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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ Departamento de Ingeniería Electrónica

Tema 3 Técnicas de Modulación Analógica

MODULACIÓN EN FRECUENCIA Vigencia Noviembre 2010 H. Romero

Sumario 1. Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea. 2. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM). 3. Determinación de la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia. 4. Expresiones complejas para una señal modulada en fase y en frecuencia. 5. Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. 6. Espectro de frecuencia de una señal modulada en frecuencia.

Sumario 7. Modulación de frecuencia de banda estrecha o angosta: NBFM . 8. Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM. 9. Generación de señales moduladas en ángulo. 10. Demodulación de FM. 11. Potencia asociada a una señal con modulación de ángulo. 12. Sistema de comunicación con modulación angular en presencia de ruido.

Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea Una señal periódica es aquella que se repite cada T segundos. g(t)

g (t ) = A cos( wc t +φ ), A

donde wc = 2πf 1 y también f = T

wt [rad]

φ -A T

La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).

Frecuencia Instantánea de una señal Es el valor que toma la frecuencia de la señal en un instante de tiempo ti , se conoce como frecuencia instantánea de la función f(t). w

w

2wo

a)

2wo

wo

b) T

2T

3T

4T

wo

t

T

f(t)

2T

t

f(t)

t

Cambios bruscos de Frecuencia

t

Cambios graduales de Frecuencia

Justificación del uso de la Modulación de Frecuencia En la modulación AM la información se coloca en la amplitud de la señal portadora.

¿Qué desventaja trae esto?

Es posible hacer varia la frecuencia de la señal y mantener constante la amplitud, dando origen a la FM.

Justificación del uso de la Modulación de Frecuencia

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Sea la ecuación:

g (t ) = A cos( wc t +φ )

Si hacemos variar φ(t), se tendrá una dependencia del tiempo “t” de la fase de la ecuación.

g (t ) = A cos( wc t +φ (t ))

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Considere el diagrama de la figura siguiente

m(t )

X

cos(Wc.t)

g (t ) = A cos( wc t +φ (t ))

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Consideremos la ecuación:

φ ( t ) = k p m( t )

kp es constante m(t) es la modulante

g PM (t ) = A cos( wC t + k p m(t ))

Fase de la señal

Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como gPM(t)

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia El índice de modulación de PM: β p = φm = k p m(t ) max

[radianes]

Es la máxima desviación de fase que puede darse a la función gPM(t) y está dado por el valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante kP

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Si φ (t ) =

t

k ∫ −∞

f

m(τ )dτ = k f

Sustituyendo en :

t

m(τ )dτ , ∫ −∞

donde k f = ctte

g (t ) = A cos( wc t +φ (t ))

t   g FM (t ) = A cos wc t + k f ∫ m(τ )dτ    −∞

Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por gFM(t)

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia El índice de modulación de FM:

β f = φm = kf

t

∫ m(τ )dτ

−∞

max

Está dado por el máximo valor positivo de la integral de la modulante por el factor de escala kf

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

Técnica

Ecuación

Índice de Modulación

MODULACIÓN EN FASE

g PM (t ) = A cos( wC t + k p m(t ))

β p = φm = k p m(t ) max

MODULACIÓN EN FRECUENCIA

t   g FM (t ) = A cos wc t+ k f ∫ m(τ )dτ    −∞

t

β f = φm = k f ∫ m(τ )dτ −∞

max

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia La frecuencia instantánea se define como:

dθ ( t ) wi ( t ) = dt

d wi ( t ) = wc + k p [ m( t )] dt Señal Modulada en Fase

wi ( t ) = wc + k f m( t ) Señal Modulada en Frecuencia

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Representación gráfica de una señal modulada en FASE.

Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima. Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima.

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Representación gráfica de una señal modulada en FRECUENCIA

Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima. Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima.

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia

Expresiones complejas para señales moduladas en fase y en frecuencia Para la Modulación en Fase, se tiene:

{

g PM (t ) = Re { Ae jθ ( t ) } = Re Ae g PM (t ) = A[e jwc t • e

jk p m (t )

j ( wc t + k p m ( t ))

}

]

Para la Modulación de frecuencia, se tiene: t

g FM (t ) = Ae

j ( wc t + k f

∫ m (τ ) dτ )

−∞

t

⇒

g FM (t ) = Ae jwc t • e

[ jk f

∫ m (τ ) dτ ) ]

−∞

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Considérese, que la señal modulante es: m(t ) = m0 cos( wm t ),

donde m0 = constante

Como se tiene que : g PM (t ) = A cos( wC t + k p m(t ))

Reemplazando por la modulante dada, se tiene:

[

g PM ( t ) = A cos w c t + β p cos w m t

]

Ecuación de PM cuando la modulante es una onda senusoidal

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Considérese, que la señal modulante es:

m(t ) = m0 cos( wm t ), Como:

donde m0 = constante t

 g FM (t ) = A cos ω c t 

 + k f ∫ m(τ )dτ   −∞

Reemplazando la modulante, tiene:

[

g FM (t ) = A cos wc t + β f sen wm t

]

Ecuación de FM cuando la modulante es una señal senusoidal

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Se puede determinar la desviación de frecuencia angular de la señal modulada en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Representa el índice de modulación para FM ∆f βf = fm

OJO

∆f = desviación de frecuencia f m = frecuencia modulante

∆f = f i − f c

Modulación de Frecuencia Desarrollemos las expresiones complejas con una modulante senusoidal

{

Como : g FM (t ) = Re Ae

jθ ( t )

{

}

⇒ g FM (t ) = Re Ae

Si: e

jβ f sen wm t

=

e

jβ f senwm t

∞

jnwm t F e ∑ n

n = −∞

en donde: 1 Fn = T

jwc t

∫ f (t ). e T

− jnwm t

1 jβ sen wm t − jnwm t dt = ∫ e f e dt TT

}

Modulación de Frecuencia

Realizando un cambio de variable: 1 Fn = 2π

π

∫π e

j ( β f senϑ − nϑ )

dϑ

−

La solución de la integral se obtiene por medio de la función de BESSEL de primera clase y se indica como

J n (β ) donde n es el orden y β es el argumento.

Modulación de Frecuencia Teoría de las Funciones de BESSEL La expresión matemática para determinar los valores de cada uno de los componentes espectrales, está definida como: 2  ( ) β β / 2  f  1 f

( β +

/ 2)

( β −

/ 2)

 n − J N ( β f ) = +L  2   n! 1!(n + 1)! 2!(n + 21)! 3!(n + 3)!  Usando la función de BESSEL, se puede expresar una ecuación en otra forma. Veamos 4

f

6

f

nπ   ⇒ cos(α + m cos x) = ∑ J n (m) cos α + nx + 2   n = −∞ ∞

El argumento de la primera ecuación, es una función trigonométrica, en la segunda es una función trigonométrica con argumento simple.

Modulación de Frecuencia Friedrich Wilhelm Bessel

Teoría de las Funciones de BESSEL Normalmente para trabajar con las funciones de Bessel no hay que hacer todos los engorrosos cálculos. Al contrario, es muy simple empleando las tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL. Propiedades de las funciones de BESSEL: Elemento

J n (β ) J n (β ) = J −n (β ) J n ( β ) = − J −n ( β )

Descripción Son de valor real Para n PAR Para n IMPAR

Generación de Señales Moduladas en Representa Índice de Desde J1 HastaAngulo J15 la Portadora Modulación

Funciones βf

la señal dedeBessel Modulada

para valores de n =

representan las 0 bandas a n =laterales 15

FUNCIÓN DE BESSEL

Portadora

ORDEN DE LA FUNCIÓN

0

J0 1,00

J1 ~

J2 ~

J3 ~

J4 ~

J5 ~

J6 ~

J7 ~

J8 ~

J9 ~

J10 ~

J11 ~

J12 ~

J13 ~

J14 ~

J15 ~

0,1

1,00

0,05

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

0,2

0,99

0,10

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

0,25

0,98

0,12

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

0,5

0,94

0,75

0,86

1

0,77

1,5

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

0,51

Para este índice 0,01 ~ ~ ~ de modulación 0,24 0,03 ~ ~ ~ la 0,35 0,07 0,01 ~ ~ portadora se hace 0,44 0,11 0,02 ~ ~ 0,56 0,23 CERO 0,06 0,01! ~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

2

0,22

0,58

0,35

0,13

0,03

0,01

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

2,4

0,00

0,52

0,43

0,20

0,06

0,02

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

3

-0,26

0,34

0,49

0,31

0,13

0,04

0,01

~

~

~

~

~

~

~

~

~

4

-0,40

-0,07

0,36

0,43

0,28

0,13

0,05

0,02

~

~

~

~

~

~

~

~

5

-0,18

-0,33

0,05

0,36

0,39

0,26

0,13

0,05

0,02

6

0,15

-0,28

-0,24

0,11

0,36

0,36

0,25

0,13

0,06

7

0,30

0,00

-0,30

-0,17

0,16

0,35

0,34

0,23

0,13

8

0,17

0,23

-0,11

-0,29

-0,11

0,19

0,34

0,32

0,22

9

-0,09

0,25

0,14

-0,18

-0,27

-0,06

0,20

0,33

0,31

10

-0,25

0,04

0,25

0,06

-0,22

-0,23

-0,01

0,22

0,32

11

-0,17

-0,18

0,14

0,23

-0,02

-0,24

-0,20

0,02

0,22

12

0,05

-0,22

-0,08

0,20

0,18

-0,07

-0,24

-0,17

0,05

0,23

0,30

0,27

0,20

13

0,21

-0,07

-0,22

0,00

0,22

0,13

-0,12

-0,24

-0,14

0,07

0,23

0,29

0,26

14

0,17

0,13

-0,15

-0,18

0,08

0,22

0,08

-0,15

-0,23

-0,11

0,09

0,24

0,29

0,25

0,19

0,12

15

-0,01

0,21

0,04

-0,19

-0,12

0,13

0,21

0,03

-0,17

-0,22

-0,09

0,10

0,24

0,28

0,25

0,18

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

0,01

~

~

~

~

A mayor índice de 0,06 0,02 0,01 ~ ~ Modulación, mayor 0,13 0,06 0,03 0,01 ~ 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 numero de Bandas 0,29 0,21 0,12 0,06 0,03 Laterales 0,31 0,28 0,20 0,12 0,06 0,02

0,01

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

0,01

~

0,03

0,01

0,12

0,07

0,03

0,19

0,12

0,07

Generación de Señales Moduladas en Angulo Las funciones de Bessel pueden ser graficadas, obteniéndose por ejemplo las siguientes graficas para valores de n = 0 a n = 4

Modulación de Frecuencia Retomando el análisis, la ecuación

e

jβ f sen wm t

=

∞

jnwm t F e ∑ n

n = −∞

puede ser reescrita como:

e jβ sen wm t =

∞

jnwm t J ( β ) e ∑ n

n = −∞

y empleándola en la expresión general para FM:

 jwc t ∞ jnwm t  g FM ( t ) = Re Ae J n (β ) e  ∑ n = −∞   ∞

⇒ g FM (t ) = A ∑ J n ( β ) cos( wc + nwm )t n = −∞

Calculo de Ancho de Banda Según las ecuaciones Bessel el ancho de banda es infinito.

Una banda lateral es significativa si tiene magnitud igual ó mayor al 1 % de la magnitud de la portadora no modulada. J n ( β ) ≥ 0.01

Calculo de Ancho de Banda SI limitamos la información a las bandas laterales significativas, podemos calcular el ancho de banda según Bessel: W = 2nwm Donde n el numero de bandas laterales Wm es el ancho de banda de la señal modulante

La regla de Carlson también determinar el ancho de banda:

W = 2( ∆w + wm )

⇒

puede

usarse

W ≈ 2 wm (1 + β )

para

Calculo de Ancho de Banda

Análisis espectral para una señal modulada en frecuencia para diferentes índices de modulación.

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM FM posee un ancho debanda amplio. Lo cual se constituye en una limitación cuando la disponibilidad de ancho banda es limitada. La excelente relación señal a ruido que posee la hace interesante aún a pesar de la limitación anterior.

Es por esto que se busca disminuir su ancho de banda

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM La ecuación de una señal modulada en frecuencia es:

[

g FM (t ) = A cos wc t + β f senwm t

También puede ser reescrita trigonométricas como:

usando

] identidades

φFM ( t ) = A cos wc t cos( β f sen wmt ) − A sen wc t sen( β f sen wmt )

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Considerando: En primer lugar, que los valores de β son pequeños, entonces:

cos( β f sen wmt ) ≈ 1

y sen( β f senwmt ) ≈ β f senwmt

Segundo, los valores de βf, pueden ser tomados como menores a 0,2 Así que:

φ NBFM ( t ) = A cos wc t + Aβ f sen wc t sen wm t

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Esta es la ecuación para la modulación de frecuencia de banda angosta y se denota como NBFM, donde βf es el índice de modulación para FM.

φ NBFM ( t ) = A cos wc t + Aβ f sen wc t sen wm t Señal Portadora

Índice de Modulación

Señal Modulante

En ausencia de modulante, solo está presente la portadora de frecuencia wc llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, la frecuencia de la señal portadora se desvía por encima y por debajo de wc en un valor dado según βf

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM Realizando una comparación entre los resultados para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente:
Ambas modulaciones poseen dos bandas laterales y su ancho de banda es igual a 2wm.
En AM la modulación se agrega en fase con la portadora mientras que en NBFM se hace en cuadratura.
La modulación AM proporciona variación de amplitud sin desviación de fase mientras que NBFM da origen a una variación de fase con muy pequeño cambio de amplitud.

Generación de Señales Moduladas en Angulo Generación de NBFM y NBPM. CASO DE NBPM: Si partimos de la ecuación:

g NBPM (t ) = A cos wc t − β f Asen( wm t )sen( wc t ) f(t)

X

kp

+

g NBPM (t )

∑ +

90 cos w t c a) Caso NBPM

Generación de Señales Moduladas en Angulo Generación de NBFM y NBPM. CASO DE NBFM: Si se integra la función antes de ingresar al sistema, se tiene NBFM , según vimos. Entonces para generar NBFM se tiene: f(t)

∫

X

kf

+

∑ +

90 cos w t c

g NBFM ( t )

Tarea: - Investigue las técnicas de demodulación de FM y PM - ¿Como se calcula la potencia en las bandas laterales? Actividades: - Realice ejercicios prácticos

Fin del Tema 3 Final del Tema 3