ALGEBRA Sistemas de Ecuaciones lineales – Discusión con parámetros Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ay + (a + 1)z = a ax +z = a x + az = a

Interpretación: Del enunciado se deduce que se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas donde, además, aparece un parámetro a, acompañando a las incógnitas y como término independiente. Nos piden discutir el sistema en función de los valores de a, es decir, clasificar el sistema como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

Estrategia: -

Para realizar la discusión utilizaremos el Teorema de Rouche – Frobenius.

-

Expresaremos el sistema de ecuaciones en función de la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A/B.

-

Comenzaremos estudiando el rango de la matriz A partiendo siempre del mayor rango que puede tener dicha matriz.

-

El rango dependerá de los coeficientes así que el estudio del rango dependerá de los valores que tome.

-

Para calcular el valor de los distintos menores de orden h utilizaremos propiedades de los determinantes.

-

Operamos de la misma manera con la matriz ampliada recordando que esta tiene siempre por lo menos tanto rango como la matriz A.

-

Comparamos el rango de A y el de la matriz ampliada de tal manera que aplicando el teorema de Rouche – Frobenius podemos decidir si es compatible o incompatible.

-

En el caso de que sea compatible lo compararemos con el número de incógnitas para ver si es determinado o indeterminado.

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A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta: -

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Método de Gauss para discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales Cálculo de determinantes Rango de una matriz Producto de matrices Teorema de Rouché – Frobenius

Para resolver el problema...  Expresamos el sistema en forma matricial:  0 a a  1 x   a       1  y    a  a 0 1 0 a  z   a  

 Vemos la dependencia del rango de las dos matrices en función del parámetro a. Para ello estudiamos el rango de la matriz correspondiente a las incógnitas, A, así como el de la matriz ampliada, A/B. Ten en cuenta que, como la matriz ampliada es una matriz 3x4, su rango, como mucho, puede ser 3. En primer lugar, calculamos el rango de la matriz A, igualando a cero su determinante. 0 a a 1 a 0

1 = a – a3 = 0

1 0

a

a – a3 = 0  los valores de a para los que el determinante es nulo son 0, 1 y –1, es decir, para estos tres valores de a, el rango de A es menor que 3. Ahora comprobamos el rango de ambas matrices para cada valor de a, aplicando el teorema de Rouché – Frobenius. 

Si a = 0, el determinante de A es cero, así pues, buscamos un menor de orden 2 distinto de cero:

2

Como

0 1  0, el rango de la matriz A es 2. 1 0

Ahora bien, si a = 0, la matriz ampliada tiene los términos de su última columna iguales a cero por lo que el rango va a ser el mismo que el de la matriz A. Por tanto, según el teorema de Rouché como el rango de ambas matrices son iguales pero menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. 

Si a = 1, de nuevo nos encontramos con que el menor de orden 3 de la matriz A es cero por lo que no puede tener rango 3. Con encontrar un menor de orden 2 distinto de cero verificaríamos que tiene rango 2. Efectivamente:

1 2  0, luego A tiene rango 2. 0 1

Al sustituir a por 1 observamos que en la matriz A y en la ampliada las dos últimas filas son iguales por lo que el rango de la matriz ampliada también es 2. Según el teorema de Rouché, como el rango de ambas matrices son iguales pero menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. 

Si a = –1, el mayor menor distinto de cero que podemos encontrar en la matriz A es de orden 2, por tanto, el rango de A es 2. Al sustituir a por –1 en la matriz ampliada, podemos encontrar un menor de orden 3 distinto de cero: 1

0

1

0

1

1  0

0

1 1

Así pues, el rango de la matriz ampliada es 3, por lo que los rangos de las dos matrices son distintos. Por tanto, el sistema es incompatible, es decir no tiene solución. 

Si a es distinto de 0, 1 y –1, el rango de la matriz A y el de la ampliada es tres ya que el mayor menor distinto de cero que podemos encontrar de ambas matrices es de orden 3. 3

Como además coincide con el número de incógnitas el sistema es compatible determinado.

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Matrices – Ecuación matricial Resolver la ecuación matricial AX – B + C = 0 donde

 4 1  ; B = A =   1 0

2 0  1  1   , C =   2 1 1 0 

0 1 2 1   1 0  3 0

Interpretación: Del enunciado deducimos que se trata de una ecuación matricial donde aparecen tres matrices de dimensión conocida. La matriz A que es de orden 2 por 2, la matriz B de orden 2 por 4 y la matriz C que es de orden 2 por 4. Nos piden que resolver la ecuación, es decir calcular la matriz X.

Estrategia: -

Lo primero que aremos será verificar que la matriz A es regular, es decir que admite inversa ya que si no es así la ecuación no se podría resolver.

-

Posteriormente despejamos la matriz X teniendo en cuenta que: o El producto de matrices no es conmutativo. o A A–1 = A–1 A = I o IX=XI=X

-

Calculamos la matriz inversa de A siguiendo los pasos:

o | A | es distinto de cero. o At o Adj (At) Adj ( A t ) o A–1 = A - Por último realizaremos las operaciones necesarias para poder calcular X. - Ten mucho cuidado cuando multiplique matrices. A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta: -

Suma de matrices Diferencia de matrices Matriz nula Producto de matrices Matriz inversa Cálculo de una matriz inversa por Gauss – Jordan Cálculo de una matriz inversa por determinantes

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Para resolver el problema… Antes de cualquier otra operación veremos si existe la matriz inversa de la matriz A. Para ver si existe la matriz inversa de A calculamos su determinante y vemos si es distinto de cero.

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1

1 0

1

Dado este paso ahora indicamos como despejamos la matriz X . Partiendo la ecuación inicial AX – B + C = 0; sumamos la opuesta de la matriz C a ambos términos de la igualdad obteniendo: AX = B – C Como A-1 A = I y IX = X , donde I es la matriz identidad , podemos multiplicar a ambos lados de la ecuación por la matriz A-1 A–1 AX = A-1 (B – C) Ten mucho cuidado con el producto de matrices ya que este no es conmutativo. X = A-1 (B – C) Una vez que ya conocemos como debemos calcular X y demostrada la existencia de A-1 realizamos los cálculos. Primero calculamos la matriz inversa: Calculamos primero la traspuesta:

 4  1  At =  1 0  Posteriormente la matriz adjunta de la traspuesta:

 0 1  . Adj (At) =   1 4 Y por último dividimos la matriz resultante entre el determinante de A:

1 A

Adj (At) 6

El resultado final es la matriz A-1

 0 1  A-1 =   1 4 Una vez que tenemos la matriz inversa realizamos la operación C – B:

2 0  1 0 1 2 1  1   –   = 1 0  3 0   2 1 1 0 

 1  3 2 2   1  4 0  3

Observa como la operación se puede realizar ya que estamos restando matrices del mismo orden Fíjate que el orden de la matriz resultante es el mismo que el de las dos matrices que estamos restando. Por último la matriz X la calculamos con el siguiente producto:

 0 1   1  3 2 2   3 1 4 0    =  X =  1  4 0   11 1  14 2   1 4  3

Recuerda que para poder multiplicar matrices el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda y que la matriz resultante tiene tantas filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda.

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– Cálculo

Determinantes propiedades.

de un

determinante utilizando

1 1 1

Sabiendo que a b x a b

y

c

a) x y z 3 3 3

c = 5 , calcula el valor de los siguientes determinantes: z 5

5

5

b) a  2 b  2 c  2 x/3 y/3 z /3

Interpretación. Del enunciado deducimos que se trata de un ejercicio de cálculo de un determinante de tres por tres a partir de otro cuyo valor es conocido Nos piden que utilizando las propiedades de los determinantes así como el valor del determinante que nos dan, calcular el valor de otro determinante de tres por tres, por lo tanto el cálculo no se puede realizar utilizando la regla de sarros.

Estrategia: -

Para resolver el problema tomaremos como referencia el determinante que nos da el enunciado y realizaremos transformaciones en los otros hasta que nos queden en función del inicial.

-

Ten en cuenta que cada transformación que realices en un determinante está basada o fundamentada en una propiedad de estos, por lo cual es muy importante en cada paso que des enuncies la propiedad correspondiente que estas utilizando.

A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta: -

Cálculo de un determinante de dos por dos Cálculo de un determinante de tres por tres utilizando la regla de Sarrus. Calculo de un determinante por una línea Propiedades de los determinantes

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Para resolver el problema… a) Partimos del determinante que queremos calcular de tal manera que utilizando las propiedades de los determinantes lo iremos modificando hasta poner en dicho determinante en función del determinante cuyo valor es conocido. Así: a b

c

En el determinante x y z podemos cambiar la primera fila por la tercera por 3 3 3 lo que el determinante cambia de signo.

a b

c

x

z =– x

y

3 3 3

3 3 3 y

z

a b

c

Si ahora cambiamos la segunda fila por la tercera el determinan vuelve a cambiar el signo. a b

c

x

z =– x

y

3 3 3

3 3 3 y

a b

3 3 3

z = a b

c

c

z

x

y

Hay una propiedad de los determinantes que dice: “para multiplicar un determinante por un número distinto de cero, basta multiplicar una línea de ese determinante por dicho número”. Según esa propiedad, como todos los elementos de la primera fila están multiplicados por 3, podemos sacar este término fuera multiplicando a todo el determinante. a b

c

3 3 3

3 3 3

1 1 1

z =– x y z = a b c =3 a b c 3 3 3 a b c x y z x y z x

y

a b

c

Como el valor del último determinante es 5 concluimos que x y z = 3 3 3 3 · 5 = 15. 9

b) 5

5

5

En el determinante a  2 b  2 c  2 todos los términos de la primera fila así x/3

y/3

z /3

como los términos de la última fila están multiplicados respectivamente por 5 y 1/3 por lo que ambos términos se pueden sacar como factores del determinante:

5

5

5

1 1 1 1 a2 b2 c2 = 5 · a2 b2 c2 3 x/3 y/3 z /3 x y z

En la segunda fila podemos utilizar la siguiente propiedad: “Si todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante también se descompone, de la misma forma en suma de dos determinantes manteniendo cada uno de ellos comunes las filas o columnas formadas por un único término del determinante inicial “ Luego: 5

5

5

5

5

5

a2 b2 c2 = a2 b2 c2 = x/3

y/3

z /3

x/3

y/3

z /3

1 1 1 1 1 1 1 1 5· a b c +5· 2 2 2 3 3 x y z x y z

El segundo determinante de esta suma vale cero ya que la segunda fila es una combinación lineal de la primera. Concretamente la segunda fila es dos veces la primera. 5

1 1 1 1 a b c = Por lo que. a  2 b  2 c  2 = a  2 b  2 c  2 = 5 · 3 x/3 y/3 z /3 x/3 y/3 z /3 x y z

5·

5

5

5

5

5

1 25 ·5= 3 3

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