´ UNIVERSIDAD CATOLICA DEL MAULE ´ FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS ´ ´ PEDAGOG´IA EN MATEMATICA Y COMPUTACION

TALLER N◦ 7 DE ESTAD´ISTICA

Alumno

: : Carrera : Profesor de C´atedra : Fecha :

Victor C´ordova Cornejo ([email protected]) Rodrigo Guti´errez Aguilar ([email protected]) Pedagog´ıa en Matem´atica y Computaci´on Marcelo Rodr´ıguez 18/01/2012

Universidad Cat´olica Del Maule Facultad de Ciencias B´asicas Pedagog´ıa en Matem´atica Y Computaci´on Estad´ıstica I

Taller 7 - Regresi´on curvilinea-multiple 23 de Enero del 2012.

Problema 1. Un banco en Atlanta que se especializa en cr´editos para vivienda intenta analizar el mercado de finca ra´ız, midiendo el poder explicativo que las tasas de inters tienen sobre el n´ umero de casas vendidas en el ´area. Se compilaron los datos para un per´ıodo de 10 meses, as´ı: Mes Inter´ es Casas

1 12,3 196

2 10,5 285

3 15,6 125

4 5 9,5 10,5 225 248

6 9,3 303

7 8,7 265

8 14,2 102

9 10 15,2 12 105 114

1. Ajuste una ecuaci´on de regresi´on lineal simple y = β0 + β1 · x, adem´as calcule r2 . Desarrollo: Sean: x= Inter´es (Variable Independiente). y= N◦ de casas vendidas (Variable Dependiente).

Prom

xi yi (xi − x) 12,3 196 0,52 10,5 285 -1.28 15,6 125 3,82 9,5 225 -2,28 10,5 248 -1,28 9,3 303 -2,48 8,7 265 -3,08 14,2 102 2,42 15,2 105 3,42 12 114 0,22 11,78 196,8 Suma 0

(yi − y) (xi − x)(yi − y) (xi − x)2 -0,8 -0,416 0,2704 88,2 -112,896 1,6384 -71,8 -274,276 14,5924 28,2 -64,296 5,1984 51,2 -65,536 1,6384 106,2 -263,376 6,1504 68,2 -210,056 9,4864 -94,8 -229,416 5,8564 -91,8 -313.956 11,6964 -82,8 -18,216 0,0484 0 -1552,44 56,576

Par´ametros: β1

=

Sxy Sxx 10 X

=

(xi − x)(yi − y)

i=1 10 X

(xi − x)2

i=1

= ∴ β1

−1552, 44 56, 576

= −27, 44

(yi − y)2 0,64 7779,24 5155,24 795,24 2621,44 11278,44 4651,24 8987,04 8427,24 6855,84 56551,6

β0

∴ β0

= y − β1 · x =

196, 8 − (−27, 44 · 11, 78)

=

196, 8 + 323, 2432

=

520, 0432

Ecuaci´ on de regresi´ on lineal simple: y = 502, 0432 − 27, 44 · x r2 : 2



10 X   

r2

=

(xi − x)(yi − y) 

i=1 10 X

(xi − x)2 ·

i=1

∴ r2



10 X

(yi − y)2

i=1

=

(−1552, 44)2 56, 576 · 56551, 6

=

2410069, 954 3199463, 3322

=

0, 753

Diagrama de dispersi´on y curva de regresi´on (lineal simple).

2. Ajuste una ecuaci´on logar´ıtmica y = β0 + β1 · ln[x] adem´as calcule r2 . Desarrollo: Sean: x= Inter´es (Variable Independiente). y= N◦ de casas vendidas (Variable Dependiente).

Prom

ti = ln(xi ) 2,51 2,35 2,75 2,25 2,35 2,23 2,16 2,65 2,72 2,50 2,45

yi (ti − t) (yi − y) (ti − t)(yi − y) 196 0,06 -0,8 -0,048 285 -0,1 88,2 -8,82 125 0,3 -71,8 -21,54 225 -0,2 28,2 -5,64 248 -0,1 51,2 -5,12 303 -0,22 106,2 -23,364 265 -0,29 68,2 -19,778 102 0,2 -94,8 -18,96 105 0,27 -91,8 -24,786 114 0,05 -82,8 -4,14 196,8 Suma -0,03 0 -132,196

Par´ametros: β1

=

Sty Stt 10 X

=

(ti − t)(yi − y)

i=1 10 X

(ti − t)2

i=1

= ∴ β1 β0

∴ β0

−132, 196 0, 4015

= −329, 26

= y − β1 · t =

196, 8 − (−329, 26 · 2, 45)

=

196, 8 + 806, 687

=

1003, 487

Ecuaci´ on de ecuaci´ on logar´ıtmica: y = 1003, 487 − 329, 26 · t como t = ln(x), entonces ∴ y = 1003, 487 − 329, 26 · ln(x)

(ti − t)2 0,0036 0,01 0,09 0,04 0,01 0,0484 0,0841 0,04 0,0729 0,0025 0,4015

(yi − y)2 0,64 7779,24 5155,24 795,24 2621,44 11278,44 4651,24 8987,04 8427,24 6855,84 56551,6

r2 : 2



10 X   

r2

=

(ti − t)(yi − y)  

i=1 10 X

2

(ti − t) ·

i=1

∴ r2

10 X

(yi − y)2

i=1

=

(−132, 196)2 0, 4015 · 56551, 6

=

17475, 78242 22705, 4674

=

0, 77

Diagrama de dispersi´on y curva de regresi´on (logar´ıtmica).

3. Ajuste una ecuaci´on potencia y = β0 · xβ1 adem´as calcule r2 . Desarrollo: Sean: x= Inter´es (Variable Independiente). y= N◦ de casas vendidas (Variable Dependiente). Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Pro

ti = ln(xi ) 2,51 2,35 2,75 2,25 2,35 2,23 2,16 2,65 2,72 2,50 2,45

wi = ln(yi ) (ti − t) 5,28 0,06 5,65 -0,1 4,83 0,3 5,42 -0,2 5,51 -0,1 5,71 -0,22 5,58 -0,29 4,63 0,2 4,65 0,27 4,74 0,05 5,2 Sum -0,03

(wi − w) 0,08 0,45 -0,37 0,22 0,31 0,51 0,38 -0,57 -0,55 -0,46 0

(ti − t)(wi − w) (ti − t)2 0,0048 0,0036 -0,045 0,01 -0,111 0,09 -0,044 0,04 -0,031 0,01 -0,1122 0,0484 -0,1102 0,0841 -0,114 0,04 -0,1485 0,0729 -0,023 0,0025 -0,7341 0,4015

Par´ametros: β1

=

Stw Stt 10 X

=

(ti − t)(wi − w)

i=1 10 X

(ti − t)2

i=1

∴ β1 b

∴b

=

−0, 7341 0, 4015

=

−1, 828393524

≈

−1, 83

=

w − β1 · t

=

5, 2 − (−1, 828393524 · 2, 45)

=

5, 2 + 4, 479564134

=

9, 679564134

≈ 9, 68

As´ı β0 = e9,679564134 ≈ 15988, 8 Ecuaci´ on de la curva de regresi´ on potencial: ∴ y = 15988, 8 · x−1,83

(wi − w)2 0,0064 0,2025 0,1369 0,0484 0,0961 0,2601 1,444 0,3249 0,3025 0,2116 2,7085

r2 : 2



10 X   

r2

=

(ti − t)(yi − y)  

i=1 10 X

2

(ti − t) ·

i=1

∴ r2

10 X

(yi − y)2

i=1

=

(−0, 7341)2 0, 4015 · 2, 7085

=

0, 53890281 1, 08746275

=

0, 495559788

Diagrama de dispersi´on y curva de regresi´on (Potencia).

4. Ajuste una ecuaci´on compuesto y = β0 · β1 x adem´as calcule r2 . Desarrollo: Sean: x= Inter´es (Variable Independiente). y= N◦ de casas vendidas (Variable Dependiente).

Prom

xi wi = ln(yi ) (xi − x) (wi − w) 12,3 5,28 0,52 0,08 10,5 5,65 -1.28 0,45 15,6 4,83 3,82 -0,37 9,5 5,42 -2,28 0,22 10,5 5,51 -1,28 0,31 9,3 5,71 -2,48 0,51 8,7 5,58 -3,08 0,38 14,2 4,63 2,42 -0,57 15,2 4,65 3,42 -0,55 12 4,74 0,22 -0,46 11,78 5,2 Sum 0 0

(xi − x)(wi − w) 0,0416 -0,576 -1,4134 -0,5016 -0,3968 -1,2648 -1,1704 -1,3794 -1,881 -0,1012 -8,643

Par´ametros: m

=

Sxw Sxx 10 X

=

(xi − x)(wi − w)

i=1 10 X

(xi − x)2

i=1

=

−8, 643 56, 576

=

−0, 152767958

∴m ≈ b

−0, 15

= w−m·x =

5, 2 − (−0, 152767958 · 11, 78)

=

5, 2 + 0, 152767958

∴b =

6, 999606547

Ecuaci´ on de la curva de regresi´ on compuesto: w = 7, 3 − 0, 152767958 · x como w = ln(y), entonces ln(y) = 6, 999606547 − 0, 152767958 · x.

(xi − x)2 0,2704 1,6384 14,5924 5,1984 1,6384 6,1504 9,4864 5,8564 11,6964 0,0484 56,576

(wi − w)2 0,0064 0,2025 0,1369 0,0484 0,0961 0,2601 0,1444 0,3249 0,3025 0,2116 2,2693

Luego y = e6,999606547 · e−0,152767958·x ∴ y = 1096, 2 · 0, 86x r2 :    

r2

=

10 X

2

(xi − x)(wi − w)  

i=1 10 X

2

(xi − x) ·

i=1

∴ r2

10 X

(wi − w)2

i=1

=

(−8, 643)2 56, 576 · 2, 2693

=

74, 701449 128, 3879168

=

0, 58184174

Diagrama de dispersi´on y curva de regresi´on (Compuesto).

5. Ajuste una ecuaci´on inverso y = β0 + β1 ·

1 adem´as calcule r2 . x

Desarrollo: Sean: x= Inter´es (Variable Independiente). y= N◦ de casas vendidas (Variable Dependiente). 1 xi 0,081 0,095 0,064 0,105 0,095 0,107 0,115 0,071 0,066 0,083 0,0882

ti =

Prom

(ti − t)

yi 196 285 125 225 248 303 265 102 105 114 196,8 Suma

(yi − y) (ti − t)(yi − y)

-0,0072 0,0068 -0,0242 0,0168 0,0068 0,0188 0,0268 -0,0172 -0,0222 -0,0052 0

-0,8 88,2 -71,8 28,2 51,2 106,2 68,2 -94,8 -91,8 -82,8 0

0,005768 0,59976 1,73756 0,47376 0,34816 1,99656 1,82776 1,63056 2,03796 0,43056 11,088408

Par´ametros: β1

=

Sty Stt 10 X

=

(ti − t)(yi − y)

i=1 10 X

(ti − t)2

i=1

∴ β1 β0

∴ β0

=

11, 088408 0, 0028996

=

3824, 12

= y − β1 · t =

196, 8 − (3824, 12 · 0, 0882)

=

196, 8 − 337, 3

= −140, 5

Ecuaci´ on de la curva de regresi´ on inversa: y = −140, 5 + 3824, 12 · t como t =

1 , entonces x ∴ y = −140, 5 + 3824, 12 ·

1 x

(ti − t)2

(yi − y)2

0,00005184 0,64 0,00004624 7779,24 0,00058564 5155,24 0,00028224 795,24 0,00004624 2621,44 0,035344 11278,44 0,00071824 4651,24 0,00029584 8987,04 0,00049284 8427,24 0,00002704 6855,84 0,0028996 56551,6

r2 : 2



10 X   

r2

=

(ti − t)(yi − y)  

i=1 10 X

2

(ti − t) ·

i=1

∴ r2

10 X

(yi − y)2

i=1

=

(11, 088408)2 0, 0028996 · 56551, 6

=

122, 952792 163, 9770194

=

0, 75

Diagrama de dispersi´on y curva de regresi´on (inversa).

6. Si la tasa de inters es del 9,5 %, ¿cu´antas casas se vender´ıan de acuerdo a cada uno de los modelos? -Modelo Lineal: Si x = 9, 5 entonces y = 502, 0432 − 27, 44 · 9, 5 y ≈ 241 -Modelo Logar´ıtmico: Si x = 9, 5 entonces y = 1003, 487 − 329, 26 · ln(9, 5) y ≈ 262 -Modelo Potencial: Si x = 9, 5 entonces y = 15988, 8 · 9, 5−1,83 y ≈ 260 -Modelo Compuesto: Si x = 9, 5 entonces y = 1096, 2 · 0, 869,5 y ≈ 262 -Modelo Inverso: Si x = 9, 5 entonces y = −140, 5 + 3824, 12 ·

1 9, 5

y ≈ 262 7. De los modelos ¿cu´al utilizar´ıa? Para escojer que modelo entrega una mejor reprensetativad utilizaremos los valores de r2 entregados por el SPSS, ya que entrega valores m´as reales, pues nuestros datos son aproximaciones. -Modelo -Modelo -Modelo -Modelo -Modelo

Lineal: r2 = 0, 753 Logar´ıtmico: r2 = 0, 760 Potencial: r2 = 0, 763 Compuesto: r2 = 0, 759 Inverso: r2 = 0, 755

De acuerdo a lo anterior, podemos decir que el modelo que entrega una mejor representatividad es el modelo Potencial.

Problema 2. Considere los siguienes datos y 43 44 45 46 49 49

x1 -2 -2 -2 2 2 2

x2 -1 1 -1 1 -1 1

1. Considere el siguiente modelo yb = βb0 + βb1 · x1 + βb2 · x2 ,  Escriba el modelo en forma matricial. Desarrollo Primeramente debemos identificar las matrices tanto de los coeficioentes, contantes como las ic´ognitas     43 1 −2 −1 44 1 −2 1        β0 45   ; X = 1 −2 −1 y βb = β1  Y = 46 1 2 1     β2 49 1 2 −1 49 1 2 1 Luego mi modelo en forma matricial ser´ıa de la    43 1 −2 44 1 −2    45 1 −2   ∴ 46 = 1 2    49 1 2 49 1 2

siguiente manera  −1   1  β  −1  0  · β1 1  β2 −1 1

 Encuentre las matrices: X T · X, (X T · X)−1 y X T · Y Desarrollo Antes de encontrar la matriz, debemos identificar la traspuesta de mi matriz X, lo que es:   1 1 1 1 1 1 X T = −2 −2 −2 2 2 2 −1 1 −1 1 −1 1 Enseguida calculamos el valor de 1) X T · X Como ya tenemos X y X T , ahora solo debemos calcular el producto de esas matrices que est´a dado por:   1 −2 −1   1 −2 1    1 1 1 1 1 1   −2 −2 −2 2 2 2 · 1 −2 −1 1 2 1   −1 1 −1 1 −1 1 1 2 −1 1 2 1

el orden de la matriz es de 3x6 y el orden de la segunda matriz es 6x3, por ende mi matriz resultante va a ser de orden 3x3, entonces realizando el producto llegamos a que:   6 0 0 X T · X = 0 24 4 0 4 6 2) (X T · X)−1 aplicando operaciones elementales fila, llegamos que mi matriz ampliada (X T · X/I3x3 ) llegamos a nuestra matriz inversa que es:  1 0 0 6     T −1 −1 3  0 (X · X) =  64 32     3 −1 0 32 16 3) X T · Y Para encontrar ese producto matricial solo debe reemplazar nuestras matrices y operar. entonces   1 1 1 1 1 1 X T = −2 −2 −2 2 2 2 −1 1 −1 1 −1 1 e   43 44   45  Y = 46   49 49   276 T  Entonces X · Y = 24  2  Encuentre los par´ametros del modelo y plantee la ecuaci´on de regresi´on.  1 0 0 6     276   T −1 T 3 −1   b  β = (X · X) · X · Y =  0 64 32  · 24    2 −1 3 0 32 16   46  17    ∴ βb =  16   3 − 8 Entonces la ecuaci´on de regresi´on es: yb = 46 +

17 3 · x1 − · x2 16 8

2. Considere el siguiente modelo yb = βb0 + βb1 · x21 .  Escriba el modelo en forma matricial. Desarrollo Primeramente debemos  identificar  las 43 1 44 1    45  ; X = 1 mo las ic´ognitas Y =  46 1    49 1 49 1

matrices tanto de los coeficientes, constantes co 4 4    4  y βb = β0 4 β1   4 4

Luego mi modelo en forma matricial ser´ıa de la siguiente manera     43 1 4 44 1 4       45 1 4 β0    · ∴ =  β1 46 1 4     49 1 4 49 1 4  Encuentre las matrices: X T · X, (X T · X)−1 y X T · Y Desarrollo Antes de encontrar la matriz, debemos identificar la traspuesta de mi matriz X, lo que es:   1 1 1 1 1 1 T X = 4 4 4 4 4 4 Enseguida calculamos el valor de 1) X T · X Como ya tenemos X y X T , ahora solo debemos calcular el producto de esas matrices que est´a dado por:   1 4     1 4   1 1 1 1 1 1 1 4   ·  4 4 4 4 4 4  1 4   1 4  1 4 el orden de la matriz es de 2x6 y el orden de la segunda matriz es 6x2, por ende mi matriz resultante va a ser de orden 2x2, entonces realizando el producto llegamos a que:   6 24 T X ·X = 24 96 2) (X T · X)−1 T

Como el determinante de X ·X =

   6 24 6 24 es 0, = (6 · 96) − (24 · 24) = 0 24 96 24 96



La matriz X T · X no tiene inversa, as´ı (X T · X)−1 no existe.

3) X T · Y Para encontrar ese producto matricial solo debe reemplazar nuestras matrices y operar. entonces   1 1 1 1 1 1 T X = 4 4 4 4 4 4 e   43 44   45  Y = 46   49 49   276 Entonces X T · Y = 1104  Encuentre los par´ametros del modelo y plantee la ecuaci´on de regresi´on. Es imposible obtener los par´ametros, ya que de acuerdo al producto matricial βb = (X T · X)−1 · (X T · Y ), necesitamos obtener la matriz inversa de M = (X T · X), matriz que no existe pues |M | = 0, y de este modo no es posible plantear la ecuaci´on de regresi´on.