SISTEMAS DE NUMERACION Un sistema de numeración se conoce como el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de cantidades. En ellos existe un elemento característico que define el sistema y que se denomina base, siendo ésta el número de símbolos que se utilizan para dicha representación (se excluye el punto decimal).

1. El Sistema Decimal. El sistema decimal es un sistema posicional que utiliza un conjunto de símbolos a través de los cuales se pueden representar cantidades que vendrán determinadas por dichos símbolos y sus posiciones relativas al punto decimal (.), que en ausencia se supone colocado implícitamente a la derecha. Utiliza como base 10, que corresponde al número de símbolos del sistema y que son: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Una determinada cantidad, denominada número decimal, se puede representar de la siguiente forma: n

No =  (cifra)i x basei i=-d

donde:

base = 10 i = Posición respecto al punto decimal. d = Número de cifras a la derecha del punto decimal. n = Número de cifras a la izquierda del punto -1. cifra = Cada una de las que componen el número.

Por ejemplo, la representación de las cantidades 1234 y 1.125 serán: 1234 = 1 x 103 + 2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100 1.125 = 1 x 100 + 1 x 10-1 + 2 x 10-2 + 5 x 10-3

2. Los Sistemas Binario, Octal y Hexadecimal. En el entorno correspondiente a la electrónica digital se utilizan tres sistemas de numeración cuyas bases son potencias de 2 y cuyo estudio se hace imprescindible debido a su importancia. Estos son: * * *

Sistema Binario. Sistema Octal. Sistema Hexadecimal

Base 2 (21) Base 8 (23) Base 16 (24)

El sistema que maneja internamente el computador es el sistema binario, pero en ocasiones y por comodidad en el manejo de datos se suelen utilizar el octal, en el que una cifra equivale a tres (3) dígitos binarios, y el hexadecimal, en el que una cifra equivale a cuatro (4) dígitos binarios. (3)8  (011)2 (9)16  (1001)2

(41)8  (100001)2 (62)8  (110010)2

2.1. El Sistema Binario. Es el sistema que utiliza internamente el computador y en él se basan todos los movimientos de datos e informaciones en el interior de los circuitos. El binario puro se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 0 y 1. La base es 2 (número de dígitos utilizados por el sistema), y se trata de un sistema posicional relativo al punto decimal, es decir, que el valor representado por cada dígito depende de su posición. Cada dígito de un número representado en este sistema se denomina bit, que viene de la contracción de binary y digit.

* * * * *

Se utilizan a menudo los siguientes múltiplos del bit: 4 bits  cuarteto o nibble. 8 bits  octeto o byte. 1024 bytes o 8192 bits  Kilobytes o KB. 1024 Kilobytes  Megabytes o MB. 1024 Megabytes  Gigabytes o GB.

2.2. El Sistema Octal. Es un sistema de numeración cuya base es 8; es decir, utiliza 8 símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos son: 0

1

2

3

4

5

6

7

Es también un sistema posicional y su utilización hace que se trabaje en binario con mayor sencillez. Cada cifra octal equivale a tres dígitos binarios según la siguiente tabla: Octal Binario

0 000

1 001

2 010

3 011

4 100

5 101

6 110

7 111

.2.3. El Sistema Hexadecimal. Es un sistema de numeración posicional que utiliza 16 símbolos para representar cantidades; por tanto, su base es 16. Los símbolos son: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B C

D E

F

Se utiliza mucho para trabajar en forma cómoda con el binario ya que cada cifra hexadecimal equivale a cuatro dígitos binarios. Las equivalencias son las siguientes: Cifra Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Dígitos Binarios 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

3. Conversiones. Se denomina conversión a la transformación de una determinada cantidad expresada en un sistema de numeración en su representación equivalente en otro sistema. 3.1.

Conversiones de decimal a binario. Para convertir números enteros decimales a binarios, la forma más simple es dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes que se van obteniendo por 2, hasta que el cociente en una de las divisiones se haga 0. La unión de todos los restos obtenidos escritos en orden inverso nos proporciona el número inicial expresado en el sistema binario. Ejemplo: 10 0

2 5 1

2 2 0

2 1 1

2 0

Para convertir una fracción decimal a binario la forma mas simple consiste en multiplicar dicha fracción por 2, obteniendo en la parte entera del resultado el primero de los dígitos binarios de la fracción binaria que buscamos. A continuación se repite el proceso con la parte fraccionaria del resultado anterior, obteniendo en la parte entera del nuevo resultado el segundo de los dígitos buscados. Se itera sucesivamente de esta forma, hasta que desaparezca la parte fraccionaria o hasta que se tengan los suficientes dígitos binarios que permitan no sobrepasar un determinado error.

Ejemplo: 0.3125 x 2 0.625 x 2 0.25 x 2 0.5 x 2

= = = =

0.625 1.25 0.5 1.

(0.3125)10 = (0.0101) 2

3.2.

Conversiones de binario a decimal. Para convertir números binarios enteros a decimal se puede utilizar el método de las sumas de potencia de 2, consistente en tomar el número binario a convertir sumando las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos cuyo valor es 1. El resultado final es la suma de dichas potencias. Ejemplo: 1 5 32

Número: Posición: Potencia de 2:

0 4 16

1 3 8

0 2 4

1 1 2

0 0 1

Suma potencias 2: 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = (42)10 o también: (101010)2

=

1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20

=

3.3.

(42)10

Conversiones de octal a decimal. Para convertir números del sistema octal al decimal, tanto para la parte entera como para la fraccionaria se utiliza un método similar al de convertir los números de binario a decimal. Ejemplo: Número: Posición: Potencia de 8:

7 2 64

6 1 8

5 0 1

1 -1 0.125

Suma potencias de 8xNúmero: 448 + 48 + 5 + 0.125 = (501.125)10

o también: (765.1)8

=

7 x 82 + 6 x 81 + 5 x 80 + 1 x 8-1

=

(501.125)10

3.4.

Conversiones de hexadecimal a decimal. Para convertir números del sistema hexadecimal al decimal, tanto para la parte entera como para la fraccionaria se utiliza un método similar al de convertir los números de binario a decimal. Ejemplo: Número: Posición: Potencia de 16:

3 2 256

E 1 16

8 0 1

Suma potencias de 16xNúmero: 768 + 224 + 8 = (1000)10 o también: (3E8)16 = =

3 x 162 + E x 161 + 8 x 160 = 3 x 162 + 14 x 161 + 8 x 160 = (1000)10

IMPORTANTE: Las computadoras se han diseñado para trabajar con números binarios porque:  Los circuitos de computadora sólo necesitan manejar dos dígitos binarios (bits) en vez de 10. El diseño se simplifica, el costo se reduce y la confiabilidad aumenta.  Los componentes electrónicos operan naturalmente en modo binario. Un interruptor o bien está abierto (estado 0) o cerrado (estado 1); un transistor está conduciendo (estado 1) o no está conduciendo (estado 0).  Todo lo que se hace con el sistema de base 10 se hace con el sistema binario.