Sucesiones

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1

Una sucesión se puede definir como una lista de números escritos en orden definido:

a1, a2 , a3 ,........., an ,... El número a1 es el primer término; a2 , el segundo término y en general , an es el n-ésimo término . Consideraremos sólo sucesiones infinitas , de modo que cada término an tendrá su sucesor an +1 . Observemos que por cada entero positivo , n , hay un número correspondiente , an y , por lo tanto , se puede definir una sucesión como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos

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NOTACIÓN: la sucesión { a1, a2 , a3 ,..... } también se representa por ∞ {an } , o bien {an }n =1

Ejemplo1 Algunas sucesiones se pueden definir mediante una fórmula del n-ésimo término . En los ejemplos que siguen presentamos tres descripciones de una sucesión:  n     n + 1 n =1

n   n  (− 1) n + 2  n =1 

an =

n 1 2 3 4  , , , ,.... ,.....   n +1 2 3 4 5 

n n +1

a n = (− 1)n

n n+2

n   1 2 3 4 n ,..... − , ,− , ,...., (− 1) n+2   3 4 5 7

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En general , la notación

lim an = L

n →∞

significa que los términos de la sucesión {an } se pueden acercar a L tanto como se desee, con un valor de n lo bastante grande . DEFINICIÓN: Una sucesión {an } tiene el límite L , y se representa lim an = L

n→∞

o bien

an → L cuando n → ∞

si para toda ε > 0 , hay un entero N correspondiente , tal que

an − L < ε

siempre que n > N

an = L Si existe el nlim se dice que la sucesión converge ( o que es →∞ convergente). Si no es así , se dice que la sucesión diverge (o que es divergente)

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4

a N +1 a N + 2

(

)

L- ε L L+ ε

En ella los términos a1, a2 , a3 ,.. , se grafican en una recta numérica . No importa cuán pequeño se elija al intervalo ( L - ε ., L + ε ), existe una N tal que todos los términos de la sucesión , desde a N +1 en adelante , deben estar en ese intervalo. Al comparar la definición anterior con la definición de límites al infinito, se advierte que la única diferencia entre lim a n = L n →∞ lim f ( x) = L es que n ha de ser entero x →∞

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5

lim f ( x) = L

Teorema: Si entonces

y

x →∞

f ( n) = an

cuando n es un entero,

lim an = L

n →∞

En particular entonces

lim

1

x →∞ x r

lim

1

n →∞ n r

=0

=0

cuando r>0, cuando r>0,

an = ∞ significa que para todo número DEFINICIÓN: nlim →∞ positivo M , hay un entero N tal que an > M cuando n > N

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6

OBS: Si lim an = ∞ , la sucesión {an } es divergente , n →∞

aunque en una forma especial . Se dice que { an} diverge a ∞ .

Algebra de límites para sucesiones Si {an } y {bn } son sucesiones convergentes y si c es una constante lim (an + bn ) = lim an + lim bn n →∞

n →∞

n →∞

lim (an − bn ) = lim an − lim bn n →∞

n →∞

n→∞

lim can = c lim an n →∞ n →∞ lim (an bn ) = lim an ⋅ lim bn n →∞

n →∞

an a n lim lim b = n→∞ b n →∞ n lim n n →∞

n →∞

si

lim bn ≠ 0 n→∞

lim c = c n →∞

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Ejercicio: Determine si las siguientes sucesiones convergen o divergen 4n − 1 an = 3n + 1

3n 2 − 1 an = 2 n +5

n2 −1 an = 2 n +1

an =

ln n n

Teorema del Sandwich para sucesiones a n = lim cn = L Si a n ≤ bn ≤ cn para n ≥ n0 y si nlim →∞ n →∞ entonces

lim bn = L

n →∞

Teorema Si

lim a n = 0

n →∞

entonces

lim a n = 0

n →∞

Ejercicio: Demuestre el teorema Universidad Diego Portales CALCULO II

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Ejercicio: Determine si las siguientes sucesiones convergen o divergen an = n2

−n

a n = (− 1)

n

an

− 1)n ( = n

a n = (− 1)n

(

n+2 − n

)

¿Para qué valores de r n converge la sucesión { r } ?

{r } n

La sucesión es convergente si -11; esto es, x>e. Ahora podemos usar el criterio de la integral

∫

∞

1

ln x dx = lim t →∞ x

∫

t

1

(ln x ) ln x = lim t →∞ x 2

2

t

 ln t =∞  = lim t → ∞ 2  1

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30

¿Del criterio de la integral, podemos inferir que ∞

∞

∑ a = ∫ f(x)dx n

n =1

1

?

No debemos inferir que la suma de la serie es igual al valor de la integral. Por ejemplo ∞

∑ n =1

π2 = 2 6 n 1

mientras que

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∫

∞

1

1 x

2

=1

31

Pruebas de comparación PRUEBA DE COMPARACIÓN: Supongamos que ∑ an y ∑ b n son series de términos positivos a) Si ∑ bn entonces

es convergente y an ≤ b n para todo n , ∑ an también converge.

b) Si ∑ bn entonces

es divergente y an ≥ b n ∑ an también lo es.

para todo n ,

Ejercicio: Determine si las series convergen o diverge ∞

6 ∑ 2 3 n + 2n + 5 n =1

∞

ln n ∑ n =1 2 n

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PRUEBA DE COMPARACIÓN DE LÍMITES Supongamos que ∑ an y ∑ b n son series con términos positivos. an = c > 0 , ambas series convergen o divergen n →∞ b n

a) Si lim

b) Si también c) Si

an lim =0 y n →∞ b n

an lim =∞ y n →∞ b n

∑b

∑b

n

n

converge, entonces

diverge, entonces

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∑a

n

∑a

n

también

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Ejercicio: Determine si las series convergen o divergen ∞

∞

1 ∑ n n =1 3 + 5

3 ln n ∑ n n =1

3n 3 − 2n 2 ∑ 4 2 n =1 n + n + 1 ∞

∞

n! ∑ n n n =1

n =1

∞

ln n ∑ 3 n n =1

1 ∑ n =1 n! n 2 − 3n

∞

∑

∞

3

n10 − 4n 2 ∞

∑ n =1

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n n5 + 4

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Series Alternantes Una serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos alternativamente ∞

(− 1)n−1

n =1

n

1 1 1 1 1 1 - + - + - + .... = 2 3 4 5 6

∑

1 2 3 4 5 - + - + - + .... = 2 3 4 5 6

∞

∑ n =1

(− 1)n n n +1

Nota el n-ésimo término de una serie alternante toma la forma

an = (-1) bn n-1

o bien

an = (-1) bn n

Prueba de la serie alternante; Si la serie alternante satisface las condiciones 1) b ≤ b para todo n n +1

n

2 ) lim bn = 0 n →∞

es convergente Universidad Diego Portales CALCULO II

35

Ejemplo: La serie armónica alternante

1 1 1 1 1 − + − + − ........ = 2 3 4 5

∞

∑

(− 1)n−1 n

n =1

satisface las desigualdades a) b)

bn +1 < bn

porque

1 1 < n +1 n

1 =0 n →∞ n

lim bn = lim

n→ ∞

Así que converge, según la prueba de la serie alternante. Ejercicio: Compruebe si la serie es convergente o divergente ∞

∑ n =1 ∞

∑ n =1

(− 1)n −1 n2

(− 1)n n n n!

∞

∑

(− 1)n n ln n

n =1

∞

∑ n =1

(− 1)n −1 3

ln n

∞

∑ n =1

cos nπ n3/ 4

∞

π n ( ) − 1 sen   ∑ n =1

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n 36

Convergencia absoluta Definición: La serie ∑ a n es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos ∑ converge

an

Si ∑ a n es una serie de términos positivos, entonces a n = a n y en este caso convergencia absoluta es lo mismo que convergencia ∞

Ejemplo: La serie

∑ n =1

(− 1)n−1 n3/ 2

es absolutamente convergente porque

∞

∑n n =1

1 3/ 2

es una serie p convergente (p=3/2>1) Universidad Diego Portales CALCULO II

37

∞

Ejemplo: La serie armónica alternante ∑ absolutamente pues la serie

∞

n =1

∑n 1

(− 1)n−1 n

converge, pero no es

diverge

n =1

Definición: Una serie ∑ a n se llama condicionalmente convergente si converge pero no es absolutamente convergente. Teorema: Si una serie ∑ a n es absolutamente convergente, entonces converge. ∞

Ejemplo: La serie

∑ n =1

sen 2n n2

es absolutamente convergente,

y por lo tanto convergente Universidad Diego Portales CALCULO II

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¿Qué criterio podemos usar Para determinar si una serie es absolutamente convergente?

Prueba de la razón a) Si

a lim n +1 = L < 1, n→ ∞ a n

es absolutamente b) Si

∞

entonces la serie

∑a

n

n=1

convergente ( y por lo tanto converge)

a lim n +1 = L > 1, n→ ∞ a n

a o lim n +1 = ∞, la serie n→ ∞ a n

∞

∑a

n

n=1

diverge

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Ejercicio: Pruebe la convergencia de las siguientes series ∞

∑ n =1 ∞

∑

(− 3)n n!

(− 2)n n +1

e − n n!

n =1 ∞

∑

n!

∑ n3 n =1

∑

(− 1)n n n

n =1 ∞

∞

n =1

(− 1)n 2 n n2 +1

(− 1)n +1 5n −1 ∑ 2 n+2 ( ) + n 1 4 n =1 ∞

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(− 2)n n 2 ∑ (n + 2)! n =1 ∞

∞

∑ ( − 10 ) n!

n =1

∞

∑ n =1

n

(n + 1)5 n n32 n

40

Prueba de la raíz a)

Si

lim

a n = L < 1,

n

n→ ∞

lim

entonces

la

s erie

∑a

n

n =1

es absolutame nte b) Si

∞

n

n→ ∞

convergent e ( y por lo tanto converge)

a n = L > 1,

o si lim

n

n→ ∞

a n = ∞ , la s erie

∞

∑a

n

n =1

diverge

Ejercicio: Pruebe la convergencia de las siguientes series

(− 1)n ∑ n n = 2 (ln n ) ∞

∞

 n    n 1 +   n =1

∑

(− 1)n

∞

∑ (arctann) n =1

n2

∑( ∞

n

n =1

∞

n

)

2 −1

n

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∑ n =1

∞

(2n )n n 2n

 2n + 3    3 n 2 +   n =1

∑

n

41

Series de Potencias Una serie de potencias es aquella que tiene la forma ∞

∑

c n x n = c 0 + c1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ....

n =0

en donde x es una variable y las cn son constanres, llamadas coeficientes de la serie. Una serie de potencias puede converger ante ciertos valores de x y diverger ante otros. La suma de la serie es una función f ( x) = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + ... + cn x n + ...

cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las que converge la serie. Universidad Diego Portales CALCULO II

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Para cn=1 la serie de potencias se transforma en la serie geométrica ∞

∑

x n = 1 + x + x 2 + x 3 + .... + x n + ... =

n =0

1 1− x

que converge cuando –1