Tema 1: Campo eléctrico en el vacío Física II Grado en Química Curso 1º. 2º Cuatrimestre

1

Índice 1. Introducción: la carga y la materia 2. Fuerza electrostática: ley de Coulomb 3. El campo eléctrico




Líneas de fuerza del campo eléctrico Movimiento de una carga en un campo eléctrico Dipolo en un campo eléctrico

4. Ley de Gauss: aplicaciones 5. Potencial eléctrico. Energía potencial eléctrica.

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Introducción 

Los fenómenos eléctricos tienen su origen en la observación de que cuando ciertos materiales son frotados con otros, adquieren la propiedad de atraer otros objetos (electrización)



Se cree que en China, China sobre el año 2000 a.C. consideraban al ámbar como un material mágico, puesto que presentaba la curiosa propiedad de atraer pequeños objetos ligeros (plumas, briznas de paja, laminas delgadas de oro y plata…) tras ser frotado con ciertos materiales



Tales de Mileto (640-546 a. C.) describió las propiedades del ámbar y de otro material, conocido en la actualidad como magnetita o piedra imán.

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Introducción 

Teofrasto (372-287 a. C.), descubrió que otras sustancias presentaban el mismo poder de atracción que el ámbar



En 1600 Sir William Gilbert mostró que además del ámbar otros materiales podía ser electrizados.
Gilbert fué el primero en aplicar el término Electricidad del Griego "elektron" = ambar



En 1755 Benjamin Franklin observó dos tipos de electrización (carga) que diferenció en (+) y (-)

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Introducción 

Joseph Priestley, en 1767, realizó los primeros experimentos sobre las fuerzas eléctricas



En 1769, John Robison estableció la primera ley que describe la fuerza eléctrica. La dependencia con la distancia era proporcional a 1/r2.06. Robison no difundió sus resultados



En 1773, Henry Cavendish obtuvo otra demostración de la proporcionalidad de la fuerza eléctrica con el inverso del cuadrado de la distancia. Tampoco dio a conocer sus resultados



Finalmente, Charles Augustin Coulomb, en 1785, demostró la ley de la fuerza eléctrica

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Carga eléctrica 

Propiedad de la materia





Existen dos clases de carga eléctrica: carga negativa (electrones) y Carga positiva (protones) Cargas del mismo signo se repelen y de distinto signo se atraen



Caucho



Cristal

Las dos varillas se atraen Fisica II. 1º de Grado en Química

Varilla de caucho cargada negativamente Varilla de cristal cargada positivamente

Caucho

Caucho

Las dos varillas se repelen 6

Conservación de la carga eléctrica 

La carga eléctrica siempre se conserva en un sistema aislado
La carga no se crea cuando se frotan entre sí dos objetos.
La electrificación se produce por la transferencia de carga de un objeto a otro



Ejemplo
Varilla de cristal frotada con seda
Los electrones son transferidos del cristal a la seda
Cada electrón añade una carga negativa a la seda
En la varilla queda una cantidad igual de carga positiva

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Cuantificación de la carga eléctrica 

La carga eléctrica, q, está cuantizada




q es el símbolo estándar que representa a la carga La carga existe como paquetes discretos q = Ne     

N número natural e es la unidad fundamental de carga |e| = 1.6 x 10-19 C Electrón: q = -e Protón: q = +e

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Fuerza electrostática 

Charles Coulomb midió la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos esferas pequeñas cargadas



Encontró que la fuerza dependía de las cargas y de la distancia entre ellas

A: Carga prueba B: Carga problema

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Fuerza electrostática 

Coulomb observó:











La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que las repara y está dirigida a lo largo de la recta que las une La fuerza es proporcional al producto de la cargas q1 y q2, de las dos partículas La fuerza es atractiva si las dos cargas son de signo opuesto La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo signo

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Ley de Coulomb “La fuerza entre dos objetos puntuales cargados está dirigida a lo largo de la línea que las une, es directamente proporcional al valor de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa” Matemáticamente:

q1 q2 1 q1 q2 Fe = ke = 2 4πε 0 r 2 r

Unidad

de carga en el SI: coulomb (C) ke: Constante de Coulomb ke = 8.9875 x 109 N·m2/C2 ≅ 9 x 109 N·m2/C2
εo es la permitividad dieléctrica del vacío -12 C2 / N·m2
εo = 8.8542 x 10


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Ejemplo: Átomo de Hidrógeno 

La fuerza eléctrica entre el electrón y el protón del núcleo se encuentra a partir de la ley de Coulomb

q1q2 8 Fe = = 8.2 × 10 N 2 4πε 0 r 1



Esta fuerza se puede comparar con gravitatoria

m1m2 Fe = G 2 = 3.6 × 10−47 N r La interacción eléctrica es mucho más intensa que la gravitatoria Fisica II. 1º de Grado en Química

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Ley de Coulomb en forma vectorial Expresión

más apropiada de la ley de Coulomb (forma vectorial)

r F12 =

1 Q1·Q2 r 2 rˆ12 4πε 0 r12

Distancia relativa:

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r1

r r r r12 = r2 − r1

r r12 ˆ r = Vector unitario: 12 r12

Q1

Z

r12

Q2

r2 X

Y

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Ley de Coulomb en forma vectorial 



Las fuerzas eléctricas obedecen la tercera ley de Newton La fuerza que ejerce q1 sobre q2 es igual en magnitud pero con sentido opuesto a la fuerza que ejerce q2 sobre q1 (F21 = -F12)

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Ejemplo Ejemplo: una carga q1=10 µC está en el punto (-1,-2.1). Calcular la fuerza que ejerce sobre q2= -20 µC que está en (1,1,0). r r r r12 = r2 − r1 = (1,1,0) – (-1,-2,1) = (2,3,-1), o bien,

Z

Q1

r r r r r r r r r r r r12 = r2 − r1 = ( i + j ) − ( − i − 2 j + k ) = 2 i + 3 j − k

r r12 = 4 + 9 + 1 = 14

r12 Y X

r r r r r12 1 r ur12 = r = (2 i + 3 j − k ) r12 14

Q2 −6 −6 r r r 1 q1·q2 r 9 10·10 ·(−20·10 ) 1 ur = 9·10 (2 i + 3 j − k ) 4πε0 rr 2 12 14 14 12 r r r r −2 = 3.44·10 ( −2 i − 3 j + k ) F12 = 0.128 N

r F12 = r F12 =

1 Q1·Q2 r ur 4πε0 rr12 2 12

r F12

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Principio de superposición “La fuerza ejercida por un conjunto de cargas (Qi) sobre otra (q) resulta igual a la suma vectorial de las fuerzas que sobre dicha carga ejerce particularmente cada una de las del conjunto.”

Qn

N r r Fq = ∑ Fqi →q =

Z

N

qqi r 1 uRi ∑ 2 4πε 0 i =1 Ri i =1 1 N qqi r = Ri ∑ 3 4πε 0 i =1 Ri

r1 Qi

X r r r Ri = r − ri r r r R = Ri = r − ri Fisica II. 1º de Grado en Química

r R Rˆ i = ri R

Q1 rn Q2

Fn

ri

r2 F Rii

FT F2

Y

r

R2 q

q F1 16

Principio de superposición Ejemplo: una carga Q1=1 µC está en (3,0,3) y otra Q2 =-2 µC en (-2,2,4). Calcular la fuerza que ejercen sobre q= 1 µC que está en (5,4,3). r r r R1 = r − r1 = (5,4,3)-(3,0,3) = (2,4,0) r r r R 2 = r − r2 = (5,4,3)-(-2,2,4) = (7,2,-1)

Q2

Z Q1

R1 = 2 5

R2 = 3 6

r12 q X r F=

r r q n Qi r u = F ∑ R 1 + F2 4πε0 i=1 Ri2 i

Y −6     2·10 −6 r 9 −6  10   (1,2,0 ) +  (− 7,−2,1) F = 9·10 ·10   20 5   54·3· 6   r r r r r −3 F = 10 (− 0.115 i + 0.31 j + 0.045k ) F = 0.33·10 −3 N

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Campo eléctrico 

Antecendentes


La fuerza eléctrica es una fuerza a distancia 








Se produce un efecto sin que haya contacto físico entre los objetos Desacuerdo de los físicos de la época

Faraday desarrolla el concepto de campo eléctrico El campo eléctrico existe en la región del espacio que rodea a un objeto cargado (carga fuente) Cuando otro objeto cargado (carga de prueba) entra en este campo se ve sometido a una fuerza eléctrica

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Campo eléctrico “Propiedad del espacio que rodea a un cuerpo cargado de modo que cuando en esa región se sitúa una carga q0, dicha carga experimenta una fuerza dada por la ley de Coulomb.

Ventajas:

Evita el concepto de acción a distancia
Simplifica los cálculos


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Definición 

Se define el campo eléctrico como la fuerza eléctrica por unidad de carga a la que es sometida una carga prueba q0 r r F E= q0



Matemáticamente r r F E = lim q0 →0 q 0

Cargas puntuales

Se desprecian los efectos de q0 

Las unidades de E en el SI son N/C

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Expresión vectorial 

Campo eléctrico para una carga puntual Z Qi

X

r1

Q1 rn

Qn

r r E (r ) =

Q2 ri

ET

r2 Ri r

R2

Y

q



Sistema de cargas puntuales


r r r Ri = r − ri

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1 q ˆ R 2 4πε0 R

Principio de superposición

r r E (r ) =

1 n qi ˆ R ∑ 2 i 4πε0 i =1 Ri 21

Ejemplo Ejemplo: Una carga de 10 µC situada en el origen de coordenadas y otra carga de 15 µC en (2.0). Calcular el campo eléctrico en puntos del eje Y

r r r R1 = r − r1 = yj

q1 ˆ 1 q1 r R1 = j 2 2 4πε 0 R1 4πε 0 y r r r r R 2 = r − r2 = (0, y ) − (2,0) = −2 i + yj X r

E1

E2 R1 r

R2

q1 r E=

r r Tomamos P (0,y) ⇒ r = y j

Y

E

r1

1

− 2 i + yj r uR 2 = y2 + 4

q2

1 n Qi r ∑ uR 4πε0 i=1 Ri2 i

Al final

r E1 =

r E2 =

q2 ˆ q2 1 R = 2 4πε 0 R22 4πε 0 y 2 + 4 1

r −2i + yj y2 + 4

  r r r 27·10 4 r  9·10 4 13.5·10 4 ·y  r E = E1 + E2 = − i + 2 + j 3 3   y y2 + 4 2 y 2 + 4 2  

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(

)

(

)

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Distribuciones continuas de carga Un conjunto de cargas tales que por su cantidad y proximidad entre sí no pueden ser consideradas una distribución discreta. Las distribuciones de carga se caracterizan por una densidad de carga. ∆q dq Densidad de carga en volumen ρ = lim = dV ∆V →0 ∆V

Densidad superficial de carga

Densidad lineal de carga

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σ=

dq λ= dL

dq dV

dq dS dq L

dL

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Distribuciones continuas de carga El campo eléctrico vendrá determinado por la distribución de carga. Para calcular el campo en un punto P se toma de la región donde está la carga un trozo elemental de volumen dV y se evalúa la contribución al campo . r dE =

1 dq r 1 ρ·dV r u = uR R 2 2 4πε0 R 4πε0 R

dE dq P dV

Para hallar el campo total se aplica el pr. superposición Densidad volúmica r E=

1 ρ·dV r uR 4πε0 ∫∫∫ R 2

Densidad superficial r E=

V

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1 σ·dS r uR 4πε0 ∫∫ R 2 S

Densidad lineal r E=

1 λ·dL r uR 4πε0 ∫ R 2 L

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Distribuciones continuas de carga dq a

R

θ z

dE

Ejemplo: Un anillo de radio a tiene una carga caracterizada por una densidad lineal uniforme de valor λ. Calcular el campo eléctrico en puntos del eje del anillo .

r dE =

r E=

1 dq r 1 λ·dl r = u uR R 2 2 4πε0 R 4πε0 R

1 4πε0

λ·dL r ∫ R2 uR anillo

Por simetría, sólo queda componente del campo en la dirección del eje (Z). Nos quedamos sólo con Ez proyectando Ez=E·cosθ. Teniendo en cuenta que cosθ=z/R y que R2=a2+z2

Ez =

1 4πε0

λ·dl

∫ anillo

1 Ez = 4πε0

R

2

cos θ = 2π

λ·z

∫ a·dθ =

(a + z ) 0 Fisica II. 1º de Grado en Química 2

2

3 2

1 4πε0

λ·z

∫ anillo

(a2 + z2 )

3 2

λ·z·a

(

2

2ε0 a + z

2

)

3 2

dl =

r E=

1 4πε0

λ·z

λ·z·a

(

∫ dl

(a2 + z2 ) anillo

2ε0 a2 + z 2

3 2

r k 3

)

2

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Líneas de fuerza 



Son una forma de representar gráficamente el campo eléctrico (Michael Faraday) E tangente a las líneas de fuerza en todos los puntos


La dirección de las líneas de fuerza es la misma que la de E

El

número de líneas por unidad de área que atraviesa una superficie perpendicular a las líneas es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en dicha región

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Líneas de fuerza 

Criterios de dibujo de las líneas de fuerza:











Las líneas de fuerza parten de las cargas positivas. Las líneas de fuerza llegan a las cargas negativas. El número de líneas de fuerza debe ser proporcional al valor de la carga. Se deben dibujar equiespaciadas y simétricamente alrededor de la carga. Las líneas de fuerza no pueden cortarse. Siguiendo estos criterios, la zona donde las líneas están mas juntas corresponde a una región de campo eléctrico más intenso, que donde estén más separadas

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Líneas de fuerza. Ejemplo 





La densidad de líneas que atraviesa SA es mayor que la que atraviesa SB

La magnitud del campo eléctrico en SA es mayor que en SB Las líneas de fuerza apuntan a direcciones diferentes en distintos puntos

r E

El campo es no uniforme

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Líneas de fuerza 

Carga positiva
Las líneas de fuerza salen de la carga en todas direcciones (fuente)  En tres dimensiones la distribución es esférica
Una carga positiva sería repelida lejos de la carga fuente

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Líneas de fuerza Carga

negativa

Las líneas está dirigidas hacia la carga (sumidero)
Una carga positiva sería atraída hacia la carga fuente (negativa)


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Ejemplo 

Cargas iguales positivas



De cada carga sale el mismo número de líneas (misma carga) A gran distancia el campo es aproximadamente igual al de una única carga de 2q (doble número de líneas)

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Ejemplo 

Dipolo eléctrico



Cargas iguales y de signo opuesto El número de lineas que salen de la carga positiva es el mismo que el de las que entran en la negativa

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Ejemplos 

Cargas diferentes
La carga positiva es el doble de la negativa
Por cada línea que terminan en la carga negativa salen dos de la positiva
A gran distancia el campo sería aproximadamente el mismo que el de una únca carga +q

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Movimiento de cargas y dipolos en un campo eléctrico r r F = qE r r F = ma

r qr a= E m

r r v = ∫ a·dt

r r r = ∫ v·dt

¿Qué es un dipolo? Es una magnitud eléctrica de carácter vectorial asociada a dos cargas iguales, de signos opuestos y situadas en puntos r r muy próximos. Se le asocia el momento dipolar: p = qd

La materia se comporta como un conjunto de dipolos en presencia de campos Fisica II. 1º de Grado en Química

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Flujo eléctrico “Cantidad de campo eléctrico” que atraviesa una determinada superficie.




r Producto de la magnitud de E E y el área perpendicular al campo r E es uniforme a lo largo de A

r r Φ E = E ⋅ A = EA cosθ


El flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie

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Flujo eléctrico 

En un caso más general r r E uniforme en dA

r r ∆Φ E = Ei ⋅ ∆Ai



Expresión general

r r Φ E = lim ∑ Ei ⋅ ∆Ai = ∆Ai → 0

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∫∫

A

r r E ⋅ ds (Nm 2 / C )

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Ley de Gauss 





Como el campo es proporcional al nº de líneas de fuerza por unidad de superficie, el flujo eléctrico es proporcional al nº de líneas de fuerza que atraviesan S. En una superficie cerrada, es el nº líneas que salen menos las que entran. La ley de Gauss relaciona el flujo con la carga dentro de una superficie cerrada.

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Ley de Gauss dS

rr r r ΦE = ∫∫ E·n·dS = ∫∫ (E·ur )(dS·ur ) = E ∫∫ dS = E·4πa 2 = kq S

a

S

S

Como conocemos el campo debido a una carga puntual, podemos conocer k

ΦE = E·4πr 2 =

q 4πε0a

2 · 4 π a = 2

q 1 ⇒k = ε0 ε0

Ley de Gauss: “el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada por dicha superficie dividido por ε0.“

rr q ΦE = ∫∫ E·n·dS = enc ε0 S

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Aplicación de la ley de Gauss: Simetría Esférica Campo eléctrico debido a una esfera de radio a que almacena una distribución volúmica de carga uniforme ρ. dS

Simetría esférica: la distribución de carga tiene un centro de simetría.

r r E = E(r )·ur

Campo radial en coordenadas esféricas a

Puntos exteriores, seleccionamos cerrada y calculamos el flujo

sup.

r r r r ΦE = ∫∫ E·dS = ∫∫ (E·ur )(dS·ur ) = E ∫∫ dS = E·4πr 2 S

qenc

S

S

4 3 4πρa3 ρa 3 2 = ∫∫∫ ρ·dV = ∫∫∫ ρ·dV = ρ ∫∫∫ dV = ρ· πa ⇒ E·4πr = ⇒ Eext = 2 3 3ε 0 3 ε r 0 V V V r

a

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a

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Aplicación de la ley de Gauss: Simetría Esférica Puntos interiores, repetimos la operación.

r r r r ΦE = ∫∫ E·dS = ∫∫ (E·ur )(dS·ur ) = E ∫∫ dS = E·4πr 2 S

S

S

dS a

El cálculo del flujo es siempre el mismo

Pero la carga encerrada no es la misma

4 qenc = ∫∫∫ ρ·dV = ρ ∫∫∫ dV = ρ· πr 3 3 Vr

Vr

r 4πρr 3 ρr ρr r E·4πr = ⇒ Eint = ⇒ Eint = ur 3ε 0 3ε 0 3ε 0 2

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Aplicación de la ley de Gauss: Simetría cilíndrica Hilo infinito con una densidad lineal de carga uniforme λ.

Simetría cilíndrica: la distribución de carga tiene un eje de simetría.

r

r r E = E(r )·ur (en coord. cilíndricas!)

r r r r ΦE = ∫∫ E·dS = ∫∫ (E·ur )(dS·uz ) + S

S1

= E ∫∫ dS = E·2πrL Slat

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r r r r ( )( ) ( )( E · u dS · u + E · u dS · u z r)= ∫∫ r ∫∫ r S2

Slat

qenc = λL ⇒ E·2πrL =

λL λ ⇒E= ε0 2πε0r 41

Aplicación de la ley de Gauss: Simetría plana Plano infinito con una densidad superficial de carga uniforme σ.

Simetría plana: la distribución de carga tiene un plano de simetría

r r E = E( x )·u x

r r r r ΦE = ∫∫ E·dS = ∫∫ (E· i )(dS· i ) + S

S1

qenc

r r ∫∫ (E· i )(dS· i ) + S2

(

)

r r ( E · i ) dS · u jk = 2ES ∫∫ Slat

r σS σ σ r = σS ⇒ 2ES = ⇒E= ⇒E= k ε0 2ε0 2ε0

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Potencial eléctrico Propiedad del campo electrostático: es irrotacional

r r ∇×E = 0

Las líneas de campo no rotan en torno a punto alguno

Se cumple: campo irrotacional

⇔

campo conservativo

⇔

Existe al menos una función escalar V (potencial eléctrico) tal que:

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deriva de un potencial

r r E = −∇V

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Potencial eléctrico 

Propiedades






Existen infinitas funciones potenciales Interesan las diferencias de potencial Se asigna un origen de potenciales Se suele tomar como origen de potenciales V(∞)=0 Unidad SI: voltio (V)

Carga puntual

Distrib. discreta

Q V= 4πε0r Fisica II. 1º de Grado en Química

n

Qi 4πε0Ri i=1

V=∑

Distrib. continua V=

1 ρ·dV 4πε0 ∫∫∫ R V

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Potencial eléctrico debido a un disco cargado Disco de radio a con una densidad superficial de carga uniforme σ. dr

Como dS=(r·dθ)·dr, queda dq=σ·r·dr·dθ

a r

dθ

dS σ

dV =

dq σrdrdθ = 4πε0R 4πε z 2 + r 2 0

R Z a 2π

σ V= 4πε0 ∫ =

σ 2ε0

[z

∫

0 0

2

rdrdθ

a

2π

a 2π σ rdr σ 2 2 = dθ = · z + r ·θ 0 = 2 2 4πε ∫ 2 2 ∫ 4πε0 0 0 0 z +r 0 z +r

+ a2 − z

]

El campo eléctrico valdrá: Fisica II. 1º de Grado en Química

r r r ∂V r σ z z E = −∇ V = − k= k  − 2 2 ∂z 2ε0  z z +a  45

Superficies equipotenciales Conjunto de puntos donde V=cte. Son normales a las líneas de fuerza de E

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Superficies equipotenciales

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Energía potencial eléctrica Potencial: significado energético. Un cuerpo cargado en el interior de un campo eléctrico tiene una cierta energía potencial eléctrica, igual que un cuerpo con masa tiene energía potencial gravitatoria. carga q0 en un campo eléctrico i

q0

f dl

r r r Trabajo elemental en d l : dW = q0 ·E·d l f

f f r r r r W = q0 ∫ E·d l = −q0 ∫ ∇V·d l = −q0 ∫ dV ⇒ W = q0 (Vi − Vf ) i

i

i

El trabajo es independiente del camino seguido desde i a f, sólo depende de la d.d.p. entre estos dos puntos. Esto se debe a que el campo es irrotacional y por tanto conservativo. Fisica II. 1º de Grado en Química

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Energía potencial eléctrica Diferencia de Potencial (d.d.p.) entre dos puntos: trabajo necesario para desplazar la unidad de carga de un punto a otro.

(Vi − Vf ) = W q0

Criterio de signos: energía es negativa si es aportada al sistema. Energía potencial eléctrica: Wi = q0 ·Vi El movimiento de la carga será de puntos de mayor a menor energía potencial. Para el movimiento inverso es preciso aportar energía externa, igual que en el caso gravitatorio. f

Conocido el campo eléctrico se pueden obtener diferencias de potencial: Fisica II. 1º de Grado en Química

r r Vf − Vi = − ∫ E·d l i

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