SOLUCIONARIO

SCUACAC037MT22-A16V1

Ángulos en la circunferencia

1

TABLA DE CORRECCIÓN Ítem Alternativa 1

B

Habilidad Aplicación

2

E

Comprensión

3

B

Aplicación

4

B

Aplicación

5

D

Aplicación

6

C

Aplicación

7

E

Aplicación

8

A

Aplicación

9

A

Aplicación

10

B

Aplicación

11

C

Aplicación

12

C

Aplicación

13

B

Aplicación

14

E

Aplicación

15

A

Aplicación

16

D

Aplicación

17

B

Aplicación

18

D

Comprensión

19

D

Aplicación

20

C

Aplicación

21

A

Aplicación

22

B

Aplicación

23

B

Aplicación

24

A

ASE

25

C

ASE

2

1. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

El perímetro de una circunferencia de radio 6 cm es 2·π·6 = 12π cm. El perímetro de un cuadrado es igual al cuádruple de su lado. Entonces, si un cuadrado tiene el mismo perímetro de la circunferencia (12π cm), la medida de su lado es 3π cm. La diagonal de un cuadrado es lado· 2 . Luego, la diagonal del cuadrado mide 3π 2 cm.

2. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Comprensión

Si el radio inicial es r, al aumentar al doble el radio final es 2r. Luego: I)

Verdadera, ya que el diámetro final (4r) es el 200% del diámetro inicial (2r).

II) Verdadera, ya que el perímetro final (4πr) es el doble del perímetro inicial (2πr). III) Verdadera, ya que el área final (4πr²) es el cuádruple del área inicial (πr²). Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.

3. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Como AO = 8 cm, entonces AO´= 4 cm. Luego, el área del círculo mayor es π∙82 = 64π cm² y el área del círculo menor es π∙42 = 16π cm². El área achurada equivale a la diferencia entre las áreas de los círculos. Por lo tanto, el área achurada mide (64π – 16π) = 48π cm2.

3

4. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

La longitud de un arco de circunferencia de ángulo del centro α se calcula como: 2  π  radio  α Arco  360º Por lo tanto, la longitud del arco AB mide

2  π  8  60 360º

 16 π 

60 1 8π cm.  16 π   360º 6 3

5. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

El triángulo ABC tiene tres lados iguales, o sea es equilátero. Por lo tanto, cada uno de sus ángulos interiores mide 60°. El área achurada se puede obtener como la diferencia entre el área del triángulo ABC y el área de los tres sectores circulares.

C 1 60 1

El área del triángulo equilátero se calcula como (lado) 2  3 2 2  3  3 Área   4 4

1

60

A

1

El área del sector circular de ángulo de centro α se calcula como Área 

π  12  60 60 π Por lo tanto, el área de cada sector es Área   π  360º 6 360º Por lo tanto, el área achurada mide Área triángulo – 3 · Área sector circular =

3 – 3·

4

1

π  π =  3   cm2. 6 2 

60 1

B

π  (radio) 2  α 360º

6. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

El perímetro de la circunferencia se calcula como 2π∙radio. Si el perímetro de la circunferencia de la figura es 4π, entonces su radio mide 2 cm.

A

2

4

E

2

O

B

4

Luego, el largo del rectángulo EBCF mide 4 cm y su ancho mide 2 cm. D

2

2

Por lo tanto, el área del rectángulo mide (4·2) = 8 cm .

F

2

C

7. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Si el ángulo BOA = 100°, entonces el ángulo AOC mide 80º. Como es un ángulo del centro y subtiende el mismo arco que el ángulo inscrito ABC, entonces ABC = 40º.

B

A

40°

40° 100° 80°

O

C

8. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Si Arco AB = Arco BC = Arco CA = x, entonces 3x = 360º x = 120º Como  es ángulo inscrito, entonces mide la mitad del arco AB. Luego, si AB = 120º, 60 entonces  = 60º. Por lo tanto, la cuarta parte de  es = 15º 4

5

9. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Si el triángulo OBC es equilátero, entonces el ángulo BOC mide 60º y el arco BC = 60°. Como el ángulo BAC es inscrito, mide la mitad del ángulo BOC (o la mitad del arco BC), entonces BAC = 30º. Por lo tanto, el 10% del ángulo BAC es el 10% de 30º, es decir, 3º.

10. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

El arco BC tiene la misma medida del ángulo central BOC, que mide 140º por ser adyacente al ángulo AOB.

11. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Si AD es diámetro entonces x + 2x + 3x = 6x = 180º  x = 30º Luego, como el Arco BA= 3x, entonces Arco BA = 3(30°)= 90º.

12. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

La suma de todos los arcos es 360°, luego  + 2 + 4 + 8 = 15 = 360º   = 24º Entonces, COB = 2 = 48º

6

13. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Como los arcos son congruentes, entonces Arco AB =

360º = 72º. Como  es ángulo del 5

centro y subtiende el arco AB, entonces  = 72º. Por otro lado, el ángulo  mide la mitad de , ya que es inscrito y subtienden el mismo 72º arcoAB. Entonces,  = = 36º. 2

14. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Si el arco AB mide 30º, el ángulo de centro AOB mide 30° y su opuesto por el vértice, DOC, también mide 30º, por lo tanto el arco DC mide 30º. El ángulo DBC, por ser inscrito, mide la mitad del arco DC, entonces DBC = 15º.

15. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

La suma de los arcos AB, BC, CD y DA es 360º, entonces: 







AB + BC + CD + DA = 360º

(Reemplazando)



90º + 100º + 110º + DA = 360º 

DA = 360º – 300º 

DA = 60º El ángulo DCA es inscrito y subtiende el arco DA, entonces DCA = 30º

7

16. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

α = β = 30°, por ser ángulos inscritos que subtienden arcos iguales. Luego,  +  = 60º  el quíntuple es 5(+ ) = 300º.

17. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Si AB es diámetro, al sumar los arcos de la figura resulta: (3x – 10°) + (2x + 40°) + (7x + 30°) = 180° 12x + 60° = 180° 12x = 120° x = 10º Luego, el ángulo menor es  = 3x – 10 = 3∙10 – 10° = 20º

18. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Comprensión

Como el heptágono es regular, sus lados y ángulos interiores son de igual medida, entonces 360º cada uno de los siete arcos que determina mide . 7 Por lo tanto, AOB =

360º . 7

8

19. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Como HPI es ángulo interior, entonces se cumple que arco HI  arco FG HPI = (Reemplazando) 2 2  60    15 120º = (Despejando) 2 240° = 3 – 45° 285° = 3 95° =  Por lo tanto, la medida del arco FG es ( + 15°) = (95° + 15°) = 110°.

20. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Como PR es diámetro de la circunferencia, el arco RP mide 180°, y como el arco SP mide 130°, entonces el arco RS mide 50°. Además, como arco QS = arco SP = 130°, entonces el arco QR mide 80°, lo que implica que el arco PQ mide 100°. Por otro lado,  es ángulo interior. Por lo tanto, la medida de  es Arco PQ  ArcoRS 100  50 150  = = 75°   2 2 2

9

21. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

La medida de un ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos que subtiende. Luego: Arco CD  Arco EB CAD = (Reemplazando) 2 β  Arco EB 10° = (Despejando) 2 20° =  – Arco EB Arco EB =  – 20° Por lo tanto, la medida del arco EB siempre se puede expresar como  – 20°.

22. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Como TSOR es un rombo, entonces STR = ROS = . Dado que el ROS es un ángulo del centro, entonces Arco RS = ROS = . La medida de un ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos que subtiende. Luego: Arco PQ  Arco RS STR = (Reemplazando) 2 144    = (Despejando) 2 2 = 144° –  3 = 144°  = 48° Por lo tanto, la medida de  es 48°.

10

23. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad I)

Circunferencia Aplicación

Falsa, ya que el arco AB podría tener variadas medidas, implicando variadas medidas para . No se indica que DA y CB sean paralelas, o que AC y DB sean diámetros,

II) Verdadera, ya que  =

III) Falsa, ya que  =

80  40 120 = 60°.  2 2

110  50 60 = 30°.  2 2

Por lo tanto, solo en II el valor de  es 60°.

24. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Circunferencia ASE

(1)  +  = 50º. Con esta información, se puede determinar la medida del arco AB, ya que se puede concluir que  =  = 25°, y el arco AB mide el doble del ángulo inscrito que lo subtiende, es decir, 50°. (2)  = . Con esta información, no se puede determinar la medida del arco AB, ya que se desconoce la medida de alguno de los ángulos inscritos. Por lo tanto la respuesta es: (1) por sí sola.

11

25. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Circunferencia ASE

(1) ACB = 80º. Con esta información, no se puede determinar la medida del arco BC, ya que el ángulo conocido no subtiende el arco BC. (2) AB  AC . Con esta información, no se puede determinar la medida del arco BC, ya que no se entrega la medida de ningún ángulo. Con ambas informaciones, sí se puede determinar la medida del arco BC, ya que el triángulo ABC es isósceles en A, entonces ACB = CBA = 80º y BAC = 20º. Luego, el arco BC mide 40°. Por lo tanto la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).

12