I, P o l i n o m i o s

Suma, diferencia y producto de polinomios

• Un monomio es una expresión algebraica donde los números (coeficientes) y las letras (parte literal) están separados por el signo de la multiplicación. • Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios.

PASO A PASO Real iza la siguiente resta de polinomios:

(3x 4 - x 3 + 2x - 4) - (2x4 + 2x2 - 3x) 1° Cambiamos el signo de todos los términos del segundo polinomio:

- x 3 + 2x - 4} - (2x4 + 2x2 - 3x) = 3x4 - x 3

- 4 - 2x4 - 2x2 + 3x =

Para sumar o restar polinomios se operan los términos que tienen la misma parte literal, esto es, los términos semejantes.

2. ° Operamos los términos de grado 1 y grado 4, que son semejantes:

las siguientes sumas y diferencias de polinomios.

I. Polinomios: S u m a , d i f e r e n c i a y p r o d u c t o de p o l i n o m i o s

los polinomios P(x) = 3x4 - 2x3 + x 2 + — x, Q(x) =

x

4

- - -

-3 y P,(x) = - 2 x ? - 4

calcula las sumas y restas que se indican. a) P(x) + Q ( x ) - /?(*)

b)

c) 2P(x) + Q(x)-2R(x)

d) 2P(x)

el polinomio P(x) = -x5 + 3x3 - 2x + 3, busca el polinomio que restado de P(x) dé como resultado los siguientes polinomios. a) -x4 + 3x3 - x + 2

b) -3x5 + 4x3 - 3x2 - 2x + 6

I. P o l i n o m i o s : S u m a , d i f e r e n c i a y p r o d u c t o de p o l i n o m i o s

Multiplica los polinomios P(x) = 3x3 + 2x2 - 3 y Q(x) = -x2 + 2x + 5 Colocamos los polinomios uno encima del otro, poniendo en la misma vertical los monomios semejantes y dejando el hueco cuando falte alguno de los términos:

P(x) =

Q(x) =

3x3 + 2x2 J5X 3 H-

Oy4

-3

-x2 + 2x + 5 1^ *

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primero por todos los monomios del segundo, y después se operan los términos semejantes.

10x2

+ 6x4 H- 4x3 Qv5

fíy

P(x)

+ 3x2 h J9X3 H-

[j(^lJ2M^^

(-x2) • P(x)

13x2 -6x -1S]

Efectúa las siguientes multiplicaciones de polinomios y reduce los términos semejantes.

a) ( 3 x 2 - x ) • ( 2 x 3 - 4 x + 5)

O | x

2

- - ) - (10x 2 -20x-10) 5

b) (x- - x; - 2x 2 - 4) • (x3 + 5x + 6)

I. Polinomios: Suma, d i f e r e n c i a y producto de p o l i n o m i o s

Multiplica los polinomios P(x) = 2x3 - x2 + 3 y Q(x) = -x3 + 2x2 - 3, escribiendo los productos parciales en la misma línea. 1.° Multiplicamos cada monomio de P(x) por Q(x):

(2x3 - x2 + 3) • (-x3 + 2x2 - 3) = 2x3 • (-x3 + 2x2 - 3) - x2 • (-x3 + 2x2 - 3) + 3 • (-x3 + 2x2 - 3) 2.° Desarrollamos los productos y reducimos los términos semejantes:

= -2x6 + 4x5 - 6x3

x5 -

+ 3x2 - 3x3

6x2 - 9 = \6 + 5x5 - 2x4 - 9x3 + 9x2 - 9

úa las siguientes multiplicaciones y reduce los términos semejantes, a) (2x-3y+l) • (3x+ 2y-6) =

c) (x2 + 3y-z 2 )

3y + z2) =

úa las siguientes potencias aplicando las identidades notables, a) (ax2 + b)2 =

9x2 -— x - —X c ) Í 2 x 2 + | ¿LX.

d) (3x2 + 2y)2 -

e)

3x_ j 2 3

I. P o l i n o m i o s : S u m a , d i f e r e n c i a y p r o d u c t o de p o l i n o m i o s

UN PASO MAS Desarrolla la expresión: (1 - 2x3) + 2x(x- I)2

= \2

3° Efectuamos la suma-.

=(1- 2x3} + (2x3 - 4x2 + 2x)

2° Calculamos el producto:

= (l-2x3) + 2x(x2 - 2x + 1) =

1° Calculamos la potencia:

Las operaciones con la misma prioridad se realizan de izquierda a derecha.

ja las operaciones con polinomios y reduce los términos semejantes,

a) 5(x2 - 2) - 2(2 - 3x + 2x 2 ) + ^ (6 - 3x2) =

b) 5x2 - 4[3(x2 - x) - (2x 2 - 3x + 4)] =

c) ( x - 2 ) (2x+

-x2)(5x-2) =

d) ( 2 - x ) [ ( x - 4 ) 2 - ( x - 2 ) - ( x - 3 ) ] =

e) (x + y ) [ x ( 2 y + l ) - y ( 2 x + 1)] -

I. Polinomios: Suma, d i f e r e n c i a y p r o d u c t o de p o l i n o m i o s

|Reduce las siguientes expresiones con coeficientes fraccionarios. v x 2 + 1 ,- x2 + 2 a) — 1- o • —

x(x + 6)

=

^Jt)Simplifica las siguientes expresiones desarrollando los productos notables y reduciendo los términos semejantes. a) 2(x + 5)2 - x 2 (3x - I)2 - (x- 4) (x + 4) =

b) [x2 + ( 2 x - 3 ) ] - [ x 2 - ( 2 x - 3 ) ] =

c) (2x - 5)2 - 2[4(x + 1) (x -1) - (2x + 3)2] =

d) [(x-2y) + 51- [ ( x - 2 y ) - 5 ] =

I. Polinomios

División entera de polinomios

En toda división entera de dos polinomios se cumple lo siguiente:

• Dividendo = Divisor • Cociente + Resto

• Grado del resto < Grado del divisor

PASO A PASO Realiza la siguiente división de polinomios: P(x) : Q(x) = (9x4 - 4x2 + 5x- 1) : (3x2 - 2x + 1) En el dividendo ponemos todos los términos ordenados, dejando hueco en los que falten. 9x4

-4x2 +5x -

-9x4 +6x3 -3x2

3x2 -2x+ 3x2 + 2x~

+6x3 -7x2 +5x -6x3 +4x2 -2x

9x4 : 3x2 = 3x2 6x3 : 3x2 = 2x -3x2 : 3x2 = -1

-3x2 +3x +3x2 -2x +

+x Dividendo = Divisor • Cociente + Resto => 9x4 - 4x2 + 5x - 1 = (3x2 - 2x + 1) • (3x2 + 2x - 1) + x Grado del resto = 1 < Grado del divisor - 2

úa las siguientes divisiones enteras de polinomios y, luego, comprueba que se cumple la igualdad: Dividendo = Divisor • Cociente + Resto. a) (2x 3 + 4x 2 - 3) : (x 2 - 2)

b) (4x3 + 4x2 + x + 1) : (2x 2 + 3x

8

I. Polinomios: División entera de p o l i n o m i o s

UN PASO MÁS En una división de polinomios, el divisor es 2x + —; el cociente, 4x 2 + 6x + —, y el resto, —. ¿Qué polinomio es el dividendo?

¡"feAl efectuar la división (2x3 + 5x2 + 3x- 2) : (x2 + 3x+ 1) se ha obtenido como cociente C(x) = 2x- 1. Halla el resto sin efectuar la división.

JCalcula el valor de a para que el resto de la división (4x5 - 7x3 + 3x+ a) : (x2 - 2) tenga los coeficientes iguales.

ICalcula a para que la división (4x3 + 6x2 + ax- 6) : (2x + 3) sea exacta.

I. Polinomios

División de polinomios por binomios con la regla de Ruffini La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio entre un binomio x- a, donde a representa un número entero.

• * • • •

r\ r* /"\ i~i A ÍN /"\O A PASO

,

rfh Divide el polinomio P(x) = 2x4 - 19x2 + 5x - 8 entre el binomio x- 3. 1° Colocamos los coeficientes del dividendo, poniendo un 0 cuando falte algún término. 2. ° Colocamos el primer coeficiente, 2, debajo de la línea y lo multiplicamos por a = 3. 3. ° El resultado lo sumamos con el siguiente coeficiente, 0, y así sucesivamente. 2 3

¡

0 6

2

6

1

-19

5

18-3

- 1

-8 6

-< -<

Coeficientes del dividendo Producto del resultado anterior por 3

>

2

••

N.°a

t

Coeficientes del cociente

F 'esto

| Cociente: C(x) = 2x3 + 6x2 - x + 2, Resto: R(x) = -2

a la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones,

d) (2x4 - x3 - 4x2 + x + 3) : x - — =

b) (2x4 + 5x3 - 5x - 2) : (x + 2) =

c) (3x4 + 8x3 + 8x - 3) : (x + 3) =

a) (x5 - 3x4 - 5x2 + 4) : (x - 2) =

10

I. Polinomios: División de p o l i n o m i o s por binomios con la regla de R u f f i n i

UN PASO MÁS I Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 3x4 + 2x3 - 12x2 + 8x cuando x - -3.

Utilizamos la regla de Ruffini:

3 -3

2 -9

3 - 7

-12 21 9

8 -27 -19

0

El valor numérico de un poli-nomio P(x) cuando x = a es igual al resto de la división P(X) : (x- a).

57 57

=>

P(-3) = 57

(Utilizando la regla de Ruffini, calcula el valor numérico de los polinomios siguientes para los valores que se indican. a) P(x) = 2x3 - 3x2 - 8x + 12; P(4)

b) P(x) = 3x4 - x3 - 6x2 + 2x ; P(-2)

Calcula el valor de m, utilizando la regla de Ruffini, para que se cumpla lo que se indica en cada apartado.

d) La división Q(x) : (x - 3) tenga de resto -20, siendo Q(x) = x4 + mx3 + 5x2 - 5x + 4.

b) La división (x 4 + 6x3 + 4x2 + m) : (x + 5) sea exacta.

c) La división P(x) : íx + — ) sea exacta, siendo . ,\ I P(x) = mx4 + 5 x 3 - 5 x - 2

a) Cuando x- -5, el valor numérico de P(x) = x 4 + 6x3 + 4x 2 + m sea 25.

11

I. Polinomios

Raíces de un polinomio. Teorema del resto y del factor Un número a es raíz del polinomio P(x) si P(a) = 0. Se cumple que: • Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. • Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales.

PASO A PASO

(gJ.líflK^S^gg-J

! Halla las raíces enteras del polinomio P(x) = x4 - 8x2 - 9. Las posibles raíces son divisores del término independiente, - 9, es decir: ±1, ±3 y ±9. Calculamos el valor numérico para cada uno de los valores y comprobamos si son raíces:

P(9) = 94-8- 92-9= 5904* O

P(-9} = (-9)4-8(-9)2-9=6561 -648-9=5904*0

P(3) = 34-8-32-9=0

P(-3) = (-3)4 - 8(-3)2 -9=81-72-9=0

P(l) = (l)4-8(l)2-9 =

P(-l) = (-l)4-8(-l)2-9 = 1-8-9=^16*0

Las raíces enteras de P(x) son +3 y-3.

wIndica en cada caso si los números dados son raíces del polinomio. a) x = -l,4, 5; P(x) = x 3 - 2 1 x - 2 0

b) x = -l, 3,-| ; P(x) = 3x3 - 2x2 - 3 x + 2

las raíces enteras de los siguientes polinomios. a) P(x) = x s - 9 x 2 - x + 9

b) P(x) = x 3 - x 2 + 6x~ 6

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I. Polinomios: Raíces de un polinomio. T e o r e m a del resto y del f a c t o r

N PASO MAS Teorema del resto: I Calcula el resto de la división (4x3 - 3x + 2) : (x + 3) aplicando el teorema del resto.

Al dividir P(x) : x- a, se cumple que P(a) = Resto.

Aplicando el teorema del resto, se cumple: P(-3) = Resto. P(-3) = 4(-3)3-3(-3) + 2=-108 + 9 + 2 =-97

(Calcula el valor de c para que la división de (x3 + 6x- c) : (x- 2) sea exacta.

5)El resto de la división de (2x3 - 3x2 + ax- 5) : (x- 2) es 3. ¿Cuánto vale a?

Teorema del factor:

P(a) = O,

Para que x- 1 sea factor, se tiene que cumplir que P( 1) = 0:

P(x) tiene como factor x- a si

¿Es x- 1 factor del polinomio P(x) = x3 + 2x2 - x- 2?

P(l) = 13 + 2- I 2 - 1-2= O -> | x- 1 es factor de P(x) '

i Indica si (x+ 1) y (x-1) son factores del polinomio P(x) = x3 - 1

iDado el polinomio P(x) = x 2 + x - 6, sabiendo que P(2) = O y P(-3) = O, escribe los factores del polinomio aplicando el teorema del factor.

13

I. Polinomios

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de sus factores.

PASO A PASO ^Factoriza el polinomio P(x) = 2x5 + 4x* - 6x3 - 16x2 - 8x. 1° Sacamos factor común: P(x) = 2x (x4 + 2x3 - 3x2 - 8x - 4) 2. ° Buscamos entre los divisores de -4 las raíces de Cj(x) = x4 + 2x3 - 3x2 -8x-4.

-1

3. ° Buscamos las raíces de C2(x) = x3 + x2 - 4x - 4. 4. ° Buscamos las raíces de C3(x) = x2 - 4.

-1

5° Utilizamos las Identidades notables para factorizar C3(x) = x2 - 4 = (x + 2) (x - 2).

1 1 1

2 -1 1 -1 0

= x4 + 2 x 3 - 3 x 2 - 5 x - 4

-3 -1 -4 0 -4

-8 4 -4 4 0

-4 =

,(x)

4

0 = =

C2(x) C3(x)

6. ° Igualamos el polinomio al producto de todos los factores o divisores: P(x) - 2x (x + I)2 (x + 2Hx^2Ü

(Factoriza los siguientes polinomios,

d) S ( x ) - x 3 - 1

b) Q(x) - x 3 + 2 x 2 - x - 2

c) R(x) = -x 4 -

a) P(x) = x3 - x2 - 4x + 4

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UN PASO MÁS

I. Polinomios: F a c t o r i z a c i ó n de p o l i n o m i o s

•MWMHHMMMNMHBMMHeí r

^Factoriza los siguientes polinomios sacando factor común o usando las identidades notables, a) A(x) = x3 + 6x2 + 9x

1O 3 b) 6(x) = 6x44 - 12x V

c) C(x) = 2x4- 8x2

, £T V 2

d) D(x) = 5x5 + 5x

IFactoriza los siguientes polinomios indicando las raíces que no sean enteras.

f) J(x) = 2x 3 - 5 x 2 - x + 6

c) G(x) = x 3 - 6 x 2 + 12x-8

e) /(x) = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 10

b) F(x) = 2 x 3 - 6 x 2 - 18x- 10

d) W(x) = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 27

a) E(x) = x3 - 4x2 - 5x

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