EJERCICIOS DE FORMAS DE ONDA y DESARROLLOS EN SERIE DE FOURIER. EJERCICIO 1.- Hallar el valor eficaz, Y, de las formas de onda representadas en la figura.

RESOLUCIÓN: Los valores eficaces de las tres formas de onda son iguales. Para la segunda forma de onda se tiene que:

x y ( t )= Y m t T

2

Y =

1 T

T

2

2

3 T

Ym 2 Ym t ∫0 T 2 t d t = T 3 [ 3

2

] = Y3m 0

Y = Y m = 0,577 Y m 3

EJERCICIO 2.- Hallar el valor medio y el valor eficaz de una onda sinusoidal alternada no simétrica de período 2π.

RESOLUCIÓN: Sea la onda sinusoidal alternada no simétrica de la figura La función de onda vendrá dada por:

y ( t ) = Y 0 + Y m x sen ω t

El valor medio se obtendrá como:

Y med =

2π

1 2π

∫ (Y

0

+ Y m x sen ω t ) dt =

0

1 Y 0 2 π Y med = Y 0 2π

El valor eficaz se calcula como:

2

Y =

1 2π

2π

∫ (Y

0

+ Y m x sen ω t )2 dt

0

2π 1  2  ω t sen 2 ω t   2π 2    Y 0 2 π + 2 Y 0 Y m x ( - cos ω t )0 + Y max  Y = 2 π  4  2 0  2

2 Y =

Y=

1  2π 2 2 π Y 02 + Ym x   2π  2 

2

Y0 +

Ym x 2

2

EJERCICIO 3.- Hallar el valor eficaz de la onda representada en la figura.

RESOLUCIÓN: Por tratarse de una función discontinua habrá que considerar el valor de dicha función en cada intervalo dentro del período. Así se tiene que:

0 ≤ t ≤ 0,01 s

y (t) = 1.000 t

0,01 ≤ t 0,02 s

y (t) = 10

0,02 ≤ t ≤ 0,03 s

y (t) = 0

El valor eficaz vendrá dado por:

2 Y =

2

Y =

2 Y =

1   0,03 

0,01

∫

 2 10 d t   0,01

0,02

1.000 2 t 2 d t +

0

3 1  2 t 1.  000 0,03  3

∫

0,01 0

  0,01 

0,02

+ 10 2 t

1  0,013  2 1. x + 10 2 x 0,01  = 44,4 000  0,03  3 

Y = 6,67

EJERCICIO 4.- Calcular los valores medios y eficaces de las siguientes formas de onda, utilizando las correspondiente definiciones: Onda cuadrada:

Onda rectificada:

Onda triangular:

Onda doblemente rectificada:

RESOLUCIÓN:

ONDA CUADRADA La función de onda, de la onda cuadrada, se puede expresar como:

y ( ω t )= Y m x 0 ≤ ω t ≤ π y ( ω t )= - Y m x π ≤ ω t ≤ 2 π la función tiene un período T = 2 π. Valor medio:

Y med =

1 T

T

∫y (

ω t )d ω t

0

1 Y med = 2π

2π π   ∫ Y max d ω t - ∫ Y max d ω t    π  0 

Y med = 0 Valor eficaz:

1 Y = T 2

2

Y =

T

∫y

2

( ω t )d ω t

0

1 2π 2

2π π 2   ∫ Y max d ω t + ∫ Y 2max d ω t    π  0 

Y max π - 0 + 2 π - π = 2 ( ) Y max Y = 2π Y = Y max 2

Factor de amplitud:

F.A.= Y max = Y max = 1 Y Y max Factor de forma:

F.F.=

Y = Y max = 1 Y med ( doblemente rectificada ) Y max

ONDA TRIANGULAR

La función de onda, de la onda triangular, puede venir dada por:

  ω t   y ( ω t ) = Y max   π     2     π ω t  3π  ≤ ωt ≤ y ( ω t ) = Y max  2 π  2 2    2    ω t 3π ≤ ωt ≤ 2 π y ( ω t ) = Y max  -4 2  π   2

π 0 ≤ ωt ≤ 2

     

cuyo período es de: T = 2 π. Valor medio:

1 Y med = T

T

∫y (

ω t )d ω t

0

3π π   2  2 ω t 1  ω t   d ω t + ∫ Y max  2 Y med = Y max  ∫ π 2π 0   2  π   2 2   Y med = 0

2

Valor eficaz: Y =

1 T

T

∫y

2

     d ω t +      

 ω t ∫3 π Y max  π - 4  2  2 2π

  d ω t   

( ω t )d ω t

0

π 3π   2 2  2 ω ω t 1 t    2 2 2  2d t + ω   Y = Y Y max max ∫ ∫ π 2π 0   2  π   2 2   Y Y = max 3

2     2π  ω t  d ω t  + ∫ Y 2max  -4  3π   π    2   2 

2

   d ω t   

Factor de amplitud:

F.A.= Y max = Y max = 3 Y Y max / 3 Factor de forma:

F.F.=

Y / 3 = Y max = 1′ 15 Y med ( doblemente rectificada ) Y max / 2

ONDA RECTIFICADA La onda rectificada de una onda senoidal se expresa por:

y ( ω t ) = Y max sen ( ω t ) 0 ≤ ω t ≤ π y ( ω t )= 0 π ≤ ω t ≤ 2 π con un período T = 2 π. Valor medio:

1 Y med = T Y med = Y med =

T

∫y (

ω t )d ω t

0

1 2π

π

∫Y

max

sen ( ω t ) d ω t

0

Y max π

Valor eficaz:

1 Y = T 2

2 Y =

T

∫y

2

( ω t )d ω t

0

1 2π

π

∫Y

2 max

2 sen ( ω t ) d ω t

0

 ω t sen 2 ω t  π Y=Y   0 2π  2 4 Y = Y max 2 2 max

Factor de amplitud:

F.A.= Y max = Y max = 2 Y Y max / 2

Factor de forma:

F.F.=

Y

/2 = Y max = 1′ 57 Y med Y max / π

ONDA DOBLEMENTE RECTIFICADA La función de onda será:

y ( ω t ) = Y max sen ( ω t ) 0 ≤ ω t ≤ π con un período T = π. Valor medio:

1 Y med = T

T

∫y (

ω t )d ω t

0

π

Y med =

1 Y max sen ( ω t ) d ω t π ∫0

Y med =

2 Y max π

Valor eficaz:

2

Y =

1 T

T

∫y

2

( ω t )d ω t

0

π

2 Y =

1 2 2 Y max sen ( ω t ) d ω t π ∫0

2  ω t sen 2 ω t  π Y = Y max   0 π  2 4 Y = Y max 2

Factor de amplitud:

F.A.= Y max = Y max = 2 Y Y max / 2 Factor de forma:

F.F.=

Y

/ 2 = Y max = 1′ 11 Y med 2 Y max / π

EJERCICIO 5.- Calcular las expresiones del valor medio y el valor eficaz de la onda rectificada de la figura en función de θ.

RESOLUCIÓN: Dentro del intervalo correspondiente al período de la forma de onda, se presentan tres intervalos, en dos de los cuales la función es nula y, por tanto, solo en el intervalo θ - π la función es distinta de cero y con un valor de:

v (t) = vo sen ( ω t )

El valor medio vendrá dado por la expresión:

V m=

1 2π

π

∫v

0

sen ( ω t ) d ω t

θ

π 1 V m= vo [ - cos ( ω t ) ] 2π θ v o ( 1 + cos θ ) V m= 2π

El valor eficaz se obtiene como:

2

V =

1 2π

π

∫v

2 0

2 sen ( ω t ) d ω t

θ

2 vo  ω t - sen 2 ω t  π 2 V =  2 π  2 4 θ

2 vo  π - θ + sen 2 θ  2 V =  2 π  2 2 4

V=

vo 2

1-

θ sen 2 θ + π 2π

EJERCICIO 6.- Hallar el valor eficaz de una onda completa senoidal rectificada cortada en la mitad de su valor máximo, tal como se indica en la figura.

RESOLUCIÓN: Al cortar la onda por la mitad de su valor máximo se obtienen los dos ángulos de corte que definen los intervalos de discontinuidad de la función. Así se tiene que:

y (t) = Y m sen ω t

0,5 Y m = sen ω t

ω t = 30°

por tanto:

θ 1=

π 6

θ2=

5π 6

El valor eficaz de la función se expresará como: 5π  π6  π 6 1   2 2 2 2 2 2 2 Y =  ∫ Y m sen ω t d ω t + ∫ 0, 5 Y m d ω t + ∫ Y m sen ω t d ω t  π 0 5π π   6 6

2  y m  ω t sen 2 ω t 2 Y = π  2 4 

Y = 0,44 Y m

π 6 0

+ o, 5 ω t 2

5π 6

π 6

ω t sen 2 ω t + 2 4

π 5π 6

   

EJERCICIO 7.- Obtener los desarrollos trigonométricos en términos en series de Fourier de las formas de onda indicadas en el EJERCICIO 4. RESOLUCIÓN: ONDA CUADRADA La función de onda, de la onda cuadrada, se puede expresar como:

y ( ω t )= Y m x 0 ≤ ω t ≤ π y ( ω t )= - Y m x π ≤ ω t ≤ 2 π la función tiene un período T = 2 π. ∞

El desarrollo pedido será de la forma: siendo:

ω=

y ( t ) = a0 +

2π ( T , periodo de la funcion ) T

∑a

n

cos ( n ω t ) + b n sen ( n ω t )

n=1

CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES:

a0 =

1 T

T

∫y (

t )d t

a0 = 0 Onda simetrica alternada

o

Por otro lado se sabe que, por ser una función impar los términos an = 0 y por tener simetría de semionda bn = 0 con n impar. Por tanto, el desarrollo sólo tendrá términos impares en seno.

2 an = T an =

2 π

T

∫y (

t ) cos ( n ω t ) d ω t

0

2π π   ∫ Y max cos ( n ω t ) d ω t - ∫ Y max cos ( n ω t ) d ω t    π  0 

Y max an = π

[

]

sen ω t π sen n ω t 2 π | | _ =0 n n 0 π

an = 0

bn =

bn =

2 T 2 π

T

∫y (

t ) sen ( n ω t ) d ω t

0

2π π   ∫ Y max sen ( n ω t ) d ω t - ∫ Y max sen ( n ω t ) d ω t    π  0 

[

]

bn =

Y max - cos ω t | π + cos n ω t | 2 π π n n 0 π

bn =

Y max [- cos n π + cos 0 + cos 2 n π - cos n π ]= Y max [ 2 - 2 cos n π nπ nπ

]

Ahora bien, teniendo en cuenta que: n

1

2

3

...

n

cos n π

-1

1

-1

...

(-1)

[

n

]

2 Y max 2 Y max  1 - ( - 1 )n  n = 1 ( 1 = ) bn   π  nπ n 

se tiene que: y por tanto:

n n

[1-(-1) ]/n

Así pues,

bn =

1

2

3

...

n

2/1

0

2/3

...

2 / nimpar

4 Y max 1 π nimpar

4 Y max El desarrollo buscado será: y ( ω t ) = π

∞

1 sen n ω t n=1 n

∑

Para los primeros armónicos se tiene:

4 1 1 1   y ( ω t ) = Y max  sen ω t + sen 3 ω t + sen 5 ω t + sen 7 ω t ...  π  3 5 7  para los cuales se verifica que:

c0 = 0

c1 =

4 Y max 2π

c3 =

4 Y max 3 2π

c5 =

4 Y max 5 2π

como: 2

Y=

2

c1 cn c + + ... + 2 n 2 0

por tanto:

Y = 0′97 Y max

ONDA TRIANGULAR La función de onda correspondiente a la onda triangular es:

c7 =

4 Y max 7 2π

  ω t   y ( ω t ) = Y max   π     2     π ω t  3π  ≤ ωt ≤ y ( ω t ) = Y max  2 π  2 2    2    ω t 3π ≤ ωt ≤ 2 π y ( ω t ) = Y max  -4 2  π   2

π 0 ≤ ωt ≤ 2

     

cuyo período es de: T = 2 π. Como en el caso anterior, se trata de una función alternada simétrica por lo que su valor medio es nulo, es decir, a0 = 0, es una función impar, por lo cual los términos an = 0, y por tener simetría de semionda bn = 0 con n impar. Por tanto, el desarrollo sólo tendrá términos impares en seno. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES:

a0 = 0 an = 0 2 bn = T

bn =

∫y (

t ) sen ( n ω t ) d ω t

0

π/2 1 Y max ( ω t ) sen ( n ω t ) d ω t +  π  ∫0 π / 2

3 π/2

+

T

∫

2 Y max sen ( n ω t ) d ω t -

π/2

3 π/2

∫

π/2

Y max ( ω t ) sen ( n ω t ) d ω t + π / 2

2π  Y max + ∫ ( ω t ) sen ( n ω t ) d ω t - ∫ 4 Y max sen ( ω t ) d ω t  π / 2 3 π/2 3 π/2  2π

Operando se tiene que:

bn =

π 4 Y max  3π  sen n sen n 2 2 2 n  n π 

por tanto:

sen n

( π =( - 1 ) 2

n - 1 ) 2

n = impar

sen n

π = 0 n = par ( Simetria de semionda ) 2

así, se obtiene:

bn =

8 Y max

π n 2

2

sen n

π 2

bn =

8 Y max

π n 2

2

( n - 1 ) 2

( - 1 )

para n = 1, 3, 5, ...

y ( ω t )=

El desarrollo buscado es:

Para los primeros armónicos se tiene:

8 Y max

π

2

∑

( -1 )

n = 1, 3, 5, ...

La función de onda se expresa por:

y ( ω t ) = Y max sen ( ω t ) 0 ≤ ω t ≤ π y ( ω t )= 0 π ≤ ω t ≤ 2 π con un período T = 2 π. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES:

a0 =

T

∫y (

ω t )d ω t

0

1 2π

π

∫Y

max

0

sen ω t d ω t = Y max ( 2 ) 2π

Y max π T 2 = y ( ω t ) cos n ω t d ω t an T ∫0 a0 =

2 an = 2π an =

π

∫Y

max

sen ω t cos n ω t d ω t

0

- Y max ( 1 + cos n π ) 2 n -1 π

1 Para n = 1 => a1 = ∫ Y max sen ω t cos ω t d ω t = 0 π 0 Para n ≥ 2 => an =

π

1 Y max sen ω t cos n ω t d ω t π ∫0

pero para n impar se verifica que cos n π = - 1, por tanto, an = 0

an =

- 2 Y max 2 n -1

bn =

2 T

T

∫y (

para n = 2, 4, 6, ...

ω t ) sen n ω t d ω t

0

π

2

sen n ω t

8 1 1   y ( ω t ) = Y max sen ω t - sen 3 ω t + sen 5 ω t + ...  2  9 25 π  

ONDA RECTIFICADA

1 a0 = T

n

n - 1 2

1 Para n = 1 => b1 = ∫ Y max sen2 ω t d ω t = Y max π 0 2

Para n ≥ 2 => b n =

π

1 Y max sen ω t sen n ω t d ω t = 0 π ∫0 2 y ( ω t ) = Y max + Y max sen ω t - Y max π π 2

El desarrollo buscado es:

1 cos n ω t n = 2, 4, 6, ... n - 1

∑

Para los primeros armónicos se tiene:

2 1 1  y ( ω t ) = Y max + Y max sen ω t - Y max  cos 2 ω t + cos 4 ω t + ...  π π 3 2 15 

ONDA DOBLEMENTE RECTIFICADA La función de onda será:

y ( ω t ) = Y max sen ( ω t ) 0 ≤ ω t ≤ π

con un período T = π. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES:

1 a0 = T

T

2 T

T

an =

∫y (

π

1 Y max ( 2 ) a0 = ∫ Y max sen ω t d ω t = π 0 π

ω t )d ω t

0

∫y (

ω t ) cos n ω t d ω t

0

π

an =

2 Y max sen ω t cos n ω t d ω t π ∫0

2 Y max cos n π + 1 2 π n -1 2 Y max a0 = π an = -

De la tabla de valores: n

1

2

3

...

n

cos n π

-1

1

-

...

(-1)

n

se obtiene:

Para n impar => a n = 0 bn =

2 T

T

∫y ( 0

4 1 Para n par => a n = - Y max 2 π n -1

ω t ) sen n ω t d ω t

2

π

bn =

2 Y max sen ω t sen n ω t d ω t = 0 π ∫0

bn = 0

El desarrollo buscado es:

2 4 y ( ω t ) = Y max - Y max π π

∞

1 cos n ω t 2 n = 2, 4, 6, ... n - 1

∑

Para los primeros armónicos se tiene:

2 4 1 1 1  cos 4 ω t + cos 6 ω t + ...  y ( ω t ) = Y max - Y max  cos 2 ω t + 15 35 π π 3 

Ultima revisión: 09/12/01 -  F Bugallo Siegel.