TABLA DE CONTENIDO Lista de símbolos

............................................................. .........................................................

II

.................................................................

III

Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alcances y Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructura del documento de tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III IV IV IV V V

Lista de abreviaciones Introducción

1

2

1

Calidad de la energía en la red eléctrica .................................. Filtro activo paralelo (FAP) ............................................ Filtro activo serie (FAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7 11

.........................................................

14

Retratos fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 18 21 27

Técnicas geométricas 2.1 2.2 2.3 2.4

3

......................................... ................

Calidad de la energía 1.1 1.2 1.3

I

Análisis geométrico de la dinámica de los filtros activos de potencia

...............

32

3.1

Introducción

..........................................................

32

3.2

Dinámica de los filtros sin variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Filtro activo paralelo sin variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Filtro activo serie sin variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 39

3.3

Dinámica de los filtros con variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Filtro activo paralelo con variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Filtro activo serie con variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 47 51

3.4

Diagramas de órbitas de los filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Diagrama de órbitas del filtro activo paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Diagrama de órbitas del filtro activo serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 57

3.5

Gráficas del exponente de Lyapunov de los filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Exponente de Lyapunov del filtro activo paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Exponente de Lyapunov del filtro activo serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 59 61

3.6

Diagramas de estabilidad de los filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Diagramas de estabilidad del filtro activo paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Diagramas de estabilidad del filtro activo serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 63 65

4

5

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

A2

A3

67

4.1

Introducción

..........................................................

67

4.2

Comparación del control PI y el PBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Comparación del control PI y el PBC en el FAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Comparación del control PI y el PBC en el FAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69 69 74

4.3

Selección de las resistencias de pasividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Selección de las resistencias de pasividad en el FAP . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Selección de las resistencias de pasividad en el FAS . . . . . . . . . . . . . . . .

78 79 83

Conclusiones

.................................................................

88

............................................

88

Trabajos futuros

.......................................................

91

Logros obtenidos

......................................................

92

...................................................................

93

5.1

Conclusiones y aportaciones

5.2 5.3

Referencias A1

...............................

Algoritmos de programación

...................................................

A1.1

Filtros activos de potencia tipo paralelo y serie

A1.2

Retratos fase

A1.3

Diagramas de Poincaré

A1.4

Diagramas de órbitas

A1.5

Gráficas del exponente de Lyapunov

A1.6

Diagramas de órbitas

A1.7

Tamaño del paso de integración

Ecuación logística

95

............................

95

..........................................................

101

.................................................

102

...................................................

102

.....................................

104

...................................................

106

.........................................

107

............................................................

109

A2.1

El mapa logístico

A2.2

Doblamientos de periodo

A2.3

Análisis matemático

Diagramas de estabilidad

......................................................

109

...............................................

111

...................................................

114

......................................................

118

A3.1

Diagramas de estabilidad del FAP

.......................................

118

A3.2

Diagramas de estabilidad del FAS

.......................................

119

Lista de símbolos µ

Señal de control continua

δ

Distancia entre trayectorias

λ

Exponente de Lyapunov

φA

Fase de los armónicos de tensión o corriente

a

Relación de transformación del transformador

A

Ampers

AP-P

Ampers pico a pico de IP

C

Capacitancia

d0

Distancia entre dos condiciones iniciales de un estado

dn

Distancia entre los estados después de n iteraciones

h

Armónico

i0

Corriente en una carga lineal

I1

Componente fundamental de corriente

ISC

Corriente de corto circuito en el punto de acoplamiento común

Ih

Componente del h armónico de corriente

iL

Corriente en el inductor

ILOAD

Corriente máxima en la carga

IP

Constante que multiplica a la amplitud de la corriente de carga

IPICO

Constante que multiplica a la amplitud de la corriente de carga (IP)

L

Inductancia

LS

Inductancia del a red eléctrica

Lt

Inductancia del transformador

MP

Mapa de Poincaré

P

Periodo

R

Resistencia

RS

Resistencia de la red eléctrica

Rt

Resistencia del transformador

Sn

Interruptor electrónico ideal n

uC

Señal de control discreta

V1

Componente fundamental de tensión

V

Volts

VP-P

Volts pico a pico de VPP

vC

Voltaje en el capacitor C

donde n = 1, 2, 3 o 4

I

vC1

Voltaje en el capacitor C1

vC2

Voltaje en el capacitor C2

vCb

Voltaje en el capacitor Cb

Vh

Componente del h armónico de tensión

VP

Voltaje pico de la tensión de la red

VPP

Constante que multiplica a las amplitudes de los armónicos de voltaje

Vred

Voltaje de la red

VS

Voltaje de la red eléctrica

x

Variable de estado

x

Derivada de la variable de estado

x*

Punto de equilibrio de x

z

Variable de estado promediada

z

Derivada de la variable de estado promediada

ZS

Impedancia de la red eléctrica

•

•

Lista de abreviaciones CD

Corriente directa

CFE

Comisión Federal de Electricidad

C.I.

Condiciones Iniciales

DAT

Distorsión armónica total

DTD

Distorsión total de demanda

FAP

Filtro activo paralelo

FAS

Filtro activo serie

IEEE

Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos

IGBT

Transistor bipolar de compuerta aislada

PBC

Controlador basado en pasividad

PI

Proporcional e integral

PWM

Modulación de ancho de pulso

SAI

Sistema de Alimentación Ininterrumpida

T.S.

Tiempo de Simulación

II

Introducción Planteamiento del problema La generación de la energía eléctrica se ha tornado muy complicada en los últimos años debido a que los recursos que se necesitan para llevar a cabo esta generación son cada vez más escasos y, además, la demanda que se tiene sobre el consumo de esta energía está en continuo incremento. Por si esto fuera poco, los consumidores de energía eléctrica presentan una amplia variedad de equipos eléctricos y electrónicos que contaminan la red eléctrica, generando armónicos de corriente y/o voltaje. Esto puede afectar al funcionamiento de equipos de otros usuarios que requieren altos niveles de calidad en el suministro de electricidad para una adecuada operación (cargas críticas). Existen varias alternativas para solucionar la contaminación de la red eléctrica por medio de equipos eléctricos o electrónicos. Entre estas alternativas se encuentran los filtros activos de potencia. Estos son equipos electrónicos que se han estudiado y aplicado en los últimos años por las ventajas que ofrecen sobre otras alternativas de solución. Se asume generalmente que los filtros activos funcionarán siempre bajo las especificaciones de los mismos. Esto es una buena consideración si en la realidad los valores de los parámetros no variaran atípicamente, de manera que el filtro nunca mostrara un patrón de comportamiento diferente al de diseño. Desde el punto de vista de control un estudio de los filtros activos con base en modelos matemáticos, que describen de manera adecuada su comportamiento dinámico, es de vital importancia. Para esto, se esperaría tener una solución analítica de las ecuaciones diferenciales que constituyen el modelo para analizar los diferentes comportamientos que esta solución pueda tener. Sin embargo, esto es sencillo para sistemas lineales, o incluso, es laborioso pero realizable para sistemas con ligeras no linealidades. Desafortunadamente, los filtros activos no están dentro de ninguna de estas dos opciones. Como consecuencia de lo anterior, esta tesis enfrenta la problemática de no entender la dinámica de los filtros activos de potencia tipo paralelo y serie al no poder hallar una solución analítica. Esto significa que los filtros activos de potencia son sistemas no lineales, y más aún, son sistemas variantes en el tiempo, lo que implica una gran riqueza en la diversidad de su comportamiento dinámico.

III

Hipótesis Ante la complejidad de encontrar soluciones analíticas con las cuales se pueda hacer un análisis dinámico de los filtros activos de potencia, esta tesis plantea la posibilidad de acceder al conocimiento del análisis dinámico sin hallar soluciones analíticas, sino empleando algunas de las técnicas geométricas que se utilizan para observar la dinámica de sistemas que exhiben comportamiento caótico. Estas técnicas son los retratos fase, los atractores, los diagramas de Poincaré, de órbitas y del exponente de Lyapunov. Estas técnicas permiten visualizar de manera gráfica las dinámicas de los filtros activos de potencia y también permiten establecer conclusiones a partir de la dinámica de dichos filtros.

Objetivo Con base en la hipótesis planteada anteriormente, surge el objetivo de esta tesis que es el estudio de técnicas geométricas basadas en la teoría de Caos para analizar la dinámica de los filtros activos de potencia tipo serie y paralelo. Esta información se usará para establecer regiones de estabilidad, en la operación de dichos filtros. La información obtenida también permitirá hacer comparaciones entre algunos esquemas de control aplicados a los filtros activos.

Alcances y limitaciones Con el propósito de cumplir el objetivo de esta tesis, a continuación se presentan los alcances de esta tesis mediante los siguientes puntos: •

Estudio de la calidad de la energía en la red eléctrica.

•

Estudio de los filtros activos de potencia (paralelo y serie), su funcionamiento y modelo matemático.

IV

•

Estudio de la teoría de caos y sus aspectos geométricos como retratos fase, atractores, diagramas de Poincaré, diagrama de órbitas y gráficas del exponente de Lyapunov.

•

Análisis y resultados de la aplicación de las técnicas geométricas en el estudio de las dinámicas de los filtros activos de potencia, y además, el efecto en su desempeño bajo la acción de diferentes controladores. La aplicación de esta teoría se hará por medio de simulación. Las limitaciones se enlistan de la siguiente manera:

•

El análisis dinámico se hará sólamente para el caso monofásico de los filtros, es decir, se dejan de lado las estructuras trifásicas.

•

Este trabajo de tesis no agota todas las posibilidades mediante las cuales exista un comportamiento caótico en cada uno de los filtros, ya que este conjunto de posibilidades resulta muy extenso.

Aportaciones La principal aportación de este trabajo de tesis está relacionado con la información obtenida sobre la dinámica de los filtros activos al aplicar las técnicas geométricas a sistemas electrónicos conmutados no lineales variantes en el tiempo.

Estructura del documento de tesis A continuación se exponen de manera resumida los contenidos de los capítulos de este documento de tesis. En el capítulo 1 se muestra la información acerca de la calidad de la energía en la red eléctrica, las perturbaciones en ella, así como sus posibles alternativas de solución. Además se hace una breve descripción de los filtros activos de potencia y el funcionamiento de éstos, asi como también sus diagramas eléctricos y sus modelos matemáticos. Información detallada acerca de estos temas se reporta en [1], [4], [6], [10], [13], [15], [19] y [23].

V

El capítulo 2 aborda lo relacionado a las técnicas geométricas utilizadas en este trabajo de tesis, entre las cuales se muestran los retratos fase, los atractores y los diagramas de Poincaré. Por supuesto, también se hace una descripción de la interpretación de estos conceptos. Para mayor información con respecto a estos temas refiérase a [5], [12], [14], [18], [20], [21] y [22]. En el capítulo 3 se realiza el análisis dinámico de acuerdo a los resultados de la aplicación de las técnicas geométricas a los filtros activos tipo paralelo y serie (retratos fase y diagramas de Poincaré). Esto último, sin variación paramétrica y con variación paramétrica. Análisis de la dinámica hechos a otros sistemas de potencia se encuentran en [2], [8], [9] y [11]. En el capítulo 4 se reporta la diferencia entre el control proporcional e integral y el control basado en pasividad aplicado a cada uno de los filtros activos. Esto se realiza mediante el análisis de la dinámica de los filtros utilizando las técnicas propuestas en el capítulo 2. Además, se plantea un método para hallar valores de las resistencias de pasividad con las cuales los filtros operen de manera más eficiente. En el capítulo 5 se presentan las conclusiones de este trabajo de tesis. En el apéndice 1 se muestran los algoritmos para realizar los programas

de

implementación de las técnicas geométricas en los filtros activos de potencia. En el apéndice 2 se presenta el desarrollo matemático para elaborar un diagrama de órbitas. Este diagrama corresponde a la ecuación logística, un sistema para modelar el crecimiento de organismos. Por último, en el apéndice 3 se ilustran los diagramas de estabilidad de las variables x2 y x3, tanto para el FAP como para el FAS.

VI

Capítulo 1

Calidad de la energía

Capítulo 1 Calidad de la energía En esta sección se hace una descripción breve de la calidad de la energía en la red eléctrica y la importancia de mantenerla sin contaminarla. Además se ilustran diferentes tipos de perturbaciones en la red, así como sus alternativas de solución, entre ellas los filtros activos de potencia.

1.1

Calidad de la energía en la red eléctrica Cuando la corriente y el voltaje circulan por la red eléctrica sin ser formas de onda

puramente senoidales, se dice que la red eléctrica está contaminada. Esto se produce porque muchas de las cargas que están conectadas a la red generan formas de onda de voltaje o corriente diferentes a las senoidales dadas sus características no lineales. Existen diversas formas de clasificar la contaminación en la red, y a cada una de estas formas se le denomina perturbación. Existen dos efectos negativos cuando existen perturbaciones en la red eléctrica: •

Cuando se genera una perturbación de voltaje en la red, esta variación de voltaje afecta al desempeño de las cargas que lo reciben, e inclusive, puede dañarlas; tal es el caso de las cargas críticas.

•

Por otro lado, cuando una carga no lineal se conecta a la red eléctrica, ésta demanda una forma de onda de corriente diferente a una senoidal pura, por lo que circulan corrientes armónicas por la red y por tanto la contaminan. Esta circulación de armónicos por la red afecta a otros usuarios (posiblemente cargas críticas).

1

Capítulo 1

Calidad de la energía

Una carga crítica es una carga que requiere una alimentación eléctrica con características de perturbación muy bajas. Este tipo de cargas se considera de elevada seguridad debido a la función que cumplen. [4] Ejemplos de cargas críticas son sismógrafos, equipo médico de precisión (láser), equipos de medición precisa, etc. Algunas de las perturbaciones que existen en la red se muestran en la figura 1.1. [1], [4], [10], [13], [15], [19] y [23]

Ruido

Impulsos

200

Microcortes

400

200

150

150 300

100

100 200

50

50

100

0

Vs

Vs

Vs

0

-50

-50 0

-100

-100 -100

-150

-200

-150

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

-200

0.05

0

0.005

0.01

0.015

0.02

t tiem po

Cortes largos

t

0.025 ti em po

0.03

0.035

0.04

0.045

-200

0.05

0

0.005

Distorsión

200

200

150

150

100

100

50

50

0

0

0.01

0.015

0.02

0.02 5

t tiem po

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Variaciones rápidas 250 200 150

-50

-50

-100

-100

-150

-150

50 0

Vs

Vs

Vs

100

-50 -100 -150

-200

0

0.005

0.01

0.015

0.02

t

0.025 tiem po

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

-200

-200

0

0.005

0.01

0.015

0.02

t

0.025 tiem po

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

-250

0

0.05

0.1

t tiem po

0.15

0.2

0.25

Figura 1.1. Perturbaciones en la red eléctrica

A través de los años, se han ido desarrollando diversos dispositivos electrónicos que se ocupan de eliminar una o varias de las perturbaciones mencionadas en la figura 1.1. De entre los más usados se encuentran los que se enlistan a continuación: •

Supresores de picos

•

Filtros sintonizados

•

Transformadores de ultraaislamiento

•

Transformadores ferroresonantes

2

Capítulo 1

Calidad de la energía

•

Reguladores lentos de tensión

•

Reguladores rápidos de tensión

•

Filtros activos de potencia

•

Sistemas de alimentación ininterrumpida (SAI)

Es importante señalar que los primeros seis dispositivos sólo se encargan de eliminar algunas de las perturbaciones mencionadas anteriormente. Los filtros activos de potencia son dispositivos que son capaces de eliminar la mayoría de las perturbaciones, a excepción de los cortes largos de tensión; los sistemas de alimentación ininterrumpida son capaces de eliminar cualquier tipo de perturbación. Sólo por la cantidad de perturbaciones a eliminar, los supresores, los filtros sintonizados, los transformadores de ultraaislamiento y los ferroresonantes, los reguladores lentos y rápidos de tensión, no son la mejor alternativa de solución. A pesar de que los sistemas de alimentación ininterrumpida son la mejor opción por la cantidad de perturbaciones que eliminan, llegan a tener un costo demasiado alto, lo cual es su principal desventaja. Los filtros activos de potencia ofrecen un buen compromiso entre desempeño y costo, y por esto mismo, ha sido de suma importancia su estudio en los años recientes. Como consecuencia de lo anterior, se han desarrollado varias topologías (véase referencia [4] ), entre las cuales se encuentran las siguientes:

Filtro activo de corriente.- Dispositivo encargado

de

eliminar

variaciones

de

corriente. Es también llamado filtro activo paralelo por su conexión entre la red y la carga. Su diagrama a bloques se ilustra en la Figura 1.2. Diagrama a bloques del

figura 1.2.

filtro activo paralelo

Filtro activo de tensión.- Es un dispositivo

encargado

de

eliminar

variaciones de voltaje provenientes de la red eléctrica. Es también llamado filtro activo serie por su conexión entre la red y la carga, tal como lo muestra la Figura 1.3.

Figura 1.3. Diagrama a bloques del filtro activo serie

3

Capítulo 1

Calidad de la energía

Filtro

híbrido.-

Es

una

combinación de uno o dos filtros activos con un filtro pasivo (también llamado filtro sintonizado), por lo que existen varias

combinaciones.

En

estos

dispositivos, en general, el filtro pasivo se

sintoniza

para

eliminar

específicamente ciertos armónicos de bajo orden, mientras que el filtro activo se encarga de armónicos en un intervalo

Figura 1.4. Diagrama a bloques del

mayor. El diagrama a bloques de una de

filtro activo híbrido.

sus configuraciones se muestra en la figura 1.4.

Filtro combinación

activo de

universal.-

filtros

activos

La de

corriente y de voltaje con una etapa de interconexión con elemento de energía da lugar a un filtro universal que podría incluso compensar potencia activa y realizar equilibrado de cargas entre las fases. En la figura 1.5 se ilustra el diagrama a bloques de una de sus

Figura 1.5. Diagrama a bloques del filtro activo universal.

configuraciones.

De estas cuatro configuraciones, en este trabajo de tesis sólo se analiza la dinámica de los dos primeros (filtros activos paralelo y serie). Cabe mencionar que esta investigación hace uso sólamente de la distorsión armónica como perturbación a eliminar por dichos filtros. Esto se realizó porque es una de las perturbaciones a la red que más se presenta en la actualidad [4]. Sin embargo, como ya se dijo antes, los filtros activos son capaces de eliminar varios tipos de perturbaciones. A continuación se describe de manera detallada la definición de la distorsión armónica y causas.

4

Capítulo 1

Calidad de la energía

La distorsión armónica se define como una distorsión periódica de una forma de onda senoidal [10]. La figura 1.6 muestra como es que una forma de onda distorsionada puede ser expresada como un suma de senoidales, es decir, como series de Fourier.

Figura 1.6. Onda distorsionada representada como suma de senoidales.

La distorsión armónica en la red eléctrica se puede presentar en voltaje o en corriente, y se cuantifica mediante la distorsión armónica total (DAT) o la distorsión total de demanda (DTD) respectivamente [7] [10]. La distorsión armónica total es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las amplitudes del contenido armónico entre la amplitud de la fundamental, expresada como un porcentaje [7] [10]. En términos matemáticos, la DAT se define mediante la expresión: H

DAT = 100

donde:

∑V h=2

h

2

V1

Vh =

componente del h armónico de tensión

V1 =

componente fundamental de tensión

h

num. de armónico (1 indica la fundamental)

=

H =

(1.1)

num. de armónicos a evaluar

5

Capítulo 1

Calidad de la energía

La distorsión total de demanda es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las amplitudes del contenido armónico de corriente entre la amplitud de la fundamental de corriente, expresada como un porcentaje. En términos matemáticos, la DTD se define mediante la expresión: H

DTD = 100

donde:

∑I h=2

h

2

I1

Ih =

componente del h armónico de corriente

I1 =

componente fundamental de corriente

h

num. de armónico (1 indica la fundamental)

=

H =

(1.2)

num. de armónicos a evaluar

La distorsión armónica se origina por dispositivos no lineales que actúan como cargas a la red eléctrica. Hoy en día, los convertidores de potencia constituyen la clase más importante de cargas no lineales conectadas a la red eléctrica. Algunos de los equipos que utilizan estos dispositivos son los accionadores de motores de velocidad variable, las fuentes de potencia, los accionadores de motores de CD, los cargadores de baterías, los balastros electrónicos y muchas otras aplicaciones que implican rectificadores e inversores [10]. En nuestro país, la Comisión Federal de Electricidad (CFE por sus siglas) recomienda algunas restricciones del contenido armónico presente en la red y generado por los usuarios [7]. Estas restricciones están basadas en normas internacionales del Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE por sus siglas en inglés). Las normas fijan las perturbaciones permisibles en las formas de onda de tensión y corriente del suministro de energía eléctrica. Cuando la perturbación es la distorsión armónica, las normas establecen las cantidades de DAT y DTD máximas que deben existir en la red bajo diferentes condiciones, como lo muestran las siguientes tablas:

Tabla 1.1. Límites máximos de distorsión armónica total de tensión en el punto de acoplamiento común

Tensión en kV

Clasificación de tensión

DAT

Menor de 1

Baja tensión

8.0

1 a 69

Distribución

5.0

70 a 138

Subtransmisión

2.5

Mayor de 138

Transmisión

1.5

6

Capítulo 1

Calidad de la energía

Tabla 1.2. Distorsión armónica máxima permitida en corriente

donde:

ISC

Tensión en kV

Impedancia Relativa (ISC/ILOAD)

DTD

Menor de 69

(ISC/ILOAD) < 20

5

Menor de 69

20 ≤ (ISC/ILOAD) < 50

8

Menor de 69

50 ≤ (ISC/ILOAD) < 100

12

Menor de 69

100 ≤ (ISC/ILOAD) < 1000

15

Menor de 69

(ISC/ILOAD) ≥ 1000

20

es la corriente de corto circuito

ILOAD es la corriente máxima en la carga

La impedancia relativa se define como la relación de ISC en el punto de acoplamiento común con ISC, a frecuencia fundamental, del propio suministro. La impedancia relativa equivale a dividir la impedancia de la carga entre la que ofrece el sistema en el punto mencionado. Ahora que se tienen presentes los conceptos de perturbaciones en la red eléctrica y la manera en que afectan a cargas críticas, a continuación se presentan las explicaciones de los filtros activos paralelo (sección 1.2) y serie (sección 1.3) que dan solución a dichas perturbaciones.

1.2

Filtro activo paralelo (FAP) El filtro activo paralelo (FAP por sus siglas) es un dispositivo electrónico encargado

de inyectar los armónicos de corriente que una carga no lineal requiere para su operación, de manera que estos armónicos no circulen por la red eléctrica y por tanto no la contaminen [23]. En esta aplicación, la ley de control debe cumplir con el objetivo de seguimiento a una señal deseada (referencia). El diagrama eléctrico del FAP se muestra en la figura 1.7.

7

Capítulo 1

Calidad de la energía

Figura 1.7. Filtro activo paralelo

El FAP opera de la siguiente manera: la corriente que demanda la carga se sensa, con el objeto de obtener los armónicos de esta corriente para generar una referencia. Esta referencia se ocupa en una etapa de control para producir una señal de modulación de ancho de pulso (PWM por sus siglas en inglés). La señal PWM provoca el corte y la saturación de dos transistores bipolares de compuerta aislada (IGBT’s por sus siglas en inglés), los cuales se representan por dos interruptores ideales en la figura 1.7. Con estas conmutaciones la energía de los capacitores pasa al inductor y éste entrega los armónicos de corriente que demanda la carga. En la referencia [23] se elaboró el modelo matemático que describe el comportamiento del sistema. Esta tesis toma dicho modelo para analizar la dinámica del FAP. Las ecuaciones diferenciales que representan el modelo matemático son: 1 1 1 R x1 − x2 + [x2 + x3 ]uC (t ) + VS (t ) L L L L • 1 [1 − uC (t )]x1 x2 = C1 • 1 x 3 = − x1uC (t ) C2 y = x1 •

x1 = −

donde:

x1 =

corriente en el inductor L

x2 =

tensión en el condensador C1

x3 =

tensión en el condensador C2

y

salida del sistema

=

uC =

(1.3)

lógica de conmutación, de los interruptores S1 y S2, que tiene la propiedad de que

8

Capítulo 1

Calidad de la energía

1 uC =  0

para

nP ≤ t < nP + µ n (t )P

para

nP + µ n (t )Pn ≤ t < (n + 1)P

_ 0 uC =  1

para para

nP ≤ t < nP + µ n (t )P

y

donde:

n

=

0, 1, 2, ...,

P

=

periodo de muestreo

µ

=

razón de trabajo

nP + µ n (t )Pn ≤ t < (n + 1)P

En la figura 1.8 se muestra de manera detallada el valor de uC en el tiempo, formando una señal PWM.

Figura 1.8. Señal PWM aplicada a los interruptores del FAP

La ecuación (1.3) se puede expresar también como la ecuación promediada

R µ(t ) 1 − µ(t ) 1 z1 − z2 + z3 + VS (t ) L L L L • 1 − µ(t ) z1 z2 = C1 • µ(t ) z1 z3 = − C2 y = z1 •

z1 = −

donde:

z1 =

corriente en el inductor L

z2 =

tensión en el condensador C1

z3 =

tensión en el condensador C2

y

=

salida del sistema

µ

=

razón de trabajo de una señal PWM

(1.4)

9

Capítulo 1

Calidad de la energía

El propósito de obtener un modelo promediado es aproximar el sistema conmutado (ecuación (1.3) ) a un sistema continuo (ecuación (1.4) ). Esto se realiza para poder aplicar el control basado en pasividad, ya que éste no se puede aplicar a una ecuación con discontinuidades [17] (ver ecuaciones (A1.2), (A1.3) y (A1.4) ). La razón por la cual aquí se presenta el modelo promediado es porque algunos de los análisis que se hacen a los filtros activos es cuando actúan controladores basados en pasividad sobre ellos. La interpretación del modelo promediado representado por la ecuación (1.4) es de la siguiente forma: la razón de trabajo durante un periodo P, es el porcentaje del periodo P en el cual uno de los interruptores permanece cerrado (y el otro abierto) en el inversor del filtro activo. Para el modelo dado por (1.3), en donde la ley de control es uC(t), se observa que esta variable únicamente toma los valores de 0 o 1 durante un porcentaje del periodo P de conmutación. Este porcentaje de tiempo lo define el valor de la razón de trabajo. Los modelos (1.3) y (1.4) son equivalentes cuando la frecuencia de conmutación es infinita, lo cual es imposible prácticamente [17]. El análisis del FAP en posteriores capítulos se realiza cuando los valores de los elementos de potencia (parámetros) del filtro son del diseño de un prototipo de 20kVA considerando los armónicos quinto, séptimo, onceavo y treceavo [23]. A continuación se dan los valores de los elementos de diseño del FAP. Bobina

L = 2 mH

Condensadores

C1 = C2 = 1500 µF

Resistencia

R = 0.2 Ω

Referencia de tensión en condensadores

220 V

Fuente de tensión fase-neutro

VS = 170 sen(ωt)

Frecuencia de la fuente de tensión

60 Hz

Corriente en la carga

10 A

Impedancia de la carga

8.5 Ω

De manera semejante con la cual se hizo una descripción del funcionamiento del filtro activo paralelo, en la siguiente sección se describe la descripción correspondiente al filtro activo serie.

10

Capítulo 1

1.3

Calidad de la energía

Filtro activo serie (FAS) El filtro activo serie (FAS por sus siglas) es un dispositivo electrónico encargado de

compensar armónicos de tensión entre la red y la carga, de manera que cuando armónicos de tensión estén presentes en la red, el FAS genera los mismos armónicos sólo que con distinto signo. De esta manera se consigue cancelar los armónicos y la carga sólo recibe una señal de voltaje senoidal [19]. Al igual que en el FAP, en el FAS el principal objetivo de control es seguimiento a una señal de referencia. Su diagrama eléctrico se muestra en la figura 1.9.

Figura 1.9. Filtro activo serie

La operación del FAS es de la siguiente forma: la tensión se sensa para obtener los armónicos de tensión, y así generar una señal de referencia. Esta referencia se utiliza en una etapa de control para producir una señal PWM, de manera que esta señal provoque el corte y la saturación de los IGBT’s (representados por cuatro interruptores ideales en la figura 1.9). Con las conmutaciones de los interruptores la energía del capacitor Cb pasa al secundario de un transformador por medio un capacitor C de un filtro pasa bajas. Este filtro se encarga de eliminar los ruidos generados por la conmutación de los interruptores. Una vez que se tienen los armónicos en el secundario del transformador sólo se escala la amplitud hacia el primario, que está conectado entre la red y la carga. Las ecuaciones diferenciales del FAS que representan el comportamiento que se explicó en el párrafo anterior son:

11

Capítulo 1

Calidad de la energía

x2 i0 (t ) a + C C • x x x x 2 = − 1 − 2 R + 3 [2 uC (t ) − 1] L L L • x x 3 = 2 [1 − 2 uC (t )] Cb y = x1 •

x1 =

donde:

x1 =

tensión en el condensador C

x2 =

corriente en el inductor L

x3 =

tensión en el condensador Cb

a

=

relación de transformación en el transformador

y

=

salida del sistema

uC =

(1.5)

lógica de conmutación para los interruptores S1, S2, S3 y S4, con la convención usada para el FAP

Este modelo matemático se desarrolló en la referencia [19], en la cual se puede observar de manera detallada el modelado. En esta referencia también se elaboró la ecuación (1.6), que es la ecuación promediada de la ecuación (1.5). z2 i0 (t ) a + C C • z z z z 2 = − 1 − 2 R + 3 [2µ(t ) − 1] L L L • z2 [1 − 2µ(t )] z3 = Cb y = z1 •

z1 =

donde:

z1 =

tensión en el capacitor C

z2 =

corriente en el inductor L

z3 =

tensión en el condensador Cb

y

=

salida del sistema

µ

=

razón de trabajo de una señal PWM

(1.6)

La razón de trabajo µ(t) es el tiempo (en un periodo T) en que los interruptores S1 y S4 (figura 1.9) permanecen cerrados, mismo tiempo en el que S2 y S3 permanecen abiertos.

12

Capítulo 1

Calidad de la energía

Los valores de los parámetros que se eligieron para poder compensar eficientemente los armónicos de tensión 3º, 5º y 15º son para un prototipo de trabaja en baja tensión (Tensión menor a 1kV) . Dichos valores se muestran a continuación [19]. Condensador del filtro pasabajas

C = 50 µF

Inductor del filtro pasabajas

L = 5 mH

Resistencia del filtro pasabajas

R = 0.25 Ω

Condensador del bus de CD

Cb = 300 µF

Relación de transformación

a = 0.2

Inductancia del transformador

Lt = 1 mH

Resistencia del transformador

Rt = 0.2 Ω

Corriente en la carga

i0 = 10 sen(ωt)

En el presente capítulo se presentaron los sistemas para eliminar las perturbaciones de la red eléctrica, con los que se trabaja en esta tesis. Dichos sistemas son los filtros activos de potencia tipo paralelo y serie. En el capítulo siguiente se presentan las herramientas con las cuales se analizará la dinámica de tales filtros.

13

Capítulo 2

Técnicas geométricas

Capítulo 2 Técnicas geométricas En este capítulo se verán las herramientas geométricas necesarias para el estudio de la dinámica de los filtros activos de potencia tipo paralelo y serie. Estas técnicas son parte de la teoría de Caos, es decir, son algunas de las herramientas para analizar la dinámica de sistemas que exhiben caos. Las herramientas que se mencionan son los retratos fase, diagramas de Poincaré, diagramas de órbitas y gráficas del exponente de Lyapunov. En este capítulo también se presentan los conceptos de trayectorias, atractores, bifurcaciones, rutas a caos, entre otros. Esta información es necesaria para conocer la dinámica de los filtros activos de potencia tipo paralelo y serie, sin enfrentar la dificultad o imposibilidad de hallar soluciones a expresiones matemáticas complejas que logren describir dichas dinámicas.

2.1

Retratos fase Una de las herramientas geométricas que se utilizan para conocer la dinámica de

diversos sistemas es el retrato fase, cuya definición es la siguiente: Un retrato fase es una gráfica que muestra cualitativamente mediante trayectorias los estados de un sistema [21]. Una trayectoria es una función que representa la solución de una ecuación diferencial de la forma: •

x = f (x )

(2.1)

•

donde x es un vector de estados, x es un vector de las derivadas de los estados y f (x ) es un vector de funciones que dependen de los estados. La solución de la ecuación (2.1) se expresa empezando en una condición inicial x0.

14

Capítulo 2

Técnicas geométricas

Dependiendo del tipo de sistema, un retrato fase puede mostrar diferentes tipos de comportamiento; trayectorias que tienden a valores infinitos, o a uno o varios valores finitos dentro del retrato fase. Con esto, se puede definir el concepto de atractor como un conjunto al cual todas las trayectorias en una vecindad del retrato fase pueden converger [21]. Principalmente existen tres tipos de atractores: puntuales, periódicos y caóticos, los cuales se muestran a continuación.

Atractores puntuales •

En los puntos del retrato fase en donde x = 0 no existe cambio en los valores de los estados; por tanto, tales puntos se denominan puntos de equilibrio. En un retrato fase, los puntos negros (figura 2.1) representan puntos de equilibrio estables o atractores puntuales porque sus trayectorias vecinas tienden a acercarse hacia ellos. Los puntos blancos representan puntos de equilibrio inestables, ya que sus trayectorias vecinas tienden a alejarse de ellos. Un ejemplo de estos dos tipos de puntos de equilibrio se muestra en el retrato fase de la figura 2.1. Nótese el sentido de las flechas correspondientes. X2

X1

Figura 2.1 . Atractores puntuales (puntos de equilibrio estables) a la derecha e izquierda del punto de equilibrio inestable

Los atractores puntuales son equivalentes a soluciones que tienden a un valor fijo en estado estacionario.

15

Capítulo 2

Técnicas geométricas

Atractores periódicos Un atractor periódico o ciclo límite estable es una trayectoria cerrada aislada, donde el término “aislada” significa que las trayectorias vecinas no son cerradas, sino que se enroscan hacia el atractor [20] [21]. En la figura 2.2 se muestra un atractor periódico con un par de trayectorias vecinas.

Figura 2.2 . Atractor periódico

Los atractores periódicos son equivalentes a soluciones que tienen a una solución periódica en estado estacionario. Otros ciclos límite que existen son los inestables y los medio estables, dependiendo de sus trayectorias vecinas. De manera precisa, se dice que un ciclo límite es inestable si las trayectorias fuera y dentro de la órbita cerrada giran alejándose de ella. Un ciclo límite medio estable es una órbita cerrada cuyas trayectorias vecinas internas giran hacia la órbita cerrada y sus trayectorias vecinas externas giran alejándose de ella, o viceversa. Ejemplos de estos ciclos límites se ilustran en la figura 2.3.

Figura 2.3 . Ciclo límite inestable (izquierda) y ciclo límite medio estable (derecha)

16

Capítulo 2

Técnicas geométricas

Atractores caóticos Un atractor caótico es un atractor que es sensible ante ligeras diferencias en sus condiciones iniciales, produciendo órbitas abiertas [21].

Figura 2.4 . Atractor caótico

La figura 2.4 muestra un ejemplo de un atractor caótico en un espacio fase de 3 dimensiones. Este conjunto extraño tiene algunas propiedades interesantes, como lo es tener dimensión fuera de los números naturales. Esto significa que los atractores caóticos en espacios fase no son superficies (como aparenta serlo en la figura 2.4) ni volúmenes. Los atractores caóticos son figuras geométricas que tienen dimensión fraccionaria, por lo cual también son estudiados en el área de fractales. Además, el hecho de que una trayectoria en un atractor caótico sea una órbita abierta implica que no hay soluciones periódicas, sino aperiódicas. Sin embargo, estas oscilaciones aperiódicas no van mas allá de 2 valores límite como amplitudes máxima y mínima. Esto obedece a que el atractor caótico está en una región acotada. El atractor caótico de la figura 2.4 es un ejemplo de un sistema mecánico descrito mediante la ecuación de Lorenz, sin embargo, esto no implica que todos los sistemas caóticos muestren una figura geométrica como ella, sino que todos los sistemas caóticos muestran las propiedades mencionadas de esta figura. En las secciones 3.3.1 y 3.3.2 se ilustra que los atractores caóticos correspondientes al FAP y al FAS son geométricamente diferentes entre ellos y con respecto del atractor de la figura 2.4. Más adelante, en la sección 2.3, se detallarán las propiedades del atractor caótico. Mientras tanto, la siguiente sección muestra como es que puede existir un cambio de atractores en un sistema, esto al variar el valor numérico de un parámetro de tal sistema.

17

Capítulo 2

2.2

Técnicas geométricas

Bifurcaciones Como se comentó en la sección anterior, un retrato fase es capaz de mostrar la

dinámica de un sistema ante diferentes condiciones iniciales. Sin embargo, también es interesante conocer la dinámica de un sistema ante diferentes valores de uno o varios parámetros del mismo. Esto se comenta porque la forma en que opera un sistema puede ser completamente diferente al variar el valor de tan sólo uno de sus parámetros. Es por esto que a continuación se definen los conceptos de dependencia paramétrica, bifurcaciones y puntos de bifurcación. La estructura cualitativa de las trayectorias de un retrato fase, para un determinado sistema, puede cambiar en tanto los parámetros cambien; esto se conoce como dependencia paramétrica. En particular, los atractores pueden llegar a crearse o a destruirse, o la estabilidad de los atractores puntuales o periódicos puede cambiar. Estos cambios cualitativos en la dinámica se llaman bifurcaciones. Los valores de los parámetros en los cuales las bifurcaciones ocurren se conocen como puntos de bifurcación [21]. Algunos tipos de bifurcaciones se muestran en la siguiente lista:

•

Bifurcación nodo-silla

•

Bifurcación transcrítica

•

Bifurcación pitchfork

•

Bifurcación hopf supercrítica

•

Bifurcación nodo-silla de ciclos

•

Bifurcación de periodo infinito

•

Bifurcación homoclínica A continuación se explica la bifurcación nodo-silla de modo que el concepto de

bifurcación sea claro. Para una explicación detallada del resto de las bifurcaciones, ver las referencias [5], [12], [14], [18], [21] y [22]

Bifurcación nodo-silla La bifurcación nodo-silla es el mecanismo por el cual los puntos de equilibrio pueden crearse o destruirse. En tanto un parámetro se varíe, los puntos de equilibrio se mueven hacia ellos mismos, se colapsan y eventualmente se aniquilan.

18

Capítulo 2

Técnicas geométricas

El ejemplo típico de este tipo de bifurcación se representa por la ecuación •

x = r + x2

(2.2)

donde r es un parámetro, el cual puede ser positivo, cero o negativo. Como se comentó en la sección anterior, un punto de equilibrio existe cuando no hay variación del estado x •

conforme el tiempo transcurre ( x = 0 ). Por esto, igualando la ecuación (2.2) a cero se tiene •

x = r + x2 = 0 es decir x 2 = −r y despejando x

x = ± −r Es por esto que se pueden presentar los tres siguientes casos: •

Si r = 0 hay un punto de equilibrio en el origen (x = 0)

•

Si r < 0 hay dos puntos de equilibrio en x 1 = + − r y en x 2 = − − r

•

Si

r > 0

no hay puntos de equilibrio porque x 1 , 2 = ± r i , lo cual no tiene

significado físico Esto significa que, con el cambio de valor del parámetro r , se obtiene un cambio en la estructura de las trayectorias en el retrato fase, como lo indica la figura 2.5.

Figura 2.5. Bifurcación nodo-silla

En este ejemplo la bifurcación ocurre en r = 0, ya que el campo vectorial es cualitativamente diferente para r < 0 y r > 0.

19

Capítulo 2

Técnicas geométricas

En la figura 2.6 se muestra un grupo de campos vectoriales para diferentes valores de r , donde también se muestran los puntos de equilibrio. r>0 r=0 r 12 ) caos caos transitorio caos intermitente

El diagrama de estabilidad de la figura anterior ilustra que existen dos tipos de comportamientos (periodicidad y caos). De estos dos resultan 6 subdivisiones, de entre las cuales, la zona gris claro exhibe un comportamiento en el cual la DAT (distorsión armónica total) es menor a 8. Esto es importante porque las normas internacionales establecen que la DAT debe ser menor a ese valor [7]. Las figuras 3.37 - 3.39 muestran los diagramas de estabilidad de la amplitud de los armónicos contra la resistencia del inductor, contra la inductancia del transformador y contra la resistencia del transformador respectivamente.

65

Capítulo 3

Análisis geométrico de la dinámica de los filtros activos de potencia

Figura 3.37. Diagrama de estabilidad de VPP vs. R. C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 0 a 2 segs.

Figura 3.38. Diagrama de estabilidad de VPP vs. Lt. C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 0 a 2 segs.

Figura 3.39. Diagrama de estabilidad de VPP vs. Rt. C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 0 a 2 segs.

De las últimas cuatro figuras, obsérvese que la región en la cual la DAT < 8, la amplitud de los armónicos varía hasta un 25 % (hasta 1.25). Sin embargo, si también varía la inductancia o resistencia del inductor, la variación de VPP puede ser mayor o menor (figura 3.36 o 3.37, respectivamente) para que la DAT < 8. Por observaciones como las anteriores, los diagramas de estabilidad de los filtros activos son importantes, ya que pueden existir mas relaciones de variación entre dos parámetros, las cuales se pueden determinar observando, e interpretando, dichos diagramas. Además, los diagramas de estabilidad son de gran utilidad para los diseñadores de filtros activos, ya que en ellos se puede determinar para cuáles valores de los parámetros los filtros se pueden dañar (en la región de caos). Con esto en cuenta, el diseñador puede elegir componentes de mayor potencia, o diseñar circuitos de protección para los filtros.

66

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Capítulo 4 Aplicación de técnicas geométricas a controladores En este capítulo se exponen dos usos de la teoría vista en el capítulo 2. Por un lado se hace una comparación del funcionamiento de dos controladores diseñados previamente para los filtros activos de potencia ( referencias [19] y [23] ). La comparación que se realiza es para obtener el grado de susceptibilidad en el funcionamiento de los filtros activos ante la variación de parámetros bajo diferentes esquemas de control. Por otro lado se concentra la atención en el controlador basado en pasividad. Esto se efectúa con el propósito de hacer una mejor selección de las resistencias de pasividad de las propuestas en [19] y [23]. Estas resistencias de pasividad son los parámetros de los controladores basados en pasividad del FAP y el FAS, cuyas ecuaciones se muestran en el apéndice 1.

4.1 Introducción Los filtros activos de potencia son circuitos electrónicos que necesitan un controlador (y por supuesto retroalimentación) para efectuar su propósito de eliminar armónicos. En diferentes trabajos (referencias [1], [4], [13], [15], [19] y [23]) , se han presentado varios esquemas de control, entre ellos el control por portadora triangular, que también se le llama control proporcional e integral (PI por sus siglas), y el control basado en pasividad (passivity based control, PBC por sus siglas en inglés). El control proporcional e integral es un método de control convencional. En este control se ocupa una señal de error, obtenida de la corriente de línea y la corriente de referencia. La señal de error se aplica a una acción de control proporcional e integral. La salida del controlador PI, entra a una etapa comparadora. A las entradas del comparador se aplica una señal diente de sierra y la salida del controlador. A la salida del comparador se obtiene un nivel lógico alto (1) si la señal del controlador es mayor que la señal diente

67

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

de sierra, y se obtiene un nivel lógico bajo (0) en caso contrario. De esta manera, lo que se obtiene a la salida del bloque comparador es una señal PWM. El diagrama a bloques del control se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1. Diagrama a bloques del control proporcional e integral

En diversas búsquedas por realizar de manera más eficiente la eliminación de armónicos, se ha tratado de mejorar o cambiar el esquema de control en los filtros activos de potencia. Como resultado de esta búsqueda se encuentran los trabajos reportados en [19] y [23] por medio de un control no lineal basado en el concepto de manejo de energía en los filtros. De manera sencilla y resumida, se puede decir que un controlador basado en pasividad se ocupa de eliminar las dinámicas no deseadas que un sistema posee. Esto se hace mediante elementos ficticios de amortiguamiento o disipación, de manera que la variable de salida del sistema tenga un buen seguimiento a una señal de referencia. Como resultado de esto, se logra que el error entre estas señales tienda a cero conforme el tiempo tienda a infinito (estabilidad asintótica) [17]. El diagrama a bloques del esquema del control basado en pasividad se ilustra en la figura 4.2.

Figura 4.2. Diagrama a bloques del control basado en pasividad

Como lo muestra el diagrama a bloques, se toman las tres variables de estado del sistema para introducirlas al controlador. En este bloque se encuentra una ecuación

68

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

diferencial que depende de los tres estados y de tres señales de referencia. La ecuación calcula el valor µ que toma valores dentro de los números reales. La señal se discretiza para obtener una señal PWM que se aplica a los interruptores electrónicos del sistema. Es decir, que se aplica a S1 y S2 en el FAP, o en su caso a S1, S2, S3 y S4 en el FAS. Con las previas descripciones de los controladores PI y PBC, a continuación se inicia la comparación de ambos controladores cuando actúan en cada uno de los filtros activos de potencia (paralelo y serie). Esta comparación se hace a través de las técnicas geométricas que se mostraron en el capítulo 2.

4.2 Comparación del control PI y el PBC Como se observó en el capítulo 3, la dinámica de los filtros cuando actúa un control PI, cambia en tanto se varía principalmente la amplitud de los armónicos. Cuando un control basado en pasividad está actuando sobre los filtros suceden comportamientos similares, aunque los intervalos de variación de los parámetros son diferentes. Esto se muestra en la siguiente sección.

4.2.1 Comparación del control PI y el PBC en el FAP A partir del diseño de un controlador PI y un controlador por pasividad, que se presentaron en [23], se analizó una variación de valores de parámetros para cada caso. Este análisis se efectuó por medio de los diagramas de Poincaré. La tabla 4.1 muestra los valores de los parámetros para los cuales el FAP muestra periodicidad o caos cuando el controlador PI actúa sobre el sistema.

69

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Tabla 4.1. Intervalos de variación de parámetros para el FAP con PI Periodicidad

Caos [3.8 , 5] AP-P

IP

[1 , 3.8) AP-P

C1

[1.125 , 1.875] µF

C2

[1.125 , 1.875] µF

φARM

[-27 , 36] °

L

[1.5 , 2.5] mH

R

[0.15 , 0.25] Ω

VS

[140 , 200] V

Ahora, cuando se aplica un PBC y se repite el análisis que se presentó en el capítulo anterior, para determinar cuándo el sistema cambia de dinámica, se obtienen los intervalos de variación que se muestran en la tabla 4.2. Tabla 4.2. Intervalos de variación de parámetros para el FAP con PBC Periodicidad

Caos

IP

[1 , 6.68) AP-P

[6.68 , 12] AP-P

C1

[1.125 , 1.875] µF

C2

[1.125 , 1.875] µF

φARM

[-27 , 36] °

L

[1.5 , 2.5] mH

R

[0.15 , 0.25] Ω

VS

[140 , 200] V

Al hacer una comparación de los intervalos de variación de la amplitud de los armónicos de corriente en el FAP (tablas 4.1 y 4.2), se determina lo siguiente: cuando se aplica el controlador PI el intervalo de variación de IP es menor sin que haya caos que cuando se aplica el controlador basado en pasividad. Esta afirmación es una primera justificación para la preferencia de utilizar el PBC sobre el controlador PI. Con el objeto de hacer esta comparación entre controladores de manera gráfica, se hace uso de los diagramas de órbitas y las gráficas del exponente de Lyapunov aplicadas al FAP. En las figuras 4.3 y 4.4 se muestran los diagramas de órbitas del FAP con un controlador PI y con un PBC respectivamente. En estos diagramas se logra apreciar de manera clara cómo es que el valor de IP para el cual el FAP cambia de dinámica es diferente.

70

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Figura 4.3. Diagrama de órbitas del FAP con PI

Figura 4.4. Diagrama de órbitas del FAP con PBC

La corriente x1 cambia de comportamiento periódico a aperiódico cuando IP ≈ 3.8 en el FAP con control PI (figura 4.3). Por otro lado, la corriente x1 cambia de comportamiento periódico a aperiódico cuando IP ≈ 6.7, en el FAP con PBC (figura 4.4). Mediante el diagrama de órbitas, se puede establecer que el desempeño del controlador basado en pasividad es mejor que el del PI (la variación de IP sin que haya aperiodicidad es mayor cuando se aplica el PBC). En el capítulo anterior (sección 3.4.1) se detalló el contenido del diagrama de órbitas del FAP con PI (figura 4.3). El diagrama de órbitas del FAP con PBC (figura 4.4) muestra que el sistema cambia de periodicidad a aperiodicidad cuando IP ≈ 6.7. Sin embargo, obsérvese la región de periodicidad en un acercamiento de la figura 4.4, que se ilustra en la figura 4.5.

Figura 4.5. Diagrama de órbitas del FAP con PBC

Esta figura muestra que en la región de periodicidad se tiene una línea muy gruesa, y que además, está inclinada y sigue en la región de aperiodicidad. Debido al grosor de la línea, es complejo determinar si x1 es un ciclo de periodo 3 (como en el FAP con PI) ,

71

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

periodo 2, periodo 1 o cualquier otro. Esto se logrará observar en los diagramas de Poincaré, correspondientes al FAP con PBC, que se presentan en la sección 4.3.1. En las figuras 4.6 y 4.7 se muestran las gráficas del exponente de Lyapunov cuando trabaja el controlador PI y el basado en pasividad, respectivamente. En estas gráficas se puede distinguir cuándo el FAP cambia de dinámica, es decir, cuándo se torna caótico. También se puede distinguir que el valor del parámetro en que sucede esto es mayor cuando el PBC está trabajando sobre el sistema. Mediante estas gráficas se verifica que la variación de IP, sin que el sistema sea sensible a condiciones iniciales, es mayor cuando se aplica el PBC.

Figura 4.6. Exponente de Lyapunov

Figura 4.7. Exponente de Lyapunov

del FAP con PI

del FAP con PBC

Como consecuencia de los resultados mencionados se verifica que mediante el uso de técnicas geométricas (diagramas de Poincaré, diagramas de órbitas y gráficas del exponente de Lyapunov) aplicadas al FAP, se afirma que el controlador basado en pasividad tiene un mejor desempeño que el controlador PI. Cuando el PBC actúa sobre el filtro el sistema en general es menos susceptible a cambiar de comportamiento ante la variación numérica del parámetro IP. Para observar la compensación de armónicos de corriente en la red eléctrica, al variar la amplitud de los armónicos, a continuación se presentan las gráficas de la corriente en la red eléctrica para dos diferentes valores de IP. En la figura 4.8 se muestra la corriente que demanda la carga, es decir, la señal fundamental de corriente más los armónicos de corriente que se mostraron en la ecuación (3.3). Esta corriente de carga circularía por la red eléctrica si no existiera el FAP.

72

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Figura 4.8. Corriente demandada por una carga no lineal (componente fundamental más armónicos)

La figura 4.9 muestra la corriente circulando por la red cuando actúa un controlador PI con los valores de parámetros de diseño que se propusieron en [23]. En dicha figura se observa que la señal de corriente es casi senoidal, sólo que tiene rizos montados sobre la senoidal. Sin embargo, es mejor que circule por la red la corriente de la figura 4.9 que la corriente de la figura 4.8. La figura 4.10 ilustra la corriente en la red cuando la amplitud de los armónicos crece demasiado (IP = 5).

Figura 4.9. Corriente en la red eléctrica cuando actúa

Figura 4.10. Corriente en la red eléctrica cuando actúa

un FAP con PI y la amplitud de los armónicos IP = 1

un FAP con PI y la amplitud de los armónicos IP = 5

La figura 4.10 muestra que cuando la amplitud de los armónicos crece y provoca caos en el FAP, la corriente en la red eléctrica se deteriora en vez de mejorar. Por esta 73

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

razón se dice que la presencia de caos en el FAP es indeseable. Cuando actúa un PBC sobre el FAP, los resultados son similares, solo que el valor de IP para que haya caos debe ser mayor (véanse figuras 4.3 y 4.4). A continuación se muestran los resultados de comparar el control PI y el basado en pasividad en el FAS.

4.2.2 Comparación del control PI y el PBC en el FAS En esta sección se toma el diseño del controlador PI y el de pasividad para el FAS desarrollado en [19]. Para cada controlador, se realiza una variación de los parámetros del filtro para verificar cuál de ellos muestra un mejor desempeño. En las tablas 4.3 y 4.4 se muestran los intervalos de variación de los parámetros del FAS cuando se aplica un controlador proporcional e integral.

Tabla 4.3. Intervalos de variación de parámetros para el FAS con PI Periodicidad

Caos

VPP

[1 , 1.55) VP-P

[1.55 , 5] VP-P

C

[37.5 , 62.5] µF

Cb

[225 , 375] µF

φARM

[-36 , 27] °

L

[3.75 , 6.25] mH

R

[0.1875 , 0.3125] Ω

Lt

[0.75 , 1.25] mH

Rt

[0.15 , 0.25] Ω

i0

[1 , 20] A

La tabla previa muestra que solo la variación numérica de la amplitud de los armónicos provoca un cambio de dinámica en el FAS con controlador PI. Como en el FAP, los resultados que muestra la tabla anterior (y la siguiente) son consecuencia de utilizar los diagramas de Poincaré.

74

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Ahora, cuando se aplica el control basado en pasividad se obtienen los intervalos de variación que se muestran en la tabla 4.4. Tabla 4.4. Intervalos de variación de parámetros para el FAS con PBC Periodicidad

Caos

VPP

[1 , 5) y (7.5 ,9.8) VP-P

[9.8 , 12] VP-P

C

[37.5 , 62.5] µF

Cb

[225 , 375] µF

φARM

[-36 , 27] °

L

[3.75 , 6.25] mH

R

[0.1875 , 0.3125] Ω

Lt

[0.75 , 1.25] mH

Rt

[0.15 , 0.25] Ω

i0

[1 , 20] A

Comparando los intervalos de variación de VPP (amplitud de los armónicos) en el FAS, se observa que cuando se aplica el controlador PI, el intervalo de variación es menor sin cambio en la dinámica del sistema que cuando se aplica el PBC. Al igual que en el caso del FAP, la comparación entre controladores en el FAS se realiza de manera gráfica. Es decir, se hace uso de los diagramas de órbitas y las gráficas del exponente de Lyapunov. En las figuras 4.11 y 4.12 se muestran, respectivamente, los diagramas de órbitas del filtro con controlador PI y con PBC. En el caso del FAS, el diagrama de órbitas cuando el PBC actúa sobre el sistema es un tanto engañosa. Esto es porque para el intervalo (5 , 7.5) el comportamiento solo es aperiódico, y no caótico; al verificar si el sistema es sensible a condiciones iniciales en ese intervalo, resulta que tal sensibilidad no existe (como se verá en la gráfica del exponente de Lyapunov de la figura 4.14). En el intervalo donde VPP está entre 9.8 y 12, el sistema también muestra aperiodicidad. Aunque la amplitud es menor, como se mostrará mas adelante, existe sensibilidad a condiciones iniciales. Es por esto que en el intervalo VPP ≈ (9.8 , 12) el sistema es caótico. Ahora, comparando este último intervalo con la gráfica de la figura 4.11, se determina que la variación de VPP sin que haya aperiodicidad es mayor cuando se aplica el PBC.

75

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Figura 4.11. Diagrama de órbitas del FAS con PI

Figura 4.12. Diagrama de órbitas del FAS con PBC

En las figuras 4.13 y 4.14 se muestran las gráficas del exponente de Lyapunov cuando trabajan el controlador PI y el basado en pasividad, respectivamente.

Figura 4.13. Exponente de Lyapunov

Figura 4.14. Exponente de Lyapunov

del FAS con PI

del FAS con PBC

En estas gráficas se puede distinguir cuándo el FAS cambia de dinámica, y se puede distinguir también que el valor del parámetro en que sucede esto es mayor cuando el PBC está trabajando en el sistema. Para observar la compensación de armónicos de voltaje en la carga, al variar la amplitud de los armónicos, a continuación se presentan las gráficas del voltaje en la carga para dos diferentes valores de VPP.. En la figura 4.15 se muestra el voltaje (con perturbaciones) que hay en la red eléctrica, es decir, la señal fundamental de voltaje más los armónicos que se mostraron en la ecuación (3.6). Este voltaje en la red circularía por la carga si no ocupara el FAS.

76

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Figura 4.15. Voltaje en la red eléctrica (componente fundamental más armónicos)

La figura 4.16 muestra el voltaje en la carga cuando actúa un controlador PI con los valores de parámetros de diseño que se propusieron en [19]. En dicha figura se observa que la señal de voltaje es prácticamente senoidal. Es mejor que circule por la carga la tensión de la figura 4.16 que la tensión de la figura 4.15. La figura 4.17 ilustra la tensión en la carga cuando la amplitud de los armónicos crece demasiado (VPP = 4).

Figura 4.16. Tensión en la carga cuando actúa un

Figura 4.17. Tensión en la carga cuando actúa un FAS

FAS con PI y la amplitud de los armónicos VPP = 1

con PI y la amplitud de los armónicos VPP = 4

La figura 4.17 muestra que cuando la amplitud de los armónicos crece y provoca caos en el FAS, la tensión en la carga no mejora, sino que se deteriora. Por esta razón se dice que la presencia de caos en el FAS es indeseable. Cuando actúa un PBC en el FAS, los resultados son similares, solo que el valor de VPP para que haya caos debe ser mayor (véanse figuras 4.11 y 4.12).

77

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Como consecuencia de los resultados mencionados en esta sección, se verifica que mediante el uso de las técnicas geométricas aplicadas a los filtros activos de potencia, se reafirma que el controlador basado en pasividad tiene un mejor desempeño que el controlador PI, ya que cuando el primero actúa, los filtros activos son en general menos susceptibles a cambiar de comportamiento ante variación paramétrica.

4.3 Selección de las resistencias de pasividad Como se comentó en la introducción de este capítulo, el control basado en pasividad es un método de control que se basa en el manejo de la energía de un sistema. Existen amplios fundamentos teóricos acerca de la parte matemática, y por consecuencia, de la estructura de un controlador para un determinado sistema [17]. Sin embargo, aún no existe un procedimiento exacto con el cual se puedan determinar los valores de las resistencias de pasividad para las cuales los filtros activos de potencia operen de forma ideal, es decir, compensen las perturbaciones de forma total. Cabe mencionar que esta tesis toma los diseños de los controladores por pasividad, del FAP y el FAS, que se elaboraron en [19] y [23], respectivamente. Por esto, en este trabajo no se presentan dichos análisis de diseño. En el apéndice 1 se pueden observar las ecuaciones diferenciales que describen el PBC para el FAP y el FAS, sólamente. En las dos secciones siguientes, se determinan valores de las resistencias de pasividad con los cuales se pueda asegurar que los filtros operan más eficiente que en trabajos previos. Esto se realiza por medio de los diagramas de Poincaré.

78

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

4.2.1 Selección de las resistencias de pasividad en el FAP Las figuras 4.18 y 4.19 muestran los diagramas de Poincaré del FAP cuando se aplica un control basado en pasividad, según el diseño presentado en [23], así como también sus valores de diseño.

Figura 4.18. Diagramas de Poincaré del FAP con PBC.

Figura 4.19. Puntos de Poincaré vs. tiempo.

C.I.: x10 = 0, x20 = 220 y x30 = 220. T.S.: 1 a 2 segs.

C.I.: x10 = 0, x20 = 220 y x30 = 220. T.S.: 0 a 1.5 segs.

De manera similar que con en el controlador PI, la corriente en el inductor del FAP tiene un comportamiento periódico en un ciclo de periodo 3. Los voltajes en los capacitores tienen un comportamiento periódico en un ciclo de periodo 1. El inductor debe entregar los armónicos de corriente que demanda la carga (figura 4.20), y esta corriente de armónicos es una señal periódica que se repite cada periodo del sistema (cada 1/60 segundos). En otras palabras, x1 debe ser un ciclo de periodo 1. La razón por la cual la señal x1 no exhibe un ciclo de periodo 1 es porque esta señal contiene rizos, como lo muestra la figura 4.21. 15

15

0

0

15

0.98

t

0.99

1

15

0.98

t

0.99

Figura 4.20. Referencia de los

Figura 4.21. Armónicos de corriente

armónicos de corriente

entregados por el inductor

1

79

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

La estructura cualitativa de los diagramas de Poincaré cambia al variar los valores de una de las resistencias de pasividad. De esta manera, mediante las figuras 4.22-4.25 se ilustra una secuencia de gráficas en las cuales, para diferentes valores de una de las resistencias de pasividad (propuestas en este trabajo), el ciclo de periodo 3 en x1 tiende a convertirse en un ciclo de periodo 1. Como consecuencia, el rizo en x1 tiende a desaparecer. Además, para x2 y x3, el comportamiento periódico sigue siendo un ciclo de periodo 1. R1 = 10

R1 = 100

R2 = 1000

0

0

-10

x1

10

x1

10

-10 0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

3

x2

x2

215

0.5

1

2.5

3

225

1.5 t

2

2.5

3

0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

3

0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

3

225

220 0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

3

Figura 4.22. Puntos de Poincaré vs. tiempo

Figura 4.23. Puntos de Poincaré vs. tiempo

del FAP con PBC cuando R1=10 y R2=1000.

del FAP con PBC cuando R1=100 y R2=1000.

C.I.: x10 = 0, x20 = 220 y x30 = 220. T.S.: 0 a 3 segs.

C.I.: x10 = 0, x20 = 220 y x30 = 220. T.S.: 0 a 3 segs.

R2 = 1000

R1 = 1000

10

10

0

0

-10

0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

-10

3

215 210

0

0.5

1

230

1.5 t

2

2.5

0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

3

0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

3

0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

3

230

x3 0

0.5

1

1.5 t

215 210

3

225

220

R2 = 1000

220

x2

220

x2

1

230

x1

x1

2

x3

x3

1.5 t

R1 = 200

x3

0.5

215 210

0

230

220

0

220

220

210

R2 = 1000

2

2.5

3

225

220

Figura 4.24. Puntos de Poincaré vs. tiempo

Figura 4.25. Puntos de Poincaré vs. tiempo

del FAP con PBC cuando R1=200 y R2=1000.

del FAP con PBC cuando R1=1000 y R2=1000.

C.I.: x10 = 0, x20 = 220 y x30 = 220. T.S.: 0 a 3 segs.

C.I.: x10 = 0, x20 = 220 y x30 = 220. T.S.: 0 a 3 segs.

La estructura cualitativa de las gráficas de los puntos de Poincaré cambia al variar la resistencia de pasividad R1. Cuando cambia de valor la resistencia R2, no existen cambios sustanciales en este tipo de gráficas. Por esto no se muestran gráficas al variar R2.

80

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Desde el punto de vista de pasividad, el efecto de cambiar las resistencias de pasividad es cambiar la inyección de amortiguamiento en los filtros activos. Además, la única restricción que se tiene en la variación de las resistencias de pasividad es que sus valores deben de ser de valor positivo [17]. La figura 4.26 muestra como es que ahora, con los valores de resistencias de pasividad mostrados en la figura 4.25, el rizo en la corriente del inductor casi ha desaparecido. Como consecuencia se tiene una mejor inyección de armónicos de corriente. 15

0

15

0.98

0.99

1

t Figura 4.26. Armónicos de corriente entregados por el inductor

Para verificar la mejoría del cambio de valores de las resistencias de pasividad, a continuación se muestran un par de gráficas de la corriente que circula por la red eléctrica. Esto se muestra en las figuras 4.27 y 4.28. La diferencia entre éstas es que en la primera, se toman los valores de las resistencias de pasividad propuestas en [23], mientras que en la segunda se toman los valores de las resistencias de pasividad propuestas en esta tesis.

Figura 4.27. Corriente en la red cuando actúa un FAP

Figura 4.28. Corriente en la red cuando actúa un FAP

con PBC y resistencias de pasividad R1 = 1 y R2=1000

con PBC y resistencias de pasividad R1 = 1000 y R2=1000

81

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

También se puede observar la mejoría en dos gráficas del error cuadrático entre la referencia de corriente y la corriente obtenida. Nótese que las escalas de las gráficas son diferentes; en la figura 4.29 la escala es de 0 a 100, mientras que en la figura 4.30 es de 0 a 1. De esta forma se aprecia en las dos gráficas como cambia el error cuadrático.

t

t

Figura 4.29. Error cuadrático entre la ref. y x1

Figura 4.30. Error cuadrático entre la ref. y x1

para R1 = 1 y R2 = 1000

para R1 = 1000 y R2 = 1000

Expresando estos resultados de manera cuantitativa, se tiene que el error cuadrático medio para el FAP con R1 = 1 y R2 = 1000 es: t fin

error cuadrático =

∑ (x (t ) − x

t = t ini

1

ref

(t )

)

2

= 6.38

t

(4.1)

donde el tiempo t va de tini = 0 a tfin = 1.5 segundos con un tamaño del paso de 5x10-6. El error cuadrático medio para el FAP con R1 = 1000 y R2 = 1000 es: t fin

error cuadrático =

∑ (x (t ) − x

t = t ini

1

t

ref

(t )

)

2

= 0.04

(4.2)

donde el tiempo t va de tini = 0 a tfin = 1.5 segundos con un tamaño del paso de 5x10-6. El error cuadrático promedio obtenido en (4.2) significa que el seguimiento a la señal de referencia (fig. 4.20) es mejor con los valores R1 = 1000 y R2 = 1000, en comparación del error obtenido en (4.1) para R1 = 1 y R2 = 1000. En este trabajo no se asegura que el conjunto de valores de resistencias de pasividad propuestas sea el mejor, en cuanto a obtener el mejor seguimiento a la referencia. Sin embargo, si se asegura que el procedimiento de utilizar los diagramas de Poincaré proporciona una manera clara de obtener un conjunto de valores de

resistencias de

pasividad que es mucho mejor que lo propuesto en otros trabajos (referencias [13] y [23]). Esta es una aportación original del presente trabajo de tesis.

82

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Con el fin de verificar la mejoría del FAP con los valores de las resistencias propuestas en este trabajo, también se calculó la distorsión total de demanda que hay en la red eléctrica. La distorsión total de demanda (DTD) que hay en la red eléctrica cuando las resistencias de pasividad toman los valores presentados en la figura 4.27 es: H

DTD = 100

∑I h=2

h

2

= 17.86

I1

(4.3)

Sin embargo, la DTD existente en la red eléctrica cuando las resistencias de pasividad toman los valores mostrados en la figura 4.28 es: H

DTD = 100

∑I h=2

I1

h

2

= 2.25

(4.4)

Con estos resultados, queda claro que el filtro funciona de manera más eficiente cuando las resistencias de pasividad tienen los valores proporcionados al observar los cambios cualitativos de los diagramas de Poincaré. Además, la DTD dada por (4.3) no está dentro de los valores establecidos por las normas internacionales de la IEEE (tabla 1.2). Sin embargo, la DTD dada por (4.4) si está dentro de los valores establecidos por estas normas.

4.2.2 Selección de las resistencias de pasividad en el FAS Con base al análisis hecho en la sección anterior, a continuación se presenta el procedimiento para encontrar valores de las resistencias de pasividad con las cuales el FAS trabaje de manera más eficiente que en el trabajo de la referencia [19]. Las figuras 4.31 y 4.32 muestran los diagramas de Poincaré del FAS cuando se aplica un control basado en pasividad. Tómese en cuenta que los valores de los parámetros, tanto del FAS como del controlador, son los de diseño propuestos en [19] (R1=0.5, R2=100 y R3=0.3).

83

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Figura 4.31. Diagramas de Poincaré

Figura 4.32. Puntos de Poincaré vs. tiempo.

del FAS con PBC.

C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 0 a 1.5 segs.

C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 1 a 2 segs.

De manera similar que con el controlador PI, el voltaje en el capacitor C, el del capacitor Cb y la corriente del inductor L del FAS tienen comportamientos periódicos en ciclos de periodo 3. El capacitor C debe entregar los armónicos de tensión que circulan por la red eléctrica (figura 4.33), y esta tensión es una señal periódica que se repite cada periodo del sistema. La razón por la cual la señal x1 no es una señal periódica en un ciclo de periodo 1 es porque esta señal tiene diferencias de amplitud, en algunos instantes de tiempo, con respecto de la señal referencia. Una gráfica del error cuadrático entre estas señales se muestra en la figura 4.34.

t

t

Figura 4.33. Referencia de los

Figura 4.34. Error cuadrático entre la referencia de

armónicos de voltaje

tensión y el voltaje del capacitor

En el caso del FAP se presentaron las gráficas de la señal de referencia y la salida del sistema para compararlas. Sin embargo, en el caso del FAS no se muestran esas dos gráficas como comparación porque la variación entre ellas es imperceptible visualmente. Por ello se presenta, en la figura 4.34, el error cuadrático entre la señal de referencia y la salida del sistema. 84

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

Las figuras 4.35 - 4.38 muestran una secuencia de gráficas en las cuales varía una de las resistencias de pasividad propuestas en este trabajo. Esta secuencia de gráficas muestra que para x1, x2 y x3 el ciclo de periodo 3 tiende a convertirse en un ciclo de periodo 1. Esto significa que la diferencia entre la señal de referencia y la obtenida disminuye, y por lo tanto el seguimiento a la referencia mejora. Lo anterior implica que el voltaje en la carga sea casi senoidal. R1 = 10

R2 = 10

R3 = 10

R1 = 10

20

x1

x1

0 -20 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

x2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

1

30

x2 0

200

0.6

0.7

0.8

0.9

20

10

1

200 195

x3

195

x3

0

1

20

190 185

R3 = 10

-20

30

10

R2 = 100

20

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

190 185

1

Figura 4.35. Puntos de Poincaré vs. t del FAS

Figura 4.36. Puntos de Poincaré vs. t del FAS

con PBC cuando R1 = 10, R2 = 10 y R3 = 10

con PBC cuando R1 = 10, R2 = 100 y R3 = 10

C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 0 a 1 segs.

C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 1 a 2 segs.

R2 = 200

R3 = 10

R1 = 10 20

0

0

x1

x1

R1 = 10 20

-20 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

1

20

0

0.1

0.2

0.3

0.4

200

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

1

20

10

1

200 195

x3

195

x3

0 30

x2

x2

30

190 185

R3 = 10

-20 0

10

R2 = 500

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

0.6

0.7

0.8

0.9

1

190 185

Figura 4.37. Puntos de Poincaré vs. t del FAS

Figura 4.38. Puntos de Poincaré vs. t del FAS

con PBC cuando R1 = 10, R2 = 200 y R3 = 10.

con PBC cuando R1 = 10, R2 = 500 y R3 = 10

C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 1 a 2 segs.

C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 1 a 2 segs.

La figura 4.39 muestra que, con los valores mostrados en la figura 4.38, el error cuadrático en el voltaje del capacitor C ha disminuido. Como resultado la compensación de armónicos de tensión es mejor. Nótese que la escala de amplitud en la gráfica del error cuadrático es de 0 a 1.

85

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

t

t

Figura 4.39. Error cuadrático entre la referencia de armónicos de tensión y x1

Expresando estos resultados de manera cuantitativa, se tiene que el error cuadrático medio para el FAS con R1 = 0.5 , R2 = 100 y R3 = 0.3 es: t fin

error cuadrático =

∑ (v

t = t ini

ref

(t ) − v gen (t )

)

2

= 2.35

t

(4.5)

donde el tiempo t va de tini = 0.25 a tfin = 1.5 segundos con un tamaño del paso de 5x10-6. El error cuadrático medio para el FAS con R1 = 10, R2 = 500 y R3 = 10 es: t fin

error cuadrático =

∑ (v

t = t ini

ref

(t ) − v gen (t ) t

)

2

= 0.15

(4.6)

donde el tiempo t va de tini = 0.25 a tfin = 1.5 segundos con un tamaño del paso de 5x10-6. El error cuadrático promedio obtenido en (4.6) significa que el seguimiento a la señal de referencia (fig. 4.33) es mejor con los valores R1 = 10, R2 = 500 y R3 = 10, en comparación con el error obtenido en (4.5) para R1 = 0.5, R2 = 100 y R3 = 0.3. Sería de interés graficar la tensión que hay en la carga para los valores propuestos en [19] y los valores propuestos en esta tesis. Sin embargo la diferencia entre estas dos gráficas es indistinguible visualmente. Para sustentar esto, véase los errores cuadráticos (4.5) y (4.6) para los diferentes valores de las resistencias de pasividad. La diferencia entre los errores cuadráticos es poca, y por tanto, la diferencia entre los errores absolutos es menor. Por esta razón, la diferencia entre usar los diferentes valores de las resistencias de pasividad se hace mediante el error cuadrático y mediante la distorsión que existe en la carga. La distorsión armónica total que hay en la carga cuando las resistencias de pasividad toman los valores R1 = 0.5, R2 = 100 y R3 = 0.3 es:

86

Capítulo 4

Aplicación de técnicas geométricas a controladores

H

DAT = 100

∑V h=2

h

2

= 4.21

V1

(4.7)

La distorsión existente en la red eléctrica cuando las resistencias de pasividad toman los valores mostrados en la figura 4.38 es: H

DAT = 100

∑V h=2

V1

h

2

= 3.51

(4.8)

Cabe señalar que los valores obtenidos en las ecuaciones (4.7) y (4.8) se encuentran dentro de las normas internacionales de la IEEE que se encuentran en las prácticas recomendadas de la CFE [7]. Sin embargo, la distorsión armónica total que se obtuvo en (4.8) es mejor (es menor) que la que se obtuvo en (4.7). Por esto, tiene validez utilizar los diagramas de Poincaré para determinar valores de resistencias de pasividad. Con estos resultados se asegura que el procedimiento de utilizar los diagramas de Poincaré proporciona una manera clara de obtener un conjunto de valores de resistencias de pasividad que es mucho mejor que lo propuesto en otros trabajos [19] [23].

87

Capítulo 5

Conclusiones

Capítulo 5 Conclusiones 5.1 Conclusiones y aportaciones De los estudios en [13], [15], [19] y [23] se sabe que los filtros activos de potencia, son equipos electrónicos con fuertes no linealidades dada su naturaleza de sistemas electrónicos conmutados y variantes en el tiempo. Como consecuencia de ello, estos filtros muestran un comportamiento dinámico complejo. Por otro lado, las técnicas geométricas son herramientas que, entre otras cosas, proporcionan gráficas (fáciles de entender) que permiten visualizar los diferentes tipos de comportamiento que presenta un sistema, además de no tener que resolver las correspondientes ecuaciones diferenciales no lineales variante en el tiempo, cuya solución puede ser bastante compleja de obtener. En general, de una ecuación no lineal es imposible hallar una solución analítica, o al menos, es muy complicado. Las no linealidades de los filtros activos dificultan obtener sus soluciones analíticas. Esto implica no saber la dinámica de los filtros activos mediante una solución analítica de su modelo matemático. El conocimiento de la dinámica de cada uno de los filtros activos se puede lograr sin determinar sus soluciones analíticas. Esto se logra mediante técnicas geométricas que son los retratos fase, diagramas de Poincaré, diagramas de órbitas y gráficas del exponente de Lyapunov. Por tanto, estas técnicas son herramientas alternativas bastante confiables para observar dicha dinámica. Los resultados de aplicar lo anterior son: •

Los diagramas de Poincaré son de gran ayuda para analizar la dinámica de sistemas cuyas variables son periódicas. Los filtros activos tienen como principal objetivo compensar armónicos. Por esta razón, los filtros activos pueden ser analizados con la ayuda de los diagramas de Poincaré. Mediante estos diagramas, se determinó que ante la variación de la amplitud de los armónicos, el

88

Capítulo 5

Conclusiones

comportamiento de los filtros pasa de periódico a caótico. También se determinó el intervalo de cada uno de estos tipos de comportamiento. Esto es muy importante en el sentido de que caos es un comportamiento indeseado. Cuando la dinámica del filtro es caótica, se perjudica a la red eléctrica en vez de beneficiarla, suponiendo que los dispositivos del filtro puedan soportar grandes potencias. Los filtros activos de potencia poseen elementos de protección en los impulsores, esto para prevenir que los filtros se dañen. Si los elementos de protección fallaran, y los dispositivos de los filtros (FAP y FAS) no están diseñados para trabajar con grandes amplitudes de tensión y corriente, el comportamiento caótico podría desembocar en la destrucción de los filtros. •

Con un análisis exhaustivo de los diagramas, se formaron diagramas de estabilidad para ambos filtros. En estos diagramas se observan los diferentes tipos de comportamiento que presentan los filtros cuando dos parámetros varían de valor. Además, también muestran las regiones en las que las distorsiones en corriente o tensión (cuando actúa el FAP o el FAS respectivamente) cumplen con las normas establecidas por la IEEE. Con esto, en el diseño de los filtros se cuenta con gráficas que permiten conocer para cuales valores de los parámetros, los filtros proporcionan una buena eliminación de armónicos.

•

En gráficas denominadas diagramas de órbitas se mostraron los tipos de dinámica que presentan cada uno de los filtros ante la variación de un parámetro. El diagrama del FAP mostró la existencia de un ciclo de periodo 3 en x1 cuando IP ∈ [1 , 4) y comportamiento caótico cuando IP ∈ (4 , 5]. El diagrama del FAS mostró la existencia de un ciclo de periodo 3 en x1 cuando VPP ∈ [1 , 1.6) y comportamiento caótico cuando IP ∈ (1.6 , 5]. La referencia [21] menciona que los diagramas de órbitas son figuras que han llegado a ser un icono en los sistemas no lineales. Los filtros activos son sistemas no lineales, y por tanto, en esta tesis se elaboraron sus respectivos diagramas de órbitas.

•

Una de las principales características de un sistema caótico es la divergencia exponencial de trayectorias dentro de un atractor. Esta característica se representa mediante el exponente de Lyapunov del sistema. Para los dos filtros activos (el FAP y FAS) fueron construidas sus respectivas gráficas del exponente de Lyapunov cuando varía la amplitud de los armónicos. Los intervalos en los cuales el exponente de Lyapunov representaba un comportamiento caótico (exponente positivo) y aquellos en los cuales representaba un comportamiento periódico (exponente negativo) son los mismos que se encontraron en el diagrama de órbitas.

89

Capítulo 5

•

Conclusiones

Los diagramas de Poincaré proporcionan también una ayuda para hacer una comparación de desempeño entre controladores. En los filtros activos de potencia, el controlador basado en pasividad muestra tener un mejor desempeño que el controlador PI. Esto se concluyó al variar los valores de las amplitudes de los armónicos; los intervalos de variación son mayores sin que los sistemas presenten caos cuando un PBC está presente que cuando lo está un controlador PI. Esta afirmación se respaldó al realizar la comparación de controladores por medio de los diagramas de órbitas y las gráficas del exponente de Lyapunov.

•

Una de las principales aportaciones de este trabajo de tesis es proponer un método para seleccionar valores de las resistencias de pasividad en los filtros activos de potencia. Este método propuesto es mediante los diagramas de Poincaré. Con los valores hallados mediante este método se mejoró la eliminación de armónicos; el error cuadrático medio para el FAP disminuyó 160 veces con respecto al trabajo reportado en [23] y disminuyó 16 veces en el FAS con respecto al trabajo reportado en [19]. De manera práctica, mientras que antes la DTD no cumplía con las normas internacionales de la IEEE, con los valores propuestos en esta tesis ahora se logran cumplir. Para el FAS, mientras que antes la DAT ya cumplía con las normas, ahora la distorsión es menor, dando una DAT más pequeña aún. Hasta ahora no se ha reportado algún otro procedimiento para hacer esta selección de los valores, por lo cual se considera una aportación importante y un gran logro.

La información proporcionada en esta tesis está dirigida, principalmente, a los analistas, diseñadores y usuarios de los filtros activos de potencia. Sin embargo, esta información puede ser aplicada como base de estudio en otros sistemas no lineales.

90

Capítulo 5

Conclusiones

5.2 Trabajos Futuros Con el conocimiento adquirido del trabajo realizado en esta investigación, se propone efectuar las siguientes actividades: •

Incluir en el modelado matemático de los filtros las pérdidas por conmutaciones que existen en los IGBT’s, o al menos, agregar las resistencias de encendido y apagado en estos dispositivos.

•

Verificar de manera práctica, que los filtros tienen un mejor desempeño con las resistencias de pasividad propuestas en este trabajo.

•

Realizar el análisis dinámico mediante técnicas geométricas de otros sistemas no lineales que se estudian en este centro de investigación.

•

Al analizar la dinámica de los filtros activos mediante los diagramas de Poincaré, lo que se realiza es una discretización. Por esta razón, se propone discretizar las ecuaciones diferenciales del FAP y el FAS, y con ellas hallar las correspondientes soluciones. Con esto se pueden hallar los fundamentos matemáticos de los diagramas de Poincaré.

•

Extender la aplicación de la técnicas geométricas de este trabajo hacia sistemas conmutados en general, y en general, a sistemas complejos de analizar.

•

En esta tesis no se reportan análisis de los filtros para el caso trifásico. Sería importante realizar este análisis incluyendo en el modelado de los filtros activos trifásicos, la interacción entre las fases, y no suponer un desacoplamiento de 120º entre ellas y/o un perfecto balance entre fases.

•

La obtención de los diferentes diagramas se realizaron, en general, utilizando Simnon y Matlab alternativamente. Esto se hizo porque el tiempo de simulación de las ecuaciones diferenciales en Simnon es menor que en Matlab. Por esta razón se propone realizar todos los programas en un archivo ejecutable de Matlab. En teoría, un ejecutable tiene mucho menor tiempo de simulación.

91

Capítulo 5

Conclusiones

5.3 Logros obtenidos Premios •

2º lugar en el XVII concurso nacional de creatividad en su fase local.

•

1er lugar en el XVII concurso nacional de creatividad en su fase regional.

Congresos •

OLIVER S. M. A., RODRÍGUEZ P. A., AGUILAR J. M. O., Dynamical Analisys of Active Filters using Chaos Theory, Congreso Latinoamericano de Control Automático, CLCA’ 02, Diciembre 2002, Guadalajara Jalisco.

92

Referencias [1] ALARCÓN R. G. I., Filtro Activo Serie para Compensación de Armónicos de Tensión, Tesis de Maestría, CENIDET, Cuernavaca, México, 2000. [2] BANERJEE J. and VERGHESE G., Nonlinear Phenomena in Power Electronics, IEEE Press. [3] BLATT J. FRANK, Fundamentos de Física, Ed. Prentice-Hall, 1991. [4] CÁRDENAS G. V. M., Filtros Activos Híbridos para Compensación Armónica de Corriente y de Compensación de Factor de Potencia en Sistemas Trifásicos, Tesis Doctoral, CENIDET, Cuernavaca, México, 1999. [5] CHEN G., DONG X., From Chaos to Order: Methodologies, Perspectives and Applications, Ed. World Scientific, 1998. [6] CHEN S., JOÓS G., Series and Shunt Power Conditioners for Compensating Distribution System Faults, IEEE Control Systems, 2000. pp. 1182-1186. [7] COMISIÓN FEDERAL DE ELECTRICDAD, Perturbaciones Permisibles en las Formas de Onda de Tensión y Corriente del Suministro de Energía Eléctrica, (ANSI/IEEE Std. 5191992, Institute of Electrical an Electronics Engineers), 1995. [8] DEANE H. B. JONATH and HAMILL C. DAVID, Inestability, Subharmonics, and Chaos in Power Electronic Systems, IEEE Transactions on Power Electronics, Julio de 1990. pp. 260-268. [9] DI BERNARDO MARIO and GAROFALO FRANCO, Switchings, Bifurcations and Chaos in DC/DC Converters, IEEE Transactions on Circuits and Systems I, Vol 45, No 2, February 1998. pp. 133-141. [10] DUGAN C. ROGER, Electrical Power Systems Quality, Ed. Mc Graw Hill, 1996. [11] FOSAS ENRIC and OLIVAR GERARD, Study of Chaos in the Buck Converter, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Enero de 1996. pp. 13-25. 93

[12] HILBORN C. ROBERT, Chaos and Nonlinear Dynamics, Ed. Oxford, 2000. [13] MINA A. J. D., Análisis y Control de una Clase de Sistemas No Lineales, Variantes en el Tiempo y su Aplicación en el Mejoramiento en la calidad de la Energía Eléctrica Mediante Filtrado Activo de Potencia, Tesis de Maestría, CENIDET, Cuernavaca, México, 2002. [14] NAYFEH A. and BALACHANDRAN B., Applied Nonlinear Dynamics, Ed. WileyInterscience. [15] NÚÑEZ G. C. A., Estrategias de Control No Lineal aplicadas a Filtros Activos de Potencia, Tesis Doctoral, CENIDET, Cuernavaca, México, 2002. [16] OGATA. K., Ingeniería de Control Moderno, Ed. Springer, 1998. [17] ORTEGA R. and SIRA-RAMIREZ H., Passivity-Based Control of Euler-Lagrange Systems, Ed. Springer, 1998. [18] PERKO L., Differential Equations and Dynamical Systems, Ed. Springer, 1991. [19] RAMÍREZ G. S., Análisis y Desarrollo de un Esquema de Control No Lineal para Filtros Activos de Potencia Tipo Serie, Tesis de Maestría, CENIDET, Cuernavaca, México, 1999. [20] SLOTINE JEAN-JAC and WEIPING LI, Applied Nonlinear Control, Ed. Prentice Hall, 1991. [21] STROGATZ S. H., Nonlinear Dynamics and Chaos, Ed. Addison Wesley, 1994. [22] THOMSON J.M.T. and STEWART H.B., Nonlinear Dynamics and Chaos, Ed. Wiley, Octubre de 1997. [23] VISAYRO C. N., Análisis y Desarrollo de un Esquema de Control No Lineal para Filtros Activos de Potencia Tipo Paralelo, Tesis de Maestría, CENIDET, Cuernavaca, México, 1999.

94

Apéndice 1

Algoritmos de programación

Apéndice 1 Algoritmos de programación Este apéndice muestra la elaboración de los algoritmos o diagramas utilizados en este trabajo de tesis. Primero se muestran las explicaciones de los programas de los filtros activos de potencia que fueron originados en otros trabajos. Después se muestran los algoritmos de programación que se utilizaron para aplicar las técnicas geométricas a los filtros.

A1.1 Filtros activos de potencia tipo paralelo y serie Las simulaciones de los filtros activos de potencia se realizaron en Simnon. Esto se hizo porque Simnon es un lenguaje de mediano nivel. Un lenguaje de mediano nivel tiene la ventaja sobre uno de alto nivel en que el tiempo de simulación es menor. Además, Simnon es un lenguaje de programación que, principalmente, simula sistemas continuos o discretos representados mediante ecuaciones. Generalmente en Simnon se obtuvieron los datos que posteriormente se ocuparon en Matlab; esto se realizó para elaborar las gráficas que se basan en la teoría de Caos. La razón por la cual se ocupó Matlab es porque tiene diversas funciones, y éstas se adecuan a las necesidades de los tipos de diagramas que se desarrollan en esta tesis.

FAP con un controlador PI Las principales ecuaciones a introducir en el programa son las que se muestran en la ecuación (1.3) o la (1.4) – el modelado matemático del FAP se muestra a detalle en [23]–. En estas ecuaciones se debe tener en cuenta las condiciones iniciales, los parámetros de los elementos, la tensión de la red eléctrica, la señal de referencia y la señal del controlador. La señal de referencia se forma de las perturbaciones a eliminar de la red, y se supone conocida. En la práctica, se sensa la corriente de la carga, y con ella se genera la

95

Apéndice 1

Algoritmos de programación

señal de referencia. Esto se puede realizar principalmente de dos maneras; por extracción de la fundamental de corriente o mediante la teoría PQ (ver referencia [1] o [13] para detalles). Cualquiera que sea la forma de generar la señal de referencia, se debe realizar en un procesador digital de señales (DSP por sus siglas en inglés) mediante programación. Por otro lado, como se dijo en el capítulo 1 la diferencia entre las ecuaciones (1.3) y (1.4) es la señal del controlador. La ecuación del controlador se obtiene a partir del bloque “controlador PI” de la figura 4.1. Tal ecuación es • • •  µ = K P  x 1r − x 1  + K I (x1 e )  

donde:

KP

=

0.03 es la ganancia proporcional

KI

=

500

•

(A1.1)

es la ganancia integral

x 1r =

derivada de la señal de referencia

x1 e =

error entre x1r y x1

Como la señal de salida del controlador es continua se puede aplicar directamente a la ecuación (1.4). En la práctica, el control se encuentra en un DSP. Además, la señal que debe aplicar el control es una señal PWM (figura 1.8). Por estas razones la ecuación que más se utilizó es la (1.3). Algo importante a resaltar es cómo convertir la señal del controlador a una PWM. En el controlador PI la discretización se realiza mediante una portadora triangular (figura 4.1). La periodicidad de la portadora triangular debe estar a una frecuencia de conmutación con la cual puedan trabajar los IGBT’s y el procesador. Por supuesto, como la frecuencia de conmutación de los IGBT’s es mucho menor a la velocidad del DSP, la frecuencia de la portadora triangular debe basarse en la frecuencia de los IGBT’s. Los resultados que se muestran en los capítulos 3 y 4 se originaron tomando en cuenta que los interruptores conmutan a una frecuencia de 5 kHz. Sin embargo, los IGBT's pueden trabajar hasta 20 kHz a su máxima capacidad de corriente, o a mayores frecuencias con menores corrientes. Lo anterior implica que la frecuencia de conmutaciones de los interruptores depende de la aplicación que se tenga.

FAP con PBC A diferencia del FAP con PI, en este caso la ecuación del control es diferente y se agregan dos ecuaciones más del exosistema. El exosistema es la ecuación del FAP más términos ficticios de disipación del controlador basado en pasividad, es decir, el sistema en lazo cerrado (figura 4.2). La ecuación del controlador es:

96

Apéndice 1

Algoritmos de programación

•

L x 1 d + Rx1 d + x2 d − VS − R1 (x1 − x1 d ) µ= x2 d + x3 d •

R2 (1 − uC )x1 d + (x2 − x2 d ) R2C 1 − R2 (uC )x1 d + (x3 − x3 d ) = R2C 2

x2d = •

x3d

donde:

µ

es la señal de control continua

uC

es la señal de control discreta

x1d

es la corriente deseada en el inductor L (señal de referencia)

x2d

es el voltaje deseado en el capacitor C1

x3d

es el voltaje deseado en el capacitor C2

x1

es la corriente en el inductor L (señal de salida)

x2

es el voltaje en el capacitor C1

x3

es el voltaje en el capacitor C2

VS

es la tensión en la red eléctrica

L

es la inductancia del inductor

C1

es la capacitancia del capacitor 1

C2

es la capacitancia del capacitor 2

R

es la resistencia del resistor

R1

es la resistencia de pasividad 1

R2

es la resistencia de pasividad 2

(A1.2)

(A1.3) (A1.4)

En [23] se explica detalladamente como elaborar el controlador basado en pasividad para el filtro activo paralelo. La obtención en simulación de la señal PWM a partir de la señal de control µ se puede obtener de dos maneras. La primera es mediante una portadora triangular (figura A1.1). La señal de control continua se limita a variar en el intervalo [0 , 1], para posteriormente comparase con la portadora triangular; cuando la señal de control continua es mayor que la portadora triangular, la señal de control discreta vale 1 y en caso contrario vale 0. La desventaja de utilizar este medio es que, dependiendo de los valores de las resistencias de pasividad, la señal de control puede cruzar más de una vez la rampa de la portadora triangular (figura A1.1.a). Esto significa que se obliga a los interruptores electrónicos a conmutar a una frecuencia de conmutación mayor (figura A1.1.b).

97

Apéndice 1

Algoritmos de programación

Figura A1.1. a) Portadora triangular y señal de control continua b) Portadora triangular y señal de control discreta

En esta simulación se usó una frecuencia de conmutación de 5 kHz. Como se mencionaba antes, dependiendo de los IGBT’s usados, y de la aplicación, esto puede ser posible o no. La segunda manera de obtener la señal PWM es forzando a los interruptores a conmutar sólo una vez en el periodo de 200µs (5 kHz) mediante la expresión: 1 uC =  0

para para

nP ≤ t < nP + µ n (t )P nP + µ n (t )Pn ≤ t < (n + 1)P

(A1.5)

que se mostró en el capítulo 1. En esta tesis la discretización de la señal de control se realizó mediante la primera opción tanto en el FAP como en el FAS. En las gráficas de la figura A1.2 se muestra cómo es que la expresión (A1.5) se lleva a cabo. La figura A1.2.a muestra el tiempo t, el tiempo de encendido tON y el tiempo de apagado tOFF. La figura A1.2.b muestra la señal PWM y la señal de control µ. Por ejemplo, en un tiempo inicial la señal de control µ tiene el valor de 0.62 (véase la figura A1.2b). Este valor se multiplica por la periodo de conmutación 2x10-4 s (que es el recíproco de la frecuencia de conmutación 5kHz). El valor obtenido es 1.24x10-4, y es el valor de la amplitud de la gráfica tON es su primer periodo (figura A1.2.a) y el tiempo que la señal PWM toma el valor de 1 en el primer periodo (figura A1.2.b).

98

Apéndice 1

Algoritmos de programación

1 0.002 0.8

tOFF 0.0015

0.6 t 0.4

0.001

0.2

tON

0.0005

0 0

0.0005

0.001

t

0.0015

0.002

0

0.0005

Figura A1.2. a) Tiempos t, tON y tOFF.

0.001

0.0015

t

0.002

0.0025

b) Señal PWM y señal de control continua µ

La señal tOFF básicamente debería de ser el periodo de conmutación P menos la señal tON. Sin embargo, la señal tOFF se forma de sumar la señal tON con el tiempo t (en cada inicio de periodo P), para que mediante programación, la señal PWM se forme de comparar la señal tOFF con el tiempo t. De esta forma, cuando tOFF es mayor que t, la señal PWM vale 1, y vale 0 en caso contrario.

FAS con un controlador PI Las principales ecuaciones a introducir en el programa son las que se muestran en la ecuación (1.5) o la (1.6). – el modelado matemático del FAS se muestra a detalle en [19]–. En estas ecuaciones se deben tener en cuenta las condiciones iniciales, los parámetros de los elementos, la corriente que demanda una carga, la señal de referencia y la señal del controlador. La señal de referencia se forma de las perturbaciones de la red a compensar, y se supone conocida. En la práctica se sensa el voltaje en la red. Con este voltaje se genera la señal de referencia en un DSP mediante programación. En este caso (FAS) hay que tener en cuenta la impedancia y la relación de transformación del transformador. Al igual que en el FAP con PI, la ecuación del controlador se obtiene a partir del bloque “controlador PI” de la figura 4.1. En el caso del FAS, el control se realiza indirectamente por medio de la corriente del inductor, para su posterior aplicación al capacitor de salida. Como la señal de salida del controlador es continua se puede aplicar directamente a la ecuación (1.6). En la práctica, el control se encuentra en un DSP. Además, la señal que debe aplicar el control es una señal PWM. Por estas razones la ecuación que mas se utilizó es la (1.5).

99

Apéndice 1

Algoritmos de programación

La ecuación del controlador es la siguiente: • • •  µ = K P  x 2 r − x 2  + K I (x 2 e )  

donde:

KP

=

0.7 es la ganancia proporcional

KI

=

7575 es la ganancia integral

•

x 2r =

derivada de la señal de referencia

x2e =

error entre x2r y x2

(A1.6)

Como ya se comentó el control se realiza indirectamente por medio de la corriente en el inductor. Es por eso que la señal de referencia está con respecto a x2. La obtención de la referencia se hace mediante la ecuación (A1.7), la cual resulta de analizar el circuito simplificado del FAS (figura A1.3). x2 r = iC − i0 a

(A1.7)

Figura A1.3. Diagrama eléctrico simplificado del FAS

La corriente en el capacitor iC se calcula por medio de la ecuación: iC = C

d (Varm − VZT ) dt

(A1.8)

El cambio de la señal del controlador a una PWM se realizó mediante una portadora triangular. La periodicidad de la portadora triangular debe ser a una frecuencia de conmutación con la cual puedan trabajar los IGBT’s. Los resultados que se muestran en los capítulos 3 y 4 son a una frecuencia de conmutación de 5 kHz.

100

Apéndice 1

Algoritmos de programación

FAS con PBC En el FAS con PBC la ecuación del control es la que se muestra en (A1.9). Además, como en el FAP con PBC, se agregan dos ecuaciones más del exosistema (ecuaciones (A1.10) y (A1.11) ).   • 1  L x 2 d + Rx 2 d + x1 d µ= + 1  x3d 2   •

R2 x 2 d + (x 1 − x 1 d ) + R2 i0 a R 2C R (2 pos − 1 )x 2 d + (x 3 − x 3 d ) = 3 R3C b

x 1d = •

x 3d

donde

•

x 2d =

(A1.9)

(A1.10) (A1.11)

•

x 2 r y es la derivada de la señal de referencia

En [19] se explica detalladamente como elaborar el controlador basado en pasividad para el filtro activo serie. La obtención en simulación de la señal PWM a partir de la señal de control µ se puede obtener de dos maneras: mediante una portadora triangular o mediante la expresión (A1.5). En este trabajo de tesis se obtuvo por medio de una portadora triangular.

A1.2 Retratos fase Una vez que se realiza la simulación de uno los filtros activos de potencia en Simnon, se extraen los datos de t (tiempo), x1, x2 y x3 (variables de estado). Posteriormente, estos datos se introducen en Matlab para graficar en tres dimensiones el retrato fase de dicho filtro. En el caso de mostrar el estado estacionario del filtro en el retrato fase se eliminan los datos anteriores a 1 segundo de simulación. En general para la elaboración de las demás gráficas, se extraen los mismo datos de Simnon para su posterior aplicación en Matlab.

101

Apéndice 1

Algoritmos de programación

A1.3 Diagrama de Poincaré Con los datos del filtro (t, x1, x2 y x3), se realiza un rutina para eliminar todos los datos que no corresponden al tiempo nT segundos, donde n = 0, 1, 2, ... y T = 1/60 segundos (el inverso de la frecuencia de la línea). Posteriormente se grafican los datos restantes en los planos x1-x2, x1-x3 y x2-x3. Estas gráficas no deben enlazar los datos mediante líneas. Es decir, sólo se deben graficar los puntos correspondientes a los datos de las variables de estado. De esta manera se obtiene un diagrama de Poincaré. Las gráficas de los puntos de Poincaré contra el tiempo se obtienen al graficar los datos correspondientes a cada una de las variables contra el tiempo (sólo los datos que conciernen al tiempo nT).

A1.4 Diagrama de órbitas Un diagrama de órbitas se conforma de la proyección de los puntos de Poincaré de una variable contra diferentes valores de un parámetro. Por ejemplo, los puntos de Poincaré contra el tiempo de x1, del FAP con PI se muestran en la figura A1.4.

Figura A1.4. Puntos de Poincaré contra el tiempo

Cabe mencionar que un diagrama de órbitas debe contener la dinámica de una variable en estado estacionario. Por tanto, en esta tesis solo se proyectan los puntos de Poincaré correspondientes a tiempos superiores a 1 segundo (figura A1.5). Como lo indica el sentido de la flecha en la figura A1.5, los puntos de Poincaré se proyectan hacia la izquierda. La proyección puede ser a la derecha; simplemente el término “proyectar” se utiliza para dar la idea de juntar todos los puntos de Poincaré de un plano en una línea vertical.

102

Apéndice 1

Algoritmos de programación

Figura A1.5. Proyección de los puntos de Poincaré contra el tiempo

Esta proyección es consecuente con el valor del parámetro indicado en el diagrama de órbitas de la figura A1.6.

Figura A1.6. Diagrama de órbitas del FAP

Para cubrir todo el diagrama de órbitas, se necesita extraer los datos del FAP en Simnon para diferentes valores del parámetro amplitud de los armónicos. Posteriormente, se obtienen los puntos de Poincaré contra el tiempo para los diferentes valores del parámetro.

103

Apéndice 1

Algoritmos de programación

El diagrama de flujo para la elaboración del diagrama de órbitas se muestra en la figura A1.7.

Figura A1.7. Diagrama de flujo de un diagrama de órbitas

A1.5 Gráficas del exponente de Lyapunov El exponente de Lyapunov mide la separación o acercamiento de trayectorias en un espacio fase. En esta tesis fue de interés calcular este parámetro para verificar si el comportamiento en los filtros es, o no, caótico. La expresión que conlleva al cálculo del exponente de Lyapunov se mostró en la sección 2.3 y se resaltó en la sección 3.5.1 mediante la ecuación (3.10).

104

Apéndice 1

Algoritmos de programación

La figura A1.8 enseña el diagrama de flujo en el cual se basó la creación de la gráfica del exponente de Lyapunov. Esto se realizó para diferentes valores de un parámetro en cada uno de los filtros.

donde k =

j! 2! ( j − 2 )!

Figura A1.8. Diagrama de flujo de una gráfica del exponente de Lyapunov

Primero se declaran las diferentes condiciones iniciales a aplicar al filtro para cada uno de los valores del parámetro (esto se realiza en el ciclo anidado). Esto se efectúa porque el valor de λ es diferente (pero semejante) para diferentes condiciones iniciales. Lo que se realiza en el primer ciclo “FOR” es calcular un λ promedio para cada valor de un parámetro.

105

Apéndice 1

Algoritmos de programación

A1.6 Diagramas de estabilidad Un diagrama de estabilidad muestra los diferentes comportamientos de un sistema ante diferentes valores de dos parámetros. Para formar los diagramas de estabilidad que se presentaron en la sección 3.6 se hizo uso de los diagramas de Poincaré. En la figura A1.9 se despliega el diagrama de flujo para la elaboración de un diagrama de estabilidad.

Figura A1.9. Diagrama de flujo de un diagrama de estabilidad

106

Apéndice 1

donde

Algoritmos de programación

P

es periodicidad

ASC es aperiodicidad sin caos CP

es caos permanente (en estado estacionario)

CT

es caos transitorio

CI

es caos intermitente

par1 = parámetro1 par2 = parámetro2 En el diagrama de estabilidad resultante de este diagrama de flujo sólo se despliegan los comportamientos periódicos y los caóticos (ya sean transitorios, intermitentes o en estado estacionario). Las subdivisiones hechas en el comportamiento periódico, donde se especifican las diferentes cantidades de distorsión, se realizaron aplicando la función “fft” (en Matlab) a los filtros. La función fft efectúa la transformada de Fourier a un vector de datos. Esta función se aplicó específicamente a la corriente en la red (cuando actúa el FAP) y al voltaje en la carga (cuando actúa el FAS).

A1.7 Tamaño del paso de integración Cuando se simularon las ecuaciones diferenciales de los filtros activos, el tamaño del paso de integración fue de 5x10-6. La elección del tamaño del paso resultó de observar como se comportaban las variables de los filtros para varios tamaños del paso. Es decir, resultó de comparar gráficas de las variables de los filtros para diferentes valores del tamaño del paso. La elección se hizo cuando ante la comparación de dos tamaños del paso casi no había variación de las gráficas. Por ejemplo, para la variable x1 del FAP con PI, se obtuvieron las gráficas de la figura A1.10, donde los tamaños del paso son 5x10-6 y 15x10-6.

107

Apéndice 1

Algoritmos de programación

x1 (A)

t Figura A1.10. Comparación de x1 para diferentes tamaños del paso (5x10-6 y 15x10-6).

En la figura A1.10 se logran apreciar diferencias entre las gráficas para sus respectivos tamaños del paso. En general, cuando se compara el tamaño del paso 5x10-6 y otro más grande, existen diferencias como las de la figura A1.10 o mayores. Sin embargo, cuando se compara el tamaño del paso 5x10-6 y otro más chico, las diferencias son muy ligeras o casi imperceptibles. Un ejemplo de esto último se muestra en la figura A1.11.

x1 (A)

t Figura A1.10. Comparación de x1 para diferentes tamaños del paso (5x10-6 y 1x10-6).

108

Apéndice 2

La ecuación logística

Apéndice 2 Ecuación logística En este apéndice se presenta el desarrollo de la ecuación (2.3) que se mostró en el capítulo 2. Dicha ecuación es la analogía en tiempo discreto de la ecuación logística que inicialmente se estableció para el crecimiento de la población humana en 1838 por Verhulst, es decir, la ecuación (A2.1). • N  N = rN  1 −  K 

donde:

N(t) =

población en el tiempo t

r

=

razón de crecimiento

K

=

capacidad de acarreo

(A2.1)

Posteriormente ésta misma ecuación se ha usado para modelar el crecimiento de organismos.

A2.1 El mapa logístico Los sistemas dinámicos en los cuales el tiempo es discreto

se conocen como

ecuaciones de diferencias, relaciones de recursión, mapas iterados o simplemente mapas [9]. Un ejemplo de estos sistemas de tiempo discreto es el mapa logístico, que se define por la ecuación x n + 1 = rx n (1 − x n )

(A2.2)

que es la analogía en tiempo discreto de la ecuación logística para crecimiento de población de organismos, donde xn ≥ 0 es una medida adimensional de la población en la n - ésima generación y r ≥ 0 es la razón de crecimiento intrínseca. Para el análisis posterior se restringe al parámetro r dentro del intervalo 0 ≤ r ≤ 4.

109

Apéndice 2

La ecuación logística

Como se muestra en la figura A2.1(a), la gráfica de la ecuación (A2.2) es una parábola con un valor máximo de 0.1 en x = 0.5. Analíticamente se toma la función de la ecuación (A2.2) f ( x ) = rx(1 − x )

(A2.3)

Si (A2.3) se deriva una vez y se iguala a cero se conoce el valor de x para el cual existe un mínimo o máximo. f ′( x ) = rx(− 1) + (1 − x )r f ′( x ) = −rx + r − rx f ′( x ) = r − 2rx f ′( x ) = r (1 − 2 x ) = 0

(A2.4)

1 − 2x = 0 x = 1 2 = 0.5

(A2.5)

Para saber si en x = 0.5 existe un mínimo o máximo, se obtiene la segunda derivada de (A2.3) y se observa el signo. Es decir, derivando una vez (A2.4) f ′′( x ) = −2 r

(A2.6)

Como se comentó que r sólo tiene valores en el intervalo [0 , 4], el signo de (A2.6) es negativo, y por tanto, en x = 0.5 existe un máximo. Para determinar el valor del máximo, se sustituye el valor en el cual existe el máximo (x = 0.5) en la ecuación (A2.3) y se despeja r f (0.5) = r (0.5 )[1 − (0.5 )] f (0.5) = 0.25r

(A2.7)

Como ejemplo se ilustra la figura A2.1a, en la cual la ecuación (A2.2) tiene los valores de r = 0.4 y x0 = 0.35 (parámetro y condición inicial)

xn+1

1

1

0 .9

0 .9

0 .8

0 .8

0 .7

0 .7

0 .6

0 .6

0 .5

xn+1

0 .5

0 .4

0 .4

0 .3

0 .3

0 .2

0 .2

0 .1

0 .1

0

0

0 .5

xn

a)

1

0

0

5

1 0

n

1 5

2 0

b)

Figura A2.1. Simulación en Matlab del mapa logístico. a) Telaraña, xn+1(xn). b) Solución en el tiempo, xn(n)

110

Apéndice 2

La ecuación logística

Un punto de equilibrio ocurre en x* = 0 donde la grafica de la ecuación (A2.3) intersecta la línea de 45º. La construcción de la grafica de telaraña en la figura A2.1a permite iterar el mapa gráficamente. La telaraña muestra que el punto fijo x* = 0 es estable y único para r = 0.4.

A2.2 Doblamientos de Periodo Supóngase que se fija a r, se elige alguna población inicial x0 y entonces se usa (A2.2) para generar los subsecuentes xn’s. Para razones de crecimiento r < 1 la población siempre tiende a extinguirse, es decir, xn → 0 en tanto n → ∞. Una gráfica de la serie de tiempo xn contra n se ilustra en la figura A2.1b. Para 1 < r < 3 la población crece y eventualmente alcanza un estado estacionario diferente de cero. Esto se muestra en las gráficas de la figura A2.2 donde r = 2.8 y x0 = 0.35.

xn+1

1

1

0 . 9

0 . 9

0 . 8

0 . 8

0 . 7

0 . 7

0 . 6

0 . 6

0 . 5

xn+1

0 . 5

0 . 4

0 . 4

0 . 3

0 . 3

0 . 2

0 . 2

0 . 1

0 . 1

0

0

0 . 5

1

0

0

xn a)

5

1 0

1 5

2 0

n b)

Figura A2.2. Simulación en Matlab del mapa logístico. a) Telaraña, xn+1(xn). b) Solución en el tiempo, xn(n)

Para un valor de r más grande, por ejemplo mayor que r = 3.3, la población también es diferente de cero, pero ahora oscila alrededor del estado estacionario anterior (de la figura A2.2), alternando entre una población grande en una generación y una población pequeña en la siguiente (figura A2.3). Este tipo de oscilación, en la cual xn se repite cada dos iteraciones, se le conoce como ciclo de periodo 2.

111

Apéndice 2

xn+1

La ecuación logística

1

1

0 .9

0 .9

0 .8

0 .8

0 .7

0 .7

0 .6

0 .6

0 .5

xn+1

0 .5

0 .4

0 .4

0 .3

0 .3

0 .2

0 .2

0 .1

0 .1

0

0

0 .5

0

1

xn

0

5

1 0

1 5

n

a)

2 0

b)

Figura A2.3. Simulación en Matlab del mapa logístico. a) Telaraña, xn+1(xn). b) Solución en el tiempo, xn(n)

En un valor de r todavía más grande, por ejemplo r = 3.5, la población se aproxima a un ciclo que ahora se repite cada cuatro generaciones; el ciclo anterior se ha doblado en periodo a un ciclo de periodo 4 (figura A2.4).

xn+1

1

1

0 .9

0 .9

0 .8

0 .8

0 .7

0 .7

0 .6

0 .6

0 .5

xn+1

0 .5

0 .4

0 .4

0 .3

0 .3

0 .2

0 .2

0 .1

0 .1

0

0

0 .5

xn

a)

1

0

0

5

1 0

n

1 5

2 0

b)

Figura A2.4. Simulación en Matlab del mapa logístico. a) Telaraña, xn+1(xn). b) Solución en el tiempo, xn(n)

Más doblamientos de periodo a ciclos de periodo 8, 16, 32,..., ocurren en tanto r se incremente. Específicamente, denótese a rn con el valor de r cuando un ciclo de periodo 2n aparezca. Entonces se tiene que experimentos computacionales revelan que

112

Apéndice 2

La ecuación logística

Tabla A2.1. Valores del parámetro r con las respectivas periodicidades en xn

r1 = 3 r2 = 3.449... r3 = 3.54409… r4 = 3.5644… r5 = 3.568759… M r∞ = 3.569946…

(un ciclo de periodo 2 nace) 4 8 16 32 M ∞

Al final rn converge a un valor límite r∞. La convergencia es esencialmente geométrica: en el límite de una n muy grande, la distancia entre transiciones sucesivas se encoge por un factor constante δ = lim n→ ∞

rn − rn − 1 = 4.669K rn + 1 − rn

(A2.8)

A continuación se muestra lo que sucede para valores de r mayores a r∞. Para muchos valores de r, la sucesión {xn} nunca se establece en un punto fijo o una órbita periódica, sino que el comportamiento a largo plazo es aperiódico. Esto se muestra en las gráficas de la figura A2.5 (r = 3.9).

xn+1

1

1

0 . 9

0 . 9

0 . 8

0 . 8

0 . 7

0 . 7

0 . 6

0 . 6

0 . 5

xn+1

0 . 5

0 . 4

0 . 4

0 . 3

0 . 3

0 . 2

0 . 2

0 . 1

0 . 1

0

0

0 . 5

xn a)

1

0

0

5

1 0

1 5

2 0

n b)

Figura A2.5. Simulación en Matlab del mapa logístico. a) Telaraña, xn+1(xn). b) Solución en el tiempo, xn(n)

Se puede suponer que el sistema se vuelve más aperiódico conforme r se incremente, pero en realidad la dinámica es más sutil que esto. Para observar el comportamiento a largo plazo para todos los valores de r a la vez, se grafica un diagrama de órbitas (figura A2.6). Este diagrama es el mismo que se mostró de ejemplo en la figura 2.10 del capítulo 2.

113

Apéndice 2

La ecuación logística

Figura A2.6. Simulación en Matlab; diagrama de órbitas para el mapa logístico

La figura A2.6 grafica al atractor del sistema en función del parámetro r, y muestra la parte mas interesante, en la región 3.4 ≤ r ≤ 4. En r = 3.4, el atractor es un ciclo de periodo 2, como es indicado por las dos líneas. En tanto r se incrementa, ambas líneas se dividen simultáneamente, proporcionando un ciclo de periodo 4. La división es una bifurcación de doblamiento de periodo, y una cascada de más doblamientos de periodos ocurren conforme r se incremente. Como consecuencia aparecen ciclos de periodo 8, 16, etc., hasta que en r = r∞ ≈ 3.57, el mapa (ecuación (A2.2) ) llega a ser aperiódico y el atractor cambia de un conjunto finito de puntos a un conjunto infinito.

A2.3 Análisis matemático Los resultados numéricos de las figuras A2.1, A2.2 y A2.3 se pueden respaldar mediante análisis matemático. Véase primero el caso de las figuras A2.1 y A2.2, en las cuales el sistema cambia de punto de equilibrio al variar el parámetro r. Considérese la ecuación (A2.2) reescrita en (A2.9) x n + 1 = rx n (1 − x n )

(A2.9)

donde 0 ≤ xn ≤ 1 y 0 ≤ r ≤ 4. Los puntos de equilibrio satisfacen x * = f ( x *) = rx * (1 − x * )

(A2.10)

puesto que después de cada iteración de la ecuación (A2.9), se debe obtener el mismo valor x*. De la ecuación (A2.10) se observa que existe un punto de equilibrio en x* = 0 para 0 ≤ r ≤ 4. Existe otro punto de equilibrio que se deduce de la ecuación (A2.10):

114

Apéndice 2

La ecuación logística

x * = rx * (1 − x * ) 1 = r (1 − x * ) y por tanto, despejando x* x* = 1 −

1 r

(A2.11)

Para este punto de equilibrio, se debe satisfacer que el parámetro r ≥ 1 para que se cumpla que 0 ≤ xn ≤ 1. Ahora que se conocen los puntos de equilibrio de la ecuación (A2.9), y sus respectivos valores, se necesita saber si son estables o inestables. Para sistemas discretos existe un análisis de estabilidad como en el caso de sistemas continuos. Es decir, se supone una perturbación alrededor de un punto de equilibrio y se linealiza dicho equilibrio. En el caso de sistemas discretos se encuentran los parámetros llamados multiplicadores característicos, que son la analogía de los eigenvalores (o valores característicos) de sistemas continuos. Sin embargo, en sistemas discretos para que un punto de equilibrio sea estable, el multiplicador característico debe ser menor que uno; para que un equilibrio sea inestable, el multiplicador debe ser mayor a uno. Con esto en cuenta, a continuación se determina la estabilidad de los puntos de equilibrio del mapa logístico. Los multiplicadores se obtienen derivando (A2.9) y sustituyendo los valores de los puntos de equilibrio. Para el punto de equilibrio del origen se tiene que f ′(x * ) = r − 2 rx *

(A2.12)

f ′(0 ) = r

(A2.13)

y sustituyendo De aquí que el origen es estable si r < 1 e inestable si r > 1. En el otro punto de equilibrio (ecuación A2.11) 1  f ′(x * ) = r − 2 r  1 −  r  f ′(x * ) = 2 − r

(A2.14)

Por lo tanto el punto de equilibrio x* = 1 – 1/r es estable si -1 < (2 - r) < 1, es decir, si 1 < r < 3. El punto de equilibrio es inestable si r > 3. Estos resultados se pueden observar en un análisis gráfico mediante la figura A2.7.

115

Apéndice 2

La ecuación logística

Figura A2.7. Bifurcación transcrítica en el mapa logístico

Para r < 1 la parábola se posa debajo de la diagonal. Por tanto el origen es el único punto de equilibrio. Cuando r = 1 la altura de la parábola es mayor y es tangente a la diagonal. Cuando 1 < r < 3 la parábola intersecta a la diagonal en un segundo punto de equilibrio (A2.11), y el origen pierde su estabilidad. Por esta razón se dice que existe una bifurcación transcrítica en r = 1. Como se observa en la tabla A2.1, existe un ciclo de periodo 2 cuando el parámetro r = 3. Cuando nace un ciclo de periodo 2 se dice que existe una bifurcación flip. A continuación se presenta los análisis gráfico y matemático de la bifurcación flip en el mapa logístico, es decir, cuando el parámetro r cambia de un valor menor que 3 a uno mayor a 3. Un ciclo de periodo 2 existe si y solo si hay dos puntos p y q tales que

f (p ) = q

y

f (q ) = p

De la misma forma, p debe satisfacer que

f ( f (p )) = p donde f ( x ) = rx(1 − x ) . De aquí que p sea un punto de equilibrio del mapa de segunda iteración f 2 (x ) = f ( f (x ))

(A2.15)

Como f (x) es un polinomio de 2º orden, f 2 (x) es un polinomio de 4º orden. Su gráfica cuando r > 3 se muestra en la figura A2.8.

116

Apéndice 2

La ecuación logística

Figura A2.8. Bifurcación transcrítica en el mapa logístico

Para encontrar los valores

p

y

q

en la figura A2.8, se necesitan hallar las

intersecciones de la gráfica con la diagonal. Es decir, se necesita resolver la ecuación de 4º orden f

2

(x) = x. Sin embargo, ya se conocen dos de las intersecciones, los puntos de

equilibrio inestables x* = 0 y x* = 1 – 1/r . Por esta razón, el problema se puede reducir a resolver una ecuación de 2º orden. La expansión de la ecuación

o

f 2 (x ) = x

(A2.16)

f 2 (x ) − x = 0

(A2.17)

se realiza utilizando la ecuación (A2.15), obteniendo r 2 x(1 − x )[1 − rx(1 − x )] − x = 0

(A2.18)

Después de factorizar x y x* = 1 – 1/r por división larga, y resolviendo la ecuación cuadrática resultante, se obtiene un par de raíces p, q =

r +1±

(r − 3)(r + 1) 2r

(A2.19)

los cuales son reales cuando r > 3. Por esto, un ciclo de periodo 2 existe para toda r > 3. En r = 3, las raíces coinciden y son iguales a x* = 1 −

1 2 = r 3

(A2.20)

Cuando r < 3 las raíces son complejas, lo que significa que el ciclo de periodo 2 no existe. Para conocer el análisis de los demás doblamientos de periodo, véase la referencia [21], donde se detalla aún más el diagrama de órbitas de la figura A2.6.

117

Apéndice 3

Diagramas de estabilidad

Apéndice 3 Diagramas de estabilidad Los diagramas de estabilidad de las variables x2 y x3, tanto en el FAP como en el FAS, se muestran en este capítulo. Sin embargo, como se comentó en la sección 3.6.1 los diagramas de estabilidad de x1, en ambos filtros, son representativos de lo que sucede en las otras dos variables de estado de dichos filtros.

A3.1 Diagramas de estabilidad del FAP El hecho de que la información de los diagramas de estabilidad de x1 en el FAP sea representativa de lo que sucede con x2 y x3 es consecuencia de que las ecuaciones del FAP estás acopladas. Esto se puede ver en las ecuaciones diferenciales del modelo matemático del FAP que se presentó en el capítulo 1. A continuación se presentan los diagramas de estabilidad del FAP con PI, para x2 y x3, de la amplitud de los armónicos contra la inductancia del inductor y contra la resistencia del inductor. Se usó una sola gráfica para las dos variables porque son idénticas.

Figura A3.1. Diagrama de estabilidad de IP vs. L para x2 y x3. C.I.: x10 = 0, x20 = 220 y x30 = 220. T.S.: 0 a 2 segs.

118

Apéndice 3

Diagramas de estabilidad

con las especificaciones periodicidad caos caos transitorio caos intermitente

Figura A3.2. Diagrama de estabilidad de IP vs. R para x2 y x3. C.I.: x10 = 0, x20 = 220 y x30 = 220. T.S.: 0 a 2 segs.

A3.2 Diagramas de estabilidad del FAS Como en el FAP, la información de los diagramas de estabilidad de x1 en el FAP es representativa de lo que sucede con x2 y x3. Esto también es consecuencia de que las ecuaciones del FAS estás acopladas. Esto se puede ver en las ecuaciones diferenciales del modelo matemático del FAS que se presentó en el capítulo 1. Los diagramas de estabilidad del FAS con PI, para x2 y x3, se presentan en las siguientes cuatro figuras. Esto cuando varían de la amplitud de los armónicos contra la inductancia del inductor, contra la resistencia del inductor, contra la inductancia del transformador y contra la resistencia del transformador. Se usó una sola gráfica para dos variables porque son idénticas.

Figura A3.3. Diagrama de estabilidad de VPP vs. L para x2 y x3. C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 0 a 2 segs.

119

Apéndice 3

Diagramas de estabilidad

con las especificaciones que se usaron en el FAP.

Figura A3.4. Diagrama de estabilidad de VPP vs. R para x2 y x3. C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 0 a 2 segs.

Figura A3.5. Diagrama de estabilidad de VPP vs. Lt para x2 y x3. C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 0 a 2 segs.

Figura A3.6. Diagrama de estabilidad de VPP vs. Rt para x2 y x3. C.I.: x10 = 0, x20 = 0 y x30 = 200. T.S.: 0 a 2 segs.

120