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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1

Página 170 PRACTICA Semejanza de figuras

1 Copia en una hoja de papel cuadriculado estas dos figuras. Modifica la de la derecha para que sean semejantes.

2 En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades es 2,5 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre ellas? b) ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es 360 km? a) Como la escala es 1:1 500 000, cada centímetro en el mapa corresponde a 1 500 000 cm en la realidad, que equivalen a 15 km. 2,5 cm en el mapa serán: 2,5 · 15 = 37,5 km en la realidad. b) 36 000 000 = 24 cm 1 500 000

3 Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de 2,5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente. El rectángulo exterior es de 14 cm de ancho y 11 cm de alto.

2,5 cm

Para que los rectángulos sean semejantes, los lados correspondientes han de ser proporcionales: 6 ≠ 9 . 11 14 Ambos rectángulos no son proporcionales.

2,5 cm

6 cm 9 cm

4 Hemos dividido en cuatro partes iguales el lado mayor del rectángulo ABCD y en tres partes iguales el lado menor.

A

B

D

C

a) ¿Es semejante cada uno de los doce rectángulos obtenidos con el inicial? b) Si dividimos los dos lados en tres partes iguales, ¿obtendríamos rectángulos semejantes? Unidad 7. Elementos de geometría

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 2

a) No, porque los lados mayores están en la relación 1/4, y los menores, en 1/3. b) En este caso sí. La razón de semejanza es 1/3.

5 En una oficina de venta de pisos han hecho este plano a escala 1/50.

B

A

SALÓN COMEDOR

a) Calcula las dimensiones reales del salón y su área. b) Halla las dimensiones de la mesa B y del sillón A. ¿Te parecen razonables? a) Cada centímetro del plano equivale a 0,5 m en la realidad. Dimensiones del salón: (6 · 0,5 m) × (4 · 0,5 m) = 3 m × 2 m Área del salón: 6 m 2 b) Mesa: (0,75 · 0,5 m) × (1,55 · 0,5 m) = 0,375 m × 0,775 m Podemos considerar (por errores de medición) que la mesa mide: 0,4 m × 0,8 m, es decir, 40 cm × 80 cm. Sillón A: (0,7 · 0,5 m) × (0,65 · 0,5 m) = 0,35 m × 0,325 m = = 35 cm × 32,5 cm Las medidas no son razonables en absoluto: un salón de 6 m 2 es una estancia algo pequeña. Te o r e m a d e Ta l e s

6 Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes y su razón de semejanza es 2 /3. Calcula los lados del triángulo A'B'C' si sabemos que AB = 12 m, BC = 9 m y AC = 7,5 m Si son semejantes se cumple que: — — A'B' = 2 B'C' = 2 — — 3 3 AB BC — A'B' = 2 → — A'B' = 12 · 2 = 8 m; 3 3 12 — A'C' = 2 → — A'C' = 7,5 · 2 = 5 m 3 3 7,5 Unidad 7. Elementos de geometría

— A'C' = 2 — 3 AC — B'C' = 2 → — B'C' = 9 · 2 = 6 m 3 3 9

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 3

7 En la figura, MN es paralelo a BC. Calcula AM y MN . 12 cm

N

6 cm

B

M

8,4

cm

A

4,8

cm

C

Los triángulos ANM y ABC están en posición de Tales. — — — CB = AB = AC Tenemos, pues, las siguientes igualdades: — — — MN AN AM — — — 8,4 · 12 — CB = AB → 8,4 = 12 + 6 → MN = = 5,6 → MN = 5,6 cm — — — 12 18 MN AN MN — Llamamos x = AM: — — CB = MN — — AC AM

→

8,4 = 5,6 → 8,4x = 5,6(4,8 + x) → 4,8 + x x

→ 8,4x – 5,6x = 26,88 → x = 26,88 = 9,6 2,8 — Luego AM = 9,6 cm.

8 a) ¿Por qué son semejantes los triángulos APQ y ACB? b) Calcula x = BQ .

A

^

a) El ángulo A es común a los dos triángulos y los án^ ^ ^ ^ gulos P y C son rectos, luego los ángulos Q y B son iguales. Por lo tanto, ambos triángulos son semejantes. — — AB b) Por ser triángulos semejantes: AC = — — AQ AP — Calculamos AP aplicando el teorema de Pitágoras:

5 cm P 3 cm Q 7 cm

x

C

— AP = √5 2 – 3 2 = √16 = 4 cm — — — — AC = AP + PC = 4 + 7 → AC = 11 cm — — AC = AB → 11 = 5 + x → 55 = 20 + 4x → x = 35 = 8,75 — — 4 5 4 AQ AP x = 8,75 cm Unidad 7. Elementos de geometría

B

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 4

9 Sabemos que: PA = 7 cm, PB = 13 cm, PC = 24 cm y PA' = 12 cm.

P

C

B

A A'

Traza paralelas a AA' desde B y desde C y calcula A'B' y B'C' . 7 cm

P

12 cm

C

11 cm

B

A 6 cm

A' B' C'

— — PA = PA' — — AB A'B' — — AB = A'B' — — BC B'C'

12 → 7 = — 6 A'B'

— — → A'B' = 6 · 12 = 10,28 → A'B' = 10,28 cm 7

— — → B'C' = 10,28 · 11 = 10,85 → B'C' = 18,85 cm 6

10 Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a CD.

O

7,2 cm

a) Di por qué son semejantes los triángulos OAB y ODC.

8,5

B

b) Calcula x e y. ^

^

^

^

^

m

6c

10,6 cm

A

^

y

cm

C x D

^

a) Como AB//CD: A = D, B = C , O es común (O' = O'' ). Los ángulos de ambos triángulos son iguales, luego los dos triángulos son semejantes. b) Ponemos los triángulos en posición de Tales: — — AB = DC → 7,2 = x → — — 8,5 6 OB OC

O y

→ x = 7,2 · 6 = 5,08 cm 8,5 — — AB = DC — — OA OD

→

D

C

7,2 = 5,08 → 10,6 y A

→ y = 5,08 · 10,6 = 7,48 cm 7,2 Unidad 7. Elementos de geometría

x

B

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 5

Página 171

11 Estos dos triángulos tienen sus lados paralelos. ¿Cuánto miden los lados a y b? b

3m 7m

18 m

9m

a

Como los lados respectivos son paralelos: ^

^

^

^

^

^

A = A ', B = B ', C = C ' y los triángulos son semejantes. — — BC = B'C' → a = 9 → a = 9 · 7 = 21 m → a = 21 m — — 7 3 3 AB A'B' — — BC = B'C' → 21 = 9 → b = 18 · 9 = 7,71 m → b = 7,71 m — — 18 b 21 AC A'C'

12 En un triángulo ABC, la base AB mide 5,7 m y la altura relativa a esa base mide 9,5 m. ¿Cuánto mide el área de otro triángulo semejante a ABC en el que A'B' = 4,14 m? — AB Como son semejantes: — = h → 5,7 = 9,5 → h' = 9,5 · 4,14 = 6,9 m 4,14 h' 5,7 A'B' h' La altura mide 6,9 m. Por tanto, el área pedida es: A = 6,9 · 4,14 = 14,283 m 2 2

13 Si BD es paralelo a AE, y AC = 15 cm, CE = 11 cm, BD = 6,4 cm:

A 37°

a) Calcula CD . b) ¿Podemos saber cuánto vale AE sin medirlo directamente? ∧

∧

∧ ∧

B

∧

c) Si A = 37° y C = 80°, calcula E, B y D. Los triángulos ACE y BCD son semejantes, luego: — — — — 11 · 6,4 CD → 11 = BD → CD a) CE = = = 4,7 cm — — 15 6,4 15 AC BC b) No se puede. ^

^

c) A = 37°, C = 80° ^

E = 180° – 37° – 80° = 63° ^

^

^

^

B = A = 37° D = E = 63° Unidad 7. Elementos de geometría

E

80°

D C