UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

CALCULO II Autores: Sara Arancibia C Viviana Schiappacasse C

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PROGRAMA OBJETIVOS •Comprender y aplicar los conceptos fundamentales del Cálculo Integral y Series •Usar el Cálculo Integral y Series como herramienta en la resolución de problemas aplicados a Ingeniería, Economía, Optimización y otras áreas. •Implementar tecnología Educativa

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¿ Qué objetivos tiene el uso de la tecnología educativa? • Internalizar la conducta de comprobar y confrontar resultados del software o la calculadora gráfica con los obtenidos por vía manual • Usar el Software o la calculadora gráfica y su poder de programación como un instrumento intelectual y profesional • Fomentar la actividad de traducción de un problema de tipo algebraico a uno de tipo gráfico o numérico y viceversa, con el objeto de hallar soluciones diferentes a un mismo problema • Desarrollar una actitud crítica hacia los resultados que se obtienen de la calculadora y/o Software y reafirmar el papel fundamental del hombre como elemento racional frente a la automatización de la máquina. Universidad Diego Portales CALCULO II

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CONTENIDOS •Integral indefinida •Integral Definida •Ecuaciones Diferenciales •Aplicaciones de la Integral Definida •Integrales Impropias •Sucesiones y Series EVALUACION Se contemplan controles parciales, trabajos de laboratorio, informes y dos pruebas solemnes, que en conjunto valen un 70% de la nota final, y un examen que vale un 30%. Universidad Diego Portales CALCULO II

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BIBLIOGRAFIA Texto guía Apunte de Cálculo 2 , autores: Sara Arancibia y Viviana Schiappacasse Cálculo. Stewart James. Editorial Thomson Texto guia complementario Cálculo con Geometría Análitica, Edwards& Penney. Editorial Prentice Hall Texto complementario Cálculo para administración, Economía y Ciencias Sociales, Hoffmann & Bradley. Mc-Graw Hill Guías laboratorios de Calculadora ClassPad 300 para Cálculo 2 Universidad Diego Portales CALCULO II

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Introducción

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¿Qué problema motiva el concepto de integral? El cálculo integral se basa en el concepto de la integral. La definición de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una función de valores positivos f y el eje x en un intervalo cerrado [a,b]. El área R de la región de la figura esta´dada por la integral de f de a a b, denotada por el símbolo b

∫ f ( x) a

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Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a su aplicación a muchos problemas que aparentan tener poca relación con dicha motivación original: problemas que implican movimiento, velocidad, crecimiento de poblaciones, volumen, longitud de arco, área de una superficie y centro de gravedad, entre otros.

El teorema fundamental del cálculo proporciona una conexión vital entre las operaciones de derivación e integración, la que proporciona un método eficaz para calcular el valor de las integrales. Veremos que en vez de encontrar la derivada de la función f(x) , necesitamos determinar una nueva función F(x) cuya derivada sea f(x): F ' ( x) = f ( x )

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Integral Indefinida

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Antiderivadas o primitivas y problemas con condiciones iniciales El lenguaje del cambio es el lenguaje natural para establecer las leyes y principios científicos. Por ejemplo la ley de enfriamiento de Newton dice que la razón de cambio de la temperatura T de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura del medio ambiente. Es decir, dT = −k (T − A) dt

Donde k es una constante positiva y A, que normalmente se considera constante, es la temperatura ambiente.

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La ley de Torricelli dice que la razón de cambio del volumen V de agua en un tanque que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad h del agua

dV = −k h dt Los modelos matemáticos de las situaciones del mundo real implican con frecuencia ecuaciones con derivadas de las funciones desconocidas. Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales. El tipo más sencillo de una ecuación diferencial tiene la forma

dy = f (x) dx

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Donde f es una función dada (conocida) y la función y(x) es desconocida. El proceso de determinar una función a partir de su derivada es opuesto a la derivación y por ello se llama antiderivación. Si podemos determinar una función y(x) cuya derivada sea f(x)

y`( x) = f ( x) Entonces decimos que y(x) es una primitiva ( o antiderivada ) de f(x) Definición: Antiderivada o primitiva Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal queF `( x) = f ( x) siempre y cuando f(x) esté definida. Universidad Diego Portales CALCULO II

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Algunas antiderivadas de f(x)=3x2

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Una sola función tiene muchas primitivas, mientras que una función sólo puede tener una derivada

Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+C para cualquier elección de la constante C

Teorema: La primitiva más general Si F`(x)=f(x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva G de f en I tiene la forma G(x)=F(x)+C donde C es una constante

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La colección de todas las primitivas de la función f(x) es conocida como la integral indefinida de f con respecto a x y se denota

∫ f ( x)dx Con base en el teorema, escribimos

∫ f ( x)dx = F ( x) + C Por tanto

∫ f ( x)dx = F ( x) + C

si y sólo si

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F`(x) = f(x)

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Ejemplo: 3 ∫ x dx =

1 4 x +C 4

∫ cos xdx = sen x + C

Recuerde que la operación de derivación es lineal, lo que significa D x [cF ( x)] = cF `( x)

[

donde c es una constante

]

D x F ( x) −+ G ( x) = F `( x) −+ G`( x)

En la notación de antiderivación, esto implica que

∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx ∫ [ f(x)

+ -

]

g(x) dx = ∫ f(x)dx +- ∫ g(x)dx Universidad Diego Portales CALCULO II

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Ejercicio: Determine

∫ (4 x + 5 x + 3

2 ) dx 2 x

∫ (sen(4t) + cos(2t) )dt

Ejercicio: Verifique los siguientes resultados 1 sen kx + C k 1 sen kxdx cos kx + C = − ∫ k 1 2 sec kxdx tankx + C = ∫ k 1 2 csc kxdx cot kx + C = − ∫ k

∫ cos kxdx =

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Métodos de integración ¿Cómo reconocer cuál técnica emplear para integrar ?

No se pueden dar reglas inalterables y efectivas respecto a cuál método aplicar en determinado caso, pero uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el conocimiento de las fórmulas básicas de integración Tabla de fórmulas de integración x n +1 n 1. ∫ x dx = +C ( n ≠ -1 ) n +1 3. ∫ e x dx = e x + C 5. ∫ sen xdx = - cos x + C Universidad Diego Portales CALCULO II

1 2. ∫ dx = ln x + C x ax x 4. ∫ a dx = +C ln a 6. ∫ cos xdx = sen x + C 18

Tabla de fórmulas de integración

7. ∫ sec 2 xdx = tanx + C 9. ∫ sec xtanxdx = sec x + C

8. ∫ csc 2 xdx = − cot x + C

11. ∫ sec xdx = ln secx + tanx + C

10.. ∫ csc x cot xdx = − csc x + C 12 ∫ csc xdx = ln cscx - cotx + C

13. ∫ tanxdx = ln secx + C 15. ∫ senhxdx = cosh + C

14. ∫ cot xdx = ln sen x + C 16. ∫ coshxdx = senh x + C

17. ∫

dx 1 −1  x  tan =  +C 2 2 x +a a a

18. ∫

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 x = sen −1   + C a a 2 − x2 dx

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Métodos de integración

Desarrollaremos técnicas que nos permitirán emplear las fórmulas básicas con objeto de llegar a integrales indefinidas de funciones más complicadas

Integración por sustitución: Si u=g(x) es una función diferenciable cuyo recorrido es un intervalo I y f es continua en I,

∫ f ( g ( x)) g´(x)dx = ∫ f (u)du

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La regla de sustitución para integrar corresponde a la regla de la cadena para diferenciar. Debemos tener presente que si u=g(x), entonces du=g´(x)dx Ejercicio: Determine las siguientes integrales 2 + 3x + 5)(2 x + 3)dx 9 ( x ∫

3 x4 +2

∫x e ∫

dx

3x + 6

2x + 8x + 3 2

dx

(lnx)2 ∫ x dx Universidad Diego Portales CALCULO II

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? f ( x ) g ( x ) dx = ∫ ∫ f(x)dx ∫ g(x)dx

Ejercicio: muestre con un ejemplo que la igualdad anterior no se cumple La regla del producto establece que si f y g son funciones diferenciables, d [ f ( x) g ( x)] = f ´(x) g ( x) + f ( x) g´(x) dx

En la notación de las integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en

∫ [ f ´(x) g ( x) + f ( x) g´(x)]dx = f ( x) g ( x)

Es decir

∫ f ´(x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g´(x)dx = f ( x) g ( x) Universidad Diego Portales CALCULO II

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Integración por partes Reordenando la expresión anterior se tiene la fórmula de integración por partes

∫ f ( x) g´(x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ´(x) g ( x)dx Notación: Sean u=f(x) y v = g(x) entonces du=f´(x)dx y dv=g´(x) dx así, según la regla de sustitución, la fórmula de integración por partes se transforma en

∫ udv = uv − ∫ vdu Ejercicio: Determine las siguientes integrales

∫ x x + 5dx

∫ x cos xdx

2x x e ∫ dx

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∫ ln xdx

2 x x ∫ e dx

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Integrales Trigonométricas Las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas Cómo evaluar ∫ sen x cos xdx a) Si la potencia del coseno es impar m

∫ sen x cos m

2 k +1

n

(

)

k

xdx = ∫ sen x cos x cos xdx m

(

2

)

k

= ∫ sen x 1 − sen x cos xdx m

2

A continuación se sustituye u=senx b) Si la potencia del seno es impar

(

)

k

2 k +1 n 2 n sen x cos xdx = sen x cos x sen xdx ∫ ∫

(

)

k

= ∫ 1 − cos 2 x cos n x sen xdx A continuación se sustituye u=cosx Universidad Diego Portales CALCULO II

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Ejercicio: Determine 3 2 ∫ sen x cos xdx

5 ∫ cos xdx

C) Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades del ángulo medio sen 2 x =

1 (1 − cos 2 x) 2

cos 2 x =

1 (1 + cos 2 x) 2

A veces es útil emplear la identidad

senx cos x =

1 sen 2 x 2

Ejercicio: Determine 2 ∫ sen 3 xdx

2 2 ∫ sen x cos xdx

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Cómo evaluar

m n tan x sec xdx ∫

a) Si la potencia de la secante es par

( ) sec xdx x(1 + tan x ) sec xdx

m 2k m 2 tan x sec xdx = tan x sec x ∫ ∫

= ∫ tan m

k −1

2

2

k −1

2

A continuación se sustituye u=tanx b) Si la potencia de la tangente es impar

( ) = ∫ (sec x − 1) k

2 k +1 n 2 n −1 ∫ tan x sec xdx = ∫ tan x sec x sec xtanxdx 2

k

sec n −1 x sec xtanxdx

A continuación se sustituye u=secx 3 2 Ejercicio: Determine ∫ tan x sec xdx

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6 sec 2xdx ∫

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Obs: Si n es impar y m es par, todo el integrando se expresa en términos de secx. Es posible que las potencias de secx requieran integración por partes. Ejercicio: Pruebe que ∫ sec xdx = ln sec x + tanx + C 3 sec xdx = ∫

1 (sec xtanx + ln secx + tanx ) + C 2

m n Obs: Integrales de la forma ∫ cot x csc xdx se pueden determinar con métodos semejantes, a causa de la identidad 1+cot2x=csc2x

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¿Y cómo calculamos las integrales del tipo ∫ sen mx cos nxdx ?

Para evaluar las integrales

∫ sen mx cos nxdx

∫ sen mx sen nxdx

∫ cos mx cos nxdx

se emplean las identidades correspondientes a) b) c)

1 [sen( A − B) + sen( A + B)] 2 1 senAsenB = [cos( A − B ) − cos( A + B)] 2 1 cosAcosB = [cos( A − B ) + cos( A + B)] 2 senAcosB =

Ejercicio: Determine ∫ sen 5 x sen 2 xdx Universidad Diego Portales CALCULO II

∫ cos 3x cos 4 xdx 28

Sustitución trigonométrica A menudo es efectivo el método de sustitución trigonométrica al trabajar con integrales que contienen en sus integrandos ciertas expresiones algebraicas tales como

a2 − x2

a2 + x2

x2 − a2

En general, podemos efectuar una sustitución de la forma x=g(t) aplicando la regla de sustitución al revés. Para simplificar nuestras operaciones, supondremos que g tiene una función inversa; esto es, que es biyectiva. En este caso, si reemplazamos u por x y x con t en la regla de sustitución, llegamos a

∫ f(x)dx = ∫ f(g(t))g´(t)dt A este tipo de cambio se le llama sustitución inversa Universidad Diego Portales CALCULO II

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Para calcular ∫ ∫ a a−2 x− xdx2 dx ¿Qué sustitución aplicamos? 2

2

Podemos aplicar la sustitución inversa x=asenθ, siempre que restrinjamos θ al intervalo [-π/2, π/2] Expresión a2 − x2

Sustitución π π x = asenθ - ≤θ ≤ 2 2

Identidad 1 - sen 2θ = cos 2 θ

π π ≤θ ≤ 2 2

a2 + x2

x = atanθ

-

x2 − a2

x = asec

0 ≤θ <

π 2

1 + tan 2θ = sec 2 θ

o π ≤θ <

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3π 2

sec 2 θ − 1 = tan 2θ

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Obs: En cada caso, se impone la restricción sobre θ para asegurar que la función que define a la sustitución sea biyectiva Ejercicio: Determine las siguientes integrales ∫

x3 1− x

2

dx,

donde x < 1

1 ∫ (4 x 2 + 9) 2 dx x 2 − 25 dx ∫ x

x = senθ

x=

x >5

3 tanθ 2

x = 5secθ

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Integrales que contienen polinomios cuadráticos Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2+bx+c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado. Por ejemplo x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1) 2 + 1 y por tanto, con la sustitución u=x+1, du=dx, se obtiene 1 1 −1 −1 dx = ∫ 2 ∫ 2 du = tan u + C = tan ( x + 1) + C x + 2x + 2 u +1

En general, el objetivo es convertir ax2+bx+c en una suma o en una diferencia 2+ 2 o a 2 -u 2 de cuadrados u − a para que se pueda usar el método de sustitución trigonométrica Universidad Diego Portales CALCULO II

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Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales ¿Cómo integrar una función racional? Expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales Consideremos la función racional f(x) = P(x)

Q(x)

Es posible expresar f como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia. Si f es impropia; esto es, si grad(P)≥grad(Q), debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo tal que f(x) = P(x) = S ( x) + R(x) Q(x)

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Q(x)

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El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia R(x)/Q(x) como una suma de fracciones parciales, de la forma A ( ax + b)i

o bien

Ax + B (ax 2 + bx + c) j

Caso I: El denominador. Q(x), es un producto de factores lineales distintos. Esto significa que podemos escribir Q ( x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 )...........( ak x + bk )

En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes, A1, A2 , ..... Ak tales que Ak A1 A2 R( x) = + + .......... + . Q( x) (a1 x + b1 ) (a 2 x + b2 ) ( a k x + bk ) Universidad Diego Portales CALCULO II

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Ejercicio: Determine 4x 2 − 3 x − 4 dx ∫ 3 2 x + x − 2x

5 ∫ (2 x + 1)( x − 2)dx

dx ∫ 2 (x − 4)

Caso II: Q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten Considere que el primer factor lineal (a1 x + b1 ) se repite r r veces; esto es, en la factorización de Q(x) se obtiene (a1 x + b1 ) Entonces, en lugar del término único A1 /(a1 x + b1 ) emplearíamos A1 A2 Ar + + .......... + . (a1 x + b1 ) (a1 x + b1 ) 2 (a1 x + b1 ) r

Por ejemplo: 2 x 3 + x − 2 x 2 ( x − 1) 3

=

A B C D E + 2 + + + x x ( x − 1) ( x − 1) 2 ( x − 1) 3

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Ejercicio: Determine x 2 − 4x − 1 dx ∫ x( x − 1) 3

x 2 + 3x − 4 dx ∫ (2 x − 1) 2 (2 x + 3)

x3 − x2 dx ∫ ( x − 6)(5 x + 3) 3

Caso III: Q(x) contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite Si Q(x) tiene el factor ax2+bx+c, en donde b2-4ac