Tema 7

Sucesiones de funciones Definici´ on 7.1 – Sea A ⊆ IR y F (A, IR) el conjunto de las funciones de A en IR. Llamaremos sucesi´ on de funciones de A a cualquier aplicaci´on de IN −→ F (A, IR), y la denotaremos por {fn }∞ o {fn (x)}∞ n=1 ´ n=1 .

7.1

Convergencia puntual.

Definici´ on 7.2 – Diremos que la sucesi´on de funciones {fn (x)}∞ n=1 de A converge en el punto ∞ a ∈ A si, y s´olo si, la sucesi´on num´erica {fn (a)}n=1 es convergente. Es decir, si, y s´olo si, existe y es finito el lim fn (a). n→∞

on de funciones de A. Llamaremos conjunto de Definici´ on 7.3 – Sea {fn (x)}∞ n=1 una sucesi´ convergencia de {fn (x)}∞ al conjunto de puntos de A en los que converge la sucesi´on de n=1 funciones, es decir, al conjunto C = {a ∈ A : {fn (a)}∞ n=1 converge}. A la funci´on f : C −→ IR, definida por f (x) = lim fn (x), se le llama funci´ on l´ımite de la n→∞

sucesi´on de funciones y diremos entonces que {fn }∞ n=1 converge o converge puntualmente (punto a punto) hacia f en C . Usaremos, para expresar esto u ´ltimo, la notaci´on fn −→ f en C . Ejemplo 7.4 – Sea {fn : [0, ∞) −→ IR}∞ n=1 , definidas por fn (x) = x = lim fn (x) = lim n→∞ n→∞ 1 + nx

Para cada x ∈ [0, ∞),

(

x 1+nx .

lim 0 = 0, si x = 0

n→∞ x lim 1+nx n→∞

1

n=1

1 2

n=2

1 3 1 4

n=3 n=4 . . .

= 0, si x ∈ (0, ∞)

.

16

Fig. 7.1. Gr´aficas de f y fn , para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20 .

Luego f : [0, ∞) −→ IR, definida por f (x) = 0, es la funci´on l´ımite de {fn }∞ n=1 . (

Ejemplo 7.5 – Sea {fn : [0, ∞) −→

IR}∞ n=1 ,

definida por fn (x) =

(

lim fn (x) = f (x) =

n→∞

Sucesiones y Series de Funciones.

4

xn , si 0 ≤ x ≤ 1 1, si x > 1

lim xn = 0, si x ∈ [0, 1)

n→∞

lim 1 = 1, si x ≥ 1.

n→∞

81

7.2 Convergencia uniforme. 1

x x2 x30 1

Fig. 7.2. Gr´aficas de f y fn , para n = 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 30. (

Luego f : [0, ∞) −→ IR, dada por f (x) =

0, si x ∈ [0, 1) , es la funci´on l´ımite. 1, si x ≥ 1

4

(

1, si |x| ≤ n . Entonces, para 0, si |x| > n cada x ∈ IR, existe nx ∈ IN tal que |x| ≤ nx , luego para todo n ≥ nx , fn (x) = 1. En consecuencia, lim fn (x) = 1 = f (x), para todo x ∈ IR. 4

Ejemplo 7.6 – Sea {fn : IR −→

IR}∞ n=1 ,

definida por fn (x) =

n→∞

Ejemplo 7.7 – Sea {fn : [0, ∞) −→ IR}∞ n=1 , donde fn (x) = Entonces, para cada x ∈ (0, 1), existe nx tal que

1 nx

          

h

1 n, si x ∈ 0, n+1

(n2 +n)(1−nx), si x ∈ 0, si x ∈

h

h

´

1 1 n+1 , n

´

´

1 n, ∞

< x, luego para todo n ≥ nx , fn (x) = 0.

6 5 4 3 2 1 11 1 65 4

1 3

1 2

1

Fig. 7.3. Gr´aficas de f y fn , para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . (

En consecuencia, lim fn (x) = f (x) = n→∞

7.2

lim n = ∞, si x = 0

n→∞

lim 0 = 0, si x ∈ (0, ∞).

n→∞

4

Convergencia uniforme.

Definici´ on 7.8 – Diremos que la sucesi´on de funciones {fn }∞ n=1 de A converge uniformemente en el conjunto A hacia la funci´on f si, y s´olo si, para cada ε > 0, ∃ n0 ∈ IN tal que si n ≥ n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε, ∀ x ∈ A. c.u.

Usaremos, para indicarlo, la notaci´on fn −→ f en A Observaci´ on 7.9 – La convergencia (puntual) en cada punto de un conjunto no es lo mismo que la convergencia uniforme en ese conjunto; en el primer caso, la convergencia puntual en

Sucesiones y Series de Funciones.

82

7.2 Convergencia uniforme.

el conjunto, es una reuni´on de puntos en los que hay convergencia individual, mientras que en el segundo caso, la convergencia uniforme en el conjunto, es una convergencia que se verifica para todos los puntos del conjunto a la vez (es decir, de manera uniforme). Si expresamos la definici´on de convergencia puntual en un conjunto en los m´ısmos t´erminos en que tenemos definida la convergencia uniforme, la diferencia entre la convergencia uniforme y puntual en A es m´as clara: {fn }∞ n=1 converge puntualmente en A hacia f ⇐⇒ para cada x ∈ A, fn (x) −→ f (x) ⇐⇒ para cada x fijo de A y para cualquier ε > 0, existe un n0 (que depende de ε y del punto x) tal que si n ≥ n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε. En el caso de la convergencia uniforme: {fn }∞ n=1 converge uniformemente hacia f en A ⇐⇒ para cada ε > 0, existe n0 , (que depende de ε, pero no depende de x) tal que si n ≥ n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε, para todos los x de A. Es claro, por tanto, que si hay convergencia uniforme en un conjunto hay convergencia puntual en todos los puntos f −ε del conjunto. Luego para que podamos hablar de converf +ε gencia uniforme en un conjunto A debe de haber convergencia puntual en el conjunto. Gr´aficamente, la convergencia uniforme significa que para cada ε > 0 todas las funciones de la sucesi´on, a partir de una dada, est´an dentro de la “banda” formada por las funciones f − ε y f + ε. x 1+nx .

Ejemplo 7.10 – fn : [0, ∞) −→ IR, definida por fn (x) = x Como lim 1+nx = 0 = f (x), para todo x ∈ [0, ∞), n→∞ se tiene que fn −→ 0.

¦ Si x = 0, fn (0) = 0, ∀ n, luego |fn (0) − 0| = 0. ¯ ¯

¯ ¯

x − 0¯ = ¦ Si x > 0, ¯ 1+nx

x 1+nx

<

x nx

=

Luego dado ε > 0, existe n0 tal que

1 n. 1 n0

< ε, en consecuencia, si n ≥ n , se verifica que

0 ¯ ¯ c.u. ¯ ¯ x 1 1 |fn (x) − 0| = ¯ 1+nx − 0¯ < n < n0 < ε, para todo x ∈ [0, ∞), luego fn −→ 0.

4

 −1   −1, si x ≤ n

1 nx, si −1 n 0  1, si x > 0

Ejemplo 7.11 – Sea fn : IR −→ IR definida por fn (x) =

|fn (x) − f (x)| =

 | − 1 − (−1)|, si x ≤ −1   n  −1    |nx − (−1)|, si n < x < 0      

Sucesiones y Series de Funciones.

|0 − 0|, si x = 0 |nx − 1|, si 0 < x < |1 − 1|, si x ≥ n1

1 n

 

=

 0, si x ≤ −1   n  −1    nx + 1, si n < x < 0

0, si x = 0

   1 − nx, si 0 < x < n1    0, si x ≥ 1 n

83

7.2 Convergencia uniforme.

1 Si tomamos ε < 12 , para podemos tomar el punto x = 2n , que verifica que ¯ cualquier n, siempre ¯ ¯ 1 1 1 1 ¯ 1 1 x = 2n < n , y, en ´el, ¯fn ( 2n ) − f ( 2n )¯ = 1 − n 2n = 2 > ε. Luego, para cualquier n podemos encontrar puntos que no verifican que |fn (x) − f (x)| < ε, en consecuencia, no puede existir un n0 como el propuesto en la definici´on. Es decir, la sucesi´on no converge uniformemente. 4

Criterio del superior 7.12 – Sea la sucesi´on de funciones {fn }∞ n=1 de A. Entonces Ã

c.u.

fn −→ f en A si, y s´olo si, lim

n→∞

!

sup |fn (x) − f (x)|

= 0.

x∈A

Demostraci´on: c.u.

fn −→ f ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ IN / ∀ n ≥ n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε, ∀ x ∈ A ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ IN / ∀ n ≥ n0 =⇒ sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε Ã

⇐⇒ lim

n→∞

x∈A

!

sup |fn (x) − f (x)|

= 0.

x∈A

n

Ejemplo 7.13 – Estudiar la convergencia uniforme de fn (x) = Soluci´on: x Para cada x ∈ [0, 1], lim (1+x 2 )n = 0, luego fn −→ 0. n→∞

x (1+x2 )n

¯ ¯

o∞ n=1

en [0, 1].

¯ ¯

x x Como, para cada n, la funci´on gn (x) = |fn (x) − f (x)| = ¯ (1+x 2 )n − 0¯ = (1+x2 )n es continua en el cerrado y acotado [0, 1], el superior se alcanzar´a en el m´aximo (que existe por el Teorema de Weierstrass). Busquemos sus extremos. Derivando, obtenemos que

gn0 (x) =

1 + x2 − 2nx2 (1 + x2 )n − nx(1 + x2 )n−1 2x = = 0 ⇐⇒ 1 + x2 (1 − 2n) = 0, (1 + x2 )2n (1 + x2 )n+1

−1 √ 1 de [0, 1] (el otro valor, √2n−1 ∈ / [0, 1]). En 2n−1 ´n ³ 1 1 2n−1 gn ( √2n−1 ) = √2n−1 ´o gn (1) = 21n . Como 2n

luego para x = gn (0) = 0 ´o

consecuencia, el m´aximo ser´a

¦ lim gn (0) = lim 0 = 0. n→∞

n→∞

1 n n→∞ 2

¦ lim gn (1) = lim n→∞

³

¦ lim gn n→∞

√ 1 2n−1

´

=0

√ 1 n→∞ 2n−1

= lim

³

1−

1 2n

´n

√ 1 n→∞ 2n−1

= lim

³

· lim

n→∞

1−

1 2n

´2n 1 2

1

= 0 · e− 2 = 0,

entonces n

lim sup |fn (x) − f (x)| = lim sup gn (x) = lim max gn (0), gn

n→∞ x∈[0,1]

y la convergencia es uniforme.

Sucesiones y Series de Funciones.

n→∞ x∈[0,1]

n→∞

³

√ 1 2n−1

´

o

, gn (1) = 0 4

84

7.2 Convergencia uniforme.

Ejemplo 7.14 – Sean fn : [0, 1) −→ IR, definidas por fn (x) = xn . Para todo x ∈ [0, 1), se tiene que lim fn (x) = n→∞ lim xn = 0 = f (x), luego |fn (x)−f (x)| = |xn | = xn para n→∞ todo n. Como sup xn = 1, se tiene que lim sup xn = n→∞ x∈[0,1)

x∈[0,1) {fn }∞ n=1

1 6= 0, luego no converge uniformemente en [0, 1). En la figura de la derecha puede observarse la no convergencia uniforme. 4 Proposici´ on 7.15 – Sea {fn }∞ on de funciones definidas en el conjunto A. n=1 una sucesi´ c.u.

c.u.

a) Si fn −→ f en A =⇒ fn −→ f en B , para todo B ⊆ A. c.u.

c.u.

c.u.

b) Sean B, C ⊆ A. Si, fn −→ f en B y fn −→ f en C , entonces fn −→ f en B ∪ C . Demostraci´on: c.u.

a) fn −→ f en A =⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN / ∀n ≥ n0 se tiene |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ A =⇒ c.u. ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN / ∀n ≥ n0 se tiene |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ B ⊆ A =⇒ fn −→ f en B. c.u.

b) Si fn −→ f en B =⇒ ∀ε > 0, ∃n1 ∈ IN / ∀n ≥ n1 se tiene |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ B , c.u. y si fn −→ f en C =⇒ ∀ε > 0, ∃n2 ∈ IN / ∀n ≥ n2 se tiene |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ C . Tomando n0 = max{n1 , n2 }, se tiene que ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN tal que ∀n ≥ n0 se verifica que ¦ si x ∈ B , como n ≥ n0 ≥ n1 , se cumple que |fn (x) − f (x)| < ε, y ¦ si x ∈ C , como n ≥ n0 ≥ n2 , se cumple que |fn (x) − f (x)| < ε. En consecuencia, ∀n ≥ n0 , se verifica |fn (x) − f (x)| < ε, para todo x ∈ B ∪ C , y, por c.u. tanto, fn −→ f en B ∪ C . Observaci´ on 7.16 – Es claro, que el resultado anterior es v´alido u ´nicamente para uniones finitas, y no aporta nada para uniones de infinitos conjuntos. En efecto, en la sucesi´on de funciones c.u. fn (x) = xn , para cada x ∈ [0, 1) se tiene que lim xn = 0, luego xn −→ 0 en cada conjunto n→∞ B = {x} formado por un u ´nico punto y, sin embargo, no converge uniformemente en el conjunto S [0, 1) = {x} uni´on de todos ellos. x∈[0,1)

(

Ejemplo 7.17 – Sean fn (x) = (

Como lim fn (x) = n→∞

lim 1 n→∞ n

1 n

− 1, si x ∈ [−1, 0) . 1 − n1 , si x ∈ [0, 1] ) − 1 = −1, si x ∈ [−1, 0)

lim 1 −

n→∞

1 n

¦ En [−1, 0), se tiene que fn (x) = lim

= 1, si x ∈ [0, 1] 1 n

sup |fn (x) − f (x)| = lim

n→∞ x∈[−1,0)

= f (x), es la funci´on l´ımite.

− 1 y f (x) = −1, luego ¯ ¯

¯ ¯

sup ¯ n1 − 1 + 1¯ = lim

n→∞ x∈[−1,0)

¯ ¯ ¯ ¯

1 n→∞ n

sup ¯ n1 ¯ = lim

n→∞ x∈[−1,0)

=0

y converge uniformemente en el intervalo [−1, 0). Sucesiones y Series de Funciones.

85

7.2 Convergencia uniforme.

¦ En [0, 1], se tiene que fn (x) = 1 −

1 n

y f (x) = 1, luego ¯ ¯

lim sup |fn (x) − f (x)| = lim sup ¯1 −

n→∞ x∈[0,1]

n→∞ x∈[0,1]

1 n

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

− 1¯ = lim sup ¯− n1 ¯ = lim

1 n→∞ n

n→∞ x∈[0,1]

=0

y converge uniformemente en ese conjunto. c.u.

En consecuencia, fn −→ f en el conjunto uni´on [−1, 1] = [−1, 0) ∪ [0, 1].

7.2.1

4

Propiedades de la convergencia uniforme.

Convergencia uniforme y continuidad 7.18 – Sea {fn }∞ on de funciones definida n=1 una sucesi´ en A y que converge uniformemente hacia f en A. Si cada fn es continua en el punto a ∈ A, entonces la funci´on l´ımite f es continua en a ∈ A. Demostraci´on: c.u. fn −→ f en A ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN / ∀n ≥ n0 se tiene que |fn (x) − f (x)| < 3ε , ∀x ∈ A. Sea ∀m ≥ n0 , entonces por ser fm continua en a se tendr´a que ∃δ > 0 / ∀x ∈ A, |x−a| < δ =⇒ |fm (x) − fm (a)| < 3ε Luego : |f (x) − f (a)| = |f (x) + fm (x) − fm (x) + fm (a) − fm (a) − f (a)| ≤ |fm (x) − f (x)| + |fm (x) − fm (a)| + |fm (a) − f (a)| ≤

ε 3

+

ε 3

+

ε 3

=ε

siempre y cuando |x − a| < δ , luego f es continua en a. Observaci´ on 7.19 – Es claro, que si las funciones fn son continuas en todos los puntos de A y c.u. fn −→ f en A, la funci´on l´ımite f tiene que ser continua en todo A. Este resultado es muy u ´til cuando se quiere probar que una sucesi´on de funciones no converge uniformemente en un conjunto: si las funciones fn son continuas en A y la funci´on l´ımite no es continua en A, la convergencia no puede ser uniforme en A. Pero ¡atenci´on!, s´olo de que f no sea continua en A no puede asegurarse que la convergencia no sea uniforme, puesto que podr´ıa ocurrir que las funciones fn no sean todas continuas en A y la convergencia s´ı sea uniforme. Ejercicio 7.20 – B´ usquese un ejemplo de sucesi´on de funciones no continuas que converjan uniformemente a una funcion continua. (Puede obtenerse uno modificando adecuadamente la sucesi´on del ejemplo 7.17.) Convergencia uniforme e integraci´ on 7.21 – Sea {fn }∞ on de funciones definidas n=1 una sucesi´ c.u. en el intervalo [a, b], siendo las fn funciones integrables Riemann en [a, b]. Entonces si fn −→ f en [a, b], se tiene que a) f es integrable Riemann en [a, b]. b) lim

Z b

n→∞ a

fn (x)dx =

Z b

lim fn (x)dx =

a n→∞

Z b a

f (x)dx.

Demostraci´on: c.u.

a) fn −→ f en [a, b], luego ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN tal que ∀n ≥ n0 se tiene que |fn (x) − f (x)| <

Sucesiones y Series de Funciones.

ε , 2(b − a)

para todo x ∈ [a, b].

86

7.2 Convergencia uniforme.

y, por tanto, ∀n ≥ n0 , fn (x) −

ε ε < f (x) < fn (x) + , 2(b − a) 2(b − a)

para todo x ∈ [a, b].

Entonces, por las propiedades de las integrales superior e inferior, se tiene Z bµ

¶

ε fn (x) − dx ≤ 2(b − a)

a

Z b a

f (x)dx ≤

Z b a

f (x)dx ≤

Z bµ a

¶

ε fn (x) + dx 2(b − a)

ε y, como las funciones fn ± 2(b−a) son integrables en [a, b], la integral inferior y la integral superior coinciden, obteni´endose que

Z bµ a

¶

ε fn (x) − dx ≤ 2(b − a)

Z b a

f (x)dx ≤

Z b a

f (x)dx ≤

Z bµ

¶

ε fn (x) + dx. 2(b − a)

a

Luego Z b a

f (x)dx −

Z b a

Z bµ

¶

ε f (x)dx ≤ fn (x) + dx − 2(b − a) a Z b ε = dx = ε a b−a

Z bµ a

¶

ε fn (x) − dx 2(b − a)

y, por tanto, f es integrable en [a, b]. b) Por el apartado a), f es integrable en [a, b] y

Z b a

f (x)dx existe, entonces

¯Z ¯ ¯Z ¯ Z Z b ¯ b ¯ ¯ b ¯ b ¯ ¯ ¯ ¯ f (x) dx¯ = ¯ (fn (x) − f (x)) dx¯ ≤ |fn (x) − f (x)| dx ¯ fn (x) dx − ¯ a ¯ ¯ a ¯ a a c.u.

y, como fn −→ f en [a, b], se tiene que ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN tal que ∀n ≥ n0 se verifica que ε , ∀x ∈ [a, b]. Luego, si n ≥ n0 , tenemos que |fn (x) − f (x)| < b−a ¯Z ¯ Z Z b Z b ¯ b ¯ b ε ¯ ¯ dx = ε f (x) dx − f (x) dx¯ ≤ |fn (x) − f (x)| dx < ¯ ¯ a n ¯ a a a b−a

y, en consecuencia, lim

Z b

n→∞ a

fn (x) dx =

Z

Ejemplo 7.22 – Calcular lim

n→∞

π 2 −π 2

xn+1 πn

Z b a

f (x) dx.

nx sen( n+1 ) dx.

Soluci´on: c.u. π xn+1 nx Tomemos fn : [ −π 2 , 2 ] −→ IR dadas por fn (x) = π n sen( n+1 ). Entonces, si fn −→ f en π a que [ −π 2 , 2 ], se tendr´ Z π n+1 Z π 2 x 2 nx lim −π n sen( n+1 ) dx = −π f (x) dx. n→∞ π 2 2 Como

xn+1 n n→∞ π

lim

nx sen( n+1 ) = lim x

π [ −π 2 , 2 ].

Entonces, como |x| ≤

n→∞

π 2

¡ x ¢n π

³

sen

nx n+1

´

= x · 0 · sen x = 0, se tiene que fn −→ 0 en

π en [ −π 2 , 2 ], se tiene

¯ ¯ ¡ π ¢n+1 ¯ xn+1 ³ ´¯ ³ ´¯ π |x|n+1 ¯¯ ¯ nx ¯ nx ¯ = n+1 |fn (x) − f x| = ¯ n sen n+1 ¯ = ¯sen n+1 ¯ ≤ 2 n n ¯ π ¯ π π 2 Sucesiones y Series de Funciones.

87

7.3 Ejercicios.

π ∀ x ∈ [ −π 2 , 2 ], que tiende hacia 0 si n → ∞; luego la convergencia es uniforme. En consecuencia,

Z

lim

n→∞

π 2

−π 2

xn+1 πn

nx sen( n+1 ) dx = 0.

4

Convergencia uniforme y derivaci´ on 7.23 – Sea {fn }∞ on de funciones definidas n=1 una sucesi´ en (a, b) y derivables en (a, b). Supongamos que en un punto x0 ∈ (a, b), la sucesi´on {fn (x0 )}∞ n=1 c.u. converge. Si existe una funci´on g tal que fn0 −→ g en (a, b), entonces: c.u.

a) Existe f : (a, b) −→ IR tal que fn −→ f en (a, b). b) f es derivable en (a, b) y f 0 (x) = g(x) = lim fn0 (x) n→∞

Ejemplo 7.24 – Estudiar la convergencia uniforme de fn (x) = Â En x = 1 converge, pues lim fn (1) = lim n→∞

n→∞

n−ln(1+n) n2

nx−ln(1+nx) n2

en (0, e).

= 0.

 Las funciones fn (x) = nx−ln(1+nx) son derivables en (0, e) y la sucesi´on de las funciones ³ n2 ´ x 1 n 0 . derivadas es fn (x) = n2 n − 1+nx = 1+nx x  Como fn0 (x) = 1+nx converge uniformemente hacia g(x) = 0 en [0, ∞) (ver ejemplo 7.10), converge uniformemente hacia g(x) = 0 en (0, e). c.u.

En consecuencia, fn −→ f en (0, e), siendo f derivable en (0, e) con f 0 = g . Como g = 0, se tiene que f es constante y, como f (1) = lim fn (1) = 0, es la funci´on 0. 4 n→∞

7.3

Ejercicios.

7.1 Estudiar la convergencia uniforme de las siguientes sucesiones de funciones. (

a) fn (x) =

1 1+nx ,

b) fn (x) = 7.2 Sea fn (x) =

n2 x(1 − nx), si 0 ≤ x ≤ 0, si x ≥ n1

1 n+x ,

1 n

, en [0, ∞).

en [0, 1].

con x ∈ [0, 3]. Hallar lim fn (x). n→∞

Estudiar su convergencia uniforme. ¿Para qu´e valor de n0 se verifica la definici´on si hacemos ε = 0.3? 7.3 Estudiar la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn (x) = 7.4 Calcular lim

Z π

n→∞ 0

fn (x)dx, siendo fn (x) =

x2n 1+x2n

en [−2, 5].

2nx+sen6 nx . n

7.5 Sea fn (x) = n(1 − x2 )n x, con x ∈ [0, 1]. Hallar lim fn (x) y calcular In = n→∞

Z 1 0

fn (x)dx.

¿Qu´e se puede decir de la convergencia uniforme de {fn }∞ n=1 ? n

7.6 Sea fn (x) = xn! . Hallar su conjunto de convergencia y estudiar si converge uniformemente en ´el (ver ejercicio 6.4). ¿Qu´e se puede decir de la convergencia de {fn0 }∞ n=1 ? x 7.7 Dada la sucesi´on de funciones fn (x) = 1+nx 2 , con x ∈ (−1, 1), estudiar su convergencia uniforme as´ı como la convergencia uniforme de {fn0 }∞ n=1 .

Sucesiones y Series de Funciones.

88

7.3 Ejercicios.

7.8 Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la sucesi´on de funciones dada por (

fn (x) =

(n − 1)x, si x ∈ [0, n1 ) . 1 − x, si x ∈ [ n1 , 1]

Representar gr´aficamente sus primeros t´erminos. 2

7.9 Hallar lim fn (x), siendo fn (x) = n(1 − x2 )n x. ¿Qu´e se puede decir de la convergencia n→∞

uniforme de {fn }∞ n=1 en [0, 1]? 7.10 Sean fn (x) =

xn 1+x2n

.

a) Hallar el conjunto de convergencia y la funci´on l´ımite. b) Estudiar la convergencia uniforme en [1, 2], en [2, 3] y en [2, 4]. 7.11 Sea f una funci´on continua en [0, 1] tal que f (1) = 0. Probar que la sucesi´on de funciones gn : [0, 1] −→ IR definidas por gn (x) = xn f (x) converge uniformemente en [0, 1].

Sucesiones y Series de Funciones.

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