Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES 3.

Determina si los siguientes números son o no números racionales: a) 7,555555… b) 3,034035036… c) 1,03034444444…

d) 34,350350350351.

SOLUCIÓN: a) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico. b) Es un número irracional, aunque existe una forma de construir la parte decimal, sin embargo las infinitas cifras decimales no se repiten de forma periódica. c) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico mixto. d) Es un número racional, se trata de un número decimal exacto, tiene un número finito de cifras decimales. 4.

Efectúa las siguientes operaciones utilizando la fracción generatriz de cada número decimal:    0 , 6  1 , 2 a) b) 4  0,3  0,6  0,06

1,5

SOLUCIÓN: a)

5.

6 12 60  108   0,6  1,2 9 10 168 90      28 6 6 6 0,06 90 90

b)

6   4 3  6 12  6 4  0,3  0,6 60 4 9 9 9 9 9      15 15 15 9  15 9 1,5 10 10 10

Determina si los siguientes números son racionales o irracionales: a) 1,23234234523456... b) 1,23232323... c) 1,234235236237... d) 1,23

SOLUCIÓN: a) Es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica. b) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico puro. c) Es un número irracional, tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica. d) Es un número racional, es un número decimal exacto. 6.

Determina cuáles de los siguientes radicales son números irracionales: a) 8 b) 3 625 c)  9 d) 5 32 e) 54 9

SOLUCIÓN: a) Es un número irracional. b) Es un número irracional. c) Es un número racional,  9  3 . 5 d) Es un número racional, 32  2 . e) Es un número irracional.

NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 8.

Dibuja, utilizando el teorema de Pitágoras, segmentos que tengan las siguientes longitudes: 7 , 8 , 30 .

SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta que 3 . Como

7  4  3  22 

3  1  2  12 

 2

2

 3

2

, representamos en primer lugar el número real

tenemos que representar previamente el número

2 . Ya que

usamos 2  12  12 , obtenemos por el Teorema de Pitágoras que el punto D se corresponde con 2 . Con triángulo rectángulo de base 2 y altura 1, obtenemos el punto F que representa el número real 3 . Finalmente con el triángulo rectángulo de base 3 y altura 2 obtenemos el punto H que proyectado sobre la recta real nos da el punto J que es 7 . Para representar 8 , podemos tener en cuenta que 8  22  22 , por tanto, si representamos un triángulo rectángulo de base 2 y altura 2, obtenemos el punto C que proyectado sobre la recta real nos da el punto F que representaría al número real 8 .

Como 30  52  5 , teniendo en cuenta que 5  22  12

Construyendo el triángulo rectángulo de base 2 y altura 1, obtenemos el punto C. La hipotenusa AC 5, tiene longitud trasladando esa longitud con el compás sobre la recta real obtenemos el punto D que representa al número 5 . Construyendo ahora el triángulo rectángulo de base 5 y altura 5 obtenemos el punto E. La longitud AE es 30 . Con el compás podemos trasladar esa longitud sobre la recta real y obtenemos el punto G que representa el valor deseado. 9.

Construye una sucesión de 10 intervalos encajados que determine los siguientes números reales: e, 3, 2 .

SOLUCIÓN: Para obtener una sucesión de 10 intervalos encajados, necesitamos un total de 9 cifras decimales de cada número. Una expresión decimal del número e con 10 cifras decimales es: 2,718281828. Por tanto la sucesión de 10 intervalos encajados que define el número e es: (2;3), (2,7; 2,8), (2,71; 2,72), (2,718; 2,719), (2,7182; 2,7183); (2,71828; 2’71829), (2,718281; 2’718282), (2,7182818; 2,7182819), (2,71828182; 2,71828183), (2,718281828; 2’718281829). Una expresión decimal del número 3 con 9 cifras decimales es: 1,732050807 Por tanto la sucesión de intervalos encajados que define este número es: (1;2), (1,7; 1,8), (1,73; 1,74), (1,732; 1,733), (1,732; 1,7321), (1,73205; 1,73206), (1,73205; 1,732051), (1,7320508; 1,7320509), (1,7320508; 1,73205081), (1,732050807; 1,732050808). Una expresión decimal del número 2 con 9 cifras decimales es: 1,414213562. La sucesión de intervalos encajados pedida es: (1;2), (1,4; 1,5), (1,41; 1,42), (1,414; 1,415), (1,4142; 1,4143), (1,41421; 1,41422), (1,414213; 1,414214), (1,4142135; 1,4142136), (1,41421356; 1,41421357), (1,414213562; 1,414213563). ORDENACIÓN EN R. INTERVALOS Y ENTORNOS. 12. Dados los siguientes conjuntos de números reales, ordénalos de menor a mayor: a)

1 2 3 1 7 , , , y 3 4 12 2 6

SOLUCIÓN:







b) ,  , 1'67, 1'678 y 1'698







c) 3, 4, 3, 38, 3, 38, 3, 398 y 3,40 1

a) Reducimos a común denominador los números y tenemos:

1 7 42 2 8 3 9 ,  , ,   3 12 4 12 12 2 12

1 6

2 1 1 2 3 7 por lo tanto     . 12 6 3 4 2 12      1,67  1,678  1,698      3, 38  3,38  3,398  3,4  3,40 1

,  b) c)

13. Intercala tres números reales de forma ordenada entre los pares de números siguientes:     a) 1,02, 1,03 1 b)  3,02,  3,032 . SOLUCIÓN:   a) 1,02  1,023  1,024  1,025  1,03 1   b)  3,032  3,0315  3,0314  3,0313  3,02 14. Realiza las siguientes operaciones con intervalos y representa el resultado obtenido: a) [-5,5] (0,6) b) [-5,5] (0,6) c) (4,9](5,8] d) (4,9]∩(5,8] e) (-,0)(-1,4] f) (-,0)(-1,4] g) (-3,4](2,+) h) (-3,4](2,+) SOLUCIÓN: a) [-5,6) e) (,4]

b) (0,5] f) (-1,0)

c) (4,9] g) (3,)

d) (5,8] h) (2,4]

VALOR ABSOLUTO 19. Efectúa las siguientes operaciones: a) ||-4+7|-|7+4||-3| b) ||-4||-5|-|-20|| SOLUCIÓN: a) |3-11 3|=|3-33|=30. b) |4 5-20|=0

c) ||4| (-2) – 4 |-2|| c) |-8-8|=16

20. Calcula: a) | 7  3 | b) | 8  4 | c) | e  2 | d) |   e | SOLUCIÓN: a) 3  7

b) 4  8

c) e-2 d) e  

21. Resuelve las siguientes ecuaciones, en el caso de que tengan solución: a) |4x+5|=3 b) 5-|3+x|=8 c) |-4x+7|+8=10 d) |3x+5|=10 SOLUCIÓN: a) | 4x  5 | 3  4x  5  3 ó 4x  5  3  4x  2 ó 4x  8  x  1/ 2 ó x  2 b) 5 | 3  x | 8  3 | 3  x | ¡Sin solución!

4x  7  2  4x  5 c) | 4x  7 | 8  10 | 4x  7 | 2  4x  7  2 ó 4x  9  x  5 / 4 ó x  9 / 4 d) | 3x  5 | 10  3x  5  10 ó 3x  5  10  3x  5 ó 3x  15  x  5 / 3 ó x  5

22. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) | x  3 | 7 b) | x  4 | 8 c) | x  1 | 2

ó

d) | 2 x  1 | 8

SOLUCIÓN: a) | x  3 | 7  7  x  3  7  10  x  4  x  (10,4) b) | x  4 | 8  x  4  8 ó x  4  8  x  12 ó x  4  x  (,4)  (12,) c) | x  1 | 2  2  x  1  2  3  x  1  x [3,1] d) | 2x  1 | 8  2x  1  8 ó 2x 1  8  2x  7 ó 2x  9  x  7 / 2 ó x  9 / 2  x   ,9 / 2  7 / 2, .

APROXIMACIONES DECIMALES. ERRORES 26. Aproxima por truncamiento y por redondeo a las décimas, centésimas, milésimas y diezmilésimas de lo siguientes números reales utilizando la calculadora: a) 5 b) 6 5  2 c) 7   SOLUCIÓN: Truncamiento Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas 2,2 2,23 2,236 2,2360 5 12 12 12,002 12,0021 6 5 2 7 

10,1

10,14

10,141

10,1415

Redondeo 5

Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas 2,2 2,24 2,236 2,2361

6 5 2 7 

12

12

12,002

12,0022

10,1

10,14

10,142

10,1416

27. Dados los siguientes números reales: a) 27 b) 3 3 c) 5 Utiliza la calculadora para: 1. Aproximar por redondeo a las diez milésimas. 2. Determinar los errores absolutos y relativos de las aproximaciones. 3. Obtener los intervalos de aproximación de las aproximaciones. 4. Calcular el orden del error relativo cometido en cada aproximación.

d) . 6e

SOLUCIÓN: Redondeo diezmilésima

Error absoluto

Error relativo Intervalo de aproximación

27

5,1962

0,0000475

0,000009156

3

1,4422

0,0000495

0,000034370

5

15,708

0,0000367

0,000002338

6e

16,3097

0,0000090

0,000000553

3







Orden del error relativo ( 27  0,00005, 27  0,00005) 0,0009156 % 3 3 ( 3  0,00005, 3  0,00005) 0,0034370 % (5  0,00005, 5  0,00005) 0,0002338 % (6e  0,00005, 6e  0,00005) 0,0000553 %



28. Utilizando la calculadora, redondea el resultado de las siguientes operaciones: a) Con un error menor que 1 centésima b) Con un error menor que 1 diezmilésima 1) 5 27  4 2

2) 3 31  2 61

3) 13 

2 3

SOLUCIÓN: a) Para obtener un error menor que 1 centésima es decir 0,01 debemos redondear a la milésima pues en ese caso el error máximo que se comete es de 0,005: 1) 20,324 2) 18,762 3) 2,939 b) Para obtener un error menor que 1 diezmilésima es decir 0,0001 debemos redondear a la cienmilésima pues en ese caso el error máximo que se comete al redondear es de 0,00005: 1) 20,32391 2) 18,76188 3) 2,93888 29. Con ayuda de la calculadora, redondea los siguientes números con el número de cifras significativas que se indican: a) 7  2 con cinco cifras significativas. b) 20 con seis cifras significativas. c)

7 con cuatro cifras significativas. 30

SOLUCIÓN: a) Como 7  2  1,2315377... entonces la aproximación por redondeo con cinco cifras significativas es 1,2315. b) Como 20  4,472135955... entonces la aproximación por redondeo con seis cifras significativas es 4,47214. c) Como

 7  0,23 entonces la aproximación por redondeo con seis cuatro cifras significativas 20

es 0,2333.

NOTACIÓN CIENTÍFICA 31. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica: a) (1,54106  4,34105 ) : (3,87 104  9,15104 ) b) (7,234105  1,3405106 )  3,45105 SOLUCIÓN:

a)

(15,4  105  4,34  105 ) : (3,87  9,15)  104  (15,4  4,34)  105 : 13,02  104 

 11,06 : 13,02 10  0,8494624 10  8,494624 .

b) (7,234 105  0,13405 105 )  3,45 105 = (7,234  0,13405) 105  3,45 105 =  7,36805 3,451010  25,41977251010  2,54197725109.

POTENCIAS Y RADICALES. PROPIEDADES 37. Realiza las siguientes operaciones con potencias: 2

 4 2   3 2  a)    1     1  5    4  

2

b) (34  54 ) : (43  33 )  (3 / 8)2

c)

x3 y 4 z 5 y3  1  4 3 xz y z

SOLUCIÓN: 2

 4 2   3 2  a)    1     1  5    4   2 2 16  25   4  3      2 2   5   3  2

2

2

2

 4 2  52   4 2    2    2  1  5  3  2

  9   25    2   2   5  3 

b) (34  54 ) : (43  33 )  (3 / 8) 2 

2



2



92 34 2  34   4 . 5 4 54 5

3  54 82 33  54  82  43 33  54  212  2   43 3 43  32 26  32

3 4 5 3 c) x y3 z  1y 4  y 4 z 4  y 4 z 4  0

xz

y z

38. Clasifica los siguientes radicales en racionales o irracionales: a) 3 3375 b) 5 268912 c) 4 2592 d) 180 e) 6 5103 

f)

5

6250

SOLUCIÓN:

  Efectuamos

 la descomposición factorial de cada uno de los radicandos para intentar sacar factores    del radical: 3 3375  3 33  53 15 , luego es un número racional. a)

  



b)

5

c)

4

268912  5 24  75  7 5 24 , es por tanto un número irracional. 2592  4 25  34  64 2 , es un número irracional. 180  22  32  5  6 5 , es un número irracional.

d) e)

6

5103  6 36  7  36 7 , es un número irracional.

f)

5

6250  5 2 55  55 2 , es un número irracional.

39. Ordena de mayor a menor los siguientes radicales: a) 8 16 , 125 , 4 49 b) 3 34 , 345 , 4 16  SOLUCIÓN: Para ordenarlos debemos reducirlos a índice común: a) Como m.c.m. (8,2,4)=8, reducimos los radicales a índice 8: 8 16 , 125  8 1254  8 2,4414 108 , 4 49  8 492  8 2401 , luego 8

16 > 4 49 > 125

b) Como m.c.m.(3,2,4)=12, reducimos los radicales a índice 12: 3 34  12 34 4  121336340 , 345  12 3456  121,68621015 ,



4

16  12163  12 4096

luego:

4

16  3 34  345

40. Efectúa y simplifica las siguientes expresiones, racionalizando si fuese necesario: 5

a) 5  5 

b)

5

2 3 35

3

4



4

c)

15

45 

3

5 3 5 3

7

 d) 216  150  3 294  15 24 e)  6   135 

f)

3 5 5 3 5 5



2 5 6 4

g) 23 135  3 320 

13 1 216  3 40 7 7

SOLUCIÓN: a)

3

36

c)

d)

2 3 35 4







5 5 55

5

b)



5

5 5 

6

3

15

5

2 3 35



3 4

5 3 5 3

5 5  10

5



6

15

26320333533 336 26317533   15 15 3



6

5 3 5 3

2 9 35 12

36



6

15



(5 5  10) 5 25  10 5   5 2 5 5 5

2 9 35 12 1511  15

36

26 36 320 36 1533  15

36

263201533  15

26317533 5

6

( 5  3 ) 2 6 5  2 15  3 6 8  2 15    6 53 2 2

5 6 6 8 8  2 15 6 25 6 (8  2 15 )2 2  26 15 6 2 (4  15 )     2 2 2 2

26 4  15 6  4  15 2

.

216  150  3 294  15 24  63  526  3 726  15 226   6 6  5 6  21 6  30 6  (6  5  21  30) 6  2 6 . 7

 4 45   12 453   453     12 2  6 135   12 2      135   135 7

e) f)  

3 5 5 3 5 5

7

.

2 5  6 12 5  20 3  (2 5  6)( 5  5)    4 4( 5  5)

12 5  20 3  (10  10 5  6 5  30) 4( 5  5) 8 5  20 3  20 4( 5  5)

7

  3653     12   12 57   3652    



2 5 5 3 5 5 5





12 5  20 3  20  4 5 4( 5  5)



(2 5  5 3  5)( 5  5)  5  25



10  10 5  5 15  25 3  5 5  25  15  5 5  5 15  25 3    20  20



3  5  15  5 3 4

13 1 1 1 216  3 40  23 5  33  3 26  5  3 2333  3 5  23  7 7 7 7 6 2 72 6 3  63 5  43 5   3 5  5 7 7 7 7

g)

23 135  3 320 

41. Racionalizar los denominadores de: a)

5 7

b)

5 7

5 3 7

c)

2 3 5

75 5

d)

23 49

( x  3)4 1.250 55 ( x  3)

SOLUCIÓN: a) b)

c)



d)

5 7 5 7

( 5  7 )( 5  7 ) 5  2 35  7 12  2 35    6  35 57 2 2



5 3 7



2 3 5

(5 3  7)( 2 3  5 ) 30  5 15  14 3  7 5  12  5 7

75 5 75 5 3 492 5 5 3 74 75 5 3 7 5 5 3 7 15 53 75      2 49 2 7 14 2 2 23 49 4 4 4 4 5 (x  3) 1250 (x  3)5 2 (x  3) 2 (x  3)  5   4 2 5 (x  3)4 (x  3) 55 (x  3) 5 (x  3)

42. Simplifica las siguientes expresiones: 

a)

4 125a 3 4

5 a

c)  34 ay 5  24 ay 8  2 y 4 a 

b) x  3 yx  4 x3 y 3

2





SOLUCIÓN: a) b) c)

4 125a 3 54 a 2



4 53 a 3 54 a 2



20a 5a 54 a 2



4a 4 5 2 a 2 4

a2

 4a 4

25a 2  4a 4 25 a2

x  3 yx  4 x3 y 3  12 x 6  12 y 4 x 4  12 x9 y 9  12 x19 y13  xy12 x7 y



 34 ay 5  24 ay 8  2 y 4 a   3 y 4 ay  2 y 2 4 a  2 y 4 a  (3 y 4 y  2 y 2  2 y)4 a  y 4 a 34 y  2 y  2  

LOGARITMOS 47. Halla utilizando la definición y sin el uso de la calculadora los siguientes logaritmos: a) log 0,000001 b) log10000000 c) log3 243 d) log 21024 e) log7 2.401

f) log1 / 2

1 4

g) log2 / 3

1000

k) log1/ 4 0,25

i) log0,1 0,0001  j) log 0, 3 27 SOLUCIÓN: 6 a) log 0,000001  log10  6 7   log10  7 b) log10000000 5 c) log 3 243  log 3 3  5 10  d) log 21024  log 2 2 10 4  e) log7 2401  log7 7  4 2 1 1   log1/ 2  log1/ 2    2 2 4  f) 

 

27 8

h) log3 (81) 



3

3

27 33 3 2 log 2 / 3  log 2 / 3 3  log 2 / 3    log 2 / 3    3 2 3 8 2 g) h) log3 (81) ¡no existe el logaritmo de un número negativo!

l)

log1/ 2

125 1000



4

i) j)

1 1  log1 / 10    4. 10.000  10 

log0,1 0,0001 log1 / 10

3

log0,3

1.000  10  3  log0,3    log0,3   27 3    10 

3

 log0,3 (0,3) 3  3.

2

k)

3

log1/ 2

l)

2

25 5 1  log1/ 2    log1/ 2    2. 100 10   2

log1/ 2 0,25  log1/ 2

3

125 5 1  log1/ 2    log1/ 2    3. 1000 10   2

48. Utiliza las propiedades de los logaritmos y su definición para obtener: a) log2 3 256  log3 3

27 2

3

c) log6  36  65   log2 6 

625

 log5



b) ln 7

5

ln

8

d)

 2 ln(5e7 )

16

1 e

2

 log5

1 125

 log

0,001 3

10

e 3

e 10 log 0,001 5

SOLUCIÓN: a) log2 3 256  log3 3

27 32

 log5

625

1 1 625  log2 256  log3 27  log3 3 32  log5  2 5 3 5

1 2 1 1  log2 28  log3 33  log3 3  log5 54  log5 5  3 3 2 2 8 2 1 25  3  2  . 3 3 4 12

b)

ln

1 7

e

2

 log5

1

 log

125

0,001 3

10

 ln1  ln e2  log5 1  log5 125  log0,001 log3 10  7

2 1 1  0  ln e  0  log5 53  log103  log10  7 2 3 

2 3 1 89  3   7 2 3 42

.

c) log6  36  65   log2 6 



8

 2 ln(5e7 ) 

16

 log6 36  log6 6  log2 8  log2 6 16  2(ln 5  ln e7 )  5

5 1  log6 62  log6 6  log2 23  log2 16  2 ln 5  14 ln e  2 6  2

5 4 71  3   2 ln 5  14  2 ln 5  . 2 6 6

d)

e

1 e ln 2 3e

1 1 1 (1  ) (ln e  ln 3 e ) e 2 3  5. 2    5 5 1 48 10 log 10  log 0,001 1 log10  log10 3 3 log 5 5 0,001 ln

3

49. Utiliza la calculadora para obtener una aproximación por redondeo a la centésima de: a) log5 72 b) log6 745 c) log2 17 SOLUCIÓN:

log72  2,66. log5 log745 log6 745   3,69 log6

log5 72 

a) b)

log2 17 

c)

log17  4,09. log2

50. Si log7 x  0,7 , 

3

log7 y  1,2



y log7 10  1,183 , calcula, usando las propiedades de los logaritmos:

3

7 xy  a) log7  5 2   x y  SOLUCIÓN:

b) log 3

x5 y x y2

3

 7 xy 3  1 1 1 a) log7  5 2    log7 7 xy 3  log7 x 5 y 2    log7 7  log7 x  log7 y 3  log7 x 5 y 2     3 3 2    x y  1 1   1  log7 x  3 log7 y  log7 x 5  log7 y 2   3 2  1 5 2   1  log7 x  3 log y y  log7 x  log7 y   3 2 2  1 5  (1  0,7  3  1,2  0,7  1,2)  0,783 . 3 2



b) log 3 

x5 y xy



2

 log 6



x5 y xy

2







1 1 1 1  log x  log 5 y  log x  log y 2   log x  log y  log x  2 log y   (*) 6 6 5 2 

Como log x 

log7 x log7 y 0,7 1,2   0.59 y log y    1,014 log7 10 1,183 log7 10 1,183

Entonces: (*) 





1 log x5 y  log x y 2  6

1  1 1  0,59  1,014  0,59  21,014  0,255  6  5 2