InnOvaciOnes de NegOciOs 5(1): 53 - 65, 2008 © 2008 UANL, Impreso en México (ISSN 1665-9627)

Tamaño óptimo de la muestra (Optimum sample size) Badii, M.H., J. Castillo & A. Guillen

UANL, San Nicolás, N.L, México, [email protected] Key words: Bias, estimation, population, sample Abstract. The basics of sample size estimation process are described. Assuming the normal distribution, the procedures for estimation of sample size for the mean; with and without knowledge of the population variance, and population proportion are noted. Sample size for more than one population feature is also given. Palabras clave: Estimación, muestra, población, sesgo Resumen. Se describen los fundamentos del proceso de la estimación del tamaño óptimo de la muestra. Suponiendo una distribución normal para una población, se notan los procedimientos de la estimación del tamaño óptimo de la muestra para la media muestral con y sin el conocimiento de la varianza poblacional. Se presenta el tamaño óptimo de la muestra con más de una característica poblacional.

Introducción La pregunta de qué tan grande debe ser una muestra surge inmediatamente al inicio del planteamiento de cualquier encuesta o experimento (Badii et al., 2006, Badii & Castillo, 2007, Badii et al., 2007a, b). Esta es una pregunta importante y no se debe tratar a la ligera. Tomar una muestra más grande de lo necesario para obtener los resultados deseados es un desperdicio de recursos, mientras que, por otro lado, las muestras demasiado pequeñas con frecuencia dan resultados que carecen de uso práctico, y podemos fallar en la obtención de los objetivos de nuestro análisis. Tenemos algo de error de muestreo debido a que no hemos estudiado a la población completa. Siempre que tomamos una muestra, perdemos algo de información útil con respecto a la población. Si queremos tener un alto grado de precisión, tenemos que tomar una muestra suficiente de la población para asegurarnos la obtención de la información requerida. El error de muestreo se Tamaño óptimo de la muestra

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puede controlar si seleccionamos una muestra cuyo tamaño sea el adecuado. En general, cuenta más precisión se quiera, más grande será el tamaño de la muestra necesaria. En este trabajo se estudia cómo determinar el tamaño de la muestra de acuerdo con la situación de cada experimento. A continuación se proporciona un método para determinar el tamaño de la muestra cuando se desea estimar la proporción de una población. Mediante extensiones directas de estos métodos, es posible determinar el tamaño necesario de las muestras para situaciones más complicadas. Por lo tanto, el objetivo de la estimación por intervalos es el de obtener intervalos estrechos con alta confiabilidad. Si se observan los componentes de un intervalo, se ve que su dimensión está determinada por la magnitud de la cantidad: (Coeficiente de confiabilidad) X (error estándar) ya que la magnitud total del intervalo es el doble de esta cantidad. Para un determinado error estándar, el aumento de confiabilidad implica un coeficiente de contabilidad mayor, para un error estándar fijo, produce un intervalo de mayor dimensión. Por otra parte, si se fija el coeficiente de confiabilidad, la única forma de reducir la dimensión del intervalo es la

σ

y σ es n una constante, la única forma de obtener un error estándar menor es tomar una muestra grande. ¿Qué tan grande debe ser la muestra? Esto depende del tamaño de que es la desviación estándar de la población, así como del grado de confiabilidad y dimensión del intervalo deseados. Supóngase que se desea obtener un intervalo que se extiende d unidades hacia uno y otro lado de estimador. Ello se enuncia: reducción del error estándar. Dado que el error estándar es igual

d = (Coeficiente de confiabilidad) X (error estándar)

(1)

Si el muestreo va ser con reemplazos, a partir de una población infinita o de una que sea lo suficiente grande como para ignorar la corrección para población finita, la ecuación 1 se transforma en: d=z

σ

n

la cual, cuando se resuelve para n, da. M.H. Badii et al.

(2)

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z 2σ 2 n= d2

(3)

Cuando el muestreo se hace sin reemplazos a partir de una población finita y pequeña, se requiere de la corrección para población finita y la ecuación 3 queda de la siguiente forma:

d =z

σ

N −n n N −1

(4)

que al resolverse para n, resulta :

Nz2σ 2 n= 2 d ( N −1) + z 2σ 2

(5)

En caso de que se pueda ignorar la corrección para población finita, la ecuación 5 se reduce a la ecuación 3. Las fórmulas para el tamaño de la muestra requieren del conocimiento de σ2 pero, como ya se ha señalado, la varianza de la población casi siempre se desconoce. Como resultado, es necesario estimar σ2. Las fuentes de estimación de σ2 que se utilizan con más frecuencia son las siguientes. 1. Se extrae una muestra piloto o preliminar de la población y se utiliza la varianza calculada a partir de esta muestra como una estimación de σ2. Las observaciones utilizadas en la muestra piloto se toman como parte de la muestra final, de modo que n (el tamaño calculado de la muestra) – n1 (el tamaño de la muestra piloto) = n2 (el número de observaciones necesarias para satisfacer el requerimiento total del tamaño de la muestra). 2. A partir de estudios anteriores o similares es posible obtener estimaciones de σ2. 3. Si se cree que la población de la cual se extrae la muestra posee una distribución aproximadamente normal, se puede aprovechar el hecho de que la amplitud es aproximadamente igual a seis desviaciones estándar y calcular σ = R/6. Este método requiere algún conocimiento acerca de los valores mínimos y máximo de la variable en la población. Tamaño óptimo de la muestra

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Ejemplo 1. Un nutriólogo del departamento de salud, al efectuar una encuesta entre una población de muchachas adolescentes con el fin de determinar su ingestión diaria promedio de proteínas, buscó el consejo de un experto en bioestadística con respecto al tamaño de la muestra que debe tomar. ¿Qué procedimiento debe seguir el experto de bioestadística para asesorar al nutriólogo? Antes de que el estadístico pueda ayudar al nutriólogo, este debe proporcionar tres elementos de información: la dimensión deseada del intervalo de confianza, el nivel de confianza deseado y la magnitud de la varianza de la población. Solución. Supóngase que el nutriólogo requiere un intervalo con una dimensión de aproximadamente 10 unidades, es decir, la estimación se debería encontrar alrededor de las 5 unidades del valor real en ambas direcciones. Supóngase que se decide por un coeficiente de confianza de 0.95 y que con base en su experiencia previa percibe que la desviación estándar de la población es probablemente alrededor de 20 gramos. El estadístico tiene ya la información necesaria para calcular el tamaño de la muestra: z = 1.96, σ = 20, y d = 5. Supóngase que el tamaño de la población es grande, así que el estadístico puede ignorar la corrección para población finita y utilizar la ecuación 3. Con las sustituciones adecuadas, el valor de n se calcula como: (1.96) 2 (20) 2 n= = 61.47 (5) 2 Se recomendó que el nutriólogo tome una muestra de tamaño 62. Al calcular el tamaño de una muestra a partir de las ecuaciones 3 ó 5, el resultado se redondea al siguiente número entero mayor si los cálculos dan un número con decimales. Tamaño de muestra para estimar una media Suponga que una Universidad está efectuando una investigación acerca de los ingresos anuales de los estudiantes del último año de una Facultad dada. Se sabe, por la experiencia obtenida, que la desviación estándar de los ingresos anuales de la población completa (1,000 estudiantes) de los egresados es de aproximadamente $1,500. ¿Qué tan grande debe ser la muestra que la universidad debe tomar con el fin de estimar los ingresos medios M.H. Badii et al.

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anuales de los estudiantes del último año dentro de más y menos $500 y con un nivel de confianza de 95%? ¿Exactamente qué es lo que se pide en este problema? La universidad va a tomar una muestra de un cierto tamaño, determinar la media de la muestra, y utilizarla como estimación puntual de la media de la población. Quiere tener la certeza de 95% de que el ingreso medio anual real no esté más de $500 por encima y por debajo de la estimación puntual. En resumen tenemos: zσ x = $500, y z = 1.96, podemos deducir el error estándar de la media como 1.96 σ x = $500

σ x = $500/1.96 = $255 = error estándar de la media Utilizando la ecuación del error estándar, podemos sustituir el valor conocido de la desviación estándar de la población que es de $1,500 y el valor calculado del error estándar de $255 y despejar n:

σx =

σ n

$1500 $255 = n n=

$1500 = $255 5.882

n = 34.6 tamaño de muestra para la precisión especificada Por tanto, como n debe ser mayor o igual a 34.6, la universidad deberá tomar una muestra de 35 estudiantes para obtener la precisión que desea en la estimación del ingreso medio anual de los estudiantes. Tamaño de muestra para estimación de la media desconocida La determinación del tamaño de la muestra es muy importante puesto que si tomamos una muestra muy pequeña no será significativa y si la tomamos Tamaño óptimo de la muestra

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muy grande estamos desperdiciando recursos. Usaremos los intervalos de confianza para calcular tamaño de muestra; si vemos con cuidado el intervalo de confianza para la media. P( X − Z

σ 1−

α

n

2