TALLER 3 ESTADISTICA I Profesor: Giovany Babativa 1. Un experimento consiste en lanzar un par de dados corrientes. Sea la variable aleatoria X la suma de los dos n´ umeros. a. Determine el espacio muestral del experimento aleatorio. b. Halle la funci´ on de probabilidad de la variable aleatoria X. c. Calcule el valor esperado, varianza, desviaci´on est´andar y coeficiente de variaci´on. 2. Un juego consiste en lanzar dos dados, antes de lanzarlos usted apuesta a un resultado basado en la suma de los n´ umeros de los dos dados. Por cada apuesta de $1 que usted haga puede: perder $1 si la suma es 5, 6, 7 u 8; ganar $1 si la suma es 3, 4, 9, 10 u 11; o ganar $2 si la suma es 2 ´ o 12. a. Determine la funci´ on de distribuci´ on de apostar $1. b. ¿cu´ al es la utilidad o p´erdida que puede esperar a la larga el jugador con apuestas de $1?. Interprete. c. ¿Participar´ıa Ud. en este juego? ¿Por qu´e? 3. En el juego Albur del Siete se tira una vez un par de dados corrientes y la suma de los dos resultados determina si el jugador gana o pierde la apuesta. El jugador puede apostar $1 a que la suma ser´ a menor que siete, si esto ocurre el ganar´a $1 de lo contrario perder´a $1; de igual manera el jugador puede apostar $1 a que la suma ser´a mayor que 7, si esto ocurre ´el ganar´a $1 o de lo contrario perder´ a $1. La otra forma es que el jugador apueste $1 a que la suma de los dos dados ser´ a 7, si esto ocurre el jugador ganar´a $4 y en caso contrario perder´a $1. a. Determine la distribuci´ on de probabilidad que representa los diferentes resultados que son posibles en una apuesta de $1 a que sea menor que 7. b. Determine la distribuci´ on de probabilidad que representa los diferentes resultados que son posibles en una apuesta de $1 a que sea mayor que 7. c. Determine la distribuci´ on de probabilidad que representa los diferentes resultados que son posibles en una apuesta de $1 a que sea igual a 7. d. Pruebe que la utilidad (o p´erdida) esperada por el jugador es siempre la misma independiente del m´etodo de juego utilizado. e. ¿Participar´ıa Ud. en este juego? ¿Por qu´e? 4. Un Empleado del Estadio Nemesio Camacho El Camp´ın, debe elegir entre trabajar detr´as de un mostrador vendiendo perros calientes y recibir una suma fija de $50000 diarios o andar entre las tribunas vendiendo cerveza con un salario por comisi´on. Si se elige este u ´ltimo, el empleado puede ganar $90000 en un d´ıa caluroso, $70000 en un d´ıa moderado, $45000 en un d´ıa fresco y $15000 en un d´ıa fr´ıo. Si en esta ´epoca del a˜ no las probabilidades de un d´ıa caluroso, moderado, fresco y fr´ıo son respectivamente 0.1, 0.3, 0.4 y 0.2. Determine:

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a. El salario esperado en un d´ıa, si el empleado decide vender cerveza. b. Calcule la desviaci´ on est´ andar y coeficiente de variaci´on. c. ¿Que producto debe elegir el empleado? ¿Por qu´e? (Ayuda: Use el teorema de Chebyshev) 5. Una Loter´ıa local se juega con n´ umeros de 4 d´ıgitos (desde el 0000 hasta el 9999); cada billete de loter´ıa cuesta $9500. Se seleccionan aleatoriamente 6 ganadores: un ganador del premio mayor de $20000000, un ganador del segundo premio de $10000000, un ganador del tercer premio de $5000000 y otros tres ganadores de $1000000 cada uno. a. Calcule la ganancia o p´erdida esperada al jugar en esta loter´ıa. b. ¿Participar´ıa en este juego? ¿Por qu´e? 6. Un juego de dados consiste en lanzarlos, antes de ello se debe realizar una apuesta que consiste en que por cada apuesta de $1 que usted haga, puede perder $1 si la suma es 5, 6, 7 u 8; ganar $1 si la suma es 3, 4, 9, 10 u 11; ´ o puede ganar $2 si la suma es 2 ´o 12. a. Determine la distribuci´ on de probabilidad que represente los diferentes resultados que son posibles cuando se apuesta $1. b. Determine la funci´ on de distribuci´ on. c. ¿Cu´ al es la p´erdida o ganancia esperada por el jugador? 7. Usted se encuentra en el Casino ”La Fortuna”disfrutando de un nuevo juego que consta de dos urnas; cada una de ellas con dos cajones. La urna 1 tiene un caj´on con una moneda de oro y el otro con una moneda de plata. La urna 2 tiene una moneda de oro en cada caj´on. Usted selecciona una de estas urnas de acuerdo al lanzamiento de una moneda; si cae cara selecciona la urna 1 y si es sello la urna 2. Para la selecci´on de los cajones en la urna 1 se tiene la siguiente condici´ on: De una baraja seleccionan tres cartas aleatoriamente, si se obtiene al menos un As se escoge el caj´ on de la moneda de oro; de lo contrario, se abrir´a el otro caj´on. Para la selecci´on de los cajones de la urna 2 se lanza una moneda. Se gana un peso por cada oro que obtenga. a. En su primer juego gana una moneda de oro, cual es la probabilidad que esta provenga de la urna 2? b. Si usted obtiene la moneda de plata perder´a un peso, ¿Cual es la probabilidad que esto ocurra? c. ¿Cu´ al es la probabilidad de ganar en el quinto intento, si en los cuatro anteriores perdi´o 4 pesos? d. ¿Cu´ al es la utilidad o p´erdida esperada despu´es de 7 juegos? e. ¿Participar´ıa en este juego? ¿Por qu´e? 8. La probabilidad de que un asesor de un banco venda un portafolio a una persona elegida aleatoriamente del directorio telef´ onico es de 0.03. Si el asesor le habla a 10 personas en una tarde, ¿cu´ al es la probabilidad de que a. no venda ning´ un portafolio? b. venda exactamente 3 portafolios? c. venda por lo menos un portafolio? d. venda a los sumo 7 portafolios?

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9. Suponga que el n´ umero de part´ıculas radioactivas que se emiten de un reactor es de 30 por segundo. ¿Cu´ al es la probabilidad que no se emita alguna part´ıcula en un intervalo de 30 segundos?, ¿cu´ al es la probabilidad que se emitan 5 part´ıculas en un intervalo de 10 segundos?, ¿cu´al es la probabilidad que se emitan m´ as de 5 part´ıculas en un intervalo de 10 segundos? 10. Seg´ un los registros de la polic´ıa, en determinada ciudad ocurren 4.2 accidentes de tr´ansito al d´ıa. ¿ Cu´ al es la probabilidad de que haya a. menos de 3 accidentes en un d´ıa particular? b. no m´ as de dos accidentes en un d´ıa? c. m´ as de tres accidentes en un d´ıa? 11. Un grupo de nueve estudiantes, de los cuales tres son menores de edad, desean entrar a una discoteca; si el vigilante le pide la c´edula a solo cuatro de los estudiantes, ¿cu´al es la probabilidad de que el vigilante identifique a a. dos menores de edad? b. ninguno de los menores de edad? c. por lo menos uno de los menores de edad? 12. Un agente de seguros dedicado a la venta de seguros de vida realiza visitas a posibles clientes con el fin de contratar un seguro de vida. Se sabe de su trayectoria como agente que en el 60 % de las visitas tiene ´exito y contrata un seguro. Si un d´ıa particular el agente piensa visitar 10 clientes, ¿cu´ al es la probabilidad de que venda al menos 3 seguros de vida?. 13. El gerente de control de calidad de la compa˜ n´ıa de galletas MOEL est´a inspeccionando una producci´ on de las galletas de chispas de chocolate que acaban de salir. Si el proceso de producci´on est´ a bajo control, el n´ umero promedio de chispas es de 6. ¿Cu´al es la probabilidad de que en cualquier galleta inspeccionada a. se encuentren m´ as de 6 chispas? b. se encuentre exactamente 4 chispas? c. menos de 3 chispas? 14. En un examen la media de las calificaciones fue de 74 con una desviaci´on est´andar de 7. Si al 12 % de la clase se le otorga una calificaci´on de ”Muy Bien y las calificaciones siguen una distribuci´ on normal, ¿cu´ al es la calificaci´ on de ”Muy Bien”m´as baja posible? 15. El n´ umero de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos del hospital de Kennedy en un d´ıa cualquiera, tiene media de siete personas por d´ıa. ¿Cu´al es la probabilidad de que el n´ umero de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos en un d´ıa particular sea igual a tres?, ¿menor o igual que tres? 16. En una central telef´ onica se reciben en promedio 300 llamadas cada hora. Adem´as no se pueden establecer m´ as de 12 conexiones por minuto. Calcular: a. Probabilidad de que quede rebasada en un minuto dado. b. Probabilidad de que se reciba una sola llamada en un minuto dado. 17. La probabilidad de que un coche se accidente en un cierto tramo en la v´ıa Bogot´a-Melgar es 0.0001. Si recorren ese tramo 20000 autos, ¿Cu´al es la probabilidad de que se produzcan a lo sumo 5 accidentes en ese tramo de la carretera?

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18. Una Urna contiene 10 balotas Rojas, 8 Negras y 5 Blancas. Si se selecciona una muestra de tama˜ no 5 sin reemplazamiento, ¿Cu´ al es la probabilidad de que salgan exactamente 2 balotas rojas en la muestra?, ¿Qu´e salga por lo menos 1 balota blanca? 19. Una secretaria comete en promedio 2 errores mecanogr´aficos por p´agina. ¿Cu´al es la probabilidad de que en la siguiente p´ agina tenga por lo menos 4 errores 20. Suponga que la variable aleatoria Z sigue una distribuci´on normal est´andar, Halle: a. P (Z < −1,2) b. P (Z > 1,2) c. P (−1,7 < Z < 1,2) d. P (−1,7 < Z < −1,2) 21. Suponga que la variable aleatoria Z sigue una distribuci´on normal est´andar, Halle k si: a. P (Z < k) = 0,7. b. P (Z < k) = 0,25 c. P (Z > k) = 0,6 d. P (Z > k) = 0,3 e. P (−1,96 < X < k) = 0,95 22. El di´ ametro de los pernos de una f´ abrica tiene una distribuci´on normal con media de 950 mil´ımetros y una desviaci´ on est´ andar de 10 mil´ımetros. a. ¿Cu´ al es la probabilidad de que un perno escogido al azar tenga un di´ametro entre 948 y 955 mil´ımetros? b. ¿Cu´ al es el valor apropiado de c para que el perno escogido al azar tenga un di´ametro menor que c con una probabilidad de 0.8531 ?. 23. El coeficiente de inteligencia es una variable aleatoria que se distribuye normal N (100, 16). Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un coeficiente: a. inferior a 120. b. entre 118 y 122. 24. Suponga que la cantidad de dinero que gastan los estudiantes en libros en un a˜ no es una variable aleatoria con una distribuci´ on normal que tiene una media de $380,000 pesos y una desviaci´on est´ andar de $50,000. a. ¿Cu´ al es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de $400.000 pesos en libros en un a˜ no? b. ¿Cu´ al es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste m´as de $360.000 pesos en libros en un a˜ no? c. Explique gr´ aficamente por qu´e la respuestas de los dos literales anteriores son iguales. d. ¿Cu´ al es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre $250.000 y $380.000 pesos en libros en un a˜ no? 25. Las calificaciones de un examen siguen una distribuci´on normal. ¿Cu´al es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar obtenga una calificaci´on mayor que la media m´as 1.5 desviaciones est´ andar?

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26. El canal Caracol desea lanzar una novela. El gerente de mercadeo del canal cree que su incertidumbre sobre el ´ındice de audiencia que tendr´a esta novela durante el primer mes es una variable aleatoria con distribuci´ on normal con media 18,2 y una desviaci´on est´andar de 1.6. es de 0.1. Seg´ un el gerente, la probabilidad de que la audiencia sea menos de 27. Las calificaciones de un examen siguen una distribuci´on normal con media 700 y desviaci´on est´ andar de 120. a. Se concede sobresaliente por una calificaci´on de m´as de 820. ¿Qu´e proporci´on de todos los estudiantes obtiene sobresaliente? b. Se decide suspender al 5 % de los estudiantes que tienen las calificaciones m´as bajas ¿ Cu´al debe ser la calificaci´ on m´ınima para evitar ser suspendido? 28. Un estudiante viaja diariamente desde su hogar hasta la universidad. En promedio, el viaje le toma 24 minutos con una desviaci´ on est´ andar de 3.8 minutos. Suponga que la distribuci´on del tiempo del viaje es normal a. ¿cu´ al es la probabilidad de que un viaje requiera de por lo menos media hora? b. Si la primera clase la tiene todos los d´ıas a las 6:00 pm y el estudiante siempre sale a las 5:45 pm de su casa, ¿que porcentaje de veces llega tarde? c. ¿A que hora m´ aximo debe salir el estudiante de su casa si no quiere llegar a m´as del 15 % de las clases tarde? 29. Suponga que un instructor asume que las calificaciones finales de un estudiante son los valores de una variable aleatoria X con distribuci´on normal con media µ y varianza σ 2 . El instructor decide asignar calificaci´ on A a aquellos estudiantes cuyo puntaje exceda a µ + σ , B a aquellos cuyo puntaje este entre µ y µ + σ, C a aquellos con puntajes entre µ − σ y µ, D a aquellos cuyo puntaje este entre µ − 2σ y µ − σ, y F a los que tengan un puntaje inferior a µ − 2σ. Encontrar el porcentaje de estudiantes que obtienen una A. 30. La esperanza de una variable aleatoria X normal es 5 veces la desviaci´on est´andar. Adem´as se sabe que P (X ≤ 6) = 0,84134. Calcular µ y σ.