SISTEMAS ELECTRÓNICOS DE CONTROL

TEORÍA DE FILTROS Introducción Diagramas de Bode Filtros Eléctricos Filtro Pasivos y Activos Analógicos Consideraciones Generales Sobre los Filtros Diseño de un Filtro Pasa bajo Diseño de un Filtro Pasa alto Diseño de un Filtro Pasa banda Diseño de un Filtro Elimina Banda Tablas de Coeficientes 6° B – ELECTRÓNICA 2011

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1. INTRODUCCIÓN El filtro eléctrico fue inventado de manera independiente en 1915 por George Campbell en Estados Unidos y por K. W. Wagner en Alemania. Con on el surgimiento de la radio en el periodo 1910 – 1920, se creó la necesidad de reducir el efecto del ruido de la estática en el radiorreceptor. Cuando surgieron las transmisiones regulares de radio en la década de 1920, Campbell y otros desarrollaron el filtro RLC utilizando inductores, capacitares y resistencias. A estos filtros se les llama filtros pasivos debido a que se componen de elementos pasivos. En la década de 1930, S. Darlington, Darlington S. Butterworth y E. A. Guillemin desarrollaron la teoría necesaria a para diseñar filtros pasivos. El filtro pasa bajo tipo Butterworth se di a conocer en Wireles Engineering en 1930. Cuando se incorporan dispositivos activos, de manera típica amplificadores operacionales, en un filtro eléctrico, al filtro se le llama filtro activo.. Puesto que los inductores son relativamente grandes y pesados, los filtros activos suelen construirse sin inductores utilizando, por ejemplo, sólo amplificadores operacionales, resistencias y capacitares. Los primeros filtros activos RC prácticos os se inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y se documentaron en un escrito clásico de R. P. Sallen y E.L. Key (Sallen y Key, 1955).

2. DIAGRAMAS DE BODE Es común usar gráficas logarítmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de gráficas lineales. s. Las gráficas logarítmicas se denominan Diagramas de Bode en honor de H. W. Bode, quien las utilizó ampliamente en su trabajo con amplificadores en los laboratorios de la Bell Telephone durante las décadas de 1930 y 1940. En los diagramas de Bode se representa representa en forma separada, el módulo de la función de respuesta en frecuencia en ordenadas, en una escala lineal expresada en decibeles, y la frecuencia en abscisas en una escala logarítmica, obteniéndose así el diagrama de Bode de amplitud o módulo. El diagrama agrama de Bode de fase se obtiene llevando la fase en ordenadas, en grados sexagesimales en forma lineal, y la frecuencia en abscisas en escala logarítmica. Para representar gráficamente los resultados, suele emplearse papel semilogarítmico, en el cual la magnitud, expresada en decibeles y el ángulo de fase, expresado en grados, se representan como ordenadas en la escala lineal o rectangular, en tanto que la frecuencia se representa como abscisa en la escala logarítmica. El uso de escalas logarítmicas amplía amplí el intervalo de las frecuencias representadas en el eje horizontal. A continuación se observa un filtro pasa bajo pasivo y su función de transferencia:

Figura 1.- Filtro pasa bajo pasivo de 1º orden.

VOUT = VIN

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1 1 1 C.s = = 1 1 + R.C.s 1 + τ .s R+ C.s

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Donde

s = jω , j = - 1 y R.C = τ

El módulo de la función de transferencia es: VOUT V IN =

El módulo

1 12 + (τ .ω )

2

VOUT VIN ≅ 1 cuando ω = 0,1 τ , es igual a 0,707 cuando ω = 1 τ y es

aproximadamente e igual a 0,1 cuando ω = 10 τ . Estos puntos son utilizados utilizad en la gráfica de la figura 2 para realizar una aproximación asintótica del diagrama. La curva asintótica aproximada de la ganancia está formada por dos rectas, una coincidente con ell eje de frecuencias, y otra con una pendiente de -6dB/octava 6dB/octava (cada duplicación de frecuencia recibe el nombre de octava) o -20dB/década 20dB/década la cual corta a la otra recta en el punto de abscisa ω = 1 τ , llamada pulsación de corte. El diagrama de e fase para el filtro pasa bajo o cualquier otra función de transferencia es calculado según la siguiente ecuación:

 Re  −1  ω.τ   = −tg    Im   1 

φ = tg −1 

Figura 2.2 Diagrama de Bode de un filtro pasa bajo pasivo.

El diagrama de fase es mucho más difícil de aproximar ya ya que la función tangente no es lineal. Normalmente el cálculo de fase se realiza para la frecuencia de corte. Como regla general, todo polo real produce una caída de -6dB/octava 6dB/octava a partir de su valor cambiado de signo, y todo cero real produce una elevación elevación de la pendiente en +6dB/octava a partir de su valor cambiado de signo.

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3. FILTROS ELÉCTRICOS Se empieza considerando un filtro ideal. Por conveniencia, se supone que tanto la entrada como la salida de este filtro son voltajes. Este filtro ideal separa su su voltaje de entrada en dos partes. Una parte se deja pasar sin modificación a la salida; la otra se elimina. En otras palabras, la salida de un filtro ideal es una copia exacta de parte de la entrada del filtro. Para entender cómo opera un filtro eléctrico, eléctric considérese el siguiente voltaje de entrada: entrada

vent (t ) = cos ω1 ⋅ t + cos ω 2 ⋅ t + cos ω 3 ⋅ t Esta entrada consiste en una suma de señales senoidales,, cada una en una frecuencia diferente. (Por ejemplo, los voltajes periódicos pueden representarse de esta manera utilizando la serie de Fourier). ). El filtro separa el voltaje de entrada en dos partes, utilizando la frecuencia como base de la separación. Hay varias formas de separar esta entrada en dos partes y, por consiguiente, son diversos los tipos de filtros ideales. ideales En la figura 3 se muestran los diferentes tipos de filtros que existen..

Figura 3.- Filtros ideales.

Si tomamos como ejemplo el filtro pasa bajo ideal, que aparece en la figura 3, y planteamos su función de red obtenemos:

1∠0º → ω < ω c H (ω ) =  0 → ω > ω c A la frecuencia ωc se la llama frecuencia de corte. La frecuencia de corte separa el intervalo de frecuencias en dos bandas, la banda de paso, en donde ω < ωc y la banda supresora o de corte, en donde ω > ωc. Los componentes de la entrada cuyas frecuencias están dentro de d la banda de paso experimentan una ganancia unitaria y un desplazamiento de fase nulo. Estos términos se dejan pasar, sin modificación, a la salida del filtro. Los componentes de la entrada cuyas frecuencias están en la banda de corte experimentan una ganancia ganancia igual a cero. Estos términos se eliminan o suprimen. Un filtro ideal separa su entrada en dos partes: los términos cuyas frecuencias están en la banda de paso y los términos cuyas frecuencias están en la

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banda de corte. La salida del filtro consta de los términos cuyas frecuencias están en la banda de paso. Desafortunadamente, los filtros ideales no existen, en realidad los filtros prácticos son aproximaciones a los ideales.

4.. FILTROS PASIVOS Y ACTIVOS ANALÓGICOS Un filtro analógico, como su nombre lo lo indica, es un filtro que funciona con componentes analógicos, por lo que puede ser implementado físicamente con elementos tales como resistencias, istencias, bobinas, capacitores y amplificadores operacionales. Los filtros pasivos son conocidos por este nombre, puesto puesto que para su implementación se utilizan dispositivos pasivos como lo son capacitores, bobinas y resistencias. La principal desventaja de estos filtros es el tamaño de la bobina, las cuales llegan a ser muy voluminosas a bajas frecuencias, de allí la necesidad necesidad de contar con filtros sin inductores. En los filtros activos se incluyen resistencias, capacitores y amplificadores operacionales, operacio eliminándose las bobinas y obteniéndose las siguientes ventajas: • La bobina es el elemento que más aleja al filtro de su comportamiento ideal, sobretodo a bajas frecuencias, por lo que su eliminación permite mejorar el comportamiento del mismo. • Generalmente tienen muy alta impedancia de entrada y muy baja de salida, presentando por lo tanto muy buena capacidad de aislamiento, aislamiento, permitiendo la conexión en cascada de células de filtrado sin afectar la respuesta, ya que prácticamente es independiente de las impedancias de carga y fuente. • Posibilidad de amplificación, tanto de tensión como de corriente, particularidad importante para señales de bajo nivel. • Factor de calidad relativamente grande, alcanzando valores de hasta Q = 500. • Facilidad de puesta a punto y regulación continúa de la banda pasante. Por otro lado, los filtros activos presentan las siguientes desventajas respecto respect a los pasivos: • Necesidad de una o dos fuentes de alimentación que pueden introducir ruido. • Limitación del margen dinámico de salida, para valores mayores a ±10 V de amplitud de la señal de entrada el amplificador operacional puede saturarse, además la corriente co de salida se limita a algunos miliamperes. Con valores bajos de amplitud de la señal de entrada el ruido intrínseco del amplificador puede enmascarar la señal. El margen dinámico está limitado a unos 120 dB. • Muy sensibles a los cambios de temperatura temperatura y al envejecimiento de componentes, que producen un considerable desplazamiento de los polos de la función de transferencia, con la posibilidad de tornar inestable al circuito. • Limitación del rango superior de frecuencias, no utilizándoselos en general más allá de 1 MHz. En resumen, puede decirse que el campo de utilización reservado a los filtros activos es el de baja frecuencia, donde el filtro pasivo resulta muy costoso por la dificultad de construir bobinas de alto Q.

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Figura 4.4 Filtro pasa bajo de segundo orden pasivo y activo.

5. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS FILTROS El circuito RC que se observa en la figura 5, 5, constituye el filtro pasa bajo más simple de implementar.

Figura 5.- Filtro pasa bajo pasivo de 1° orden.

Su función de transferencia erencia es la siguiente:

1 1 R.C A( s ) = = 1 1 + s.R.C s+ R.C La función de respuesta en frecuencia del circuito se obtiene reempleando

A( jω ) =

s por jω . Así:

1 1 + jω.R.C

Con el objeto de analizar el problema de una forma más general, normalizaremos la variable de frecuencia compleja s por la siguiente definición:

sn = De donde:

jω

ωc

= j

s

ωc

f = jΩ = s n fc

La frecuencia de corte del circuito circuit de la figura 5 viene dada por:

fc =

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1 . 2.π .R.C

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Por lo tanto

s n = s.R.C y la función de transferencia puede reescribirse de la siguiente

manera:

A( s ) =

1 1 + sn

Para el valor absoluto de la función de transferencia, es decir para la relación de amplitud en las señales senoidales idales de entrada obtenemos:

A( jΩ ) =

1 1+ Ω 2

Para Ω >> 1, es decir para f >> fc, |A| = 1/Ω;; esto corresponde a una reducción de ganancia de -20dB 20dB por década de frecuencia o -6dB por octava. Si se requiere un decrecimiento más pronunciado de ganancia, se pueden conectar n filtros pasa bajo en cascada, como se observa en la figura 6.

Figura 6.6 Filtro pasa bajo pasivo de cuarto orden.

La expresión de la función de transferencia queda, en forma general, de la siguiente forma:

A( s n ) =

1 (1 + α 1 .s n ).(1 + α 2 .s n )...(1 + α n .s n ) n

donde los coeficientes α1, α2, α3 son reales y positivos. Para Ω >> 1, |A| es proporcional a 1/Ω ; la ganancia disminuye entonces n x 20 dB por década. Se puede ver que la función de transferencia posee n polos negativos reales. Ésta es la característica de los filtros pasa bajo RC pasivos de orden n.. Si se conectan conectan en cascada filtros pasa bajo de idénticas frecuencias de corte desacoplados, se tiene:

α 1 = α 2 = ...α n = α =

n

2 -1

Cada filtro paso bajo individual tiene entonces una frecuencia de corte que es igual a la del filtro completo multiplicada por el factor 1/α. En la figura 7 se muestra la respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajo de 4° orden, que se obtuvo de la conexión en cascada de cuatro filtros pasa bajo de 1° orden. La atenuación de cada filtro individual es de -20 dB/década (curva 1), mientras que la a atenuación total del filtro llega a -80 80 dB/década (curva 2). Hay que tener en cuenta que en el eje de las abscisas se utiliza la frecuencia normalizada Ω, es decir Ω = f/fc.

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Nota: Curva 1: filtro pasa bajo de 1° orden, Curva 2: fil tro pasa bajo de 4° orden, Curva 3: filtro pasa baj o de 4° orden ideal.

Figura 7.- Respuesta amplitud-frecuencia un filtro pasivo RC pasa bajo de 4° orden.

La función de transferencia nsferencia de un filtro pasa bajo tiene la forma general:

A(s ) =

A0 (1 + a1 s + b1 s ).(1 + a 2 s + b2 s 2 )...(1 + a n s + bn s 2 ) 2

Donde an y bn son reales y positivos. Para n de orden impar, el coeficiente b1 es cero. Existen diferentes aspectos teóricos para los cuales la respuesta en frecuencia puede ser optimizada. Cualquiera de tales aspectos conduce a un grupo diferente de coeficientes an y bn. Al originarse polos complejos conjugados, éstos no se pueden obtener con elementos pasivos RC.. Una manera de obtener polos complejos conjugados es el uso de redes RLC. En frecuencias altas, la realización de las bobinas necesarias no presenta usualmente dificultades, pero en el margen de baja frecuencia suelen ser necesarias inductancias grandes que, además de ser difíciles de obtener, tienen malas propiedades propiedades eléctricas. Sin embargo, el uso de bobinas en bajas frecuencias se puede evitar por la adición de elementos activos (por ejemplo amplificadores operacionales) a las la redes RC. Tales circuitos se llaman filtros activos. En los siguientes apartados se va a analizar brevemente la respuesta en frecuencia de las optimizaciones más importantes, importantes cuyo diseño e implementación se explicaran más adelante.

5.1 .1 FILTRO PASA BAJO DE BUTTERWORTH Los filtros pasa bajo de Butterworth tienen una respuesta horizontal o “plana” “plana de amplitudfrecuencia todo lo “ancha” posible y descienden bruscamente antes de la frecuencia de corte. Su respuesta muestra un considerable sobreimpulso que aumente en los filtros del orden más alto.

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Figura 8.- Respuesta amplitud-frecuencia de un filtro tro pasa bajo de Butterworth.

5.2 .2 FILTRO PASA BAJO DE CHEBYSHEV CHEBYS Los filtros pasa bajo de Chebyshev tienen una caída en su ganancia aún más abrupta que los filtros pasa bajo de Butterworth. Sin embargo, en los filtros pasa banda la ganancia varía y tiene una na ondulación o rizado de amplitud constante. Para un orden dado, la atenuación por encima de la frecuencia de corte es más acusada cuanto mayor sea la ondulación permitida. El sobreimpulso en la parte inclinada de su respuesta es incluso mayor que en los filtros de Butterworth.

Figura 9.- Respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa bajo de Chebyshev. Chebys

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5.3 .3 FILTRO PASA BAJO DE BESSEL Los filtros pasa bajo de Bessel dan la óptima respuesta de onda cuadrada. La condición subyacente es que el retardo de grupo grupo es constante en el margen de frecuencia más amplio posible, es decir, el deslizamiento de fase en este margen de frecuencia es proporcional a ésta, La respuesta amplitud-frecuencia frecuencia de los filtros de Bessel no desciende tan bruscamente como los filtros de Butterworth o Chebyshev. La figura 7 muestra las respuestas amplitud-frecuencia amplitud frecuencia de los tres tipos de filtro descritos, desc siendo todos ellos de 4° orden, mientras que en la figura 8 se observa su respuesta de fase. Se puede ver que ue el filtro pasa bajo de Chebyshev hev tiene la más abrupta transición desde la banda de paso a la banda de detención. Esto es ventajoso, pero tiene el efecto adicional de una ondulación en la banda de paso de la respuesta amplitud-frecuencia. amplitud frecuencia. Como esta ondulación on se reduce gradualmente, te, el comportamiento del filtro de Chebychev se aproxima al del filtro de Butterworth. Por otra parte, los filtros de Bessel sólo presentan un despreciable sobre impulso.

Figura 10.- Comparación de la respuesta amplitud-frecuencia amplitud de un filtro pasa bajo baj de 4° orden.

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Figura 11.- Comparación de la respuesta de fase de un filtro pasa bajo de 4° orden.

6.. DISEÑO DE UN FILTRO PASA BAJO La siguiente ecuación representa la forma general de la función de transferencia de un filtro pasa bajo.

A(s ) =

A0 (1 + a1 s + b1 s ).(1 + a 2 s + b2 s 2 )...(1 + a n s + bn s 2 ) 2

Como ya se había mencionada anteriormente, en un filtro de 1° orden el coeficiente b siempre es cero, por lo que la ecuación anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:

A( s ) =

A0 1 + a1 s

Las etapas de 1° y 2° orden constituyen los bl oques básicos para la construcción de filtros de un orden mayor. La figura 12 muestra de que manera se construyen los filtros de orden superior, utilizando básicamente filtros de 1° y 2° orden. Solo se muest ra hasta un filtro de 6° orden, pero el mismo criterio terio se utiliza para filtros de orden superior.

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Figura 12.- Conexión en cascada de filtros de 1° y 2° orden par a la obtención de filtros de orden superior.

6.1 FILTRO PASA BAJO DE 1° ORDEN La figura 13 y 14 muestran un filtro pasa bajo de 1° orden en s u configuración no inversora e inversora, respectivamente.

Figura 13.-- Filtro pasa bajo de 1° orden en configuración no inversora .

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Figura 14.14 Filtro pasa bajo de 1° orden en configuración inversora.

La función de transferencia de estos circuitos es:

R2 R3 A( s ) = 1 + ω c .R1 .C1 .s 1+

R2 R1 A( s ) = 1 + ω c .R2 .C1 .s -

y

El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180° en la señal de entrada. Es decir que a la salida obtendremos obtendremos la señal de entrada invertida. Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:

A0 = 1 +

R2 R3

y

a1 = ω c .R1 .C1

y

A0 = -

R2 R1

a1 = ω c .R2 .C1

Para el diseño del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fc), la ganancia del circuito (A0) y el valor de C1 que será definido de antemano. Con estos datos solo nos resta calcular R1 y R2.

R1 =

a1 2.π . f c .C1

y

R2 = R3 .( A0 - 1)

y

R2 =

a1 2.π . f c .C1

R1 = -

R2 A0

El coeficiente a1 se obtiene por tabla (ver apartado 10).. Para los filtros de 1° orden de todos los tipos, este coeficiente toma el valor 1, sin embargo, para filtros de un orden superior este coeficiente toma valores diferentes a 1. Ejemplo 1. Diseño de un filtro pasa bajo de 1° orden con ganancia unitaria. Diseñar un filtro pasa bajo de 1° orden con una frecuencia de corte f c = 1 kHz y C1 = 47 nF.

R1 =

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a1 1 = = 3,38kΩ 3 2.π . f c .C1 2.π .1.10 Hz.47.10 -9 F

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Cuando la ganancia del amplificador es unitaria, la configuración no inversora del amplificador operacional se reduce a una configuración seguidor de tensión, como se observa en la siguiente figura:

Figura 15.- Filtro pasa bajo de 1° orden no inversor, con ganancia unitaria.

6.2 FILTRO PASA BAJO DE 2° ORDEN Existen dos topologías para los filtros pasa bajo de 2° orden, la Sallen -Key o red con fuente controlada, la cual siempre tiene ganancia positiva en la banda pasante y no invierte la fase a frecuencias bajas. La otra topología de filtro es es la llamada de Rauch o de realimentación múltiple, en la cual la ganancia en frecuencia cero, A0 es negativa, y por lo tanto, produciendo un desfasaje de 180° entre la salida y la entrada a frecuencias menores que la de corte. A continuación analizaremos en detalle la topología Sallen-Key.

6.2.1 .2.1 Topología Sallen-Key Sallen La topología Sallen-Key Key general, para un filtro pasa bajo,, se puede observar en la figura 15 1 y su función de transferencia se muestra a continuación:

A(s ) =

A0 1 + ω c .[C1 .( R1 + R2 ) + (1 - A0 ).R1 .C 2 ].s + ω c2 .R1 .R2 .C1 .C 2 .s 2

Si el circuito de la a figura 15 lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria, obtenemos el circuito de la figura 16, 1 , cuya función de transferencia es la siguiente:

A(s ) =

1 1 + ω c .C1 .( R1 + R2 ).s + ω c2 .R1 .R2 .C1 .C 2 .s 2

Si comparamos la función de transferencia anterior, con la función de transferencia trans general de un filtro pasa bajo,, podemos obtener los coeficientes A0, a1 y b1.

A0 = 1 a1 = ω c .C1 .( R1 + R2 ) b1 = ω c2 .R1 .R2 .C1 .C 2 Definiendo C1 y C2 distintos, los valores de R1 y R2 se obtiene resolviendo el sistema de dos ecuaciones aciones con dos incógnitas dado por a1 y b1.

R1, 2 =

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a1 .C 2 ± a12 .C 22 - 4.b1 .C1 .C 2 4.π . f c .C1 .C 2

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Para obtener valores reales dentro de la raíz, C2 debe satisfacer la siguiente condición:

C 2 ≥ C1 .

4.b1 a12

Figura 16.1 Filtro pasa bajo de 2° orden de topología Sallen- Key.

Figura 17.- Filtro pasa bajo de 2° orden de topología Sallen- Key con ganancia unitaria.

Ejemplo 2. Diseño de un filtro pasa bajo de 2° orden con ganancia unitaria. Diseñar un filtro pasa bajo de Chebyshev de 2° orden con una frecuencia de cort e fc = 3 kHz y un ripple de 3 dB en la banda pasante. En primer lugar, de la tabla 1, obtenemos los coeficientes a1 y b1 para un filtro de Chebyshev con 3 dB de ripple.

a1 = 1,0650 b1 = 1,9305 Si definimos C1 = 22nF podemos determinar el valor de C2 como sigue:

C 2 ≥ C1 .

4.b1 4.1,9305 = 22.10 -9 nF . ≅ 150nF 2 a1 1,0650 2

Con el valor de C1 y C2 podemos determinar el valor de R1 y R2.

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R1 =

1,0650.150.10 -9 - (1,0650.150.10 -9 ) 2 - 4.1,9305.22.10 -9.150.10 -9

R2 =

4.π .3.10 3.22.10 -9.150.10 -9

= 1,26kΩ

1,0650.150.10 -9 + (1,0650.150.10 -9 ) 2 - 4.1,9305.22.10 -9.150.10 -9 4.π .3.10 3.22.10 -9.150.10 -9

= 1,30kΩ

Con estos valores el circuito queda formado de la siguiente manera:

Figura 18.- Filtro pasa bajo de Cebyshev de 2° orden con ganancia unitaria.

Tabla 1.- Coeficientes para un filtro de 2° orden.

En la topología Sallen--Key, puede darse el caso especial en el que R1 = R2 = R y C1 = C2 = C.. En tal caso, la función de transferencia queda de la siguiente forma:

A(s ) =

A0 1 + ω c .R.C.(3 − A0 ).s + (ω c .R.C ) 2 .s 2

con

A0 = 1 +

R4 R3

Comparando esta función de transferencia con la función de transferencia general de un filtro pasa bajo,, podemos obtener los coeficientes a1 y b1.

a1 = ω c .R.C.(3 − A0 ) b1 = (ω c .R.C ) 2 Dando un valor a C y resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos el valor de R.

R=

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b1 2.π . f c .C

y

A0 = 3 -

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a1 b1

= 3−

1 Q

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El circuito de la figura 19, 1 , permite cambiar el tipo de filtro ajustando el valor de R4, es decir variando la relación R4/R3.

Figura 19.- Filtro pasa bajo de 2° orden con ganancia unitaria.

6.3 FILTRO PASA BAJO DE ORDEN SUPERIOR Para necesidades en que la característica de un filtro de 2° orden no sea lo suficientemente abrupta en la región de atenuación de la banda deberán emplearse filtros de un orden superior, que pueden lograrse conectando en cascada filtros de 2° orden para n par, y agregando a la cascada uno de primer orden para n impar. La respuesta en frecuencia del filtro total es igual al producto de las respuestas en frecuencia de los filtros individuales. Dicho esto, podríamos estar tentados a calcular un filtro de segundo orden, y, por ejemplo, para n = 6,, conectar en cascada tres secciones idénticas, esto no es correcto porque el filtro resultante tendrá una frecuencia de corte diferente a la de los filtros individuales como puede demostrarse si en un diagrama logarítmico sumamos tres respuestas iguales. Aquí es donde aparece la optimización de la respuesta frecuencial con los distintos tipos de filtros tros que conducen a grupos diferentes de coeficientes para los filtros individuales de tal modo que el producto de las respuestas frecuenciales de por resultado la respuesta con la frecuencia de corte y características deseadas. Ejemplo 3. Diseño de un filtro fil pasa bajo de 5° orden con ganancia unitaria. Diseñar un filtro pasa bajo de Butterwoth de 5° orden con una frecuencia de cor te fc = 50 kHz. En primer lugar hay que obtener el valor de los coeficientes para un filtro de Butterworth de 5° orden.

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ai

bi

Filtro 1

a1 = 1

b1 = 0

Filtro 2

a2 = 1,6180

b2 = 1

Filtro 3

a3 = 0,6180

b3 = 1

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A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor de las resistencias en cada etapa. Recordemos la configuración de un filtro pasa bajo de 1° orden.

Figura 20.- Filtro pasa bajo de 1° orden con ganancia unitaria.

Si establecemos el valor de C1 en 1nF.

R1 =

a1 1 = = 3,18kΩ ≅ 3,16kΩ 2.π . f c .C1 2.π .50.10 3.1.10 -9 F

Figura 21.- Filtro pasa bajo de 2° orden con ganancia unitaria.

Para la segunda etapa definimos C1 = 820pF.

C 2 ≥ C1 .

4.b2 4.1 = 820.10 -12 F . = 1,26nF ≅ 1,5nF 2 a2 1,618 2

Con C1 y C2 calculamos el valor de R1 y R2 con la siguiente fórmula:

R1, 2 =

R1 =

R2 =

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a1 .C 2 ± a12 .C 22 - 4.b1 .C1 .C 2 4.π . f c .C1 .C 2

1,618.1,5.10 -9 - (1,618.1,5.10 -9 ) 2 - 4.1.820.10 -12.1,5.10 -9 4.π .50.10 3.820.10 -12.1,5.10 -9 1,618.1,5.10 -9 + (1,618.1,5.10 -9 ) 2 - 4.1.820.10 -12.1,5.10 -9 4.π .50.10 3.820.10 -12.1,5.10 -9

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= 1,87kΩ

= 4,42kΩ

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Para el cálculo de la tercera etapa se procede de la misma manera que en la etapa anterior, con la diferencia de que los coeficientes a utilizar serán a3 y b3 en lugar de a2 y b2. Para esta etapa definimos C1 = 330pF y obtenemos C2.

C 2 ≥ C1 .

4.b2 4.1 -12 F. = 3,46nF 2 = 330.10 a2 0,618 2

4,7nF

Con C1 = 330pF y C2 = 4,7nF, los valores de R1 y R2 son:

R1 = 1,45kΩ

1,47kΩ

R2 = 4,51kΩ

4,53kΩ

La figura 22 muestra el circuito definitivo.

Figura 22.- Filtro pasa bajo de Butterworth de 5° orden con ganancia unitaria y f c = 30kHz.

7.. DISEÑO DE UN FILTRO PASA ALTO Los filtros normalizados pasa bajos pueden ser convertidos en filtros normalizados pasa altoss cambiando la variable normalizada sn por 1/sn. Este cambio de variable significa en el gráfico de Bode, por encima de la frecuencia de corte, dibujar la imagen especular de la respuesta amplitud-frecuencia cuencia del filtro pasa bajo,, como se observa en la figura 23. La ganancia A0 en bajas frecuencias se convierte en A∞ o ganancia en alta frecuencia.

Figura 23.- Respuesta amplitud-frecuencia amplitud de un filtro pasa alto comparada con la de un filtro pasa bajo.

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La función de transferencia general de un filtro pasa alto queda de la siguiente forma:

A∞

A(s ) = (1 +

a n bn a1 b1 a 2 b2 + 2 ).(1 + + 2 )...(1 + + ) s s s s s s2

Como sucedía en los filtros pasa bajos de 1° orden, en un filtro pasa alto de 1° orden el coeficiente b es cero, por lo que la ecuación anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:

A( s ) =

A∞ a1 1+ s

7.1 FILTRO PASA ALTO DE 1° ORDEN La figura 24 y 25 muestran un filtro pasa alto de 1° orden en su configuración no inversora e inversora, respectivamente.

Figura 24.-- Filtro pasa alto de 1° orden en configuración no inversora.

Figura 25.25 Filtro pasa alto de 1° orden en configuración inversor a.

La función de transferencia de estos circuitos es:

R2 R3 A( s ) = 1 1 1+ . ω c .R1 .C1 s 1+

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y

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R2 R1 A( s ) = 1 1 1+ . ω c .R1 .C1 s

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El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180° en la señal de entrada. Es decir que a la salida obtendremos la señal de entrada invertida. Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:

A∞ = 1 +

R2 R3

y

A∞ = -

R2 R1

El coeficiente a1 es el mismo para ambos circuitos.

a1 =

1 ω c .R1 .C1

Para el diseño del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fc), la ganancia del circuito (A∞) y el valor de C1 que será definido de antemano. no. Con estos datos solo nos resta calcular R1 y R2.

R1 =

R2 = R3 .( A∞ - 1)

1 2.π . f c .a1 .C1 y

R2 = -R 1 . A∞

7.2 FILTRO PASA ALTO DE 2° ORDEN Para un filtro pasa alto de 2° orden se utilizan las mismas dos topologías q ue para los filtros pasa bajo de 2° orden, la Sallen -Key Key o red con fuente controlada y la topología llamada de Rauch o de realimentación múltiple.

7.2.1 .2.1 Topología Sallen-Key Sallen La topología Sallen-Key Key general, gene para un filtro pasa alto,, se puede observar en la figura 26 2 y su función de transferencia se muestra a continuación:

A( s ) =

α R2 .(C1 + C 2 ) + R1 .C 2 (1 α ) 1 1 1 1+ . + 2 . 2 ω c .R1 .R2 .C1 .C 2 s ω c .R1 .R2 .C1 .C 2 s

con

α = 1+

R4 R3

Figura 26.- Filtro pasa alto de 2° orden de topología Sallen -Key.

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Si el circuito ito de la figura 26 2 lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria (α = 1), y C1 = C2 = C obtenemos la función de transferencia que se muestra a continuación.

1

A( s ) = 1+

2 1 1 1 . + 2 2 . 2 ω c .R1 .C s ω c .R1 .R2 .C s

Si comparamos la función de transferencia anterior, con la función de transferencia transferenc general de un filtro pasa alto,, podemos obtener los coeficientes co A∞, a1 y b1.

A∞ = 1 a1 = b1 =

2 ω c .R1 .C

1 ω .R1 .R2 .C 2 2 c

Definiendo previamente el valor de C, a partir del sistema de ecuaciones anteriores podemos encontrar el valor de R1 y R2.

R1 =

R2 =

1 π . f c .C.a1

a1 4.π . f c .C.b1

Figura 27.- Filtro pasa alto de 2° orden de topología Sallen- Key con ganancia unitaria.

7.3 FILTRO PASA ALTO DE ORDEN SUPERIOR Al igual que los filtros pasa bajo, los filtros pasa alto de orden superior son diseñados conectando en cascada etapas etapas de filtros de 1º y 2º orden. Los coeficientes utilizados son los mismos que para los filtros pasa bajo, los que se obtienen por tabla (apartado 10). Ejemplo 5. Diseño de un filtro pasa alto de 3°° orden con ganancia unitaria. Diseñar un filtro pasa alto de Bessel de 3°° orden con una frecuencia de corte f c = 1 kHz. Los coeficientes del filtro se obtienen por tabla (ver sección 10).

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ai

bi

Filtro 1

a1 = 0,756

b1 = 0

Filtro 2

a2 = 0,996

b2 = 0,4772

A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor de las resistencias en cada etapa. Si establecemos el valor de C1 en 100nF.

R1 =

1 1 = = 2,105kΩ ≅ 2,1kΩ 3 2.π . f c .a1 .C1 2.π .1.10 Hz.0,756.100.10 −9 F

Para la segunda etapa definimos C = 100nF.

1 1 = = 3,18kΩ ≅ 3,16kΩ 3 π . f c .C.a1 π .1.10 Hz.100.10 −9 F .0,756 a1 0,9996 R2 = = = 1,67kΩ ≅ 1,65kΩ 3 4.π . f c .C.b1 4.π .1.10 Hz.100.10 −9 F .0,4772 R1 =

La figura 24 muestra el circuito definitivo.

Figura 28.- Filtro pasa alto de Bessel de 3° orden con ganancia unitaria y f c = 1kHz.

8.. DISEÑO DE UN FILTRO PASA BANDA Un filtro pasa banda puede ser implementado conectando en serie un filtro pasa bajo y un filtro pasa alto con frecuencias ecuencias de corte f1 y f2, respectivamente. Asimismo, los filtros normalizados pasa bajoss pueden ser convertidos en filtros normalizados pasa banda cambiando la variable normalizada sn por:

1  1 . s +  ∆Ω  s En este caso, el filtro pasa bajo es transformado nsformado en la mitad superior de la banda pasante del filtro y luego es espejado para formar la mitad inferior de la banda pasante, como se s puede observar en la figura 29.

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Figura 29.- Transformación de un filtro pasa bajo en un filtro pasa banda. banda

La frecuencia ecuencia de corte del filtro pasa bajo,, se transforma entonces en la frecuencia de corte inferior y superior del filtro pasa banda.. La diferencia entre ambas frecuencias es definida como el ancho de banda normalizado:

∆Ω = Ω 2 − Ω1 En analogía con n un circuito resonante, el factor de calidad Q es definido como la relación entre la frecuencia media o mitad (fm) y el ancho de banda (B).

Q=

fm fm 1 1 = = = B f 2 − f1 Ω 2 − Ω1 ∆Ω

Como se dijo anteriormente, la forma más simple de implementar un filtro pasa banda es conectando ctando en cascada un filtro pasa bajo y un filtro pasa alto,, lo que es un criterio valido para la implementación de filtros de banda ancha, es decir con un bajo valor de Q. Para valores de Q > 5 se recurre a circuitos resonadores. Por otro lado, si conectamos conecta en cascada un filtro pasa bajo de 1º orden con un filtro pasa alto de 1º orden, obtendremos un filtro pasa banda de 2º orden, de la misma forma, si conectamos filtros pasa bajo y pasa alto de 2º orden, obtendremos un filtro pasa banda de 4º orden.

8.1 FILTRO PASA BANDA DE 2° ORDEN Para obtener la respuesta de un filtro pasa banda de 2º orden, aplicaremos la transformación antes mencionada sobre la función de transferencia de un filtro pasa bajo de 1º orden.

A(( s ) =

A0 1  1 reemplazando s por . s +  1+ s ∆Ω  s

De esta manera obtenemos la función de transferencia de un filtro pasa banda de 2º orden.

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A( s ) =

A0 .∆Ω.s 1 + ∆Ω.s + s 2

Cuando diseñamos un filtro pasa banda,, los parámetros a tener en cuenta para el diseño son la ganancia en la frecuencia mitad (Am) y el factor de calidad Q, el que representa la selectividad del filtro pasa banda. banda. Por lo tanto, reemplazando en la ecuación anterior A0 por Am y ∆Ω por 1/Q obtenemos:

Am s Q A( s ) = 1 1+ s + s2 Q

8.1.1 .1.1 Topología Sallen-Key Sallen El circuito pasa banda, banda de topología Sallen-Key,, que se observa en la figura 29 tiene la siguiente función de transferencia:

A( s ) =

G.R.C.ω m .s 1 + R.C.ω m .(3 − G ).s + R 2 .C 2 .ω m2 .s 2

Figura 30.- Filtro pasa banda de topología Sallen-Key.

Si comparamos la función de transferencia anterior, con la función de transferencia general de un filtro pasa banda,, podemos obtener las siguientes ecuaciones:

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1 2.π .R.C

Frecuencia media:

fm =

Ganancia interna:

G = 1+

Ganancia en la frecuencia media:

Am =

R2 R1

G 3−G

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Q=

Factor de calidad:

1 3−G

La configuración Sallen-Key Sallen Key tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado a través de la ganancia interna (G) sin sin modificar la frecuencia media (fm). Como desventaja podemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Am no pueden ser ajustadas independientemente. Se debe tener cuidado cuando el valor de G se aproxima a 3, ya que la ganancia Am pasa a ser infinita, infinit lo que provoca que el circuito comience a oscilar. Para el diseño del filtro definimos la frecuencia media (fm) y el valor de C y a partir de estos valores calculamos el valor de R.

R=

1 2.π . f m .C

Debido a la dependencia entre Q y Am, existen dos os posibilidades para el cálculo de R2. Definir efinir el valor de la ganancia en la frecuencia media:

R2 =

2. Am − 1 1 + Am

R2 =

2.Q − 1 Q

O definir el valor de Q:

9.. DISEÑO DE UN FILTRO DE ELIMINACIÓN DE BANDA Un filtro de eliminación de banda o supresión supresión de banda puede implementarse conectando a un sumador or analógico un filtro pasa bajo con frecuencia de corte f1 y un filtro pasa alto con frecuencia de corte f2. Al igual que para un filtro pasa banda,, el diagrama de Bode de un filtro de eliminación de banda se puede hallar a partir de la respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajos bajo utilizando una adecuada transformación de frecuencia. Para este caso se reemplaza la variable normalizada sn por:

∆Ω 1 s+ s

Donde ∆Ω tiene la misma definición definici que para un filtro pasa banda,, referido aquí a la banda que suprime. Al igual que en el caso de un filtro pasa banda,, la transformación de frecuencia duplica el orden del filtro. Así, aplicando la transformación a un filtro pasa bajoss de 1º orden da por resultado la función de transferencia de un filtro supresor de banda que tiene la siguiente expresión:

A0 .(1 + s 2 ) A( s ) = 1 + ∆Ω.s + s 2 En este caso, el filtro pasa bajo es transformado en la mitad inferior de la banda suprimida del filtro y luego es espejado para formar la mitad superior de la banda suprimida, como se puede observar en la figura 31. 31

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Figura 31.- Transformación de un filtro pasa bajo en un filtro elimina banda.

Tomando la función de transferencia anterior y reemplazando ∆Ω por 1/Q nos queda:

A( s ) =

A0 .(1 + s 2 ) 1 1 + .s + s 2 Q

9.1 .1 FILTRO ELIMINA BANDA EN T PARALELO En la figura 32 se observa una red T pasiva cuyo factor de calidad Q = 0,25. Para incrementar el valor de Q, el filtro pasivo es implementado dentro del lazo de realimentación de un amplificador, convirtiéndose onvirtiéndose así en un filtro elimina banda activo, como se observa en la figura 33.

Figura 32.- Sección T pasiva.

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Figura 33.- Filtro elimina banda activo.

La función de transferencia transferen del circuito de la figura 32 es la siguiente:

A( s ) =

k .(1 + s 2 ) 1 + 2.(2 − k ).s + s 2

Si comparamos la función de transferencia anterior, con la función de transferencia general de un filtro elimina banda, podemos obtener las siguientes ecuaciones:

1 2.π .R.C

Frecuencia media:

fm =

Ganancia interna:

G = 1+

Ganancia en la frecuencia media:

A0 = G

Factor de calidad:

Q=

R2 R1

1 2.(2 − G )

La configuración anterior tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado a través de la ganancia interna (G) sin modificar la frecuencia frecuen media (fm). Como desventaja podemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Am no pueden ser ajustadas independientemente. Para el diseño del filtro definimos la frecuencia media (fm) y el valor de C y a partir de estos valores calculamos el valor lor de R.

R=

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1 2.π . f m .C

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Debido a la dependencia entre Q y Am, existen dos posibilidades para el cálculo de R2. Definir el valor de la ganancia en la frecuencia media:

R2 = ( A0 − 1) R1 O definir el valor de Q:

 1   R2 = R1 .1 −  2.Q 

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10.. TABLAS DE COEFICIENTES PARA LOS DIFERENTES FILTROS

Tabla 2.- Coeficientes de Butterworth.

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Tabla 3.- Coeficientes de Chebyshev hebyshev para 0,5 dB de ripple.

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Tabla 4.- Coeficientes de Chebyshev para 1 dB de ripple.

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Tabla 5.- Coeficientes de Chebyshev para 2 dB de ripple.

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Tabla 6.- Coeficientes de Chebyshev para 3 dB de ripple.

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Tabla 7.- Coeficientes de Bessel.

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