TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA

GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE TRABAJO A UNA FUERZA VARIABLE

PARTE 1 • • • •

Generalización del concepto de trabajo a una fuerza variable. Teorema del trabajo y la energía cinética. Fuerzas conservativas. Energía potencial asociada a una fuerza conservativa. Trabajo y diferencia de energía potencial. Relación entre fuerza conservativa y variación de energía potencial. Energía potencial en un punto • Conservación de la energía. Conservación de la energía mecánica

Supongamos que queremos llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B a lo largo de un determinado camino:

(recuerda que el móvil no tiene porqué moverse según la resultante de la fuerza que actúa sobre él porque puede tener algún tipo de restricción)

PARTE 2 • Descripción de una interacción: Acción a distancia y concepto de campo. • Líneas de fuerza. • Ley de gravitación universal. Análisis de las características de la interacción gravitatoria entre dos masas. • Interacción de un conjunto de masas: Principio de superposición. • Noción de campo gravitatorio: Intensidad del campo gravitatorio de una masa puntual. • Campo gravitatorio terrestre. Variación de "g" con la altura • Campo gravitatorio de un conjunto de masas. • Energía potencial gravitatoria de una masa puntual en presencia de otra. • Noción de potencial gravitatorio. • Superficie equipotencial. • Relación entre campo y potencial gravitatorio.

r Por definición, el trabajo realizado por la fuerza F para desplazarlo una longitud infinitesimal es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:

r r dW = F • d r dW = trabajo elemental r F = vector fuerza r r r d r = vector desplazamiento = dx i + dy j

El trabajo total para llevar al cuerpo desde el punto A al B por el camino c lo obtenemos mediante la integral definida entre esos puntos: Br r WA →B,c = ∫ F • d r A ,c

PARTE 3 • Leyes de Kepler • Movimiento de masas puntuales en las proximidades de la superficie terrestre • Satélites. Velocidad orbital y velocidad de escape. AMPLIACIÓN • Circulación de un vector a lo largo de un camino c • Flujo a través de una superficie • Flujo de la intensidad de campo a través de una superficie cerrada. Teorema de Gauss

En general, el trabajo realizado por una fuerza para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro punto B depende del camino que se siga. (Más adelante trataremos las fuerzas conservativas, que son aquellas que realizan el mismo trabajo para llevar un cuerpo desde un punto hasta otro sin importar el camino seguido.) Lo expresamos como: WA → B,c1 ≠ WA → B,c 2

∫

B

r r Br r F • d r ≠ ∫ F • dr

A , c1

A ,c 2

Caso particular: Cuando la fuerza es constante en módulo y dirección. Si observas las figuras siguientes verás que para desplazamientos grandes el módulo del vector desplazamiento no coincide con el espacio recorrido sobre la trayectoria, pero para un desplazamiento infinitesimal sí que son iguales:

Ejemplo: Calcular el trabajo que hacemos para levantar verticalmente, con velocidad constante, un cuerpo de 2 Kg hasta una altura de 3 metros. Calcular el trabajo realizado por el peso y el trabajo realizado por la fuerza resultante.

r ∆ r ≠ ∆s

r d r = ds

pero

r r Así que podemos poner dW = F • d r = F ⋅ dr ⋅ cos α = F ⋅ ds ⋅ cos α si F y α son constantes podemos sacarlas de la integral: WA → B F. cons tan te

= ∫ F ⋅ cos α ⋅ ds = F ⋅ cos α ∫ ds = F ⋅ cos α ⋅ [s ]s BA = F ⋅ cos α ⋅ (s B − s A ) = F ⋅ s ⋅ cos α B

sB

A

sA

WA→B

s

= F ⋅ s ⋅ cos α

F. cons tan te

Ejemplo: Un niño tira de un camión de juguete aplicando una fuerza de 20N mediante una cuerda que forma un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular el trabajo que realiza cuando lo arrastra 10m.

Fíjate bien que cuando en el enunciado dice “levantar con velocidad constante” eso es un dato muy importante, porque, de acuerdo con las leyes de Newton, quiere decir que la suma de las fuerzas sobre el cuerpo es nula. Por tanto, si el cuerpo está sometido a la fuerza peso=mg, la fuerza que deberemos hacer para subirlo con velocidad constante debe tener el mismo módulo F=mg, la misma dirección y sentido contrario. Aplicando la definición general de trabajo: Tendremos en cuenta que el movimiento es sobre el eje Y y que por tanto no varía la r r r r coordenada X (dx=0). El vector desplazamiento nos quedaría d r = dx i + dy j = dy j r r B r y =3 y =3 r y =3 WA → B = ∫ FFuerzaF • d r = ∫ mg j • dy j = ∫ mg dy = [mg y]y =0 = 20(3 − 0) = 60Julios FuerzaF

r r r Aplicando la definición general de trabajo y teniendo en cuenta que F = F cos α ⋅ i + Fsen α ⋅ j y que en este caso como únicamente se desplaza a lo largo del eje X ( no varía de coordenada r r r r Y con lo que siempre dy=0) y el vector desplazamiento nos quedaría d r = dx i + dy j = dx i r r r Br x =10 r WA →B,c = ∫ F • d r = ∫ ( F cos α ⋅ i + Fsenα ⋅ j ) • dx ⋅ i A ,c

x =0

r r r r recordando que i • i = 1 y que i • j = 0 Como integramos respecto a x, los límites de integración son desde xA=0 hasta xB=10

WA →B,c = ∫

x =10

x =0

F cos α ⋅ dx = [F cos α ⋅ x ]x = 0 = 20 ⋅ cos 60 ⋅ (10 − 0) = 100Julios x =10

Como en este caso la fuerza es constante también podríamos haber aplicado la definición particular de trabajo: WA → B = F ⋅ s ⋅ cos α = 20 ⋅ 10 ⋅ cos 60 = 100 J Observa que únicamente realiza trabajo la componente de la fuerza que lleva la dirección del desplazamiento (F.cosα)

y =0

A ,c

y=0

Observa que como ahora hemos integrado respecto a dy, los límites de integración han sido desde y=0 hasta y=3. El trabajo que hace la fuerza peso, siguiendo el mismo procedimiento sería: r r B r y =3 y =3 r y =3 WA →B = ∫ FPeso • d r = ∫ mg (− j) • dy j = ∫ − mg dy = [− mg y]y =0 = −20(3 − 0) = −60Julios Peso

y =0

A ,c

y=0

El signo menos del trabajo se interpreta como que la fuerza pero realmente no hará nunca ese trabajo sino que haría el contrario. Como sabemos por experiencia, el peso no sube de forma espontánea a los cuerpos sino todo lo contrario. El trabajo total puede obtenerse de dos formas: • Como suma de todos los trabajos realizados por cada una de las fuerzas. WA→ B = ∑ W = 60 + (−60) = 0 TOTAL r • Como el trabajo que hace la fuerza resultante. Como FRe sul tan te = 0 B r r WA→ B = ∫ FRe sul tan te • d r = 0 TOTAL

A ,c

Aplicando la definición particular de trabajo: En este caso podemos resolver el ejercicio aplicando la definición particular de trabajo para fuerzas constantes, ya que (para puntos próximos a la superficie terrestre) podemos considerar que el peso no varía y tampoco la fuerza que hemos de hacer para subirlo con velocidad contante, ya que es igual al peso y de sentido opuesto) WA → B = F ⋅ s ⋅ cos α Para aplicar esa expresión a la fuerza F tendremos en cuenta que: el módulo de la fuerza es igual al peso, es decir, FFuerzaF=mg, que el espacio que recorre es s=3m y que el ángulo que forma la fuerza que hacemos y el desplazamiento es de 0º

Ejemplo: Un cuerpo de 20 Kg se encuentra en la base de un plano inclinado 30º sobre la horizontal, sin rozamiento. Un hombre tira de él y lo sube hasta una altura de 1,5 m. a) con qué fuerza debe tirar el hombre para subirlo con velocidad constante b) que trabajo realiza c) si otro hombre lo sube verticalmente hasta la misma altura con la ayuda de una polea d) ¿qué fuerza y que trabajo realizaría en este otro caso? a) Si el hombre sube el cuerpo con velocidad constante quiere decir, de acuerdo con la 2º ley de Newton, que la suma de las fuerzas es cero, por tanto:

WA →B = FFuerzaF ⋅ s ⋅ cos α = mg ⋅ s ⋅ cos α = 20 ⋅ 3 ⋅ cos 0 = 60 J FuerzaF

Para aplicar la expresión a la fuerza peso tendremos en cuenta que, al igual que antes, el módulo del peso es FPeso=mg, el espacio recorrido es s=3m, pero ahora (puesto que se mueve hacia arriba) el ángulo que forma el desplazamiento y la fuerza peso es de 180º WA→B = FPeso ⋅ s ⋅ cos α = mg ⋅ s ⋅ cos α = 20 ⋅ 3 ⋅ cos180 = −60 J

de la figura se deduce que para que la suma de las fuerzas sea cero, el hombre debe ejercer una fuerza igual a la componente del peso que tiene la dirección del plano:

Peso

Observaciones: Muchos alumnos confunden los vectores con su módulo. Especialmente cuando se trata de movimientos en una dimensión y se suprimen los vectores unitarios de los ejes “sustituyéndolos” solamente por su signo. Es decir que (como ocurre en este caso donde el movimiento es solo en el eje Y) podremos escribir los vectores como: r r r FFuerzaF = mg j o simplemente +mg (con el + indicamos que lleva dirección y sentido de j ) r r r FPeso = −mg j o simplemente –mg (con el – indicamos que lleva dirección y sentido de − j )

F = mg ⋅ senα = 20 ⋅ 10 ⋅ sen30 = 100 New b) El espacio recorrido sobre el plano para que ascienda 1,5m se calcula como: 1,5 ⇒ s = 3 metros sen 30 = s El trabajo, aplicando la expresión particular porque la fuerza es constante: (Mucho cuidado de no confundirte con el ángulo. Aquí α es el ángulo que forma la fuerza F con el desplazamiento, que es 0º): W = F ⋅ s ⋅ cos α = 100 ⋅ 3 ⋅ cos 0 = 300Julios c) El hombre que sube el cuerpo con velocidad constante con la ayuda de una polea:

Los módulos de los vectores “nunca tienen signo” ya que el módulo solamente indica el valor. Entiende de una vez que el signo hace referencia al sentido del vector y no del módulo. Ahora bién, las magnitudes escalares sí que pueden tener signo como le ocurre al trabajo. De acuerdo a lo anterior, sería un disparate escribir WA →B = −mg ⋅ s ⋅ cos α = −20 ⋅ 3 ⋅ cos180 Peso

porque al poner –mg estaríamos sustituyendo el módulo de la fuerza por su expresión r vectorial (aunque no le pongamos la j ). Por otro lado, el signo menos ya nos aparecerá como consecuencia de que cos180=–1, pero si lo hiciéramos mal tendríamos dos signos menos y el trabajo final sería positivo, que sería como decir que la fuerza peso es capaz de hacer un trabajo y de subir un cuerpo hasta una altura mayor.

Aplicando la segunda ley a todo el sistema F − mg = ma como v=cte → a=0 F = mg = 20 ⋅ 10 = 200 New Como vemos, al tratarse de una polea es ideal y que la fuerza que aplicamos no tiene masa, entonces se transmite íntegramente: F=mg d) Como F es una fuerza constante, aplicando la expresión particular del trabajo que realiza el hombre para subir la masa 1,5 m tendremos: W = F ⋅ s ⋅ cos α = 200 ⋅ 1,5 ⋅ cos 0 = 300Julios

Observa que el trabajo que realiza el hombre para subir el cuerpo con velocidad constante por el plano y por la vertical es exactamente el mismo, y eso es así porque no hay rozamiento, sin embargo la fuerza que debe ejercer si lo sube por el plano es más pequeña. En el caso de que hubiese rozamiento el trabajo realizado por el plano sería mayor que por la vertical, pero aún así la fuerza que debe ejercer sigue siendo menor, de ahí la utilidad de los planos.

Ejemplo: Un niño tiene una pistola de juguete que funciona con un resorte, como la que se indica en la figura. La constante de recuperación del muelle es de 500 N/m ¿Qué trabajo realiza el niño cada vez que comprime el resorte 20 cm para cargarla? La fuerza que debe hacer el niño para comprimir el muelle, con velocidad constante, es exactamente igual a la fuerza recuperadora del muelle pero en sentido contrario: FRe cuperadora = − k ⋅ x ( Muelle )

r r o bien FRe cuperadora = −k ⋅ x i ( Muelle )

FDeformador a = k ⋅ x ( Niño )

r r o bien FDeformador a = k ⋅ x i ( Niño )

El signo menos de la fuerza recuperadora se interpreta como que esa fuerza se opone a la deformación. (Si, como en la figura, deformamos el resorte hacia la parte positiva la fuerza recuperadora apunta hacia la parte negativa y viceversa.)

POTENCIA Dos máquinas pueden realizar el mismo trabajo, una en poco tiempo y la otra tardando más. Para identificar a la mejor se define la potencia como el trabajo realizado en la unidad de tiempo, así: dW P= dt teniendo en cuenta la definición de trabajo podemos encontrar otra expresión análoga: P=

r r dW F • d r r r = = F• v dt dt

Ejemplo Un motor eléctrico se utiliza para elevar un peso de 250Kg desde el suelo hasta una altura de 25m. Se emplea en la operación un tiempo de 5 minutos. Si el motor consume 500 watios ¿Cuánto vale la energía perdida?.

El trabajo que realmente hace el motor es: Wmotor = P ⋅ t = 500 ⋅ (5 ⋅ 60) = 150000Julios El trabajo útil es el que realmente hace falta para subir los 250Kg a la altura de 25m: Wutil = F ⋅ s = mg ⋅ s = 250 ⋅ 10 ⋅ 25 = 62500Julios El trabajo perdido, que se transformará en calor es:

En este caso la fuerza que hace el niño no es constante puesto que depende de x, por tanto tendremos que utilizar obligatoriamente la definición general de trabajo. La fuerza r r que hace el niño en forma de vector es FNiño = kx i y el vector desplazamiento, como r r r r solo se desplaza a lo largo del eje X, nos quedaría d r = dx i + dy j = dx i WA → N , Niño

r r r x B =0 , 2 x B =0 , 2 r 1 = ∫ FNiño • d r = ∫ kx i • dx i = ∫ kx ⋅ dx = kx 2 A x A =0 x A =0 2 B

0, 2 0

=

1 500(0,2 2 − 0 2 ) = 10Julios 2

Este trabajo que ha realizado el niño al cargar la pistola: W = 12 kx 2 queda almacenado en el resorte (En forma de energía potencial como veremos más adelante). Al apretar el gatillo r r y dejar libre el muelle actúa la fuerza recuperadora FRe cuperadora = − k ⋅ x i y de esta forma se ( Muelle )

nos devuelve el trabajo que realizamos al cargarla. Comprueba que el trabajo hecho por la fuerza recuperadora para llevar el muelle desde B hasta A es también 10Julios.

Wperdido = Wmotor − Wutil = 87500Julios El rendimiento del motor sería:

Re n dim iento =

Wutil 62500 100 = 100 = 41,7% Wmotor 150000

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERCIA CINÉTICA Si tenemos en cuenta la definición de trabajo, la segunda ley de Newton y que r r v = d r dt , podemos poner que:

Ejemplo: Un ciclista va a 5 m/s por una calle horizontal. Cuando se le cruza una suegra frena para no pillarla y se detiene en 5m. ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento?

r r r r dv r dv r dW = F • d r = m • d r = m • v ⋅ dt dt dt r r teniendo en cuenta que dv y v son vectores en la misma dirección y sentido y que por tanto el coseno del ángulo que forman es 1: r r dW = m ⋅ dv • v = m ⋅ v ⋅ dv

Si el ciclista se termina parando, quiere decir que toda su energía cinética inicial se disipará en rozamiento. De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética:

B

B 1 1 1  WA→ B,Todas las fuerzas = ∫ mv ⋅ dv =  mv 2  = mv 2B − mv 2A A 2 2 2  A

WA → B ,Todas las fuerzas = Ec B − Ec A = ∆Ec Lo que nos dice que “el trabajo realizado por la fuerza F (resultante de “todas las fuerzas”, incluida la de rozamiento si existe) para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos”. Se conoce como teorema de las fuerzas vivas.

Ejemplo: Si dejamos caer un cuerpo de 2Kg desde una altura de 5m ¿Qué energía cinética tendrá al llegar al suelo?

WA→B,Todas las fuerzas = ∆Ec Sobre el ciclista hay tres fuerzas: peso, normal y FRoz. Como el peso y la reacción del plano se anulan, finalmente nos queda que la fuerza resultante es igual a la fuerza de rozamiento FRoz = µN = mg µ . Como la FRoz es una fuerza constante podemos aplicar la definición particular de trabajo: 1 1 FRoz ⋅ s ⋅ cos 180 = mv f2 − mv i2 2 2

1 mg µ ⋅ s ⋅ ( −1) = − mv i2 2

µ=

⇒

v i2 52 = = 0,25 2gs 2 ⋅ 10 ⋅ 5

Posiblemente la reacción de algún alumno sea calcular el valor de la velocidad al llegar al suelo y luego aplicar la fórmula de la energía cinética. Eso estaría bien, pero vamos a resolverlo aplicando el teorema de las fuerzas vivas.

Ejemplo: Un proyectil de 15gr se mueve con una velocidad de 1500m/s cuando choca con un saco de arena y se para después de recorrer 10cm ¿Qué trabajo ha realizado la arena sobre el proyectil?. Suponiendo constante la fuerza que realiza este trabajo, ¿cuánto vale?

Como el peso puede considerarse constante podemos aplicar la definición particular de trabajo. El trabajo realizado, en este caso, por la fuerza peso que tiene la misma dirección y sentido del desplazamiento, es:

El ejercicio es exacto al anterior. Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética concluiremos que el trabajo realizado por la fuerza que hace la arena (fuerza de rozamiento de la bala con la arena) debe ser igual a la energía cinética que tenía la bala:

W = F ⋅ s ⋅ cos α = mg ⋅ s ⋅ cos 0 = 20 ⋅ 5 ⋅ 1 = 100 julios Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética y teniendo en cuenta que la energía cinética en el punto A (arriba) es nula porque parte del reposo, sería: WA→B,Todas las fuerzas = Ec B − Ec A

⇒

Ec B = 100 julios

WA →B,Todas las fuerzas = ∆Ec WF. arena

⇒

1 1 1 = mv f2 − mv i2 = − 0,015 ⋅ 1500 2 = −16875Julios 2 2 2

La fuerza (de rozamiento) que disipa este trabajo es: WF. arena = Farena ⋅ s ⋅ cos180

⇒

Farena =

− 16875 = 168750New 0,10 ⋅ ( −1)

FUERZAS CONSERVATIVAS

En los ejemplos anteriores hemos visto como un cuerpo que tiene energía cinética es capaz de realizar un trabajo. Supongamos ahora que lanzamos una piedra hacia arriba con una determinada velocidad inicial. Ya sabemos que, si despreciamos el rozamiento, la piedra al volver a la posición inicial tendrá la misma velocidad (aunque de sentido opuesto). Quiere decir que tiene la misma energía cinética inicial y final, y que por tanto el cuerpo “conserva su capacidad de hacer trabajo”. Las fuerzas gravitatorias, por tanto, son conservativas.

Un tipo de fuerzas conservativas muy importantes son las fuerzas centrales, como es el caso de las gravitatorias y eléctricas. (Fuerzas centrales son aquellas cuya dirección pasa por un punto llamado centro de fuerzas y su módulo depende de la distancia al centro de fuerzas)

Ejemplo: Calcular el trabajo que la fuerza peso realiza para llevar un cuerpo de 2Kg desde el punto A hasta el B siguiendo los dos caminos de la figura

Siguiendo con el mismo ejemplo, si ahora consideramos que hay rozamiento, la velocidad de la piedra al llegar será menor que la inicial, lo que quiere decir que su energía cinética es menor y por tanto que el rozamiento es una fuerza disipativa o no conservativa. En general el trabajo realizado por una fuerza F al llevar un cuerpo del punto A al B depende del camino seguido. “Decimos que una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos inicial y final”. Por tanto si el trabajo lo hace una fuerza conservativa podemos poner que: WA → B,c1 = WA → B,c 2 como al cambiar los límites de integración la integral cambia de signo, podemos escribir: WA → B,c1 + WB→ A ,c 2 = 0 también se escribe:

o bien, como el camino no importa

WA → B + WB→ A = 0

r r ∫ F • dr = 0

Quiere decir que “el trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo”. Fíjate como en la segunda expresión no hemos indicado el camino seguido, puesto que al tratarse de una fuerza conservativa el trabajo es independiente de la trayectoria seguida. Resumiendo, podemos definir a las fuerzas conservativas diciendo: •

•

Aquellas que al llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B, realizan un trabajo que no depende el camino seguido: WA → B ,c1 = WA → B,c 2 , sino que solamente de la posición de los puntos inicial y final. Aquellas que al recorrer una trayectoria cerrada hacen un trabajo nulo: r r ∫ F • d r = 0 (Quiere decir que el trabajo es nulo cuando parten de un punto y, siguiendo una trayectoria cualquiera, vuelven al mismo punto.)

Son fuerzas conservativas, obviamente las que cumplen con esas definiciones, pero a título indicativo diremos que son fuerzas conservativas todas aquellas que no dependen del tiempo o de la velocidad, es decir, son conservativas las fuerzas que sean constantes (a excepción de la de rozamiento) y también aquellas que dependen de una coordenada y actúan a lo largo de ella, como por ejemplo la fuerza elástica de un resorte.

Lo primero de todo será dibujar la fuerza peso, que “siempre” vayamos por donde vayamos es la misma: tiene un módulo de P=mg=20New y la dirección vertical hacia r r abajo (en forma vectorial sería P = −20 j ). El trabajo por cada camino (teniendo en cuenta que la fuerza peso puede considerarse constante y podremos aplicar la definición particular de trabajo) es: WA→B por el camino 1 será igual al WA→P + WP→B • WA→P = F.s.cosα = 20.4.cos90 =0 • WP→B = F.s.cosα = 20.3.cos180 = –60 J • WA→B = WA→P + WP→B = 0 +(– 60) = –60 J

Observa que en el tramo de A→P el trabajo es nulo porque la fuerza peso es perpendicular al desplazamiento, mientras que en el tramo P→B el trabajo resulta negativo porque la fuerza y el desplazamiento forman 180º. (El signo menos indica que la fuerza Peso nunca realizará ese trabajo, sino el contrario) WA→B por el camino 2 • WA→P = F.s.cosα = 20 ⋅ 5 ⋅ cos126,87 = – 60J

Donde hemos tenido en cuenta que el espacio, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, es s = 4 2 + 3 2 = 5 El ángulo que forma la fuerza y el desplazamiento es 126,87º. Es igual a β+90, donde β = arctg3 / 4 = 36,87º A la misma conclusión llegaríamos si la trayectoria fuese cualquier otra, porque siempre podríamos descomponerla en un trozo infinitesimal r r horizontal (a través del cual el trabajo sería nulo porque P ⊥ d r ) y otro vertical (donde el r r trabajo elemental sería P • dy j ).

ENERGÍA POTENCIAL Imaginemos una maceta en lo alto de un balcón. Como consecuencia de su posición “en un campo de fuerzas conservativo como el gravitatorio”, tiene una cierta energía acumulada que puede convertir en trabajo en cualquier momento. Lo mismo podríamos decir para el caso de un resorte que se encuentra desplazado respecto de su posición de equilibrio, dado que las fuerzas elásticas también son conservativas. Puesto que el trabajo realizado por una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos, a esos puntos podemos asignarle una energía llamada potencial que es función de la posición. Por definición, “el trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”:

1 1 WA→B,F.Conservativa = Ep A − Ep B = Kx 2A − Kx 2B 2 2 Fuerza elástica resorte 4. No tiene ningún sentido hablar de energía potencial en un punto o energía potencial absoluta. De acuerdo con su definición como “el trabajo realizado por la fuerza conservativa para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B …” vemos claramente que solamente puede hablarse de variación de energía potencial entre dos puntos. 5. No obstante, puede definirse energía potencial absoluta asignando valor cero a la energía potencial de un punto cualquiera. La elección del punto cuya Ep=0 es absolutamente arbitraria. Normalmente en el campo gravitatorio y el eléctrico se suele asignar valor cero a la Ep en el infinito (por la razón que ya veremos). En el caso de un resorte se le asigna Ep=0 a la energía que tiene en la posición de equilibrio. Br r WA→B,F.Conservativa = −∆Ep = Ep A − Ep B = ∫ FF.Conserv • d r A

WA → B ,F.Conservati va = − ∆Ep = Ep A − Ep B

El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza el cuerpo desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma, cualquier cuerpo sometido a la acción de una fuerza conservativa se mueve espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa que WA →B,F.Conserv .Campo = + cuando EpA > EpB)

Propiedades de la energía potencial: 1. Es una energía que posee un cuerpo debida a la posición que ocupa en un campo de fuerzas conservativas, o dicho de otra forma, es una energía que depende de la separación entre las partículas que interaccionan. 2. De lo anterior se deduce que la Ep es una magnitud asociada a la interacción entre dos cuerpos. Quiere decir que una masa no tiene Ep a menos que esté cerca de otra masa como la tierra, es decir, que un cuerpo, por el simple hecho de moverse tiene asociada una energía cinética, pero no tiene porqué tener energía potencial 3. La expresión de la energía potencial depende del tipo de fuerza conservativa. Como demostraremos más adelante: WA → B,F.Conservati va

= Ep A − Ep B = mg h A − mg h B

Campo Gravitator io puntos próximos a la Tierra

WA →B,F.Conservativa

= Ep A − Ep B = −G

Campo Gravitator io entre dos puntos cualquiera

WA → B,F.Conservati va = Ep A − Ep B = K Campo Eléctrico

M⋅m M⋅m − −G rA rB

q ⋅ q´ q ⋅ q´ −K rA rB

Si hacemos Ep B = 0 Si a la energía potencial del cuerpo en el punto B (o el A) le asignamos, por acuerdo, el valor cero, entonces podríamos hablar de energía potencial absoluta en el punto A (o el B) aunque en realidad sigue siendo una diferencia de energía potencial entre el punto y el otro al que hemos asignado cero. En los problemas de mecánica es corriente asignarle cero a la energía potencial en la superficie de la tierra (aunque sea más riguroso asignar Ep ∞ = 0 ). Así, la energía potencial de un gato en lo alto de un balcón sería: Ep = mgh como demostraremos más adelante. 6. En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre esos puntos” WA → B ,nosotros = Ep B − Ep A = ∆Ep = −WA → B, F.Conserv .Campo Es lógico que el trabajo que hacemos (en contra de la fuerza conservativa para llevar el cuerpo sin aceleración desde un punto a otro) sea igual al que hace la fuerza conservativa, pero con distinto signo, ya que para que el cuerpo se mueva sin aceleración la fuerza que debemos hacer debe ser exactamente igual a la conservativa pero en sentido contrario. Así pues, el trabajo realizado por nosotros para deformar el muelle una distancia x queda almacenado en forma de energía potencial elástica. Si soltamos el muelle él volverá a la posición de equilibrio y realizará el mismo trabajo que hicimos para deformarlo. En otras palabras nos devuelve el trabajo que hicimos nosotros para deformarlo. (exactamente igual podríamos decir de la maceta en el balcón.)

Hay que recalcar que los trabajos, aunque sean iguales en valor, son realizados por fuerzas distintas, así como que la fuerza que hacemos nosotros no es conservativa: • •

para subir, sin aceleración, la maceta al balcón o comprimir el resorte, nosotros hemos de realizar una fuerza contraria al peso, o contraria a la fuerza recuperadora en el caso del muelle. cuando soltamos la maceta, el trabajo lo realiza ahora la fuerza conservativa: la fuerza gravitatoria (el peso), o la fuerza recuperadora en el caso del muelle. Quiere decir que ahora el trabajo que hicimos y estaba acumulado en Ep nos lo devuelve el sistema.

Imagina que para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B nosotros hacemos un trabajo de 10 Julios (por ejemplo para subir un cuerpo hasta una determinada altura), entonces, si en el punto A tenía una energía potencial x, en el punto B tendrá una energía potencia x+10 :

Ejemplo: Demuestra que el trabajo realizado por nosotros, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, queda almacenado en forma de energía potencial y es igual al trabajo que nos devuelve la fuerza conservativa. a) Para las fuerzas elásticas de un resorte b) Para el peso en las inmediaciones de la superficie terrestre.

Ya hemos dicho que el trabajo para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro punto B que hace la fuerza conservativa y el que hacemos nosotros (para llevarlo sin aceleración) son iguales aunque de signo contrario. Eso es evidente ya que la fuerza que debemos hacer nosotros es exactamente igual a la conservativa pero en sentido contrario. Por otro lado, el trabajo que hace cualquier fuerza (sea la que sea) para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B es igual y de signo contrario al que hace para regresarlo desde B hasta A por el mismo camino (o por cualquier otro camino si la fuerza es conservativa). (Es una propiedad de las integrales definidas: si cambiamos los límites de integración el resultado es el mismo cambiado de signo.) De acuerdo con esto y con lo anterior tendremos que WA→B,nosotros = WB→ A ,F.Conserv .Campo a) Caso del resorte: Supongamos un resorte como el de la figura, que sigue la ley de Hooke. Para deformarlo hemos de aplicar una fuerza exactamente igual a la fuerza recuperadora del muelle y de r r sentido contrario, es decir que Fnosotros = kx ⋅ i mientras que al soltarlo quien trabaja es la r r fuerza recuperadora elástica que vale Fresorte = −kx ⋅ i . Por otro lado como el r r desplazamiento es según el eje X, el vector desplazamiento será: d r = dx ⋅ i

Recuerda que aunque la fuerza que hacemos nosotros para llevar el cuerpo “sin aceleración” sea igual en módulo a la fuerza conservativa peso, no por eso la fuerza que hacemos es conservativa. (Un Seat Panda puede ir por una carretera a la misma velocidad que un Mercedes y no por eso el Panda es un Mercedes.)

(

)

Br r r B r B 1 1 WA → B,nos = ∫ Fnos • d r = ∫ kx ⋅ i • dx ⋅ i = ∫ kx ⋅ dx = kx 2 BA = k x 2B − x 2A 2 2 A A A Ar r r A r A 1 2 A 1 WB→A ,resort = ∫ Fresort • d r = ∫ − kx ⋅ i • dx ⋅ i = ∫ − kx ⋅ dx = − kx B = k x 2B − x 2A 2 2 B B B

(

)

Como vemos el trabajo realizado por el niño para cargar la pistola queda guardado en forma de EP y es igual al trabajo que la fuerza elástica del resorte hace para llevarlo de nuevo del punto B al A.

b) Caso del campo gravitatorio, en puntos próximos a la superficie terrestre:

r escalar de la fuerza, tanto de la que hacemos nosotros que tiene dirección j como de la r que hace el campo, que tiene dirección − j por el vector desplazamiento nos quedaría r r lo mismo, ya que como sabemos i • j = 0 porque son vectores perpendiculares y el coseno de 90º es nulo.

Por ahora nos limitaremos a demostrar para puntos próximos a la superficie terrestre (donde el valor de g podemos considerarlo constante) el trabajo realizado por nosotros para llevar una masa de un punto A hasta otro B queda acumulado en forma de Ep y es igual al trabajo que el campo gravitatorio hace para llevarlo de nuevo del punto B al A.

Ejemplo: Un cuerpo de 20 Kg se encuentra en la base de un plano inclinado 30º sobre la horizontal, sin rozamiento. Un hombre tira de él y lo sube hasta una altura de 1,5 m. a) con qué fuerza debe tirar el hombre para subirlo con velocidad constante b) que trabajo realiza

Podría preguntarse ¿porqué si hemos recorrido un ciclo completo el trabajo en el ciclo no es nulo? La respuesta es muy simple, porque los trabajos no están hechos por la misma fuerza, ya que en el primer caso la hacemos nosotros y en el segundo el resorte.

Para subir, sin aceleración, el cuerpo desde al punto A al B tenemos que hacer una r r fuerza exactamente igual al peso y de sentido contrario, es decir que Fnos = mg ⋅ j , mientras que para ir desde el punto B al A es la fuerza del campo gravitatorio (el peso) r r la que lo lleva y por tato la que realiza el trabajo Fcampo = −mg ⋅ j . Por otro lado, en este r r caso como nos movemos sobre el eje Y, el vector desplazamiento es: d r = dy ⋅ j

Ya resolvimos este mismo ejemplo mas arriba por métodos dinámicos, ahora lo resolveremos teniendo en cuenta que el trabajo que hace el hombre para llevar el cuerpo desde el punto A hasta el B es igual a la diferencia de energía potencial. Además si consideramos el nivel cero de energía potencial en el punto mas bajo, el A, entonces: WA →B,nosotros = ∆Ep = Ep B − Ep A = mgh B = 20 ⋅ 10 ⋅ 1,5 = 300Julios

r r r r WA →B,nos = ∫ Fnos • d r = ∫ mg ⋅ j • dy ⋅ j = ∫ mg ⋅ dy = mgy BA = mgh B − mgh A = mgh B

A

B

B

A

A

r r A r r A = ∫ Fcampo • d r = ∫ − mg ⋅ j • dy ⋅ j = ∫ − mg ⋅ dy = − mgy A

WB→A ,campo

B

B

A B

= mgh B − mgh A = mgh

Ejemplo: Calcular la variación de energía potencial que experimenta un cuerpo de 70Kg, cuando lo trasladamos desde el punto A(1,2) hasta otro B(5,10).

B

Fíjate que en este ejemplo hemos llevado el cuerpo desde el punto A hasta el B siguiendo la vertical, pero sería igual si hubiésemos seguido otro camino cualquiera:

B r r r r r B ∆Ep = WA → B,nosotros = ∫ Fnosotros • d r = ∫ mg ⋅ j • (dx i + dy j ) = mg ⋅ y A

y =10 y=2

= 70 ⋅ 10 ⋅ (10 − 2) = 5600 J

A

Evidentemente, podríamos haber resuelto como ∆Ep = mgh B − mgh A Si tomamos nivel cero de Ep en y=0 tendremos ∆Ep = mgh B − mgh A = mg10 − mg 2 = 5600J Si tomamos nivel cero de Ep en y=2 (que es el punto más bajo) ∆Ep = mgh B − mgh A = mg8 = 5600J Como puedes ver el resultado es independiente del nivel cero de Ep porque la energía potencial es un escalar y se trata de restar la Ep que hay en dos puntos.

En efecto, el resultado sería exactamente el mismo. En este caso al movernos en dos r r r dimensiones el vector desplazamiento sería d r = dx ⋅ i + dy ⋅ j . Al realizar el producto

FORMA GENERAL DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza resultante de todas las fuerzas (sean conservativas o no) para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos: WA → B ,Todas las fuerzas = ∆Ec o bien podríamos escribirlo como: WA →B,campo + WA → B F.Conservati vas

dirección de la cuesta) tendremos que el trabajo del motor se invirtió en aumentar la energía potencial del coche ∆Ep = WA → B . Si sube, F. NoConservat

aumentando de velocidad, tendremos que el trabajo del motor se invirtió en aumentar la energía potencial del coche y en aumentar su energía cinética: ∆Ec + ∆Ep = WA →B F. NoConserva t

= ∆Ec

F. NoConservat

Principio de conservación de la energía mecánica

Por otro lado, como por definición, “el trabajo que hacen las fuerzas conservativas para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”, podemos poner que

WA →B,campo = −∆Ep

Es una particularización del principio general de conservación de la energía, que dice, que si sobre un cuerpo “solamente actúan fuerzas conservativas” entonces se conserva la energía mecánica. Resulta evidente, ya que si todas las fuerzas son conservativas WA → B =0 F. NoConservat

F.Conservati vas

Así que restando nos queda que ∆Ec + ∆Ep = 0

∆Ec + ∆Ep = WA →B F. NoConserva t

o lo que es igual:

o bien que:

Ec A + Ep A = Ec B + Ep B = E = const Ec A + Ep A + WA → B

= Ec B + Ep B

F. NoConservat

Eso quiere decir que la energía mecánica al final puede ser mayor o menor que la inicial. Todo depende del signo del trabajo de las fuerzas no conservativas, es decir del sentido de las fuerzas no conservativas: •

En el caso más frecuente de que se trate de las fuerzas de rozamiento la energía al final siempre será menor que la inicial, puesto que la fuerza de rozamiento tiene sentido contrario al desplazamiento y en consecuencia el trabajo que realiza siempre es negativo (al llevar sentido contrario al desplazamiento el r r r r producto escalar FRoz • d r resulta negativo − i • i = −1 ). Ec A + Ep A + WRoz = Ec B + Ep B

•

En el caso de que sobre el cuerpo actúe una fuerza no conservativa en la dirección del desplazamiento la energía mecánica al final es mayor que la inicial. Es el caso de cuando un coche sube acelerando por una cuesta. El trabajo realizado por el motor del coche es responsable que el arriba tenga más energía que al principio. Ec A + Ep A + WMotor = Ec B + Ep B Si observas bien la expresión ∆Ec + ∆Ep = WA → B

verás que arriba de la

F. NoConservat

cuesta el coche tiene mayor energía tanto si sube con velocidad constante como si aumenta de velocidad mientras sube. Lógico, ya que en ambos casos el motor debe realizar trabajo. Si sube, con velocidad constante, (para que ΣF=0 el motor debe ejercer la fuerza necesaria para compensar a la componente del peso en

Nos dice que “Si todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, la suma de la energía cinética y potencial es igual para cualquier punto”. A la suma de Ec y Ep se le llama energía mecánica. Este teorema que viene a decir que la Ec y Ep pueden variar de unos puntos a otros, pero que su suma (la energía mecánica) permanece constante, dicho de otra forma, como ∆Ec + ∆Ep = 0 si aumenta la energía cinética (∆Ec↑) eso implica que disminuya la potencial (∆Ep↓), como ocurre cuando un cuerpo cae en caída libre o desliza por un plano inclinado “sin rozamiento”.

Ejemplo: Una niña se tira por un tobogán desde una altura de 2 metros. a) ¿Con qué velocidad llegaría abajo si despreciamos el rozamiento? b) ¿Con qué velocidad llegaría abajo suponiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,5.?

a) Teniendo en cuenta que no hay rozamiento y el resto de las fuerzas son conservativas, podemos aplicar el teorema de conservación de la energía mecánica. La energía potencial que la niña tiene arriba se transformará en cinética cuando llegue abajo. Es decir, de acuerdo con la conservación de la energía mecánica ∆Ec + ∆Ep = 0 la disminución de energía potencial (∆Ep↓) debe ser exactamente igual al aumento de su energía cinética (∆Ec↑)

Ec A + Ep A = Ec B + Ep B

⇒

mgh A +

1 1 mv 2A = mgh B + mv 2B 2 2

v A = 2 g h A = 2 ⋅ 10 ⋅ 2 = 4,47m / s Como vemos, al no haber rozamientos el resultado es el mismo que si la niña cayera en caída libre desde esa altura. Lógico porque al tratarse de fuerzas conservativas el trabajo que realizan al llevar el cuerpo de un punto a otro es independiente del camino seguido.

Ejemplo: ¿Con qué velocidad hemos de lanzar una piedra para que llegue hasta una altura h? Vamos a resolver este sencillo ejercicio, con todo cuidado, para reparar en la forma de aplicar el principio de conservación de la energía. Presta atención porque es bastante sutil. 1º Lo habitual es suponer “que ya le hemos comunicado a la piedra la velocidad necesaria, vo”. En este caso la piedra tendría una Ec y comenzaría a subir: El aumento de energía potencial (∆Ep↑) se consigue a costa de disminuir energía cinética (∆Ec↓) Si despreciamos el rozamiento contra el aire se conservaría la energía mecánica porque la única fuerza sobre la piedra es el peso, que es conservativa: ∆Ec + ∆Ep = 0

→

b) Cuando hay rozamiento (que una fuerza no conservativa) ya no se conserva la energía mecánica, pero sí que se conserva la energía total. Como la fuerza de rozamiento es constante, su trabajo podemos obtenerlo como con la expresión particular: WA →B = FRoz ⋅ s ⋅ cos α = ( mg cos 30 ⋅ µ) ⋅ s ⋅ cos180

1 m v 2o = m g h 2 de donde v o = 2 g h

F. NoConservat F. Rozamiento

Ec A + Ep A + WA → B

= Ec B + Ep B

F. NoConservat

mgh A + (mg cos 30 ⋅ µ) ⋅ s ⋅ cos 180 =

1 mv 2B 2

Ec Suelo + Ep Suelo = Ec h + Ep h

2. Supongamos ahora que estamos en el instante inmediatamente anterior: “Cuando la piedra aun estaba parada sobre el suelo”. Si no hacemos nada por ella, parada seguiría. Para que la piedra comience a subir debemos comunicarle una energía mediante una fuerza que hacemos nosotros y que NO es conservativa. Por tanto, entre el momento en que la piedra está parada y el que está a una altura h, no se conserva la energía mecánica, aunque sí se conserva la energía total: ∆Ec + ∆Ep = WA → B

→

Ec Suelo + Ep Suelo + WA → B

F. NoConservat

v B = 2,31m / s

= Ec h + Ep h

F. NoConservat

Si el trabajo realizado por la fuerza no conservativa se lo comunicamos en forma de WA → B F. NoConservat

Como vemos, de acuerdo con la conservación de la energía total ∆Ec + ∆Ep = WA → B

energía cinética, tendremos que:

F. NoConservat

la disminución de energía potencial (∆Ep↓) se emplea en parte en aumentar la energía cinética (∆Ec↑) y otra parte se pierde en rozamiento transformándose en calor.

1 2 m v que le propina = Ep h 2 la FNCons de donde v que le propina = 2 g h la FNCons

Ejemplo: Cuando sobre un muelle helicoidal, situado verticalmente sobre una mesa, colocamos una masa de 1Kg, éste se comprime 2cm. Calcular la deformación que experimentaría el muelle si le dejamos caer la misma masa desde una altura de 1m. Con el primer dato y aplicando la ley de Hooke calcularemos la constante de recuperación del muelle. (teniendo en cuenta que le fuerza que deforma al muelle es el peso de la masa): mg 1 ⋅ 10 ⇒ F = kx k= = = 500N / m x 0,02 Balance de energías: Punto A: toda la energía es potencial gravitatoria (Ec=0 porque está parado y la Epelástica=0 porque el muelle está relajado). Tramo AB: a medida que desciende ∆Epgravitat↓, ∆Ec↑ y ∆Epelástica=0 porque el muelle sigue igual. Punto B: casi toda la energía inicial se ha transformado en Ec pero aun le queda un poco de Epgravitat (mghA = EcB+mghy). Tramo BC: al chocar con el muelle comienza a comprimirlo acumulándose toda la energía que tiene en potencial elástica: ∆Epgravitat↓, ∆Ec↓ y ∆Epelástica↑. Punto C: toda su energía es potencial elástica (Ec=0 porque está parado y la Epgravitat=0 porque ha llegado al nivel cero de Ep gravitatoria.) Aplicaremos el principio de conservación entre el punto A y C, porque de esta forma toda la energía potencial gravitatoria se transforma en energía potencial elástica:

∆Ec + ∆Epgravitat + ∆Epelástica =0 Ec A + Ep gravit , A + Ep elast ,A = Ec C + Ep gravit ,C + Ep elast ,C mgh A =

1 2 ky 2

1 2 ky 2

⇒

mg(1 + y) =

y = 0,2m

Ejemplo: Un bloque de 3Kg, que parte del reposo, desliza 7,6m hacia abajo por un plano inclinado 20º sobre la horizontal y continua recorriendo 2,75m por un plano horizontal, hasta que choca con un resorte y finalmente se detiene después de comprimirlo 15cm, como se muestra en la figura. Calcular la constante elástica del muelle sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,2. Si tenemos en cuenta que la energía potencial que el bloque tiene arriba, punto (A), menos la que pierde en rozamientos debe ser igual a la energía potencial elástica del resorte al final (D)

Aplicando la conservación de la energía entre la posición inicial y final tenemos que: Ec A + Ep gravit ,A + Ep elast ,A + WA → B

= Ec D + Ep gravit ,D + Ep elast , D

F. NoConservat

1 Kx 2 2 1 3 ⋅ 10 ⋅ 2,6 − [3 ⋅ 10 cos 20 ⋅ 0,2 ⋅ 7,6 + 3 ⋅ 10 ⋅ 0,2 ⋅ (2,75 + 0,15)] = K ⋅ 0,15 2 2 K = 1576 N / m mgh A + (µ mg cos 20 ⋅s ⋅ cos 180 + µ mg ⋅s´⋅ cos 180) =

E2B.S2011 a) Energía potencial asociada a una fuerza conservativa. b) Una partícula se desplaza bajo la acción de una fuerza conservativa. ¿Aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Y su energía cinética? Razone las respuestas. a) Teoría b) Cualquier partícula bajo la acción de una fuerza conservativa se mueve espontáneamente hacia donde la energía potencial es menor, ya que por definición WA → B ,F.Conservati va = − ∆Ep = Ep A − Ep B . (Eso precisamente es lo que indica el signo menos) De acuerdo con el principio de conservación de la energía mecánica, ∆Ec + ∆Ep = 0 , la disminución de energía potencial exige que aumente la energía cinética. Es lo que ocurre cuando cae una piedra: La piedra se mueve bajo la acción de la fuerza conservativa peso hacia donde disminuya su energía potencial (EpBEcA)

E6B.S2011 a) Conservación de la energía mecánica. b) Se lanza hacia arriba por un plano inclinado un bloque con una velocidad v0. Razone cómo varían su energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica cuando el cuerpo sube y, después, baja hasta la posición de partida. Considere los casos: i) que no haya rozamiento; ii) que lo haya. a) Teoría b) Si no hay rozamiento se conservará la energía mecánica, ∆Ec + ∆Ep = 0 . Si el bloque sube por el plano aumentará su energía potencial gravitatoria y la conservación de la energía mecánica exige que disminuya en la misma cantidad la energía cinética.

(Ello explica que a medida que asciende el bloque vaya disminuyendo de velocidad hasta pararse, en cuyo momento toda la energía cinética inicial se habrá transformado en potencial) Cuando hay rozamiento ya no se conserva la energía mecánica, aunque sí la energía total, ∆Ec + ∆Ep = WA → B . Ahora la disminución de Ec se invierte en parte en F. NoConservat

trabajo contra la fuerza de rozamiento (WF.No.Conserv es negativo) y el resto en aumentar la energía potencial. Naturalmente, como ahora solamente una parte de la energía cinética se emplea en aumentar la energía potencial el bloque subiría hasta una altura menor que cuando no había rozamiento y la totalidad de la Ec se convertía en Ep. E5B.S2011 Un bloque de 200 kg asciende con velocidad constante por un plano inclinado 30º respecto a la horizontal bajo la acción de una fuerza paralela a dicho plano. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,1. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque y explique las transformaciones energéticas que tienen lugar durante su deslizamiento. b) Calcule el valor de la fuerza que produce el desplazamiento del bloque y el aumento de su energía potencial en un desplazamiento de 20 m. g = 10 m s−2 a) Si el bloque asciende con velocidad constante quiere decir, de acuerdo con la 1ª ley de Newton, que la fuerza resultante sobre el bloque es nula. Sobre el bloque hay 4 fuerzas: el peso, la reacción del plano, la fuerza de rozamiento y la fuerza F paralela al plano (que es la que debe compensar a la fuerza de rozamiento y a la componente del peso en dirección del plano para que el bloque se mueva con velocidad constante).

Transformaciones energéticas: Puesto que hay rozamiento no se conserva la energía . Como la velocidad es mecánica, aunque sí la energía total, ∆Ec + ∆Ep = WA → B F. NoConservat

constante ∆Ec=0, el aumento de energía potencial se debe íntegramente al trabajo realizado por la fuerzas no conservativas, es decir al trabajo realizado por la fuerza F y al la FRoz. Puesto que el trabajo que hace la FRoz es negativo, la fuerza F debe realizar el trabajo necesario para aumentar la Ep y para compensar el que se pierde en rozamiento. r r b) La fuerza F paralela al plano, para que suba con velocidad constante, es F = 1173,2 i El aumento de energía potencial para un desplazamiento de 20m, o lo que es igual para un ascenso de h=20.sem30=10 m, podemos calcularlo de tres formas: * Aplicando directamente la ecuación de la energía potencial gravitatoria. Tomando nivel cero de energía potencial en el punto más bajo del plano: ∆Ep = Ep B − Ep A = mgh B − mgh A = 200 ⋅ 10 ⋅ 10 = 20000J * Aplicando la conservación de la energía: ∆Ec + ∆Ep = WA →B

En este caso las

F. NoConserva t

fuerzas no conservativas son la fuerza de rozamiento y la que hacemos paralela al plano: ∆Ec + ∆Ep = WA → B, F.Rozamiento + WA → B,F ∆Ec + ∆Ep = FRoz ⋅ s ⋅ cos180 + F ⋅ s ⋅ cos 0 ∆Ec + ∆Ep = 173,2 ⋅ 20 ⋅ (−1) + 1732 ⋅ 20 ⋅ 1 = 20000 J Observa, una vez más, que al utilizar la expresión particular del trabajo para fuerzas constantes, al sustituir el valor de las fuerzas escribimos su módulo, por eso al sustituir la fuerza de rozamiento no se puso el signo menos que tiene en su forma vectorial. * Aplicando la definición de energía potencial: “el trabajo que una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”: WA → B,F.Conservati va = − ∆Ep r r r Teniendo en cuenta que en este caso la fuerza conservativa es el peso: P = −1000 i − 1732 j y que solamente la componente Px realiza trabajo (porque la componente Py es perpendicular al desplazamiento), tenemos que:

Respecto de un SR con el eje X paralelo al plano, las fuerzas en forma de vector serían: r r r r r P = − mg sem 30 i − mg cos 30 j = −1000 i − 1732 j r r r N= mg cos 30 j = + 1732 j r r r = − 173,2 i FRoz = − mg cos 30 ⋅ µ i r r r F=F =F –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– r r r ΣF = F − 1173,2 i r Como v =constante

r r r → ΣF = F − 1173,2 i = 0

r r → F = 1173,2 i

WA →B,F.Conservativa = − ∆Ep Px ⋅ s ⋅ cos180 = − ∆Ep 1000 ⋅ 20 ⋅ ( −1) = − ∆Ep

(La componente x del peso forma 180º con el desplazam.)

→ ∆Ep = 20000 J

Por supuesto, también podríamos utilizar para el peso su módulo total, es decir, P=mg, pero en tal caso tendríamos que tener en cuenta que el ángulo que forma el peso con el desplazamiento es de 240º (observa la figura). (El peso forma 240º con el desplazamiento) P ⋅ s ⋅ cos 240 = −∆Ep 2000 ⋅ 20 ⋅ ( −0,5) = − ∆Ep → ∆Ep = 20000 J

Al mismo resultado llegaríamos si calculamos el trabajo que hace el peso aplicando la definición general de trabajo: WA →B,F.Conservativa = − ∆Ep r r r x = 20 B WA →B,Peso = ∫ ( −1000 i − 1732 j ) • dx i = ∫ − 1000dx = −20000 = − ∆Ep x =0

A

E4A.S2011 Un bloque de 2 kg se encuentra situado en la parte superior de un plano inclinado rugoso de 5 m de altura. Al liberar el bloque, se desliza por el plano inclinado llegando al suelo con una velocidad de 6 m s−1. a) Analice las transformaciones energéticas que tienen lugar durante el deslizamiento y represente gráficamente las fuerzas que actúan sobre el bloque. b) Determine los trabajos realizados por la fuerza gravitatoria y por la fuerza de rozamiento. g = 10 m s−2 a) Transformaciones energéticas: Puesto que hay rozamiento no se conserva la energía mecánica, aunque sí la energía total, ∆Ec + ∆Ep = WA → B . Al descender disminuye la F. NoConservat

energía potencial gravitatoria y esa disminución se emplea en aumentar su energía cinética y en trabajo en rozamiento (ten en cuenta que siempre el trabajo que hace la fuerza de rozamiento es negativo y por tanto en la expresión anterior sería como ∆Ec ↑ + ∆Ep ↓ + WA → B,F.Roz = 0 )

Seguramente ahora verás con mayor claridad las transformaciones energéticas que tienen lugar, ya que de la ecuación se deduce claramente que la energía inicial (100 J, toda potencial) se ha transformado en cinética (36 J) y en trabajo en rozamiento (−64 J) El trabajo realizado por la fuerza peso es de +100 Julios, ya que la fuerza peso es la única fuerza conservativa y por definición de variación de energía potencial tenemos que WA → B,F.Conservati va = WA → B, F.Peso = − ∆Ep = −(−100) = +100 J (ten en cuenta que ∆Ep =EpB – EpA = 0 – 100 = − 100 J) También podríamos calcular el trabajo realizado por la fuerza peso aplicando la definición de trabajo particularizada para fuerzas constantes, y teniendo en cuenta que solamente realiza trabajo la componente del peso que tiene la dirección del desplazamiento, es decir la componente Px = mgsenα. WA →B,Peso = Px ⋅ s ⋅ cos 0 = mg senα ⋅

Sin embargo calcular el trabajo perdido en rozamiento utilizando la definición de trabajo WA →B,F.Roz = FRoz ⋅ s ⋅ cos180 es bastante más laborioso que como lo hemos resuelto aplicando la conservación de la energía, porque nos obliga a calcular el valor de la FRoz utilizando métodos dinámicos. La fuerza de rozamiento tendríamos que obtenerla aplicando la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento rectilíneo y uniforme: mg senα − FRoz = m a v = at 1 s = a t2 2 5 s= senα

y si tomamos nivel cero de energía

F. NoConservat

potencial en el punto B, por ser el más bajo, podemos poner que:

= Ec B + Ep B

F. NoConserva t

mgh A + WA →B F. NoConserva t

WA → B

=

1 mv 2B 2

→

FRoz = 12,8 senα

Ahora ya podemos sustituir y tendremos:

b) Teniendo en cuenta que ∆Ec + ∆Ep = WA → B

Ec A + Ep A + WA →B

5 ⋅ cos 0 = +100 J senα

2 ⋅ 10 ⋅ 5 + WA → B F. NoConservat

=

1 2 ⋅ 62 2

= −64 J, lógico ya que en este caso la fuerza no conservativa es la de rozamiento y

F. NoConservat

su trabajo siempre es negativo porque dicha fuerza siempre tiene sentido contrario al desplazamiento, y en consecuencia forman ángulo de 180º.

WA →B,F.Roz = FRoz ⋅ s ⋅ cos180 = 12,8 senα ⋅

5 ⋅ cos180 = −64 J senα

CONCEPTO DE CAMPO. INTERACCIÓN A DISTANCIA La interacción entre dos partículas puede hacerse de dos maneras: • •

Por contacto entre ellas, que sería el caso de dos bolas que chocan Por acción a distancia, esto es, perturbando las propiedades del medio donde se encuentran las partículas. Supongamos a la tierra como una masa aislada, decimos que ella crea un campo (campo de fuerzas gravitatorio) porque produce una perturbación en el espacio que la rodea, de tal manera que si en él colocamos otra masa, se verá sometida a una fuerza (que le llamamos peso). Dicho de otra forma, la tierra ejerce una fuerza sobre la otra masa a distancia, sin necesidad de tocarla.

Para hacernos una idea clara de lo que es un campo, piensa en una fuente sonora, como una radio. Cuando está en funcionamiento, continuamente emite ondas sonoras que se propagan por el espacio que la rodea. Podemos decir que en ese espacio hay un campo de sonido. Ahora vamos a reparar que significa eso: 1. Se necesita un agente que cree el campo. En este ejemplo la radio. 2. En todos los lugares no se percibe la misma intensidad sonora, de manera que si nos acercamos o alejamos lo oímos más o menos fuerte. En general puede decirse que un campo es la región del espacio donde se manifiesta una propiedad física que toma un valor distinto en cada punto. 3. Ya sabemos que la radio crea un campo de sonido, pero ¿cómo sabemos que en un punto hay campo, hay sonido? Evidentemente la manera de saberlo es colocar a alguien que no sea sordo o un micrófono. En general diremos que para probar la existencia de un campo necesitamos un testigo o agente sensible al campo. 4. El testigo debe ser sensible al campo concreto, dicho de otra forma debe tener la misma propiedad que el agente que crea el campo. Para probar la existencia de un campo gravitatorio necesitamos una masa, para un campo eléctrico una carga, para uno magnético una brújula que no es más que un imán. 5. En el caso de la radio, como comprenderá el sonido producido no llega a todos los puntos de forma instantánea, sino que lo hará a la velocidad del sonido. En el caso de los campos gravitatorio y eléctrico la perturbación se propaga a la velocidad de la luz. 6. Finalmente digamos que el campo creado por un agente no ejerce ninguna acción sobre él mismo.

Clases de campos Los campos se clasifican según que la magnitud física sea escalar o vectorial, así tenemos campos escalares o vectoriales. Si la magnitud física, además de depender de la posición, dependiera del tiempo al campo se le llama dinámico, y estático si no depende del tiempo. A) Campos escalares: Son aquellos en los que la magnitud física que se manifiesta es un escalar.

Por ejemplo, la densidad de un sólido no homogéneo, como la tierra, puede considerarse como un campo escalar. Ya sabes que la densidad de la tierra aumenta si nos acercamos al núcleo, es decir que depende de la posición: ρ=ρ(x,y,z). Otro campo escalar es la temperatura en la atmósfera, porque en cada punto toma un valor, ya que depende de la altitud, pero además en este caso se trata de un campo dinámico, porque los valores en cada punto varían de unos días a otros es decir que T=T(x,y,z, t). . Los campos suelen representarse por unas líneas (o también por superficies) obtenidas uniendo todos los puntos en los que la propiedad física toma el mismo valor, por esa razón, en los campos escalares, se las llama líneas equiescalares. En algunos casos estas líneas tienen nombre propio, como en el caso de las temperaturas, donde se llaman isotermas, o de las presiones, donde se llaman isóbaras.

B) Campos vectoriales: Son aquellos en los que la magnitud física que se manifiesta es un vector. Los campos gravitatorio y eléctrico son de este tipo, porque en todo punto de los mismos se puede definir una fuerza cuyo valor es función de la posición en el campo. Lo que pasa es que para poner de manifiesto la existencia de esta fuerza es preciso colocar a un testigo y resulta que el módulo de la fuerza no solo es función de la posición del punto, sino que también depende de la característica del agente sensible o testigo. Convención: En lo que sigue llamaremos M o Q a la masa o carga que crea el campo y m o q a la masa o carga del testigo, aunque podrían llamarse m y m´ Suponga una masa M (o una carga eléctrica Q) en el origen de un SR. A su alrededor creará un campo gravitatorio (o un campo eléctrico), de tal forma que si en cualquier punto del mismo colocamos a un testigo m o q sobre él actuará una fuerza que viene dada por la ley de gravitación de Newton en el caso de las masas o por la ley de Coulomb en el caso de las cargas.

r m ⋅ m´ r Fgrav = G 2 ( − u r ) r

r q ⋅ q´ r Feléctr = k 2 u r r

La dirección de la fuerza es siempre según la recta que une las cargas (o las masas), por tanto tiene la misma dirección que el vector de posición de la m o q. En el caso de las r masas el sentido siempre es atractivo (en la misma dirección y sentido contrario a r , es r decir en la dirección y sentido de − u r ) y en el caso de las cargas depende de sus signos.

1. Coloca al testigo unidad en un punto, ya que si m´=1Kg o q´=+1C, fuerza e intensidad de campo coinciden.

2. Sobre el testigo aparecerá una fuerza en la dirección de la recta que une los centros de las masas o cargas

3. Si el testigo estuviera libre se movería dibujando la línea de campo y además nos dará el sentido.

Además se sigue el criterio de dibujar más o menos líneas en función de que la intensidad de campo sea grande o pequeña. Siguiendo estos mismos pasos podemos dibujar las líneas de campo para una carga positiva o negativa obteniendo:

Resulta que la fuerza que actúa sobre el testigo depende de: •

De la carga o masa que crea el campo (M o Q) y de la posición del punto P, es decir de la distancia entre las cargas (r). Tanto una como otra son magnitudes propias del campo. • Además depende del valor de la masa o carga que hemos colocado como testigo (m o q) Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa del testigo, vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo de fuerzas como la fuerza por unidad de testigo. • •

r La intensidad del campo gravitatorio se representa por g y es la aceleración de la gravedad, que conoces bien, y se mide en N/m o bien en m/s2. r La intensidad del campo eléctrico se representa por E y se mide en N/Coulomb

r r F E= q

En el caso de dos cargas (dipolo) o de dos masas se hace lo mismo, aunque teniendo en cuenta que en cualquier punto del campo, la fuerza es debida a la suma vectorial que cada carga o masa hace por separado sobre ella (es lo que más adelante veremos y que se llama principio de superposición):

r r F g= m

La Intensidad de campo gravitatorio es un vector en la dirección y sentido de la fuerza, ya que las masas siempre son positivas. En el caso de la intensidad de campo eléctrico siempre tendrá la misma dirección que la fuerza, pero el sentido dependerá del signo de q´ (recuerda el producto de un escalar por un vector).

El resultado sería:

LÍNEAS DE FUERZA El concepto de campo fue introducido por Faraday y a él se le ocurrió además una forma para visualizarlo mediante unas líneas imaginarias, dibujadas de tal manera que sean en todo momento tangentes al vector Intensidad de campo (o a la fuerza, que como sabemos tiene la misma dirección). Para dibujarlas se siguen los pasos: Propiedades de las líneas de fuerza:

1. Nos dan en todo momento la dirección y sentido de la Intensidad de campo (precisamente para eso se dibujan) 2. Las líneas de fuerza del campo gravitatorio y del eléctrico no se cierran. Como puede observarse en las figuras, las líneas de fuerza se inician en las cargas positivas y terminan en las negativas, por eso a las cargas positivas se las llama fuentes y a las negativas sumideros, así como las masas. 3. Las líneas de fuerza nunca se cortan. En efecto, ya que la intensidad de campo (y la fuerza) es tangente a ellas en cada punto, si se cortaran entonces podríamos dibujar dos tangentes y habría dos fuerzas distintas en el punto, lo que es absurdo.

Las características de las fuerzas gravitatorias son las propias de las fuerzas centrales: (Evidentemente el campo eléctrico, al igual que el campo gravitatorio, también es un campo de fuerzas centrales y para él también podríamos decir todo lo que sigue).

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Todas las masas en el universo, por el hecho de serlo, se atraen con una fuerza que es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa (medida de centro a centro). F=G

Las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales ya que al tener la fuerza la dirección de la recta que une a las masas, siempre pasará por la masa que crea el campo, siendo este punto el centro de fuerzas.

M⋅m r2

1) Las fuerzas gravitatorias tienen simetría esférica porque el módulo de la fuerza de atracción entre dos masas es igual en cualquier punto del espacio que se encuentre a la misma distancia de la masa que crea el campo, y el lugar geométrico de esos puntos es una esfera con centro en M y radio r.

La dirección de la fuerza que una masa ejerce sobre la otra es la de la recta que las une, así que para un SR centrado en una de las masas la fuerza tiene la dirección del vector de posición, pero el sentido puesto porque es atractiva. Por tanto vectorialmente sería:

r M⋅m r F = G 2 (− u r ) r r M⋅m r F = −G 2 u r r •

r u r es el vector unitario del vector de posición de la masa m respecto de M, es decir es un vector unitario en la dirección de la línea que une los centros de las masas y el sentido desde la masa que crea el campo hacia la otra.

•

El signo “menos” se interpreta como que son fuerzas atractivas, es decir que la fuerza tiene la misma dirección y el sentido opuesto al vector de posición, es r decir, la dirección y sentido de − u r

•

G es una constante de proporcionalidad llamada “constante de gravitación universal” (no debe confundirse con la aceleración de la gravedad, ya que son cosas completamente distintas). Sus unidades se obtienen fácilmente despejándola de la fórmula y su valor es: G = 6,67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 / Kg 2

Características de la interacción gravitatoria: (e igual para la interacción ente cargas)

2) Una partícula sometida a un campo de fuerzas centrales describe un movimiento en un plano. En efecto, ya que el vector de posición de la masa m respecto de M, su velocidad y su aceleración (fuerza) son siempre coplanarios y la partícula se moverá en el plano que determinan. (Los tres vectores siempre forman un plano porque como la fuerza y el vector de posición siempre tienen la misma dirección, en realidad es como si solo fuesen dos r r vectores F y v .)

Un ejemplo sería el movimiento circular uniforme, en el que la fuerza a la que está sometida la partícula (fuerza normal) apunta constantemente hacia el centro (por tanto es central) y tiene la dirección del radio, igual que el vector de posición, de manera que esos dos vectores con la velocidad siempre formarán un plano, es el del movimiento. Precisamente esto justifica a la primera ley de Kepler, que dice que los planetas describen órbitas elípticas planas en uno de cuyos focos está el sol.

r 3) El momento angular L de una partícula sometida a fuerzas centrales se conserva en r r el tiempo. En efecto, ya que como r y F tienen siempre la misma dirección, el r r r r r dL momento de la fuerza es nulo, porque M = r ∧ F = 0 . Y como por otro lado M = dt s al ser nulo el momento quiere decir que L = cte

Al tratarse de un campo de fuerzas conservativas:


La energía que la masa m tiene en cada uno de los puntos del campo creado por M solamente depende de la posición y por eso se le puede asignar una energía que llamamos energía potencial.
Una partícula sometida a fuerzas conservativas conserva su energía mecánica: Ec + Ep = cte Observación: Es importante tener en cuenta que la fuerza actúa tanto sobre una masa como sobre la otra y que son iguales y de sentidos opuestos (de acuerdo con la tercera ley de Newton), es decir, una es la de acción y la otra de reacción:

r Observa que si L es constante, también justifica que la trayectoria sea plana, ya que ello quiere decir que no solo no variará ni en módulo ni en dirección, que como sabemos es r la perpendicular al plano del movimiento. Si L no cambia en dirección, el plano del movimiento tampoco 4) El trabajo realizado por una fuerza central para llevar un cuerpo desde un punto A r r hasta otro B por una trayectoria circular es nulo. En efecto, ∫ F • d r = 0 porque en todo r momento la fuerza y el vector desplazamiento son perpendiculares (porque d r siempre es tangente a la trayectoria y la fuerza, al ser central, siempre tiene la dirección del radio).

5) Las fuerzas centrales son fuerzas conservativas, por tanto, el trabajo para llevar a una masa m desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solo depende de la posición de los puntos. (Es consecuencia del punto anterior, ya que una fuerza central solamente realiza trabajo cuando mueve un cuerpo en dirección radial, mientras que el trabajo es nulo cuando lo desplaza sobre la tangente). Sea cual sea la trayectoria seguida siempre podremos descomponerla en tramos infinitesimales verticales y horizontales. En los tramos horizontales r r (2→3) el trabajo es nulo porque F ⊥ d r . Solo hay trabajo en los tramos 1→2 y 3→4 El trabajo que hace la fuerza gravitatoria para llevar a la masa m desde al punto A hasta el B es el mismo por el camino1 que por el camino2.

r r F12 = −F21

F12 = F21 Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que la masa que crea el campo ejerce sobre el testigo, por ese motivo no prestamos atención a la que el testigo ejerce sobre la masa que crea el campo, pero ello quiere decir que no exista. Eso quiere decir que nosotros atraemos a la tierra exactamente con la misma fuerza que ella nos atrae a nosotros. Te preguntarás porqué entonces la tierra no cae sobre los cuerpos y sí al contrario. La respuesta es muy sencilla, y es que, la tierra tiene una masa muy grande comparada con la nuestra, y por tanto presenta una inercia muy grande. Si la fuerza que ejerce la tierra sobre nosotros es F12 y nuestra masa es m, nos atraerá con una aceleración que vendrá dada por F12 = m ⋅ a . Por otro lado, nosotros ejercemos sobre la tierra una fuerza igual en módulo F21 y si la masa de la tierra es M, la aceleración que nosotros ejercemos sobre ella vendrá dada por F21 = M ⋅ a´ . Como ambas fuerzas son iguales, al ser M muy grande la aceleración a´ con que la tierra se mueve hacia nosotros es prácticamente nula.

Ejemplo:

r 1s Una partícula se encuentra en un campo de fuerzas del tipo F = u τ r r Donde r es la distancia al origen O y u τ es un vector unitario perpendicular al radio a) ¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos en los que dicha fuerza tiene el mismo módulo? ¿Tiene simetría esférica? b) ¿Este campo de fuerzas es de tipo central? c) Calcular el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de una trayectoria cerrada. ¿Es un campo conservativo? a) Es evidente, que puesto que la fuerza solo depende de la distancia al origen O, la fuerza tendrá el mismo valor en todos los puntos que estén a la misma distancia de O,

por tanto el lugar geométrico será una esfera con radio en O. En consecuencia el campo tiene simetría esférica.

c) Comparar ambos resultados con los que se obtienen aplicando la fórmula P=mg DATOS: Rt=6370Km Mt=5,98.1024Kg G=6,67.10−11Nm2/kg2

b) Como puede verse en la figura, al tener la fuerza la dirección de la tangente a la circunferencia (perpendicular al radio dice el enunciado) no se trata de un campo de fuerzas centrales porque la dirección de las fuerzas no concurre en un punto.

Como se sabe, a la fuerza con que la tierra atrae a los cuerpos se le llama peso, así que no es más que la fuerza con que se atraen dos masas, pero cuando una de ellas es la tierra, por tanto, aplicaremos la ley de gravitación universal: F=G

M⋅m r2

a) En el caso de que el cuerpo esté sobre la superficie de la tierra, la distancia que separa ambos cuerpos es igual al radio de la tierra, porque se mide desde el centro de una masa al centro de la otra, así que r=Rt

El campo sería central si el vector unitario en lugar de llevar la dirección de la tangente r 1r llevara la dirección del radio, es decir su fuera del tipo F = u r r c) Para calcular al trabajo a lo largo de una circunferencia como la de la figura:

F=G

b) Cuando la masa está a 100Km de la superficie el problema es exactamente el mismo, solo que ahora la distancia que separa las masas es r=Rt+h

F=G

•

Mt ⋅ m 5,98 ⋅ 10 24 ⋅ 1 = 6,67 ⋅ 10 −11 = 9,83New 2 Rt 6370.000 2

Mt ⋅ m 5,98 ⋅ 10 24 ⋅ 1 = 6,67 ⋅ 10 −11 = 9,53New (R t + h ) 2 (6370000 + 100000) 2

El resultado es perfectamente lógico, ya que como puede verse en la ley de gravitación universal, a medida que aumenta r disminuirá F.

como puede verse el vector desplazamiento y la fuerza siempre tienen la misma dirección, así que forman 0º. • el valor del módulo de la fuerza a lo largo de toda la circunferencia es constante, ya que solo es función de r y valdrá F=1/R • los límites de integración si queremos recorrer la circunferencia completa serán desde 0 hasta 2πR. 1 W = F ⋅ s ⋅ cos 0 = 2πR = 2π R Como el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada no es nulo, entonces la fuerza no es conservativa.

Por tanto la misma expresión P=mg vale para ambos casos, simplemente lo que ocurre es que la aceleración de la gravedad no vale igual en cada caso, porque, como puede verse depende de r.

Ejemplo: Calcular la fuerza que la tierra ejercerá sobre un cuerpo de 1Kg de masa situado: a) Sobre la superficie terrestre b) a 100Km de la superficie

Lo que sucede es que cuando vemos la expresión P=mg inmediatamente pensamos en que g=9,81m/s2 sin pararnos a pensar que la aceleración de la gravedad no es una constante porque depende de la altura, incluso más adelante veremos que también depende de la latitud. (Concretamente los pesos que hemos obtenido estarían calculados para el supuesto de que la masa m estuviera en los polos.)

c) La fórmula P=mg es exactamente la misma que la de más arriba ya que, como veremos enseguida, la aceleración de la gravedad es: M g = G 2t r

INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE MASAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de gravitación universal nos da la fuerza con que se atraen dos masas, pero no hace referencia a la posible existencia de otras masas. Ello nos lleva al principio de superposición: “Si una masa se encuentra en el campo creado por varias masas, la fuerza total sobre ella es la fuerza resultante de las que cada masa, por separado, ejerza sobre ella.” De igual forma puede decirse que el campo gravitatorio creado por varias masas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada masa en ese punto.

r r Ftotal = ∑ Fi r r Ftotal = m ∑ g i

r r es decir que g total = ∑ g i

Ejemplo: En los vértices de un cuadrado de 1m de lado hay tres masas de 1, 2 y 3 Kg. Calcular la fuerza actuaría sobre una masa de 5Kg colocada en el cuarto vértice. De acuerdo con el Principio de Superposición, la fuerza total sobre la masa de 5Kg es la resultante de las fuerzas que cada masa por separado ejerce sobre ella. Simplemente calculamos el módulo de las fuerzas de cada masa sobre la de 5Kg (la dirección y sentido la dibujamos teniendo en cuenta que la fuerza siempre es atractiva y en la dirección de la recta que une las masas y luego elegimos un sistema de referencia y las sumamos como vectores que son.

m1 ⋅ m 1⋅ 5 = G 2 = 5G r12 1 m2 ⋅ m 2⋅5 F2 = G =G = 5G r22 ( 2)2

r r F1 = 5G j r r r F2 = −5G cos 45 i + 5Gsen 45 j r r F3 = −15G i r r r F = −18,5G i + 8,5G j El módulo sería F = ( −18,5G ) 2 + (8,5G ) 2 = 20,35G = 1,36 ⋅ 10 −10 New El ángulo con el eje X sería α = arctg

8,5G = −24,67º − 18,5G

NOCIÓN DE CAMPO GRAVITATORIO: INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO DE UNA MASA PUNTUAL Hemos visto que la fuerza que actúa sobre una masa m cuando la colocamos en un punto del campo gravitatorio creado por otra masa M, depende de magnitudes propias del campo (la masa que lo crea M y la posición del punto (r)) pero también depende del valor de la masa m. Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa de la masa del testigo, vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo gravitatorio como r la fuerza por unidad de masa. La intensidad del campo gravitatorio se representa por g y es la aceleración de la gravedad r r F Mr g = = −G 2 u r m r • La Intensidad de campo gravitatorio solamente depende de la masa M que crea el campo y de r, es decir de la posición del punto en el campo. • La intensidad de campo en un punto nos permite conocer la fuerza que actuará r r sobre un testigo de masa m colocado en ese punto: F = m g . Como se deduce de la relación, la fuerza es un vector en la dirección y sentido de la fuerza, ya que las masas siempre son positivas.

F1 = G

F3 = G

m3 ⋅ m 3⋅5 = G 2 = 15G r32 1

En el sistema de referencia de la figura, la fuerza en forma de vector creada por cada masa sobre la masa de 5Kg sería:

Por otro lado, hemos visto que el campo gravitatorio creado por varias masas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada masa en ese punto. r r g total = ∑ g i es decir se cumple el principio de superposición.

CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

menos capas de masas que influyen al campo, de manera que al disminuimos r también disminuimos la masa.

Suponiendo que la tierra es una esfera de radio R y de masa M, la fuerza con que atraerá a una masa m colocada en sus inmediaciones vendrá dada por la ley de gravitación universal de Newton: r M⋅m r F = −G ur (R + h) 2

Supondremos de que la densidad de la tierra sea constante. Teniendo en cuenta que la densidad es ρ = m / V , para una 4 esfera de radio r tenemos que m = ρ ⋅ π r 3 3

r r A la fuerza con que la tierra a trae a las masas se le llama peso: F = mg , así que tenemos que la aceleración de la gravedad en un punto no es más que la Intensidad de campo gravitatorio en ese punto: r g = −G

M r ur (R + h ) 2

Para el caso concreto de puntos próximos a la superficie terrestre, y si despreciamos por ahora la rotación de la tierra alrededor de su eje, su módulo sería: g=G

M 5,98 ⋅ 10 24 = 6,67 ⋅ 10 −11 = 9,83m / s 2 2 R 63700002

Factores que influyen en la aceleración de la gravedad La aceleración de la gravedad no es una constante (a veces de tanto utilizar en los ejercicios de mecánica el valor de 9,81 m/s2 algunos alumnos llegan a pensar que siempre vale eso) ya que depende de la distancia entre las masas.

La gravedad en el interior de la Tierra y en la superficie de la Tierra vienen dadas por:

g int

m = G 2int = G rint

M g T = G 2T = G RT

4 ρ ⋅ π rint3 3 rint2

4 ρ ⋅ π R 3T 3 R 2T

g int rint = gT R T

→

g int = g T

rint RT

Resumiendo, el módulo de la aceleración de la gravedad vale:

g int = g T

r RT

a) Variación de la gravedad con la distancia: 1. Disminuye con la altura sobre la superficie terrestre, ya que su módulo es:

g=G

M M =G r2 (R + h ) 2

g fuera = G

M r2

• Dentro de la tierra va aumentando linealmente con la distancia al centro. (es como una recta de ecuación y=mx) • En la superficie de la Tierra tiene el valor máximo gT • Fuera de la Tierra disminuye con el cuadrado de la distancia

Como puede verse, el valor de la aceleración de la gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia entre las masas.

M = 9,81m s − 2 R2 3. Disminuye linealmente en el interior de la Tierra. A primera vista podría pensarse que en el interior de la Tierra la gravedad debería aumentar al disminuir r, pero no es así, ya que solamente la masa encerrada en su interior contribuye al campo y, si te das cuenta, cada vez que nos vamos adentrando en el interior de la tierra cada vez hay 2. Tiene su valor máximo sobre la superficie de la Tierra: g T = G

b) Variación de la gravedad con la latitud. En la superficie de la Tierra, la gravedad varía con la latitud, debido al giro de la Tierra. Desde el punto de vista de un observador no inercial la aceleración será la resultante de la gravedad en ese punto y de la aceleración centrífuga. A 45º de latitud y al nivel del mar, la aceleración de la gravedad tiene el valor de 9,81 m/s2, que es el valor que suele tomarse en los ejercicios de mecánica.

Ejemplo: Encontrar la relación entre el valor de la gravedad en la superficie terrestre y el valor que tiene a una altura h sobre la superficie.

Ahora bien, al considerar su rotación, la aceleración real en un determinado lugar es la que resulta de componer vectorialmente la aceleración centrífuga para ese punto con la aceleración de la gravedad calculada anteriormente:

Si llamemos g al valor en la superficie terrestre y g´ al valor que tiene a una altura h, tendremos que: M g=G 2 R g´= G

M (R + h) 2

g (R + h ) 2 = g´ R2

⇒

g´= g

R2 (R + h ) 2

r r r g real = g + a c

Como puede verse a medida que nos alejamos de la superficie terrestre el valor de g´ disminuye.

Ejemplo: Calcular, en un lugar de la tierra situado a 45º de latitud: a) la aceleración centrífuga b) la aceleración de la gravedad

Para un sistema de referencia como el de la figura, las aceleraciones en forma de vector serían: r r r g = −9,83 cos 45 i − 9,83sen 45 j r r a c = 0,024 i r r r g real = −6,927 i − 6,951 j El módulo de la aceleración en ese punto sería: g real = ( −6,927) 2 + ( −6,951) 2 = 9,81m / s 2

a) Hay que tener cuidado y darse cuenta de que la circunferencia que describe el punto de latitud 45º no es igual al radio de la tierra, sino a r. Por tanto la fuerza centrífuga será: v2 (ω r ) 2 Fc = m =m = m ω2 r ⇒ a c = ω2 r r r como: 2π 2π 2π • ω= = = = 7,27 ⋅ 10 −5 rad / s T 1día 24 ⋅ 3600 • r = R ⋅ cos 45 = 6370000 ⋅ cos 45 = 4504270 m Sustituyendo: a c = ω 2 r = (7,27 ⋅ 10 −5 ) 2 ⋅ 4504270 = 0,024m / s 2 b) La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, suponiendo no girase, viene dada por: M 5,98 ⋅ 10 24 g = G 2 = 6,67 ⋅ 10 −11 = 9,83m / s 2 R 63700002

que es el valor que se toma para la aceleración de la gravedad en los ejercicios de mecánica. Observa que, de acuerdo con lo anterior, el valor máximo para la aceleración de la gravedad la tenemos en los polos, y el valor mas pequeño en el ecuador que es donde la aceleración centrífuga es mayor. ( a c = ω 2 r para el ecuador r=Rt y además es un vector opuesto a g)

M R2 M = G 2 − ω2 R R

g real,polo = G g real,ecuad

Ejemplo: ¿Qué relación hay entre el peso de una masa m en las inmediaciones de la tierra y en un planeta que tenga una masa 10 veces superior y el doble de radio? Muy sencillo, expresamos la fuerza que cada planeta hace sobre la masa y las dividimos miembro a miembro: Ftierra

10M ⋅ m ( 2R ) 2

El ángulo con el eje X sería α = arctg

1,7G = −24,67º − 3,7G

La fuerza sobre una masa colocada en el punto P se obtiene simplemente con la expresión F=mg así que:

M⋅m =G R2

Fplaneta = G

El módulo sería g = (−3,7G ) 2 + (1,7G ) 2 = 4,07G = 2,71 ⋅ 10 −11 m / s 2

F5 Kg = m 5 g = 5 ⋅ 2,71 ⋅ 10 −11 = 1,36 ⋅ 10 −10 New Ftierra 4 = Fplaneta 10

⇒

Fplaneta = Ftierra

10 4

El resultado era de esperar ya que la fuerza de atracción gravitatoria (peso) es directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las masas, por tanto, será 10 veces mayor y 22 veces más pequeña.

Ejemplo: En los vértices de un cuadrado de 1m de lado hay tres masas de 1, 2 y 3 Kg. Calcular la intensidad de campo gravitatorio en el cuarto vértice. ¿Qué fuerza actuaría sobre una masa de 5Kg colocada allí? ¿Y sobre una masa de 6 Kg? De acuerdo con el principio de superposición, el campo gravitatorio (g) creado por cada masa por separado en el punto P es:

m 1 g1 = G 2 = G 2 = G r1 1 m 2 g2 = G 2 = G =G r2 ( 2)2 m 3 g 3 = G 2 = G 2 = 3G r3 1

Ahora solamente queda sumar vectorialmente. En el sistema de referencia de la figura, la intensidad de campo creada por cada masa sería:

r r g1 = G j r r r g 2 = −G cos 45 i + Gsen 45 j r r g 3 = −3G i r r r g = −3,7Gi + 1,7Gj

F6 Kg = m 6 g = 6 ⋅ 2,71 ⋅ 10 −11 = 1,63 ⋅ 10 −10 New Observación: Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio en un punto (la gravedad) tiene una ventaja enorme, ya que como vemos, una vez conocida, solamente hay que multiplicar por la masa en el punto P y obtenemos la fuerza que actúa sobre ella. (bueno, lo hemos hecho sobre su módulo, pero exactamente igual sería si hubiéramos multiplicado su expresión vectorial). Sin embargo, si hubiéramos calculado la fuerza sobre la masa de 5Kg sumando vectorialmente las fuerzas a partir de ese valor no podemos obtener la fuerza sobre otra masa, como hemos hecho con la de 6Kg, y habríamos tenido que repetir el ejercicio y la suma de vectores. Esa es la razón por la que se define la intensidad de campo, porque su valor no depende de la masa del testigo, sino de los agentes propios que crean el campo, es decir de las masas que lo crean y de la posición.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA DE UNA MASA EN PRESENCIA DE OTRA El campo gravitatorio es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que en él puede definirse una energía potencial. El trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos A y B. Por eso precisamente a esos puntos se le puede asociar una energía “que solamente depende de la posición” y que llamamos energía potencial. (Naturalmente, como es lógico, en un campo de fuerzas conservativo la energía potencial en un punto no depende exclusivamente de la posición de ese punto, también depende de la masa que crea el campo" y de la masa que hayamos colocado en ese punto". Precisamente para que tampoco dependa de la masa colocada en ese punto definiremos más adelante el Potencial (V) como la energía potencial de una masa unidad.)

Por definición, “el trabajo que una fuerza conservativa hace para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”: WA → B ,F.Conserv .Campo = − ∆Ep = Ep A − Ep B

Significado del signo menos: El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza el cuerpo desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma, bajo la acción de la fuerza conservativa un cuerpo se mueve espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa que WA → B ,F.Conserv .Campo = + cuando EpA > EpB) En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre esos puntos” WA → B,nosotros = Ep B − Ep A = ∆Ep = − WA →B,F.Conserva .Campo Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial gravitatoria, para ello no hay mas que calcular el trabajo que hace el campo gravitatorio para llevar una partícula desde el punto A al B:

r r r M⋅m r M⋅m = ∫ Fgrav • d r = ∫ − G 2 u r • d r = ∫ − G 2 ⋅ dr r r A A A B

Ep A − Ep B = WA →B,campo

B

B

donde hemos tenido en cuenta que vector r unitario u r y el vector desplazamiento r d r tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que 1 1 ∫ r 2 dr = − r nos quedaría que:

B

WA → B,campo

1 1  1 = −G ⋅ M ⋅ m −  = −G ⋅ M ⋅ m  −  = Ep A − Ep B  rA  rA rB 

Ep A − Ep B = −G

M⋅m M⋅m − −G rA rB

(Nota: aunque matemáticamente no es de lo más correcto escribir dos signos menos seguidos y menos sin un paréntesis, pero lo escribiremos así porque resulta más didáctico. Además lo pondremos en ese orden para que más adelante veas que estas expresiones son similares a las del campo eléctrico)

Energía potencial gravitatoria en un punto. Como vemos, estrictamente solamente podemos hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo para llevar la masa m desde uno a otro y por tanto debe haber dos puntos), pero si, por acuerdo, asignamos cero a la energía potencial de uno de esos puntos, entonces podremos habar de energía potencial absoluta (en realidad referida al punto que asignemos Ep=0). Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse que no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito sería la energía potencial en ese punto A. Dicho de otra manera: La energía potencial de una masa m en un punto es igual al trabajo que hace el campo para llevar a la masa m desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que la energía potencial de una masa m en un punto es igual a trabajo que tenemos que hacer para traer a la masa, sin aceleración, desde el infinito hasta ese punto) Ep A − Ep ∞ = −G como 1

∞

M⋅m M⋅m − −G rA ∞

=0 Ep A = −G

M⋅m rA

donde rA es la distancia que separa las dos masas. Como puedes ver la energía potencial en un punto siempre es negativa y tiene su “máximo valor negativo” en la superficie terrestre y va aumentando al alejarnos hasta llegar a cero en el infinito. Particularización de la energía potencial para puntos próximos a la superficie terrestre: En los puntos próximos a la superficie es razonable utilizar la conocida expresión: ∆Ep = Ep B − Ep A = mgh Vamos a ver como se deduce esta expresión particular a partir de la general que hemos obtenido:

Como puede verse en la figura rA = Rtierra rB − rA = h (Altura sobre la superficie terrestre)

Si llamamos M a la masa de la tierra y m a la masa del cuerpo, según hemos visto antes: r −r M⋅m M⋅m ∆Ep = Ep B − Ep A = −G − −G = G⋅M⋅m B A rB rA rA ⋅ rB Teniendo en cuenta que: • rB − rA = h • al tratarse de puntos próximos a la superficie terrestre, prácticamente rB ≅ rA con lo que podemos poner que rA ⋅ rB ≅ rA2 = R 2t . • y recordando que el módulo de la Intensidad de campo, o gravedad viene dada M por g = G 2 Rt al final nos quedaría que: ∆Ep = Ep B − Ep A = mgh

Cuestión: De la expresión Ep=mgh, se deduce que la energía potencial es positiva y aumenta con la altura. ¿Cómo es posible, si de la expresión Ep=–GMm/r se deduce que siempre es negativa y aumenta con la altura? La Ep que tiene una masa m en un punto del campo creado por otra M, como indica su expresión general, siempre es negativa y su valor máximo es cero, que corresponde a la Ep en el infinito. Lo que pasa es que siempre medimos “diferencias” de energía potencial y cuando restamos obtenemos el mismo valor con independencia de donde tomemos el cero. Por tanto entre dos puntos cualquiera hay la misma ∆Ep si el nivel cero lo tomamos en el infinito (que es lo natural) como si lo ponemos en cualquier otro lugar como la superficie de la tierra o donde sea:

Fíjate que, independientemente de donde tomemos el cero de Ep, el ∆Ep entre dos puntos siempre vale igual: EpB ‒ EpA = 20 J. Es exactamente el mismo caso que si montamos a un niño sobre una mesa para medir su altura. Tanto si lo medimos de pies a cabeza, como si medimos desde el suelo a la cabeza y restamos la distancia del suelo a

los pies obtendremos lo mismo. “No importa que al cambiar de sistema de referencia en cada medida tengamos valores distintos, lo que importa que es la diferencia siempre tendrá el mismo valor”.

Energía potencial “de una masa” debida al campo creado por una asociación de masas: de acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es la debida al campo que independientemente cada masa crea sobre ella, así que: Ep = −G

m1 ⋅ m m ⋅m m ⋅m m −G 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −G n = −Gm ∑ in=1 i r1 r2 rn ri

Energía potencial de una asociación de masas: En este caso la energía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de masas. Por ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería: m m mm m m  Ep = −G  1 2 + 1 3 + 2 3  r r r23  13  12 Ep = −G ∑

mim j rij

Ejemplo: Imagina que hay dos masas m1=10Kg y m2=20Kg como se indica en la figura. Calcular el trabajo que hemos de hacer para llevar una masa m de 5Kg desde la posición A(4,0) hasta la B(8,0)

Como sabemos el trabajo que hacemos nosotros es igual al incremento de energía potencial, así que solamente tenemos que calcular la Ep que la masa m tiene al final y al principio y restarlas. WA → B ,nosotros = ∆Ep = Ep B − Ep A = − WA → B ,F.Conservat . De acuerdo al principio de superposición, la Ep que la masa m tiene en el punto A es debida a la que tiene como consecuencia del campo que crea m1 mas la debida al campo que crea la masa m2, es decir: m ⋅m m ⋅m  10 10  Ep A = −G 1 + −G 2 = −Gm +  = −32,5G r1A r2 A 5 4 De igual forma, la Ep cuando está en el punto B será:

Ep B = −G

m1 ⋅ m m ⋅m  10 10  + −G 2 = −Gm +  = −17,96G r1B r2 B  8 8,54 

Por tanto: WA → B, nosotros = Ep B − Ep A = −32,5G − ( −17,96G ) = +15,54G

POTENCIAL GRAVITATORIO Recuerda que la fuerza que actúa sobre una masa m, en un punto de un campo creado por otra masa M, depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente se definió la intensidad de campo como fuerza por unidad de masa. Lo mismo le ocurre a la variación de energía potencial de una masa m entre dos puntos A y B, de un campo creado por otra masa M, que también depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente vamos a definir una magnitud nueva como variación de energía potencial por unidad de masa y que llamaremos variación Potencial (V): B

Ep A − Ep B WA → B,F.Conserv VA − VB = = = m m

r

∫F

F.Conserv

r • dr

A

m

B r r = ∫ g • dr A

B r r B r B Mr M VA − VB = ∫ g • d r = ∫ − G 2 u r • d r = ∫ − G 2 ⋅ dr r r A A A

donde hemos tenido en cuenta que vector r unitario u r y el vector desplazamiento r dr tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que 1 1 ∫ r 2 dr = − r nos quedaría que:

B

1 1  1 VA − VB = −G M ⋅ −  = −G M ⋅  −   r A  rA rB 

VA − VB = −G

M M − −G rA rB

Obviamente llegaremos al mismo resultado si dividimos la deferencia de energía potencial por el testigo m ya que, como hemos dicho, la ddp entre dos puntos se definie como la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad: VA − VB =

Ep A − Ep B M M = −G − −G m rA rB

Potencial gravitatorio en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como el trabajo pare llevar a la unidad de masa entre esos dos puntos). No obstante si, por acuerdo, asignamos cero al potencial de uno de esos punts, entonces podremos habar de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito porque allí se supone que ya no hay campo. W Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que VA − VB = A →B,F.Conservat podemos decir c que: El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una masa de 1Kg desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el potencial en un punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una masa de 1Kg desde el infinito hasta ese punto). M M VA − V∞ = −G − −G rA ∞ 1 =0 como ∞ M VA = −G rA donde rA es la distancia que separa la masa que crea el campo del punto A. Ejemplo: Calcular el potencial gravitatorio creado por una esfera de 100Kg de masa y dos metros de diámetro en un punto situado a 9m de su superficie. ¿Cuál será la energía potencial de una masa de 1Kg situada en dicho punto?

Suponiendo que la esfera es homogénea podemos considerarla como una masa puntual concentrada en su centro.

RELACION ENTRE CAMPO Y POTENCIAL

r Si te das cuenta el campo ( g ) es un vector y el potencial (V) es un escalar, así que su correcta relación es a través de un operador vectorial llamado gradiente, pero eso escapa de la programación de bachillerato, así que nos limitaremos a relacionar el módulo del campo y el potencial. Caso particular de campo uniforme, es decir, de puntos cercanos en los que la gravedad puede considerarse constante, entonces, teniendo en cuenta la definición de ddp, B r r VA − VB = ∫ g • d r = g r

B A

= g (rB − rA ) = g ⋅ d

A

Dice que la ddp entre dos puntos, entre los que puede considerarse constante el valor del campo, es igual al valor del campo por la distancia entre esos puntos. A la misma conclusión llegaríamos restando el potencial en el punto A del que tiene en B:

VA − VB = −G

M (rB − rA ) M (rB − rA ) M M − −G = G ≅G = g(rB − rA ) = g ⋅ d rA rB rA rB rA2

La relación referida a un punto concreto, teniendo en cuenta las expresiones del módulo r de g y la del potencial V en un punto: VA = −G

M M r = −G ⋅ A = − g A .rA rA rA rA

a) Como hemos visto la ddp entre el punto A y el infinito será igual al potencial en el punto A, que vale: M 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 100 VA = −G = − = −6,67 ⋅ 10 −10 J / Kg rA 10 b) De acuerdo con su definición, la energía potencial de una masa unidad en un punto y el potencial en ese punto son exactamente la misma cosa, así que Ep A = −6,67 ⋅ 10 −10 Julios

Quiere decir que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto A por la distancia del punto a la masa que crea el campo al punto se obtiene el potencial en ese punto. Hay un detalle importante: •

Para otro valor cualquiera de m´ la relación entre ambas magnitudes sería: Ep A = m´⋅VA •

r Si en un punto de un campo conocemos el valor de la Intensidad de campo ( g o r E ) podremos presumir exactamente lo que ocurrirá cuando coloquemos una masa m o a una carga q en un punto cualquiera (podremos calcular exactamente r r el módulo de la fuerza que actuará, su dirección y sentido, ya que F = mg o bien r r F = qE ) Sin embargo, si en un punto del campo solo conocemos el potencial en ese punto no podremos predecir lo que ocurrirá. Cosa distinta sería si conocemos el

potencial en dos puntos, entonces sí, porque, tanto la masa como la carga se moverán hacia donde disminuya su energía potencial. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Como su propio nombre indica (equi significa igual) una superficie equipotencial es aquella en la que en todos sus puntos hay el mismo potencial. Dibujemos una superficie y supongamos que es equipotencial: 4. Dos superficies equipotenciales nunca pueden cortarse porque ello implicaría que en los puntos de corte podríamos trazar dos perpendiculares y, como ya vimos, las líneas de campo no se cortan. Además, imagina que dos superficies equipotenciales se cortaran, entonces en ambas habría el mismo potencial y por tanto sería la misma superficie. Propiedades de las superficies equipotenciales: 1. Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares al vector intensidad de campo. En efecto, ya que para desplazamos de un punto a otro de la superficie es necesario que r el vector desplazamiento d r sea coplanario con la superficie, y puesto que según la definición de ddp entre dos puntos: B r r VA − VB = ∫ g • d r A r r si la superficie es equipotencial VA−VB=0 lo que quiere decir que: g = 0 o que d r = 0 ambas cosas son absurdas porque si no hay campo o no hay desplazamiento no habría problema, así que la única otra alternativa es que el producto escalar de ambos vectores sea nulo, es decir que formen ángulo de 90º.

2. El trabajo para lleva una masa de un punto A de una superficie equipotencial a otro B de la misma superficie equipotencial es cero. Obvio, ya que WA →B,F.Conservat = m (VA − VB ) y al movernos por la misma superficie equipotencial r r VA=VB. Además es cero porque como g y F tienen la misma dirección, entonces r r F ⊥ dr . 3. Para el caso de una masa, o de una carga las superficies equipotenciales son esferas concéntricas. En efecto, ya que como las líneas de campo son radiales, para que las superficies sean normales a ellas deben ser esferas con centro en la masa o carga que crea el campo.

Ejemplo: Imagina tres puntos 1, 2 y 3 en los que el potencial gravitatorio va disminuyendo, es decir que V1>V2>V3. ¿ Hacia donde se movería una masa m si la colocamos en el punto 2 y la dejamos libre?

La masa m (o una carga independientemente del signo) se mueve espontáneamente hacia el punto en el que disminuya su energía potencial. (Recuerda que eso precisamente es lo que indica el signo menos de la definición WA → B,F.Conserv .Campo = − ∆Ep = Ep A − Ep B ) Como Ep=m.V y teniendo en cuenta que las masas siempre son positivas (cosa que no ocurre con las cargas) es obvio que Ep1>Ep2>Ep3 y en consecuencia las masas se mueven siempre de forma espontáneamente hacia potenciales decrecientes. En este caso hacia V3. Si se tratara de una carga, como Ep=q.V resulta que si la carga es positiva se movería hacia potenciales decrecientes, pero si fuese una carga negativa se movería hacia donde aumente el potencial. Ahora que sabemos hacia donde se moverá la masa r podremos dibujar el vector campo g pero no podríamos si solamente conociéramos el potencial en un punto.

Ejemplo: Entre dos puntos A y B de un campo eléctrico existe una diferencia de potencial de 100 voltios. ¿Qué trabajo realiza el campo para llevar una carga positiva de 2µC desde A hasta B?

Al tratarse de un campo eléctrico, la característica del campo es la carga eléctrica, por tanto podemos poner que: WA → B,campo = q(VA − VB ) sustituyendo

WA →B,campo = 2 ⋅ 10 −6 ⋅ 100 = 2 ⋅ 10 −4 Julios Como puede verse el Potencial se mide en Julios/Coulombio que recibe el nombre especial de Voltio. De manera análoga el Potencial gravitatorio se mide en Julios/Kg que no tiene un nombre especial. Si en lugar de preguntarnos por el trabajo del campo, nos hubiesen preguntado ¿qué trabajo hacemos nosotros para llevar la carga de 2µC desde A hasta B? La respuesta, obviamente, sería –2.10−4J

LEYES DE KEPLER

1. Los planetas describen órbitas elípticas planas, en uno de cuyos focos está el sol. Esta ley resulta evidente si tenemos en cuenta que las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales y que, por tanto, se conserva el momento angular. Al ser constante el momento r r r angular L = r ∧ mv (tanto en módulo como en dirección) el plano formado por los r v vectores r y v también debe permanecer constante.

2. El radio vector que une el sol con uno de los planetas barre áreas iguales en tiempos iguales. Dicho de otra forma, la velocidad con la que el vector de posición del planeta respecto al sol barre áreas es constante.

En la figura hemos representado el área barrida por el vector de posición en el tiempo ∆t . Como recordarás, el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman, y obviamente la mitad al triángulo. Y teniendo en cuenta r r que la velocidad es v = d r / dt dA =

r 1r r 1r r 1 s 1 r r ∧ d r = r ∧ v dt = r ∧ mv dt = L dt 2 2 2m 2m dA 1 r = L = cte. dt 2m

3. Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de la distancia media de los planetas al sol: T2 = kR3

SATÉLITES: VELOCIDAD ORBITAL Y VELOCIDAD DE ESCAPE Velocidad orbital: Para que un satélite de masa m orbite a una distancia r alrededor de la tierra, desde el punto de vista de un observador no inercial, es preciso que la fuerza peso con que lo atrae la tierra sea igual a la fuerza centrífuga:

Fgrav = Fc G

La demostración de la tercera ley es consecuencia de la ley de gravitación universal de Newton. Que el planeta se mantenga en órbita supone, desde el punto de vista de un observador no inercial, que el peso del satélite se compense con la fuerza centrífuga: Peso = Fc

⇒

G

M⋅m v2 =m 2 r r

Teniendo en cuenta la relación entre la velocidad lineal y angular del planeta es v = ω ⋅ r y que ω = 2π / T G

v orbital =

GM r

Órbita geoestacionaria: Como vemos la velocidad orbital del satélite no depende de su masa, solamente depende del radio de la órbita y viceversa. Por tato, habrá un radio para el que el satélite tenga la misma velocidad angular que la Tierra (a esa órbita se le llama geoestacionaria) Los satélites geoestacionarios, como los de comunicaciones, son los que se encuentran en todo momento sobre el mismo punto, dicho de otra forman giran con la misma velocidad angular que la tierra (ω=2π/1día). Su órbita, además, debe estar en el plano del ecuador.

M⋅m v2 4 π2 =m = ω2 r 2 = 2 r 2 2 r r T

despejando el periodo: T2 =

M⋅m v2 =m 2 r r

4π 2 3 r GM

T2 = k ⋅ r3 Como puede verse todo lo que engloba el círculo son constantes (no aparece la masa del planeta) y el resultado de la operación, lógicamente, corresponde a una constante

Simplemente se trata de poner el radio de la órbita en función del periodo, “que debe ser 1 día”, para gire con la misma velocidad angular de la tierra. Para un SRNI, la fuerza de atracción gravitatoria debe compensarse por la centrífuga, así que: (es como deducir la tercera ley de Kepler, pero ahora despejamos el radio) G

M⋅m v2 4 π2 =m = ω2 r 2 = 2 r 2 2 r r T

despejando el radio de la órbita, y sustituyendo T=1día: r=3

GM ⋅ T 2 3 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24 ⋅ ( 24 * 3600) 2 = = 42259Km 4π 2 4π 2

La energía total del satélite cuando está en su órbita a una distancia r del centro de la tierra será suma de cinética y potencial, es decir: E = Ec + Ep E=

1 M⋅m  2 mv orb + − G  2 r   2

1  GM   M⋅m m + − G  2  r   r  1 M⋅m E=− G 2 r E=

•

Mientras el satélite permanezca en esa órbita no consume energía, porque se desplaza por una superficie equipotencial. Recuerda que: WA → B,campo = m (VA − VB )

Si VA=VB ⇒ W=0

Por eso solemos decir: “se lanza un cuerpo con una velocidad inicial vo …”. Si balanceamos entre cuando el satélite está en el suelo y ya le hemos comunicado esa energía y cuando está arriba orbitando, ahora ya sí que se conserva la energía mecánica, puesto que ahora la única fuerza es la gravitatoria, que es conservativa: ∆Ec + ∆Ep = 0 1 donde Ec suelo = mv o2 = WA →B Ec suelo + Ep suelo = Ec B + Ep B 2 F. NoConservat Como ves, ambos razonamientos son idénticos aunque parezcan distintos.

La velocidad de escape de un cuerpo que es lanzado desde la superficie de la tierra es aquella que permite que el cuerpo escape de la atracción terrestre y ello requiere que su energía total sea positiva o nula como mínimo. En efecto, ya que como sabemos, cuando lanzamos un cuerpo desde la superficie de la tierra, la atracción gravitatoria hace que su velocidad vaya disminuyendo conforme se aleja a la vez que se va transformando en potencial. • •

además en el caso del campo gravitatorio resulta obvio, ya que la fuerza gravitatoria y el vector desplazamiento por una superficie equipotencial (que son esferas concéntricas) forman ángulo de 90º y su coseno es 0 •

Si queremos que el cuerpo escape completamente debemos comunicarle una energía cinética de manera que no se detenga hasta llegar al infinito. Y en el infinito su energía mecánica sería cero porque llega con velocidad cero y porque allí su Ep=0, ya que es inversa a la distancia, así que como la energía mecánica en el lanzamiento debe ser igual a la que tiene en el infinito: Ec tierra + Ep tierra = Ec ∞ + Ep ∞

El signo menos de la energía total del satélite indica que se trata de un sistema ligado a la tierra, es decir que por sí mismo nunca se podría escapar de la atracción terrestre. Para escapar debería tener energía positiva o como mínimo nula.

La energía necesaria para poner un satélite en órbita: Esta energía es positiva porque debemos hacerla nosotros. Supongamos que inicialmente el satélite está en reposo sobre el suelo. Para que empiece a subir tenemos que ejercer un trabajo sobre él (WF.NoConserv) y en consecuencia no se conserva la energía mecánica, por tanto: ∆Ec + ∆Ep = WA → B F. NoConservat

Ec suelo + Ep suelo + WA →B

= Ec B + Ep B

F. NoConserva t

M⋅m 1 M⋅m 2 −G + WA →B = mv orbital −G RT 2 r F. NoConserva t 2

WA →B F. NoConserva t

WA →B F. NoConserva t

1  GM  M⋅m M⋅m m −G +G 2  r  r RT  2r − R T   = GMm  2R T r 

=

Ese trabajo se lo comunicamos en forma de energía cinética: WF.NoConserv. = 12 mv o2

E=

1 M⋅m 1 M⋅m   2 mv 2escape +  − G  = mv ∞ +  − G  2 R  2 ∞   

de donde: v escape =

2GM R

•

Si el cuerpo estuviera a una altura h la velocidad de escape, sería v escape = donde r=R+h

•

Como puedes ver comparando la velocidad orbital y la velocidad de escape: v escape = 2 ⋅ v orbital

2 GM

r

Ejemplo: Imagina un planeta que tuviese una masa igual a 3.1015 Kg y un radio de 1000 Km. Calcula: a) La energía potencial, cinética y total de un satélite de 500 Kg cuando está en la superficie de ese planeta a punto de lanzarse al espacio. b) La energía potencial, cinética y total del satélite cuando esté orbitando a 250 Km sobre la superficie del planeta. c) Qué energía hemos debido aportar al satélite para ponerlo en esa órbita. d) Velocidad para que escape de la atracción del campo gravitatorio e) La energía adicional que hemos de aportarle para que escape del campo gravitatorio Datos: G=6,67.10−11 N m2 Kg−2

Fgrav = Fc ⇒ G

M⋅m v2 =m ⇒ v orbital = 2 r r

GM 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 3 ⋅ 1015 = = 0,4 m / s r 1000000 + 250000

La energía cinética que tendrá en la órbita es: 2

Ec Órbita =

1 1  GM  1 M⋅m  = G mv 2 = m = 40 m / s 2 2  r  2 r

E Órbita = Ec + Ep = +40 − 80 = −40 Julios Observa la relación que guardan las distintas energías entre sí. Precisamente se han escogido estos valores para obtener números sencillos que ayuden a ver claramente esas relaciones que son las mismas con independencia de los datos. c) La energía que hemos de aportarle para ponerlo en órbita es: 1. la energía necesaria para subirlo hasta la altura h, que será igual a la variación de energía potencial ∆Ep = WA → B = −80 − ( −100) = 20 Julios . Como ya F. NoConservat

a) Cuando está en reposo sobre la superficie del planeta solamente tiene energía potencial, que además es donde tiene el valor más pequeño (el máximo negativo). Ep SupPlaneta = −G Ec SupPlaneta =

M⋅m 3 ⋅ 1015 ⋅ 500 = −6,67 ⋅ 10 −11 = −100 Julios R 1000000

1 mv 2 = 0 2

E Órbita = Ec + Ep = −100 Julios

indicamos, ese trabajo que hemos de hacer es el mismo que si subimos una piedra hasta un tejado, con la única diferencia de que al ser h muy grande la gravedad no puede considerarse constante y no podemos utilizar la expresión particular ∆Ep = mgh sino que hemos utilizado su expresión general. 2. la energía necesaria para que orbite con la velocidad orbital, es decir 40 Julios Por tanto la energía necesaria para ponerlo en órbita será 60 Julios. A la misma conclusión se llegaría aplicando el principio de conservación de la energía entre la superficie del planeta y la órbita: ∆Ep + ∆Ec = WA → B F. NoConservat

WA →B F. NoConservat

b) Cuando el satélite está a una altura h sobre la superficie del planeta tiene una energía potencial (que es independiente de si está girando o no): Ep SupOrbita = −G

M⋅m 3 ⋅ 1015 ⋅ 500 = −6,67 ⋅ 10 −11 = −80 Julios r 1000000 + 250000

fíjate que la energía potencial a una altura h es mayor que la que tenía en la superficie de la tierra. Es un número negativo que va creciendo con la altura hasta alcanzar su valor máximo igual a cero en el infinito. Si subimos el satélite hasta esa altura y no hacemos nada más el satélite nos caería encima exactamente igual que cuando se lanza una piedra hacia arriba. Si pretendemos que el satélite orbite ahora debemos comunicarle una velocidad tangencialmente (igual a la velocidad orbital) de forma que (desde el punto de vista de un observador no inercial) la fuerza centrífuga compense el peso de satélite:

= ( Ep Órbita − Ep Sup.Planeta ) + ( Ec Órbita − Ec Sup.Planeta ) = ( −80 − ( −100)) + (40 − 0) = +60 J

WA →B F. NoConserva t

d) La velocidad de escape es la velocidad que hemos de comunicarle para mandarlo al infinito con velocidad cero y donde la energía potencial también es cero y por tanto la energía total en el infinito es cero. Fíjate que conforme sube su velocidad disminuye y también su energía cinética hasta hacerse nula, mientras que la potencial va aumentando (se hace un número negativo cada vez menor) hasta llegar a su valor máximo igual a cero. Ec B + Ep B =

1 M⋅m 2 mv escape −G =0 2 r

2GM 2 ⋅ 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 3 ⋅ 1015 = = 0,566 m / s r 1000000 + 250000 e) La energía necesaria para que escape del campo gravitatorio es la energía para mandarlo hasta el infinito, donde la Ec=0 y la Ep=0, así que aplicando la conservación de la energía entre el punto B y el infinito: v escape =

GM = r

v orbital =

∆Ep + ∆Ec = Wb →∞ F. NoConservat

WA →B F. NoConservat

WA →B

= ( Ep ∞ − Ep Órbita ) + (Ec ∞ − Ec Órbita )

F. NoConservat

Ep Órbita = −G

fíjate que • la energía para mandar el satélite al infinito coincide con la energía total que tiene, pero cambiada de signo. • la energía para mandarlo al infinito no es la energía cinética que corresponde a la velocidad de escape, (esta sería ½.500.0,5662=80J). Esta energía sería la necesaria para que escapase si estuviese parado a esa altura (Ep=−80J), pero es que como está orbitando además de la potencial tiene una energía cinética adicional de +40J, por eso solamente hemos de aportar 80J−40J que ya tiene = 40J • el resultado está de acuerdo con lo que habría sido necesario para mandarlo al infinito desde la superficie de la tierra. Allí tenía una energía total de −100 J, así que el trabajo necesario para mandarlo al infinito sería de +100J. En el caso que nos ocupa hemos invertido +60J en ponerlo a orbitar y luego +40J en mandarlo al infinito, en total +100J.

Ejemplo: Un satélite de 100Kg de masa describe una orbita circular a 200Km de la superficie terrestre. a) Energía potencial del satélite cuando está en la superficie de la tierra. b) Calcular su velocidad orbital b) Energía potencial, cinética y total del satélite c) ¿Qué le pasaría al radio de la órbita si por efecto del rozamiento el satélite va perdiendo energía? Y en particular ¿Qué le ocurriría a su velocidad angular? d) Periodo e) Energía necesaria para ponerlo en órbita f) Velocidad necesaria para que escape del campo gravitatorio g) Energía necesaria para que escape del campo gravitatorio. Datos: MT=5,98.10 Kg a) Ep Sup .Tierra = −G

RT=6370Km

.

−11

G=6,67 10

2

−2

N m Kg

M⋅m 5,98 ⋅ 10 24 ⋅ 100 = −6,67 ⋅ 10 −11 = −6,26 ⋅ 10 9 Julios r 6370000 b) Para un observador situado en el satélite, éste estará sometido a dos fuerzas en la misma dirección y sentido contrario: El peso y la F.centrífuga, y ambas deben ser iguales para que se mantenga en órbita. r = R Tierra + h Fgrav = Fc de donde:

6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24 = 7792m / s 6370000 + 200000

b) La energía potencial, cinética y total serían:

= (0 − (−80)) + (0 − 40) = +40 J

24

GM = R+h

⇒

G

M⋅m v2 =m 2 r r

M⋅m 5,98 ⋅ 10 24 ⋅ 100 = −6,07 ⋅ 10 9 Julios = −6,67 ⋅ 10 −11 r 6370000 + 200000 2

Ec Órbita =

1 1  GM  1 M⋅m mv 2 = m = G = 3,04 ⋅ 10 9 m / s 2 2  r  2 r

E Órbita = Ec + Ep = 3,04 ⋅ 10 9 + ( −6,07 ⋅ 10 9 ) = −3,04 ⋅ 10 9 Julios O bien E Órbita =

1 M⋅m 1 M⋅m  mv 2 +  − G = −3,04 ⋅ 10 9 Julios =− G 2 r 2 r  

1 M⋅m c) Teniendo en cuenta que la energía total es E = − G resulta que, puesto que es 2 r negativa, disminuirá siempre que aumente en valor absoluto, es decir cuando disminuya el radio. Así pues, cuando por efecto del rozamiento pierda energía comenzará a describir una espiral de radio cada vez menor hasta caer en la tierra, o lo que es igual, la altura h cada vez será menor y como: GM v orbital = R+h al disminuir h, su velocidad lineal aumentará, y lo mismo le sucederá a la velocidad angular, ya que: v GM ω= = r (R + h ) 3 al disminuir h, la velocidad angular aumenta con mayor rapidez que la lineal. d) El periodo M⋅m v2 4π 2 4π 2 r 3 4π 2 (6570000) 3 =m = (ω r ) 2 = 2 r 2 ⇒ T = = = 5298seg 2 GM 6,67 ⋅10 −11 ⋅ 5,98 ⋅10 24 r r T o bien teniendo en cuenta que: v 2π 2π r 2 ⋅ π ⋅ 6570000 ⇒ T= = 5298seg ω= = = v 7792 r T G

e) La energía que hemos de comunicarle nosotros para ponerlo en órbita será la necesaria para subirlo hasta esa altura (∆Ep) más la energía cinética que luego hay que comunicarle tangencialmente para que comience a orbitar. Aplicando el principio de conservación de la energía entre la superficie de la tierra y la órbita: ∆Ep + ∆Ec = WA → B F. NoConservat

WA →B F. NoConserva t

= ( Ep Órbita − Ep Sup.Tierra ) + (Ec Órbita − Ec Sup .Tierra )

= ( −6,07 ⋅ 10 9 − ( −6,26 ⋅ 10 9 )) + (3,04 ⋅ 10 9 − 0) = +3,23 ⋅ 10 9 J

WA →B F. NoConserva t

f) La velocidad de escape es la velocidad que hemos de comunicarle para mandarlo al infinito, donde la energía es cero, así que: Ec A + Ep A = v escape =

2GM = r

1 M⋅m mv 2escape − G =0 2 r

2 ⋅ 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24 = 11019m / s 6370000 + 200000

1 M⋅m E=− G 2 r b2. Que la componente tangencial de la velocidad < vorbital. Entonces volvería a la superficie terrestre, como ocurre cuando lanzamos una piedra o un proyectil a poca velocidad. b3. Que la componente tangencial de la velocidad > vorbital (pero más pequeña que la de escape) entonces el cuerpo seguirá ligado al campo gravitatorio, pero describirá una órbita elíptica en lugar de circular.

FORMAS DE LA TRAYECTORIA DEL LANZAMIENTO DE UN COHETE En primer lugar vamos a recordar que: • • •

La energía potencial gravitatoria siempre es negativa y que va aumentando conforme nos alejamos de la superficie de la tierra (donde tiene su máximo negativo) hasta llegar a cero en el infinito. La energía cinética por el contrario siempre es positiva, aunque si lanzamos un cuerpo hacia arriba ira disminuyendo hasta llegar a cero. La energía mecánica total, que es la suma de la cinética y de la potencial, podrá por lo tanto ser negativa, cero o positiva.

Energía mecánica negativa: Si la energía mecánica es negativa decimos que el cuerpo está ligado a la gravedad terrestre y que por tanto no puede escapar de su campo. Pueden ocurrir: A) Si la velocidad es menor que la de escape “y tiene la dirección del peso” sería como tirar una piedra verticalmente hacia arriba: subirá hasta una determinada altura (más o menos grande dependiendo del valor de la velocidad inicial) y volverá a caer al suelo.

Ep Superf .Tierra + Ec quelehemos = Ec arriba + Ep arriba < 0 comunicado

Como ∆Ec+∆Ep=0 → mientras sube, la disminución de ∆Ec conlleva un aumento de la ∆Ep y al contrario mientras baja. B) Si la velocidad con que lo lancemos “tiene componente vertical y horizontal” el cuerpo subirá hasta la altura h (la componente vertical de la velocidad es quien le hace subir) y allí pueden pasar tres cosas: b1. Que la componente tangencial de la velocidad sea igual a la que debe tener para orbitar a esa altura a la que ha llegado v orbital = GM / r . En ese caso, una vez arriba, describirá una órbita circular alrededor de la tierra y su energía como hemos deducido valdrá:

Energía mecánica cero : Si la energía mecánica es cero (Ec+Ep=0), entonces el satélite tendrá la energía mínima para escapar del campo, y lo haría siguiendo una trayectoria parabólica. A la velocidad necesaria se le llama velocidad de escape: v escape = 2GM / r Energía mecánica positiva: Es decir, si le comunicamos una velocidad tal que Ec>Ep entonces, por supuesto escapará del campo gravitatorio, pero lo haría siguiendo una trayectoria hiperbólica. Además como puede suponerse llegaría al infinito con una velocidad>0.

E6B.S2008 a) Explique qué se entiende por velocidad de escape de la Tierra y deduzca razonadamente su expresión. b) Suponiendo que la velocidad de lanzamiento de un cohete es inferior a la de escape, explique las características del movimiento del cohete y realice un balance de energías.

EJEMPLO: a) Se lanza hacia arriba un objeto desde la superficie terrestre. Calcula la velocidad inicial que hemos de comunicarle para que llegue a una distancia r del centro de la tierra. Particularice la expresión de la velocidad inicial para puntos próximos a la superficie terrestre. b) Comente los cambios energéticos que tienen lugar durante el ascenso del objeto considerando despreciable el rozamiento. c) Calcule la velocidad orbital para que gire en una órbita r d) Se lanza hacia arriba un objeto desde la superficie terrestre. Calcula la velocidad inicial que hemos de comunicarle para que llegue a una distancia r del centro de la tierra y orbite. e) Calcular la velocidad de escape del objeto si lo lanzamos desde la superficie de la tierra. ¿ y si lo lanzáramos desde la órbita de radio r?

DATOS: G, MT, RT, m = masa del objeto

sube el satélite hasta la altura a que debe orbitar y una vez allí se le comunica horizontalmente una velocidad igual a la orbital.)

a) Cuando a un cuerpo le comunicamos (por algún procedimiento) una energía cinética estamos aumentando su energía mecánica y puesto que la fuerza gravitatoria es conservativa podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. Teniendo en cuenta que si se lanza verticalmente hacia arriba irá subiendo hasta pararse, poner que:

Ec tierra + Ep tierra = Ec P + Ep P

Ec tierra + Ep tierra = Ec P + Ep P

 M ⋅m 1 M ⋅m 1   = mv 2P +  − G T mv 02 +  − G T  2 R 2 r    T  de donde:  1 1  r − RT v 0 = 2GM T  −  = 2GM T   RT r   RT ⋅r

  h   = 2GM T     RT ⋅r 

Particularización para puntos próximos a la superficie terrestre: Teniendo en cuenta que en tal caso las distancias entre las masas RT y r son prácticamente iguales, y que la gravedad es g = GMT/R2 podemos poner:  h v 0 = 2GM T  2  RT

 M ⋅m 1 M ⋅m 1   = mv 2P +  − G T mv 02 +  − G T  2 R 2 r     T sustituyendo vp por la velocidad orbital: 2

 M ⋅ m  1  GM T   MT ⋅ m  1  = m mv 02 +  − G T   +  − G r  2 R 2 r   T  

  = 2 g h  de donde

En realidad este ejercicio es igual al que hemos resuelto en cursos anteriores (aunque utilizando la expresión de Ep válida para puntos próximos): “Calcular la altura que alcanza un cuerpo cuando se le comunica verticalmente y hacia arriba una inicial vo”. En tal caso lo que hacíamos era aplicar, exactamente igual, la conservación de la energía mecánica, pero asignábamos nivel cero de Ep en la superficie de la tierra y la expresión mgh para la Ep a una altura h: (sería igual si asignamos EpA=mghA y a EpB=mghB ya que en tal caso mg(hB– hA) =mgh ) Ec tierra + Ep tierra = Ec P + Ep P 1 2 → mv 0 + m g h A = 0 + m g h B v0 = 2g h 2

 2r − R T   v 0 = GM T   RT r  d2. podríamos haber hecho otro razonamiento (aunque en el fondo es exactamente lo mismo). Se trataría de calcular la diferencia de energía mecánica que tiene la masa m cuando está en la órbita r y cuando está parada sobre la superficie de la tierra. Esa diferencia de energía es la que hemos de comunicarle en forma de energía cinética: E A = Ec A + Ep A = −G

M⋅m RT 2

b) De acuerdo al principio de conservación de la energía mecánica, ∆Ec + ∆Ep = 0 , como el incremento de energía cinética es negativo (puesto que al subir va disminuyendo su velocidad), la energía potencial debe incrementarse en el mismo valor pero positivamente. c ) Teniendo en cuenta que para un observador no inercial que se mueva con la masa m la fuerza resultante sobre ella es nula: M ⋅m GM T v2 Fgrav = Fc → G T 2 = m → v orbital = r r r d) d1.Este caso es parecido al apartado a) con una diferencia: que una vez que llegue a la distancia r no puede tener velocidad nula, sino precisamente una velocidad igual a la velocidad orbital y además esa velocidad debe ser tangencial (ya que si tuviese componente vertical seguiría subiendo). (En realidad no se hace así, sino que primero se

E B = Ec B + Ep B =

1  GM   M⋅m M⋅m + − G m  = −G 2  r   r  2r

La diferencia de energía de cuando está orbitando con radio r y cuando estaba en reposo en la superficie de la tierra es EB–EA=WF.No.Conserv =GMm(2r–R/2Rr) Teniendo en cuenta que ese trabajo que le comunicamos lo debe adquirir en forma de energía cinética, tenemos que:  2r − R T GMm  2R T r

 1  = mv 02  2

→

 2r − R T v 0 = GM T   RT r

  

En realidad hay una diferencia entre ambos razonamientos. En el primer caso se parte de que el cuerpo está sobre la superficie de la tierra, pero ya se le ha comunicado la energía suficiente y por eso ahora ya todas las fuerzas son conservativas, entonces: ∆Ec + ∆Ep = 0

En el segundo caso se parte de un momento anterior, es decir cuando el cuerpo aun está en reposo sobre la tierra, y por tanto para que comience a subir necesita que se le comunique una energía, entonces: ∆Ec + ∆Ep = WA → B F. NoConservat

v escape =

 r − RT   v 0 y = 2GM T   RT ⋅r  El módulo de la velocidad inicial será, por tanto:   2r − R T  = GM T    RT r

  

No confundas la componente Y de la velocidad inicial con la componente Y del vector velocidad total. Esta sí que depende del tiempo, ya que este es suma de la velocidad inicial y de la debida a la gravedad sería: r v=

 r − RT GM T r  i +  2GM T   R ⋅r  r  T 

r   −g t j    

donde g = G M r2

La componente Y de la velocidad inicial depende del tiempo, ya que es la suma de la componente Y de la velocidad inicial (que es constante e igual a la que requiere para elevarse hasta una distancia r del centro de la tierra) y de la debida a la gravedad (que depende del tiempo).

e) La velocidad de escape es aquella que permite que el cuerpo escape de la atracción terrestre y ello requiere que su energía total sea positiva o nula como mínimo. Si queremos que el cuerpo escape completamente debemos comunicarle una energía cinética de manera que no se detenga hasta llegar al infinito, donde su energía mecánica sería cero porque llega con velocidad cero y porque allí su Ep=0, ya que es inversa a la distancia. Por tanto, como la energía mecánica en el lanzamiento debe ser igual a la que tiene en el infinito: Ec tierra + Ep tierra = Ec ∞ + Ep ∞

2GM R

Si el cuerpo estuviera a una altura h la velocidad de escape, sería v escape =

La componente X de la velocidad inicial debe coincidir con la velocidad orbital. (ya que durante todo el movimiento es la misma y por tanto debe ser igual a la que tiene en el punto más alto) GM T v 0 x = v orbital = r La componente Y de la velocidad inicial, que tampoco depende del tiempo, es igual a la que requiere para elevarse hasta una distancia r del centro de la tierra y ya hemos calculado antes.

 r − RT GM T + 2GM T  r  RT ⋅r

1 M⋅m 1 M⋅m   2 mv 2escape +  − G  = mv ∞ +  − G  2 R  2 ∞   

de donde:

d3. Para aclarar los conceptos y enlazar con lo que aprendimos en los tiros de proyectiles, fíjate que la velocidad inicial del cuerpo debe formar un cierto ángulo, teniendo dos componentes:

2 2 v = v 0x + v 0y =

E=

2 GM

r

donde r=R+h

Como puedes ver comparando la velocidad orbital y la velocidad de escape: v escape = 2 ⋅ v orbital

Ejemplo: ¿Con qué velocidad habría que lanzar desde la superficie de la tierra una nave para que llegue a la luna? Datos: MT=5,98.1024Kg ML=7,35.1022Kg dT−L=3,84.108m

Esto es casi igual si que nos pidieran la velocidad con que hay que lanzar una piedra para que llegue al tejado. La pequeña diferencia es que, en este caso, solo tenemos que llevar el cuerpo hasta una distancia x donde el campo gravitatorio y el lunar se igualan y luego ya será la luna la que tire del cuerpo y lo lleve hasta su superficie. El punto Po donde la gravedad terrestre y lunar se igualan, es decir gT=gL :

G

MT ML =G x2 (d − x ) 2

→

x=3,45.108m

Y ahora simplemente, aplicamos la conservación de la energía mecánica entre la superficie de la tierra y ese punto Po donde la gravedad es cero, que es donde hay que llevar al cuerpo. Ec tierra + Ep tierra = Ec P 0 + Ep P 0 M ⋅m 1 M ⋅m 1   mv 2 +  − G T  = mv 2Po +  − G T  2 R  2 x     1 1 v = 2GM T  −  = 1,11 ⋅ 10 4 m / s R  T x

La intensidad de campo puede ser nula en el infinito o, como hemos visto en este caso, en un punto entre la tierra y la luna donde la gravedad terrestre se compense con la gravedad lunar.

AMPLIACIÓN

No obstante, habrás visto la ingravidez aparente de los astronautas en un satélite en órbita. Se explica sencillamente porque la aceleración del satélite es igual a la aceleración de la gravedad. v2 Para un observador inercial g ≡ a normal = y para un observador no inercial r 2 v g = a centrífuga = r Sería exactamente igual que si vamos en un ascensor y se rompe la cuerda. La aceleración con que nos moveríamos sería igual a la de la gravedad, con lo que, respecto de la cabina del ascensor, tendríamos aceleración cero y la sensación de ingravidez. Si en tal situación soltamos un objeto nos daría la impresión de que no cae porque siempre guardaría la misma posición respecto a nosotros, sin embargo respecto de un SRI, realmente ambos estamos cayendo con una aceleración igual a la de la gravedad.

El concepto de circulación se introdujo primero en hidrodinámica para saber si un fluido circulaba, es decir si hay un movimiento neto del mismo a través de un camino o conducción.

CIRCULACIÓN DE UN VECTOR A LO LARGO DE UN CAMINO C

De la misma forma se puede aplicar al vector Intensidad de campo, aunque en este caso realmente no hay nada que circule. Imagina un camino cualquiera, abierto o cerrado. r r Tomemos un elemento de camino d r entonces la circulación del vector I a lo largo del mismo se define como el producto escalar de la intensidad de campo por el vector desplazamiento:

r r dC = I • d r

dC = Circulación a lo largo del elemento de camino dr r I = Intensidad de campo r d r = vector desplazamiento que ya conocemos (vector tangente al camino): r r r r d r = dx i + dy j + dzk α = ángulo que forman la Intensidad de campo y el vector desplazamiento

r Si dividimos el camino a seguir en elementos d r y evaluamos para cada uno el diferencial de circulación y los sumamos todos, tendremos la circulación total del vector r I entre los puntos A y B a lo largo del camino c. Esto se expresa con la integral de línea siguiente: Br r B C A →B,c = ∫ I • d r = ∫ I ⋅ cos α ⋅ dr A ,c

A,c

Se lee: la circulación entre los puntos A y B a lo largo del camino c Si la circulación fuese a lo largo de un camino cerrado, es decir desde el punto A al B y luego desde el B al A, tendríamos: B

C=

r

r

A

r

r

r

r

∫ I • d r + ∫ I • d r = ∫ I • dr A ,c1

B, c 2

La integral con el circulito indica que el camino es cerrado.

El concepto de circulación que se ha definido es aplicable a cualquier vector: • La circulación del vector fuerza entre los puntos A y B a lo largo de un camino c no es más que el trabajo realizado por la fuerza para llevar al cuerpo desde el punto A al B por ese camino. (Ya recordarás cuando definimos el trabajo, que dijimos que en general depende del camino seguido. No obstante si la fuerza es conservativa no sería necesario especificar el camino porque no depende de él.) Br r C A → B,c = ∫ F • d r = WA → B,c

y = 2x

camino c1: •

sustituyendo, la primera integral nos quedaría como:

•

en la segunda integral debemos hacer lo mismo, poner todo en función de una sola variable. Así que, si despejamos la x y sustituimos, nos quedaría: ∫ y / 2 ⋅ dy pero también si derivamos la ecuación de la trayectoria tendremos que dy = 2dx , así que también podríamos optar por poner la segunda integral de la

• La circulación del vector intensidad de campo entre los puntos A y B es igual a la menos la diferencia de potencial entre esos puntos. (En este caso nos da igual el camino seguido porque la diferencia de potencial entre dos puntos solo depende de la posición de los puntos.) B B r r r  Mr M  M C A → B = ∫ g • d r = VA − VB = ∫ − G 2 u r • d r =  − G  −  − G  rA   rB  r  A A

forma:

∫ x ⋅2dx . Da igual tomar una u otra aunque claro, según optemos, los

límites de integración serían desde yA a yB o desde xA a xB . WA →B,c1 =

x =1

∫ 3x

2 x ⋅ dx +

2

x =0

B

WA →B,c1 =

r

B

r

∫ F • dr = ∫ (3x A ,c1

WA →B,c1 =

2

y ⋅ dx + x ⋅ dy)

A ,c1

[ ]

 6x 4  2 WA →B,c1 =   + x  4 0

∫ x ⋅ 2dx

1 0

= 2,50Julios

b) El trabajo para llevar la partícula a lo largo del camino c2 se hace exactamente igual, con la única diferencia de que ahora la relación entre las variables x e y es distinta, porque viene dada por la ecuación del camino: y = 2x 2

camino c2: •

r r r r y i + x j) • (dx i + dy j )

A , c1

B

∫ (3x

2

x =1 x =0

1

Nos dice que calculemos el trabajo, pero sería exactamente igual si nos hubiesen dicho que calculemos la circulación del vector fuerza entre esos puntos y por esos caminos, ya que como sabemos es la misma cosa.

•

Sustituyendo la ecuación de la trayectoria en la primera integral, nos quedaría 2 2 ∫ 3x ⋅ 2x ⋅ dx y los límites de integración, como integramos respecto de x, serían xA y xB, es decir entre 0 y 1 Teniendo en cuenta que si derivamos la ecuación de la nueva trayectoria ( y = x 2 ) obtendremos dy = 4 x ⋅ dx si sustituimos en la segunda integral nos quedará

∫ x ⋅ 4x ⋅ dx

y los límites de integración, como también integramos

respecto de x, serían xA y xB, es decir entre 0 y 1

La integral podemos descomponerla en dos integrales, una donde, como puedes ver, se integra respecto a x y la otra donde se integra respecto a y.

WA →B,c 2 =

x =1

∫ 3x

2

2x 2 ⋅ dx +

x =0 B

WA → B,c1 =

∫ A ,c1

B

3x 2 y ⋅ dx +

3x 2 ⋅ 2x ⋅ dx y los límites

de integración, como integramos respecto de x, serían xA y xB, es decir entre 0 y 1

A,c

Ejemplo: r r r Calcular el trabajo realizado por la fuerza F = 3x 2 y i + x j cuando lleve a una partícula desde la posición A(0,0) hasta la B(1,2) a través de los caminos: a) de la recta y = 2 x b) de la parábola y = 2x 2

∫

∫

x ⋅ dy

A , c1

a) Hasta aquí es lo mismo sigas la trayectoria que sigas, porque solamente hemos sustituido F por su valor y realizado el producto escalar. fíjate que, por ejemplo, en la primera integral se integra respecto de x, pero la y no es una constante porque depende de x, así que antes de realizar la integral debemos poner todo en función de una sola variable y para eso es para lo que necesitamos la ecuación de la trayectoria, así que como:

x =1

∫ x ⋅ 4x ⋅ dx

x =0 1

1

 4x 3   6 x5  WA → B,c 2 =  +  = 2,53Julios   5 0  3 0

Como puede verse, en general, el trabajo depende de la trayectoria seguida. Por el contrario, si solo dependiera de la posición de los puntos A y B diríamos que la fuerza es conservativa.

Ejemplo:

FLUJO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE

El concepto de flujo se introdujo en hidrodinámica para expresar el flujo neto de fluido a través de la superficie. En un campo vectorial se aplica el concepto de flujo de manera análoga para indicar el número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie, aunque está claro que como las líneas de campo son imaginarias, en realidad a través de la superficie no fluye nada. Sea una superficie cualquiera, abierta o cerrada, si tomamos un elemento diferencial de superficie dS, el flujo (φ) de la Intensidad de campo a través de ella se define como el producto escalar del vector Intensidad de campo por vector de superficie:

dφ = Flujo a través del elemento dS r I = Intensidad de campo que lo atraviesa r dS = vector perpendicular a la superficie y de módulo igual al área del elemento α = ángulo que forman la Intensidad de campo y la normal a la superficie

Si dividimos la superficie S en elementos infinitesimales dS y calculamos para cada uno la diferencial de flujo y las sumamos todas tendremos el flujo total a través de toda la superficie, lo que se expresa como la integral de superficie:

El Flujo φ2 a través de la cara anterior es: φ 2 = E ⋅ S ⋅ cos α = E ⋅ S ⋅ cos 0º = E ⋅ πR 2

El flujo φ3 a través de la cara de atrás es:

S

No tienes que preocuparte por la aparición de una integral de superficie, porque en todos los casos que se van a plantear se resolverá sin tener que recurrir a cálculos complejos. Por ejemplo: r A) Si el campo es constante y perpendicular a la superficie, dS , es decir que I=cte y α=0º nos quedaría que: r r φ = ∫ I • dS = ∫ I ⋅ dS ⋅ cos 0º = I ∫ dS = I ⋅ S S

B) Si el campo es constante y paralelo a la superficie, es decir α=90º , entonces, como el producto escalar es nulo: φ=0 C) Si el campo es constante y forma un ángulo α con la perpendicular a la superficie: φ = I ⋅ S ⋅ cos α

φ1 = E ⋅ S ⋅ cos α = E ⋅ S ⋅ cos 90º = 0

siendo R el radio del cilindro

r r φ = ∫ I • dS

S

Vamos a calcular el flujo a través de la pared lateral, luego de la cara anterior y luego de la posterior. Sumando tendremos el flujo total a través de toda la superficie del cilindro El flujo φ1 a través de la pared lateral es cero, porque el campo y el vector superficie forman 90º y su coseno es nulo:

r r dφ = I • dS

S

r Un cilindro está en un campo eléctrico uniforme E como se indica en la figura. ¿Cuánto vale el flujo a través del cilindro?

φ3 = E ⋅ S ⋅ cos α = E ⋅ S ⋅ cos180º = −E ⋅ πR 2

El flujo total se obtiene sumando: φ = φ1 + φ 2 + φ 3 = 0 Más adelante estudiemos el teorema de Gauss, según éste, el flujo total a través de una superficie cerrada es nulo si no encierra cargas en su interior (o masas en el caso del campo gravitatorio).

Ejemplo: Una espira cuadrada de 4cm de lado se encuentra en un campo magnético de 2Weber/m2. Calcular el flujo que atraviesa a la espira: a) Cuando está perpendicular al campo b) Cuando está paralela al campo c) Cuando forma un ángulo de 60º con la dirección del campo d) Cuando gira con una velocidad angular ω

FLUJO DE LA INTENSIDAD DE CAMPO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE CERRADA. TEOREMA DE GAUSS

El teorema de Gauss nos permite calcular el flujo de la Intensidad de campo a través de una superficie cerrada de forma cualquiera. Supongamos una superficie cerrada de forma esférica, (para mayor sencillez, aunque el resultado es general) y que en su interior encierra una masa m. El flujo a través de un elementode superficie sería:

Hemos definido el flujo de forma general como el producto escalar de un vector a r través de una superficie, En este caso el vector es la inducción magnética B y la superficie, en realidad no es tal, puesto que una espira no es más que un hilo conductor que se cierra sobre sí, pudiendo tener forma circular, cuadrada o cualquier otra.

r r dφ = g • dS

a) φ = B ⋅ S ⋅ cos 0º = B ⋅ S = 2 ⋅ 0,04 2 = 3,2 ⋅ 10 −3 Weber El flujo a través de toda la superficie se obtiene integrando a toda ella: r r m m m φ = ∫ g • dS = ∫ − g dS = ∫ − G 2 dS = −G 2 ∫ dS = −G 2 ⋅ 4πr 2 = −4πGm r r S r S S S

b) Cuando la espira está paralela al campo el flujo es cero, porque en ese caso el vector superficie y el campo forman 90º y su coseno es nulo c) Cuando la espira forma un ángulo de 60º con la inducción magnética, fíjate que el ángulo que ésta forma con el vector superficie sería de 30º (no olvides que el vector superficie es perpendicular a la superficie)

resolviendo el producto escalar y teniendo en cuenta que α=180º

r r g • dS = g ⋅ dS ⋅ cos180 = −g dS

La integral de superficie es la suma de todas las superficies elementales y por tanto la superficie de la esfera 4πr2

φ = B ⋅ S ⋅ cos 30º = B ⋅ S = 2 ⋅ 0,04 2 ⋅ cos 30 = 3,8 ⋅ 10 −3 Weber d) Cuando la espira gire con una velocidad angular ω, el ángulo α será función del tiempo, estando relacionados ambos, como sabemos por: α = α o + ω ⋅ t φ = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S ⋅ cos ωt φ = 3,2 ⋅ 10 −3 cos ωt

En el caso de que dentro de la superficie hubiera varias masas, el flujo total sería la suma del debido a cada una de ellas, es decir que: φ = −4πG ∑ m i Es muy importante tener en cuenta que: •

Se trata del un flujo variable, porque depende del tiempo como puede verse. Mas adelante veremos que si un circuito (la espira en este caso) es atravesado por un flujo magnético variable, en él aparece una fuerza electromotriz inducida (e) que viene dada por: e=−

dφ d(B ⋅ S ⋅ cos ωt ) = BSω ⋅ senωt =− dt dt

Precisamente en esto se basa la producción industrial de corriente alterna.

• •

Solamente contribuyen al flujo a través de la superficie cerrada las masas (o cargas en el caso del eléctrico) que se encuentren en su interior. De ello se deduce que el flujo a través de una superficie cerrada que no contiene masas (o cargas) en su interior es nulo. La consecuencia es que la líneas de campo gravitatorio son abiertas (sumideros para las masas y confluyen en un punto) con lo que entrarían en la superficie por un lado y saldrían por el otro dando resultante de flujo nula. El flujo a través de la superficie cerrada es independiente de la posición de las masas en su interior, ya que su expresión no depende de r. El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada debido a las masas que encierra en su interior siempre es negativo.

Ejemplo: Dentro de una caja de galletas hay dos bolas iguales de masa m y fuera de ella hay otra bola también de masa m. a) Cual será el flujo del campo gravitatorio a través de la caja? b) Como se calcularía el campo en un punto P fuera de la caja?

Como hemos dicho, solamente contribuyen al flujo a través de la superficie cerrada las masas en su interior y además que el flujo es independiente de la posición de las masas en el interior de la superficie: φ = −4 π G ( m + m )

TEMA 2: VIBRACIONES Y ONDAS

PARTE 1 • • • • • •

Movimiento periódico: Periodo Movimiento Oscilatorio: Características Movimiento armónico simple Características cinemáticas del MAS Características dinámicas del MAS Energía del MAS

PARTE 2 Sin embargo para calcular el campo en un punto sí que habría que tener en cuenta a todas las masas, estén donde estén, y además también habrá que tener en cuenta las posiciones que ocupa cada masa respecto al punto. Aplicando el principio de superposición, no habría más que calcular el valor del campo en el punto P debido a cada masa por separado y sumarlos vectorialmente. Ejemplo: Obtener, utilizando el teorema de Gauss, la expresión de la intensidad de campo gravitatorio creado por una masa m a una distancia r.

Por supuesto ya sabemos la expresión que tiene, pero vamos a obtenerla a partir del teorema de Gauss. Dibujamos alrededor de la masa una superficie cerrada que va a ser una esfera cuya distancia a la masa será r. Según la ley de Gauss:

• Fenómenos ondulatorios: Pulsos y ondas • Rasgos diferenciales de ondas y partículas: Deslocalización espacial, transporte de cantidad de movimiento y energía sin transporte de materia. • Ondas longitudinales y transversales. Descripción cualitativa de los fenómenos de polarización. • Magnitudes de una onda: Amplitud, frecuencia, periodo, longitud de onda y número de ondas. Relación entre ellas. • Velocidad de propagación: Descripción cualitativa de su dependencia de las propiedades del medio. • Ondas armónicas: Expresión matemática de la función de onda y descripción de sus características. • Periodicidad espacial y temporal de las ondas: su independencia. • Velocidad y aceleración con que vibran los puntos del medio. • Magnitudes asociadas a una onda: Energía, Intensidad y Absorción PARTE 3

r r φ = ∫ g • dS

expresión general del flujo

S

φ = −4πGm

Teorema de Gauss

Como: r r • El vector g y el vector dS forman ángulo de 180º • El módulo de g es constante en toda la superficie, porque al ser la superficie esférica en todos sus puntos dista igual a la masa m. m − g ∫ dS = −4πGm ⇒ ⇒ − g ⋅ 4π r 2 = −4π G m g=G 2 r S

• Superposición de ondas: Descripción cualitativa de los fenómenos de interferencia de dos ondas. • Ondas estacionarias: Ondas estacionarias en resortes y cuerdas. Ecuación de una onda estacionaria y análisis de sus características. Diferencias entre ondas estacionarias y ondas viajeras. • Principio de Huygens • Propagación de una onda: Reflexión y refracción en la superficie de separación de dos medios. • Difracción: Diferencias de comportamiento de la luz y del sonido en los fenómenos cotidianos. AMPLIACIÓN • Pulsaciones • Efecto Doppler • Ondas de choque

MOVIMIENTO PERIÓDICO

Una partícula describe un movimiento periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, que llamamos periodo, repite sus valores cinemáticos (posición, velocidad y aceleración).

El movimiento armónico simple puede ser representado como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro. Imagina una lápiz sobre el plato de un tocadiscos que gira con velocidad angular constante. Si lo proyectamos sobre la pared obtendríamos un MAS.

Son movimientos periódicos el giro de la manecillas de un reloj, el movimiento circular uniforme, el bote elástico de una pelota, etc MOVIMIENTO OSCILATORIO. CARACTERÍSTICAS

Un movimiento oscilatorio es el de una partícula que se desplaza sucesivamente de un lado a otro de un punto central, o de equilibrio, a intervalos regulares de tiempo, que llamamos periodo, y repite sus valores cinemáticos (posición, velocidad y aceleración). Si la trayectoria es rectilínea y el origen se encuentra en el centro se llama vibratorio. Son movimientos oscilatorios el de un muelle, un péndulo, una varilla sujeta por un extremo, una cuerda de guitarra, etc, siempre que en todos los casos se desplacen de la posición de equilibrio y se suelten.

Supongamos un punto P que describe un movimiento circular uniforme con una velocidad angular ω y gira en sentido antihorario con un radio A. Según que lo proyectemos sobre un eje u otro obtendríamos el MAS de un resorte que oscila verticalmente o el MAS de un resorte oscila horizontalmente.

Las dos magnitudes que sirven para definir un movimiento oscilatorio son el periodo y la frecuencia: • • •

Se llama periodo al tiempo (T) comprendido entre dos posiciones sucesivas de las mismas características cinemáticas. Se llama frecuencia (ν) al número de oscilaciones que tienen lugar en la unidad de tiempo. (Se mide en seg−1 que recibe el nombre de Hercio) La frecuencia y el periodo son funciones inversas: T=

1 ν

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple (MAS), debido a que además de ser el de más sencilla descripción matemática, es una aproximación muy buena de muchas oscilaciones presentes en la naturaleza. El MAS : • • •

es un movimiento vibratorio y periódico es rectilíneo es acelerado, y en todo momento su aceleración es proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: a = −ω x 2

donde ω es una constante de proporcionalidad y el signo menos indica que la aceleración se opone a la deformación, es decir, que cuando x está en el lado positivo del SR, a apunta hacia el negativo y viceversa.

Como vemos, al proyectar sobre el eje X obtenemos una función coseno y si proyectamos sobre el eje Y obtenemos una función seno. Ambos resultados son equivalentes ya que el seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario, así que no habría más que sumarle o restarle π/2 al ángulo inicial ϕo para que las dos funciones sean la misma. Quiere decir que cos α = sen (α + π2 ) o bien que senα = cos(α − π2 ) (Precisamente π/2 es lo que ha variado nuestro punto de vista para obtener una u otra proyección.)

Para el describir el movimiento de una partícula que ejecuta un MAS utilizaremos la expresión: x = Asen(ω ⋅ t + ϕ o )

CINEMÁTICA DEL MAS

Si la elongación del MAS viene dada por x = Asen(ωt + ϕ o ) entonces la velocidad vendrá dada por su derivada respecto al tiempo, así que:

donde: •

• •

• •

v= x es elongación, es decir, la distancia en cada momento a la posición de equilibrio. Normalmente utilizamos la x, pero si el MAS tiene lugar en dirección vertical podríamos escribir y = Asen(ω ⋅ t + ϕ o ) A es la amplitud, es decir la elongación máxima ω se llama pulsación o frecuencia angular e indica el número de veces que el ciclo completo se repite en 2π segundos. 2π ω= = 2πν T ωt + ϕ o se llama fase e indica la situación del punto que vibra en relación a un ciclo completo ϕ o es la fase inicial, es decir la situación en referencia al ciclo completo que tiene la partícula en el momento t=0.

Si representamos la elongación en función del tiempo, obtendremos una sinusoide. Para eso le damos valores al tiempo cada cuarto de periodo:

dx = Aω ⋅ cos(ωt + ϕ o ) dt

si representamos la velocidad en función del tiempo, y para ello le damos valores de cuarto en cuarto de periodo, obtendremos:

• •

como es de suponer la gráfica de la función coseno está desfasada π/2 respecto de la función seno comparando la gráfica de la elongación con la velocidad se observa que cuando x=0, la velocidad es máxima y que cuando x=A, v=0. Eso es lo esperado, ya que si pensamos por ejemplo en el muelle, en los extremos, donde la elongación es máxima la velocidad es nula, porque allí se para, y luego empieza a crecer hasta llegar a su máximo en la posición de equilibrio, donde x=0.

Relación entre la velocidad y la elongación. Si elevamos la ecuación de la velocidad al cuadrado y tenemos en cuenta que sen 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 v 2 = A 2 ω 2 cos 2 ϕ = A 2 ω 2 (1 − sen 2 ϕ) = ω 2 ( A 2 − A 2 sen 2 ϕ) = ω 2 (A 2 − x 2 ) sustituyendo x: v = ±ω A 2 − x 2 (la representación en el caso de que ϕ o ≠ 0 sería igual, solo que desplazando el eje el valor correspondiente. El eje sería el de color verde.) Observa en la gráfica como el valor de la elongación va aumentando con el tiempo hasta llegar al valor máximo (amplitud) en el momento en que t=T/4 y luego comienza a disminuir hasta anularse para t=T/2. Luego sigue creciendo hasta llegar al máximo negativo para t=3T/4, etc

Observa como efectivamente, cuando x=0 la velocidad es máxima e igual a Aω. El signo positivo o negativo es la consecuencia de resolver la raíz cuadrada, e indica que para cada valor de x hay dos velocidades una de cuando el móvil se acerca a la posición de equilibrio y otra para cuando está en el mismo sitio pero alejándose.

La aceleración se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación de la velocidad: a=

dv = −Aω 2 sen (ωt + ϕ 0 ) dt

teniendo en cuenta que x = Asen(ωt + ϕ o ) , podemos poner que :

Resumen: Para mayor sencillez vamos a suponer que la fase inicial es φo=0, es decir, que en el momento t=0, x=0

Magnitudes cinemáticas

Valor máx

x = A sen ωt

x máx = A

Relación con x

gráfica (magnitud/t)

a = −ω x 2

que como ya dijimos anteriormente es la condición para que un movimiento sea MAS. Si representamos gráficamente la ecuación de la aceleración obtendremos:

v=

dx = Aω ⋅ cos ωt dt

v máx = Aω

v = ±ω A 2 − x 2

a=

dv = −Aω 2 sen ωt dt

a máx = Aω 2

a = −ω 2 x

Si observas detenidamente las ecuaciones de x y v comprenderás que ambas magnitudes estén desfasadas un cuarto de periodo ya que una es función seno y la otra coseno. Ello significa que cuando una toma su valor máximo la otra toma su valor nulo. Puedes verlo también en las gráficas correspondientes. También puedes verlo muy claramente en la relación entre ambas, ya que si por ejemplo x=0 → v = ±ω A 2 − 0 2 = Aω = v máx • •

La aceleración está desfasada π respecto de la elongación La aceleración toma sus valores máximos absolutos en los mismos momentos que la elongación, lo que pasa es que como tienen un desfase de π, cuando una tiene su máximo positivo la otra tiene el máximo negativo y viceversa.

Por su parte x y a están desfasadas medio periodo, ya que ambas son función seno, pero una tiene el signo cambiado respecto a la otra,. Ello significa que cuando una toma el valor máximo positivo, la otra toma su máximo negativo. Puedes verlo claramente en la relación entre ambas magnitudes a = −ω 2 x , que además es la condición de MAS. Cuando x=0 → a=0 y cuando x=A → a = −Aω 2

En la figura hemos dibujando las tres gráficas “superpuestas“ correspondientes a masa que ejecuta un MAS sujeta a un resorte. Préstale atención a cada una de las gráficas hasta que las entiendas muy bien, en especial a los valores que cada una de las magnitudes cinemáticas toma cada cuarto de periodo y a cómo esos valores se corresponden con las curvas de la derecha. Imaginemos una masa sujeta a un resorte y que ejecuta un MAS. Supongamos que empezamos a contar el tiempo cuando la masa pasa por la posición de equilibrio moviéndose hacia la derecha. En tal caso: Durante el primer cuarto de periodo la masa se mueve desde la posición de equilibrio x=0 (donde la velocidad es máxima) hasta x=A. Durante ese tramo la aceleración tiene sentido opuesto a la velocidad (y por supuesto la Fuerza recuperadora del muelle que r r es quién la provoca FRe cup = −K x i ) por eso el cuerpo va frenando hasta pararse en x=A.

Ejemplo: Cuando la cuerda de una guitarra da la nota La vibra con una frecuencia de 440 Hz. Si se desplaza 5mm a ambos lados de la posición de equilibrio, y si en el momento inicial se encuentra a 2mm a la izquierda de la posición de equilibrio y moviéndose a la derecha, calcula: a) Ecuación de la elongación, velocidad y aceleración

La pulsación será: ω=

2π = 2π ⋅ ν = 880π rad/s T

teniendo en cuenta que la amplitud es igual al máximo desplazamiento de la posición de equilibrio, A=0,005m, la ecuación de la elongación del MAS será: x = Asen(ωt + ϕ o ) = 0,005 ⋅ sen (880πt + ϕ o )

En x=A la masa está parada, pero la fuerza recuperadora, que sigue apuntando hacia la posición de equilibrio (tiene sentido r − i ,) comienza a tirar de ella. Como ahora velocidad y aceleración tienen el mismo sentido el movimiento es acelerado. Cuando llega a la posición x=0 la velocidad vuelve a ser máxima, aunque ahora tiene sentido contrario al inicial.

para completar la ecuación todavía nos queda calcular la fase inicial. Para ello tendremos en cuenta que tal como puede verse en la figura, en el momento inicial (t=0) la elongación es x=−0,002m. ¿Entiendes ahora el significado de la fase?

Por inercia rebasa la posición de equilibrio, pero inmediatamente que entra en x negativo la fuerza recuperadora cambia de sentido y, al tener aceleración en sentido contrario a la velocidad, empezará a frenar hasta pararse en x=‒A. (*) Al tomar x valores negativos, la fuerza recuperadora r r r FRe cup = −K x i tiene sentido + i , por eso siempre apunta hacia la posición de equilibrio.

para el momento t=0, tenemos que:

Una vez parado en x=‒A, la fuerza recuperadora (responsable de haberlo frenado) como mantiene el sentido hacia la posición de equilibrio comienza a acelerarlo conforme disminuye su distancia a x=0, donde llegará otra vez con la velocidad máxima. Al haberse empleado un periodo completo, la masa vuelve a tener exactamente los mismo valores cinemáticos

− 0,002 = 0,005 ⋅ sen (ϕ o )

⇒

ϕ o = −0,41 rad

así que la ecuación de la elongación de un punto de la cuerda será: x = 0,005 ⋅ sen (880πt − 0,41) Su velocidad y aceleración serán la primera y segunda derivada respecto al tiempo, así:

v=

dx = 0,005 ⋅ 880π cos(880πt − 0,41) = 4,4π cos(880πt − 0,41) dt

a=

dv = −4,4π ⋅ 880πsen (880πt − 0,41) = −3872 π 2 sen (880πt − 0,41) dt

DINAMICA DEL MAS

El péndulo simple o matemático no es más que una masa m sujeta a un hilo de longitud L y masa despreciable que está sujeto por el otro extremo y ejecuta pequeñas oscilaciones de forma que prácticamente el arco que describe sea una recta. Como sabemos, en este caso, la fuerza recuperadora es debida a la componente del peso:

Teniendo en cuenta que un MAS es un movimiento vibratorio en el que debe cumplirse que a = −ω 2 x . De acuerdo con la segunda ley de Newton, si la condición de MAS la multiplicamos por la masa del oscilador tendremos que la fuerza que provoca el MAS (llamara fuerza recuperadora por lo que ahora veremos) será: Frecup = m a = − m ω 2 x = − k x quiere decir que: • La fuerza es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio y el “signo menos” indica que la fuerza (al igual que aceleración) se opone a la deformación, , es decir, que cuando x está en el lado positivo del SR, a apunta hacia el negativo y viceversa, por ese motivo se llama fuerza recuperadora porque siempre apunta hacia la posición de equilibrio. • La constante de proporcionalidad, llamada constante elástica, es k = m ω 2 y es una constante característica para cada sistema. • Para una masa determinada, la frecuencia angular es también una constante del sistema. Como ω = 2π = 2π ν quiere decir también que cada sistema vibra con T un periodo propio y una frecuencia propia y característica.

El oscilador armónico ideal no es más que una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k. Como sabemos la fuerza recuperadora, que viene dada por la ley de Hooke es:  2π  Frecup = −kx = ma = −m ω 2 x = −m   x  T  2

donde se ha tenido en cuenta que la condición para que un movimiento se pueda considerar un MAS es que en todo momento su aceleración sea proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: a = −ω 2 x , así como que ω = 2π / T

x  2π  = ma = −m ω 2 x = −m   x L T  2

Frecup = −mgsenα = −mg

donde se ha tenido en cuenta que senα = x/L y que la condición para que un movimiento se pueda considerar un MAS es que en todo momento su aceleración sea proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: a = −ω 2 x , así como que ω = 2π / T . Despejando el periodo de la 3º y última: T = 2π

L g

Observa que: • El periodo no depende de la amplitud de las oscilaciones, ni tampoco de la masa. Solo depende de la longitud del péndulo y del valor de la gravedad

Ejemplo: La lámpara de la iglesia de Atarfe está colgada de un hilo de 5 m de longitud. Si comienza a oscilar ligeramente como consecuencia de una corriente de aire, podemos contar que ejecuta 13 oscilaciones en un minuto. Calcular el valor de la aceleración de la gravedad.

La frecuencia de las oscilaciones es: Despejando k de la 2ª y 3ª k = m ω2

Despejando el periodo de la 2ª y última m T = 2π k

Observa que: • El periodo (y la frecuencia) no depende de la amplitud de las oscilaciones. Solo depende de la masa y de la constante del muelle (como ya apuntamos antes) • También es independiente de si el muelle oscila horizontal o verticalmente

ν=

13 = 0,22Hz 60

T=

⇒

1 1 = = 4,54seg ν 0,22

y como: T = 2π

L g

⇒

g=

4π 2 L 4 π 2 ⋅ 5 = = 9,6m / s 2 T 4,54 2

E1A.S2014 1. a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características dinámicas. b) Un oscilador armónico simple está formado por un muelle de masa despreciable y una partícula de masa, m, unida a uno de sus extremos. Se construye un segundo oscilador con un muelle idéntico al del primero y una partícula de masa diferente, m’. ¿Qué relación debe existir entre m’ y m para que la frecuencia del segundo oscilador sea el doble que la del primero?

ENERGÍA EN UN MAS

Energía potencial: Ya hemos dicho anteriormente, que las fuerzas recuperadoras elásticas son fuerzas centrales y por tanto conservativas, así que como consecuencia podemos definir el incremento de energía potencial entre dos puntos como el trabajo que hemos de realizar nosotros para llevarlo desde un punto a otro.

b) Como los dos muelles son iguales, ambos tienen la misma constante elástica K. Escribimos la frecuencia (inversa al periodo) para ambos sistemas y dividimos miembro a miembro: 1 k 2π m 1 k ν´= 2ν = 2π m´

ν=

1 m´ = 2 m

→

m´= m / 4

E1B.S2001 Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de 0,1 π s de período y su energía cinética máxima es de 0,5 J. a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica. b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i) se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble. a) x = A sen (ω ⋅ t + ϕ o ) 2π 2π ω= = = 20 rad / s T 0,1π 1 1 Ec máx = mv 2máx = m (Aω) 2 → 2 2 x = 0,11sen (20 t ) → F = − K x = m a = m (−ω 2 x ) b)

v=

dx = Aω ⋅ cos( ωt ) dt

a=

0,5 =

1 0,2 (A 20) 2 → 2

A=0,11m

K = m ω 2 = 0,2 ⋅ 20 2 = 80 N / m

dv = −Aω 2 sen (ωt ) dt

i) Si duplicamos la constante elástica, manteniendo la masa, debe variar la frecuencia angular, ya que K´= m ω´2 = 2 ⋅ K = 2 ⋅ m ω 2 → ω´= 2 ⋅ ω La velocidad máxima (vmáx=Aω) aumentará en 2 La aceleración máxima (amáx =Aω2) aumentará el doble. ii) Si duplicamos la masa, manteniendo K, igualmente debe variar la frecuencia ω angular, ya que K = m´ ω´2 = 2m ω´2 = m ω 2 → ω´= 2 La velocidad máxima disminuirá en 1 / 2 y la aceleración máxima se hará la mitad.

WA →B F.Conser .( F. Re cuperadora )

Br r r B r B 1 = ∫ FRe cuperadora • d r = ∫ − kx ⋅ i • dx ⋅ i = ∫ − kx ⋅ dx = − kx 2 2 A resorte A A 1 2 1 2 = kx A − kx B = −∆Ep = Ep A − Ep B 2 2

B A

Si asignamos cero a la Ep del resorte cuando está en la posición de equilibrio, podremos hablar de energía potencial absoluta, así la Ep de un punto que dista x del origen sería: 1 Ep = kx 2 2 • Como vemos la Ep es máxima en los extremos, donde x=±A , Ep max = 12 kA 2 y es nula en la posición de equilibrio, donde x=0. • A partir de esa expresión y teniendo en cuenta que para un oscilador k = m ω 2 , 1 1 podríamos escribirla como: Ep = kx 2 = mω 2 x 2 2 2 La representación gráfica de la Ep que tiene el punto en función de x, es decir, de la posición que ocupa respecto de la posición de equilibrio sería exactamente igual que si representásemos la función y=5x2, una parábola, solo que ahora en el eje de ordenadas estará la Ep y en el eje de abscisas la x que tomará valores desde −A hasta +A puesto que no puede tomar otros.

La Energía cinética de la masa que oscila ejecutando un MAS es: 1 Ec = mv 2 2 Si tenemos en cuenta que v = ±ω A 2 − x 2 , podemos escribir la Ec en función de la elongación como: 1 1 1 Ec = mv 2 = mω 2 (A 2 − x 2 ) = k (A 2 − x 2 ) 2 2 2 • Como puede verse en ambas formas de expresar a la Ec, en el caso de que el punto se encuentre en el origen, donde x=0 y la velocidad es máxima, Ec max = 12 mv 2max = 12 m ω 2 A 2 = 12 kA 2 (Recuerda que v = dx dt = Aω ⋅ cos(ωt + ϕ o ) y que por tanto la v max = Aω ) La representación gráfica de la Ec que tiene el punto en función de x, es decir, de la posición que ocupa respecto de la posición de equilibrio sería exactamente igual que si representásemos la función y=10−5x2, una parábola invertida. En el eje de ordenadas estará la Ec y en el eje de abscisas la x que tomará valores desde −A hasta +A puesto que no puede tomar otros.

Conservación de la energía mecánica en el MAS: Puesto que las fuerzas recuperadoras son centrales y por tanto conservativas, se tiene que cumplir el principio de conservación de la energía mecánica, de manera que en todo momento: E = Ec + Ep = cte. Al conservarse la energía mecánica será igual en todo momento a la suma de ambas, pero también será igual a la potencial máxima Ep max = 12 kA 2 y también a la cinética máxima Ec max = 12 mv 2max = 12 m ω 2 A 2 (Si te das cuenta verás que ambas expresiones son totalmente equivalente, ya que k = m ω 2 ) E = Ec + Ep =

1 1 1 1 1 1 mv 2 + kx 2 = mω 2 ( A 2 − x 2 ) + mω 2 x 2 = mω 2 A 2 = kA 2 2 2 2 2 2 2 Ec + Ep Ec + Ep Ec máx Epmáx para x=0 para x=A

Como puede verse: • En los extremos, donde x=±A, la Ec=0 y la Ep es máxima. • En el origen la velocidad es máxima y también la energía Ec, mientras que Ep=0 • En cualquier otro punto se cumple que E = Ec + Ep = 12 mω 2 A 2 = 12 kA 2 = cte. como corresponde a un sistema conservativo. Representación gráfica • Si representamos la ecuación de la energía potencial Ep = 12 kx 2 en función de la elongación obtendremos una parábola (gráfica en rojo, que es exactamente igual que si representásemos una ecuación como y = 5x 2 ) • Si ahora representamos la energía cinética Ec = 12 m ω 2 ( A 2 − x 2 ) en función de la elongación obtendremos una parábola invertida (gráfica en azul, que es exactamente igual que si representásemos una ecuación como y = 10 − 5x 2 , por cierto que en este caso 10 sería la energía total) • Si representamos a la energía mecánica obtendremos una recta ya que es constante. (Es como si representásemos y=10) • Observa como para cualquier valor de x, la suma de la Ec + Ep = E

Ejemplo: Si una lámpara tiene una masa de 20Kg y está colgada de un hilo de 5 metros, calcular su energía mecánica cuando está oscilando y forma un ángulo máximo de 2º respecto de la vertical. ¿Cuánto valdrá la Ec y la Ep en el momento en que forma 1º con la vertical?

a) Si la cuerda de 5m se desplaza 2º de la vertical, la amplitud será: A = 5 ⋅ sen 2º = 0,174m

g por tanto, como la energía L mecánica es igual, por ejemplo, a la potencial máxima: La pulsación del péndulo es ω =

E = Ep máxima =

1 1 g 1 10 mω 2 A 2 = m A 2 = 20 0,174 2 = 0,60J 2 2 L 2 5

o bien, teniendo en cuenta que Frecup = −mgsenα = −mg y como E = Ep máxima =

x mg = −Kx → K = L L

1 1 g KA 2 = m A 2 = 0,60J 2 2 L

b) En el momento en que forma 1º con la vertical, la elongación será x = 5 ⋅ sen1º = 0,087m 1 1 1 g 1 10 mv 2 = mω 2 (A 2 − x 2 ) = m (A 2 − x 2 ) = 20 (0,174 2 − 0,087 2 ) = 0,45J 2 2 2 L 2 5 1 1 g 2 1 10 2 2 2 Ep = mω x = m x = 20 0,087 = 0,15J 2 2 L 2 5

Ec =

Como puedes ver se cumple que E=Ec+Ep E4B.S2012 2. a) Energía mecánica de un oscilador armónico simple. Utilice una representación gráfica para explicar la variación de las energías cinética, potencial y mecánica en función de la posición. b) Dos partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas a resortes de la misma constante k, describen movimientos armónicos simples de igual amplitud. ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor energía cinética al pasar por su posición de equilibrio? ¿Cuál de las dos pasa por esa posición a mayor velocidad? Razone las respuestas. a) Teoría b1) Al pasar por la posición de equilibrio tendrá la energía cinética máxima (igual a la energía mecánica) viene dada por E = 12 mω 2 A 2 = 12 KA 2 . Aparentemente, de la primera forma de expresar la energía mecánica podría pensarse que es función de la masa, pero no es así ya que si cambia la masa también debe cambiar la frecuencia para mantener el valor de K. Así que donde se ve claramente que ambas masas tendrán la misma energía cinética es en la segunda forma de expresar la energía mecánica, ya que solo depende de K y de A y es independiente de la masa.

b2) Puesto que la energía cinética máxima es igual para las dos masas, es evidente que la de mayor masa deberá tener menor velocidad, ya que Ec = 12 m v 2 E3A.S2010 a) Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son sus características dinámicas. b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia de un movimiento armónico simple si: i) aumentara la energía mecánica, ii) disminuyera la masa oscilante. a) Teoría b) Teniendo en cuenta que: 1 K A 2 por tanto,( 2 para un sistema concreto de constante elástica K), solo depende de la amplitud. • Por otro lado, la frecuencia del MAS de un oscilador viene dada por: m 1 T = 2π = que como vemos solamente depende de la masa oscilante y de K ν la constante elástica. Quiere decir que para un sistema concreto formado por un resorte y una masa fija, la frecuencia de oscilación es una característica del sistema. b1) Al aumentar la energía mecánica aumentará la amplitud, pero permanecerá inalterada la frecuencia de oscilación que es una característica del sistema. b2) Al disminuir la masa oscilante aumentará la frecuencia, pero permanecerá constante la amplitud, ya que no depende de la masa. • La energía mecánica viene dada por E = Ec + Ep = Ep máx =

E2A.S2010 Un cuerpo, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un resorte, efectúa un movimiento armónico simple y los valores máximos de su velocidad y aceleración son 0,6 m.s−1 y 7,2 m.s−2 respectivamente. a) Determine el período y la amplitud del movimiento. b) Razone cómo variaría la energía mecánica del cuerpo si se duplicara: i) la frecuencia; ii) la aceleración máxima. a) La ecuación general de un cuerpo que ejecuta un MAS es: x = Asen(ω ⋅ t + ϕ o ) . Derivándola respecto al tiempo obtenemos la velocidad y a su vez, derivando ésta obtenemos la aceleración, así que: dx v= = Aω ⋅ cos(ωt + ϕ o ) dt dv a= = −Aω 2 sen (ωt + ϕ 0 ) dt como vemos, los valores de la velocidad máxima y de la aceleración máxima son: v máx = Aω

0,6 = Aω

a máx = Aω 2

7,2 = Aω 2

de donde A = 0,05m y ω=12 rad/s

Teniendo en cuenta que ω=2π/T se deduce que T=π/6 seg y que la frecuencia es ν=6/π Hz

b1−a) La respuesta estricta a esta pregunta sería que un sistema concreto vibra con una frecuencia característica y por tanto no es posible cambiarla, ya que la frecuencia solamente depende de la constante del muelle (que es una característica del muelle) y de la masa que oscila. Sabemos que el periodo (y la frecuencia que es la inversa) viene dado por

T = 2π

m 1 = K ν

E2B.S2009 a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado de cada una de las variables que aparecen en ella. b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se duplicaran el periodo de movimiento y la energía mecánica de la partícula? a) Teoría b) La ecuación de una partícula que ejecuta un MAS es x = Asen(ω ⋅ t + ϕ o ) En primer lugar, si se duplica el periodo de las oscilaciones variará la pulsación o frecuencia angular haciéndose la mitad ya que es inversamente proporcional al periodo:

b1−b) Como puede verse, la frecuencia solo depende de la masa oscilante y de la constante. Si no podemos cambiar la masa del cuerpo y queremos cambiar la frecuencia de oscilación deberemos cambiar de muelle. Vamos a ver qué relación existe entre la energía de dos muelles que vibran con frecuencias ν y 2ν. Teniendo en cuenta que los resortes son sistemas conservativos, y que por tanto la suma de la energía cinética y potencial permanece constante, resulta que la energía mecánica será igual a la potencial máxima o bien a la cinética máxima, y como K=mω2 y ω=2π/T=2πν: E = Ec + Ep = Ep máx =

1 1 1 KA 2 = mω 2 A 2 = m 4π 2 ν 2 A 2 2 2 2

Como vemos, la energía de un sistema concreto solo es función de su amplitud (de su cuadrado) y de la constante. Por eso decíamos de cambiar de muelle para poder alterar la frecuencia del sistema, ya que la energía mecánica es proporcional al cuadrado de la frecuencia E=f(ν2) por tanto, si se duplica la frecuencia ("cambiando de resorte"), la energía mecánica se hará 4 veces mayor. Podríamos contestar a otra pregunta: “Qué relación guardan las constantes elásticas de dos resortes para que uno oscile con una frecuencia doble que el otro”. Despejando K tenemos: K = m ω 2 = 4π 2 m ν 2 K´= m ω´2 = 4π 2 m ν´2 = 4π 2 m (2ν) 2

div. miembro a miembro → K´= 4K

b2). Teniendo en cuenta que la a máx = Aω 2 (y puesto que para un sistema concreto la frecuencia con que oscila es una constante característica del mismo y por tanto también lo será la frecuencia angular ω = 2 π ν ), es evidente que, si se duplica la aceleración máxima se duplica la amplitud. Y como: 1 E = Ec + Ep = Ep máx = KA 2 2 Si la amplitud A se hace el doble, la energía mecánica se hará 4 veces mayor.

ω´=

2 π 2π ω = = T' 2T 2

Por otro lado, si la energía mecánica se hace el doble variará la amplitud, puesto que depende del cuadrado: E= ½KA2 Lo que ocurre es que si la energía se hace el doble la amplitud no aumenta en A´= 4 A como parece a bote pronto, ya que si también hemos duplicado el periodo hemos necesitado cambiar la constante elástica (el periodo depende de la masa y de la constante: K=mω2 ). Así pues: 1 mω 2 A 2 2 1 E´= mω´2 A´2 2 E=

Div.miembro a miembro

E 1 ω2 A 2 ω2 A 2 = 2 2 = = 2 E´ ω´ A´ 2 ω   2   A´ 2  

⇒ A´= 8A

FENÓMENOS ONDULATORIOS

En éste capítulo nos referiremos solo a ondas mecánicas, que son aquellas que necesitan un medio elástico para propagarse. Imaginemos un medio compuesto por muchas partículas unidas por una sustancia elástica. Si uno de sus extremos se perturba, es decir sufre una deformación, la experiencia nos dice que ésta se propaga a través del medio, aunque no lo hace de manera instantánea. Cuando tiramos una piedra a un estanque la deformación se transmite de unos puntos a otros y así sucesivamente, pero lo hace con un cierto retraso que depende de las propiedades del medio.

En una onda transversal cada punto del medio ejecuta un MAS en dirección perpendicular a la de propagación de la onda.

Cuando se enciende una bombilla, se da una palmada o tiramos una piedra al agua generamos fenómenos que tienen una cosa en común: En cada caso hay una propiedad que varía con el tiempo (la propagación de un campo electromagnético, la presión de los puntos del medio o el desplazamiento de las partículas de agua) y se transmite a través del medio de unos puntos a otros, pero de forma que el medio en sí no es transportado.

Las ondas transversales para propagarse necesitan un medio que presente fuerzas tangenciales que se opongan a la deformación, por esa razón solamente se propagan en sólidos y no pueden propagarse en el interior de líquidos ni gases, ya que sus moléculas carecen de este tipo de fuerza tangenciales. Las ondas longitudinales, por el contrario, pueden propagarse en cualquier medio.

Por tanto, en un movimiento ondulatorio hay un transporte de energía a través del medio, pero no de masa, ya que las partículas el medio oscilan alrededor de una posición de equilibrio y se transfieren la energía de unas a otras, pero no se desplazan en conjunto.

•

Ondas longitudinales: Son aquellas en las que las partículas del medio vibran en la misma dirección en que se propaga la onda.

Tipos de ondas: Las ondas se pueden clasificar atendiendo a varios aspectos. 1. Según el medio en que se propagan se clasifican en : •

•

Ondas mecánicas. Son aquellas en las que la perturbación producida en un punto se transmite a las demás debido a las propiedades elásticas del medio, es decir que la presencia del medio es indispensable para que tenga lugar la propagación y por tanto la onda. (No obstante insistimos que el medio en su conjunto no se desplaza, solo vibra. Piensa en una boya que al alcanzarla la ola sube y baja, pero no se desplaza en conjunto.) El sonido es una onda de este tipo y por tanto no puede propagarse en el vacío.

En una onda longitudinal cada punto del medio ejecuta un MAS en la misma dirección en que se desplaza la onda. Este tipo de ondas se explica mediante una serie de comprensiones y enrarecimientos (expansiones) sucesivos en el medio. Para entenderlo mejor piensa en varias bolas todas iguales suspendidas a la misma altura.

Ondas no mecánicas: Son las que pueden propagarse aun sin un medio soporte, es decir que pueden hacerlo en el vacío. A este tipo pertenecen todas las ondas electromagnéticas, como la luz, que son el objetivo de otro tema.

2. Atendiendo a la relación que existe entre la vibración de las partículas del medio y la dirección de propagación de la onda, se clasifican en : •

Ondas transversales: Son aquellas en las que las partículas del medio vibran en dirección perpendicular a la propagación de la onda.

Al dejar caer la primera bola, la energía que tiene es la que comunica a la segunda y esta a la siguiente y así sucesivamente hasta llegar a la última. En este caso, como en una onda, se transporta la energía de una bola a la siguiente pero no la masa y tiene lugar por las comprensiones y enrarecimientos mencionados:

El sonido es una onda longitudinal y su propagación se explica como en el caso de las bolas, así cuando se da una palmada la perturbación da lugar a una serie de comprensiones y enrarecimientos de la masa gaseosa que se encuentra a su alrededor.

MAGNITUDES DE UNA ONDA.

Longitud de onda (λ) es la distancia que hay entre dos puntos consecutivos que están en fase, es decir que tienen los mismos valores de elongación, velocidad, aceleración, etc)

Polarización de las ondas transversales

En una onda transversal la dirección de vibración de los puntos es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. quiere decir que, si por ejemplo la onda se propaga en dirección del eje X, los puntos podrán vibrar en cualquier dirección siempre que esté contenida en el plano YZ, como se muestra en la figura. Esta sería una onda no polarizada:

En el caso de que todos los puntos vibren en la misma línea si dice que la onda está polarizada linealmente o que tiene polarización plana (porque todos los puntos vibran en el plano formado por la línea de vibración y la dirección de propagación)

El número de onda (ν~ ) es una magnitud que indica el número de longitudes de onda que hay en 1 metro. Es la inversa de la longitud de onda, y por tanto se mide en m−1:

1 ~ ν= λ

Una onda se puede polarizar de varias formas. Por ejemplo haciéndola pasar por una rendija, tras lo cual saldrá polarizada en el plano que forma la rendija con la dirección de propagación:

Periodo (T) es el tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda, es decir el tiempo que tarda en pasar una longitud de onda por delante de un observador estacionario. El periodo coincide con el periodo de vibración de las partículas del medio, que como sabemos es el tiempo que tardan en dar una oscilación completa. Frecuencia (ν) es la inversa del periodo, es decir es el número de longitudes de onda que ve pasar un observador estacionario en la unidad de tiempo. T=

También se puede polarizar por reflexión, ya que siempre que una onda se refleja se polariza en mayor o menor medida, dependiendo del ángulo con que incide. (La polarización es total cuando el ángulo de incidencia es tal que el de reflexión + el de refracción suman 90º). La luz también se puede polarizar por absorción como ocurre en las hoja polaroid (está formada por moléculas largas ordenadas paralelamente que hacen de rendija). La polarización es un fenómeno exclusivo de las ondas transversales, incluida la luz. No tiene ningún sentido para las ondas longitudinales puesto que es ellas los puntos solamente tienen una única dirección de vibración que es la que coincide con la dirección de propagación de la onda.

1 ν

Amplitud (ymáx) es la separación máxima de la posición de equilibrio que experimentan los puntos del medio cuando vibran. Como ya vimos en el MAS depende de la energía que lleve la onda: 1 E = K y 2máx 2 donde K era una constante elástica característica del medio.

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS

La velocidad de propagación de la onda (v) es la distancia recorrida por la onda en la unidad de tiempo. Todas las ondas tienen una velocidad de propagación constante que depende de las características del medio, ya que influyen las fuerzas recuperadoras elásticas del medio. (En la ampliación puedes ver esta dependencia de las características del medio con velocidad de propagación de las ondas transversales, longitudinales y electromagnéticas.) Puesto que el tiempo que la onda tarda en recorrer una longitud de onda es por definición el periodo, tenemos que:

v onda =

• •

y es la elongación de cada uno de los puntos de la cuerda x es la distancia de cada punto x al origen o foco.

Supongamos que la onda avanza hacia la derecha con una velocidad v, entonces al cabo de un tiempo t habrá avanzado un espacio vt y la ecuación de la onda será: t=t

y = f ( x − vt )

λ = λ ⋅ν T

No debe confundirse la velocidad con que se propaga la onda (que es constante para cada medio) con la velocidad con que vibran los puntos del medio, que como sabemos ejecutan un MAS y su velocidad viene dada por v puntos = Aω ⋅ cos( ωt + ϕ o ) Ejemplo Sabiendo que las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz (c=3.108 m/s) Calcular la longitud de onda en que emite Radio Ilíberis, si lo hace a una frecuencia de 101,5 MHz. v = λ ⋅ν

3 ⋅ 108 = λ ⋅ 101,5 ⋅ 10 6 λ = 2,96m

Efectivamente esa es la ecuación de una onda que se propaga hacia la derecha, puesto que para que la fase se mantenga constante al aumentar t también aumenta x, de esta forma al restar se mantiene fijo el término (x–vt). Si representamos la ecuación de una onda que avanza hacia la izquierda su ecuación sería del tipo y = f ( x + vt ) .

ONDAS ARMÓNICAS. EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA ECUACIÓN DE

La función f puede tener cualquier expresión matemática, pero vamos a considerar solamente aquellas cuyo perfil es de tipo seno o coseno, por las razones que más adelante veremos. A estas ondas se les llama senoides u ondas armónicas, porque en ellas cada partícula del medio ejecuta un movimiento armónico simple.

ONDAS

La ecuación de una onda armónica en el instante t=0 es: t=0

En un movimiento vibratorio era suficiente con conocer la elongación del único punto que vibra en función del tiempo: y=f(t) En una onda (como hay muchos puntos ejecutando un movimiento vibratorio) es preciso conocer la elongación (y) de cada punto (x) y en cada momento (t), es decir que y=f(x,t). Es muy importante recordar que la ecuación de una onda depende de dos variables: x y t Supongamos una cuerda larga en dirección del eje X por la que avanza una onda transversal. Si en el instante t=0 le hacemos una foto, la forma de la cuerda se podría representar por una ecuación del tipo: t=0 Donde:

y = f ( x)

y = y max sen 2π

x λ

donde: • • • •

y es la elongación de los puntos x es la distancia del punto x al origen o al foco ymax es la amplitud de la sinusoide λ es la longitud de onda

Observa que, al tratarse de una función seno, el valor de y en un momento concreto será el mismo para los puntos que disten del foco las distancias: x, x+λ, x+2λ, x+3λ, ..., x+nλ

Supongamos que la onda se propaga hacia la derecha con una velocidad v. Al cabo de un tiempo t la ecuación de la onda será: x − vt t=t y = y max sen 2π λ λ o bien, si tenemos en cuenta que v = podríamos escribirla como: T

PERIODICIDAD ESPACIAL Y TEMPORAL DE LAS ONDAS

Una onda es doblemente periódica. Ya hemos visto que la ecuación de una onda depende de dos variables: la posición y el tiempo, es decir que y = f ( x + vt ) Para un valor dado de t, es decir en un momento determinado, la ecuación de la onda nos da el desplazamiento de la posición de equilibrio de cada punto del medio. Es como si fuese una foto de la onda en ese instante:

x t  y = y max sen 2π  −  λ T

que es la ecuación de una onda armónica que se propaga hacia la derecha. Observa que, al tratarse de una función seno, el valor de y de un punto concreto (que dista x=x1 del foco) será el mismo en los instantes: t, t+T, t+2T, t+3T, ..., t+nT La ecuación de la onda también se suele escribir de la forma: y = y max sen ( kx − ωt ) donde como puedes ver comparando: • •

2π λ 2π ω= T k=

es el Número de onda: Nº de ondas que hay en una distancia de 2π es la Frecuencia angular

el valor de y en ese instante concreto será el mismo para los puntos que disten del foco las distancias x, x+λ, x+2λ, x+3λ, ... , o en general que los puntos que distan x+nλ están en fase. Lo contrario puede decirse de los que distan λ/2 , o múltiplo impar, que están en oposición de fase. Para un valor dado de x, es decir para un punto determinado que dista una distancia x del foco, la ecuación de la onda nos da las distintas posiciones que ese punto ocupa conforme transcurre el tiempo. Como ya sabemos el punto ejecuta un MAS:

Recuerda que :  "y es la elongación del punto x en el momento t". (Deberías llamarla siempre así, con esa frase completa para ser consciente de que y depende de dos variables). Lógico, ya que en el medio hay muchos puntos y con la x nos referimos a uno en concreto [al que dista esa distancia del foco], pero ese punto ejecuta un MAS y para poder medir la distancia a la que se encuentra de su posición de equilibrio necesitamos indicar un momento t)

el valor de y de un punto concreto (que dista x=x1 del foco) será el mismo en los instantes t, t+T, t+2T, t+3T, ... o en general que el punto x en los momentos t+nT está vibrando en fase.  Los parámetros que caracterizan a la onda son: 1.La amplitud, 2.la longitud de la onda (o su número de onda) y 3.el periodo (o su frecuencia angular)

Ejemplo:

Dada la onda armónica y = sen 2π(0,25x − 0,5t ) donde y, x se expresan en cm y t en seg, calcular: a) El periodo y la frecuencia de la onda b) Longitud de onda y número de ondas c) Velocidad de propagación de la onda y su sentido d) Ecuación del foco e) Ecuación del punto que dista 6cm del foco f) Ecuación de la onda en los instantes t=0 y t=6 seg g) Cuanto ha avanzado la onda en 6 seg. h) Razona si la onda es longitudinal o transversal i) Razona si otra onda del doble de amplitud y mitad de frecuencia tiene la misma velocidad

vamos a representar estas dos ecuaciones, que como ves son las ecuaciones del MAS de esos puntos, ya que nos dan la elongación en función del tiempo de esos puntos concretos, pero aun antes de hacerlo nos damos cuenta de que ambos puntos están vibrando en oposición de fase ya que distan 6cm que es igual a 3(λ/2) Para representar estas funciones lo más sencillo es darles al tiempo valores de cuarto en cuarto de periodo, es decir, t=0, t=0,5, t=1, ... y vamos anotando los valores que va tomando y: y\t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 yx=0 0 −1 0 1 0 −1 0 1 yx=6 0 1 0 −1 0 1 0 −1

No hay más que comparar la ecuación general de una onda con la de esta onda concreta: x t  y = 1 ⋅ sen 2π −   4 2 x t  y = y max sen 2π −  λ T

a), b) Como vemos por comparación: y max = 1cm T = 2seg y la frecuencia que es su inversa: ν =

1 = 0,5Hz T

~ = 1 = 0,25m −1 λ = 4cm y el número de ondas: ν λ c) La onda debe propagarse hacia la derecha ya que al aumentar t debe aumentar x para mantener constante el argumento, y un aumento de x significa desplazarse hacia la parte positiva del eje X λ 4 v = = = 2cm / s T 2 d) El foco es el punto para el cual x=0, por tanto: y

t =0

 t = 1 ⋅ sen 2π −  = sen ( −πt )  2

e) Un punto que dista x=6cm del foco tiene por ecuación: y

t =6

t 6 t   = 1 ⋅ sen 2π −  = sen 2π1,5 −  4 2 2    

f) La ecuación de la onda en los momentos t=0 y t=6 es: x y t = 0 = senπ 2 x  y t = 6 = sen 2π − 3  4  Estas ecuaciones no corresponden a un MAS (y no es una función del tiempo), sino que representan la forma que la onda tiene en esos instantes, es como si fuesen fotos de la onda en esos momentos: una foto en el momento t=0 y luego otra en el t=6seg Puesto que la diferencia de tiempo entre esos dos instantes es 6 seg = múltiplo entero del periodo, en ambos instantes la forma de la cuerda será la misma. Para representarlas vamos a darle a darle a x valores de cuarto en cuarto de longitud de onda, es decir x=1, x=2, x=3, ...: y\x yt=0 yt=6

0 0 0

1 1 1

2 0 0

3 −1 −1

4 0 0

5 1 1

6 0 0

7 −1 −1

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN CON QUE VIBRAN LOS PUNTOS DEL MEDIO

Hay que distinguir claramente entre la velocidad con que se propaga la onda, que como sabemos es constante v = λ / T = λ ⋅ ν y la velocidad con que vibran los puntos del medio que como sabemos ejecutan un MAS y por tanto no es constante, ni tampoco su aceleración, puesto que proviene de una fuerza del tipo F = −ky . Como ya vinos en el MAS, la velocidad con que vibran los puntos es: g) Puesto que la onda se propaga a una velocidad constante de 2cm/s, en 6 seg habrá avanzado: s = v ⋅ t = 12cm . Obvio, ya que en 6 seg = 3 periodos, la onda habrá avanzado 3 longitudes de onda, es decir, 3*4 = 12 cm. h) La ecuación de la onda indica la forma en que cada uno de los puntos del medio vibran en función del tiempo, y tanto si vibran en la dirección de propagación (onda longitudinal) o perpendicularmente a la dirección de propagación (onda transversal) responden a una misma ecuación, salvo por las letras que utilicemos. Si nos fijamos en las letras utilizadas, podemos ver que los puntos del medio los hemos definido con la variable (x) lo que quiere decir que están sobre el eje X, mientras que el desplazamiento de esos puntos de la posición de equilibrio se mide con (y), es decir, vibran en el eje Y. En consecuencia la ecuación y = sen 2π(0,25x − 0,5t ) corresponde a una onda transversal

v=

dy  2π  x t  = y max  −  cos 2π −  dt  T  λ T

y la aceleración: dv  2π  x t  = − y max  −  sen 2π −  dt  T  λ T 2

a=

 t x podríamos haber partido de la ecuación de la onda escrita como y = y max sen 2π −  T λ con lo que al derivarla habríamos obtenido:

v=

i) Si otra onda tiene doble amplitud y mitad de frecuencia tendrá distinta velocidad, ya que v=λ.ν (tendría la mitad de velocidad). La energía que transporta sería mayor, ya que E = 12 K y 2máx .

dy  2π   t x = y max   cos 2π −  dt  T  T λ

dv  2π   t x = − y max   sen 2π −  dt  T  T λ 2

a=

Ejemplo:

d   t Dada la ecuación y = 8sen 2  −  donde las distancias se expresan en cm. 0 , 05 20   a) Indicar la amplitud del movimiento periódico, su periodo, su frecuencia y su longitud de onda. b) Al cabo de 0,15 seg y a una distancia de 40cm del foco determinar la elongación y velocidad c) Determine la velocidad máxima y la velocidad de propagación de la onda. i) Razona como sería la velocidad máxima con que vibran los puntos de otra onda del doble de amplitud y mitad de frecuencia a) Antes de comparar la ecuación con la ecuación general de una onda, fíjate que le falta el número π, así que la vamos a escribir como: d   t y = 8sen 2π  −  0 , 05 π 20 π   t x comparando con: y = y max sen 2π  −  T λ y max = 8cm

T = 0,05π seg y la frecuencia que es su inversa: ν =

1 20 = Hz T π

1 0,05 −1 λ = 20π cm y el número de ondas: ~ ν= = m λ π b) La elongación (y) del punto que dista x=40cm del foco en el instante t=0,15seg es: 40   0,15 y x = 40, t = 0,15 = 8sen 2π  −  = 7,27cm  0,05π 20π  dy 2 d   t v= =8 cos 2  −  dt 0,05  0,05 20 

la velocidad:

y sustituyendo para x=40cm y t=0,15seg, resulta que v=–133,17cm/s c) Una cosa es la velocidad con la que vibran los puntos del medio, que varía con el tiempo, puesto que cada uno ejecuta un MAS y otra cosa es la velocidad con que se propaga la onda, que es constante y solamente depende de las características del medio. La velocidad con que vibran los puntos del medio es: v puntos =

dy 2 d   t =8 cos 2  −  dt 0,05  0,05 20 

→

v máx = 8

2 = 320 cm / s 0,05

ENERGÍA QUE TRANSPORTA UNA ONDA

Sabemos que en una onda elástica que se propaga a través de un medio elástico cada partícula ejecuta un MAS y por tanto tiene una energía que se transmite a las siguientes y que es en parte cinética y en parte potencial debida a su posición respecto de la posición de equilibrio. A lo largo de un periodo una partícula cede toda su energía a la siguiente y a su vez la recibe de la anterior, de manera que como puede suponerse la energía que transportada por la onda es la total que posee la partícula. La energía total es igual a la suma de Ec+Ep o bien igual a la cinética máxima o a la potencial máxima, esta última igual a la que tiene cuando la partícula se encuentra en su desplazamiento máximo: 1 E = Ep max = k ⋅ y 2max 2 donde k es la constante elástica del medio e ymax es la amplitud. Teniendo en cuenta que 2 para un punto que ejecuta un MAS: k = mω 2 = m(2π / T ) = m 4π 2 ν 2 nos quedaría que: E = m ⋅ 2π 2 ν 2 ⋅ y 2max Lo que nos dice que la energía transportada por una onda es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de la amplitud.

La velocidad de propagación de la onda es: v onda =

d) v puntos =

λ 20 = λ ν = 20π ⋅ = 400 cm / s T π

dy  2π   t x = y max   cos 2π −  → v máx, puntos = y max (2π ν ) dt T   T λ

Como vemos, si la amplitud es doble y la frecuencia la mitad la velocidad máxima con que vibran los puntos de las dos ondas será la misma. Sin embargo la velocidad de propagación de ambas ondas no es la misma ya que vonda=λ.ν (sería la mitad)

Al mismo resultado habríamos llegado si tenemos en cuenta que la energía total es igual a la cinética máxima, ya que: 1 E = Ec max = mv 2max 2 2π 2π x t  como la velocidad es v = y max cos 2π −  está claro que la v max = y max = y max 2πν T T λ T y sustituyendo nos quedará el mismo resultado que obtuvimos anteriormente: E = m ⋅ 2π 2 ν 2 ⋅ y 2max Cuando una onda se propaga en una sola dimensión, la energía de un punto se transmite íntegramente al siguiente y así sucesivamente, de manera que todos los puntos tienen la misma energía y vibran con la misma amplitud. Sin embargo, cuando se trata de ondas planas como las que se producen en la superficie de los líquidos o de ondas esféricas como el sonido, a medida que nos alejamos del foco hay más puntos vibrando y por lo tanto cada uno toca a menos energía (aun suponiendo que no haya absorción), por eso es mejor definir una magnitud nueva llama intensidad.

FENÓMENOS ASOCIADOS CON LA PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS INTERFERENCIAS Por experiencia sabemos que cuando dos o más odas se propagan en un mismo medio lo hacen de manera independiente y que la elongación de una partícula cualquiera es la suma debida a cada onda por separado. Al proceso de adición vectorial de la elongación se llama principio de superposición. Fourier demostró basándose en este principio que cualquier onda por rara que sea se puede obtener como suma de varias ondas armónicas, de tipo seno y coseno, por ello es por lo que el estudio de las ondas se suele reducir al estudio de ondas armónicas.

La onda resultante corresponde a una onda que tiene la misma frecuencia, pero que su amplitud vale: x − x2 A = 2 y m cos π( 1 ) λ lo que quiere decir que: •

Así pues, cuando un punto del medio es alcanzado por dos o más ondas se producen interferencias y, de acuerdo con el principio de superposición, la elongación del punto es la suma de la que tiene cada onda por separado. El punto vibrará con: y = y1 + y 2 Consideremos el caso más sencillo, el de dos ondas iguales que se propagan en la misma dirección, solamente que tienen un desfase φ (es decir que si les tomásemos una foto las encontraríamos desplazadas una respecto a la otra). Sus ecuaciones serían: x t y1 = y m sen 2π( − ) λ T x t y 2 = y m sen 2π( − + φ) λ T el desfase entra ambas ondas lo podemos poner como que la distancia del punto a uno de los focos es distinta, ya que: y 2 = y m sen 2π(

x + λφ t − ) λ T

Habrá refuerzo y la amplitud será máxima (igual a 2ym) cuando el coseno valga 1 o −1, es decir, para cos0, cosπ, cos2π, cos3π …. Ello ocurre en aquellos puntos en los que la diferencia de camino x1−x2 sea múltiplo entero de la longitud de onda: 0, λ, 2λ, 3λ, … Se produce una interferencia constructiva en los puntos donde la diferencia de camino recorrido por las dos ondas que interfieren es nλ cos π(

•

x1 − x 2 x − x2 ) = 1 → π( 1 ) = 0, π, 2π, 3π,.... es decir para x 1 − x 2 = nλ → A = 2 y m λ λ

La amplitud será nula cuando el coseno valga cero, es decir, para cosπ/2, cos3π/2, cos5π/2 . Ello ocurre en aquellos puntos en los que la diferencia de camino sea λ/2 o un múltiplo "impar", entonces A=0 y tendremos una interferencia destructiva. cos π(

x1 − x 2 x − x2 π 3π 5π λ → A=0 ) = 0 → π( 1 ) = , , ,.... es decir para x 1 − x 2 = (2n − 1) λ λ 2 2 2 2

Ejemplo: Un generador de ondas en la superficie del agua tiene forma de T de modo que actúa como dos focos que generan ondas de la misma frecuencia y amplitud. Si las ondas generadas tienen una amplitud de 0,6cm, una frecuencia de 60Hz y se propagan con una velocidad de 30cm/s. ¿Cuál es la ecuación que nos muestra el estado de vibración de un punto P que dista 15cm de un foco y 15,75cm del otro? y m = 0,6cm

así que las ecuaciones podrían escribirse como: x t y1 = y m sen 2π( 1 − ) λ T y 2 = y m sen 2π(

x2 t − ) λ T

teniendo en cuenta el principio de superposición, la onda resultante será y = y1 + y 2 y A+B A−B recordando que senA + senB = 2 ⋅ sen cos 2 2 y = 2 y m cos 2π(

x1 − x 2 x + x2 t ) ⋅ sen 2π( 1 − ) 2λ 2λ T

ν = 60Hz

⇒

T=

1 = 0,016seg ν

λ T

⇒

λ=

30 = 0,5cm 60

v=

La ecuación de vibración del punto P debida a cada onda por separado es: t   15 y1 = 0,6sen 2π −  0 , 5 0 , 016   t   15,75 y 2 = 0,6sen 2π −  0,016   0,5

Ejemplo: Experimento de Young La interferencia debida a ambas ondas, de acuerdo con el principio de superposición es y = y1 + y 2 , pero no es necesario sumarlas para saber que ocurre al punto P, ya que: x 1 − x 2 = 0,75 = 3 ⋅

λ 2

Dos fuentes coherentes de luz están separadas una distancia a=1mm. A una distancia d de ellas hay una pantalla en la que se recogen las interferencias. Calcular la longitud de onda de la luz empleada sabiendo que la distancia entre dos franjas brillantes consecutivas es de h=10−4m y que la distancia entre las fuentes y la pantalla es de 1m.

es decir, que en el punto P las dos ondas interfieren destructivamente, y por tanto la amplitud de la onda es nula: y=0 y lo mismo le ocurrirá a todos los puntos en los que λ x 1 − x 2 = (2n − 1) ⋅ . El lugar geométrico de esos puntos es una familia de hipérbolas 2 con focos en F1 y F2.

Para que haya una interferencia constructiva es necesario que la diferencia de camino sea igual λ o múltiplo entero, es decir que: x 1 − x 2 = nλ De igual forma, en todos los puntos en los que x 1 − x 2 = nλ habrá una interferencia constructiva y los puntos vibrarán con una amplitud doble. Todos ellos definen otra familia de hipérbolas.

En el centro hay interferencia constructiva, puesto que para ese punto x 1 − x 2 = 0 y el punto brillante más próximo es aquel para el que n=1, es decir aquel en el que ; x 1 − x 2 = λ (*) por otro lado, de la figura podemos deducir lo que vale la diferencia de camino x 1 − x 2 ya que si trazamos una línea para construir un triángulo isósceles el ángulo que forma con la abertura es α, que es el mismo que forma la línea del centro (en rosa, que es la altura del triángulo) con la distancia de la abertura a la pantalla (los ángulos son iguales porque tienen sus lados perpendiculares). Así que:

x 1 − x 2 = a ⋅ senα (**) El ángulo α puede calcularse fácilmente, ya que de la figura se deduce que: α = arctg

h 10 −4 = arctg = 10 − 4 rad d 1

así que λ = a ⋅ senα = 10 −3 sen10 −4 = 10 −7 m La luz de longitud de onda igual a 10−7m, o bien de 3.1015Hz cae dentro del ultravioleta, aunque próximo al visible. En la pantalla habría que tener una película fotográfica porque el ojo no vería esa luz.

ONDAS ESTACIONARIAS Un caso particular de interferencias es el que tiene lugar cuando se dan dos condiciones: 1. En el medio concurran dos ondas iguales que avanzan en sentidos opuestos, como por ejemplo ocurre en una cuerda sujeta por uno de sus extremos (o los dos) o en un resorte, ya que en este caso tendremos la onda que va y la que se refleja, es decir dos ondas iguales propagándose en sentidos opuestos. 2. Que la frecuencia de las ondas que interfieren sea igual a la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda o múltiplo de ella (frecuencias resonantes), aunque de este detalle nos ocuparemos después.

Si representamos la onda estacionaria en varios momentos, como si tomásemos fotos en varios instantes, podríamos tener las siguientes instantáneas, donde puede verse que los nodos, al igual que los antinodos, están separados media longitud de onda.

Las ondas iguales que viajan en sentidos opuestos se pueden representar por las ecuaciones: (*) x t Avanza hacia la izquierda y1 = y m sen 2π( + ) λ T x t y 2 = y m sen 2π( − ) λ T

Avanza hacia la derecha

La superposición y = y1 + y 2 y recordando que senA + senB = 2 ⋅ sen x t y = 2 y m sen 2π cos 2π λ T

A+B A−B cos 2 2

Ec. onda estacionaria

Fíjate que: 1. la amplitud de la onda estacionaria no es la misma para todos los puntos, sino que depende de la distancia x de cada punto al foco: A = 2 y m sen 2π

x λ

2. la amplitud es máxima en todos aquellos puntos en los que se cumpla que seno = ±1 . A estos puntos donde la amplitud es máxima (igual a 2ym) se les llama vientres o antinodos. sen 2π

x π 3π 5π λ 3λ 5λ x = 1 → 2π = , , ,.... es decir para x = , , ,.... λ λ 2 2 2 4 4 4

Generalmente la vibración es muy rápida de modo que solamente vemos la envolvente del movimiento, es decir que veríamos algo así como la siguiente figura:

Antinodos, A=2ym

3. la amplitud es "siempre nula” en aquellos puntos en los que seno=0 y se llaman nodos. Son aquellos en los que: sen 2π

x x λ 3λ = 0 → 2π = 0, π, 2π, 3π,.... es decir para x = 0, , λ, ,2λ,.... λ λ 2 2

Lo más importante de una onda estacionaria es: Nodos, A=0 • •

No es una onda viajera, ya que su ecuación no es del tipo f(x,t). Su ecuación se parece más a la de un MAS, con la diferencia de que cada punto vibra x con una amplitud distinta que depende de su posición: A = 2 y m sen 2π λ

• •

Hay unos puntos que no vibran nunca (los nodos) y otros que vibran con una amplitud máxima igual al doble de la amplitud de las ondas que por superposición forman la onda estacionaria. Una onda estacionaria no puede transportar energía ni hacia un lado ni al otro, porque los nodos no vibran y en consecuencia no puede fluir más allá de un nodo.

(*) Por simplicidad, anteriormente hemos preferido superponer dos ondas iguales sin desfasar viajando en sentidos opuestos, como la que va y se refleja en una cuerda con el extremo libre. Podría pensarse que en el caso de una cuerda con el extremo fijo, el resultado podría ser diferente, ya que al tener el extremo fijo la onda que va invierte su fase al reflejarse, asi que las ecuaciones de las ondas originales serían: y1 = y m sen (

2π x 2 π t + ) λ T

y 2 = y m sen (

Avanza hacia la izquierda

2π x 2π t − + π) Avanza hacia la derecha desfasada π λ T

La superposición y = y1 + y 2 y recordando que senA + senB = 2 ⋅ sen

A+B A−B cos 2 2

 2π x π   2 π t π  y = 2 y m sen  +  cos −  2  T 2  λ teniendo en cuenta que

π sen (α + ) = cos α 2

π cos ( α + ) = sen α 2

finalmente x t y = 2 y m cos 2π sen 2π λ T

Ec. onda estacionaria

Como hemos visto, esta expresión aparentemente distinta, solo difiere en la fase de las funciones y representa a la misma onda, aunque desfasada. Ahora el primer nodo está en x=λ/4 (obvio porque ahora en x=0 debe haber un vientre), y los siguientes nodos, como siempre, de media en media longitud de onda.

RESONANCIA Un péndulo o una masa unida a un resorte tienen una única frecuencia natural de 1 g 1 K y ν= vibración, la que viene dada por las conocidas expresiones ν = 2π L 2π m respectivamente, sin embargo muchos sistemas, como pasa en una cuerda, pueden vibrar con muchas frecuencias. A la más pequeña se le llama frecuencia fundamental o primer armónico y al resto, que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, se les llama frecuencias resonantes (2º armónico, 3º armónico, ..) o sobretonos (1º sobretono, 2º sobretono …) respectivamente. Empezaremos explicando la resonancia para el caso más sencillo de un péndulo o de un niño en un columpio. Si le empujamos una vez, empezará a oscilar con su frecuencia natural (con la única que tiene) pero debido a las pérdidas por rozamiento la oscilación se irá amortiguando, es decir, al perder energía su amplitud se hará cada vez menor ( E = 12 KA 2 ). Si queremos mantener el balanceo del niño tendremos que aportar energía al columpio, pero …. pero eso no basta como sabemos por experiencia, tenemos que aportarle esa energía empujándole con la misma frecuencia con la que oscila el columpio, o de lo contrario lo que haremos es frenarlo. De hecho si le empujamos adecuadamente y no hubiera pérdida de energía (o si en el empujón le aportamos un poco más de la que pierde) el sistema irá acumulando energía y cada vez oscilará con mayor amplitud. Cuando le comunicamos energía a un sistema a intervalos con una frecuencia distinta a su frecuencia natural termina oscilando con nuestra frecuencia y decimos que oscila forzado y en tal caso la energía aprovechada por el sistema es solo una pequeña parte de la que le suministramos. Por el contrario cuando le suministramos energía a un sistema con una frecuencia igual a su frecuencia natural decimos que oscila en resonancia y en tal caso el sistema absorbe íntegramente la energía que le aportamos. Dicho de otra forma, suministrando pequeñas cantidades de energía con la misma frecuencia con que oscila el sistema podemos conseguir oscilaciones de gran amplitud. Igual puede decirse para una cuerda sujeta por un extremo y a la que comunicamos energía por el otro extremo. Si la hacemos vibrar con una frecuencia distinta a su frecuencia natural (vibración forzada) la onda que va y la que vuelve interferirán destructivamente en mayor o menor medida dando lugar a una onda de poca energía. Cuando suministramos energía a la cuerda haciéndola vibrar en uno de sus extremos con una frecuencia igual a una de sus frecuencias naturales conseguimos una onda estacionaria. La diferencia con el péndulo o la masa unida a un resorte es que la cuerda tiene infinitas frecuencias de resonancia, todas ellas son múltiplo entero de la frecuencia más pequeña llamada fundamental. Supongamos una cuerda atada por un extremo y siempre sometida a la misma tensión (para que la velocidad de propagación de la onda sea la misma). Si por el otro extremo la hacemos oscilar a diferentes frecuencias obtendremos ondas estacionarias como las siguientes cuando la frecuencia de oscilación coincidan con ν1, 2ν1, 3ν1, 4ν1, … (donde ν1 es la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda, para esa tensión y esa longitud):

cuerda obtendremos los distintos modos de vibración dependiendo de la tensión. (La tensión de la cuerda podemos medirla muy fácilmente con la ayuda de una polea y varias masas, como se indica en la figura de más abajo.) Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación de una onda es v = λ ⋅ ν y que en el caso de ondas que se propagan por una cuerda la velocidad es v = T / µ , donde T es la tensión de la cuerda y µ es la densidad lineal de la cuerda (masa/longitud), tenemos: v=

Si te das cuenta hay una relación entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de onda (λ) de las ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria. Siempre la cuerda debe λ 2L contener un número de veces media λ, es decir: L = n o lo que es igual λ = 2 n Puesto que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda ( v = λ ⋅ ν ) si en cada modo de vibración λ se hace la mitad, la tercera parte, la cuarta parte … la frecuencia será doble, triple, cuádruple …. Es decir que las frecuencias para las que se produce onda estacionaria son ν = n ν 1 , donde ν 1 es la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda.

T 2L = λν = ν µ n

→

ν=

n T 2L µ

L = longitud de la cuerda µ = densidad lineal = masa de la cuerda/longitud T = Tensión de la cuerda = mg = peso de la masa que tira de la cuerda, como se indica en el esquema siguiente, y que hace que en la cuerda se forme una onda estacionaria. Según el número de vientres le daremos a n el valor que corresponda: Cuando vibre con un solo vientre (n=1) obtenemos la frecuencia fundamental de vibración. Para n=2, 3, … obtenemos la frecuencia del resto de los armónicos.

Calculo de la frecuencia fundamental de vibración: (Ampliación) Como verás enseguida, la frecuencia fundamental de vibración de una cuerda depende de la tensión de la cuerda, de su longitud y de su masa. Quiere decir que cuando calculemos una frecuencia lo hacemos para determinados valores de esos tres parámetros. Otra advertencia antes de comenzar es que no confundas la frecuencia de vibración del foco que transmite la energía a la cuerda con la frecuencia de vibración de la cuerda, aunque ambas coincidan cuando la cuerda vibre en resonancia. Lo más sencillo sería disponer de un aparato capaz de vibrar a diferentes frecuencias. No hay más que colocarlo al otro extremo de la cuerda y tensarla. (ves? ahora tenemos valores concretos para T, L y masa de la cuerda). Ahora vamos variando la frecuencia de oscilación del vibrador hasta conseguir en la cuerda una onda estacionaria con un solo vientre. En tal caso, como la cuerda estaría resonando con el vibrador, la frecuencia de éste sería igual a la fundamental de la onda. (Ojo, que si variamos la tensión, o la longitud de la cuerda tendremos una frecuencia distinta). Como es bastante probable que no dispongamos de tal aparato, podemos hacer otra cosa: vamos a poner un vibrador de frecuencia única (un cronovibrador de los que hay en cualquier laboratorio que vibran a 60 Hz, igual que la corriente alterna) y, como no podemos variar su frecuencia, lo que haremos es variar la tensión de la cuerda hasta que la frecuencia de la onda iguale a la del cronovibrador. En tal caso resonarán y en la

Relación entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de la ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria Ya hemos visto que en todos los modos de vibración de una onda estacionaria se cumple que la longitud de cuerda debe contener un número de veces media λ. El motivo es muy sencillo: Cuando en una punta de la cuerda generamos una onda, ésta viaja hacia la otra punta donde se refleja. Cuando llega al punto de partida vuelve a reflejarse por segunda vez. Como en cada reflexión invierte la fase en π, la onda ahora está como al principio después de recorrer un espacio 2L (suponiendo que no se perdió energía). Si en este momento el vibrador genera una onda nueva, ahora tendremos dos ondas que interferirán constructivamente, y la onda resultante tendrá una amplitud doble que las ondas que la producen, si la diferencia de camino es un múltiplo entero de λ, es decir, λ 2L cuando x1-x2 = nλ = 2L → L = n o lo que es igual λ = 2 n

Con este sencillo razonamiento se explica la relación que hay entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de la ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria, pero además nos ayuda a entender porqué la amplitud de la onda estacionaria puede llegar a ser muy grande con respecto a la amplitud de las ondas que genera el vibrador. Es muy sencillo, porque cada vez que la onda que está viajando por la cuerda llega al punto de partida vuelve a interferir constructivamente con la nueva onda que generado el vibrador. Por eso cada nueva onda hace aumentar la amplitud más y más. Hasta el infinito si no hubiera pérdidas de energía.

Ondas estacionarias en una cuerda con un extremo libre.

Ejemplo: En una cuerda, con sus dos extremos fijos, se ha generado una onda estacionaria que tiene por ecuación y = 4 ⋅ cos 0,5πx ⋅ sen 20πt (S.I.). calcular: a) la amplitud, periodo, frecuencia y longitud de onda de las ondas que dan lugar a ella. b) la distancia entre dos nodos c) la velocidad con que se propaga d) la expresión de la velocidad de una partícula que dista 2m del foco, en función del tiempo e) la ecuación de las ondas que dan lugar a esa onda f) qué longitud mínima debe tener la cuerda para que pueda contener esa onda g) qué longitud debe tener la cuerda para que la onda estacionaria presente 3 nodos h) si la onda en cuestión presenta 1 vientre ¿qué podríamos hacer para que, en esa misma cuerda sin cambiar su longitud, presente 2 vientres? ¿cambiaría su frecuencia?

Cuando una onda que viaja por una cuerda llega al otro extremo puede ocurrir dos cosas: 1. Que el otro extremo esté fijo. En tal caso, al no poder vibrar se comporta como un nodo y al llegar a él la onda se refleja y consecuentemente invierte su fase, es decir, la onda que vuelve está desfasada π respecto de la que incide. Este es el caso correspondiente a los dibujos anteriores.

2. Que el otro extremo esté libre. En tal caso la onda al llegar al extremo se vuelve sin cambiar de fase, en consecuencia en se extremo siembre tendremos un vientre:

Obviamente todo lo anterior vale para esta situación, con la salvedad de que en este caso la longitud de la cuerda no contiene un número entero de λ/2, sino que ahora (como en el extremo debe haber un vientre) la longitud de la cuerda debe ser un número "impar" de λ/4.

a) Comparando la ecuación de la onda con la ecuación general de una onda estacionaria: (esta onda se ha obtenido superponiendo dos ondas armónicas desfasada π radianes respecto de las que nosotros hemos considerado, pero eso no cambia nada) y = 4 ⋅ cos 0,5πx ⋅ sen 20πt x t y = 2 y m sen 2π cos 2π λ T Amplitud de la OE: A = 4 ⋅ cos 0,5πx (es distinta para cada punto x) y máx .OE = 4 m Amplitud de las ondas que generan la OE: y max = 2 m T = 0,1seg y la frecuencia que es su inversa: ν = 1 / T = 10Hz λ = 4m b) La distancia entre dos nodos (o antinodos) consecutivos es λ/2 = 2 m

c) la velocidad de propagación de las ondas que generan esta onda estacionaria es: v=

λ 4 = = 40 m / s T 0,1

d) La velocidad de cualquier partícula se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo: dy v= = 4 ⋅ 20π ⋅ cos 0,5πx ⋅ cos 20πt dt el punto x=2 m v x = 2 = −80π ⋅ cos 20πt e) Las ecuaciones de las ondas que por superposición dan lugar a esta onda estacionaria deben ser dos ondas iguales de amplitud 2cm y de la misma longitud de onda y periodo, solo que deben viajar en sentidos opuestos, por tanto:

x t y1 = 2sen 2π( + ) 4 0,1 x t y 2 = 2sen 2π( − + 0,5) 4 0,1 si sumamos: y = y1 + y 2 = 2 y máx sen (2π

Avanza hacia la izquierda

¿Cambiaría su frecuencia? Teniendo en cuenta que v = λ ν resulta obvio que al variar la longitud de onda pueden ocurrir dos cosas:

Avanza hacia la derecha (Desf. π)

x π t π x t + ) cos(2π − ) = 2 y máx cos 2π sen 2π λ 2 T 2 λ T

π π donde se ha tenido en cuenta que sen (α + ) = cos α y que cos( α − ) = sen α 2 2 f) La longitud de la cuerda debe ser un múltiplo entero de media longitud de onda, ya λ que en cada extremo debe haber dos nodos: L = n . Por tanto, para una λ = 4 m la 2 cuerda debe, como mínimo, tener una longitud de 2 m:

1. Si la velocidad no varía deberá cambiar la frecuencia de la onda. Como λ se hace la mitad es preciso que ν se haga el doble. La primera cuerda vibra con una frecuencia de 10 Hz llamada frecuencia fundamental o primer armónico. La segunda cuerda vibra con frecuencia de 20 Hz y corresponde al segundo armónico o primer sobretono. 2. Si queremos que la cuerda vibre con la misma frecuencia, deberá cambiar la velocidad de propagación de la onda por la cuerda. Como λ se hace la mitad es preciso que la velocidad se reduzca también a la mitad y eso se puede conseguir disminuyendo la tensión de la cuerda ya que v = T / µ , donde T es la tensión de la cuerda y µ es la densidad lineal de la cuerda (masa/longitud).

PRINCIPIO DE HUYGENS El principio de Huygens permite conocer cual es el nuevo frente de una onda dado el anterior. (Se llama frente de onda al lugar geométrico de todos los puntos que en un momento dado están en fase) El principio de Huygens dice que todos los puntos que son alcanzados por un frente de ondas se comportan como focos secundarios. Al cabo de un tiempo, el nuevo frente de ondas será la envolvente de todas las ondas elementales.

g) Para que en la cuerda tenga lugar una onda estacionaria como y = 4 ⋅ cos 0,5πx ⋅ sen 20πt que λ contenga 3 nodos, la longitud de la cuerda debe ser L = n [donde n= 2 (nº de vientres)] = 4m 2 h) Si la onda estacionaria tiene 1 solo vientre y una λ = 4 m , quiere decir, como hemos razonado en el apartado f), que la longitud de la cuerda es L=2 m Si ahora queremos que en esos L=2 m haya dos vientres, la longitud de la nueva onda debe ser λ = 2 m como puede comprenderse observando la figura:

Supongamos que en un instante determinado el frente de ondas es (1). Según el principio de Huygens los puntos A, B, C, etc de éste frente de ondas se comportan como emisores de ondas secundarias. Al cabo de un tiempo t habrán avanzado vt y la tangente a todas ellas será el nuevo frente de ondas (2)

Los puntos A, B, C, etc en realidad no se comportan como verdaderos focos, ya que la intensidad de las ondas que emiten no es la misma en todas direcciones. Es máxima hacia delante y mínima hacia atrás, y precisamente por eso la onda avanza hacia delante.

segundo. A esta relación se le llama índice de refracción del segundo medio respecto del primero (n21)

A continuación vamos a ver como el principio de Huygens puede explicar muchos fenómenos ondulatorios como la reflexión, refracción y difracción.

REFLEXIÓN

seni v1 = = n 21 senr v 2

Cuando una onda llega a la superficie de separación de dos medios una parte de ella se refleja en el mismo medio y otra parte se difracta y viaja en el segundo medio. Las leyes de la reflexión de Snell son: • •

El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano El ángulo de incidencia (i) y el ángulo de reflexión (r) son iguales

Vamos a explicarlo haciendo uso del principio de Huygens. Supongamos un frente de ondas plano AB que viaja por el medio (1) e incide en el medio (2) donde se propaga con una velocidad menor.

(rayo es la línea que corresponde a la dirección en que se propaga la onda, es decir es la perpendicular al frente de ondas) Ahora vamos a ver como se pueden explica estas leyes sin más que tener en cuenta el principio de Huygens. Supongamos un frente de ondas plano AB que choca contra un obstáculo:

Cuando A llegue a la superficie según Huygens se comportará como un nuevo foco, pero como en el medio (2) la onda viaja más despacio entonces la distancia AC = v 2 t será menor que la que en el mismo tiempo ha recorrido en el otro medio BD = v 1 t , es decir que:

Cuando el punto A del frente de ondas toca en el obstáculo, de acuerdo al principio de Huygens comienza a formar ondas y, puesto que viajan en el mismo medio, tardan en llegar a C lo mismo que B en llegar a D, es decir, AC = BD = v t . Según esto tenemos dos triángulos iguales (porque tienen dos lados y un ángulo iguales) y por tanto i = r

REFRACCIÓN Las leyes de la refracción son: • •

El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano El seno del ángulo de incidencia dividido por el seno del ángulo de refracción es igual a la velocidad de la onda en el primer medio dividido por la que tiene en el

v1 t seni AD v1 = = = n 21 senr v 2 t v 2 AD Resulta evidente, que como la velocidad de la onda varía al cambiar de medio y la frecuencia siempre permanece invariable, debe cambiar la longitud de onda, así que:

v λν λ seni = n 21 = 1 = 1 = 1 senr v2 λ 2ν λ 2

Resulta muy ilustrativa la experiencia de Tyndal, en la que utilizó un modelo mecánico formado por un par de ruedas de un coche de juguete que se dejan caer por una rampa hasta

entrar en el agua. Naturalmente, como en el agua la velocidad es menor, al entrar en contacto la primera rueda disminuye su velocidad, mientras que la otra continúa moviéndose mas rápido y como consecuencia el rayo (la dirección del movimiento) se acerca a la normal. Si el rayo pasa de un medio en el que la velocidad es menor a uno en el que la velocidad es mayor se aleja de la normal.

DIFRACCIÓN Supongamos que disparamos una escopeta de cartuchos sobre una pared y que interponemos un objeto. Es evidente que en lo que sería su sombra no recogeremos ni un solo impacto. De igual forma, si interponemos un objeto con un orificio solamente recogeríamos los impactos que pasan por el orificio. Este es el comportamiento de las partículas:

En la lección siguiente volveremos a estudiar estos conceptos aplicados a la naturaleza ondulatoria de la luz y además trataremos los conceptos de ángulo límite y reflexión total.

Ejemplo: Un rayo de luz blanca incide con un ángulo de 30º desde el aire sobre una lámina de vidrio. ¿Qué ángulos de refracción formarán el rojo y el azul? Datos: nrojo=1,612 nazul=1,671

sen30 = 1,612 senrrojo

⇒

rrojo = 18,07 º

sen30 = 1,671 senrazul

⇒

razul = 17,41º

Sin embargo si lo que llega a los obstáculos es un tren de ondas “de longitud de onda comparable a la del tamaño del obstáculo o de la ranura” se produce un fenómeno curioso: las ondas bordean el obstáculo como si lo ignorasen:

En ambos casos, muy fáciles de ver en la cubeta de ondas, la onda parece bordear los objetos, en lugar de propagarse rectilíneamente. Como se ve, al tener distinto índice de refracción, porque depende ligeramente de la longitud de onda, hace que los rayos que componen la luz blanca tengan distintas velocidades y que se separen una vez que atraviesan el cristal. Al fenómeno se le llama dispersión.

Además, estamos familiarizado con estos fenómenos, ya que debido a la difracción del sonido podemos oír detrás de una puerta. (En el caso del sonido la longitud de onda va de unos 17m, para los graves hasta 0,017m para los agudos. Como se sabe por experiencia a través de una puerta, en otra habitación, se escuchan muy bien los graves pero no los agudos al ser su longitud de onda muy pequeña comparada con las dimensiones de la puerta. Los mismos resultados se pueden observar para la luz, solo que en este caso como su longitud de onda es pequeñísima necesita rendijas muy pequeñas. De todas formas si casi cierras los ojos puedes notar la difracción de la luz entre las pestañas. Debido a la difracción de la luz es imposible obtener un rayo de luz mediante un diafragma, porque a medida que lo cerremos se va pareciendo aun rayo, pero llega un momento (cuando el diámetro es comparable a la longitud de onda de la luz) que se difracta y se abre. Cuando una luz monocromática pasa a través de una abertura circular, de diámetro a, y se recoge sobre una pantalla, situada una distancia d, se obtienen una serie de anilos concéntricos claros y oscuros.

AMPLIACION VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS EN ALGUNOS MEDIOS •

La velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda depende de la tensión de la cuerda y de la densidad lineal (µ=masa/longitud) v=

• •

El disco central es brillante y en él se concentra la mayoría de la luz Al ángulo para el que se ve el primer anillo brillante puede obtenerse λ senα = a Estos hechos se explican suponiendo que todos los puntos de la abertura son focos elementales, de acuerdo al principio de Huygens, y que la figura no es más que la interferencia producida por todos ellos. En otras palabras, la difracción no es más que las interferencias producidas por un número elevado de focos.

Por ejemplo, en el caso concreto de una cuerda que sujeta a una masa m como en la figura, su tensión será igual al peso de la masa. Por tanto si la longitud de la cuerda es L y su masa es mc

v= En efecto, teniendo en cuenta que las interferencias constructivas se producen para diferencias de recorrido múltiplos de la longitud de onda: x 1 − x 2 = nλ . El círculo central tiene lugar para n=0, el primer anillo claro se produce para n=1, el segundo para n=2, etc

T µ

•

T = µ

mg = mc L

mgL mc

La velocidad de propagación en las ondas longitudinales:

 En los sólidos depende de la constante elástica del sólido (módulo de Young: Y=fuerza/deformación ) y de su densidad. v=

Y ρ

 En los gases, como el sonido en el aire, la velocidad es proporcional a la temperatura absoluta del gas. Como depende de la densidad y de la presión, al ser los gases muy comprensibles, la densidad de las expansiones y enrarecimientos cambia al variar la presión. fíjate en la figura que si trazamos una línea para construir un triángulo isósceles el ángulo que forma con la abertura es α, que es el mismo que forma la línea del centro (en rosa, que es la altura del triángulo) con la distancia de la abertura a la pantalla (los ángulos son iguales porque tienen sus lados perpendiculares). Así que para el primer anillo (n=1): λ λ que introduciendo un factor puede escribirse como α = 1,22 senα = a a Además, como de la figura tgα = h / d es fácil calcular la distancia h a que estará el primer anillo con interferencia constructiva.

v=

γ⋅P = k Tª ρ

observa que, según la ecuación de los gases perfectos, PV = nRT y como el número de moles es igual a la masa dividido por el peso molecular n = m / Pm y la densidad es ρ = m / V PV = nRT

⇒

PV =

m RT Pm

⇒

ρ=

m P ⋅ Pm = V RT

v=

•

γ⋅P = ρ

γ⋅P =k T P ⋅ Pm RT

La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es una constante y es igual a la relación que existe entre el valor máximo de la intensidad del campo eléctrico y el valor máximo del campo magnético: v=

E max 1 = = 3 ⋅ 10 8 m / s B max µ⋅ε

La permeabilidad magnética (µ) es una constante que depende de las propiedades del medio y representa la capacidad del medio para ser atravesado por un campo magnético. Para el vacío µ o = 4π ⋅ 10 −7 N/A2 La constante dieléctrica (ε) también depende del medio e indica la forma en que el medio se afecta por un campo eléctrico. Para el vacío ε o = 8,85 ⋅ 10 −12 N.m2/C2

Ejemplo: a) Una cuerda de guitarra tiene una longitud de 70 cm y una masa de 6 g. Calcular la velocidad de propagación de la onda cuando se somete a una tensión de 203,3 N. b) Longitud de onda de la onda generada al pulsar la cuerda. c) frecuencia d) Cómo varía la frecuencia de la onda si aumentamos la tensión. e) Cómo varía la frecuencia de la onda si aumentamos la masa de la cuerda (Cambiamos la cuerda por otra cuerda más gruesa). a) La velocidad con la que se propaga la onda por la cuerda, que solo es función de la tensión y de densidad lineal es: T T 100 v= = = = 154 m / s mc 0,006 µ 0,70 L b) Al pulsar la cuerda se obtiene una onda estacionaria como consecuencia de la superposición de dos ondas exactamente iguales que viajan en sentidos opuestos. (La que va y la que se refleja.). La cuerda vibrará con su frecuencia natural, que es aquella que tiene dos nodos (uno en cada extremo).

c) La velocidad de propagación de la onda es v = λ / T = λ ⋅ ν → 154 = 1,4*ν → ν = 110 Hz (Esa frecuencia corresponde al LA de la quinta cuerda al aire)

T = λ⋅ν mc L Puesto que la longitud de la cuerda no varía y tampoco la longitud de onda (que en su frecuencia natural es λ=2L) tenemos que: Teniendo en cuenta que v =

T = µ

d) Si aumentamos la tensión de la cuerda aumentará la frecuencia de la onda, ya que ν = f T . Lo que está de acuerdo con la experiencia, ya que sabemos que al apretar una cuerda suena más agudo, es decir, aumenta su frecuencia.

( )

e) Si aumentamos la masa de la cuerda disminuirá la frecuencia de la onda, ya que ν = f 1 / m . También confirma nuestra experiencia, ya que sabemos que las cuerdas más gordas producen frecuencias más bajas.

(

)

OTRAS MAGNITUDES ASOCIADAS A UNA ONDA:, INTENSIDAD y ABSORCIÓN

Intensidad de una onda se define como la energía que transporta una onda por unidad de área y tiempo o, lo que es igual, la potencia que atraviesa la unidad de superficie colocada en dirección normal a la dirección de propagación: En el caso concreto de una onda esférica, a una distancia r del foco, si la potencia es P y teniendo en cuenta que el área de la espera es 4πr 2 la intensidad de la onda sería: I=

P E/t = 4πr 2 4πr 2

Como ya suponíamos y ahora podemos comprobar, si el medio es isótropo, la energía radiada por el foco se irá repartiendo en ondas esféricas, con lo que la intensidad disminuirá con el cuadrado de la distancia. Sin embargo la potencia radiada por el foco, o lo que es igual la energía transmitida por segundo, permanecerá constante: P = 4πR 12 I1 = 4πR 22 I 2 de donde I1 R 22 = I 2 R 12

Teniendo en cuenta que la distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, tenemos que λ=1,40m (el doble de la longitud de la cuerda)

Como la intensidad es proporcional a la energía y ésta es proporcional al cuadrado de la amplitud ( E = m ⋅ 2π 2 ν 2 ⋅ y 2max ), podemos poner que:

2 I1 R 22 E1 y max,1 = 2 = = 2 I 2 R 1 E 2 y max, 2

ln

Así que para el caso de una onda esférica la amplitud disminuye linealmente con la distancia a foco: y max,1 R 2 = y max, 2 R 1 Naturalmente estos resultados se han obtenido para el caso de una onda esférica y no valen para una plana, ya que en ella la energía no se reparte en esferas, sino en circunferencias, y por tanto la intensidad no disminuirá con tanta rapidez. En este caso la intensidad se define como la potencia que atraviesa la unidad de longitud, así que: I=

I = −βL Io

I = I o e − βL Como puedes ver la intensidad de una onda decae exponencialmente a medida que se propaga. Si la representamos obtendremos: Al camino recorrido para que la intensidad se reduzca a la mitad se le llama espesor de semiabsorción (X). Sustituyendo tendremos que: 1 = e −βX 2

P 2πr

tomando logaritmos neperianos y espejando X:

Como puedes demostrar siguiendo el mismo razonamiento, los cuadrados de las amplitudes son proporcionales a las distancias al foco. Por último, en el caso de una onda que se propaga en una dimensión, ahí si que todos los puntos tienen la misma energía, puesto que se la transmiten de uno al siguiente, y por tanto también todos ellos vibran con la misma amplitud.

ln 1 − ln 2 = −βX

⇒

X=

ln 2 β

Absorción: Hemos quedado que en una onda (salvo que se propague en una dimensión), la amplitud va disminuyendo conforme nos alejamos del foco, pero en realidad como el medio absorbe energía la disminución de la intensidad es aún mas rápida. PULSACIONES

Como la disminución de intensidad (−dI) al atravesar un espesor recorrido (dx) es proporcional a la intensidad de la onda se puede poner que: (el signo menos indica que la intensidad disminuye al recorrer un espesor dx) −

dI = β⋅I dx

Las pulsaciones son un caso especial de interferencias que tienen lugar cuando coinciden dos ondas de frecuencias distintas pero muy parecidas. Las pulsaciones se producen, por ejemplo, cuando se tocan dos notas próximas de un piano, o cuando dos instrumentos están a punto de afinarse.

donde β es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de absorción del medio dI = −β ⋅ dx I Si integramos y tenemos en cuenta que inicialmente, cuando x=0, la intensidad es Io y cuando x=L la intensidad es I I L dI = ∫ I ∫0 − β ⋅ dx I0

[ln I]II

= [− βx ]o

L

o

ln I − ln I o = −βL

Al tratarse de un sonido, nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio (ν1 + ν2) / 2, pero que cambia en amplitud, y puesto que la intensidad sonora es proporcional al cuadrado de la amplitud, el resultado es que percibios el sonido como si subiera y bajara.

EFECTO DOPPLER

El efecto Doppler consiste en la variación de frecuencia con que un observador percibe una onda cuando éste y el foco tienen un movimiento relativo. Cuando el observador y el foco están en reposo no hay efecto Doppler y el observador percibe la onda con su frecuencia real con que la emite la fuente: v (1) ν = onda λ

B) Supongamos que el observador está en reposo (vobs=0) y el Foco se acerca con una velocidad vF.. Es evidente que para el observador la longitud de onda será más pequeña que la que en realidad emite la fuente, porque en un tiempo igual al periodo, la onda viaja un espacio igual a λ pero el foco se ha desplazado un espacio igual a v Foco t , donde si ha recorrido una λ el tiempo será igual al periodo, es decir que: λ´= λ − v Foco T

Sin embargo, si el observador y el foco se acercan la frecuencia aparente es mayor que la que emite el foco (en el caso del sonido se escucharía mas agudo) y si se alejan ocurriría lo contrario y el sonido se percibiría como más grave. A) Supongamos que el foco está en reposo (vF=0) y el observador se acerca con una velocidad vobs.

teniendo en cuenta que ν = v onda / λ y que ν´= v onda / λ´ y que T = 1 / ν podemos poner: v onda v onda v Foco λ´= λ − v Foco T → de donde: = − ν´ ν ν  v onda ν´= ν v  onda − v Foco

Si las ondas viajan con una velocidad vonda, el observador pensará que se le acercan con una velocidad vonda+vobs y en consecuencia las oirá con una frecuencia igual a : ν´=

v onda + v obs λ

(2)

eliminado la longitud de onda entre esta ecuación y la (1) que nos da la frecuencia real del foco, resultará que: v onda λ v onda + v obs ν´= λ

  

El foco se acerca al observador

Como puede verse, cuando el foco se acerca al observador la frecuencia que éste percibe es mayor que la que realmente emite, y el sonido se escucharía más agudo. Un ejemplo bastante elocuente de un que cuando un foco se nos acerca la longitud de onda que percibios disminuye lo tenemos en el caso de un bicho que avanza hacia nosotros nadando y a medida que lo hace emite ondas en la superficie del agua (Observador B de la figura):

ν=

v + v obs ν´= ν onda  v onda

  

Observador que se acerca al foco

Como puede verse la frecuencia que se percibe al acercarse en mayor y el sonido es más agudo. De la misma se puede razonar para el caso de que el observador se aleje y resultaría: v − v obs   ν´ = ν onda Observador que se aleja del foco v onda  

Razonando de manera parecida, cuando el foco se aleja del observador obtendríamos que la frecuencia es menor y el sonido más grave (Observador A de la figura):

 v onda ν´= ν v  onda + v Foco

  

Ejemplo:

El foco se aleja del observador

Resumiendo: • •

Cuando el observador y el foco se acercan uno respecto al otro la frecuencia aparente es mayor que la emitida por la fuente y viceversa Las anteriores expresiones se pueden resumir en: v ± v obs ν´= ν onda v ±  onda v Foco

  

Donde “el signo + del numerador y el menos del denominador corresponden al caso de que el observador y el foco se acerquen”. Si el foco estuviera en reposo haríamos vFoco=0 y si el observador estuviera en reposo haríamos vobs=0. Recuerda que v es la velocidad de propagación de la onda en el medio.

Ejemplo: Una ambulancia se acerca con una velocidad de 20m/s tocando la sirena. Si la frecuencia del sonido que emite es de 1000Hz y la velocidad del sonido es de 340m/s: a) Cual es la longitud de onda delante de la ambulancia? b) Con qué frecuencia perciben el sonido de la sirena los sanitarios que están esperando?

a) La longitud de onda que emite la sirena es: v 340 λ = sonido = = 0,34m ν 1000 Cuando la onda avanza 0,34m, en lo que invierte un tiempo igual al periodo, la ambulancia habrá avanzado un espacio igual a vFT es decir: 1 s = v Foco T = 20 ⋅ = 0,02m 1000 por tanto la longitud de onda de la sirena delante de la ambulancia será: λ´= λ − v Foco T = 0,34 − 0,02 = 0,32m b) Para los sanitarios que están en reposo la longitud de onda que perciben es λ´ y por tanto la frecuencia del sonido será: v 340 ν´= sonido = = 1062Hz λ´ 0,32 Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la ecuación general y haciendo vobs=0: v ± v obs ν´= ν onda v ±  onda v Foco

  = 

 v onda ν v  onda − v Foco

 340   = 1000  = 1062Hz − 20  340  

La longitud de onda de la luz que procede de las galaxias, tan alejadas de nosotros que pueden considerarse como puntos luminosos, presenta una desviación hacia el rojo. ¿Qué significa esto? Datos: El espectro visible va del azul al rojo: λ azul < λ rojo Puesto que la velocidad de la onda, en este caso la luz, es c = λ ⋅ ν un corrimiento hacia el rojo significa que la longitud de onda aumenta, o lo que es igual que la frecuencia de la luz que nos llega de la galaxia es más pequeña que la que en ella se origina. Por tanto, si la frecuencia que percibimos es menor de la que realmente se origina, eso quiere decir que la galaxia se aleja de la tierra a gran velocidad, lo que está de acuerdo con la teoría de expansión del universo del big−bang.

VELOCIDADES SUPERSÓNICAS. ONDAS DE CHOQUE

TEMA 3. ÓPTICA

Cuando la fuente viaja a una velocidad superior a la de propagación del sonido (vFoco>vonda) decimos que la velocidad es supersónica. En el caso contrario sería subsónica.

PARTE 1

Supongamos una fuente F que emite ondas y que vFoco>vonda. Al cabo de un cierto tiempo t la onda habrá avanzado un espacio vondat, pero en ese mismo tiempo el foco habrá avanzado vFoco .t con lo que siempre se encontrará por delante de la onda:

Si se representan las ondas que fue emitiendo por las distintas posiciones que pasó, la envolvente es un cono en cuyo vértice está el foco:

Controversia histórica sobre la naturaleza de la luz: modelos corpuscular y ondulatorio. Dependencia de la velocidad de la luz con el medio. Algunos fenómenos producidos con el cambio de medio: reflexión, refracción, absorción y dispersión.

• Modelo corpuscular y Modelo ondulatorio; caracterización y evidencia experimental en apoyo de cada modelo. • Reflexión y refracción de la luz; Leyes de Snell. • Índice de refracción. Relativo y Absoluto • Ángulo límite. • Reflexión total. • Lámina de caras plano paralelas • Prisma • Dependencia de la velocidad de la luz en un medio material con la frecuencia; dispersión • Absorción de la luz • Espectros de emisión y de absorción PARTE 2 Óptica geométrica: comprensión de la visión y formación de imágenes en espejos y lentes delgadas. Pequeñas experiencias con las mismas. Construcción de algún instrumento óptico.

senα =

v onda t v onda = v Foco t v Foco

Al inverso de vonda/vFoco se le llama número de Mach.

Un ejemplo sencillo lo tenemos en una lancha que se mueve sobre el agua. El cono que forman las ondas que emite tiene esa forma porque la lancha viaja más deprisa que las ondas en la superficie del agua. Lo mismo ocurre con los aviones supersónicos. En este caso, habrás escuchado el estruendo que hacen algunas veces. Esto ocurre justamente en el momento en que se atraviesa la barrera del sonido. Literalmente se trata de una barrera de ondas, ya que justamente en el momento en que el avión vuela a la misma velocidad del sonido todos los frentes de ondas se encuentran delante justo de él reforzándose unas ondas a otras:

• • • • •

Propagación rectilínea de la luz. Formación de imágenes por reflexión y refracción. Dioptrio esférico y dioptrio plano. Formación de imágenes y características. Espejos. Formación de imágenes y características. Aplicaciones. Lentes delgadas. Formación de imágenes y características. Instrumentos ópticos (lupa, cámara fotográfica, proyector, anteojo, microscopio).

PARTE 3 Estudio cualitativo del espectro visible y de los fenómenos de difracción, interferencias y dispersión. Aplicaciones médicas y tecnológicas.

• Diferentes regiones del espectro electromagnético; características y aplicaciones.

NATURALEZA DE LA LUZ

Es evidente que un rayo luminoso transporta energía, no hay más que tumbarse al sol o acercar la mano a una bombilla para comprobarlo. Como sabemos las únicas formas de propagar la energía es mediante un corpúsculo o mediante una onda, y así tenemos las dos teorías que se han ido desarrollando a lo largo de la historia.

corrientes son apropiadas, pero como la luz tiene una longitud de onda muy pequeña necesita rendijas pequeñísimas. 3. Young (1773−1829) y Fresnel (1788−1827)

1. Teoría corpuscular de Newton (1642−1726)

Consiguieron fenómenos de interferencias y difracción con rayos luminosos, demostrando que luz mas luz puede dar oscuridad, ambos fenómenos inexplicables desde fuera de un modelo ondulatorio.

Para Newton la luz emite unos pequeños corpúsculos que se propagan en línea recta y a gran velocidad y que pueden ser reflejados por la materia.

Por si fuera poco se consiguió polarizar la luz, con lo que además se puso de manifiesto que era una onda transversal.

La teoría de Newton podía explicar fácilmente la propagación rectilínea de la luz y la formación de sombras y penumbras, así como la reflexión de la luz de la misma manera que si se tratara de una pelota que choca contra el suelo.

Además Foucault y después Michelson probaron que la velocidad de la luz era mayor en el aire que en el agua, dando la razón a Huygens. Todos estos motivos supusieron el triunfo de la teoría ondulatoria sobre la corpuscular.

Sin embargo no pudo explicar la refracción de la luz, ya que si fuese como una pelota, al chocar con el agua, donde la velocidad es menor, su componente vertical se vería frenada mientras que no le ocurriría nada a la componente horizontal, y como consecuencia el rayo se alejaría de la normal, cosa que no ocurre:

4. Maxwel (1831−1879)

para explicar lo que realmente ocurre, que es justo lo contrario ya que como sabemos el rayo se acerca a la normal, Newton sugirió que el corpúsculo de luz era atraído por la superficie del agua y que entones su velocidad en el agua era mayor, cosa que no es verdad, pero que dado el prestigio de Newton tuvo una amplia aceptación.

Maxwel desarrolló su teoría sobre las ondas electromagnéticas, demostrando que eran debidas a la propagación de un campo eléctrico y otro magnético variables que se propagaban perpendicularmente y a la velocidad de la luz.

Ello llevó a pensar que la luz era una onda electromagnética y así se puso de manifiesto cuando Herz obtuvo con un circuito oscilante OEM (ondas de radio) de las mismas características a las de la luz salvo que de una frecuencia mucho menor, lo que probó sin lugar a dudas que la luz era una OEM. Además como las OEM pueden propagarse en el vacío se eliminó definitivamente el problemático concepto del éter.

2. Teoría ondulatoria de Huygens (1629−1695) Huygens, contemporáneo de Newton, pensaba que la luz tenía naturaleza ondulatoria, similar al sonido. El problema es que como no se concebía la idea de que una onda se propagara en el vacío se ideo un medio mas sutil que el aire al que se llamó éter y que debería llenar el vacío. Con esta idea Huygens explicó mediante el principio que lleva su nombre las leyes de la reflexión y de la refracción. Se le achacaba que si la luz era como el sonido ¿porqué no bordeaba los objetos, es decir porqué no se producía difracción?. Hoy sabemos que para que se produzca difracción el tamaño de la rendija debe ser de unas dimensiones comparables a la longitud de onda de la luz. En el caso del sonido las dimensiones de los objetos

La teoría de la OEM de Maxwel supuso el mazazo definitivo a la teoría corpuscular y así a finales del siglo XIX todo parecía muy claro a favor de una teoría ondulatoria de la luz. 5. Luis de Broglie (1892−1987) Pronto aparecieron nuevos fenómenos como la interpretación de la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y especialmente el efecto Comptom que eran totalmente inexplicables desde un punto de vista ondulatorio y sí desde un punto de vista corpuscular. Luis de Broglie puso fin a la controversia indicando que, no solo la luz, sino todas las partículas en movimiento tienen asociada una onda ( λ = h / mv ), es decir que la luz

tiene doble naturaleza: de onda y de corpúsculo. Esta suposición quedó plenamente confirmada cuando Thomson y Davisson consiguieron la difracción de electrones, es decir que los electrones, que sin ningún género de dudas son partículas, pueden dar lugar a fenómenos de difracción que son típicos y exclusivos de las ondas.

Índice de refracción absoluto de un medio (n): Al definirse el índice de refracción como el cociente entre la velocidad de la onda en el primer medio por la velocidad en el segundo medio, obviamente se requieren dos medios. No obstante, si el primer medio es el vacío (o el aire) podemos definir índice de refracción absoluto como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en ese medio:

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ

n medio =

Cuando una rayo de luz llega a la separación de dos medios transparentes una parte se refleja en el mismo medio y otra parte se refracta y viaja en el segundo medio.

por tanto, el índice de refracción del vacío ( y aproximadamente el del aire) es n=1. Para el resto de los medios, siempre es mayor que 1, puesto que c siempre es mayor que vmedio.

Las leyes de la reflexión son: • •

c v medio

El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son iguales

De acuerdo a lo anterior podemos definir Índice de refracción relativo del medio 2 respecto del medio 1 (n21) se define como el cociente entre el incide de refracción absoluto del medio 2 dividido por el del medio 1

n 21

c n 2 v2 v = = = 1 c n1 v2 v1

Las leyes de la refracción son: • •

de acuerdo con esto, la ley de snell de la refracción puede escribirse de otra forma:

El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano El seno del ángulo de incidencia dividido por el seno del ángulo de refracción es igual a la velocidad de la onda en el primer medio dividido por la que tiene en el segundo. A esta relación se le llama índice de refracción del segundo medio respecto del primero (n21)

seni v1 = = n 21 senr v 2

n seni v1 = = n 21 = 2 senr v 2 n1 o bien escribirse como:

n 1seni = n 2 senr

Longitud de onda e índice de refracción: Resulta evidente, que si la velocidad de la onda varía al cambiar de medio, mientras que su frecuencia permanece invariable, debe cambiar la longitud de onda, así que: v λν λ n 21 = 1 = 1 = 1 v2 λ2 ν λ2 Si el medio 1 es el vacío, n21 será siempre mayor que la unidad, por tanto la longitud de onda en el vacío siempre será mayor que la longitud de onda en el segundo medio.

Del estudio de la refracción de la luz se deduce que: • • •

La velocidad de la luz es mayor en el vacío que en el resto de los medios En el vacío la velocidad de la luz es constante y no depende la longitud de onda, mientras que en el resto de los medios la velocidad depende de la longitud de onda de la luz La frecuencia de la luz no varia y es la misma en el vacío que en el resto de los medios

Todas las expresiones se resumen en:

n λ seni v1 = =n 21 = 2 = 1 senr v 2 n1 λ 2

Ángulo límite es aquel ángulo de incidencia que da lugar a un ángulo de refracción de 90º, es decir, que hace que el rayo refractado salga tangente a la superficie de separación de los dos medios, por tanto:

seni v1 = senr v 2

Si r = 90º ⇒ seni lím =

v1 n 2 = v 2 n1

b)

Condiciones: Como el valor del seno no puede ser mayor que 1, para que se produzca ángulo límite es preciso que v1 < v 2 o bien que el índice de refracción absoluto del segundo medio sea menor que el del primero, como ocurre por ejemplo cuando la luz pasa del agua al aire: n 1 > n 2 .

Al cambiar de medio la frecuencia permanece inalterable, pero sí que cambia la velocidad de propagación y su longitud de onda, por tanto: v2 = λ2 ⋅ ν

Como vemos, para un ángulo de incidencia igual al cociente de la velocidad de propagación ente los dos medios el rayo de refractado saldrá tangente a la superficie separación entre ambos medios, pero si el ángulo de incidencia en aun mayor entonces el rayo no llegará a cambiar de medio porque se reflejará, diciéndose que se produjo reflexión total.

E1A.S2008 Un teléfono móvil opera con OEM de frecuencia ν=9.108 Hz a) Determina la longitud de onda y el número de onda en el aire. b) Si la onda entra en un medio en el que su velocidad de propagación es 3c/4, razona qué valores tienen la frecuencia, la longitud de onda y el índice de refracción del medio. c) Si la onda incide en el medio con un ángulo de 30º, dibuja los fenómenos que tienen lugar. d) Explica que entiendes por ángulo límite y calcula su valor. DATOS: c=3.108 m/s ; naire=1

3 ⋅ 3 ⋅ 108 = λ 2 ⋅ 9 ⋅ 108 4

⇒

el índice de refracción absoluto del medio es, por definición el referido al vacío: c c n2 = = = 1,33 v 2 3c / 4 el índice de refracción relativo es: (en este caso tiene también el mismo valor, ya que el primer medio es el vacío (n1=1) n 1,33 n 21 = 2 = = 1,33 n1 1 c) Cuando la onda incide con un ángulo de 30º: • una parte se reflejará saliendo reflejada con un ángulo igual al de incidencia, es decir de 30º • otra se refractará, y el ángulo de refracción, de acuerdo con la ley de snell será: n λ seni v1 = = n 21 = 2 = 1 senr v 2 n1 λ 2

c v aire

⇒

vaire = c = 3.108 m/s

La velocidad del rayo viene dada por: v medio = λ medio ⋅ ν La frecuencia no varía al cambiar de medio, por tanto las únicas variables dependientes son la velocidad que tiene en un medio concreto y la longitud de onda que tiene en ese medio. v aire = λ aire ⋅ ν

⇒

3 ⋅ 108 = λ ⋅ 9 ⋅ 108

el número de ondas: 1 1 ~ ν= = = 3m −1 λ 0,33

⇒ λ = 0,33m

⇒

sen30 c = 3c = 1,33 senr 4

(podríamos utilizar cualquiera de las combinaciones, pero es mejor utilizar que seni/senr=v1/v2 porque son los datos)

a) En primer lugar calculamos la velocidad de la luz en el aire. Teniendo en cuenta que su índice de refracción absoluto es 1, por tanto, si naire=1=

λ 2 = 0,25m

⇒

r = 22º d) El ángulo límite es aquel ángulo de incidencia que da lugar a un ángulo de refracción de 90º, es decir, que hace que el rayo refractado salga tangente a la superficie de separación de los dos medios, por tanto, según la ley de snell: seni v1 = senr v 2

⇒

seni lim v1 = sen90 v 2

⇒

seni lim =

v1 v2

evidentemente, si la velocidad en el primer medio es mayor que la velocidad en el segundo medio nunca habrá ángulo límite porque el seno de un ángulo no puede ser mayor que la unidad, por tanto no habrá ángulo límite en este caso. Ahora bien, si el rayo tuviera la dirección contraria, es decir si pasara el medio al aire entonces sí. En este otro caso el ángulo límite sería de 48,59º

Fibra óptica: Es una de las aplicaciones más importantes de las reflexión total. Está formada por un cable, dentro del cual hay dos materiales: un núcleo de cristal de óxido de silicio, cuyo índice de refracción es muy elevado, recubierto por un manto de plástico cuyo índice de refracción es pequeño. De esta manera la onda luminosa que entra por un extremo en el núcleo queda “atrapada” dentro porque al chocar con la envoltura se produce reflexión total (aunque el ángulo de incidencia sea pequeño, ya que n2/n1~0) y de esa manera se conduce hasta el otro extremo. sen i lim =

v1

v2

=

n2

n1

≈0 ⇒

ˆi ≈ 0 lim

La transmisión por fibra óptica se hace cambiando las señales eléctricas en pulsos de luz, mediante un codificador, y enviando los pulsos hacia el núcleo de una fibra óptica. Una vez que llegan al extremo opuesto, los pulsos los recibe un decodificador que los cambia de nuevo a señales eléctricas como las originales.

Teniendo en cuenta que, como es lógico, n1´=n2 y que n2´=n1, y que de la figura se ) ) deduce que los ángulos r y i ´ son iguales (por ser ángulos de lados paralelos), resulta que la ley de snell para la segunda refracción puede escribirse como: senr n 1 = senr´ n 2 Si le damos la vuelta a la expresión y comparamos con la ley de snell para la primera ) ) refracción, se deduce que los ángulos i y r´ también son iguales, es decir, que el rayo no varía en dirección, aunque como vemos sí que sufre un desplazamiento. 2. ¿Qué espacio recorre en rayo dentro de la lámina en función del ángulo de incidencia y los índices de refracción del primer medio, sabiendo el espesor de la lámina. Suponiendo que el espesor de la lámina es h, el camino recorrido AB dentro de la misma se calcula fácilmente teniendo en cuenta (fíjate en el triángulo en verde)

De esta forma se pueden mandar señales luminosas sin pérdidas a largas distancias. Las ventajas de la fibra óptica son (1) que es más barata que los cables de cobre y (2) que además no produce interferencias, por lo que es muy apropiada para la transmisión de datos. Lámina de caras plano−paralelas. Cuando un rayo atraviesa una lámina de caras paralelas no experimenta ningún cambio de dirección, aunque sí que se desplaza:

cos r =

h AB

⇒

AB =

h cos r

3. ¿Cuál es el desplazamiento (d) que sufre el rayo? (fíjate en el triángulo en amarillo)

Después de dibujar la marcha de un rayo vamos a resolver las siguientes cuestiones: 1. ¿Qué relación guardan los distintos ángulos de incidencia y de refracción? Si escribimos la ley de snell para la primera y para la segunda refracción: n λ seni v1 = = n 21 = 2 = 1 senr v 2 n1 λ 2

y para la segunda refracción

seni´ n 2 ´ = senr´ n 1´

senβ =

d y como los ángulos opuestos por el vértice son iguales: β + r = i tenemos: AB h ⋅ sen (i − r ) d = AB ⋅ sen (i − r ) = cos r

E2A.S2006 Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de caras planas y paralelas, con un ángulo de incidencia de 30º. La lámina está situada en el aire, su espesor es de 5 cm y su índice de refracción 1,5. a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo que forma el rayo que emerge de la lámina con la normal.

Prisma óptico: es un cristal de láminas no paralelas que forman un ángulo α

b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina a) Como sabemos, cuando un rayo incide sobre una superficie translúcida parte se refracta y parte se refleja, de manera que el resultado sería algo así como el siguiente, donde los rayos reflejados se han dibujado en color rojo : 1. Relación entre el ángulo del prisma, el ángulo de refracción y el segundo de incidencia:- Si nos fijamos en el triángulo dibujado en verde y recordamos que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º:

Teniendo en cuenta que, como hemos demostrado anteriormente, el rayo solamente sufre un desplazamiento, pero no varía en dirección; el ángulo de incidencia en la lámina es igual al ángulo de refracción de salida, resulta que r´=30º.

⇒

sen30 1,5 = senr 1

⇒

⇒

α = r + i´

2. Desviación (δ) que sufre el rayo tras atravesar el prisma. Si nos fijamos en el triángulo en amarillo que se forma al prolongar la dirección del rayo que incide y el que sale del prisma:

b) Aplicando la ley de snell, el ángulo de la primera refracción es: n λ seni v1 = =n 21 = 2 = 1 senr v 2 n1 λ 2

(90 − r ) + α + (90 − i´) = 180

r = 19,5º

y el camino AB recorrido por el rayo en el interior de la lámina es: AB =

h 5 = = 5,3cm cos r cos19,5

(i − r ) + (180 − δ) + (r´−i´) = 180

⇒

δ = i + í´− r − r´

c) Si tenemos en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 y nos fijamos en el que está dibujado en color verde:

Ejemplo:

Sobre un prisma de ángulo 60º, incide un rayo luminoso monocromático que forma un ángulo de 41,3º con la normal a la cara AB. Sabiendo que en el interior del prisma el rayo es paralelo a la cara AC: a) Calcula el índice de refracción del prisma b) Realiza el esquema gráfico de la trayectoria seguida a través del prisma c) Determina el ángulo de desviación del rayo al atravesar el prisma d) Explica si la frecuencia y la longitud de onda correspondiente al rayo luminoso son distintas o no dentro y fuera del prisma. a) Como vemos en la figura, en ángulo de la primera refracción es de 30º, ya que los ángulos de lados perpendiculares son iguales: (41,3 − 30) + (180 − δ) + ( 41,3 − 30) = 180

δ = 22,6º

⇒

d) La frecuencia del rayo de luz es la misma en cualquier medio, pero puesto que varía el índice de refracción varía la velocidad y por lo tanto la longitud de onda. Como el índice de refracción es igual al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en el prisma y vale 1,32: así que aplicando la ley de snell: n λ seni v1 = =n 21 = 2 = 1 senr v 2 n1 λ 2

n prisma = ⇒

sen 41,3 n 2 = sen30 1

⇒

n 2 = 1,32

b)

λ ν c = vacío = 1,32 v prisma λ prisma ν

⇒

λ prisma =

λ vacío 1,32

al mismo resultado llegaríamos teniendo en cuenta, como siempre, que: λ n seni v1 = =n 21 = 2 = 1 senr v 2 n1 λ 2

⇒

sen 41,3 λ vacío = sen30 λ prisma

⇒

λ prisma =

λ vacío 1,32

La longitud de onda del rayo monocromático se hace 1,32 veces menor a la que tenía en el vacío. Lógico, pues si la velocidad de la luz en cualquier medo es menor que en el aire su longitud de onda también debe ser menor, dado que la frecuencia siempre es la misma.

) ) puesto que el rayo es paralelo a la base del prisma, los ángulos r y i ´ son iguales de ) ) 30º, y también son iguales entre sí los ángulos los r´ y i y valen 41,3º

DISPERSIÓN. DEPENDENCIA DE LA VELOCIDAD CON LA FRECUENCIA

Newton observó que cuando la luz blanca (policromática) atraviesa un prisma se descompone en colores, a los que llamó espectro. Estos colores ya no se descomponen más (son nomocromáticos), pero si se juntan de nuevo se obtiene la luz blanca.

Como la velocidad de la luz es máxima en el vacío, la longitud de onda en el vacío siempre será mayor que la longitud de onda en el segundo medio. Resumiendo: La dispersión de la luz es la separación de un rayo de luz en los colores o frecuencias que lo componen al cambiar de medio, debido a que cada color presenta distinto índice de refracción y eso hace que cada uno tenga una desviación diferente. ) Cada frecuencia (color) ⇒ ≠ r (desviación) ⇒ ≠ n y ≠ velocidad El arco iris se forma por la dispersión de la luz solar en las gotas de agua suspendidas por el aire tras la lluvia. Para verlo tenemos que tener el sol a la espalda

•

La luz monocromática está formada por ondas de una sola frecuencia. A cada color le corresponde una frecuencia característica, por ejemplo:

Infra−Rojo Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Ultra−Violeta

•

•

< 3,8 ⋅ 10 14 Hz 3,8 ⋅ 10 14 − 4 ,9 ⋅ 10 14 Hz 4 ,9 ⋅ 10 14 − 5 ,1 ⋅ 10 14 Hz 5 ,1 ⋅ 10 14 − 5 ,3 ⋅ 10 14 Hz 5 ,3 ⋅ 10 14 − 6 ,1 ⋅ 10 14 Hz 6 ,1 ⋅ 10 14 − 7 ,0 ⋅ 10 14 Hz 7 ,0 ⋅ 10 14 − 8 ,0 ⋅ 10 14 Hz > 8 ,0 ⋅ 10 14 Hz

¿Qué luz se desvía más en el prisma óptico: la luz roja o la luz azul?. Di cual de ellas tiene mayor índice de refracción en el prisma y cual de ellas se propaga en su interior con mayor velocidad. Dato: El índice de refracción color rojo es menor que el índice de refracción del color azul. Como podemos ver en la figura, la luz que sufre mayor desviación, respecto del rayo incidente, es la luz azul, que es la que tiene menor longitud de onda. No obstante, el ángulo de refracción mayor lo tiene el rojo, “porque los ángulos se miden sobre la normal al plano”.

La descomposición de la luz se debe a que cada color que forman la luz blanca se desvía un ángulo distinto en el prisma. Es decir, todas las frecuencias (colores) que componen la luz blanca inciden con el mismo ángulo de incidencia, pero al penetrar en el prisma cada color tiene un índice de refracción distinto y por eso se separan. Si para un mismo ángulo de incidencia cada color tiene un ángulo de refracción distinto al entrar en el prisma eso implica que cada color tiene un índice de refracción diferente y que viaja a una velocidad diferente en el prisma. n λ sen i c = = 2 = 1 senr v 2 1 λ2

•

Ejemplo:

Para demostrarlo escribiremos las leyes de la refracción para cada color:

Como en el prisma cada color tiene una velocidad distinta, mientras que la frecuencia de cada color permanece invariable, eso implica que cada color cambia la longitud de onda al pasar de un medio a otro (ya que v=λ.ν)

n rojo λ rojo seni c = = = senrrojo v rojo 1 λ´rojo

n λ seni c = =n 21 = 2 = 1 senr v 2 1 λ2

n λ seni c = = azul = azul senrazul v azul 1 λ´azul

si dividimos miembro a miembro: senrazul

senr rojo

=

v azul

v

rojo

=

n rojo

n

s2

En un espejo convexo la imagen siempre es virtual, derecha y menor.

La ecuación de los espejos puede obtenerse a partir del la ecuación del dioptrio esférico, si tenemos en cuenta que la reflexión es como un caso particular de refracción en el que el rayo rebota sobre el mismo medio, así que n 2 = − n 1 y teniendo en cuenta que en los espejos f = R / 2

n 2 = −n 1 n 2 n1 n 2 − n1 − = s 2 s1 R

y la imagen es del mismo tamaño que el objeto, ya que: − n1 n1 − n1 − n1 − = s2 s1 R

1 1 2 ⇒ + = s 2 s1 R

⇒

1 1 1 + = s 2 s1 f

El aumento de la imagen se deduce fácilmente también a partir del aumento de la imagen para el dioptrio:

n 2 = −n 1 y 2 = y1

n1 ⋅ s 2 n 2 ⋅ s1

⇒

y 2 = − y1

s2 s1

y 2 = − y1

s2 s1

como s 2 = −s1

⇒

y 2 = y1

Los espejos son superficies perfectamente pulidas, mientras que cualquier otra superficie es rugosa (aunque sea microscópicamente rugosa) y no puede formar imágenes porque, aunque se sigan cumpliendo las leyes de la reflexión, debido a su rugosidad los rayos reflejados no tienen todos la misma dirección y el resultado es una reflexión difusa.

Quiere decir que la imagen será derecha cuando s1 y s2 tengan distinto signo. Eso ocurre cuando objeto e imagen estén a ambos lados del espejo, que es lo que pasa siempre en los espejos convexos y en los cóncavos cuando el objeto está entre el foco y el espejo

Espejos planos: Pueden considerarse como un caso particular de los esféricos, donde el radio es infinito. Para obtener la imagen en un espejo plano: • •

•

Se traza un rayo paralelo al eje y se prolonga. Seguirá paralelo puesto que el foco está en el infinito Se traza un rayo cualquiera, que obviamente se reflejará en el espejo de manera que el ángulo de reflexión sea igual al de incidencia. Luego se prolonga y en la intercesión se obtiene un punto de la imagen, que naturalmente es virtual y derecha. Haciendo lo mismo se obtienen el resto de los puntos

Aplicaciones de los espejos: Además de facilitar el aseo se utilizan en la construcción de muchos instrumentos ópticos, como por ejemplo el periscopio de los submarinos, que está formado por dos espejos formando ángulo de 45º Como en un espejo convexo, la imagen es siempre virtual, derecha y más pequeña que el objeto, se suelen utilizar en los retrovisores de coches y motos, debido a que proporcionan un mayor campo de visión. También, se colocan grandes espejos convexos en las esquinas de algunos cruces de poca visibilidad o en algunas tiendas. Por el contrario un espejo cóncavo que tenga una distancia focal muy grande, de manera al mirarnos siempre nos coloquemos entre el foco y el espejo servirá para vernos aumentados y se venden como espejos para afeitarse.

Ejemplo: E5A.S2007

Como los ángulos de incidencia y de reflexión son iguales, los triángulos en amarillo también lo son y por tanto la imagen se forma a la misma distancia que está el objeto, es decir que: s 2 = −s1 (el signo menos indica que la imagen se forma al otro lado del espejo). De todas formas, la ecuación para el espejo plano es fácil de deducir, sin más que tener en cuenta que para ellos el foco está en el infinito: 1 1 1 + = s 2 s1 f

⇒

1 1 1 + = s 2 s1 ∞

⇒

s 2 = −s 1

Es corriente utilizar espejos convexos como retrovisores en coches y camiones o en vigilancia de almacenes, con objeto de proporcionar mayor ángulo de visión con un espejo e tamaño razonable. a) Explique con ayuda de un esquema las características de la imagen formada en este tipo de espejos. b) En estos espejos se suele indicar: “Atención los objetos están mas cerca de lo que parece” ¿Porqué parecen estar más alejados?

a) como puede verse en el esquema, la imagen es siempre derecha, mas pequeña (por aumentan el campo visual) y virtual.

LENTES. FORMACIÓN DE IMÁGENES Y CARACTERÍSTICAS Una lente es un sistema transparente formado por dos superficies esféricas, aunque una de ellas puede ser plana. Por tanto puede considerarse como dos dioptrios unidos.

Además, la imagen que viene dada por:

y 2 = − y1

s2 s1

• y2 es positiva ⇒ es una imagen derecha (ya siempre y1 es positiva, s1 negativa y s2 es positiva) • la imagen es menor ya que en valor absoluto s2 8 ,0 ⋅ 10 14 Hz

Así que entre una onda de radio, un rayo X y otra onda que da al ojo la impresión del color verde no hay ninguna diferencia más que en sus frecuencias. El ojo humano es sensible a unas pocas de ellas de la misma forma que el oído solo es sensible a ondas sonoras comprendidas entre 20 y 20.000 Hz. Un murciélago es capaz de escuchar sonidos por encima de 20.000 Hz y una abeja puede ver OEM del UV, pero nosotros ni una cosa ni otra ¿qué vamos a hacer? Rayos ultravioleta (UV) Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 8.1014 y 1017 Hz. Se llaman así porque sus frecuencias estás justamente por encima del violeta del visible. Estas radiaciones son emitidas por átomos muy excitados en los que tienen lugar saltos de los electrones más internos. El sol es una buena fuente de radiación UV. Son precisamente los rayos UV los que producen el bronceado de la piel, sin embargo las quemaduras se deben a los IR.

Los rayos X son ionizantes como puede comprobarse con el siguiente experimento: Se coloca una batería de corriente continua a las placas de un condensador entre las que hay un gas, por ejemplo aire. Evidentemente una vez que se carga el condensador deja de pasar corriente.

Pueden detectarse con células fotoeléctricas o con películas fotográficas especiales. Aplicaciones: • •

• • •

Para esterilizar instrumentos médicos, ya que estas radiaciones eliminan las bacterias. Para descubrir falsificaciones en billetes y cuadros. Las pinturas modernas tienen elementos que fluorecen cuando se iluminan con radiación UV. Estas sustancias también las llevan los detergentes y por eso una camisa blanca a la que le quedan restos fluorece con la luz UV de las discotecas. En espectroscopia, ya que como hemos dicho, algunas transiciones electrónicas corresponden al UV En fotoquímica, para disociar las moléculas y activar las reacciones por radicales libres. En circuitos electrónicos que utilizan células fotoeléctricas, como por ejemplo para abrir una puerta al acercarse una persona.

Rayos X: Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 1017 y 1019 Hz. Se llaman así porque fue el nombre que le puso Roetgen, su descubridor. Según la frecuencia los rayos X se clasifican en blandos y duros Se producen en los tubos de rayos X. Un tubo de rayos X está formado por un filamento que una vez puesto al rojo emite electrones (por efecto termoiónico) y que luego son acelerados por una elevada d.d.p. del orden de 100.000 voltios. De esta forma adquieren una gran energía cinética y cuando chocan con en anticátodo pierden toda esa energía y la radian en forma de OEM, aunque parte de ella se transforma en calor ya que el anticátodo se calienta mucho.

Al iluminar con rayos X entre las placas del condensador se produce una corriente porque se ionizan las moléculas que componen el aire, es decir, se arrancan electrones de las moléculas del gas los cuales se mueven hacia la placa positiva y posteriormente son bombeados por la pila hasta la otra placa, donde al unirse de nuevo al resto positivo de la molécula dan de nuevo moléculas neutras. Aplicaciones: • • • •

En medicina. Los rayos X atraviesan bien las partes blandas del organismo y peor los huesos, de manera que estos pueden hacerse visibles y ver las fracturas. En el control de calidad de piezas para detectar fracturas internas. En las aduanas En el estudio de la estructura de cristales, ya que las distancias interatómicas son del orden de la longitud de onda de los rayos X y por tanto producen fenómenos de difracción de los que se pueden obtener datos a cerca de la celdilla unidad del cristal.

Rayos γ Son las OEM de frecuencias superiores a 1019 Hz y por tanto las de mayor energía. Son de origen nuclear y se generan en las desintegraciones de elementos radioactivos, así como en las reacciones nucleares.

Se detectan con pantallas fluorescentes o películas fotográficas lo mismo que los rayos X, pero además debido a su gran poder de ionización hay una serie de artilugios capaces de medirlas como la cámara de niebla de Wilson, el contador Geiger−Müller, etc. Aplicaciones: • • •

En medicina para destruir células cancerosas, aunque hay que tener muy localizadas las células porque igualmente destruye las sanas. Para inducir mutaciones. Aunque los resultados son impredecibles, a veces se obtienen especies de gran rendimiento. En metalurgia para obtener fotografías de piezas fundidas y descubrir posibles defectos en soldaduras, grietas, etc. El funcionamiento es como en los rayos X, pero con la ventaja de que esta radiación, al tener menor longitud de onda, es mucho mas penetrante.

b) Teniendo en cuenta que una OEM está se debe a la propagación de un campo eléctrico y otro magnético que se propagan en dirección perpendicular, y que la relación entre los valores máximos del campo eléctrico y magnético es la velocidad de la luz, tenemos que: E 10 −4 c = máx ⇒ B máx = = 3,33 ⋅ 10 −13 Teslas B máx 3 ⋅ 108 Por tanto la ecuación del campo magnético que da lugar a la onda electromagnética es B = 3,33 ⋅ 10 −13 sen (9,42 ⋅ 10 6 x − 2,82 ⋅ 1015 t ) (donde x se mide en metros, t en segundos y B en Teslas) Teniendo en cuenta que la dirección de propagación de la OEM viene dada por un r r r vector como el E ∧ B . Si E se propaga en el plano XY en dirección +x, teniendo en cuenta la definición de producto vectorial de dos vectores tenemos que admitir que r B debe propagarse en el plano XZ

Ejemplo: El campo eléctrico de una onda electromagnética que se mueve en el plano XY viene dado por E(x,t)=Eosen(kx−ωt) donde k es el número de ondas 2π/λ. a) Si el campo eléctrico máximo para esta onda es 10−4 V/m y su frecuencia es de 4,5.1014 Hz obtener la ecuación del campo eléctrico que define a la OEM, razonando el sentido de propagación. b) Obtener la expresión del campo magnético y razona el plano en que se propagará. Datos: c = 3.108 m/s a) Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación es c = λ ν tenemos que

c 3 ⋅ 108 = = 6,67 ⋅ 10 −7 m ν 4,5 ⋅ 1014 2π ω= = 2 π ν = 2,82 ⋅ 1015 s −1 T λ=

⇒

k=

2π = 9,42 ⋅ 10 6 m −1 λ

La ecuación del campo eléctrico de la OEM es E = 10 −4 sen (9,42 ⋅ 10 6 x − 2,82 ⋅ 1015 t ) (donde x se mide en metros, t en segundos y E en V/m) El campo viaja hacia la parte positiva del eje X, ya que a medida que aumenta el tiempo para mantener la fase x también debe aumentar.

Ejemplo: En un tubo de rayos X se acelera a un electrón mediante una d.d.p. de 105 voltios. ¿Qué energía cinética adquiere? Suponiendo que al chocar contra el anticátodo radia toda la energía adquirida ¿Cuál será la frecuencia de la radiación? (ten en cuenta que E = hν ) DATOS: Carga del e− 1,6.10−19C ; Constante de Planck h =6,6.10−34 J.s Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es un campo conservativo, y que por tanto se conserva la energía mecánica, podemos poner que ∆Ep + ∆Ec = 0 Por otro lado, teniendo en cuenta que por definición, el trabajo que hace el campo para llevar un cuerpo (en este caso una carga) de un punto a otro es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos: WA →B,campo = −∆Ep = −q´∆V , finalmente nos queda que: q´∆V + ∆Ec = 0

sustituyendo: − 1,6 ⋅ 10 −19 *10 5 + Ec B − Ec A = 0

de donde tenemos que la Energía cinética final es EcB = 1,6.10−14 J Si toda esa energía se radia en forma de una OEM, de acuerdo con la ecuación de Plank, el fotón tendrá una frecuencia: 1,6 ⋅ 10 −14 ⇒ ν= E = h⋅ν = 2,4 ⋅ 1019 Hz 6,6 ⋅ 10 −34 que corresponde a un rayo X muy duro.

AMPLIACIÓN: FÓRMULA DEL DIOPTRIO

FÓRMULA DEL CONSTRUCTOR DE LENTES

Vamos a deducir la fórmula de la imagen formada por refracción en un dioptrio esférico para el caso de rayos paraxiales.

Relaciona la curvatura que debe dar a las caras y el índice de refracción de la lente para obtener una determinada potencia. Puede obtenerse a partir de la fórmula del dioptrio esférico:

n 2 n1 n 2 − n1 − = s 2 s1 R Supongamos una lente delgada, de índice de refracción n rodeada de aire (n=1) . Sean los radios de curvatura de sus caras R1 y R2. Podemos considerar que la imagen final es el resultado de una primera refracción en la primera lente seguida de otra segunda refracción en la segunda lente, donde la imagen formada en la primera refracción hace de objeto para la segunda refracción.

Del triángulo en amarillo (teniendo en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, y que dos ángulos sobre una recta (suplementarios) también suman 180º) tenemos que α + β + (180 − i) = 180 de donde: i = α+β De la misma forma, en el triángulo rosa se deduce que r + γ + (180 − β) = 180 o lo que es igual: r =β−γ sen i n 2 La rey de la refracción de Snell para la refracción es = sen r n 1 Teniendo en cuenta que para ángulos muy pequeños (como es el que forman los rayos paraxiales): • el seno del ángulo es prácticamente igual al ángulo y viceversa • la hipotenusa del triángulo rectángulo es prácticamente igual al lado contiguo • De acuerdo al criterio de signos los ángulos de incidencia y de refracción son positivos cuando se miden sobre la normal por al camino más corto. • De acuerdo con el criterio general los ángulos son positivos cuando se miden desde el eje X en sentido antihorario. En caso contrario son negativos. De acuerdo con esto las anteriores relaciones habrá que escribirlas como: i = α −β r = −β + γ en la ley de la refracción de Snell podemos escribir: h h − s1 R n sen i α −β ≈ ≈ = 2 h h sen r − β + γ n1 − + R s2 1 1  1 1 n 1 h  −  = n 2 h  − +  s R  1   R s2 

→

n 2 n1 n 2 − n1 − = s 2 s1 R

Para la primera refracción tenemos que n1=1 y que n2=n. Supongamos que el objeto se encuentra a una distancia s de la lente y que la primera imagen se forma a una distancia sPrimeraIm. Sustituyendo nos quedaría:

n 1 n −1 − = s Pr imera Im s1 R1

Ahora la imagen obtenida en la primera refracción hace de objeto para refractarse en la segunda lente. Tenemos ahora que n1=n y que n2=1 y como la primera imagen se formó a una distancia sPrimeraIm resulta que la distancia de “este objeto” a la segunda lente es –sPrimeraIm porque está al otro lado. 1 n 1− n − = s 2 − s Pr imera Im R2 sumando nos queda que:  1 1 1 1  − = ( n − 1)  −  s 2 s1 R R 2   1 De acuerdo con la definición de foco imagen, un objeto situado en el infinito (o muy alejado para que los rayos sean paraxiales) ( s1 = ∞ ) dará lugar a una imagen en el foco, es decir que s2 = f2.

 1 1 1 1  − = ( n − 1)  −  f2 ∞ R R  1 2

→

1 1 1  = (n − 1)  −  f2 R R  1 2 

La fórmula del constructor de lentes puede escribirse también como:

1 1 1 − = s 2 s1 f 2 Como vemos, nos permite conocer la distancia focal (Potencia de la lente) en función de los radios de curvatura y el índice de refracción, o bien en función de la posición del objeto de la imagen final.

TEMA 4: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

FUERZA ENTRE CARGAS EN REPOSO. LEY DE COULOMB

PARTE 1: Campo eléctrico. Magnitudes que lo caracterizan: intensidad de campo y potencial eléctrico.

La ley de Coulomb dice: La fuerza con que dos cargas en reposo se atraen o repelen, según sean sus signos, es proporcional en módulo al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La dirección de la fuerza es según la recta que une las cargas y el sentido atractivo si las cargas tienen distinto signo y repulsivo si tienen el mismo.

• Fuerza entre cargas en reposo; ley de Coulomb. Características de la interacción entre dos cargas puntuales. • Interacción de un conjunto de cargas puntuales; superposición • Energía potencial electrostática de una carga en presencia de otra. Superposición. • Potencial electrostático de una carga puntual y de un conjunto de cargas puntuales. • Campo eléctrico de una carga puntual. • Relación entre campo y potencial electrostáticos. • Campo electrostático de un conjunto de cargas puntuales. PARTE 2: Relación entre fenómenos eléctricos y magnéticos. Campos magnéticos creados por corrientes eléctricas. Fuerzas magnéticas: ley de Lorentz e interacciones magnéticas entre corrientes rectilíneas. Experiencias con bobinas, imanes, motores, etc. Magnetismo natural. Analogías y diferencias entre campos gravitatorio, eléctrico y magnético. • Las cargas en movimiento como origen del campo magnético: experiencias de Öersted. • Justificación del carácter relativo del campo magnético. • Campo creado por una corriente rectilínea indefinida. • Campo creado por una espira circular. • Fuerza magnética sobre una carga en movimiento; ley de Lorentz. • Movimiento de cargasen un campo magnético uniforme. • Fuerza magnética entre dos corrientes rectilíneas indefinidas.

SI elegimos un SR centrado en la carga q que crea el campo. como la dirección de la fuerza que ejerce sobre la carga q´ tiene la dirección de la recta que las une, resulta que tendrá la misma dirección que el vector de posición.

r Q⋅q r F = K 2 ur r

•

r u r es un vector unitario del vector de posición de q respecto de Q, es decir, es un vector en la dirección de la línea que une los centros de las cargas y el sentido, como se hacía en el campo gravitatorio, se toma desde la carga que crea el campo hacia la otra.

•

Observa que, a diferencia de la ley de gravitación de Newton, esta expresión no lleva signo menos y ello se debe a la existencia de dos tipos de carga. El signo “menos” se interpretaba como una fuerza atractiva, es decir que tiene la r dirección del vector unitario − u r . Ahora no es necesario, porque cuando se trate de dos cargas positivas, o dos cargas negativas, al sustituir resultará un vector en r dirección y sentido de u r , es decir se repelen. Cuando se trate de una carga r positiva y otra negativa resultará un vector en la dirección y sentido de − u r , es decir se atraen.

PARTE 3: Inducción electromagnética. Producción de energía eléctrica, impactos y sostenibilidad. Energía eléctrica de fuentes renovables. • • • • •

Introducción elemental del concepto de flujo. Fenómenos de inducción electromagnética: introducción fenomenológica. Fuerza electromotriz inducida y variación de flujo. Ley de Lenz Faraday. Producción de corrientes alternas; fundamento de los generadores. Transporte y uso de las corrientes alternas; fundamento del transformador. Ventajas de la corriente alterna frente a la corriente continua.

A este respecto es muy importante tener en cuenta que si queremos calcular el vector fuerza debemos sustituir los valores de las cargas con su signo incluido que es precisamente quién nos dará el sentido de la fuerza. Sin embargo si solamente queremos calcular el valor del módulo de la fuerza entonces será suficiente con sustituir el valor de las cargas en valor absoluto. •

K es una constante de proporcionalidad llamada “constante de Coulomb” y hace un papel similar al que hacía G en la ley de gravitación universal aunque, a diferencia de aquella, ésta no es realmente una constante porque depende del medio en el que están situadas las cargas. 1 K= 4πε

ε es una constante específica de cada medio que se llama permitividad o constante dieléctrica. Su valor para algunos medios es: Medio Vacío Aire Agua Vidrio Mica

ε (C2/N.m2) 8 ,85 ⋅ 10 −12 8 ,85 ⋅ 10 −12 716 ,85 ⋅ 10 −12 53,00 ⋅ 10 −12 35 ,00 ⋅ 10 −12

Las unidades de K se obtienen fácilmente despejándola de la fórmula de Coulomb y su valor para el caso del vacío o del aire es:

Podrías preguntarte porqué en el encabezamiento dice: fuerzas entre cargas en reposo. Como ya sabes, una carga eléctrica siempre crea a su alrededor un campo eléctrico, pero si está en movimiento, entonces, además crea otro magnético como veremos mas adelante y por tanto la cosa cambia. INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE CARGAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de Coulomb nos da la fuerza con que se atraen dos cargas, pero no hace referencia a la posible existencia de otras cargas. Ello nos lleva al principio de superposición: “Si una carga se encuentra en el campo creado por varias cargas, la fuerza total sobre ella es la fuerza resultante de las que cada carga, por separado, ejerza sobre ella.” De igual forma puede decirse que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto.

K = 9 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 / C 2

Características de la interacción entre cargas: (las mismas que ya vimos para la interacción ente masas). Son fuerzas centrales con lo que ello conlleva: (1) El campo eléctrico tiene simetría esférica, (2) una carga sometida a un campo de fuerzas centrales describe un movimiento r en un plano, (3) el momento angular L de una partícula sometida a fuerzas centrales se conserva en el tiempo y (4) el trabajo realizado por la fuerza central para que q orbite alrededor de ella es nulo porque en todo momento la fuerza y el vector desplazamiento son r r perpendiculares, por tanto ∫ F • d r = 0 y (5) Son fuerzas conservativas con lo que ello conlleva: (a) el trabajo para llevar a la carga q desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solo depende de la posición de los puntos, (b) la energía que la carga q tiene en cada uno de los puntos del campo creado por q solamente depende de la posición y por eso se le puede asignar una energía que llamamos energía potencial y (c) una carga sometida a fuerzas conservativas conserva su energía mecánica: Ec + Ep = cte

r r Ftotal = ∑ Fi r r Ftotal = q ∑ E i r r E total = ∑ E i

es decir que

Ejemplo: Dos cargas fijas q 1 = −3µC y q 2 = −6µC están separadas en el vacío una distancia de 0,3m. Calcular la fuerza que se ejercen entre ellas. ¿Dónde deberíamos colocar una carga q = +1µC para quede en reposo? a) La fuerza con que se repelen las dos cargas, puesto que tienen el mismo signo, viene dada por la ley de Coulomb:

Observaciones: Es importante tener en cuenta que, lo mismo que con las masas, la fuerza actúa tanto sobre una carga como sobre la otra son iguales y de sentidos opuestos, es decir, una es la de acción y la otra de reacción: r r F12 = − F21

F12 = F21

Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que actúa sobre el testigo, por ese motivo a la que actúa sobre la masa que crea el campo no le prestaremos atención, sin que ello quiera decir que no exista.

q1 ⋅ q 2 r2 −6 3 ⋅ 10 o 6 ⋅ 10 −6 F = 9 ⋅ 10 9 = 1,8N (0,3) 2

F12 = F21 = K

b) Para que la carga esté en equilibrio es necesario que la suma de todas las fuerzas sobre ella sea cero. De acuerdo al principio de superposición la fuerza resultante es la suma vectorial de las fuerzas que cada carga hace por separado sobre q´). Para que sea nula es necesario que (1) las dos fuerzas tengan la misma dirección, (2) sentidos opuestos y (3) el mismo módulo. F1 = F2

K

q1 ⋅ q q ⋅q = K 22 r12 r2

6 ⋅ 10 −6 ⋅ q 3 ⋅ 10 −6 ⋅ q =K 2 x (0,3 − x ) 2 x = 0,12m Ejemplo: Tres cargas eléctricas se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado a como se indica en la figura ¿Qué fuerza actúa sobre la carga q? Dar el resultado en función de +q, +Q, −Q y a. K

r r r F1 = F1 cos 60 i + F1sen 60 j r r r F2 = F2 cos 60 i − F2 sen 60 j r r r F = ( F1 + F2 ) cos 60 i + (F1 − F2 )sen 60 j

Q⋅q nos quedaría que a2 r Q⋅q r F=K 2 i a

Teniendo en cuenta que como hemos visto antes F1 = F2 = K r r Q⋅q F = 2K 2 cos 60 i a

y como cos60=1/2

Sencillamente no hay más que aplicar el principio de superposición, así que calcularemos la fuerza que cada carga hace por separado sobre +q y luego las sumamos vectorialmente.

NOCIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO: INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL

La fuerza que la carga +Q ejerce sobre +q es repulsiva por tener el mismo signo y en la dirección de la recta que une ambas cargas. Su módulo de acuerdo con la ley de Coulomb es:

Hemos visto que la fuerza que actúa sobre una carga q cuando la colocamos en un punto del campo eléctrico creado por otra carga Q, depende de magnitudes propias del campo (la carga que lo crea Q y la posición del punto (r)) pero también depende del valor de la carga q.

F1 = K

Q⋅q a2

La fuerza que la carga –Q ejerce sobre +q es atractiva por tener distinto signo y en la dirección de la recta que las une, y el módulo (recuerda que para calcular el módulo solo tomamos las cargas en valores absolutos)

F2 = K

Q⋅q a2

Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa de la carga del testigo, vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo eléctrico como la s fuerza por unidad de carga. La intensidad del campo eléctrico se representa por E :

r r F Qr E = = K 2 ur q´ r • La Intensidad de campo eléctrico solamente depende de la carga q que crea el campo y de r, es decir de la posición del punto en el campo. • La intensidad de campo en un punto nos permite conocer la fuerza que actuará r r sobre un testigo de carga q colocado en ese punto: F = q E . Como se deduce de la relación, la fuerza es un vector que siempre tiene la misma dirección que el campo, pero su sentido depende el signo de la carga q. Si q es positiva ambos vectores tendrán la misma dirección. Si q es negativa tendrán sentidos opuestos.

Ahora solo hay que sumar dos vectores. Para ello elegimos un sistema de referencia cualquiera, aunque parece apropiado uno como el de la figura:

el siguiente paso es descomponer los vectores según los ejes del sistema de referencia elegido, y luego se escriben vectorialmente las fuerzas:

Por otro lado, hemos visto que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto. r r E total = ∑ E i es decir, se cumple el principio de superposición.

Ejemplo E6A.S2007 Una partícula de masa m y carga −10−6 C se encuentra en reposo al estar sometida al campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniforme E = 100 N C−1 de la misma dirección. a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa. b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N C−1 y determine su aceleración.

Ejemplo E1B.S2007 a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creado por una carga puntual y el campo gravitatorio creado por una masa puntual, en relación con su origen, intensidad relativa, dirección y sentido. b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un punto del segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta. a) Analogías:

a) Obviamente para que la partícula cargada esté en equilibrio, la fuerza peso debe contrarrestarse con la eléctrica. Como sabemos las líneas de fuerza tienen el sentido en que se movería una carga positiva (ese fue el criterio que se adoptó) así que como la fuerza eléctrica debe ir hacia arriba para compensar al peso y como la carga es negativa, el campo r r r eléctrico debe ir hacia abajo. (Recuerda que F = q E , por tanto al multiplicar un vector ( E ) r por un escalar negativo (q) el resultado es un vector ( F ) en la misma dirección y sentido contrario). Podemos prescindir del carácter vectorial de las magnitudes ya que el movimiento tiene lugar en una sola dimensión, por tanto nos limitaremos a igualar los módulos de las fuerzas y en ese caso recuerda que el valor de la carga se sustituye en valor absoluto. Felectr = Fgravit

m = 10 −5 Kg

r De hacer el tratamiento vectorial, habríamos planteado que ∑ F = 0 , (en tal caso al sustituir los valores de la carga debemos incluir su signo), es decir que: r r m ⋅ 10(− j) + ( −10 −6 ) ⋅ 100(− j ) = 0

⇒

m = 10 −5 Kg

b) Si el campo eléctrico aumenta de valor, la fuerza eléctrica será mayor que el peso y en consecuencia habrá una fuerza neta y, por tanto, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la partícula tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia arriba, es decir, en la dirección y sentido de la fuerza resultante. Aplicando la segunda ley de Newton:

r

r

∑F = F

electr

r r + Fgravit = m a

r r r qE + mg = ma r r r − 10 −6 ⋅ 120(− j ) + 10 −5 ⋅ 10(− j) = 10 −5 a r r r 1,2 ⋅ 10 −4 j − 10 −4 j = 10 −5 a →

r r a = 2 jm / s2

Los dos son campos de fuerzas centrales, y por tanto conservativos Todas las expresiones de uno y otro son semejantes. (El papel que la constante de gravitación universal y las masas hacen en el campo gravitatorio, en el eléctrico lo hacen la constante de Coulomb y las cargas. Las líneas de fuerza en estos campos son abiertas, es decir, no se cierran sobre sí mismas como suceda en el campo magnético.

Diferencias: • •

•

m ⋅ 10 = 10 −6 ⋅ 100

⇒

•

•

mg = qE

r r mg + qE = 0

• •

Hay dos tipos de cargas: positivas y negativas y solo una clase de masas. Como consecuencia de lo anterior la fuerza entre dos cargas puede ser atractiva o repulsiva, mientras que en las masas siempre es atractiva Consecuencia directa de lo anterior es el signo menos que aparece en las expresiones del campo gravitatorio La constante de gravitación universal G es una constante, mientras que la constante de Coulomb realmente no lo es puesto que depende del medio: K = 1 / 4πε ya que depende de ε que es la constante dieléctrica del medio en que se encuentran las cargas.

b) Como hemos dicho antes, hay solo una clase de masas, así que siempre podremos encontrar un punto en la línea que une dos masas donde el campo gravitatorio sea nulo, pero en el caso de las cargas eso solo será posible si las dos cargas tienen el mismo signo, (las dos positivas o las dos negativas), pero si tienen signo contrario en cualquier punto de la línea que une las cargas los campos creados por cada carga tendrán el mismo sentido, siendo imposible que se anulen:

ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UNA CARGA EN PRESENCIA DE OTRA. SUPERPOSICIÓN.

si que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que

El campo eléctrico es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que en él puede definirse una energía potencial.

1 1  1 WA →B,campo = K ⋅ Q ⋅ q −  = K ⋅ Q ⋅ q  −  = Ep A − Ep B  rA  rA rB 

1

∫r

2

dr = −

1 nos quedaría que: r

B

El trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos A y B. Por eso precisamente a esos puntos se le puede asociar una energía “que solamente depende de la posición” y que llamamos energía potencial. Por definición, “el trabajo que una fuerza conservativa hace para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”: WA →B,F.Conserv .Campo = − ∆Ep = Ep A − Ep B

Significado del signo menos: El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza la carga desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma, bajo la acción de la fuerza conservativa un cuerpo se mueve espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa que WA → B,F.Conserv .Campo = + cuando EpA > EpB)

En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre esos puntos” WA →B,nosotros = Ep B − Ep A = ∆Ep = − WA →B,F.Conserva .Campo Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial eléctrica, para ello no hay más que calcular el trabajo que hace el campo eléctrico para llevar una carga q desde el punto A al B: Br r B Q⋅q r r B Q⋅q Ep A − Ep B = WA →B,campo = ∫ Felectr • d r = ∫ K 2 u r • d r = ∫ K 2 ⋅ dr r r A A A

donde hemos tenido en cuenta que vector r unitario u r y el vector desplazamiento r d r tienen la misma dirección y sentido, así que

Ep A − Ep B = K

Q⋅q Q⋅q −K rA rB

Energía potencial eléctrica en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo para llevar la carga q desde uno a otro), pero si, por acuerdo, asignamos cero a la energía potencial de uno de esos puntos, entonces podremos hablar de energía potencial absoluta en un punto. Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse que no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito sería la energía potencial en ese punto A. Dicho de otra manera: La energía potencial de una carga q en un punto es igual al trabajo que hace el campo para llevar a la carga q desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que la energía potencial de una carga q en un punto es igual a trabajo que tenemos que hacer para traer a la carga desde el infinito hasta ese punto) Ep A − Ep ∞ = K como 1

∞

Q⋅q Q⋅q −K rA ∞

=0 Ep A = K

Q⋅q rA

donde rA es la distancia que separa las dos cargas. Como puedes ver la energía potencial eléctrica en un punto no es siempre negativa como pasaba a la gravitatoria. En este caso solo será negativa si las cargas tienen signo contrario Cuando las cargas tienen el mismo signo, la Ep es positiva porque para llevar la carga q desde el infinito hasta al punto A tenemos que hacer realmente un trabajo. La carga q no iría sola puesto que se repelen. Por el contrario, cuando las cargas tienen distinto signo (como pasaba con las masas) la carga q iría sola desde el infinito hasta el punto A y por eso su Ep es negativa, porque el trabajo no lo haríamos nosotros sino el campo creado por la carga Q.

Observa que: 1. La Ep eléctrica tiene su “máximo valor positivo si las cargas son del mismo signo” (o “máximo valor negativo si las cargas son de distinto signo”) en la superficie de la carga que crea el campo y va disminuyendo (o aumentando) al alejarnos hasta llegar a cero en el infinito. En cualquier caso, en el infinito la Ep es cero.

Ejemplo E3B.S2008 Una bolita de plástico de 2 g se encuentra suspendida de un hilo de 20 cm de longitud y, al aplicar un campo eléctrico uniforme y horizontal de 1000 N C− 1 el hilo forma un ángulo de 15º con la vertical. a) Dibuje en un esquema el campo eléctrico y todas las fuerzas que actúan sobre la esfera y determine su carga eléctrica. b) Explique cómo cambia la energía potencial de la esfera al aplicar el campo eléctrico. a) Se trata de un péndulo ideal que se encuentra probablemente entre las armaduras de un condensador plano, entre las que se crea un campo eléctrico uniforme (salvo en los bordes). La masa del péndulo está sometida por una lado a su peso y por otro lado, al estar cargada, a la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico. Suponiendo que la carga sea positiva, el campo iría hacia la derecha, ya que en tal caso la fuerza y el campo r r tienen la misma dirección y sentido: F = qE

2. Una carga se mueve espontáneamente hacia donde disminuye su energía potencial (Tanto si la carga es positiva como si es negativa) 3. La energía potencial que tiene en el infinito la carga q es nula, tanto si la carga que crea el campo es positiva como si es negativa. Energía potencial “de una carga” debida al campo creado por una asociación de cargas: de acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es la suma de la energía potencial que independientemente el campo de cada carga crea sobre ella, así que: Q ⋅q Q ⋅q Q ⋅q Q Ep = K 1 + K 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + K n = Kq ∑ in=1 i r1 r2 rn ri

Para que el péndulo esté en equilibrio, es preciso que la suma de las fuerzas sea nula, así que eligiendo un sistema de referencia como el de la figura no hay más que descomponerlas e igualar las componentes en el eje X. mg ⋅ senα = qE ⋅ cos α

Energía potencial de una asociación de cargas: En este caso la energía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de cargas. Por ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería:

Ep = K

qq q q q 1q 2 +K 1 3 +K 2 3 r12 r13 r23

Ep = K ∑

qiq j rij

⇒

q=

mg ⋅ tgα 0,002 ⋅ 10 ⋅ tg15 = = 5,36 ⋅ 10 −6 C E 1000

Las componentes en eje Y también dan resultante nula: T = mg ⋅ cos α + qE ⋅ senα b) La energía potencial de la bolita es la suma de la Ep gravitatoria y de la Ep eléctrica. A medida que la bolita se mueve espontáneamente ∆Epgravit ↑+ ∆Epeléctr ↓ hasta que el hilo forma un ángulo α, tal que para él la energía potencial total es mínima. Vamos a calcular la variación de energía potencial gravitatoria y eléctrica: Si tomamos nivel cero de Epgrav en el punto A, y teniendo en cuenta que el punto B está por encima una altura h = L − L cos α ∆Ep gravit = mgh B − mgh A = mg (L − L cos α)

∆Ep gravit = 0,002 ⋅ 10(0,2 − 0,2 cos15) = 1,36 ⋅ 10 −4 J

POTENCIAL ELÉCTRICO Recuerda que la fuerza que actúa sobre una carga q, en un punto de un campo creado por otra carga Q, depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente se definió la intensidad de campo como fuerza por unidad de carga. Lo mismo le ocurre a la variación de energía potencial de una carga q entre dos puntos A y B, de un campo creado por otra carga Q, que también depende del valor de q. Para evitar ese inconveniente vamos a definir una magnitud nueva como variación de energía potencial por unidad de caga y que llamaremos variación Potencial (V):

Br r WEléctr ,A →B = − ∆Ep Eléctr = ∫ FEléctr • d r = A

r r r B xB = Lsen α = ∫ q E i • (dx i + dy j) = ∫ q E dx = A

xA =0

= q E [x ]0

Lsen α

B

= q E L senα =

−6

−4

= 5,36 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 0,2 ⋅ sen15 = 2,77 ⋅ 10 J 3

Ep A − Ep B WA →B,F.Conserv VA − VB = = = q q

r

∫F

F.Conserv

r • dr

A

q

B r r = ∫ E • dr A

−4

∆Ep Eléctr = −2,77 ⋅ 10 J

B

VA − VB =

r

r

B

∫ E • dr = ∫ A ,campo

B r Qr Q u r • d r = ∫ K 2 ⋅ dr 2 r r A ,campo

K

A , campo

La variación total de energía potencial es: ∆Ep = ∆Epgravit + ∆Epeléctr = 1,36·10−4 – 2,77·10−4 = − 1,41·10−4 J

donde hemos tenido en cuenta que vector r unitario u r y el vector desplazamiento r d r tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que 1 1 ∫ r 2 dr = − r nos quedaría que:

Como ampliación vamos a comprobar el ángulo para el que quedaría en equilibrio una bola de 2g de masa y carga +5,36·10−6C que está colgada de un hilo o de 20 cm. ∆Ep = ∆Epgravit + ∆Epeléctr = m g L(1 − cos α) − q E L senα

Tomando cero de energía potencial en el punto A, tendríamos que la expresión anterior correspondería a la energía potencial en el punto B. Si ahora recuerdas que el mínimo de una función y=f(x) se obtiene derivando respecto a x e igualando a cero, pues eso mismo es lo que vamos a hacer porque la posición más estable corresponde a aquel ángulo de desplazamiento del hilo que hace mínima a la energía potencial. Ahora tenemos una función del tipo Ep=f(α) y de acuerdo a lo anterior, derivaremos la expresión de la Ep respecto al ángulo e igualaremos a cero: dEp qE 5,36 ⋅ 10 −6 ⋅ 10 3 = m g L senα − q E L cos α = 0 ⇒ α = arctg = arctg = 15º dα mg 0,002 ⋅ 10

B

1 1  1 VA − VB = K ⋅ Q ⋅ −  = K ⋅ Q ⋅  −  rA  rA rB

VA − VB = K

  

Q Q −K rA rB

Al mismo resultado llegaremos, como ya hemos dicho, si dividimos la deferencia de energía potencial por el testigo q´ ya que la ddp entre dos puntos es igual a la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad: VA − VB =

Ep A − Ep B Q Q =K −K q rA rB

Es obvio que lleguemos al mismo resultado, ya que en realidad hemos hecho lo mismo. En el r primer caso hemos calculado la circulación de E y en el segundo hemos dividido la circulación r r de F por q (acuérdate que la circulación de F es Ep A − Ep B . Mira más arriba (*)

Definición de voltio: La ddp eléctrica se mide en J/C que recibe el nombre de voltio. Un voltio es la ddp entre dos puntos, A y B, cuando el trabajo que hemos de realizar para llevar una carga de 1 Culombio de uno a otro es de 1 Julio. WA →B,campo = − ∆Ep = −q ∆V = q ( VA − VB )

E1B.S2010 a) Explique la relación entre el campo y el potencial electrostáticos. b) Una partícula cargada se mueve espontáneamente hacia puntos en los que el potencial electrostático es mayor. Razone si, de ese comportamiento, puede deducirse el signo de la carga.

o bien que: WA → B,nosotros = ∆Ep = q ∆V = q ( VB − VA )

El campo eléctrico realiza trabajo (W+) cuando desplaza una carga positiva desde un punto A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo. Si q>0 y VA>VB entonces WA →B,campo = + ⋅ + = + . Dicho de otra forma, una carga positiva se mueve espontáneamente hacia donde el potencial es menor. (Lo contrario puede decirse para una carga negativa) Potencial eléctrico en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos r hablar de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como la circulación de E entre esos dos puntos), pero si por acuerdo asignamos cero al potencial en un punto, entonces podremos habar de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito porque allí se supone que ya no hay campo. WA →B,campo podemos decir Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que VA − VB = q que: El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una carga de 1C desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el potencial en un punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una carga de 1C desde el infinito hasta ese punto). Q Q VA − V∞ = K − K rA ∞ 1 =0 como ∞ Q VA = K rA donde rA es la distancia que separa la carga que crea el campo del punto A. Como puedes ver, el potencial eléctrico puede ser positivo o negativo, dependiendo el valor de la carga, sin embargo el potencial gravitatorio siempre es negativo. Potencial en un punto debido al campo creado por una distribución de cargas: En el caso de que el campo sea debido a la presencia de más de una carga, el potencial en un punto A, aplicando el principio de superposición será la suma de los potenciales debidos a cada carga, y por tanto: VA = K

Q1 Q Q Q + K 2 + K 3 + ... = K ∑ i r1A r2 A r3A riA

a) Teoría (Siguiente pregunta) b) Naturalmente. Cualquier carga (o masa) se mueve siempre de forma espontánea hacia el sitio donde su energía potencial disminuya, es decir hacia donde ∆Ep es negativo. ∆Ep = Ep fnal − Ep inicial = q (Vfinal − Vinicial ) = − ⇒ Se mueve espontáneamente Si en nuestro caso tenemos que el potencial final es mayor que el inicial, quiere decir que ∆V = + , y para que el producto q ⋅ ∆V sea negativo es necesario que la carga q sea negativa. También podría razonarse teniendo en cuenta que las líneas de campo eléctrico tienen la dirección en que se mueven las cargas positivas (o las masas en el caso del gravitatorio) y apuntan en la dirección en la que disminuye la energía potencial y el potencial. Por tanto, para que una carga se mueva espontáneamente al revés debe ser negativa. La r r expresión F = q E indica claramente que para que la carga se mueva en sentido contrario al campo, el escalar q debe ser negativo. Otro razonamiento, similar al primero, sería decir que una caga o masa se mueve espontáneamente hacia donde el campo hace trabajo + sobre ella (por eso una piedra se mueve espontáneamente hacia el suelo), por tanto: WA →B,campo = − ∆Ep = −q ∆V = q (VA − VB ) Para que WA →B,campo sea + en el caso de que VA E o ⇒ Sale el electrón y la energía que sobra de arrancarlo se invierte en energía cinética

1 mv 2 2

donde e es la carga del electrón y m es su masa. 4. Cuando la luz incide sobre el metal, los electrones son emitidos instantáneamente. Esto tampoco puede explicarse con la teoría electromagnética clásica, ya que si el electrón extrae energía de la onda, debería transcurrir un tiempo hasta que acumule la energía necesaria para escapar del metal.

De esta forma Einstein escribió que: 1 h ν = E o + mv 2 2 o lo que es igual: h ν = h νo +

1 mv 2 2

Explicación de Einstein al efecto fotoeléctrico: despejando la velocidad con que sale el electrón: Planck creía que solo estaba cuantificado el intercambio de energía (absorción y emisión), pero que después la luz se comportaba como una onda. Einstein fue más atrevido, supuso que la energía electromagnética es sí misma era la que estaba cuantificada en pequeños paquetes de energía que llamó fotones. La energía de un fotón es: E = hν Vamos a ver como con la suposición de Einstein pueden explicarse todas las observaciones anteriores: Si llamamos trabajo de extracción o función trabajo (Eo) a la energía mínima que debe tener el fotón para arrancar un electrón del metal. Es evidente que el fotón debe tener una frecuencia mínima νo (la umbral) para arrancar al electrón: Eo = h νo

v=

2 h (ν − ν o ) m

Como puede verse la velocidad de los fotoelectrones, y por tanto su energía cinética, no depende de la intensidad de la luz. Solamente depende de la frecuencia y lo demás son constantes. Al aumentar la intensidad de la luz, lo que aumenta es el número de fotones y por tanto es mayor el número de electrones que salen del metal. Ello explica que aumente la intensidad de la corriente:

Ejemplo E5B.S2007:

Al aumentar la intensidad de la luz (el nº de fotones) aumenta es el número de electrones que salen del metal, y por tanto la intensidad de la corriente.

Por último queda explicar la instantaneidad con que son emitidos los fotoelectrones, pero es fácil, ya que como se dice en la hipótesis, los fotones son paquetes de energía concentrada y no ondas que tienen su energía distribuida por todo el frente de onda. Einstein recibió el premio Nóbel, no por su teoría de la relatividad como cree mucha gente, sino por la interpretación del efecto fotoeléctrico que acabamos de ver.

Un fotón incide sobre un metal cuyo trabajo de extracción es 2 eV. La energía cinética máxima de los electrones emitidos por ese metal es 0,47 eV. a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar en el proceso de fotoemisión y calcule la energía del fotón incidente y la frecuencia umbral de efecto fotoeléctrico del metal. b) Razone cuál sería la velocidad de los electrones emitidos si la energía del fotón incidente fuera 2 eV. h = 6,6 ·10–34 J s ; e = 1,6 ·10–19 C a) La energía del fotón incidente (hν) se invierte en extraer el electrón del metal y la restante en comunicarle energía cinética, por tanto: 1 h ν = E o + mv 2 = 2 + 0,47 = 2,47eV 2

Ejemplo E4A.S2005

Al iluminar una superficie metálica con luz de frecuencia creciente empieza a emitir fotoelectrones cuando la frecuencia corresponde al color amarillo. a) Explique razonadamente qué se puede esperar cuando el mismo material se irradie con luz roja. ¿Y si se irradia con luz azul? b) Razone si cabría esperar un cambio en la intensidad de la corriente de fotoelectrones al variar la frecuencia de la luz, si se mantiene constante el número de fotones incidentes por unidad de tiempo y de superficie. a) Para que se produzca efecto fotoeléctrico los fotones de luz deben tener una frecuencia igual a la umbral o superior. Según se deduce del enunciado, para este material la frecuencia umbral corresponde al amarillo, por lo que al iluminar con luz roja, que tiene una frecuencia menor, no se producirá efecto fotoeléctrico, independientemente de la intensidad de la luz roja. Por el contrario, al iluminar con luz azul el metal emitirá electrones que saldrán con una energía cinética igual a la diferencia entre la energía del fotón de luz azul y la del fotón de luz amarilla (trabajo de extracción). b) Cada fotón arranca un electrón (siempre que tenga una frecuencia igual a la umbral o superior) por lo que si se mantiene el número de fotones la intensidad de la corriente será la misma. No obstante, si variamos la frecuencia lo que sí variará será la energía cinética de los electrones emitidos (siempre que la frecuencia sea igual a la umbral o superior).

en julios: h ν = 2,47 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 = 3,95 ⋅ 10 −19 J La frecuencia del fotón incidente, despejando será:

ν=

3,95 ⋅ 10 −19 J = 5,98 ⋅ 1014 Hz 6,6 ⋅ 10 −34 J.s

La frecuencia umbral es la que corresponde a un fotón de energía igual al trabajo de extracción: 2 * 1,6 ⋅ 10 −19 J νo = = 4,86 ⋅ 1014 Hz 6,6 ⋅ 10 −34 J.s b) Es evidente, según hemos dicho antes, que si la energía del fotón incidente es igual al trabajo de extracción la energía cinética sería cero, y por tanto la velocidad de los electrones nula.

Ejemplo E3A.S2007:

EFECTO COMPTON

Sobre una superficie de sodio metálico inciden simultáneamente dos radiaciones monocromáticas de longitudes de onda λ1 = 500 nm y λ2 = 560 nm. El trabajo de extracción del sodio es 2,3 eV. a) Determine la frecuencia umbral de efecto fotoeléctrico y razone si habría emisión fotoeléctrica para las dos radiaciones indicadas. b) Explique las transformaciones energéticas en el proceso de fotoemisión y calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos. c = 3 ·108 m s–1 ; h = 6,6 ·10–34 J s ; e = 1,6 ·10–19 C ; me = 9,1·10–31 kg

Explicación del fenómeno:

a) En primer lugar debemos calcular la energía de los dos fotones. Si su energía es mayor o igual al trabajo de extracción habrá emisión, y en caso contrario no porque no llegarían al umbral. (recuerda que 1nm=10–9m) E1 = hν 1 = h

El trabajo de extracción en julios es E o = 2,3eV = 2,3 ⋅ 1,61019 = 3,68 ⋅ 10 −19 J Como podemos ver, solamente el primer fotón tiene energía suficiente para arrancar un electrón del metal, el segundo no producirá efecto fotoeléctrico independientemente de la intensidad que tenga la luz. La frecuencia umbral es la frecuencia mínima que debe tener un fotón para arrancar un electrón y por tanto es la energía de un fotón que coincide con el trabajo de extracción: ⇒

• •

Los rayos X dispersados tenían una frecuencia ν´ menor (o lo que es igual que tenían una longitud de onda mayor que los rayos incidentes) El incremento que sufre la longitud de onda del fotón es función del ángulo de rechazo: ∆λ = f ( φ )

c 3 ⋅ 108 = 6,6 ⋅ 10 −34 = 3,96 ⋅ 10 −19 J λ1 500 ⋅ 10 −9

c 3 ⋅ 108 E 2 = hν 2 = h = 6,6 ⋅ 10 −34 = 3,54 ⋅ 10 −19 J λ2 560 ⋅ 10 −9

Eo = h νo

Compton hizo incidir un haz de rayos X duros, de frecuencia ν, sobre un bloque de grafito y observó que:

νo =

Este fenómeno es inexplicable mediante la física clásica, porque según ella, al incidir los rayos X de frecuencia ν sobre el grafito, sus átomos se verían obligados a vibrar con esa frecuencia y por tanto radiarían OEM también de la misma frecuencia ν. Explicación de Compton: Compton explicó este fenómeno haciendo uso de las ideas de Einstein sobre el fotón. Pensó que el fotón incidente chocaba con un electrón libre del grafito, de la misma manera que lo hacen dos bolas de billar, pero en este caso que no cede toda su energía al electrón (como sucede en el efecto fotoeléctrico) solamente cede una parte y por eso se convierte en otro fotón de menor frecuencia ν´