SUPERFICIES CON MATLAB Adolfo Canahuire Condori

2 −x 2

f  x , y= y e

PRESENTACIÓN En cada diapositiva se exponen las instrucciones a realizar en la ventana de comandos del Matlab para obtener una superficie. Al lado de estas instrucciones se muestra también el resultado gráfico obtenido. No pretendo repetir lo que hay en la ayuda del Matlab, sobre el uso de comandos y funciones. Sugiero que se consulte la mencionada ayuda cuando sea necesario. Adolfo Canahuire Condori

Un primer ejemplo >> >> >> >> >>

La función z= y

3

[x,y]=meshgrid(-4:.25:4); z=y.^3; surf(x,y,z) axis square xlabel('Eje X'),ylabel('Eje Y'),zlabel('Eje Z')

La función meshgrid, determina el dominio de la función

Función surf del Matlab para graficar una superficie

Para etiquetar los ejes

La funciones para graficar superficies en el Matlab son: surf mesh surfl ezsurf etc.

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Dos planos >> >> >> >> >>

Leyenda

[x,y]=meshgrid(-2:.1:2); surf(x,y,-x+y,'FaceColor','blue') hold on surf(x,y,2.*x+y-1,'FaceColor','red') legend('Plano z=-x+y','Plano z=2x+y-1')

Hold on es para realizar una gráfica sobre otra

x− yz=0

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2x y−z=1

Dos cilindros parabólicos >> >> >> >>

[x,y]=meshgrid(-10:.5:10); z=4-y.^2;w=4-x.^2;surf(x,y,z) hold on surf(x,y,w)

w=4− x

2

Hold on es para realizar una gráfica sobre otra

z=4− y

2

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Función: z=sin   x  y  2

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2

[x,y]=meshgrid(-3*pi:.25:3*pi); z=sin(sqrt(x.^2+y.^2)); surf(x,y,z) axis([-3*pi 3*pi -3*pi 3*pi -2 2]) colormap bone

Con el colormap “bone” se proporciona una escala de grises

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Subgráficos Subplot para crear subventanas en la ventana de la figura

f  x , y=−xy e

−x 2− y 2

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[x,y]=meshgrid(-3:.2:3); z1=-x.*y.*exp(-x.^2-y.^2); z2=x.^2.*y.^2.*exp(-x.^2-y.^2); subplot(1,2,1) surf(x,y,z1),axis vis3d daspect([10 10 1]) subplot(1,2,2) surf(x,y,z2),axis vis3d daspect([10 10 1])

2

2 −x 2− y 2

f  x , y= x y e

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Superficie con sus curvas de nivel >> >> >> >>

[x,y]=meshgrid(-4:.1:4); surfc(x,y,exp(-x.^2)+exp(-y.^2)) axis([-4 4 -4 4 -0.5 2]) view(60,-15),axis off

Una rotación de 60º y una elevación de -15º

Curvas de nivel de la superficie

Para borrar los ejes

−x

z=e

2

−y

e

2

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Curvas de nivel

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Estos valores se obtienen con “clabel”

El color de las curvas de nivel varian desde la parte superior (rojo) a las parte inferior (azul) >> >> >> >> >>

Número de curvas de nivel

[x,y]=meshgrid(-2:.1:2); z=exp(-x.^2-y.^2); [C,h]=contour(x,y,z,7),axis square clabel(C,h) title('Curvas de nivel de z=e^{-x^2-y^2}','FontSize',14)

Superficie de revolución >> >> >> >> >> >> >>

t=0:.1:4;[x,y,z]=cylinder(sqrt(t)); subplot(1,2,1) plot(t,sqrt(t)) axis square,title('Curva que genera la superficie') subplot(1,2,2) surf(x,y,z),axis vis3d title('Superficie')

La curva gira alrededor del eje X, y este eje pasa a ser el eje Z cuando se obtiene la superficie de revolución

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Cono truncado >> >> >> >> >> >>

t=0:.05:2;[x,y,z]=cylinder(2*(1-t./3)); subplot(1,2,1) plot(t,2*(1-t./3)),axis([0 2 0 3]) axis square subplot(1,2,2) surf(x,y,z),axis vis3d

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Superficie generada por una hipérbola >> >> >> >> >> >>

t=-2:.1:2;[x,y,z]=cylinder(sqrt(1+(t.^2)/4)); subplot(1,2,1) plot(t,sqrt(1+(t.^2)/4)),axis([-2 2 0 3]) axis square subplot(1,2,2) surf(x,y,z),axis vis3d 2

x 2 y − =1 4

Para no mezclar x, y, z de la función cylinder, es que se usa la variable t



2

t f t = 1 4

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Conos

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t=0:.05:1; [x,y,z]=cylinder(t);[X,Y,Z]=cylinder(2*t); subplot(1,2,1) plot(t,t,t,2*t),axis([0 1 0 3]) axis square subplot(1,2,2) surf(x,y,z,'FaceColor','blue') hold on surf(X,Y,Z,'FaceColor','green') axis vis3d

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Tetraedros Adolfo Canahuire Condori

Con este número se divide el borde de la base de un cono en tres parte iguales. >> >> >> >> >> >> >>

t=0:.1:2;[x,y,z]=cylinder(t,3); subplot(1,2,1) surf(x,y,-z),axis vis3d,axis off title('Tetraedro','Fontsize',14) subplot(1,2,2) surf(x,y,z),axis vis3d,axis off title('Tetraedro invertido','Fontsize',14)

En estos c uat se usa la f ro ejemplos unción ezs ur f

Paraboloides

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subplot(2,2,1) ezsurf('x^2+y^2'),axis square subplot(2,2,2) ezsurf('x^2+y^2','circ'),axis square subplot(2,2,3) ezsurf('4-x^2-y^2'),axis square subplot(2,2,4) ezsurf('4-x^2-y^2','circ'),axis square

Con la opción circ, se grafica la superficie sobre un disco centrado en el dominio de la función

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Toro

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t=-1:.05:1;[x,y,z]=cylinder(3+sqrt(1-t.^2)); [x1,y1,z1]=cylinder(3-sqrt(1-t.^2)); subplot(2,1,1) plot(t,3+sqrt(1-t.^2),t,3-sqrt(1-t.^2)) axis([-2 2 0 4.5]),grid, axis square subplot(2,1,2) surf(x,y,z) hold on,surf(x1,y1,z1)

La rotación de la circunferencia alrededor del eje X, genera el toro.

Si borras los ejes con “axis off”, tienes lista la superficicie para incluirlo en tu trabajo

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Elipsoide Ecuaciones paramétricas x=a cos u sin v y=b sin u sin v z=c cos v

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u=linspace(0,2*pi,50); v=linspace(0,pi,40); [U,V]=meshgrid(u,v); a=5;b=2;c=1; X=a*cos(U).*sin(V); Y=b*sin(U).*sin(V); Z=c*cos(V); mesh(X,Y,Z),axis image xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

Dominio 0u2  0v

Ecuación cartesiana x2 y 2 z2  2  2 =1 2 a b c

2

2

2

x y z   =1 2 2 2 5 2 1

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Hemisferios Ecuaciones paramétricas x=2 cos v cos u y=2 cos v sin u z=2sin v

Dominio

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u=linspace(0,2*pi,50); v=linspace(0,pi/2,40); [U,V]=meshgrid(u,v); a=2; X=a*cos(V).*cos(U); Y=a*cos(V).*sin(U); Z=a*sin(V); subplot(1,2,1) mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','red') axis equal subplot(1,2,2) mesh(X,Y,-Z,'EdgeColor','red') axis equal

0u2  0v/2

EdgeColor es un atributo de la malla (mesh), en este caso le damos a la malla el color rojo

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