Dinámica de Sistemas

TEMA 1: Introducción 1.1.- Conceptos Generales. 1.2.- Sistemas Dinámicos. 1.3.- Modelado y Representación de Sistemas. 1.4.- Estructuras de realimentación. 1.5.- Dinámica de Sistemas y Sistemas de Control. 1.6.- Problemas

1.1 CONCEPTOS GENERALES El término sistema ha sido ampliamente referido en la literatura científica. Son numerosas las definiciones que pueden encontrarse acerca del mismo. El concepto se introduce como una idea abstracta que puede aplicarse a fenómenos de distinta naturaleza.

Como primera aproximación, de forma intuitiva, puede considerarse que un sistema es un objeto formado por un conjunto de partes que interaccionan entre si y el entorno (Aracil y Gordillo, 1997).

Las técnicas y herramientas asociadas con el concepto de sistema juegan un papel importante en diversas áreas de la tecnología y han sido aplicadas en una amplia variedad de disciplinas científicas, entre ellas pueden citarse: robótica, ingeniería, economía, control de procesos, procesado de señales, sociología, antropología, psicología etc. En todas estas aplicaciones subyace la intención de modelar y analizar distintos tipos de fenómenos e interacciones (físicas, biológicas, económicas, sociales etc.)

-1.1-

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1.1.1 Caracterización de un sistema

La naturaleza de un sistema está determinada por las partes que lo componen y las interacciones que se establecen entre las mismas. Los elementos que cobran especial importancia a la hora de su estudio son:

Atributos: Magnitudes que representan cualidades perceptibles del sistema. Los atributos permiten realizar una descripción cualitativa del sistema. Interacciones: Relaciones entre las distintas partes del sistema o el entorno, que modifican el valor de los atributos. Comportamiento: Evolución temporal de los atributos del sistema en una situación particular.

Un ejemplo de estos conceptos puede encontrarse al analizar un sistema de población (ver Figura.-1.1). En él, un conjunto de habitantes se relacionan entre ellos de forma que la población decrece si mueren habitantes y crece si nacen nuevos habitantes. Adicionalmente, los habitantes se relacionan con el exterior (considérese por ejemplo la necesidad que tiene la población de recursos alimentarios). De esta forma, puede considerarse que si hay escasez de alimentos la población disminuirá (habrá más muertes y menos nacimientos); si, por el contrario, hay abundancia de alimentos la población aumentará ( habrá menos muertes y más nacimientos). En este caso, el número de habitantes y los recursos pueden considerarse como atributos del sistema población y las interacciones serán las relaciones que determinan el número de nacimiento y muertes.

Figura.-1.1

Sistema de Población

-1.2-

Dinámica de Sistemas Aunque la naturaleza física de los sistemas y las interacciones que los caracterizan son bien diferentes, todos tienen algo en común: los sistemas responden a una excitación (interacción externa) con un comportamiento o señal de respuesta concreta (evolución de los atributos) que dependerá del estado en que se encuentren las partes del sistema ( interacción interna).

De acuerdo a lo anteriormente expuesto, un sistema también puede representarse como un proceso en el que una señal de entrada (interacción externa) se transforma en una señal de salida (atributo) ver Figura.-1.2.

Figura.-1.2

Un sistema relaciona señales de entrada con señales de salida

Ejemplos de Sistemas en la Vida Real: Ø Un automóvil: Cuando un conductor actúa sobre el acelerador (interacción / entrada), el automóvil (sistema) responde con un cambio de la velocidad (atributo / salida). Ø Un programa de Ordenador: Por ejemplo un programa dedicado al diagnóstico automático de electrocardiogramas puede verse como un sistema que toma los valores digitalizados

del

electrocardiograma

(entrada)

y

proporciona

estimaciones de parámetros referidos a la salud del paciente (salida). Ø Una cámara fotográfica: Es un sistema que recibe como entrada luz reflejada de un objeto, que estimula un película sensible, produciendo como salida una fotografía -1.3-

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1.1.2 Concepto de Modelo Habitualmente se entiende que un modelo es un objeto mediante el cual se describe un sistema. Existen numerosas consideraciones acerca del tipo de modelos. Así, se puede hablar de modelos físicos (prototipos, modelos a escala etc..), modelos simbólicos ( lingüísticos, esquemáticos, matemáticos etc...), modelos computacionales (numéricos, borrosos, redes neuronales etc..). Cualquiera de ellos tiene como misión estudiar el comportamiento del sistema sin tener que trabajar con el sistema real.

El modelo no ha de ser una copia fidedigna del sistema, sino recoger aquellos aspectos que, en opinión de su constructor, resulten relevantes. Por ejemplo, para determinadas aplicaciones un modelo de un automóvil podrá considerar solo su masa y medir su velocidad, sin tener en cuenta su tamaño, color , etc... en cambio, en otras ocasiones puede que interese considerar otro tipo de propiedades como el diámetro de las ruedas, amortiguación etc... En numerosas situaciones, como se verá en el apartado siguiente, el modelo acaba asociado tan íntimamente con el sistema que representa que terminan identificándose ambos términos.

En adelante, por modelo se entenderá una representación matemática o computacional que permite describir cuantitativamente el comportamiento del sistema. Asimismo, el modelo permitirá resolver preguntas cuantitativas y cualitativas sobre el comportamiento del sistema real.

1.1.3 Dinámica y Comportamiento: sistema estáticos y dinámicos

Cuando se habla de la dinámica de un sistema se hace referencia al carácter cambiante de las magnitudes que permiten describirlo. Un sistema se llama estático si el valor presente de los atributos depende solamente del valor presente de las interacciones externas. Por el contrario, un sistema se llama dinámico si el valor presente de los atributos depende tanto del valor actual las interacciones cómo del valor inicial de dichos -1.4-

Dinámica de Sistemas atributos o de los valores anteriores de las interacciones. Asumiendo una representación entrada salida, en un sistema estático la salida permanece constante si la entrada no cambia, sólo cambia cuando lo hace la entrada. En un sistema dinámico la salida cambiará en el tiempo, dependiendo de señal de entrada y del estado del sistema (determinado por las condiciones iniciales); la salida solo permanece constante si el sistema se encuentra en un estado de equilibrio (Ogata, 1987).

Por ejemplo, un cuerpo bajo la acción de la gravedad (entrada del sistema) puede tener distintos comportamientos dependiendo de si la velocidad inicial es positiva, si se deja caer (velocidad inicial nula) o si se suelta estando apoyado sobre el suelo (estado de equilibrio); se trata pues de un sistema dinámico. Por otra parte, la salida de un decodificador dependerá sólo del código introducido a la entrada; por tanto puede considerarse un sistema estático.

En definitiva, los sistemas dinámicos se caracterizan porque pueden presentar distintos comportamientos según sean las circunstancias en que se producen las interacciones. Por tanto, interesa establecer tanto cuantitativamente como cualitativamente el modo en que cambian los atributos.

En muchos casos, es posible explicar el comportamiento de los sistema a partir de la estructura que presentan las interacciones que los caracterizan, independientemente de la naturaleza de los mismos. Esto quiere decir que sistemas de distinta naturaleza pueden presentar comportamientos similares. A veces se habla de sistemas isomorfos ( Falcón, 1999). Para el estudio y análisis de estas estructuras y los comportamientos asociados se dispone de un método de modelado simbólico, se trata de una herramienta matemática: El Sistema Dinámico. Desde este punto de vista, se observa que este término representa dos acepciones, una que hace referencia a la característica dinámica de un sistema real y otra que se refiere a un objeto formal y abstracto que sirve para representarlo.

-1.5-

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1.2 SISTEMAS DINÁMICOS 1.2.1 Concepto de estado, variables y parámetros

Desde un punto de vista cualitativo, describir el estado de un sistema consiste en especificar el valor de aquellas magnitudes a partir de las cuales es posible obtener el valor de todos los atributos que caracterizan el sistema. Su conocimiento, junto al de las interacciones externas permite predecir la evolución de los atributos. Por tanto cabe realizar las siguientes definiciones: •

Variables de estado: representan el menor conjunto posible de magnitudes variables en el tiempo que permiten describir el estado (valor de los atributos) de un sistema (Ogata, 1980).

•

Parámetros: son magnitudes que afectan al valor de los atributos del sistema pero que se mantienen fijas a lo largo del tiempo. Son los responsables de las diferencias entre un sistema u otro.

•

Variables de entrada: son magnitudes que afectan al valor de los atributos del sistema y que pueden cambiar como consecuencia de una interacción externa.

•

Variables de salida: son magnitudes cuyo conocimiento interesa especificar y cuyo valor es función de las variables de estado y las variables de entrada. En ocasiones las variables de salida pueden coincidir con las variables de estado. Ejemplo: llenado de un depósito:

Figura.-1.3

Sistema de llenado de un depósito

El conjunto de variables de estado recibe el nombre de vector estado. -1.6-

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1.2.2 Concepto matemático de sistema dinámico

El concepto de sistema dinámico tiene su origen en la mecánica clásica, donde se se describen la variación de la posición y velocidad de un cuerpo en función de las fuerzas aplicadas. El uso de este concepto se ha generalizado a situaciones donde en lugar de posiciones y velocidades se consideran los atributos del sistema y en vez de fuerzas se tienen en cuentan las relaciones de influencia que representan las interacciones.

Desde un punto de vista matemático, un sistema dinámico es un objeto matemático formado por un espacio de estados y una regla que prescribe como cambia dicho vector en el tiempo (Aracil y Gordillo, 1999). En general dicha regla se suele expresar de la forma: d r r r x = f (x ) . dt

Esto implica la definición de un campo vectorial en el espacio de estados. Dado que d x representa la velocidad con que cambia x en cada punto de ese espacio (realizando dt un símil con la velocidad de un punto en un espacio) el vector f(x) será tangente en cada punto a la trayectoria que siga el sistema en el espacio de estados. La ecuación anterior, representa un sistema autónomo, su cuyo comportamiento no está afectado por el exterior. En el caso de que lo esté, esta ecuación se escribiría de la forma: d r r r x = f ( x, u) . dt

Donde u(t) representa la actuación del entorno ( variable de entrada). Este tipo de expresiones suelen denominarse modelo de estado del sistema.

-1.7-

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1.2.3 Objetivos y herramientas del método sistémico El método sistémico trata de desarrollar útiles conceptuales y operativos con los que estudiar sistemas. Habitualmente se abordan tres tipos de objetivos: •

Análisis.- Modelado e investigación del funcionamiento y comportamiento de sistemas

•

Diseño.- Encontrar un sistema que cumple unas especificaciones concretas

•

Síntesis.- Uso de un procedimiento específico para encontrar un sistema que cumple unas funciones específicas.

Las principales herramientas son: •

Modelos Matemáticos: o Ecuaciones Diferenciales o Ecuaciones Integrodiferenciales o Ecuaciones en Diferencias o Transformadas de Laplace o Transformadas en z

•

Representación de sistemas o Diagramas Causales o Diagramas de Bloques o Diagramas de Forrester

1.3 MODELADO Y REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS 1.3.1 ELABORACIÓN DE MODELOS (MODELADO) La literatura especializada propone diversos esquemas y procedimientos para la realización de modelos de sistemas. A grandes rasgos el procedimiento para obtener un modelo matemático de un sistema puede resumirse como sigue: -1.8-

Dinámica de Sistemas 1. Realizar un diagrama esquemático que represente al sistema, definir las magnitudes fundamentales y las relaciones que existen entre ellas. Es importante establecer un equilibrio entre la simplicidad del modelo y la exactitud de los resultados del análisis, decidir cuáles de las variables y relaciones pueden despreciarse y cuáles son necesarias para la exactitud del modelo.

2. Escribir ecuaciones que modelen las relaciones entre los atributos del sistema, combinándolas de acuerdo con el diagrama original y obteniendo las expresiones mas simplificadas posibles.

3. Realizar una verificación del problema, comprobando que las consideraciones realizadas anteriormente permiten obtener soluciones lógicas o esperadas.

4. Realizar una validación comprobando si la respuesta del modelo se asemeja a la del sistema real.

1.3.2 Sistemas continuos y discretos en el tiempo

La evolución de los atributos y de las interacciones externas, en ocasiones también llamadas señales de entrada, están normalmente representadas por funciones de una variable independiente, normalmente el tiempo t. Una señal dependiente de valores continuos de la variable independiente t se denomina señal continua en el tiempo. Por el contrario, una señal que solamente está definida en instantes concretos de la variable independiente t, se denomina señal discreta en el tiempo. Algunos autores consideran señales continuas, aquellas relacionadas con el mundo analógico, mientras que las señales discretas se relatan al mundo digital. Ejemplos de Señales: •

El voltaje o la intensidad que proporciona la red eléctrica representan señales continuas en el tiempo, pues están definida para cada instante de tiempo t. -1.9-

Dinámica de Sistemas •

El intermitente de una automóvil proporciona una señal discreta, al igual que una baliza de señalización marina.

•

La temperatura ambiente de una habitación es una señal claramente continua en el tiempo (podemos saber en cualquier momento cual es la temperatura); sin embargo, si tomamos la temperatura a cada hora en punto, estamos obteniendo una señal discreta. Este proceso se llama muestreo, permite obtener una señal discreta de una original continua.

1.3.2.1 Sistemas en tiempo continuo:

Cuando el valor de las magnitudes fundamentales del sistema cambian de forma continua se dice que el sistema es en tiempo continuo. Obsérvese que en estos casos es necesario que el valor de las variables del sistema ha de ser conocido en cualquier instante de tiempo. En estos casos el comportamiento de un sistema puede obtenerse a partir de un modelo basado en ecuaciones diferenciales. Ejemplo: modelado del sistema de llenado de un depósito

Figura.-1.4

Sistema de llenado de un depósito

Las ecuaciones involucradas en el proceso son: q0 =

h ; R

dV dh =C ; dt dt

R ⋅C

dV = qi − q 0 dt

dh(t ) + h = R ⋅ qi (t ) dt

dh(t ) qi (t ) h(t ) = − dt C R ⋅C -1.10-

Dinámica de Sistemas Observe que esta última expresión adquiere la forma de modelo de estado según se vió en el apartado 1.2.2 Las transformadas son herramientas muy útiles para la resolución o simplificación de tales modelos. La transformada de Laplace se usará para facilitar el trabajo con ecuaciones diferenciales. Usando la transformada de Laplace la expresión anterior queda reducida a expresión polinómica con la que es mucho mas fácil trabajar: H (s) + s· RC ·H (s) = R·Qi(s) → H (s) (1+ s· RC ) = R· Qi (s)

H ( s) =

R Q i (s) RC ⋅ s + 1

1.3.2.2 Sistemas en tiempo discreto

En aquellos casos en los que los valores de las magnitudes fundamentales están representados por señales discretas, o que su valor solo es conocido en determinados instantes se dice que el sistema es en tiempo discreto. Cabe resaltar también que los cambios que sufren la variables se producen en instantes determinados de tiempo, generando discontinuidades en las señales consideradas. El comportamiento de este tipo de sistemas puede aproximarse mediante una ecuaciones en diferencias. Ejemplo: Modelado de una Población p(k).- Numero de pobladores en el año k N .- tasa de nacimiento ( n.º de nacimientos / habitante-año) D .- tasa de mortandad (n.º de muertes/ habitante-año)= D · p(k) p(k+1) =p(k) +N p(k)-D p(k) p(k+1) =p(k) [1+N-D] Para las ecuaciones en diferencias también existe una herramienta útil que permite simplificar su manejo, es la llamada transformada discreta o transformada z. -1.11-

Dinámica de Sistemas

1.3.3 Representación de sistemas 1.3.3.1 Diagrama de Bloques Un diagrama de bloques es una representación gráfica de la relación entre las variables de entrada (también llamada excitación) de un sistema y las variables de salida (también llamada respuesta).

Figura.-1.5

Diagrama de bloques de un sistema

En este sentido el sistema representa un nexo de unión entre la causa y el efecto. El bloque es un símbolo de una transformación (operación matemática, amplificación, filtrado...) sobre la señal de entrada para producir la señal de salida. Mas adelante se detallará cómo los diagramas de bloques están vinculados a técnicas de representación externa. Demos una representación en diagrama de bloques a los sistemas antes expuestos:

Ejemplo: Modelo obtenido para el llenado del depósito: Considerando la ecuación diferencial anteriormente obtenida: R ⋅C

dh(t ) + h = R ⋅ q i (t ) dt

Podemos expresar gráficamente dicha expresión matemática en la forma:

h(t )

Figura.-1.6

R ⋅C

d dt

Representación gráfica de una ecuación diferencial

-1.12-

R ⋅ qi (t )

Dinámica de Sistemas Por otra parte, si se desea encontrar una representación que refleje la relación causa /efecto que existente entre el flujo de agua entrante ( qi, causa) y la altura del agua dentro del depósito (h, efecto), basta con transformar la ecuación anterior en la forma : 1 dh(t ) 1   ⋅h = R ⋅ qi (t ) − ⋅ h → h(t ) = ∫  R ⋅ qi (t ) − R ⋅ C dt R ⋅C  

Una representación gráfica de esta expresión se muestra en la siguiente figura:

qi

∫

1 C

h

1 R ⋅C Figura.-1.7

Representación gráfica para la integración de una ecuación diferencial

También puede encontarse una representación gráfica para la expresión transformada:

H ( s) =

R H (s) R Q i (s) → = RC ⋅ s + 1 Qi ( s ) RC ⋅ s + 1

El diagrama de bloques correspondiente es el representado en la siguiente figura:

Q(s ) → Figura.-1.8

R → H (s ) RC ⋅ s + 1

Relación entre magnitudes transformadas

-1.13-

Dinámica de Sistemas 1.3.3.2 Diagramas Causales Un diagrama causal

es un esquema que modela las relaciones de influencia e

interacciones que se establecen entre las partes del sistema. Estos diagramas permiten realizar un esbozo de la estructura del sistema. Para realizar estos diagramas se identifican los distintos elementos que componen el sistema y se les asocian atributos; posteriormente se identifican las relaciones que se establecen entre ellos. Las relaciones de influencia se establecen mediante enunciados de la forma: el atributo X influye positiva / negativamente sobre el atributo Y ( ver Figura.-1.9).

Figura.-1.9

Relaciones de influencia

Una relación de influencia positiva significa que un incremento positivo de X produce un incremento positivo en Y o viceversa. Por el contrario, una relación de influencia negativa significa que un incremento positivo en X produce un incremento negativo en Y o viceversa. En la figura Figura.-1.10 se representan de forma esquemática los efectos de estas relaciones. Las flechas hacia arriba representan un incremento positivo y las flechas hacia abajo representan un incremento negativo.

Figura.-1.10

Efectos debidos a las relaciones de influencia

En el ejemplo del depósito pueden identificarse como atributos el nivel del líquido (h) y el flujo de líquido que circula por la tubería de salida (qo); el flujo de líquido que entra en el depósito (qi) puede considerarse como interacción externa. Como consecuencia, el esquema casual que se obtiene es el que se presenta en la figura siguiente.

-1.14-

Dinámica de Sistemas

Figura.-1.11

Diagrama causal para el ejemplo del depósito

1.4 ESTRUCTURAS DE REALIMENTACIÓN Se dice que hay una estructura de realimentación cuando la respuesta del sistema afecta a la acción que se aplica sobre el mismo, ver la siguiente figura.

Figura.-1.12

Estructura de realimentación

Una estructura de realimentación puede considerarse como una transmisión circular de la información. Esta estructura circular aparece en múltiples situaciones y es el origen de comportamientos complejos. Como ejemplo, a continuación se modela, basándose en la estructuras de realimentación, el proceso de llenado de un vaso de agua (Aracil y Gordillo, 1999). En este caso se presupone que la persona que llena el vaso procede de la siguiente forma:

a) Abre el grifo (acción externa) b) Observa como aumenta el nivel del agua en el vaso comparándolo con el nivel deseado (transmisión circular de la información) c) Lo cierra gradualmente conforme se va alcanzando el nivel deseado (modificación de la acción realizada).

-1.15-

Dinámica de Sistemas

Figura.-1.13

acción de llenar un vaso

Los sistemas con realimentación representan una estructura básica que aparece en multitud de fenómenos y sistemas de distinta naturaleza; representan un elemento básico del método sistémico. A partir de dichas estructuras es posible realizar caracterizaciones elementales de los comportamientos de los sistemas. Uno de los primeros pasos para realizar un modelado consiste en determinar los bucles de realimentación existentes, para más tarde, estudiar la evolución del sistema de acuerdo a las características de las interacciones.

1.4.1 Bucle de realimentación negativa

Como ejemplo de bucle de realimentación negativa se presenta un regulador de temperatura. El sistema regulador controla un mecanismos de calefacción cuya temperatura se eleva o disminuye de acuerdo con la acción del regulador (no se pretende modelar la dinámica del sistema de calefacción, se supone que la temperatura sube cuando la acción del regulador es positiva y que baja cuando es negativa). El regulador compara la temperatura del ambiente con la temperatura deseada generando una respuesta proporcional a la discrepancia. Como puede observarse este tipo de estructuras tienen un carácter estabilizador, tienden a mantener la salida del sistema lo más próxima posible a una referencia dada. Los bucles de realimentación negativa están asociados a gráficos causales donde el número de influencias negativas es impar.

-1.16-

Dinámica de Sistemas Ejemplo: regulador de temperatura

Figura.-1.14

Sistema de regulación de temperatura: bucle de realimentación negativa

1.4.2 Bucle de realimentación positiva Como bucle de realimentación positiva se presenta el sistema de incremento de ventas de un producto que satisface las expectativas del mercado. Los bucles de realimentación positiva se asocian a procesos que son normalmente conocidos como bolas de nieve, círculos viciosos o virtuosos. Considerese como ejemplo, la venta de un producto que satisface positivamente las expectativas de los clientes. Dicha satisfacción es causa de los comentarios positivos acerca del producto lo que produce un aumento de demanda que, a su vez, genera la producción de un mayor número de unidades del producto, lo que creará un mayor número de clientes satisfechos etc... Los bucles de realimentación positiva están asociados a gráficos causales donde el número de influencias negativas es cero o par.

Ejemplo: ventas que satisfacen expectativas (Círculo virtuoso)

Figura.-1.15

Bucle de realimentación positivo

-1.17-

Dinámica de Sistemas

1.5 DINÁMICA DE SISTEMAS Y SISTEMAS DE CONTROL Un sistema de control automático es un mecanismo que permite actuar sobre un sistema con el fin de que los atributos o alguno de los atributos del mismo alcancen un valor determinado o presenten una evolución temporal concreta. Los atributo que se desea controlar son las salidas del sistema. Las actuaciones de control representan las entradas del sistema a controlar .

Ejemplos de Sistemas de Control: Ø Interruptor eléctrico. Es el sistema de control más sencillo. Con él se controla el flujo de corriente. El movimiento del interruptor de apagado a encendido (y viceversa) puede considerarse como entrada. La salida será el paso o no de corriente eléctrica (encendido de lámpara etc..). Ø El sistema Humano de control de Temperatura. Cuando hace calor, nosotros sudamos para enfriar el interior del cuerpo mediante la evaporación de nuestro sudor. La entrada de este sistema, puede ser la temperatura deseada (nivel de referencia) o la temperatura del aire (variable física), la salida del sistema es la temperatura real de nuestro cuerpo. Ø Conductor de un vehículo. El objetivo del conductor es mantener el vehículo en la calzada de forma correcta. Esto lo logra mirando constantemente la dirección a seguir y manejando convenientemente el volante con sus brazos. La entrada es la propia carretera, y la salida es el camino que sigue el automóvil. Se trata de un sistema que intenta hacer coincidir entrada y salida.

-1.18-

Dinámica de Sistemas

1.5.1 Sistemas en lazo abierto o cerrado

Los sistemas de control pueden funcionar de dos formas distintas, en lazo abierto o bien en lazo cerrado. Esta particular división entre sistemas se debe a como se realiza la acción de control.

Un sistema de control en lazo abierto es aquel en el cual la acción de control, con frecuencia obtenida previamente a la aplicación de la acción de control, es independiente de la salida. En la siguiente figura se representa un sistema de control en bucle abierto. En él, el bloque de control actúa sobre el sistema de acuerdo a unas objetivos previamente establecidos.

Figura.-1.16

Sistema de control en lazo abierto

Un ejemplo de sistemas en Lazo Abierto: Ø Puede encontrarse en casa: la preparación de comida en el microondas. El sistema funciona en lazo abierto; el tiempo de cocción lo controla el temporizador, previamente configurado con el

periodo de tiempo que

consideramos será necesario. Sin embargo, hasta que no se abre la puerta no se sabe si ha terminado la cocción o no.

Los sistemas de control en lazo abierto tienen un claro inconveniente: la aparición de perturbaciones puede alejar al sistema del comportamiento deseado, sin que el sistema de control reaccione al cambio experimentado por el sistema.

-1.19-

Dinámica de Sistemas

Figura.-1.17

Sistema de control con perturbaciones

Para evitar este inconveniente, se utilizan los sistemas de control en lazo cerrado. En ellos, el controlador considera la salida, modificando la acción a realizar sobre el sistema en función de lo alejada que ésta se encuentre del valor de referencia deseado. Los sistemas que funcionan en lazo cerrado se denominan comúnmente como sistemas realimentados.

Figura.-1.18

Sistema de control en lazo cerrado

Según lo expuesto, los sistemas de control en lazo cerrado son sistemas que presentan estructura de realimentación, y como tales podrán ser analizados utilizando las herramientas propias de la dinámica de sistemas.

Como ejemplo ilustrativo, supóngase un sistema que dispone de un motor eléctrico mediante el cual se pretende posicionar un telescopio en una dirección determinada.

-1.20-

Dinámica de Sistemas

Figura.-1.19

Sistema de orientación de un telescopio

Como es de suponer, para un determinado voltaje aplicado al motor, se obtiene un ángulo de giro determinado. Esta relación entre la tensión aplicada y el ángulo girado, aún siendo en cierta manera sencilla, está sujeta en realidad a numerosas incertidumbres inherentes al sistema, que pueden provocar una salida no deseada ( ruido, incertidumbre en el valor de parámetros etc). Debido a ello, es difícil tener la completa seguridad de que el ángulo girado es el deseado para una determinada tensión de alimentación. Este problema se soluciona teniendo información en todo momento de la salida del sistema, es decir, retroalimentando la salida, de tal manera que el sistema global se configura formando un bucle de realimentación negativa. En consecuencia, el controlador tratará de mantener al sistema lo más cerca posible del punto de equilibrio, que en este caso coincidirá con el valor de la orientación deseada. En la siguiente figura se muestra un sistema de este tipo aplicado al caso de la orientación del telescopio.

Figura.-1.20

Sistema de control para la orientación de un telescopio

-1.21-

Dinámica de Sistemas La señal de entrada o de referencia de este sistema es el ángulo θ D deseado que se compara con el valor real que se tiene en la salida θ (t ) . La presencia de realimentación en un sistema de control conlleva una serie de propiedades: •

Aumenta la exactitud.

•

Pueden aparecer oscilaciones o inestabilidad.

•

Efectos reducidos de las distorsiones externas o ruido.

Otro ejemplo de sistema de control realimentado: •

El

piloto automático de un avión constituye un sistema de control en lazo

cerrado. En todo momento se comprueba el rumbo real que sigue el avión (que es el sistema controlar) y se compara con el rumbo deseado ajustando entonces los distintos mecanismos de control del avión (timón, alerones,...).

-1.22-

Dinámica de sistemas

1.6

PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1

Utilice un diagrama casual para Modelar la caída de un cuerpo sobre el que solo están aplicadas la fuerza de la gravedad ( F g = m ⋅ g ) y la fuerza del rozamiento del aire ( F r = – k v ( t ) ), donde v(t) representa la velocidad del cuerpo en el instante t. Considere dv v(t) la variable de estado. Teniendo en cuenta que ∑ F = m ⋅ a , a = encuentre la dt ecuación de estado.

Solución: = m ⋅ a y sustiuyendo Fg + F r = m ⋅ dv ------ . dt Esta expresión indica que el sumatorio de las fuerzas afecta positivamente en Aplicando la ley de Newton

∑F

el incremento de la velocidad. No obstante, la expresión F r = – k v ( t ) indica que el valor de la velocidad afecta negativamente en el valor de la fuerza de rozamiento. Por tanto el resultado final es un diagrama causal que representa un bucle de realimentación negativo, ya que el número de influencias negativas es impar.

V

+ +

Fg

Fr La ecuación de estado se obtiene a partir de la ley de Newton considerando que solo tienen que aparecer términos correspondientes a la variable de estado y a la variable de entrada (en este caso se considera que la entrada es la fureza de la gravedad). Por tanto:

m ⋅ dv ------ = F g + F r = mg – k ⋅ v dt dv k- ⋅ v ------ = g – --dt m

-1.23-

Dinámica de sistemas PROBLEMA 2 Modele, utilizando el concepto de realimentación, el sistema de llenado de una cisterna como la de la figura. Considere para ello que la válvula de llenado tiene una respuesta lineal de la forma q = k ( h f – h ( t ) ) , donde h(t) representa la altura de agua en el instante t, hf la altura de agua deseada y s el flujo de agua que deja pasar la válvula (medido en l/s).

q

hf

h(t)

C

Solución: el valor del volumen de líquido es V=C·h que en forma diferencial puede dV escribirse: = C ⋅ dh . dt dt Por otra parte la variación de volumen esta relacionada con la cantidad de dV líquido que entra por unidad de tiempo = q con lo que la variación de la dt altura por unidad de tiempo es C ⋅ dh = q . dt Esta expresión indica que el flujo de agua entrante afecta positivamente en el incremento de la altura. No obstante, la expresión q = k ( h f – h ( t ) ) indica que el valor de la altura afecta negativamente en el valor de dicho flujo. Por tanto el resultado final es un diagrama causal que representa un bucle de realimentación negativo, ya que el número de influencias negativas es impar.

h

hr

q +

-1.24-

+

Dinámica de sistemas

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 3

Una empresa posee una capacidad de producción que le supone unos gastos fijos de G ptas./dia y unos ingresos fijos de I pta./dia, siendo I > G. El capital x de la empresa está depositado en un banco, de forma que el rendimiento F del mismo está de acuerdo con la expresión F = k ⋅ x , de esta forma, si el capital es positivo proporciona ingresos, pero si es negativo proporciona gastos. Utilice un diagrama casual para modelar el sistema. ¿La empresa se encuentra inmersa en un circulo vicioso o en un círculo virtuoso?.

PROBLEMA 4

“...Los sistemas de realimentación que funcionan en el Ártico convierten la predicción del futuro de la región en un dificil problema. Algunos de los mecanismos que actúan en la fusión del hielo del norte actúan de la siguiente manera: El hielo refleja con mayor intensidad que la tierra o el agua, la luz solar incidente. Esta luz, llamada albedo, escapa hacia el espacio y no contribuye a calentar el clima. El calentamiento del clima facilita la fusión del hielo. Por otra parte, la fusión del hielo contribuye al aumento del vapor de agua en la atmósfera, lo cual produce un aumento de la cobertura nubosa. Las nubes actúan como una sombrilla que reduce la cantidad de luz solar que llega a la superficie, propiciando el enfriamiento del clima y frenando la fusión de los hielos...” (“Fusión en el norte”, Sturm, M. y otros. Investigación y Ciencia, Diciembre 2003).

Represente los mecanismos descritos mediante un diagrama causal, identifique en él los bucles de realimentación existentes. Suponiendo que el efecto de las nubes no contribuyera en la dinámica de forma importante, ¿puede explicar el fenómeno de hielo y deshielo en el Ártico?.

-1.25-

Dinámica de sistemas PROBLEMA 5

Obtenga el diagrama causal y la ecuación diferencial que modela la carga del condensador del esquema.

vi

R vo(t)

I

q

C

-1.26-