Tema 2

Sucesiones Num´ ericas Imaginemos la cola de entrada a un espect´aculo formada por personas que han sido numeradas de la forma habitual; el primero de la cola lleva el n´ umero 1, el segundo el n´ umero 2 y as´ı sucesivamente; pero con la diferencia respecto del mundo real de que la fila es infinita. ¿C´omo podr´ıa saber un espectador que observa la cola que dicha fila es infinita? Naturalmente, podr´ıa responderse que porque no alcanza con la vista el final de la cola (que por cierto no existe tal final); pero podr´ıamos objetar que tal vez es un problema de vista y no de infinitud; ¿acaso en una cola de miles de millones de personas alcanzar´ıamos a ver el final? Una respuesta m´as adecuada matem´aticamente es que en esta fila toda persona tiene siempre alguien detr´ as; es decir, siempre existe un sucesor a cualquier persona que est´e haciendo cola. Esto resulta del hecho de que para numerar la cola hemos empleado el conjunto de los n´ umeros naturales N y ´esta es, prec´ısamente, una de sus caracter´ısticas esenciales. Acabamos de formar una sucesi´ on (de personas). Intuitivamente hablando, pues, una sucesi´ on es una lista infinita de objetos que est´an numerados (ordenados) siguiendo el orden de los n´ umeros naturales, 1, 2, . . .. As´ı al primer t´ermino de la sucesi´on le corresponde el ´ındice (n´ umero en la cola) 1; el siguiente lleva el ´ındice 2 y as´ı sucesivamente. Cabe decir que, en ocasiones, ser´ a conveniente empezar con el ´ındice 0 en vez de con 1. En este tema, se tratar´ an las sucesiones num´ericas; es decir aquellas listas cuyos objetos numerados son, a su vez, n´ umeros. Aunque el t´ıtulo hace

15

referencia a sucesiones num´ericas en general; es decir, reales y complejas, nos limitaremos a estudiar las sucesiones reales, ya que el estudio de las sucesiones complejas se reduce a ´aquel mediante el an´ alisis de las partes reales y complejas de los respectivos t´erminos.

2.1.

Sucesiones reales. Subsucesiones

Definici´ on 2.1 Una sucesi´ on de n´ umeros reales es una aplicaci´ on a:N→R El rango de esta aplicaci´on es el conjunto (ordenado) {a(0), a(1), a(2), a(3), . . . , a(n), . . .} y denotando an = a(n) lo podemos representar abreviadamente como {an }+∞ n=0 . Tambi´en se utiliza la notaci´ on {an } para representar a una sucesi´on, sobretodo si no nos importa se˜ nalar desde que t´ermino n empezamos. En general, las sucesiones pueden empezar desde un natural n0 > 0, pero en las disquisiciones te´oricas entendemos que empiezan desde n = 1. Por tanto, una forma de escribir una sucesi´on es dando la f´ ormula del t´ermino general an . Ejemplo 2.1 1 1 1 {1, , , . . .}; es decir, an = , 2 3 n

n ≥ 1.

{1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .} es decir, an = (−1)n+1 , 1 1 1 1 {1, , , . . .}; es decir, an = n , 2 4 8 2

n ≥ 1.

n ≥ 0.

Sin embargo, en algunos casos la sucesi´ on se define o bien por comprensi´ on o bien por recurrencia; esta u ´ltima significa que el t´ermino general an se define en funci´ on de uno o varios t´erminos anteriores.

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Ejemplo 2.2 La sucesi´on formada por la unidad y los n´ umeros primos. No es posible escribir an en funci´ on de n: {1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .}. a0 = 1; a1 = 1; an = an−1 + an−2 para n ≥ 2; que da la conocida sucesi´on de Fibonacci donde cada t´ermino es la suma de los dos anteriores: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 . . .} Una forma de representar gr´ aficamente las sucesiones reales es como funciones, es decir, como pares ordenados (n, an ), lo que puede ser u ´til en ocasiones para el estudio de sus propiedades. En el eje de abcisas se representan los n´ umeros naturales n y en el eje de ordenadas los valores reales an . Dado que la variable n s´olo admite valores naturales, la representaci´on gr´ afica se visualizar´a, entonces, como un conjunto de puntos aislados, Fig 2.1

Figura 2.1: Representaci´on gr´ afica de una sucesi´on Definici´ on 2.2 Una subsucesi´ on de n´ umeros naturales es una aplicaci´ on estrictamente creciente: N −→ N j 7→ n j es decir que se cumple n1 < n2 < n3 < . . . < np < np+1 < . . .

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Esto permite definir, dada una sucesi´ on {an } de n´ umeros reales, una subsucesi´on de {an } como la aplicaci´on a

N −→ N −→ R j 7→ nj 7→ anj Es decir, donde los nuevos ´ındices nj forman una subsucesi´on de N. Por tanto, la subsucesi´ on, que denotaremos por {anj }+∞ j=1 , puede entenderse como un subconjunto infinito (y ordenado) de {an }. Ejemplo 2.3 Dada una sucesi´ on cualquiera {an } son subsucesiones: {a2n }, la subsucesi´on de los t´erminos de orden par; {a2n+1 }, la subsucesi´on de los t´erminos de orden impar; {a2n }, la subsucesi´on de los t´erminos de orden potencias de 2; {an+3 }, la subsucesi´on formada desechando los tres primeros t´erminos. 1 1 1 Ejemplo 2.4 Considera la sucesi´on {1, , , , . . .}. Entonces, 2 3 4 1 1 1 1 { , , , . . . , , . . .} es subsucesi´on, con n1 = 2, n2 = 4, n3 = 6, . . . 2 4 6 2n 1 1 1 1 { , , , . . . , n , . . .} es subsucesi´on, con n1 = 2, n2 = 4, n3 = 8, . . .. 2 4 8 2 1 1 1 1 { , , , , . . .} no es subsucesi´on. (No respeta el orden) 3 2 5 4 1 1 1 {0, , , . . .} no es subsucesi´on. (No es subconjunto) 2 4 8

2.2.

Sucesiones mon´ otonas

  1 Al observar la sucesi´ on cuyos t´erminos escribimos a continuaci´ on n 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , . . . 2 3 4 5 6 7 8 18

vemos como cada t´ermino es mayor que su sucesor; es decir que la sucesi´on decrece; Fig. 2.2.

Figura 2.2: Sucesi´on decreciente

Por el contrario, la sucesi´on {n} 1, 2, 3, 4, 5, . . . cumple que cada t´ermino es menor que su sucesor; es decir, la sucesi´on crece; Fig. 2.3.

Figura 2.3: Sucesi´on creciente Formalizamos estos conceptos en la siguiente definici´on. 19

Definici´ on 2.3 Diremos que {an } es : mon´ otona creciente si, y s´ olo si, an ≤ an+1 , mon´ otona decreciente si, y s´ olo si, an ≥ an+1 ,

∀n ∈ N ∀n ∈ N

mon´ otona cuando es creciente o decreciente. Cuando las desigualdades son estrictas se dir´ a que las sucesiones son estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes, seg´ un el caso. Ejemplo 2.5 Si consideramos de nuevo las sucesiones anteriores {n} es creciente, porque n ≤ n + 1, para todo n   1 1 1 es decreciente, porque ≥ , para todo n n n n+1 En ocasiones el estudio de la monoton´ıa no es tan evidente y requiere realizar algunas operaciones.  2  n +3 Ejemplo 2.6 Determina si la sucesi´on es mon´ otona. n3 − 1 n≥2 Soluci´ on: Primero calculamos algunos de los primeros t´erminos para determinar si es mon´ otona y en qu´e sentido. Para no complicar la notaci´ on asumimos que el primer t´ermino ser´ a denotado por a2 (en vez de por a1 ): 12 19 4 a2 = ; a3 = ; a4 = 7 26 63 por lo que, a2 > a3 > a4 lo cual parece indicar que es mon´ otona decreciente. Para probarlo, debemos verificar que an > an+1 . Si escribimos esta condici´ on (n + 1)2 + 3 n2 + 3 > n3 − 1 (n + 1)3 − 1 20

y ahora, se trata de desarrollar esta expresi´on hasta llegar a una condici´on que sea cierta. Empezamos por quitar denominadores (ambos son positivos por lo que la desigualdad permanece) (n2 + 3)((n + 1)3 − 1) > ((n + 1)2 + 3)(n3 − 1) y, desarrollando los par´entesis, n(9 + 9n + 6n2 + 3n3 + n4 ) > −4 − 2n − n2 + 4n3 + 2n4 + n5 que equivale a 4 + 11n + 12n2 + 2n3 + n4 > 0 lo cual es cierto para cualquier valor de n al ser todos los sumandos positivos. Queda as´ı comprobado que an > an+1 , para todo n, por lo que la sucesi´ on resulta ser mon´ otona decreciente.

Ejemplo 2.7 Determina si la sucesi´on



n! 2n



es mon´ otona. n≥1

Soluci´ on: Primero calculamos algunos de los primeros t´erminos para determinar si es mon´otona y en qu´e sentido: 1 2 6 24 a1 = ; a2 = ; a3 = ; a4 = ; 2 4 8 16 por lo que, a1 ≤ a2 < a3 < a4 y parece indicar que es mon´otona creciente. Para probarlo, debemos verificar que an < an+1 , para todo n. Dado que todos los t´erminos son positivos y an+1 >1 que involucran factoriales y potencias vamos a probar que an (n + 1)! 2n+1 = n + 1 ≥ 1, para todo n ≥ 1 n! 2 2n Queda as´ı comprobado que an < an+1 , para todo n, por lo que la sucesi´ on resulta ser mon´ otona creciente.

21

Ejercicio 2.1 Estudia la monoton´ıa de la sucesi´on an =

n2 + 3 , n ≥ 1. 3n + 2

(Sol.: {an } es mon´ otona creciente ) Ejercicio 2.2 Estudia la monoton´ıa de la sucesi´on an =

5n + 3 , n ≥ 1. n2 + 1

(Sol.: {an } es mon´ otona decreciente ) (2n − 1)!! ,n≥1 n! 2n (H: (2n − 1)!! = (2n − 1) · (2n − 3) · · · 3 · 1; es decir, es el producto de todos los impares menores o iguales a 2n − 1). Ejercicio 2.3 Estudia la monoton´ıa de la sucesi´ on an =

(Sol.: {an } es mon´ otona decreciente )

2.3.

Sucesiones acotadas

Definici´ on 2.4 Sea {an } una sucesi´ on real y M ∈ R . Si an ≤ M, ∀n ∈ N diremos que {an } est´ a acotada superiormente. En este caso el n´ umero M se llama cota superior. Si an ≥ M, ∀n ∈ N diremos que {an } est´ a acotada inferiormente. En este caso el n´ umero M se llama cota inferior. Diremos que {an } est´ a acotada si lo est´a superior e inferiormente. Esto equivale a decir que |an | ≤ M, ∀n ∈ N Gr´aficamente, una sucesi´ on acotada es, pues, aquella cuyos t´erminos se encuentran situados en una banda horizontal de anchura 2M , como puede observarse en la Fig. 2.4.

22

Figura 2.4: Sucesi´on acotada |an | ≤ M Ejemplo 2.8 Veamos algunos ejemplos de sucesiones acotadas. 1 1 { } est´ a acotada porque | | ≤ 1, n n

∀n ∈ N

{(−1)n+1 } est´ a acotada porque |(−1)n+1 | ≤ 1,

∀n ∈ N

{n} no est´ a acotada superiormente.
a m´as adelante que {ln n1 } no est´a acotada inferiormente (se ver´ l´ım ln(1/n) = −∞).  2  n +3 Ejemplo 2.9 Determina si la sucesi´on est´ a acotada. n3 − 1 n≥2 Soluci´ on: Puesto que los t´erminos de la sucesi´ on siempre son positivos, queda claro que est´ a acotada inferiormente por 0; es decir, n2 + 3 , n≥2 n3 − 1 Para acotarla superiormente, se utiliza un peque˜ no artificio: aumentar el grado del numerador para que coincida con el del denominador y poder realizar la divisi´on. 0≤

n2 + 3 n3 4 ≤ 3 =1+ 3 ≤1+1=2 3 n −1 n +3 n −1

23

Ejercicio 2.4 Determina si la sucesi´on



n n+1



est´ a acotada.

n∈N

(Sol.: 0 < Ejercicio 2.5 Determina si la sucesi´on (Sol.: −3 ≤

2.4.



n4 + n + 1 n3 − 2n



n 0

∃n0 ∈ N

/ si

n ≥ n0

⇒

|an − λ| < ǫ

y lo escribiremos l´ım an = λ. n−→∞

Si una sucesi´on no es convergente, entonces se dice que es divergente; pero distinguiremos algunos tipos de divergencia. 24

Diremos que {an } es divergente y tiene l´ımite +∞ sii ∀K > 0

∃n0 ∈ N

/ si

n ≥ n0

⇒

an > K

y lo escribiremos l´ım an = +∞. n−→∞

Diremos que {an } es divergente y tiene l´ımite −∞ sii ∀K < 0

∃n0 ∈ N

/ si

n ≥ n0

⇒

an < K

y lo escribiremos l´ım an = −∞. n−→∞

Diremos que {an } es divergente y tiene l´ımite ∞ sii ∀K > 0

∃n0 ∈ N

/ si

n ≥ n0

⇒

|an | > K

y lo escribiremos l´ım an = ∞. n−→∞

Diremos que {an } es oscilante si no es convergente ni divergente a ±∞ o ∞ Nota: En realidad, una sucesi´on {an } tiene l´ımite ∞ si la sucesi´on de los valores absolutos {|an |} tiene l´ımite +∞. Por eso, toda sucesi´on divergente a +∞ o −∞, tambi´en tiene l´ımite ∞, pero el rec´ıproco no es cierto (v´ease el Ejemplo 2.10). Ejemplo 2.10 Veamos algunos ejemplos de sucesiones convergentes y divergentes. 1 1 1. { } es convergente y l´ım = 0 n n n 2. {n} es divergente y l´ım n = +∞ n

3. {−n} es divergente y l´ım(−n) = −∞ n

4. {1, −1, 2, −2, . . . , (−1)n+1 n, . . .} es divergente y l´ım(−1)n+1 n = ∞ n

5. {1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, . . .} es oscilante (y acotada) 6. {1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, . . .} es oscilante (y no acotada) 7. {sin n} es oscilante (y acotada) 25

Gr´aficamente el concepto de l´ımite se interpreta como que la cola de la sucesi´on se aproxima a una recta horizontal de ecuaci´on y = L, si l´ım an = L; Fig. 2.5,

Figura 2.5: Sucesi´on convergente

o por el contrario, la cola supera cualquier cota K si l´ım an = +∞; Fig. 2.6.

Figura 2.6: Sucesi´on divergente

En el siguiente teorema se resumen algunas propiedades b´ asicas de los l´ımites. 26

Teorema 2.6 Sea {an } una sucesi´ on convergente. Entonces, 1. El l´ımite es u ´nico. 2. La sucesi´on es acotada. 3. Cualquier subsucesi´ on es convergente y tiene el mismo l´ımite. 4. l´ım an = λ n

⇐⇒

l´ım(an − λ) = 0

⇐⇒

n

l´ım |an − λ| = 0 n

Por otra parte, si la sucesi´on {an } es divergente a ±∞ entonces cualquier subsucesi´ on es divergente y tiene el mismo l´ımite. La propiedad (2) anterior proporciona un m´etodo para determinar si una sucesi´on est´a acotada; es decir, las sucesiones con l´ımite finito est´an acotadas; aunque el rec´ıproco no es cierto, en general: la sucesi´on oscilante {1, 0, 1, 0, . . .} est´ a acotada pero no tiene l´ımite. La propiedad (3) anterior permite eliminar un n´ umero finito de t´erminos al calcular el l´ımite de una sucesi´ on. En particular, el l´ımite no depende de los primeros t´erminos sino de la cola de la sucesi´on; lo cual ya estaba impl´ıcito en la definici´ on de l´ımite. Teorema 2.7 La relaci´ on de los l´ımites con el orden de los n´ umeros reales es la siguiente: 1. Si an ≤ bn , para todo n ≥ n0 y existen l´ım an y l´ım bn , entonces n

n

l´ım an ≤ l´ım bn n

n

2. Si l´ım an = λ < α, entonces existe n0 tal que n

an < α, para cada n ≥ n0 3. Si l´ım an = λ > α, entonces existe n0 tal que n

an > α, para cada n ≥ n0 En particular, si l´ım an 6= 0, la sucesi´on {an } tiene el mismo signo que su n l´ımite excepto, como mucho, en un n´ umero finito de t´erminos. 27

Ya vimos que toda sucesi´ on con l´ımite finito est´a acotada y que el rec´ıproco no es cierto en general. Si a˜ nadimos una condici´ on de monoton´ıa obtenemos dicho rec´ıproco Teorema 2.8 La relaci´on entre la convergencia y la monoton´ıa se resume en las siguientes propiedades. 1. Si {an } es creciente y acotada superiormente, entonces {an } es convergente. 2. Si {an } es decreciente y acotada inferiormente, entonces {an } es convergente. 3. Si {an } es creciente y no acotada superiormente, entonces {an } es divergente a +∞. 4. Si {an } es decreciente y no acotada inferiormente, entonces {an } es divergente a −∞. Teorema 2.9 (Aritm´ etica de sucesiones convergentes) Sean {an } y {bn } dos sucesiones convergentes. Entonces, 1. l´ım(an + bn ) = l´ım an + l´ım bn n

n

n

2. l´ım(α · an ) = α · l´ım an n

n

3. l´ım(an · bn ) = l´ım an · l´ım bn n

4. l´ım n

n

n

l´ım an an = n si l´ım bn 6= 0 n bn l´ım bn n

l´ım bn 5. l´ım(an )bn = (l´ım an ) n n

n

si l´ım an > 0 n

Para conocer el valor del l´ımite cuando una o las dos sucesiones anteriores tienen l´ımite infinito, se aplica la llamada aritm´etica infinita que se resume en la tabla siguiente. En lo que sigue debe entenderse que a ∈ R representa el l´ımite de una sucesi´on {an } y ±∞ el de una sucesi´ on {bn }. 28

Suma: (+∞) + (+∞) = +∞

(−∞) + (−∞) = −∞

a + (+∞) = +∞

a + (−∞) = −∞

Producto: a(+∞) =



+∞ si −∞ si

a>0 a0 a0 a0 a 1 0 si 0 ≤ a < 1

(+∞)+∞ = +∞

a

(+∞) =



+∞ si 0 si

−∞

a

=



(+∞)−∞ = 0 a>0 a1 0≤a 0, ∀n

33

Ejemplo 2.15 Calcula el l´ımite l´ım n

1 + 2 + ... + n . n2

Soluci´ on: En este caso, se observa que el numerador es una sucesi´ on formada por una suma cuyo n´ umero de sumandos var´ıa con el valor de n. Se aplica el criterio de Stolz, llamando an a la sucesi´on del numerador y bn a la del denominador: an an+1 − an l´ım = l´ım n bn n bn+1 − bn 1 + 2 + . . . + n + (n + 1) − (1 + 2 + . . . + n) = l´ım n (n + 1)2 − n2 1 n+1 = = l´ım n 2n + 1 2

Ejercicio 2.18 Calcula l´ım n

1 + 22 + 33 + · · · + nn . nn (Sol.: 1 ) 4+

Ejercicio 2.19 Calcula l´ım n

1 2 3 n + 4 + + 4 + + +··· + 4 + n n n n. n (Sol.:

Ejercicio 2.20 Calcula l´ım n

9 ) 2

log(n!) log nn (Sol.: 1 )

a1 + 2a2 + 3a3 + . . . + nan , sabiendo que an es Ejercicio 2.21 Calcula l´ım n n2 una sucesi´ on convergente con l´ımite l´ım an = a. n

(Sol.: (c) tipos (∞0 ) y (00 ): se aplica el criterio de Stolz para la ra´ız.  r bn −→ +∞  √ an+1 (bn ) creciente =⇒ l´ım bn an = l´ım bn+1 −bn  an bn > 0, ∀n 34

a ) 2

Ejemplo 2.16 Calcula el l´ımite l´ım n

r n

n! . nn

Soluci´ on: En este caso, se aplica el criterio de Stolz para la ra´ız. Llamando an a la sucesi´ on del radicando y bn a la del radical: s r √ a (n + 1)!/(n + 1)( n + 1) n+1 n+1−n = l´ım l´ım bn an = l´ım bn+1 −bn n n n an n!/nn  n nn n (n + 1)nn = l´ım = e−1 = l´ım = l´ım n (n + 1)n ) n n (n + 1)( n + 1) n+1

Ejercicio 2.22 Calcula l´ım n

√ n

n. (Sol.: 1 )

Ejercicio 2.23 Calcula l´ım n

Ejercicio 2.24 Calcula l´ım n

Ejercicio 2.25 Calcula l´ım

p n 5n2 − 6n + 3. √ n

n−

1+

√

√ n

2+

(Sol.: 1 )


n+1 . √ 3

3 + ··· + n

n

(Sol.: 0 ) √ n

n

. (Sol.: 1 )

∞ ) y ( 00 ): cambiamos a l´ımite de funciones para poder aplicarle (d) tipos ( ∞ la regla de L’Hopital:

Se buscan dos funciones reales f y g, continuas y derivables de forma que f (n) = an y g(n) = bn ; entonces, f (x) f ′ (x) an = l´ım = l´ım ′ x→+∞ g(x) x→+∞ g (x) n→+∞ bn l´ım

Ejemplo 2.17 Calcula el l´ımite l´ım n

en n

35

.

∞ Soluci´ on: El l´ımite propuesto es una indeterminaci´ on del tipo . En este ∞ caso, puesto que ambas sucesiones no tienen relaci´ on, lo m´as sencillo es x tomar las funciones f (x) = e y g(x) = x y aplicar la regla de L’Hopital: l´ım n

l´ım

ex

n

por lo que, l´ım n

en n

1

f (x) f ′ (x) = l´ım ′ = n g (x) g(x)

= +∞

= +∞.

Ejercicio 2.26 Calcula el l´ımite l´ım n

ln(n) . n (Sol.: 0 )

2.6.

Infinit´ esimos

Definici´ on 2.10 Una sucesi´on {an } se dice un infinit´esimo si l´ım an = 0 n→∞

Dos infinit´esimos {an } y {bn } se dicen equivalentes si l´ım

n→∞

an =1 bn

Las propiedades m´as usuales de los infinit´esimos se resumen en los dos resultados siguientes. Teorema 2.11 Si {an } es un infinit´esimo y {bn } es una sucesi´ on acotada, entonces l´ım an · bn = 0 n

es decir, {an bn } es un infinit´esimo. Teorema 2.12 Sean {an } y {bn } dos infinit´esimos equivalentes y {cn } una sucesi´on cualquiera. Entonces, 1. l´ım an · cn = l´ım bn · cn n→∞

n→∞

36

2. l´ım

n→∞

cn cn = l´ım an n→∞ bn

Esta u ´ltima propiedad nos dice que en el c´ alculo de l´ımites podemos substituir un infinit´esimo por un equivalente (siempre y cuando aparezcan como productos o cocientes). Por tanto, resulta conveniente conocer algunos infinit´esimos equivalentes. Los m´as usuales son:

Infinit´ esimos Equivalentes.

Si {an } es un infinit´esimo, entonces

{log(1 + an )} {sin(an )} {tan(an )} {arctan(an )}

≡ ≡ ≡ ≡

{an } {an } {an } {an } a2 {1 − cos(an )} ≡ { n} 2 {ban − 1} ≡ {an log b} Ejemplo 2.18 Vamos a calcular l´ım n log(1 + n

2 ). n2

Soluci´ on: Aplicamos que, seg´ un la tabla anterior,      2 2 log 1 + 2 ≡ n n2 y, entonces, el Teorema 2.12 nos permite escribir l´ım n log(1 + n

2 2 2 ) = l´ım n 2 = l´ım = 0 n n n n2 n

n2 + 1 )) n2 + 2 . 1 tan( 2 ) n +3

arctan(log( Ejercicio 2.27 Calcula el l´ımite l´ım n

(Sol.: −1 ) 37

√ Ejercicio 2.28 Calcula el l´ımite l´ım n( n a − 1), a > 0. n

(Sol.: ln(a) ) Ejercicio 2.29 Calcula el l´ımite l´ım n

√ !n √ n a+ nb , a, b > 0. 2 (Sol.: 

tan(a +

 Ejercicio 2.30 Calcula el l´ımite l´ım  n

tan(A + B) =

tan a

tan(A) + tan(B) ). 1 − tan(A) tan(B)

√

ab )

n b ) n   (H: Recuerda que 2b

(Sol.: e sin(2a) )

2.7.

Infinitos

Definici´ on 2.13 Una sucesi´on {an } se dice un infinito si l´ım an = ∞ (±∞) n→∞

Dos infinitos {an } y {bn } se dicen equivalentes si l´ım

n→∞

an =1 bn

Diremos que {an } es de mayor orden que {bn } si l´ım

n→∞

an = +∞ bn

Teorema 2.14 Si {an } es un infinito y {bn } es una sucesi´on acotada, entonces l´ım(an + bn ) = ∞ n

es decir, {an + bn } es un infinito. El concepto de infinito de mayor orden se utiliza a menudo en la resoluci´ on de ∞ . Por otra parte, los infinitos equivalentes l´ımites indeterminados del tipo ∞ se utilizan seg´ un la propiedad siguiente. 38

Teorema 2.15 Sean {an } y {bn } dos infinitos equivalentes y {cn } una sucesi´on cualquiera. Entonces, 1. l´ım an · cn = l´ım bn · cn n→∞

2. l´ım

n→∞

n→∞

cn cn = l´ım an n→∞ bn

Esta propiedad nos dice que en el c´ alculo de l´ımites podemos substituir un infinito por un equivalente (siempre y cuando aparezcan como productos o cocientes).

Infinitos Equivalentes n! ≡ nn e−n Ejemplo 2.19 Calculad l´ım n

√

2πn

(F´ ormula de Stirling)

33n (n!)3 . (3n + 1)!

Teniendo en cuenta la f´ ormula de Stirling sabemos que √ n! ≡ nn e−n 2πn por lo que tambi´en, (3n + 1)! ≡ (3n + 1)3n+1 e−(3n+1) y as´ı,

p

2π(3n + 1)

√ 33n (nn e−n 2πn)3 33n (n!)3 p = l´ım l´ım n (3n + 1)3n+1 e−(3n+1) n (3n + 1)! 2π(3n + 1) √ 33n n3n e−3n ( 2πn)3 p = l´ım n (3n + 1)3n (3n + 1) e−3n e−1 2π(3n + 1) √  3n 3n 2πn 2πn p · e· = l´ım n 3n + 1 (3n + 1) 2π(3n + 1) y como, l´ım n



3n 3n + 1

3n

= e−1 ,

√ 2πn 2πn 2π p = l´ım = √ n (3n + 1) 2π(3n + 1) 3 3 39

2.8.

Problemas adicionales

Ejercicio 2.31 (a) Demuestra que la suma de una sucesi´on convergente y una divergente es divergente (H: Sup´ on que la suma fuera convergente y aplica la Propiedad 2.9 para llegar a una contradicci´ on). (b) Aplica lo anterior para estudiar el car´acter de la sucesi´on     1 3 n an = 1 + + (−1) 1 − , n = 1, 2, ... n n (Sol.: (b) Divergente (oscilante). ) Ejercicio 2.32 Demuestra que la sucesi´ on definida por recurrencia a1 = 1 √ an+1 = 2 + an , n ≥ 1 es convergente y calcula su l´ımite. (H: Demuestra que la sucesi´on es mon´ otona creciente y acotada superiormente (Propiedad 2.8). Para el c´ alculo del valor del l´ımite, toma l´ımites en la relaci´on de recurrencia) (Sol.: {an } es creciente y acotada superiormente; y l´ım an = 2. ) n

Ejercicio 2.33 ´Idem con a1 = 1 √ an+1 = 2an + 3, n ≥ 1 (Sol.: {an } es creciente y acotada superiormente; y l´ım an = 3. ) n

Ejercicio 2.34 Encuentra la relaci´ on entre a y b para que se verifique l´ım n



n+a n+1

2n+3

= l´ım n



n+3 n+2

bn+4 (Sol.: b = 2(a − 1) )

40

Ejercicio 2.35 Calcula los siguientes l´ımites 1 n ) log( ) 2 n n+1 . (a) l´ım nπ − 1 n (n + 2)5 cos( ) 4n − 1 √
√n √ . (b) l´ım n + 1 − n + 1 sin2 (

n

√ 1 (Sol.: (a) − 2; (b) √ )

e

Ejercicio 2.36 Calcula l´ım

1+

√

2! +

n→+∞

√ 3

√ n

3! + . . . + n2

n!

. (Sol.: e /2 )

Ejercicio 2.37 Calcula el l´ımite: √ √ √ √  22 23 2n l´ım 2· 2· 2 · ... · 2 n

(H: Calcula el logaritmo del l´ımite) (Sol.: 2 ) Ejercicio 2.38 Calcula el l´ımite de las siguientes sucesiones:

(a) {an } =

(

(b) {bn } =



12

log nα log nβ ·2+

log n )∞

22

(α > 0, β > 0)

n=1

·

22

+ 32 · 23 + . . . + n2 · 2n 2n · n2

∞

n=1

(Sol.: (a)

Ejercicio 2.39 Calcula l´ım n

α ; (b) 2. ) β

22n (n!)2 . (2n + 1)! (Sol.: 0 )

41

∞ Ejercicio 2.40 Sean {an }∞ umeros reales n=1 y {bn }n=1 dos sucesiones de n´ an positivos de manera que l´ım = 1. n→∞ bn

Explica razonadamente si las siguientes afirmaciones son ciertas o no: a2n = 1 n→∞ b2 n

(a) l´ım

ann = 1 n→∞ bn n

(b) l´ım

(c) l´ım

n→∞

log an = 1 log bn

Si alguna afirmaci´ on no es cierta basta dar un contraejemplo. (Sol.: a) Cierta; (b) Falsa; (c) Falsa. )

42