SISTEMAS LINEALES

TABLAS

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Propiedad

Señal

Transformada

ROC

x (t )

X(s)

R

x1 (t )

X1 (s )

R1

x 2 (t )

X 2 (s )

R2

ax1 ( t ) + bx 2 ( t )

aX1 (s) + bX 2 (s)

Al menos R1 ∩ R 2

Desplazamiento en el tiempo

x( t − t 0 )

e − st 0 X(s)

R

Desplazamiento en el dominio s

e s0 t x( t )

X( s − s 0 )

Versión desplazada de R ( es decir, s está en la ROC si s-s0 está en R)

Escalado en el tiempo

x( at )

1  s X  a  a

ROC escalada (es decir, s está en la ROC si s/a está en R)

Conjugación

x * (t )

X * s*

R

Convolución

x 1 ( t )∗ x 2 ( t )

X1 (s) X 2 (s)

Al menos R1 ∩ R 2

Diferenciación en el dominio del tiempo.

d x( t )

sX(s)

Al menos R

Diferenciación en el dominio s

−tx( t )

d X(s) ds

R

1 X(s) s

Al menos

Linealidad

Integración en el dominio del tiempo.

( )

dt

t

∫−∞

x( τ) dτ

R ∩ { Re{s} > 0}

Teoremas del valor inicial y final.

Si x (t ) = 0 para t < 0 y x (t ) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en t = 0 , entonces

( )

x 0+ = Lim sX(s ) x →∞

Lim x (t ) = Lim sX (s ) t →∞

s→0

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES SEÑAL

TRANSFORMADA

ROC

δ( t )

1

Todo s

u( t )

1 s

Re{s} > 0

− u( − t )

1 s

Re{s} < 0

t n−1 u( t ) ( n − 1) !

1

Re{s} > 0

t n−1 − u( − t ) ( n − 1) !

−

sn Re{s} < 0

1 s

n

e −αt u( t )

1 s+α

Re{s} > −α

− e − αt u( − t )

1 s+α

Re{s} < −α

t n−1 − αt e u( t ) ( n − 1) !

1

Re{s} > −α

t n−1 − αt e u( − t ) ( n − 1) !

(s + α ) n Re{s} < −α

1

(s + α )

n

δ( t − T)

e − sT

Para todo s

[ cosω 0 t ]u( t )

s

Re{s} > 0

[sen ω 0 t ]u( t )

[e

−αt

[e

−αt

]

cos ω 0 t u( t )

]

sen ω 0 t u( t )

s 2 + ω 20 Re{s} > 0

ω0 s 2 + ω 20 s+α

(s + α )

2

Re{s} > −α

+ ω 20

ω0

Re{s} > −α

(s + α) 2 + ω 20

d n δ(t ) u n (t ) = dt n

sn

Para todo s

u − n (t ) = u (t ) * " * u (t )   

1 sn

Re{s} > 0

n veces

PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER Propiedad Señal Periódica Coeficientes de la serie

x (t )  Periódicas de periodo T y y(t ) frecuencia fundamental ω0 = 2π T x (t ) T Obtención de coeficientes

=

∞

∑ a k e jkω t 0

ak bk

ak =

k = −∞

1 x (t )e − jkω0 t dt T ∫T

2 T2 x (t ) cos(kω0 t ) dt T ∫0

x(t) Señal par

ak =

x(t) Señal impar

ak = −

2j T 2 x (t ) sen (kω0 t ) dt T ∫0

A x (t ) + B y(t )

A a k +B b k

Desplazamiento en el tiempo

x (t − t 0 )

a k e − jkω0 t 0

Desplazamiento en frecuencia

x (t ) e jMω0 t

a k −M

Conjugación

x * (t )

a ∗− k

Inversión de tiempo

x (− t )

a −k

x (αt ), α > 0 (Periódica de periodo T/α)

ak

∫T x (τ) y(t − τ)dτ

T a k bk

Linealidad

Escalamiento en el tiempo Convolución periódica

x (t ) y (t )

Multiplicación

∞

∑ a p b k −p

p = −∞

dx (t ) dt

Diferenciación Integración

∫−∞ x (τ) dτ t

(de valor finito y periódica solo si a 0 = 0 )

Simetría conjugada para señales reales. Señal real y par Señal real e impar

x (t ) Señal real

jkω0 a k

1 ak jkω0 a k = a ∗− k  R e [a k ] = R e [a − k ]  I m [a k ] = − I m [a − k ] a = a −k  k ϕ [a k ] = −ϕ [a − k ]

x(t) real y par ak real y par x(t) real e impar ak imaginaria e impar Relación de Parseval para señales periódicas ∞ 1 2 2 Pm [x (t )] = ∫ x (t ) dt = ∑ a k T T k = −∞

COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS SEÑAL PERIÓDICA

x (t ) =

+∞

∑ a k e jkω t

COEFICIENTES

ak

0

k = −∞

x (t ) =e jω0 t

1 ∀ k = 1 ak =  0 ∀ k ≠ 1

cos ω0 t

a 1 = a −1 =

sen ω0 t

a 1 = −a −1 =

x (t ) = 1

a 0 = 1 ; a k = 0, ∀ k ≠ 0

x (t ) =

∞

∑ δ(t − nT )

ak =

n = −∞

1 T

1 ; a k = 0, ∀ k ≠ 1 2 1 ; a k = 0, ∀ k ≠ 1 2j

∀k

Onda cuadrada periódica x (t ) =

∞

 t − mT   τ 

∑ A ∏

m = −∞

(τ anchura del pulso)

ak = A

ó A, t < τ 2 x (t ) =  0, τ 2 < t < T 2

y x (t + T ) = x (t )

Onda triangular periódica x (t ) =

∞

 t − mT   τ 

∑ A ∆

m = −∞

sen (kω0 τ / 2) Aτ  kω τ  sin c  0  = T πk  2π 

(2τ anchura del pulso )

∞  t − mT  x (t ) = ∑ A ∏  ⋅cosω p t  τ  −∞

ak =

ak =

Aτ  kω τ  sin c 2  0  T  2π 

 kω + ωp    kω0 − ωp   Aτ Aτ τ τ + sin c  0 sin c  2T  2π    2π   2T

TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO PROPIEDADES Propiedad Señal Transformada de Fourier x(t) X(ω) y (t ) Y(ω)

x (t ) = Ecuaciones

Linealidad

∞

1 ∞ X(ω) e jωt dω ∫ − ∞ 2π

X(ω) = ∫ x (t ) e − jωt dt −∞

∞

x(t) Par

X(ω) = 2 ∫ x (t ) cosωt dt

x(t) Impar

X(ω) = −2 j∫ x (t ) senωt dt

0

∞

0

a X(ω) + b Y(ω)

Desplazamiento en el tiempo

a x(t) + b y(t) x(t-t0)

Desplazamiento en frecuencia

x (t ) e jω0 t

X(ω-ω0)

Conjugación Inversión de tiempo

x*(t) x(-t)

Escalado de tiempo y frecuencia Convolución

x(at)

X*(-ω) X(-ω) 1  ω X  a a

Multiplicación

x(t) y(t)

Diferenciación en el tiempo

d x (t ) dt

Integración

∫−∞ x (τ)dτ

1 X(ω) + πX(0 )δ(ω) jω

x(t) Señal real

X(ω) = X ∗ (− ω)  R e [X(ω)] = R e [X(− ω)]  I m [X(ω)] = − I m [X(− ω)]  X(ω) = X(− ω)  ϕ[X(ω)] = −ϕ[X(− ω)]

X(ω) e − jωt 0

x(t)∗y(t)

X(ω) Y(ω) 1 [ X( ω)∗ Y( ω) ] 2π jω X( ω)

t

Simetría conjugada para señales reales

Simetría para señales reales y pares

x(t) Señal real y par

Simetría para señales reales y pares

x(t) Señal real e impar

Descomposición par e impar de señales reales

[x(t ) real] x I (t ) = Im p{x (t )} [x (t ) real] x p (t ) = Par{x (t )}

 X( ω) = R [ X( ω) ] e  X( ω) = R e [ X( ω) ]  0 ϕ[ X( ω) ] =  ±π   X( ω) = I [ X( ω) ] m  X( ω) = j I m [ X( ω) ]  π ϕ[ X( ω) ] = ±  2

Re{X(ω)} j Im{X(ω)}

f ( t ) ↔ G( ω)

  DUALIDAD G( t ) ↔ 2π f ( −ω)  Relación de Parseval para señales no periódicas

E[x (t )] = ∫

∞

−∞

x (t ) dt = 2

1 ∞ 2 X(ω) dω ∫ − ∞ 2π

EJEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS SEÑAL TRANSFORMADA

x (t ) T = 0

∞

∑ a k e jkω t

2π

0

k = −∞

∞

∑ a k δ(ω − kω0 )

k = −∞

x(t) = A

2πA δ( ω)

x (t ) = Ae jω0 t

2π Aδ(ω − ω0 )

x(t) = A cos ω0 t

πA[δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω 0 )]

x(t) = A sen ω0 t

π A[δ(ω − ω0 )− δ(ω + ω0 )] j

Pulso rectangular t x( t ) = A ∏  τ 

(τ

anchura del pulso)

ó

X(ω) =

2A sen (ω τ 2)  ωτ  = Aτsin c  ω  2π 

A, t < τ 2 x (t ) =  0, t > τ 2 Pulso triangular

 t  x (t ) = A∆  (2τ anchura del pulso )  2τ  x (t ) =

∞

∑ δ(t − nT )

2π ∞  2πk  δ ω −  ∑ T −∞  T 

sen Wt πt

1, ω < W X(ω) =  0, ω > W

n = −∞

x (t ) =

 ωτ  X( ω) = Aτ sinc 2    2π 

x(t) = A δ(t)

A

x(t) = A δ(t-t0)

Ae − jωt 0

u(t)

1 + πδ(ω) jω

x (t ) = e − at u (t ),

Re{a} > 0

x (t ) = te − at u (t ), Re{a} > 0 t n −1 −at x (t ) = e u (t ), Re{a} > 0 (n − 1)!

1 a + jω 1

(a + jω)2 1

(a + jω)n

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA z Propiedad

Expresión

x[n ] x 1 [n ]

Señal

x 2 [n ] x[n]

Transformada z X(z ) X1 (z )

X 2 (z )

Escalado en el dominio z

∞

X(z ) =

∑ x[n ] z −n

Inversión en el tiempo Expansión en el tiempo

a x 1 [n ] + b x 2 [n ] x[n − n 0 ]

a X1 (z ) + b X 2 (z )

e jω0n x[n ]

X e − jω0 z

z 0n x[n ]

z − n 0 X(z )

(

X(z z 0 ) X a −1z

x[− n ]

X z −1

x[r ], n = rk x (k ) [n ] =  0, n ≠ rk

Convolución Primera diferencia Acumulación

x * [n ] x 1 [n ]* x 2 [n ] x[n ] − x[n − 1] n

∑ x[k ]

k = −∞

Diferenciación en el dominio z

nx[n ]

( )

(1 − z )X(z ) −1

)

d X(z ) dz Teorema del valor inicial Si x[n] = 0 para n < 0, entonces, x[0] = Lim X(z ) z →∞

supresión del origen

R z0R

es decir, el conjunto de

puntos z

X* z* X1 (z ) X 2 (z )

−z

R, excepto para la posible adición o

R

( )

(

Al menos la intersección de R1 y R2

R invertida (es decir, R-1= el conjunto de puntos z-1, donde z está en R 1k

X zk

X(z ) 1 − z −1

R

Versión escalada de R (es decir, |a|R = el conjunto de puntos{|a|z} para z en R

( )

para algún entero r

Conjugación

)

( )

a n x[n ]

R1 R2

k = −∞

Linealidad Desplazamiento en el tiempo

ROC R

1k

donde z está en R

R Al menos la intersección de R1 y R2 Al menos la intersección de R y |z|>0 Al menos la intersección de R y |z|>1

R

TABLA DE TRANSFORMADAS z FRECUENTES

Secuencia x[n]

Transformada z X(z)

ROC

δ[n ]

1

Todo z

δ[n − m]

z −m

Para todo z excepto 0 (si m > 0) o infinito (si m < 0)

u[n ]

1 1 − z −1

z >1

− u[− n − 1]

1 1 − z −1

z a

− a n u[− n − 1]

1 1 − az −1

z a

(1 − az )

−1 2

− na n u[− n − 1]

az −1

z 1

z −1senΩ 0

z >1

1 − 2z −1 cosΩ 0 + z −2

[sen (Ω 0 n )] u[n ]

1 − 2z −1 cosΩ 0 + z −2

[r

n

]

cos (Ω 0 n ) u[n ]

[r sen (Ω n )] u[n ] n

0

1 − [r cos Ω 0 ]z −1

1 − [2r cos Ω 0 ]z

−1

z >r 2 −2

+r z

[r sen Ω 0 ]z −1 1 − [2r cos Ω 0 ]z −1 + r 2 z −2

z >r

SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO Propiedad

Coeficiente

Señal periódica

x[n ]  Periódicas con periodo N y y[n ]

ak   Periódicas de periodo N bk 

frecuencia fundamental Ω0=2π/N

x[n ] =

Ecuaciones

∑ ake

jk 2Nπ n

k= N

A x 1 [n ] + Bx 2 [n ]

Linealidad Desplazamiento de tiempo

x[n ] e

− jk 2Nπ n 0

ake a k −M

jM 2Nπ n

x ∗ [n ] x[− n ]

Inversión en el tiempo Escalado en el tiempo

x[n m], n multiplo de m x (m ) [n ] =  0, resto de valores

Convolución periódica

a ∗− k a −k 1 a (vistas como periódicas de periodo m k

(periódica de periodo mN)

mN)

z[n ] = x[n ] ⊗ y[n ] =

N a k bk

x[n ] y[n ]

Multiplicación

1 − jk 2 π n x[n ]e N ∑ N n= N

Aa k + Bb k

x[ n − n0]

Desplazamiento en frecuencia Conjugación

ak =

∑ x[r ]y[n − r ]

r= N

∑ a r b k −r

r= N

x[n ] − x[n − 1]

Primera diferencia Suma consecutiva

n

(1 − e

− jk (2 π N )

)a

k

ak

∑ x[k ] (de valor finito y periódica sólo (1 − e − jk (2π N ) )

k = −∞ si a0=0)

a k = a ∗−k

Re[a k ] = Re[a −k ]

Simetría conjugada para señales reales.

x[n ] Re al

Señales reales y pares Señales reales e impares Descomposición par e impar de señales reales

x[ n] REAL y PAR x[ n] REAL e IMPAR x p [n ] = Par{x[n ]}

[x[n ] real] x I [n ] = Im par{x[n ]} [x[n ] real]

Im[a k ] = − Im[a −k ] a k = a −k

ϕ a k = −ϕ a − k ak real y par ak imaginaria e impar Re[a k ]

j Im[a k ] Relación de Parseval para señales periódicas 1 2 2 Pm = x[n ] = ∑ a k ∑ N n= N k= N

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS SEÑAL

∑ake

jk

COEFICIENTES

2π n N

ak

k= N

2πm N 1 , k = m, m ± N, m ± 2 N," ak =  0 , otro valor

(a ) Ω 0 = e jΩ0n

( b)

Ω0 irracional ⇒ señal aperiódica 2π

2πm N 1 / 2 , k = ± m, ± m ± N, ± m ± 2 N, " ak =  0 , otro valor

(a ) Ω 0 = cos Ω 0 n

( b)

Ω0 irracional ⇒ señal aperiódica 2π

2πm N 1 / 2 j , k = m, m ± N, m ± 2 N,"  a k =  − 1 / 2 j , k = − m, − m ± N , − m ± 2 N , " 0 , otro valor 

(a ) Ω 0 = sen Ω 0 n

( b)

1, k = 0, ± N, ± 2 N ak =  0, con otro valor

x[n ] = 1

x[n ] =

Ω0 irracional ⇒ señal aperiódica 2π

∞

∑ δ(n − kN )

ak =

k = −∞

Onda cuadrada periódica

1, n ≤ N 1 x[n ] =  0, N 1 < n ≤ N 2

y x[n + N ] = x[n ]

ak =

1 N

∀k

sen [(2πk N ) (N1 + 12 )]

, k ≠ 0, ± N, ± 2 N," N sen [(2πk 2 N ) ] 2 N1 + 1 ak = , k = 0, ± N, ± 2 N, " N

TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO Propiedad Señal Transformada x[n ] X(Ω )   Periódicas de periodo 2π y[n ] Y(Ω ) ∞ Ecuación 1 jΩn ( ) x[n ] = X Ω e d Ω ( ) X Ω = ∑ x[n ]e − jΩn 2π 2∫π n = −∞

Señal periódica

x[n ] =

∑ ake

jk 2Nπ n

(señal periódica, N)

k= N

∞

X(Ω ) = 2π ∑ a k δ(Ω − k 2Nπ ) k = −∞

1  2π  1 X k  = X(kΩ 0 ) N  N N

Señal periódica

x[n ] = x[n + N ] (señal periódica)

ak =

Linealidad

a x[n ] + b y[n ]

a X(Ω ) + b Y(Ω )

x[n − n 0 ]

X(Ω )e − jΩn 0

Desplazamiento en el tiempo Desplazamiento en frecuencia Conjugación

x[n ]e jΩ0n

X(Ω − Ω 0 )

x ∗ [n ]

Inversión en tiempo

x[− n ]

X ∗ (− Ω )

Expansión en tiempo

x[n k ], n multiplo de k x (k ) [n ] =  0, resto de valores

X(kΩ )

Convolución

x[n ] ∗ y[n ]

X(Ω ) ⋅ Y(Ω )

Multiplicación

x[ n] ⋅ y[ n]

Diferenciación en tiempo

x[n ] − x[n − 1]

1 X(θ)Y(Ω − θ)dθ 2π 2∫π

Acumulación

Diferenciación en frecuencia

X(− Ω )

(1 − e ) X(Ω) − jΩ

X(Ω )

n

∑ x[m]

m =−∞

1 − e − jΩ

nx[n ]

j

∞

+ πX(0) ∑ δ(Ω − 2πk )

dX(Ω ) dΩ

k = −∞

X(Ω ) = X ∗ (− Ω )

Re[X(Ω )] = Re[X(− Ω )]

Simetría conjugada para señales reales

x[n ] REAL

Im[X(Ω )] = − Im[X(− Ω )] X(Ω ) = X(− Ω )

ϕ X (Ω ) = − ϕ X ( − Ω )

Simetría para señales reales pares Simetría para señales reales impares Descomposición par e impar de señales reales

x[ n] REAL y PAR

X(Ω ) real y par

x[ n]

X(Ω ) imaginaria pura e impar

REAL e IMPAR

Re[X(Ω )] j Im[X(Ω )] Relación de Parseval para señales aperiódicas ∞ 1 2 2 X(Ω ) dΩ E = ∑ x[n ] = ∫ 2π 2 π n = −∞ x p [n ] = Par{x[n ]}

[x[n ] real] x I [n ] = Im par{x[n ]} [x[n ] real]

TF x[n ] ←→  X(Ω ) DUALIDAD  x[− n ] = a k [X (Ω )]

EJEMPLOS DE TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS SEÑAL

∑ake

jk

2π n N

COEFICIENTES ∞

k= N



∑ a k δ Ω −

2π

k = −∞

e jΩ0n

2πk   N 

∞

∑ δ(Ω − Ω 0 − 2πk )

2π

k = −∞

cos Ω 0 n

∞

∑ [δ(Ω − Ω 0 − 2πk ) + δ(Ω + Ω 0 − 2πk )]

π

k = −∞

π j

sen Ω 0 n x[n ] = 1

∞

∑ [δ(Ω − Ω 0 − 2πk ) − δ(Ω + Ω 0 − 2πk )]

k = −∞

2π

∞

∑ δ(Ω − 2πk )

k = −∞

x[n ] =

∞

∑ δ(n − kN )

k = −∞

a n u[n ] a < 1

2π N

∞



∑ δ Ω −

k = −∞

2πk   N 

1 1 − ae − jΩ

sen [Ω (N1 + 12 )]

1, n ≤ N1 x[n ] =  0, n > N1

sen (Ω 2 )

sen Wn W  Wn  = sin c   0