Solution to the Multiple Products Transportation Problem: Linear Programming Optimization With Excel Solver L. C. Sánchez and J. Herrera Abstract— Transport model is an algorithm recognized and applied in logistics processes product distribution in organizations. The multiple forms of solution are algorithmically and technological, which are applied to determine the optimal allocation for a single type of product. In this paper the general formulation of the transport model by linear programming, where the optimal solution for various types of related products integrates and by a numerical illustration, dynamic, easy understanding develops computer in Excel Solver. When selected, the implementation of the model is provided in an organization. Keywords— Transport model, distribution center, multiple products.

I.

INTRODUCCIÓN

de transporte es una sub-clase de problema ELdeMODELO programación lineal, cuyo objetivo es el transporte

eficiente (mínimo costo o trayecto) de un producto. El problema involucra múltiples orígenes para el almacenamiento y múltiples destinos para la entrega del producto [1]. Las bases del modelo de transporte fueron formuladas en [2] y diversos enfoques desarrollados desde entonces. A modo de ejemplo, en [3] presentan el método trampolín que provee un camino alternativo para determinar la información del método simplex. En [4] presentan el método del pivote de Gauss Jordán, este enfoque es más rápido que el método simplex, más general que el método de trampolín y más sencillo que los dos. El valor de los parámetros como números fuzzy, fue propuesto en [5], en este trabajo se supone que por la naturaleza de algunos problemas, es imposible obtener un valor exacto de los parámetros, obteniendo únicamente aproximaciones. Enfoques más recientes que tratan esta problemática se pueden encontrar en [6] [7]. Un enfoque más real requiere el transporte de múltiples productos con funciones de múltiples objetivos [8]. Una variedad de enfoques se han propuesto en la literatura para hacer frente a este problema. Por ejemplo, en [9] proponen un enfoque de programación por metas. En [10] aplican la teoría fuzzy, los resultados indican que las soluciones obtenidas por este método siempre son las mejores, en este misma línea [11]

L. C. Sánchez, Centro de Investigación y Desarrollo CINDE, Universidad América, [email protected] J. Herrera, Departamento de Ingeniería, Facultad de Ciencias Naturales e Ingeniería, Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano, [email protected]

se desarrolló un algoritmo para identificar las soluciones no dominantes. Un enfoque que utiliza una función de membresía hiperbólica fue propuesto en [12], los resultados presentados muestran que un enfoque basado en un operador fuzzy y una función de membresía hiperbólica pueden dar mejores resultados. El estudio más reciente es una solución por aproximación con programación meta [13] a través de desviaciones que conforman las metas de acuerdo a prioridades y ponderaciones que reciban, este modelo se planteó para tres productos. Su desarrollo fue algorítmico, bajo un caso hipotético de asignar costos de envío por unidad a cada cliente bajo el manejo selectivo de las fuentes. El modelo que se presenta es un caso hipotético numérico para cuatro productos con diferentes parámetros de oferta y demanda, los cuales generan un modelo de sesenta y cuatro (64) variables, y una solución óptima en Excel Solver, que se puede utilizar para más productos con aplicativos más robustos como el Gams. El trabajo está organizado de la siguiente manera: en la Sección II se describen conceptos básicos del problema de transporte, en la Sección III se presenta el modelo de programación lineal propuesto. En la Sección IV se presentan los resultados de simulación obtenidos. Por último, en la Sección V se presentan las conclusiones. II.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En un sistema de producción hay costos que agregan valor al producto y otros no, estos son los de distribución, que tienen una gran incidencia porcentual en el precio de venta, y por lo tanto optimizarlos es un reto del área logística para obtener una ventaja competitiva y posicionarse en un mercado dinámico. Para esto el área de logística define sus canales de distribución localizan centros de distribución o bodegas en puntos estratégicos cerca de los potenciales compradores o clientes, a su vez determina los medios de distribución o transporte teniendo en cuenta que los costos unitarios de distribución varían por producto según su peso y/o volumen. El modelo utilizado para optimizar estos costos es el de transporte, que esta modelado para un producto, si se requiere distribuir k productos, se tendrá que elaborar un cálculo por producto k e integrar las cantidades de envío en un consolidado de distribución.

Estudios realizados para solucionar este problema están dirigidos a obtener una solución para múltiples productos de aproximación por metas, que con alguna complejidad alcanzarían a obtener una solución cercana a lo óptimo [14].

Y si la demanda es mayor que la oferta > se deberá adicionar una fila ficticia con un número de unidades iguales a

El modelo por programación lineal que se presenta en este documento elimina la complejidad y da una solución óptima identificando las unidades en inventario y la demanda insatisfecha en tiempo real a su vez permite generar escenarios.

El modelo se representa en una matriz ver la Fig. 1. Las filas identifican los centros de distribución y los parámetros de . Las columnas identifican los clientes y los oferta . parámetros de demanda

III. FORMULACIÓN DEL PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELO

POR

La formulación del modelo deberá cumplir las siguientes condiciones: • La función objetivo y las restricciones deben ser lineales. Cada vector de esta función representa el costo por producto, existen k filas dependiendo del número de productos y conforman una matriz . • La suma de las capacidades de las fuentes debe ser igual a la suma de los requerimientos de los destinos por producto k, si se da una desigualdad se deberá adicionar una fila o columna ficticia con el valor absoluto de las unidades faltantes o sobrantes y costos cero (0), de la siguiente forma: Si la oferta es mayor que la demanda > se deberá adicionar una columna ficticia con un número de unidades | − | , y costos =0 para todo iguales a = , , … .

˄

= 1, 2, 3 … . ˄ = 1, 2,3 …

.

|

− |, y = , , … . ˄

costos =0 = 1, 2, 3 … . ˄ = 1, 2,3 …

para

todo

.

por unidad y las En la intersección se registran los costos variables de solución , por el envío de una cantidad de productos , de un centro de distribución a un cliente j. Para el desarrollo de este modelo se tomó como referente la matriz propuesta en [14]. Índices Índice que identifica el centro de distribución, para todo = 1, 2, 3 … … . . Índice que identifica = 1, 2, 3 … … . .

los

clientes,

Índice que identifica el tipo de producto, = , , ……. .

para

todo

para todo

Parámetros Cantidad que oferta del centro de distribución producto .

del

Costo por enviar una unidad del centro de distribución , al cliente del producto . Cantidad que demanda el cliente

Figura1. Representación del problema del transporte de múltiples productos en una matriz.

del producto

.

Variables Cantidad de unidades enviadas del centro de distribución , al cliente del producto Función objetivo

Demanda de productos de los clientes. Los clientes demandan productos (a, b, c y d) a la empresa MERCAR, el cliente C2 no requieren producto b y el cliente C4 producto d, ver Tabla III. TABLA I. COSTOS POR UNIDAD DE TRANSPORTAR PRODUCTO k DE CADA BODEGA A LOS CLIENTES.

1

= , , … .

=

∗

= 1, 2, 3 … . = 1, 2,3 …

.

Restricciones =

= , , … . = 1, 2, 3 … . = , , … .

=

2

= 1, 2,3 …

3

. TABLA II. UNIDADES EN INVENTARIO.

= , , … .

=

4

= 1, 2, 3 … . = 1, 2,3 … 0

⩝

.

,

5

El objeto de la ecuación (1) es cuantificar el valor mínimo de los costos totales de transportar los productos desde las distintas fuentes , a los diferentes destinos . La ecuación. (2) es la representación de la oferta de cada uno de los centros de distribución a los diferentes clientes de los diferentes productos . (3) Es la representación de la demanda de cada uno de los clientes de los diferentes productos a los centros de distribución . (4) Es la ecuación de balance; la suma de la oferta del producto de los centros de distribución , deberá ser igual a la suma de la demanda de los clientes . (5) Es la ecuación de la no negatividad, significa que los valores deberán ser cero (0) o valores positivos. IV.

RESULTADO DE LA SIMULACIÓN

Para dar aplicabilidad del modelo solucionamos el siguiente problema numérico de distribución. MERCAR es una distribuidora de productos (a, b, c y d) de consumo popular en la ciudad de Bogotá, tiene cuatro puntos de distribución (B1, B2, B3 y B4) a los clientes (C1, C2, C3 y C4).

TABLA III. UNIDADES DEMANDADAS.

B. Cumplimiento de condiciones para formular el modelo • Comparación de oferta y demanda por producto k. Se verifica que la sumatoria de la demanda por productos k de los diferentes clientes j, sea igual a la sumatoria de la existencia de producto k en las bodegas i, ver Tabla IV. TABLA IV. COMPARACIÓN DE LA OFERTA Y DEMANDA DE LOS PRODUCTOS k PARA HACER BALANCEO.

A. Parámetros de entrada del modelo • Costos de envío por unidad. El área de logística ha determinado las siguientes tarifas en unidades monetarias por transportar cada unidad, estas tarifas se calculan con base en el peso y/o el volumen del producto y/o la distancia de la bodega y el cliente, ver Tabla I. • Inventarios en bodega. La empresa tiene en las bodegas inventario productos (a, b, c y d) en las bodegas (B1, B2, B3 y B4), la bodega B3 no tiene en inventario producto a y la B4 producto c, ver Tabla II.

• Balanceo de la oferta y la demanda por producto k. Se determina haciendo una resta de valor absoluto de oferta menos demanda, como resultado de esta operación se pueden dar las siguientes situaciones:  La oferta igual a la demanda. En balanceado el producto k.

este caso esta

 La oferta es mayor a la demanda. En este problema se da para los productos b y d, para esto se balanceó el modelo

adicionando columnas ficticias para el cliente C2 con 700 unidades del producto b y 20 unidades al cliente C4, los costos correspondientes de las columnas serán igual a cero = 0.  La demanda es mayor a la oferta. En este problema se da para los productos a y c que los almacenados en las bodegas B3 y B4. Para esto se balancea el modelo adicionando filas ficticias para la bodega B3 con 70 unidades del producto a y 180 unidades del producto c en la bodega B4. Los costos correspondientes de la fila serán igual a cero = 0, ver Tabla V. TABLA V. MATRICES DE LOS PRODUCTOS AJUSTADOS CON LOS PARAMETROS DE OFERTA, DEMANDA Y COSTOS.

C. Formulación matemática del modelo propuesto La base de la formulación es la programación lineal con algunas particularidades ver fig. 2. • La función objetivo. Es una matriz compuesta por k ∗ . El vector fila, uno por cada producto, se registra o la Z min total es el resultado de la sumatoria de los multiplicación suma producto de las dos matrices. • Restricciones. El número de restricciones depende del número de bodegas y clientes, para este ejemplo son ocho (8). Al lado izquierdo de la restricción se registra la sumatoria de con el coeficiente uno (1) que significa variables conectividad del origen i con del destino j. Al lado derecho se registra la matriz de oferta y demanda por producto ajustado k. El signo de comparación es el igual (=).

Figura 2. Formulación matemática del modelo.

• Restricción de no negatividad. Se asume que en el resultado del modelo las variables de decisión son cero o positivas 0. D. Registro y formulación del modelo en Excel Para dar el modelo se deberá seguir el siguiente procedimiento para registrar y formular el modelo en la hoja de Excel según las siguientes indicaciones, ver Fig. 3. • Identificación del vector de conectividad de los orígenes i con los destinos j, F2:U2. Todos los productos k salen de las mismas bodegas i y llegan a los mismos clientes j generando los mismos ruteos, por lo tanto se registra n elementos del vector fila de conectividad , para este ejercicio son diez y seis (16) las rutas. • Matriz de costos, F3:U6. se registra una matriz de costos m x n, cada uno de los vectores fila m de la matriz representa son el valor de envío unitario por los costos , estos producto k, por cada una de las rutas n de conectividad. • Matriz de variables de solución, F7:U10. En estas celdas al dar solución del modelo en Solver se dan las cantidades óptimas de envío de cada uno de los centros de distribución i a los clientes j. • Función objetivo, W: 5. Se formula multiplicando cada vector por el costo correspondiente y se calcula el costo mínimo de envío por producto. La suma de estos costos da el Z mínimo total. • Lado izquierdo de las restricciones de oferta, F13:U16. Se registran los coeficientes uno (1), que indica disponibilidad de cada bodega i con los clientes j. • Lado izquierdo de las restricciones de demanda, F18:U21. Se registran los coeficientes uno (1), que son la conectividad para enviar los requerimientos del producto k a los clientes j de cada bodega i. • El lado derecho de las restricciones de la oferta, V13:Y16. Al lado derecho se registran las cantidades de demanda ajustadas por producto k, requerido por cada cliente j, se compara el lado izquierdo de la restricción con el signo igual (=) con el lado derecho.

Figura 3. Registro y formulación del modelo en Excel.

Figura 4. Solución del modelo en Excel.

• El lado derecho de las restricciones de la demanda, V18:Y21. Al lado derecho se registra las cantidades disponibles ajustadas por bodega del producto k, se compara el lado izquierdo de la restricción con el signo igual (=) con el lado derecho. • Formulación de la matriz oferta y demanda del lado izquierdo de las restricciones, V13:Y16 y V18:Y21: Se formula el primer elemento de cada vector columna; multiplicando el vector fila de la bodega i por el vector fila de las variables del producto k correspondiente, este vector se fija y se copia en toda la columna. Se repite el procedimiento para cada vector de cada producto k. • Registro del modelo en Excel Solver. Para dar la solución al modelo en Excel se debe habilitar Solver, la rutina es la siguiente; Opciones / Complementos / Complementos de Excel / Ir / Solver. El Solver quedará habilitado en la página

de “Datos” y se procede a registrar el modelo en Excel en “Parámetros de Solver”. E. Resultados con la solución del modelo en Solver El modelo da la solución de las cantidades óptimas de envío de producto k por ruta en las celdas de la matriz de “Variables de solución”, da las cantidades óptimas de envió y a su vez el valor económico óptimo por producto y total $W$5 que es 18.264 unidades monetarias ver Fig. 4. Además el modelo da unos valores agregados de información como son: el número de unidades en inventario identificando el centro de distribución que las tiene (celdas de color Azul y café) y las unidades que no se envían y generan demanda no satisfecha indicando los clientes (celdas de color amarilla y verde). Para verificar la efectividad del modelo se pueden hacer soluciones por producto k.

CONCLUSIONES En este trabajo se obtuvo la solución óptima por producto cada k y se compararon los resultados con el modelo propuesto, obteniéndose la misma solución. Por lo tanto, se puede asegurar que el modelo cumple con el objetivo al integrar todos los productos en un solo modelo y dar una solución óptima. Adicionalmente, en el modelo propuesto se identifican las cantidades de envío a cada uno de los clientes, identificando las unidades en inventario y de demanda insatisfecha. Así como los costos por producto y totales. El modelo propuesto es de fácil aplicabilidad, supera la complejidad de propuestas similares de solución, con este aplicativo se pueden generar resultados en tiempo real con altos valores agregados y dar soluciones a escenarios múltiples, para esto se convierte en parámetro una(s) variable(s) y/o se modifican los parámetros de oferta y demanda. La formulación propuesta se puede aplicar a problemas con un gran número de variables, utilizando software de mayor capacidad como el GAMS, siendo este el siguiente trabajo de la investigación. AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido financiado parcialmente por la Universidad Jorge Tadeo Lozano a través del proyecto de investigación 644-11-14. REFERENCIAS [1] L. C. Sanchez, Modelos Cuantitativos en Excel Solver, Bogotá: Universidad EAN, 2007. [2] F. L. Hitchcock, «The distribution of a product from several sources to,» Journal of Mathematical Physics, vol. 20, pp. 224-230, 1941. [3] A. Charnes y W. W. Cooper, «The Stepping-stone method for explaining linear programming calculation in transportation problem,» Management Science, vol. 1, pp. 49-69, |1954. [4] H. Arsham y A. B. Kahn, «A simplex type algorithm for general transportation problems: An alternative to stepping-stone,» The Journal of Operational Research Society,, vol. 40, pp. 581-590, 1989. [5] S. Kikuchi, «A method to defuzzify the number: transportation problem application,» Fuzzy Sets and Systems, vol. 116, pp. 3-9, 2000. [6] M. Díaz-Madroñero, D. Peidro y J. Mula, «A fuzzy optimization approach for procurement transport operational planning in an automobile supply chain,» Applied Mathematical Modelling, vol. 38, pp. 5705-5725, 2014. [7] N. Cetin y F. Tiryaki, «A Fuzzy Approach Using Generalized Dinkelbach’s Algorithm for Multiobjective Linear Fractional Transportation Problem,» Mathematical Problems in Engineering, vol. 2014, pp. 1-10, 2014. [8] J. Garcia, R. Menchaca, R. Menchaca y R. Quintero, «A StructureDriven Randomized Algorithm for the K-Center Problem,» IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, vol. 13, nº 3, pp. 746-752, 2015. [9] S. M. Lee y L. J. Moore, «Optimizing transportation problems with multiple objectives,» AIEE Transactions, vol. 5, pp. 333-338, 1973. [10] H. J. Zimmermann, «Fuzzy programming and linear programming with Several objective functions,» Fuzzy Sets and Systems, vol. 1, pp. 45-55, 1978. [11] H. Isermann, «The enumeration of all efficient solutions for linear,» multiobjective transportation problem, vol. 1979, pp. 123-139, Naval Research Logistic Quarterly. [12] H. Leberling, «On finding compromise solutions for multicriteria problems using the fuzzy min-operator,» Fuzzy Sets and Systems, vol. 6, pp. 105-118, 1981. [13] H. Jose, «Solución al problema del transporte: Una aproximación con programación lineal,» Investigación operacional, vol. 25, nº 2, pp. 119131, 2004.

[14] G. M. Hernández Jose, «Solución al problema del transporte de multiples productos: Una aproximación con programación meta,» Revista investigación operacional, p. 122, 2004.

Luis Carlos Sánchez se graduó como ingeniero industrial en 1985 y tituló como Magister en Ingeniería Industrial con énfasis en producción e investigación de operaciones en la Universidad Distrital FJC en el año 2012. Especialista en gerencia social de la Universidad Antonio Nariño en 1996. Actualmente es docente investigador asociado de la Universidad América. Entre sus líneas activas de investigación se encuentra la simulación de modelos matemáticos para potencializar los procesos logísticos de las organizaciones Jorge Herrera se graduó como ingeniero electrónico en la Universidad del Quindío, en 2004. Doctor en Informática Industrial y técnicas avanzadas de producción por la Universidad Autónoma de Barcelona. Actualmente es profesor titular del programa de Ingeniería Industrial de la Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano. Entre sus líneas activas de investigación se encuentra la identificación paramétrica y el control adaptable.