´ Sistema sin solucion. x−y =7 2x − 2y = 13

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´ explicar lo que sucede en los ejemGeometricamente es facil plos anteriores.

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Ejemplo 1.2 Resuelve el sistema

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18

(1.1a)

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24

(1.1b)

3x1 + x2 − 2x3 = 4

(1.1c)

´ En este caso se buscan tres numeros Solucion. x1 , x2 , x3 , ´ tales que las tres ecuaciones en 1.1 se satisfagan. Se co´ 1.1a por 2: mienza por dividir la ecuacion x1 + 2x2 + 3x3 = 9

(1.2a)

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24

(1.2b)

3x1 + x2 − 2x3 = 4

(1.2c)

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´ 1.2a por −4 y sumandola ´ Ahora multiplicando la ecuacion a ´ 1.2b nos queda: la ecuacion x1 + 2x2 + 3x3 = 9 −3x2 − 6x3 = −12 3x1 + x2 − 2x3 = 4

(1.3a) (1.3b) (1.3c)

´ 1.3a se multiplica por −3 y se suma a Luego, la ecuacion ´ 1.4b se divide por −3, lo que da por re1.3c, y la ecuacion sultado: x1 + 2x2 + 3x3 = 9

(1.4a)

x2 + 2x3 = 4

(1.4b)

−5x2 − 11x3 = −23

(1.4c)

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´ 1.4b por −2 y se suma a 1.4a: Se multiplica la ecuacion x1 − x3 = 1

(1.5a)

x2 + 2x3 = 4

(1.5b)

−5x2 − 11x3 = −23

(1.5c)

´ 1.5b por 5 y se suma a 1.5c y el Se multiplica la ecuacion resultado se multiplica por −1: x1 − x3 = 1

(1.6a)

x2 + 2x3 = 4

(1.6b)

x3 = 3

(1.6c)

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´ 1.6c a 1.6a, y despues ´ se Por ultimo, se suma la ecuacion ´ multiplica 1.6c por −2 y se suma a 1.6b para obtener:

x1 = 4

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x2 = −2 x3 = 3 ´ ´ es unica Esta solucion para el sistema. Se escribe en la for´ ´ ma (4, −2, 3). El metodo que se uso´ se conoce como elimi´ de Gauss-Jordan. nacion Cabe resaltar el hecho de que, en cada paso, se obtuvieron sistemas equivalentes. Es decir, cada sistema ten´ıa el mismo conjunto de soluciones que el precedente.

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Antes de resolver otros sistemas de ecuaciones es conve´ que simplifica la escritura de niente introducir una notacion cada paso del procedimiento mediante el concepto de matriz. Matriz de coeficientes Una matriz es un arreglo rectangular de numeros. Los ´ coeficientes de las variables x1 , x2 , x3 en el sistema 1.1 se pueden escribir como los elementos de una matriz A, llamada matriz de coeficientes del sistema:   2 4 6 A= 4 5 6  3 1 −2 Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m × n. El s´ımbolo m × n se lee “m por n ”.

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´ matricial, el sistema 1.1 se puede escribir Al usar la notacion como la matriz aumentada:   2 4 6 | 18  4 5 6 | 24  3 1 −2 | 4

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A los reglones de la matriz aumentada se le pueden aplicar operaciones de tal manera que se obtiene un sistema de ecuaciones equivalente al sistema dado: Operaciones elementales con renglones

2

Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero ´ diferente de cero. ´ a otro renglon. ´ Sumar un multiplo de un reglon

3

Intercambiar dos renglones.

1

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El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matriz aumentada se llama re´ por renglones. duccion

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

´ Notacion

´ Introduccion

2

´ ´ Ri → cRi quiere decir “reemplaza el i-esimo renglon ´ multiplicado por c”. por ese mismo renglon ´ ´ Rj → Rj + cRi significa “sustituye el j-esimo renglon ´ j con el renglon ´ i multiplicado por la suma del reglon por c”.

3

Ri  Rj quiere decir “intercambiar los renglones i y j”.

4

A → B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que ´ representan tienen la misma solucion.

1

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En el sistema 1.1 se vio que al usar las operaciones elementales con renglones varias veces, se pudo obtener un ´ dadas en forma expl´ıcitas: sistema cuyas soluciones esten

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´ es De nuevo se puede “ver” de inmediato que la solucion x1 = 4, x2 = −2, x3 = 3.

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Ejemplo 1.3 (Numero infinito de soluciones) ´ Resuelva el sistema 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 ´ El sistema escrito en forma de matriz aumentada Solucion. es:   2 4 6 | 18  4 5 6 | 24  2 7 12 | 30 Aplicando la operaciones elementales con renglones sucesivamente, se obtiene:

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Aplicando la operaciones elementales con renglones sucesivamente, se obtiene:

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Esto es equivalente al sistema de ecuaciones x1 − x3 = 1 x2 + 2x3 = 4 ´ distinta, por Note que para valor de x3 se tiene una solucion tanto existe un numero infinito de soluciones. ´

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Ejemplo 1.4 (Sistema inconsistente) Resuelva el sistema 2x2 + 3x3 = 4 2x1 − 6x2 + 7x3 = 15 x1 − 2x2 + 5x3 = 10

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´ La matriz aumentada para este sistema es: Solucion.   0 2 3 | 4  2 −6 7 | 15  1 −2 5 | 10 Aplicando la operaciones elementales con renglones sucesivamente, se obtiene:

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Note que las ultimas dos ecuaciones son ´ −2x2 − 3x3 = −5 2x2 + 3x3 = 4 lo cual es imposible, ya que si −2x2 − 3x3 = −5, entonces ´ tres (5 6= 4). 2x2 + 3x3 = 5, y esto contradice la ecuacion ´ 1.1 Definicion Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es ´ Se dice que un sistema inconsistente si no tiene solucion. ´ es consistente. que tiene al menos una solucion

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´ 1.2 (Forma escalonada reducida por renglones) Definicion Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen las siguientes condiciones: 1

Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz.

2

El primer numero diferente de cero (comenzando por la ´ ´ cuyos elementos no izquierda) en cualquier renglon todos son cero es 1.

3

Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos ´ de abajo de cero, entonces el primer 1 en el renglon ´ hacia la derecha que el primer 1 en el esta´ mas ´ de arriba. renglon

4

Cualquier columna que contiene el primer 1 en un ´ tiene ceros en el resto de sus elementos. renglon

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´ (si lo hay) El primer numero diferente de cero en un renglon ´ se llama pivote para ese renglon. Ejemplo 1.5 ´ en la forma escalonada Las siguientes matrices estan reducida por renglones:   1 0 0 1  0 1 0  (tres pivotes). 0 0 1   1 0 0 0 2  0 1 0 0  (tres pivotes). 0 0 0 1   1 0 0 5 3 (dos pivotes). 0 0 1 2

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Una matriz esta´ en la Forma Escalonada por Renglones ´ 1.2. si se cumplen las condiciones 1, 2 y 3 de la definicion Ejemplo 1.6 Las siguientes matrices se encuentran en la forma escalonada por renglones:   1 2 3 1  0 1 5  0 0 1   1 −1 6 4 2  0 1 2 −8  0 0 0 1   1 0 2 5 3 0 0 1 2

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Ejemplo 1.7 Resuelva el sistema 1.1 reduciendo la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones. ´ Solucion. Se comienza como antes

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´ Hasta aqu´ı, este proceso es identico al anterior; pero ahora ´ solo se hace cero el numero −5 que esta´ abajo del primer 1 ´ ´ en el segundo renglon:

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La matriz aumentada del sistema se encuentra ahora en la forma escalonada por renglones y se puede ver de inme´ se usa sustitucion ´ hacia atras ´ diato que x3 = 3. Despues ´ x1 . para despejar primero x2 y despues ´ ´ que se acaba de emplear se llama El metodo de solucion ´ Gaussiana. eliminacion ´ Se cuenta con dos metodos para resolver los ejemplos de sistemas de ecuaciones: 1

´ de Gauss - Jordan Eliminacion

2

´ de Gaussiana Eliminacion

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´ de recursos Un problema de administracion Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del 2 y 5 del 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del 3. Cada seman se proporcionan al lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000 del 3. Si se supone que los peces se comen todo el ´ alimento ¿cuantos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

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Un sistema general de m × n ecuaciones lineales a11 x1 a21 x1 .. .

+ +

a12 x2 a22 x2 .. .

+ ··· + + ··· +

a1n xn a2n xn .. .

= =

b1 b2 .. .

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ´ se llama homogeneo si todas las constantes b1 , b2 , . . . , bm , ´ son cero. Es decir, el sistema general homogeneo esta´ dado por a11 x1 a21 x1 .. .

+ +

a12 x2 a22 x2 .. .

+ ··· + + ··· +

a1n xn a2n xn .. .

= 0 = 0 .. .

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0

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´ Como x1 = x2 = · · · = xn = 0 es siempre una solucion ´ trivial o solucion ´ cero), solo se tienen (llamada solucion ´ trivial es la unica ´ o dos posibilidades: la solucion solucion ´ ´ de esta. ´ existe un numero infinito de soluciones ademas Las ´ ´ soluciones distintas a la solucion cero se llaman soluciones no triviales. ´ ´ trivial) Ejemplo 1.8 (Unicamente la solucion ´ Resuelve el sistema homogeneo de ecuaciones 2x1 + 4x2 + 6x3 = 0 4x1 + 5x2 + 6x3 = 0 3x1 + x2 − 2x3 = 0

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´ Al reducir en forma sucesiva, se obtiene Solucion.

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´ unica As´ı, el sistema tiene una solucion (0, 0, 0). Es es, la ´ ´ al sistema es la trivial. unica solucion ´

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Ejemplo 1.9 (Un numero infinito de soluciones) ´ ´ Resuelve el sistema homogeneo x1 + 2x2 − x3 = 0 3x1 − 3x2 + 2x3 = 0

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−x1 − 11x2 + 6x3 = 0 ´ de Gauss - Jordan ´ Al hacer uso de la eliminacion Solucion. se obtiene, sucesivamente,

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Ahora la matriz aumentada esta´ en la forma escalonada reducida por renglones y, evidentemente, existe un numero in´ finito de soluciones dadas por (1/9x3 , 5/9x3 , x3 ). Teorema 1.1 ´ Un sistema homogeneo tiene un numero infinito de ´ soluciones si n > m. Ejemplo 1.10 Resuelva el siguiente sistema x1 + x2 − x3 = 0 4x1 − 2x2 + 7x3 = 0

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