8

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1

PÁGINA 167 EJERCICIOS DE LA UNIDAD Resolución gráfica

1

Observa el gráfico y responde:

y= + –x

1

y=2

y=1

1

3x +

x+3

5

x+3

y=7

a) Escribe un sistema de ecuaciones lineales que tenga por solución x = 5, y = 6. b) Escribe un sistema con solución: x = 7, y = 0. c) Escribe un sistema sin solución. d) Escribe un sistema con infinitas soluciones. a) 3x + y = 21   Solución: x = 5, y = 6 x – y = –1  b) x + 3y = 7   Solución: x = 7, y = 0 3x + y = 21  c) x + 3y = 15   No tiene solución x + 3y = 7  d) Por ejemplo:

x + 3y = 7   2x + 6y = 14 

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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Pág. 2

2

Representa gráficamente estas ecuaciones: x+y=2 2y – x = 4 Escribe las coordenadas del punto de corte. Escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones. •x+y=2 x y

0 2

• 2y – x = 4 1 1

2

3

x

0

2


2


4

0


1

y

2

1

3

4

2y – x = 4

Punto de corte: (0, 2) Solución del sistema: x = 0, y = 2 x+y=2

3

Resuelve gráficamente:  2x – 3y = 0

 2y = x + 8

a) 

b) 

 2x + 3y = 12

a) 2x – 3y = 0 → y = 2x 3

2x + 3y = 0 → y = – 2x 3

 y = 2x + 10

x

0

3


3

y

0

2


2

x

0

3


3

y

0


2

2

2x – 3y = 0

Solución: x = 0, y = 0

2x + 3y = 0

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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Pág. 3

b) 2y = x + 8 → y = x + 8 2

y = 2x + 10

xx

0

0
2

y

10

106

y

x

0

2


2


4

y

4

5

3

2


3


4

4

2

2y = x + 8

Solución: x = –4, y = 2

y = 2x + 10

Resolución algebraica

4

Resuelve por sustitución estos sistemas: x = 5

a) 

 2x + 3y = 22

 x + y = –4

c) 

 2x + y = –1

 y = 3x – 1

b) 

 5x + 2y = 9  8x + 5y = 1

d) 

 3x – 2y = 12

a) x = 5   2 · 5 + 3y = 22 → 3y = 12 → y = 4 2x + 3y = 22  Solución: x = 5, y = 4 b) y = 3x – 1   5x + 2 (3x – 1) = 9 → 5x + 6x – 2 = 9 → 11x = 11 → x = 1 5x + 2y = 9  y=3·1–1=2 Solución: x = 1, y = 2 c)

x + y = –4  x = –4 – y  2x + y = –1  2 (– 4 – y) + y – 1 → –8 – 2y + y = –1 → y = –7 y = –4 + 7 = 3 Solución: x = 3, y = –7

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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Pág. 4

d) 8x + 5y = 1   3x – 2y = 12  x= 3

1 – 5y 8

( 1 –85y ) – 2y = 12 → 3 – 15y – 16y = 96 → 31y = –93 → y = –3

x = 1 – 5 (–3) = 16 = 2 8 8 Solución: x = 2, y = –3

5

Resuelve por igualación estos sistemas: x = y – 7

a) 

 x = ( y – 10)/2  3x + 2y = 11

c) 

 5x + 2y = 21

 x + 2y = –5

b) 

 x – 3y = 5  4x – 5y = 10

d) 

 x + 3y = –6

 y – 10  → 2y – 14 = y – 10 → y = 4 y – 10  y – 7 = 2 x=  2 

a) x = y – 7

x = 4 – 7 = –3 Solución: x = –3, y = 4 b) x + 2y = –5  x = –5 – 2y    –5 – 2y = 5 + 3y → –10 = 5y → y = –2 x – 3y = 5  x = 5 + 3y  x + 2 (–2) = –5 → x – 4 = –5 → x = –1 Solución: x = –1, y = –2 c) 3x + 2y = 11   5x + 2y = 21  11 – 3x   2   11 – 3x = 21 – 5x → 2x = 10 → x = 5 21 – 5x  y=  2  Solución: x = 5, y = –2 y=

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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Pág. 5

d) 4x – 5y = 10   x + 3y = –6  10 + 5y 4 x = –6 – 3y x=

  10 + 5y = –6 – 3y → 10 + 5y = –24 – 12y → 17y = –34 → y = –2  2  

x = –6 – 3 (–2) = –6 + 6 = 0 Solución: x = 0, y = –2

6

Resuelve por reducción estos sistemas:  x + 2y = 5

 5x – y = 10

a) 

b) 

 3x – 2y = 7

 4x + 3y = 8

 6x – 2y = 0

 7x – 5y = 10

c) 

d) 

 3x – 5y = 12

 2x – 3y = –5

a) x + 2y = 5 3x – 2y = 7 4x

= 12 → x = 3

3 + 2y = 5 → 2y = 2 → y = 1 Solución: x = 3, y = 1

b) 5x – y = 10  15x – 3y = 30  4x + 3y = 8  4x + 3y = 8 = 38 → x = 2

19x 5 · 2 – y = 10 → y = 0 Solución: x = 2, y = 0

c) 6x – 2y = 0  6x – 2y = 0  3x – 5y = 12  –6x + 10y = –24 8y = –24 → y = –3 6x – 2 (–3) = 0 → 6x + 6 = 0 → x = –1 Solución: x = –1, y = –3

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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Pág. 6

d) 7x – 5y = 10  14x – 10y = 20  2x – 3y = –5  –14x + 21y = 35 11y = 55 → y = 5 2x – 3 · 5 = –5 → 2x = 10 → x = 5 Solución: x = 5, y = 5

7

Resuelve por el método más adecuado:  3x + y = 7

 x + 3y = 7

a) 

b) 

 5x + 2y = 11

 4x – 3y = 13

a) 3x + y = 7  –6x – 2y = –14  5x + 2y = 11  5x + 2y = 11 – x

= –3 → x = 3

3 · 3 + y = 7 → y = –2 Solución: x = 3, y = –2 b) x + 3y = 7   4x – 3y = 13  5x

= 20 → x = 4

4 + 3y = 7 → 3y = 3 → y = 1 Solución: x = 4, y = 1

9

Resuelve los siguientes sistemas:  2(x – 1) = 3( y + 1)

a) 

x – y = 0

y–5   2(x – 3) – 1 = 2 c)    3x – 1 = 4(y + 5) + 2 7y – 8  2x – 1 =  2 d)  3   3(x – 2) = y + 7 a)

2x – 2 = 3y + 3  x=y x–y=0  2x – 2 = 3x + 3 → x = –5 Solución: x = –5, y = –5

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

 4(2x – 7) – 5y = 0

b) 

 3(3y – 4) – 4x = 0

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 7

b) 8x – 28 – 5y = 0  8x – 5y = 28  8x – 5y = 28   9y – 12 – 4x = 0  –4x + 9y = 12  –8x + 18y = 24 13y = 52 → y = 4 8x – 5 · 4 = 28 → 8x = 48 → x = 6 Solución: x = 6, y = 4 y–5   4x – 14 = y – 5  4x – y = 9  16x – 4y = 36 2  3x – 1 = 4y + 22  3x – 4y = 23  –3x + 4y = –23   3x – 1 = 4y + 20 + 2  13x = 13 → x = 1

c) 2x – 6 – 1 =

4 · 1 – y = 9 → y = –5 Solución: x = 1, y = –5 d) 4x – 2 = 21y – 24  4x – 21y = –22    y = 3x – 13 3x – 6 = y + 7  3x – y = 13  4x – 21 (3x – 13) = –22 → 4x – 63x + 273 = –22 → 59x = 295 → x = 5 y = 3 · 5 – 13 = 2 Solución: x = 5, y = 2

PÁGINA 168 10

Resuelve:  x+1 =2   y–1 a)   3(x – 1) =y+2   2

x–1 y+2  – =0  5 b)  3  2x – 3  =y–2  5

a) x + 1 = 2y – 2  x – 2y = –3  –x + 2y = 3   3x – 3 = 2y + 4  3x – 2y = 7  3x – 2y = 7 2x

= 10 → x = 5

5 – 2y = –3 → 2y = 8 → y = 4 Solución: x = 5, y = 4 b) 5x – 5 – 3y – 6 = 0  5x – 3y = 11  10x – 6y = 22   2x – 3 = 5y – 10  2x – 5y = –7  –10x + 25y = 35 19y = 57 → y = 3 5x – 3 · 3 = 11 → 5x = 20 → x = 4 Solución: x = 4, y = 3

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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Pág. 8

Problemas para resolver con sistemas de ecuaciones

11

La suma de dos números es 87 y su diferencia 25. ¿Cuáles son esos números? x + y = 87   x – y = 25  2x

= 112 → x = 56

y = x – 25 = 56 – 25 = 31 Los números son 56 y 31.

12

Calcula dos números de forma que su diferencia sea 43 y el triple del menor supere en cinco unidades al mayor. x – y = 43  x = 43 + y  3y = x + 5  3y = 43 + y + 5 → 2y = 48 → y = 24 x – 24 = 43 → x = 67 Los números son 67 y 24.

13

Entre Pedro y yo tenemos 12 €. Si yo le diera 1,7 € entonces él tendría el doble que yo. ¿Cuánto tenemos cada uno? Pedro → x ; Yo → y  x = 12 – y x + y = 12  2 (y – 1,7) = x + 1,7  2y – 3,4 = 12 – y + 1,7 → 3y = 17,1 → y = 5,7

x = 12 – 5,7 = 6,3 Pedro tiene 6,3 € y yo tengo 5,7 €.

14

Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo la unidad. Raquel compra 5 melones y 2 sandías por 13 €. Alfredo compra 3 melones y 4 sandías por 12 €. ¿Cuánto vale un melón? ¿Y una sandía?: 5M + 2S = 13  10M + 4S = 26  3M + 4S = 12  –3M – 4S = –12 7M

= 14 → M = 2

5 · 2 + 2S = 13 → 10 + 2S = 13 → 2S = 3 → S = 1,5 Un melón vale 2 € y una sandía, 1,5 €.

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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15

En una granja, entre gallinas y conejos, hay 100 cabezas y 252 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja? Gallinas → x Conejos → y x + y = 100  x = 100 – y  2x + 4y = 252  2 (100 – y) + 4y = 252 → 200 – 2y + 4y = 252 → 2y = 52 → y = 26 x = 100 – 26 = 74 En la granja hay 74 gallinas y 26 conejos.

16

Amelia tiene el triple de edad que su hermano Enrique, pero dentro de 5 años solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada uno?  HOY

DENTRO DE 5 AÑOS

AMELIA

x

x+5

x = 3y

ENRIQUE

y

y+5

x + 5 = 2( y + 5)

Amelia → x Enrique → y  x = 3y  3y + 5 = 2y + 10 → y = 5 x + 5 = 2 (y + 5) 

x = 3 · 5 = 15 Amelia tiene 15 años y Enrique, 5 años.

17

El doble de la edad de Sara coincide con la cuarta parte de la edad de su padre. Dentro de dos años la edad de Sara será la sexta parte de la de su padre. ¿Qué edad tiene cada uno? Sara → x Padre → y  8x = y  2x = y/4   x + 2 = 1/6 (y + 2)  6x + 12 = y + 2  6x + 12 = 8x + 2 → 2x = 10 → x = 5

y = 8 · 5 = 40 Sara tiene 5 años y su padre, 40 años.

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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18

Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes, unos de 2 kg y otros de 5 kg. ¿Cuántos paquetes de cada clase utiliza? 2x + 5y = 550   x = 200 – y x + y = 200  2 (200 – y) + 5y = 550 → 400 – 2y + 5y = 550 → 3y = 150 → y = 50 x = 200 – 50 = 150 Utiliza 150 paquetes de 2 kg y 50 paquetes de 5 kg.

19

Un trabajador gana 60 € en un turno de día y 80 € en un turno de noche. ¿Cuántos días y cuántas noches ha trabajado en un mes, si en total ha hecho 24 turnos y ha cobrado 1 600 €? Día → D Noche → N  D = 24 – N D + N = 24  60D + 80N = 1600  60 (24 – N) + 80N = 1600

1 440 – 60N + 80N = 1600 → 20N = 160 → N = 8 D = 24 – 8 = 16 Hizo 16 turnos de día y 8 turnos de noche.

20

Un comerciante tiene a la venta 50 pares de zapatillas deportivas, a 40 € el par. Cuando lleva vendidos unos cuantos, los rebaja a 30 € el par, continuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 1 620 €. ¿Cuántos pares vendió sin rebajar y cuántos rebajados?

Sin rebajar → x Rebajados → y x + y = 50  x = 50 – y  40x + 30y = 1620  40 (50 – y) + 30y = 1620 → 2 000 – 40y + 30y = 1620 → → 10y = 380 → y = 38 x = 50 – 38 = 12 Vendió 12 pares a 40 € el par y 38 pares a 30 € el par.

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 11

21

Un test consta de 50 preguntas y se evalúa sumando 2 puntos por cada acierto y restando 1,5 puntos por cada fallo. ¿Cuántos aciertos y cuántos fallos tendrá una persona cuya calificación es de 58 puntos? Aciertos → A Fallos → F  A = 50 – F A + F = 50  2A – 1,5F = 58  100 – 2F – 1,5F = 58 → –3,5F = –42 → F = 12

A = 50 – 12 = 38 Acertó 38 preguntas y falló 12 preguntas.

22

Un taller de confecciones gana 0,75 € por cada par de calcetines que fabrica, pero pierde 2,5 € por cada par defectuoso. ¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos ha producido en una jornada, si en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido una ganancia de 382 €? Válidos → V Defectuosos → D  V = 700 – D V + D = 700  0,75V – 2,5D = 382  0,75 (700 – D) – 2,5D = 382

525 – 0,75D – 2,5D = 382 → 3,25D = 143 → D = 44 V = 700 – 44 = 656 Fabricaron 656 pares válidos y 44 defectuosos.

23

En un club deportivo, los hombres y las mujeres están en relación de 2 a 3, pero si hubiera 40 hombres más y 30 mujeres menos, entonces estarían a la par. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres son socios del club?  HOMBRES

MUJERES

 → x  x = 2 3  y  → y  x + 40 = y – 30

H = 2  H = 2M  M 3 3   H + 40 = 1 2M + 40 = M – 30 → 2M + 120 = 3M – 90 → M = 210  3 M – 30  H = 420 = 140 3 Hay 140 hombres y 210 mujeres.

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 12

24

Un orfebre recibe el encargo de confeccionar un trofeo, en oro y plata, para un campeonato deportivo. Una vez realizado, resulta de un peso de 1 300 gramos, habiendo costado 2 840 €. ¿Qué cantidad ha utilizado de cada metal precioso, si el oro sale por 8 €/gramo y la plata por 1,7 €/gramo? Oro → x Plata → y x+ y = 1300  x = 1300 – y  8x + 1,7y = 2840  8 (1 300 – y) + 1,7y = 2840 10 400 – 8y + 1,7y = 2840 → 6,3y = 7 560 → y = 1200 x = 1300 – 1200 = 100 Utilizó 100 gramos de oro y 1 200 gramos de plata.

PÁGINA 169 25

Un coche parte de A hacia B a 110 km/h. A la misma hora, sale de B hacia A un camión a 70 km/h. Sabiendo que la distancia de A a B es de 270 km, ¿cuánto tardan en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen?



DISTANCIA RECORRIDA

VELOCIDAD

TIEMPO INVERTIDO

COCHE

x

110

t

CAMIÓN

270 – x

70

t

ESPACIO RECORRIDO

=

VELOCIDAD

×

TIEMPO INVERTIDO

Distancia recorrida por el coche → x   x + y = 270 → y = 270 – x Distancia recorrida por el camión → y   x = 110 · t  Tiempo que tardan en encontrarse. 270 – x = 70 · t 

     t = 270 – x  70  t= x 110

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 13

x = 270 – x → 70x = 29 700 – 110x → 180x = 29 700 → x = 165 110 70 El coche recorre 165 km y el camión: 270 – 165 = 105 km. t = 165 = 1,5 horas = 1 h 30 min 110 Se encuentran a 165 km del punto A y tardan 1 h 30 min.

26

Un camión parte de cierta población a 90 km/h. Diez minutos después, sale en su persecución un coche a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda en alcanzarle y la distancia recorrida desde el punto de partida. En 10 minutos el camión, a 90 km/h, recorre 90 : 6 = 15 km. Se encontrarán cuando el coche tenga recorrida una distancia x y el camión, en el mismo tiempo, x – 15 km.    x = x – 15  110 90   

t= x 110 t = x – 15 90

→ 90x = 110x – 1650 → 20x = 1650 → → x = 82,5

t = 82,5 = 825 = 0,75 h = 45 min 110 1100 El coche tarda en alcanzar al camión 45 min a una distancia del punto de partida de 82,5 km.

27

Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h. Si la distancia entre A y B es de 7 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen? 17 km/h

4 km/h

A t= x 4 t= 7–x 17

x

7–x

B

   x = 7 – x → 17x = 28 – 4x → 21x = 28 → x = 28 = 4  4 17 21 3   

t = 28/21 = 28 h = 1 h = 20 min 4 84 3 ) 4 Tardan en encontrarse 20 minutos a 3 km = 1,3 km del punto A.

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

8

Pág. 14

28

Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que ancha y que el perímetro mide 210 metros. 210 m x

y

Ancho → x Largo → y 2x + 2y = 210  2x + 2 (x + 25) = 210 → 2x + 2x + 50 = 210 →  → 4x = 160 → x = 40 y = x + 25  Las medidas de la parcela son 40 m de ancho y 64 m de largo.

PÁGINA 177 PROBLEMAS DE ESTRATEGIA

29 Resuelve razonando o con ayuda del álgebra:

5€

6€

¿Cuánto cuesta el salchichón? ¿Y el queso? ¿Y el jamón? Queso → x x+y=4 x=4–y y+z=5 Salchichón → y y+z=5 y+z=5 –y+z=2 Jamón → z x+z=6 4–y+z=6     

  

    

El queso cuesta 2,5 €, el salchichón, 1,5 € y el jamón, 3,5 €.

  

4€

2z = 7 7 z =  → z = 3,5 2 y = 5 – 3,5 → y = 1,5 x = 4 – 1,5 → x = 2,5

30 Con la información de las balanzas, calcula el peso de Rosa, el de Javier y el del perro. R

J R

R

J

45 kg

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales

75 kg

J

140 kg

8

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 15

x + y = x + z + 45 y + z = 75 x + y + z = 140

    

    

Rosa → x kg Javier → y kg Perro → z kg

y = z + 45 z + 45 + z = 75 → 2z = 30 → z = 15 y + 15 = 75 → y = 60 x + 60 + 15 = 140 → x = 65

Rosa pesa 65 kg, Javier, 60 kg y el perro, 15 kg.

Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales