15 – Matem´aticas I : Preliminares

Tema 2

Matrices y sistemas lineales 2.1

Definiciones b´ asicas

Una matriz es una tabla rectangular de n´ umeros, es decir, una distribuci´on ordenada de n´ umeros. Los n´ umeros de la tabla se conocen con el nombre de elementos de la matriz. El tama˜ no de una matriz se describe especificando el n´ umero de filas y columnas que la forman. Si A es una matriz de m filas y n columnas, Am×n , se usar´a aij para denotar el elemento de la fila i y la columna j y, en general, se representar´ a por   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A = (aij ) 1≤i≤m = (aij )m×n =  . ..  . .. 1≤j≤n  .. . ··· .  am1 am2 · · · amn Dos matrices son iguales si tienen igual tama˜ no y los elementos correspondientes de ambas matrices iguales. Una matriz An×n (´o An ) se denomina matriz cuadrada de orden n y de los elementos de la forma a11 , a22 , . . . , ann se dice que forman la diagonal principal. De una matriz A1×n se dice que es una matriz fila y de una matriz Am×1 que es una matriz columna.

2.1.1

Operaciones con las matrices

Las matrices con las que trabajaremos habitualmente ser´an matrices reales, es decir que sus elementos sean n´ umeros reales. Sin embargo, los resultados y definiciones dados aqu´ı son igualmente v´alidos para el cuerpo de los complejos. Suma: Si A y B son dos matrices del mismo tama˜ no, m×n, la suma A + B es otra matriz de tama˜ no m×n donde el elemento ij de A + B se obtiene sumando el elemento ij de A con el elemento ij de B . Es decir, si A = (aij )m×n y B = (bij )m×n , entonces A + B = (aij + bij )m×n . El neutro de la suma es la matriz cero, 0, con todos sus elementos cero, y la matriz opuesta de A , se designa por −A , y es −A = (−aij )m×n . Producto por escalares: Si A es una matriz m×n y k ∈ IR un escalar, el producto kA es otra matriz del mismo tama˜ no donde cada elemento de A aparece multiplicado por k . Es decir, kA = (kaij )m×n . Evidentemente, −A = (−1)A y A − B = A + (−B). Producto de matrices: Si Am×n y Bn×p el producto AB es otra matriz de tama˜ no m × p tal que, el elemento eij de AB se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de A por el elemento correspondiente de la columna j de B . Es decir,   b1j n  X ¡ ¢  b2j  eij = FiA × CjB = ai1 ai2 · · · ain  .  = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj = aik bkj  ..  k=1 bnj A B (lo denotaremos por eAB ij = Fi × Cj cuando queramos significar la fila y columna que intervienen).

Observaci´on: La definici´on dada de producto de matrices requiere que el n´ umero de columnas de la primera matriz, A , sea igual que el n´ umero de filas de la segunda matriz, B , puesto que para el c´alculo de eij ha de haber tantos elementos en la fila i (n´ umero de columnas de A ) como en la columna j (n´ umero de filas de B ). En forma sin´optica con los tama˜ nos (m×n) · (n×p) = (m×p). Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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16 – Matem´aticas I : Preliminares

2.1 Definiciones b´ asicas

  b11 a11 a12 a13 a14  b21   a21 a22 a23 a24   b31 a31 a32 a33 a34 3×4 b41 

b12 b22 b32 b42

b13 b23 b33 b43

b14 b24 b34 b44

   b15 e11 e12 e13 e14 e15  b25  =  e21 e22 e23 e24 e25  b35  e31 e32 c33 e34 e35 3×5 b45 4×5

Nota: Cada elemento de la matriz producto puede obtenerse de manera independiente, por lo que no es necesario calcularlos todos si s´olo son necesarios unos pocos. As´ı: A B ? eAB ij = Fi · Cj .

? FiAB = FiA · B .

? CjAB = A · CjB .

? eABC = FiA · CjBC = FiA · B · CjC . ij  0 ··· 0 1 ··· 0   .. . . ..  , formada por ceros excepto en la diagonal principal que tiene . .  . 0 0 ··· 1 unos, de llama matriz identidad y es el neutro del producto de matrices (tomada del tama˜ no adecuado). Es decir, para toda Am×n se tiene que Im Am×n = Am×n y Am×n In = Am×n . 

1 0  La matriz cuadrada I = In =  .  ..

Propiedades 40.- Suponiendo tama˜ nos adecuados para que las operaciones sean posibles: a) A + B = B + A

(conmutativa de la suma).

b) A + (B + C) = (A + B) + C ; c) A(B + C) = AB + AC ;

A(BC) = (AB)C

(A + B)C = AC + BC

(asociativas de la suma y del producto). (distributivas por la izquierda y por la derecha).

d) a(B + C) = aB + aC ; ∀a ∈ IR . e) (a + b)C = aC + bC ; ∀a, b ∈ IR . f) a(BC) = (aB)C = B(aC) ; ∀a ∈ IR .

En general, NO es cierto que:

? AB = BA ? Si AB = 0 tengan que ser A = 0 ´o B = 0 ? Si AB = AC necesariamente sea B = C

µ

¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 0 1 3 7 −1 −1 0 0 0 17 Ejemplo 41 Con A = , B= y C= tenemos AB = 6= BA = , 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 es decir AB 6= BA y AB = 0 con A 6= 0 y B 6= 0. Adem´as AC = 0 = AB , pero B 6= C . 4

2.1.2

Matriz transpuesta

Definici´ on 42.- Si A es una matriz m×n llamamos matriz transpuesta de A a la matriz At de tama˜ no n×m que tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A. Es decir, el elemento ij de At coincide con el elemento ji de A.   ¶t µ a11 a21 a11 a12 a13 =  a12 a22  a21 a22 a23 a13 a23 Proposici´ on 43.- Se verifican las siguientes propiedades: 1.- (At )t = A. 4.- (AB)t = B t At

2.- (A + B)t = At + B t . y, en general,

3.- (kA)t = kAt .

(A1 A2 · · · An )t = Atn · · · At2 At1 .

Demostraci´on: t t t t A Las tres primeras son claras. Veamos la cuarta: eB = FiB × CjA = CiB × FjA = FjA × CiB = eAB ij ji . Luego B t At = (AB)t .

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17 – Matem´aticas I : Preliminares

2.2

2.2 Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Definici´ on 44.- Se denomina ecuaci´ on lineal de n variables (o inc´ognitas), xi , aquella ecuaci´on que puede expresarse en la forma: a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, donde los ai , b ∈ IR . Una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal es un conjunto ordenado de n´ umeros reales (s1 , s2 , . . . , sn ) , tales que a1 s1 + a2 s2 + · · · + an sn = b. Al conjunto de todas las soluciones de una ecuaci´on se le denomina conjunto soluci´ on de la ecuaci´on Nota: Una ecuaci´on lineal de 2 variables, ax + by = c , es una representaci´on anal´ıtica de una recta del plano XY , las soluciones de la ecuaci´on son cada uno de los puntos de la recta y el conjunto soluci´on es toda la recta, todos los puntos de la recta. En una ecuaci´on lineal no pueden aparecer productos, ni potencias, ni expresiones trigonom´etricas, . . . , de las variables. Definici´ on 45.- Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas a la reuni´on de m ecuaciones lineales sobre las mismas n inc´ognitas, y se escribe en la forma:  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. ..  . .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm Una n -upla (s1 , s2 , . . . , sn ) es soluci´ on del sistema si es soluci´on de todas y cada una de las ecuaciones. ½

x+y = 2 . El par (−7, 9) es la soluci´on del sistema, pues es soluci´on 2x + y = −5 de cada una de las 2 ecuaciones, es decir (ver la nota anterior), es el u ´nico punto com´ un a las dos rectas. De lo anterior es evidente que tambi´en un sistema puede no tener soluci´on (dos rectas paraleras no tienen puntos en com´ un) o infinitas (si las dos ecuaciones representan la misma recta). Ejemplo Consideremos el sistema

Si un sistema no tiene soluci´on, suele decirse que es incompatible; si existe soluci´on y es u ´nica compatible determinado y compatible indeterminado si tiene un conjunto infinito de soluciones. Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones lineales, tambi´en puede escribirse como AX = B donde A = (aij )m×n , X = (xi )n×1 y B = (bj )m×1 .      x1  b1 a11 a12 a13 · · · a1n  x2    b2   a21 a22 a23 · · · a2n     x3   AX =  = . =B   ··· ··· ··· ··· ···  .  ..    . am1 am2 am3 · · · amn  .  bm xn La matriz A se denomina matriz de los coeficientes, la matriz columna B se denomina matriz de los t´ erminos independientes y una S = (si )n×1 es soluci´on de sistema si verifica que AS = B . Ejemplo Para el sistema del ejemplo anterior ½ µ ¶µ ¶ µ ¶ x+y = 2 1 1 x 2 ←→ = ; 2x + y = −5 2 1 y −5

2.2.1

µ (−7, 9) es soluci´on, pues

1 1 2 1

¶µ

−7 9

¶

µ =

2 −5

¶ 4

Matrices elementales

Definici´ on 46.- Llamaremos operaci´ on elemental en las filas de las matrices, a las siguientes: a) Intercambiar la posici´on de dos filas. b) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero. c) Sumar a una fila un m´ ultiplo de otra fila. Definici´ on 47.- Se dice que una matriz cuadrada En×n es una matriz elemental si se obtiene de efectuar una sola operaci´on elemental sobre la matriz identidad In×n . Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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2.2 Sistemas de ecuaciones lineales

Teorema 48.- Si la matriz elemental Em×m resulta de efectuar cierta operaci´on elemental sobre las filas de Im y si Am×n es otra matriz, el producto EA es la matriz m×n que resulta de efectuar la misma operaci´on elemental sobre las filas de A . . Ejemplo Son matrices elementales las matrices     0 1 0 1 0 0 E1 =  1 0 0  , E2 =  0 2 0  0 0 1 0 0 1



y

 1 0 0 E3 =  0 1 0  , 3 0 1

que se obtienen de I3 , intercambiando la primera con la segunda fila ( F1 ↔ F2 ), multiplicando la segunda fila por 2 (2F2 ) y sumando a la tercera fila la primera fila multiplicada por 3 ( F3 + 3F1 ), respectivamente. Y si A = (aij )3×4 , se tiene     a21 a22 a23 a24 a11 a12 a13 a14 E1 A =  a11 a12 a13 a14  , E2 A =  2a21 2a22 2a23 2a24  y a31 a32 a33 a34 a31 a32 a33 a34   a11 a12 a13 a14 . a21 a22 a23 a24 E3 A =  4 a31 +3a11 a32 +3a12 a33 +3a13 a34 +3a14 Observaci´ on 49.- Es claro, que una vez realizada una operaci´on elemental puede deshacerse mediante otra operaci´on elemental: as´ı, si intercambiamos la fila i con la fila j , la operaci´on elemental que lo deshace es intercambiar de nuevo la fila i con la fila j ; si multiplicamos la fila i por k 6= 0 se deshace multiplic´andola de nuevo por k1 y si sumamos a la fila i la fila j multiplicada por k lo deshacemos restando a la fila i la fila j multiplicada por k (sumando la fila j multiplicada por −k ). Denotando por E1∗ , E2∗ y E1∗ a las matrices elementales que deshacen las operaciones elementales dadas por las matrices elementales E1 , E2 y E3 del ejemplo anterior, tenemos que       1 0 0 0 1 0 1 0 0 E2∗ =  0 21 0  y E3∗ =  0 1 0  . E1∗ =  1 0 0  = E1 , 0 0 1 −3 0 1 0 0 1 Entonces, si E ∗ es la matriz elemental que deshace la operaci´on realizada por E , se tiene que E ∗ (EA) = A. Teorema 50.- Si E es una matriz elemental, los sistemas AX = B y (EA)X = EB tienen las mismas soluciones. Demostraci´on: En efecto, si S es soluci´on del primer sistema, AS = B , luego (EA)S = E(AS) = EB y S es tambi´en soluci´on del segundo. Y viceversa, si (EA)S = EB y E ∗ es la matriz elemental que deshace E , multiplicando en la igualdad, se tiene: E ∗ (EA)S = E ∗ EB =⇒ AS = B .

2.2.2

M´ etodo de Gauss

El resultado anterior asegura que haciendo sobre el sistema AX = B u ´nicamente operaciones elementales llegamos a un sistema con las mismas soluciones (sistema equivalente). La b´ usqueda sistem´atica de un sistema equivalente que proporcione las soluciones de manera sencilla se conoce con el nombre de m´ etodo de Gauss: Mediante operaciones elementales, se hacen ceros en la matriz de coeficientes del sistema, para obtener una matriz escalonada, con ceros por debajo de la “escalera”. Esta matriz escalonada debe cumplir: 1.- Si una fila consta u ´nicamente de ceros debe ir en la parte inferior de la matriz. 2.- Si dos filas seguidas no constan solo de ceros, el primer elemento distinto de cero de la fila inferior debe encontrarse m´as a la derecha que el primer elemento distinto de cero de la fila superior. El primer elemento distinto de cero de cada fila lo llamaremos elemento principal y las inc´ognitas correspondientes a estos elementos inc´ ognitas principales. (Los elementos principales “marcan” la escalera.) Definici´ on.- En un sistema lineal AX = B , se llama matriz ampliada del sistema a la matriz (A|B) formada a˜ nadiendo a la matriz de coeficientes A la matriz columna de los t´erminos independientes B .

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2.2 Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 51 5x3 + 10x4 + 15x6 = 5 x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0 2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1 2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6

      

Para aplicar sobre este sistema el m´etodo de Gauss, debemos hacer operaciones elementales sobre la matriz A de los coeficientes y, las mismas operaciones sobre B para que se mantenga la equivalencia (Teorema 50). Luego apliquemos el m´etodo a la matriz ampliada del sistema (A|B):   5 0 0 5 10 0 15  1 3 −2 0 2 0 0   (A|B) =   2 6 −5 −2 4 −3 −1  Por la operaci´on (a) cambiamos la fila 1 por la fila 2 (F1 ↔ F2 ) 2 6 0 8 4 18 6   0 1 3 −2 0 2 0  0 0 5 10 0 15 5     2 6 −5 −2 4 −3 −1  Por (b) hacemos cero el 2 de F3 (F3 − 2F1 ) y el de F4 (F4 − 2F1 ) 2 6 0 8 4 18 6   1 3 −2 0 2 0 0  0 0 5 10 0 15 5  1    0 0 −1 −2 0 −3 −1  Hacemos 40 el −1 de F3 (F3 + 5 F2 ) y el 4 de F4 (F4 − 5 F2 ) 0 0 4 8 0 18 6   1 3 −2 0 2 0 0  0 0 5 10 0 15 5    Cambiamos F3 por F4 (F3 ↔ F4 )  0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 6 2   1 3 −2 0 2 0 0  0 0 5 10 0 15 5    Esta matriz es escalonada, y nos proporciona  0 0 0 0 0 6 2  el sistema equivalente 0 0 0 0 0 0 0   x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0     x1 = −3x2 + 2x3 − 2x5 5x3 + 10x4 + 15x6 = 5 x3 = 5−10x54 −15x6 =⇒ 6x6 = 2    x6 = 26  0=0 cuyas soluciones se encuentran f´acilmente sustituyendo de abajo hacia arriba, obteni´endose: x6 = 31 , x3 = −2x4 , x1 = −3x2 − 4x4 − 2x5 , donde x2 , x4 y x5 pueden tomar cualquier valor. Es decir, todas las soluciones son: (−3x2 − 4x4 − 2x5 , x2 , −2x4 , x4 , x5 , 13 ) para cualquiera valores de x2 , x4 y x5 . 4 Si el u ´ltimo elemento principal est´a en la columna ampliada, el sistema no tiene soluci´on: claramente una de las ecuaciones equivalentes ser´a 0x1 + · · · + 0xn = k (con k 6= 0 por ser un elemento principal de la ampliada) y esta igualdad no se cumple para ning´ un valor posible de las inc´ognitas. Nota: Si el sistema tiene soluci´on, por ser los elementos principales no nulos se garantiza que las inc´ognitas principales pueden despejarse; como valor concreto o en funci´on de las inc´ognitas no principales. Cuando el sistema tiene soluci´on, pueden despejarse tantas inc´ognitas como elementos principales haya. Luego ? Si el n´ umero de elementos principales es menor que el n´ umero de inc´ognitas el sistema tiene infinitas soluciones. (Las soluciones quedan en funci´on de las inc´ognitas no despejadas. Ver ejemplo 51.) ? Si el n´ umero de elementos principales es igual al n´ umero de inc´ognitas el sistema tiene soluci´on u ´nica. 2.2.2.1

Sistemas homog´ eneos

Definici´ on 52.- Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homog´ eneo si tiene todos los t´erminos independientes cero; es decir, un sistema de la forma AX = 0. Un sistema homog´eneo siempre tiene soluci´on pues X = 0 es una soluci´on del sistema. A esta soluci´on suele llamarse la soluci´on trivial y de cualquier otra soluci´on distinta de ´esta se dice soluci´on no trivial.

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2.2.3

2.2 Sistemas de ecuaciones lineales

M´ etodo de Gauss-Jordan

El m´etodo de Gauss-Jordan contin´ ua el m´etodo de Gauss, haciendo operaciones elementales para conseguir una matriz escalonada reducida: los elementos principales son 1 y en las columnas de dichos unos todos los dem´as elementos son cero; es decir, despeja las inc´ognitas principales. Ejemplo 53 Continuando con el sistema del ejemplo 51 (quitada la fila de ceros, que no interviene):   1 3 −2 0 2 0 0  0 0 5 10 0 15 5  Hacemos 1 los elementos principales multiplicando 1 F2 y 1 F3 5 6 0 0 0 0 0 6 2   1 3 −2 0 2 0 0    0 0 1 2 0 3 1  hay que hacer cero el 3 de F2 y C6 (a26 ): F2 − 3F3 0 0 0 0 0 1 13   1 3 −2 0 2 0 0    0 0 1 2 0 0 0  hay que hacer cero el −2 de F1 y C3 (a13 ): F1 + 2F2 0 0 0 0 0 1 13    1 3 0 4 2 0 0  x1 = −3x2 − 4x4 − 2x5   x3 = −2x4  0 0 1 2 0 0 0  luego  1 x6 = 13 0 0 0 0 0 1 3 obteni´endose, naturalmente, las mismas soluciones que antes.

4

a

Definici´ on 54 (1 definici´ on del rango).- Se llama rango de una matriz A y se denota por rg(A) al n´ umero de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas escalonadas de la matriz A. Nota: La definici´on es consistente (el rango no depende de la matriz escalonada usada), pues cada matriz escalonada obtenida de A se corresponde con un sistema lineal equivalente, con la mismas soluciones, luego se pueden despejar el mismo n´ umero de inc´ognitas en cualquiera de ellos; por lo que todas las escalonadas tienen el mismo n´ umero de filas no nulas. Teorema de Rouch´ e 55.- Sea el sistema AX = B , sistema de m ecuaciones con n inc´ognitas. Entonces AX = B tiene soluci´on si, y s´olo si, rg(A) = rg(A|B). Si rg(A) = rg(A|B) = r , toda soluci´on puede expresarse en la forma X = V0 +t1 V1 +t2 V2 +· · ·+tn−r Vn−r , con V0 una soluci´on particular de AX = B y las n-´ uplas V1 , . . . , Vn−r soluciones del homog´eneo AX = 0 . . Resumiendo: Si rg(A) = r , entonces: ½ ? rg(A) = rg(A|B) =⇒ Sist. Compatible (con sol.)

r = n → Soluci´on u ´nica. r < n → Infinitas soluciones.

? rg(A) 6= rg(A|B) =⇒ Sist. Incompatible (no tiene soluci´on). Ejemplo todo x2 , x4    x1  x2       x3       x4  =      x5   x6

Tomemos la solucion obtenida en el ejemplo 51: (−3x2 − 4x4 − 2x5 , x2 , −2x4 , x4 , x5 , 31 ), para y x5 . Podemos escribirla en la forma          0 0 − 3x2 − 4x4 − 2x5 −3 −4 −2    1   0   0  0 + x2 + 0x4 + 0x5   0               0  0 + 0x2 − 2x4 + 0x5   0  0  −2      = V0 + t1 V1 + t2 V2 + t3 V3 = + x + x + x 2 4 5      0 + 0x2 + x4 + 0x5   0  0   1   0          0 0 + 0x2 + 0x4 + x5 0 0 1  1 1 0 0 0 3 + 0x2 + 0x4 + 0x5 3

y X = V0 + t1 V1 + t2 V2 + t3 V3 es solucion para todo t1 , t2 y t3 . Entonces, para t1 = t2 = t3 = 0 , X = V0 es soluci´on del sistema luego AV0 = B ; para t1 = 1 y t2 = t3 = 0 , X = V0 + V1 es soluci´on del sistema, luego B = A(V0 + V1 ) = AV0 + AV1 = B + AV1 de donde AV1 = 0 por lo que V1 es soluci´on del sistema homog´eneo AX = 0 ; y an´alogamente para V2 y V3 .

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2.3

2.3 Matrices cuadradas

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada A se dice triangular superior, si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos, es decir: aij = 0 , para cualquier ij tal que i > j . Una matriz cuadrada A se dice triangular inferior, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos, es decir, aij = 0, para cualquier ij tal que i < j . Una matriz cuadrada A se dice que es diagonal, si es triangular superior e inferior, es decir, si son cero todos los elementos que no est´an en la diagonal principal. Una matriz cuadrada A se dice sim´ etrica si A = At , es decir, si aij = aji para todo ij ; y se dice t antisim´ etrica si A = −A , es decir si aij = −aji para todo ij .

2.3.1

Matrices inversibles

Definici´ on 56.- Si A es una matriz cuadrada de orden n , An×n , y existe Bn×n tal que AB = BA = I se dice que A es inversible y que B es inversa de A. Nota: Es claro de la definici´on que tambi´en B es inversible y A una inversa de B . Por definici´on, se ha de verificar que AB = I y tambi´en que BA = I ; sin embargo es suficiente con que se verifique una de ellas para que la otra tambi´en se verifique (se ver´a en el Corolario 65). Proposici´ on 57.- Si una matriz cuadrada A tiene inversa, esta es u ´nica. Y la denotaremos por A−1 . Demostraci´on: Supongamos que B y C son inversas de A. Al ser B inversa de A es I = AB , multiplicando a esta igualdad por C y teniendo en cuenta que C es inversa de A obtenemos que C = C(AB) = (CA)B = IB = B . Recordando los comentarios hechos en la Observaci´on 49, es claro el siguiente resultado para matrices elementales. Proposici´ on 58.- Las matrices elementales son inversibles y sus inversas son tambi´en elementales: ? De intercambiar dos filas, intercambiarlas de nuevo. ? De multiplicar una fila por k 6= 0, multiplicar esa fila por 1/k . ? De sumar a una fila un m´ ultiplo de otra, restar a esa fila el m´ ultiplo sumado. Teorema 59.- Si A y B son dos matrices inversibles, entonces AB es inversible y (AB)−1 = B −1 A−1 . −1 −1 En general, (A1 A2 · · · Ak )−1 = A−1 k · · · A2 A1 .

Demostraci´on: Basta comprobar que es cierto:

½

(AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIA−1 = AA−1 = I (B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 IB = B −1 B = I.

La generalizaci´on es inmediata. Propiedades 60.1.- (A−1 )−1 = A .

2.- (An )−1 = (A−1 )n .

3.- (kA)−1 = k1 A−1 .

Definici´ on 61.- Una matriz cuadrada, A , se dice ortogonal si A−1 = At . Teorema 62.- Sea A una matriz cuadrada de orden n . Son equivalentes: a) A es inversible. b) El sistema AX = B tiene soluci´on u ´nica para todo Bn×1 . c) El sistema homog´eneo AX = 0 tiene soluci´on u ´nica. d) Por operaciones elementales en A puede llegarse a la identidad. Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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22 – Matem´aticas I : Preliminares

2.3 Matrices cuadradas

Demostraci´on: a) ⇒b) A es inversible, luego existe A−1 . Si se multiplica por A−1 en la igualdad AX = B se tiene que A−1 AX = A−1 B , luego X = A−1 B es la soluci´on del sistema y es la u ´nica. b)⇒ c) Es un caso particular. c) ⇒d) Como la soluci´on del sistema AX = 0 es u ´nica, al aplicar el m´etodo de Gauss-Jordan a la matriz A la escalonada reducida tiene que ser, necesariamente I (ver observaci´on 63 siguiente). d)⇒ a) Si existen matrices elementales tales que Ek · · · E2 E1 A = I , multiplicando sucesivamente en la igualdad por sus inversas, se obtiene A = E1−1 E2−1 · · · Ek−1 I como producto de matrices inversibles y, por tanto, es inversible. Adem´as, A−1 = Ek · · · E2 E1 . Observaci´ on 63.- Para una matriz cuadrada, cualquier matriz escalonada obtenida de ella es triangular superior (tiene ceros por debajo de la diagonal), pues el elemento principal de la fila 1 est´a en la posici´on 11 o m´as a la derecha, luego el elemento principal de la fila 2 est´a en la posici´on 22 o m´as a la derecha, y en general el elemento principal de la fila i est´a en la posici´on ii o m´as a la derecha. Luego para toda fila i , los elementos aij con j < i son cero, que es la caracterizaci´on de matriz triangular superior. As´ı pues, una matriz escalonada cuadrada, o tiene elemento principal en cada fila (y en consecuencia est´an todos en la diagonal principal de la matriz) o tiene al menos una fila de ceros. En particular, si llevamos la matriz cuadrada a la forma de matriz escalonada reducida, esta escalonada reducida o es la matriz identidad o tiene al menos una fila de ceros. Corolario 64.- Una matriz An×n , es inversible ⇐⇒ rg(A) = n Corolario 65.- Sea A una matriz cuadrada. Entonces a) Si existe B tal que BA = I , entonces A es inversible y B = A−1 . b) Si existe B tal que AB = I , entonces A es inversible y B = A−1 . Demostraci´on: Si BA = I , consideremos el sistema AX = 0. Multiplicando por B en ambos lados se tiene que BAX = B0 = 0 , pero al ser BA = I , X = 0 es la u ´nica soluci´on del sistema y, por tanto, A es inversible. Entonces, A−1 = IA−1 = BAA−1 = B . Analogamente, en b). Corolario 66 (C´ alculo de A−1 por el m´ etodo de Gauss-Jordan).- Si A es inversible, existen matrices elementales tales que Ek · · · E2 E1 A = I y A−1 = Ek · · · E2 E1 . Luego haciendo en I las mismas operaciones elementales que efectuemos sobre A para llegar a la identidad se tendr´a que: (A|I) −→ (E1 A|E1 I) −→ (E2 E1 A|E2 E1 I) −→ · · · −→ (Ek · · · E1 A|Ek · · · E1 I) = (I|A−1 ) 

 1 0 −2 Ejemplo Sea la matriz A =  0 2 1  . Encontremos A−1 : 1 1 −1      1 0 −2 1 0 0 1 0 1 0 −2 1 0 0 F3 −F1 F2 −F3 (A|I) =  0 2 1 0 1 0  −→  0 2 1 0 1 0  −→  0 1 1 1 −1 0 0 1 0 1 1 −1 0 1 0 1    1 0 −2 1 0 0 F3 −F2 F1 +2F3 −→  0 1 0 1 1 −1  −→  0 0 1 −2 −1 2

 −2 1 0 0 F3 −F2 0 1 1 −1  −→ 1 −1 0 1  1 0 0 −3 −2 4 0 1 0 1 1 −1  = (I|A−1 ) 0 0 1 −2 −1 2 4

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23 – Matem´aticas I : Preliminares

2.4

2.4 Ejercicios

Ejercicios

2.26 Sean las matrices   3 0 A =  −1 2  1 1

µ B=

4 −1 0 2

¶

µ C=

1 4 2 3 1 5

¶



 1 5 2 D =  −1 0 1  3 2 4



 6 1 3 E =  −1 1 2  4 1 3

a) Calcular cuando se pueda: 3C − D , (AB)C , A(BC), ED , DE , (4B)C + CA y CA + B 2 . Indicar porqu´e no es posible en los otros casos. b) Calcular, haciendo el menor n´ umero de operaciones posible, la fila 1 de CA , la columna 2 de CD y los elementos 23 y 12 de la matriz CDE . c) Hallar para cada una de ellas una matriz escalonada e indicar cual es su rango.   1 2 3 2.27 Encontrar las matrices elementales que llevan la matriz A =  0 1 2  a una matriz escalonada. 1 0 3  x + 2y − z − t = 0  x + z − t = −2 2.28 Considerar el sistema (1)  −x + 2y − 3z + t = 4 a) ¿(−2, 2, 2, 0) y (1, 0, −1, 2) son soluci´on del sistema (1)? b) Encontar todas las soluciones de (1) ¾ x − y + z − t = −3 c) Encontar todas las soluciones del sistema (2) x + 6y − 5z − t = 4 d) ¿Cu´ales de las soluciones de (1) son tambi´en soluci´on de (2)? ¿Tiene (2) alguna soluci´on que no lo sea de (1)? 2.29 Estudiar cada uno de los siguientes sistemas:  

a)

x + 2y − z = 2 2x + y + z = −1  3x + 3y + 2z = −1

x+y+z 2x + 3z 3x + y + 4z 5x + y + 7z

b)

= = = =

3 4 7 9

      

c)

 x + 2y − z + t = 0  −x + 4y − 5z + 7t = 2  2x + y + z − 2t = −1

Si existe soluci´on, expresarla en la forma descrita por el Teorema de Rouch´e.     µ ¶ 1 4 8 6 −6 2 0 0  −2 3  P 2.30 Hallar una matriz P tal que: =  6 −1 1  . 0 1 −1 1 −2 −4 0 0     1 5 2 1 2 −2    −1 0 1 −2 3 −3  . 2.31 Considerar las matrices A = y B= 3 2 4 1 −1 1 a) Hallar todas las matrices columna X3×1 que verifican la igualdad ABX = BAX . b) ¿Los sistemas BX = 0 y B t X = 0 tienen las mismas soluciones? Justificar la respuesta. 2.32 Hallar los valores de los coeficientes de las descomposiciones en fraciones simples del ejercicio 1.25 de polinomios: a)

X 2 +1 X 4 −6X 3 −16X 2 +54X+63

b)

X−5 (X−1)(X 3 −1)

c)

X+5 2X 4 −X 3 −4X 2 +10X−4

d)

X 2 +2 X 5 +7X 4 +16X 3 +8X 2 −16X−16

e)

X 3 −3X 2 +X−3 X 5 +3X 4 +3X 3 +3X 2 +2X

f)

X 5 +3X 4 +3X 3 +3X 2 +2X (X 3 −3X 2 +X−3)3

2.33 Estudiar cada uno de los sistemas siguientes, seg´ un los valores de los par´amentros:   x + 2y − z = a   x + 2y + 4z = 1 2x + y + z = 1 − a x + 2y + 2az = 2 a) b)   3x + (1 + a)y + az = 1 − a ax + 4y + 4az = 4a   5x − (a + b)y + 7z =    x+y+z = a−3  2x − ay + 3z = ax + y = 0 c) d) x+y+z =    ax + y + az = 0  3x − 3y + 4z =

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8+b 4 3 7 I.T.I. en Electricidad

24 – Matem´aticas I : Preliminares

2.4 Ejercicios

2.34 Usar el m´etodo de Gauss para saber cuales de las siguientes matrices tienen inversa y calcularlas: 



1 1 3 a)  3 4 1  −1 −1 −1







8 6 −6 b)  6 −1 1  −4 0 0

c)

1  −2   3 −4

−2 3 4 −3

3 4 −3 2

 −4 −3   2  −1



0 0 d)  1 2

0 1 1 1

1 1 1 0

 2 1  0 0

2.35 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada columna es cero. Probar que rg(A) < n . ¿Es A una matriz inversible? 2.36 Probar que si A es una matriz cuadrada, la matriz A+At es sim´etrica y la matriz A−At es antisim´etrica. Probar que en una matriz cuadrada antisim´etrica la diagonal principal est´a formada u ´nicamente por ceros.   1 2 3 2.37 Sea A =  0 1 2  . 1 0 −1 a) Encontar todas las matrices B3×3 tales que AB = 0. ¿Qu´e relaci´on tienen estas matrices con las soluciones del sistema AX = 0? b) Encontar todas las matrices C3×3 tales que CA = 0. c) Encontar todas las matrices D3×3 tales que AD − DA = 0 . 2.38 Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = 0. Demostrar que si B 6= 0, entonces A no es inversible. 2.39 Sean A y B dos matrices de igual tama˜ no. Probar que si existe C inversible tal que AC = BC entonces A = B. 2.40 Sea A una matriz cuadrada y E una matriz elemental. Probar que AE t realiza sobre las columnas de A la misma operaci´on elemental que hace EA sobre las filas de A .

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