Facultad de Ciencias Grado de Óptica y Optometría

Curso 2010-2011 Física

SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 4: CAMPO MAGNÉTICO 1. Un electrón (m = 9,1·10-31 kg; q = -1,6·10-19 C) se lanza desde el origen de coordenadas en la dirección positiva del eje y con una velocidad de 2,5·106 m/s. Calcula a) los vectores fuerza y campo magnéticos (valor, dirección y sentido) que obligarán al electrón a seguir una trayectoria semicircular desde el origen a un punto situado a 10 cm en la parte positiva del eje x. b) Repite los cálculos si el punto está situado a 10 cm en la parte negativa del eje x. c) Calcula en ambos casos el tiempo que el electrón tardará en hacer el recorrido.

a) Para que la trayectoria semicircular pase por

Z

x = 10 cm , siendo la velocidad inicial de la

partícula un vector dirigido en el eje Y positivo,

10 cm

es obligado que la trayectoria semicircular se

Fm

v

Y

encuentre sobre el plano XY (ver figura). Por lo X

tanto la fuerza magnética, cuando comienza el

movimiento, será un vector perpendicular a la


velocidad y dirigido en el eje X. Como Fm = q v ∧ B y la carga es negativa, el producto

(

)

vectorial de la velocidad por el vector inducción


magnética, v ∧ B , debe tener sentido contrario a Fm .

Z

v

Y

Fm Regla de la mano derecha

X B

Según la regla de la mano derecha la única
posibilidad es que el vector B se encuentre dirigido en el eje Z y en sentido negativo. Como el movimiento de la partícula es circular y uniforme, sólo tendrá aceleración normal. Aplicando la segunda

ley de Newton se tiene: 2



2 ,510 · 6)

v2
−31 ( F = m·a  → Fm = m = 9 ,110 · = 1,110 · −16 N  → Fm = 1,110 · −16 i N −2 R 510 · lo que proporciona el vector fuerza magnética en el momento de comenzar el movimiento. Para obtener el campo magnético, se utiliza la expresión anterior conociendo la expresión del módulo de la fuerza magnética.

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v2 mv 9 ,110 · −31·2 ,510 · 6 F = m·a  → q vB = m  →B = = = 0 , 28 mT  → B = − 0 , 28 k mT R q R 1, 610 · −19 ·510 · −2 b) Este apartado se realiza de forma idéntica al anterior, resultando:



Fm ' = −1,110 · −16 i N y B = 0 , 28k mT c) Como el módulo de la velocidad es constante se cumplirá:

L = vt  → π R = vt  →t =

πR v

=

π ·510 · −2 2 ,510 · 6

= 63 ns

2. Un ión con carga igual a la de un protón y masa 2 u se mueve en un campo magnético de 6,0 T con una velocidad de 4,0·106 m/s. Haz un esquema y calcula el valor, dirección y sentido de la fuerza que actúa inicialmente sobre el ión cuando éste se mueve a) paralelo al campo y b) en una dirección que forma con el campo magnético un ángulo de 30º. En este segundo caso, calcula c) el radio de la hélice descrita y d) el desplazamiento en la dirección del campo después de completar tres vueltas. Dato: 1 u = 1,67·10-27 kg

a) Si el ión se mueve con velocidad paralela al campo magnético, la fuerza que actúa sobre él es nula. El vector fuerza que actúa sobre una carga en movimiento en el seno de un campo magnético es F = qv ∧ B , cuyo módulo viene dado por:

F = q vB·sin θ donde θ es el ángulo que forman v y B.

y

Si v y B son paralelos, θ=0 y por lo tanto la fuerza es nula. La v

partícula no se desvía de su trayectoria y continúa

B

desplazándose con un movimiento rectilíneo uniforme.

x

b) Si el ión se mueve en una dirección que forma 30º y

con el campo magnético, habrá una componente de la velocidad paralela al campo, y otra componente

v

perpendicular al campo. La componente paralela da lugar a un movimiento rectilíneo (ausencia de fuerza) y

F B

x

la componente perpendicular da lugar a una fuerza F, F = qv ∧ B cuya dirección es perpendicular al plano que forman v y B, y cuyo sentido viene

determinado por la regla de la mano derecha. La trayectoria del ión tiene forma de hélice. En nuestro caso, la componente perpendicular está en el eje y y el campo en el eje x. Por lo

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tanto, según la regla de la mano derecha, la fuerza tiene el sentido del eje z negativo. Y, su módulo vendrá dado por: F = q vB·sin θ = 1,610 · −19 ·6·410 · 6 ·sin 30º = 1,9 pN . Otra forma de realizar este cálculo de la fuerza magnética es calcular el producto vectorial correspondiente:

i F = q v cos θ B

j vsenθ 0

k 0 = − qBvsenθ k = -1,9k pN 0

c) El radio de la órbita descrita se obtiene igualando la fuerza magnética a la fuerza centrípeta:

F = qv y B  2 mv y  mv y 2 mv y  r = qv y B → r = qB F=  r 

r=

mv y qB

=

mv sin θ 21 · , 6710 · −27 ·4, 010 · 6 ·sin 30º = = 6,9610 · −3 m ≈ 7, 0 mm −19 qB · ·6,0 1,610

d) El tiempo que tarda en dar una vuelta se puede obtener considerando la longitud de una vuelta y la velocidad con que recorre cada vuelta, es decir, la velocidad en la dirección y. T=

2π ·r 2π ·r 2π ·m·v·senθ 2π ·m 2π ·21 · , 6710 · −27 = = = = = 22 ns vy v·senθ v·senθ · q B qB 1, 610 · −19 ·6

La distancia que avanza después de dar tres vueltas se obtiene considerando el tiempo invertido en cada vuelta y la velocidad en la dirección del eje x, es decir, la velocidad de avance. d = 3·T·vx = 3·21,910 · −9 ·4 , 010 · 6 cos 30 = 23 cm

3. Iones de dos isótopos (misma carga pero distinta masa) del magnesio con masas 24 y 26 u y carga 1,6·10–19 C, se aceleran primero a través de una diferencia de potencial de 2,0 kV y después se introducen en un campo magnético uniforme de 50 mT perpendicularmente a las líneas del campo. Calcula a) las velocidades de los iones en el campo magnético y b) la diferencia entre los radios de curvatura de los iones en el campo magnético.

a) Las velocidades de los iones se pueden obtener considerando que el trabajo invertido en acelerarlos se transforma en energía cinética:

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 2 q ∆V 1 2  1 2  q ∆V = mv → v = 2 m = mv  2 

W = q ∆V Ecinetica La velocidad de cada ión:

v1 =

2 q ∆V · , 610 · −19 ·2, 010 · 3 m 21 = = 1, 2610 · 5 m/s ≈ 1,310 · 5 −27 m1 241 · , 6710 · s

v2 =

2 q ∆V · , 610 · −19 ·2, 010 · 3 m 21 · 5 m/s ≈ 1, 210 · 5 = = 1, 2110 −27 261 m2 · , 6710 · s

b) Los radios de las órbitas descritas por cada uno de los iones: m1v1  q B  m v mv 1 → ∆r = 2 2 − 1 1 =   mv qB qB qB r2 = 2 2  q B 

r1 =

· 3 2·210 1, 610 · −19 ∆r = 5010 · −3

2m2 q ∆V − 2m1 q ∆V =

2∆V q B

m2 − m1

261 · , 6710 · −27 − 241 · , 6710 · −27 = 0 , 026 m

4. Un conductor rectilíneo de longitud 88 cm está situado perpendicularmente a las líneas de un campo magnético homogéneo. a) Calcula el valor del campo si sobre el conductor actúa una fuerza de 1,6 N al pasar una corriente de 23 A. b) ¿Cómo hay que disponer el conductor para que la fuerza disminuya a la mitad? a) El valor del campo se obtiene considerando la fuerza sobre el conductor: F = I ℓ ∧ B . Como ℓ y B son perpendiculares, el módulo de la fuerza viene dada por: F = IℓB . Y el valor del campo: B=

B

F 1,6 = = 79,1·10 −3 T ≈ 79·10 −3 T − 2 Iℓ 23·88·10

I F

b) El valor de la fuerza depende de la orientación relativa entre el conductor y el campo. Cuando son perpendiculares la fuerza es máxima, y cuando son paralelos la fuerza es nula. Para una orientación cualquiera α: F ' = IℓB sin α Si queremos que F se reduzca a la mitad:

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F I ℓB = I ℓB sin α = 2 2 1 sin α = → α = 30º 2

F' =

B

α

I

Hay que girar el conductor hasta que forme un ángulo de 30º con el campo (o también girar la dirección del campo

F

magnético 30º).

5. Un conductor de longitud 20 cm y densidad 5,1 g/cm se cuelga horizontalmente de dos muelles iguales de constante elástica K = 5,0 N/m en un campo magnético homogéneo de 0,50 T. a) Razona cuál debe ser la dirección y el sentido del campo para que cuando circula corriente por el conductor de izquierda a derecha, la fuerza magnética sea máxima, vertical y dirigida hacia arriba. b) Calcula lo que se alargan los muelles cuando por el conductor la corriente es cero y cuando es 5,0 A. c) ¿Qué corriente debe pasar por el conductor para que el alargamiento sea cero?

a) La fuerza magnética sobre un conductor por el que circula corriente en el seno de un campo magnético, es perpendicular a la corriente y al campo magnético. En

B

este caso, si la corriente es horizontal (eje x positivo) y la fuerza magnética vertical (eje y positivo), el campo ha de ser perpendicular al conductor y también horizontal (eje z). El sentido de la fuerza viene determinado por la regla I

de la mano derecha, por lo tanto, para que la fuerza sea vertical y hacia arriba, B tiene que estar orientado en el

y

sentido negativo del eje z. b) Cuando la corriente es cero, la única fuerza a la que se

z

x

someten los muelles es el peso: F = m· g = λm ·ℓ· g = 5,1·10−3·102 ·20·10 −2 ·9,8 = 1, 00 N Al encontrarse los dos muelles en paralelo, la constante elástica equivalente es la suma de las constantes elásticas de cada muelle (ver tema 2), luego el alargamiento de los muelles es: ∆ℓ =

F 1, 00 = = 0,10 m K 5, 0 + 5, 0

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Cuando la corriente es de 5,0 A, actúa además la fuerza magnética. Esta fuerza es perpendicular al campo magnético y al conductor. F = I ℓ ∧ B  → F = I ℓB = 5, 0·20·10−2 ·0,50 = 0,50 N

Su sentido viene dado por la regla de la mano derecha, y en ente caso está orientada en el sentido positivo del eje y. Por lo tanto, sobre el conductor actúan ahora dos fuerzas en sentido contrario. La fuerza total será: Ftotal = 1, 00 − 0,50 = 0, 50 N , en el sentido negativo del eje y Y el alargamiento vendrá dado por: ∆ℓ =

F 0, 50 = = 5, 0 cm K 5, 0 + 5, 0

c) Para que el alargamiento sea cero, la fuerza magnética debe compensar a la fuerza peso, de forma que la fuerza total sea nula. F ' = I ' ℓB = 1, 00 N  →I '=

F' 1, 00 = = 10 A ℓ· B 20·10 −2 ·0, 50

6. Un protón se mueve en línea recta con una velocidad de 2,0·106 m/s en el sentido positivo del eje x (figura 1).

Figura 1

y

Calcula el campo magnético en los puntos a) (0; 4,0) cm

+x

y b) (4,0; 3,0) cm cuando el protón pasa por el origen de coordenadas. c) Si el protón describe una circunferencia

y

Figura 2

+

de radio 2,0 cm con centro en el punto (0; 2,0) cm como

x

se indica en la figura 2, calcula el campo magnético en

el centro de la circunferencia. d) Razona los cambios que se producen en los casos anteriores si en vez de un protón se trata de un neutrón o de un electrón. Indica en todos los apartados, con la ayuda de un esquema, la dirección y sentido del campo magnético.

a) El campo magnético creado por una carga puntual a una distancia r viene dado por la expresión: B = km

qv r2

∧ u r , donde ur es el vector unitario en el y

sentido que une la carga con el punto donde se calcula el campo. B

En este caso queremos calcular el campo magnético a 4,0 cm del origen. Como los vectores v y ur son perpendiculares, el valor del

ur

v

x

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campo en el punto A(0; 4,0 ) es: BA = k m

−19 qv ·2, 0·106 −7 1, 6·10 = 10 = 2, 0·10−17 T −2 2 r2 ( 4, 0·10 )

La dirección y sentido de este campo se obtiene al girar con la mano derecha el vector v hacia ur por el camino más corto. En este caso, B tiene sentido positivo del eje z.

Otra forma de abordar el problema es la siguiente. Los vectores unitario y velocidad son respectivamente u r = ( 0;1; 0 ) ; v = ( 2, 0·106 ; 0;0 )

m , por lo tanto: s

i 10−7 ·1, 6·10−19 BA = 2·106 2 −4 4 ·10 0

j k

0 0 = 2, 0·10−17 k T 1 0

b) En este segundo caso queremos calcular el campo magnético a

y

una distancia r = 4, 02 + 3, 02 = 5, 0 cm del origen. Ahora, los

B

ur

x

v

vectores v y ur forman un ángulo θ = arctan(3,0 4,0) = 36,9º y el módulo del campo magnético es: BB = km

−19 qv ·2, 0·106 −7 1, 6·10 sin 10 sin 36,9 = 7,7·10−18 T θ = 2 2 − 2 r ( 5, 0·10 )

Igual que en el caso anterior, B tiene sentido positivo del eje z. De la misma forma que en el apartado anterior puede obtenerse el campo magnético en el punto B ya que conocemos los vectores unitario y velocidad de la partícula m 4 3  u r =  ; ; 0  ; v = ( 2, 0·106 ;0; 0 ) . s 5 5 

i 10 −7 ·1, 6·10 −19 BB = 2·106 2 −4 4 ·10 4 5

j

k

0

0 = 0, 77·10 −17 k T

3

0

5

c) Cuando el protón describe una circunferencia de radio r, el campo magnético en el centro de la misma es, en módulo:

B = km

qv r2

= 10− 7

1,6·10−19 ·2,0·106

(2,0·10 )

−2 2

= 8,0·10−17 T

y v B

ur x

Ahora el campo magnético tiene sentido negativo del eje z. d) Si en lugar de ser un protón se trata de un electrón, el módulo del campo magnético sería el mismo en todos los casos, pero cambiaría el sentido, es decir, en los apartados a) y b)

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obtendríamos sentido negativo del eje z y en apartado c) sentido positivo del mismo eje. Si la partícula fuera un neutrón, al ser su carga nula, no crearía ningún campo magnético.

7. En un punto de la Tierra el valor del campo magnético es 3,4·10-5 T y está dirigido hacia el Norte. En un cierto instante la fuerza sobre un electrón que se mueve en ese punto es de 2,5·10-19 N y está dirigida hacia el Oeste. a) Calcula el módulo del vector velocidad del electrón. Indica su dirección y sentido en un sistema de ejes donde el plano horizontal contiene las direcciones Norte-Sur y Este-Oeste. b) Calcula el peso del electrón, ¿cómo influye en su movimiento? Razona la respuesta. c) Dibuja la trayectoria del electrón en el sistema de ejes descrito en el apartado (a) y calcula su radio.

a) La fuerza magnética sobre una carga en un campo magnético viene dada por la expresión:

F = qv ∧ B A partir del módulo de la fuerza obtenemos el módulo del vector velocidad.

B F

F = qvB sin θ v=

v

F 2,5·10−19 = = 4, 6·104 m / s −19 −5 qB sin θ 1, 6·10 ·3, 4·10 sin 90º N

El vector velocidad es perpendicular al plano que forman las direcciones N-S y E-O, tal como indica la figura. Al girar la mano

E

O S

derecha, desde v hasta B y cambiando el sentido por tratarse de una carga negativa, obtenemos la dirección de F.

b) El peso del electrón es P = m·g = 9 ,110 · −31·9 ,8 = 8,9210 · −30 N . Esta fuerza es mucho más pequeña que la fuerza magnética y por tanto, no va a influir en el movimiento. c) La trayectoria del electrón será circular, porque el vector velocidad y el vector campo magnético son perpendiculares. Además, el vector fuerza

E

O

F v

apunta al centro de la circunferencia. Para calcular el radio, igualamos la fuerza magnética a la fuerza centrípeta:

m·

N

B

v2 m·v 9,1·10−31 ·4, 6·104 = qvB → R = = = 7, 7·10−3 m −19 −5 R q·B 1, 6·10 ·3, 4·10

S